Comprendre une équation cartésienne Définition et condition indispensable
Définition · Équation cartésienne d'une droite
Une équation cartésienne de droite est une équation de la forme
\[\boxed{ax+by+c=0}\]
où \(a,b,c\) sont des réels et \((a;b)\neq(0;0)\) . La droite est l'ensemble de tous les points \(M(x;y)\) dont les coordonnées vérifient cette égalité.
Attention · Pourquoi interdire \(a=b=0\) ?
Si
\[\begin{aligned}a &= b\\[.35em] &= 0,\end{aligned}\]
l'équation devient \(c=0\) . Lorsque \(c=0\) , tous les points du plan conviennent ; lorsque \(c\neq0\) , aucun point ne convient. Dans les deux cas, l'ensemble obtenu n'est pas une droite.
Tester l'appartenance d'un point
Méthode · Remplacer, calculer, conclure
Pour savoir si \(M(x_M;y_M)\) appartient à la droite \(d:ax+by+c=0\) :
remplace \(x\) par \(x_M\) et \(y\) par \(y_M\) ;
calcule \(ax_M+by_M+c\) ;
conclus : \(M\in d\) si le résultat vaut \(0\) , et \(M\notin d\) sinon.
Exemple · Deux points, deux résultats
Pour \(d:3x-2y+7=0\) ,
\[3\times(-1)-2\times2+7=0,\]
donc \(A(-1;2)\in d\) . En revanche,
\[3\times1-2\times4+7=2\neq0,\]
donc \(B(1;4)\notin d\) .
À toi d’essayer
Deux écritures peuvent sélectionner les mêmes points Pour \(d:2x-y+1=0\) , teste \(P(-2;-3)\) et \(Q(1;2)\) . Compare ensuite \(d\) à \(d':-6x+3y-3=0\) . Est-ce une nouvelle droite ? Explique ce qui changerait en multipliant tous les coefficients par zéro.
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste Calcule le membre de gauche pour chaque couple. Pour comparer les équations, regarde les trois coefficients, constante comprise.
Indice 2 · Un pas de plus L'équation de \(d'\) est celle de \(d\) multipliée par \(-3\) . Pour un nombre \(E\) , les égalités \(E=0\) et \(-3E=0\) sont équivalentes.
Voir l’explication Pour les deux points,
\[\begin{aligned}2(-2)-(-3)+1&=-4+3+1\\[.35em]&=0,\\[.35em]2(1)-2+1&=1.\end{aligned}\]
Ainsi \(P\in d\) et \(Q\notin d\) . Multiplier une équation par \(-3\) conserve exactement ses solutions : on peut revenir en divisant par \(-3\) . Donc \(d'=d\) . En multipliant par zéro, on obtiendrait \(0=0\) , vrai pour tous les points : cette opération perd l'information qui sélectionnait la droite. Réessaie : \(4x-2y+2=0\) et \(4x-2y+3=0\) décrivent-elles \(d\) ? La première oui ; la seconde non, comme le montre le test de \(P\) .
Droites horizontales et verticales
Propriété · Deux formes à reconnaître immédiatement
Ainsi, \(x=3\) et \(y=-2\) sont bien des équations cartésiennes : \(x-3=0\) et \(y+2=0\) .
Agrandir ↗
À toi d’essayer
Une coordonnée fixée, l'autre libre Donne trois points de \(x=3\) et trois points de \(y=-2\) . Que représente le système formé par ces deux équations ? Compare avec les équations \(0x+0y=0\) et \(0x+0y=5\) .
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste Pour \(x=3\) , seule l'abscisse est imposée. Pour le système, les deux conditions doivent être satisfaites par un même point.
Indice 2 · Un pas de plus Le point commun doit avoir simultanément l'abscisse \(3\) et l'ordonnée \(-2\) . Dans les deux dernières égalités, le membre de gauche vaut toujours zéro.
Voir l’explication Les points \((3;0)\) , \((3;1)\) et \((3;-2)\) sont sur la verticale ; \((0;-2)\) , \((1;-2)\) et \((3;-2)\) sont sur l'horizontale. Leur intersection contient exactement \(I(3;-2)\) . L'équation \(0=0\) décrit le plan entier, tandis que \(0=5\) ne décrit aucun point. Elles ne définissent donc pas des droites. Réessaie : trouve l'intersection de \(x=-1\) et \(y=4\) , puis explique pourquoi la verticale n'est pas une fonction \(y=f(x)\) . Vérification : \((-1;4)\) ; pour \(x=-1\) , il y a plusieurs ordonnées sur la verticale, et non une sortie unique.
Relier une droite à un vecteur directeur Définition
Définition · Vecteur directeur
Un vecteur non nul \(\vec u\) est un vecteur directeur d'une droite \(d\) lorsqu'il possède la même direction que \(d\) . Si \(A\) et \(B\) sont deux points distincts de \(d\) , alors \(\vect{AB}\) est un vecteur directeur de \(d\) .
Propriété · Un vecteur directeur n'est jamais unique
Si \(\vec u\) dirige \(d\) , alors tout vecteur \(\lambda\vec u\) , avec \(\lambda\neq0\) , dirige également \(d\) . Des vecteurs directeurs d'une même droite sont donc colinéaires.
À toi d’essayer
Une direction ne fixe pas la position La droite \(d\) passe par \(A(2;-1)\) et a pour vecteur directeur \(\vec u=(3;2)\) . Construis les points \(B\) et \(C\) tels que \(\vect{AB}=\vec u\) et \(\vect{AC}=-2\vec u\) . Le vecteur nul dirige-t-il \(d\) ? Une autre droite peut-elle avoir le même vecteur directeur ?
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste Ajoute les coordonnées du déplacement à celles du point de départ ; pour \(C\) , calcule d'abord \(-2\vec u\) .
Indice 2 · Un pas de plus On a \(-2\vec u=(-6;-4)\) . La direction est conservée lorsque le multiplicateur est non nul, même si le sens change.
Voir l’explication On obtient \(B(5;1)\) et \(C(-4;-5)\) :
\[\begin{aligned}x_C &= 2-6\\[.35em]&= -4,\\[.35em]y_C &= -1-4\\[.35em]&= -5.\end{aligned}\]
Les trois points sont sur la même droite car les déplacements depuis \(A\) sont colinéaires à \(\vec u\) . Le vecteur nul n'a pas de direction privilégiée et n'est jamais un vecteur directeur. Une parallèle passant par un point extérieur à \(d\) possède aussi la direction \((3;2)\) : le point connu est nécessaire pour fixer la position. Réessaie : trouve le point \(D\) tel que \(\vect{AD}=\tfrac12\vec u\) . Vérification : \(D(7/2;0)\) .
D'une équation à une direction
Théorème · Le vecteur \((-b;a)\)
Pour la droite
\[d:ax+by+c=0,\]
un vecteur directeur est
\[\boxed{\vec u=(-b;a)}.\]
Tout multiple non nul de \((-b;a)\) convient également.
Démonstration · Une direction qui conserve l'égalité
On suppose \((a;b)\ne(0;0)\) . L'ensemble \(ax+by+c=0\) contient un point \(A\) : si \(b\ne0\) , on peut prendre \((0;-c/b)\) ; sinon \(a\ne0\) et l'on prend \((-c/a;0)\) . Pour tout point \(M(x;y)\) , comme \(ax_A+by_A+c=0\) , on a les équivalences
\[\begin{aligned}M\in d&\iff ax+by+c=0\\[.35em]&\iff a(x-x_A)+b(y-y_A)=0\\[.35em]&\iff\det\bigl(\vect{AM},(-b;a)\bigr)=0.\end{aligned}\]
Le vecteur \((-b;a)\) est non nul. Le critère de colinéarité décrit donc exactement la droite passant par \(A\) de direction \((-b;a)\) , y compris pour \(M=A\) . Toutes les transformations sont réversibles.
Exemple · Lire sans résoudre
Pour \(d:2x+5y-4=0\) , on peut choisir \(\vec u=(-5;2)\) . Les vecteurs \((5;-2)\) et \((-10;4)\) conviennent aussi, car ils sont colinéaires à \((-5;2)\) .
D'un point et d'une direction vers une équation
Théorème · Forme issue du déterminant
La droite passant par \(A(x_A;y_A)\) et dirigée par \(\vec u=(r;s)\neq(0;0)\) est l'ensemble des points \(M(x;y)\) tels que
\[\boxed{s(x-x_A)-r(y-y_A)=0}.\]
Une preuve à construire
Construire l'équation à partir d'un déplacement Soient \(A(x_A;y_A)\) et \(\vec u=(r;s)\ne(0;0)\) . Avec un déterminant, prouve que la droite passant par \(A\) de direction \(\vec u\) a pour équation \(s(x-x_A)-r(y-y_A)=0\) . Vérifie que les coefficients de \(x\) et de \(y\) ne sont pas tous deux nuls.
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste Un point \(M\) est sur la droite si et seulement si \(\vect{AM}\) est colinéaire au vecteur directeur non nul. Le point \(A\) lui-même doit aussi être conservé.
Indice 2 · Un pas de plus Écris \(\vect{AM}=(x-x_A;y-y_A)\) et calcule \(\det(\vect{AM},\vec u)\) . Développe seulement après avoir exprimé la colinéarité.
Voir la preuve expliquée Pour tout point \(M\) , le critère du déterminant donne
\[\begin{aligned}M\in d&\iff\det(\vect{AM},\vec u)=0\\[.35em]&\iff s(x-x_A)-r(y-y_A)=0\\[.35em]&\iff sx-ry+(ry_A-sx_A)=0.\end{aligned}\]
On reconnaît \(a=s\) , \(b=-r\) et \(c=ry_A-sx_A\) . Comme \((r;s)\ne(0;0)\) , on a \((a;b)\ne(0;0)\) : c'est bien une équation cartésienne de droite. Pour \(M=A\) , le déplacement est nul et le déterminant aussi ; ce point n'est pas exclu. Réciproquement, chaque point vérifiant l'équation a un déplacement colinéaire à \(\vec u\) , donc appartient à la droite. Les deux descriptions donnent le même ensemble. À reconstruire : prends \(A(4;1)\) et \(\vec u=(0;2)\) . Tu obtiens \(2(x-4)=0\) , donc la verticale \(x=4\) , sans division par une coordonnée nulle.
Exemple · Point et vecteur directeur
La droite passant par \(A(2;-1)\) et dirigée par \(\vec u=(3;2)\) vérifie
\[2(x-2)-3(y+1)=0,\]
d'où
\[\boxed{2x-3y-7=0}.\]
Le contrôle avec \(A\) donne \(2\times2-3\times(-1)-7=0\) .
Comprendre l'équation réduite et la pente Passer de \(ax+by+c=0\) à \(y=mx+p\)
Théorème · Équation réduite
Si \(b\neq0\) , l'équation \(ax+by+c=0\) peut s'écrire d'une unique manière
\[\boxed{y=mx+p}\]
avec
\[\boxed{m=-\frac ab},
\qquad
\boxed{p=-\frac cb}.\]
Le réel \(m\) est la pente , ou coefficient directeur, et \(p\) est l'ordonnée à l'origine.
Démonstration · Isoler \(y\) sans perdre les signes
Partant de \(ax+by+c=0\) , on obtient
\[by=-ax-c.\]
Comme \(b\neq0\) , on peut diviser par \(b\) :
\[y=-\frac abx-\frac cb.\]
On reconnaît \(m=-a/b\) et \(p=-c/b\) .
Attention · Une droite verticale n'a pas d'équation réduite
Lorsque \(b=0\) , l'équation devient \(ax+c=0\) , donc \(x=-c/a\) . Une droite verticale ne peut pas s'écrire \(y=mx+p\) et sa pente n'est pas définie.
Exemple · Changer de forme
\[\begin{aligned}&2x+3y-6=0
\quad\\[.35em]&\Longleftrightarrow \quad
3y=-2x+6
\quad\\[.35em]&\Longleftrightarrow \quad
\boxed{y=-\frac23x+2}.\end{aligned}\]
La pente vaut \(-2/3\) et l'ordonnée à l'origine vaut \(2\) .
Lire la pente comme un déplacement
Propriété · Monter de \(m\) quand on avance de \(1\)
La droite \(y=mx+p\) est dirigée par
\[\boxed{\vec u=(1;m)}.\]
Plus généralement, entre deux points distincts \(A\) et \(B\) de la droite, avec \(x_B\neq x_A\) ,
\[\boxed{m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}}.\]
Une preuve à construire
Pourquoi deux points donnent le même taux Soient \(A\) et \(B\) deux points d'une droite \(y=mx+p\) avec \(x_A\ne x_B\) . Démontre que \((y_B-y_A)/(x_B-x_A)=m\) . Explique pourquoi inverser simultanément l'ordre des deux différences conserve la pente.
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste Écris l'équation une fois pour \(A\) , une fois pour \(B\) , puis soustrais. Le nombre \(p\) doit disparaître.
Indice 2 · Un pas de plus Le dénominateur \(x_B-x_A\) est non nul. En inversant le parcours, les deux différences sont multipliées par \(-1\) .
Voir la preuve expliquée On calcule
\[\begin{aligned}y_B-y_A&=(mx_B+p)-(mx_A+p)\\[.35em]&=m(x_B-x_A).\end{aligned}\]
La division par \(x_B-x_A\ne0\) donne le taux \(m\) . Dans l'autre sens,
\[\begin{aligned}\frac{y_A-y_B}{x_A-x_B} &= \frac{-(y_B-y_A)}{-(x_B-x_A)}\\[.35em]&= m.\end{aligned}\]
Changer le sens dans une seule des différences introduirait un signe erroné. Cette preuve vaut pour chaque paire de points de la droite ; la pente ne dépend pas de la longueur du déplacement choisi. Réessaie : avec \(A(1;1)\) et \(B(5;3)\) , retrouve \(1/2\) dans les deux sens et donne l'erreur produite en ne retournant que le numérateur : \(-1/2\) .
Agrandir ↗
À toi d’essayer
Lire les unités, pas l'angle du trait Sur la figure précédente, le déplacement de \(A\) à \(B\) vaut \(4\) unités horizontalement et \(2\) verticalement. Calcule la pente. Si l'on étire seulement l'image en hauteur, les coordonnées mathématiques changent-elles ? Une droite passant par \((1;4)\) et \((5;2)\) aurait-elle la même pente ?
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste Une pente est un quotient de variations de coordonnées. Un étirement de l'image change l'angle dessiné, pas les valeurs inscrites sur les axes.
Indice 2 · Un pas de plus Pour les nouveaux points, le dénominateur est encore \(5-1=4\) , mais le numérateur vaut \(2-4=-2\) .
Voir l’explication La première pente vaut \(2/4=1/2\) . Étendre le dessin en hauteur n'altère pas les coordonnées : le quotient reste \(1/2\) . La seconde droite a pour pente \(-2/4=-1/2\) ; elle descend de gauche à droite. On lit donc les graduations et les sens des déplacements, sans mesurer l'angle à l'œil. Réessaie : un graphique de volume en litres selon un temps en minutes passe par \((2;9)\) et \((6;3)\) . Le taux est \((3-9)/(6-2)=-1{,}5\) litre par minute ; préciser les unités donne le sens du résultat.
Signe de la pente
Propriété · Trois allures
Pour une droite non verticale :
si \(m>0\) , la droite monte de gauche à droite ;
si \(m<0\) , elle descend de gauche à droite ;
si \(m=0\) , elle est horizontale.
La valeur de \(p\) déplace la droite vers le haut ou vers le bas sans changer sa direction.
Déterminer une équation à partir de données Avec un point et une pente
Théorème · Forme point-pente
La droite de pente \(m\) passant par \(A(x_A;y_A)\) possède l'équation
\[\boxed{y-y_A=m(x-x_A)}.\]
Démonstration · Conserver aussi le point de départ
Une droite de pente \(m\) est de la forme \(y=mx+p\) . Puisque \(A\) est sur la droite, \(y_A=mx_A+p\) , donc \(p=y_A-mx_A\) . Pour tout point \(M(x;y)\) ,
\[\begin{aligned}y=mx+p&\iff y=mx+y_A-mx_A\\[.35em]&\iff y-y_A=m(x-x_A).\end{aligned}\]
Ces transformations ne divisent pas par \(x-x_A\) : la description est valable aussi lorsque \(x=x_A\) , et donne alors \(y=y_A\) .
Exemple · Point et pente
La droite de pente \(3/2\) passant par \(A(-2;3)\) vérifie
\[y-3=\frac32(x+2),\]
donc
\[\boxed{y=\frac32x+6}
\qquad\text{ou}\qquad
\boxed{3x-2y+12=0}.\]
Avec deux points
Méthode · Toujours commencer par \(\vect{AB}\)
Pour la droite passant par deux points distincts \(A\) et \(B\) :
calcule \(\vect{AB}=(x_B-x_A;y_B-y_A)\) ;
utilise \(\vect{AB}\) comme vecteur directeur dans
\[(y_B-y_A)(x-x_A)-(x_B-x_A)(y-y_A)=0 ;\]
développe, réduis, puis vérifie l'équation avec \(A\) et \(B\) .
Cette méthode fonctionne aussi lorsque la droite est verticale.
Exemple · Deux points
Avec \(A(-1;2)\) et \(B(3;-2)\) ,
\[\vect{AB}=(4;-4).\]
Ainsi,
\[-4(x+1)-4(y-2)=0,\]
d'où, après simplification,
\[\boxed{x+y-1=0}.\]
Attention · Le quotient de pente peut échouer
Pour deux points distincts, si \(x_A=x_B\) , le quotient \((y_B-y_A)/(x_B-x_A)\) est impossible. La droite est alors verticale et son équation est \(x=x_A\) . La méthode par vecteur directeur et déterminant fonctionne pour toute paire de points distincts.
À toi d’essayer
La verticale fait partie de la méthode Détermine la droite passant par \(A(2;-1)\) et \(B(2;4)\) avec un vecteur directeur. Compare avec la situation où l'on te donne deux fois le point \(A\) . Dans ce second cas, obtient-on une droite unique ?
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste Calcule les deux différences de coordonnées. Pour les points distincts, la formule par déterminant reste valable même si la première différence est nulle.
Indice 2 · Un pas de plus Pour \(A\) et \(B\) , le vecteur est \((0;5)\) et la relation devient \(5(x-2)=0\) . Pour \(A\) et \(A\) , le déplacement est nul.
Voir l’explication Comme \(A\ne B\) , le vecteur \((0;5)\) est non nul et dirige la droite. Son équation se simplifie en \(x=2\) ; aucune pente n'est à calculer. Si les deux points sont confondus, le déterminant avec le vecteur nul vaut zéro pour tous les points du plan : il ne sélectionne plus une droite. Une infinité de droites passe par un seul point. Réessaie : traite \(C(-3;4)\) et \(D(1;4)\) . Vérification : \(\vect{CD}=(4;0)\) et \(-4(y-4)=0\) , donc l'horizontale \(y=4\) .
Comparer deux droites Parallèles, confondues ou sécantes
Théorème · Critère cartésien
Soient
\[d:ax+by+c=0,
\qquad
d':a'x+b'y+c'=0.\]
Les deux couples \((a;b)\) et \((a';b')\) sont supposés non nuls. Ici, le mot parallèle inclut le cas de droites confondues. Alors
\[\boxed{d\parallel d'\ \ssi\ ab'-a'b=0.}\]
Si \(ab'-a'b\neq0\) , les deux droites sont sécantes en un unique point.
Démonstration · Comparer les vecteurs directeurs
Les vecteurs \(\vec u=(-b;a)\) et \(\vec u'=(-b';a')\) dirigent respectivement \(d\) et \(d'\) . Les droites sont parallèles si et seulement si ces vecteurs sont colinéaires. Or
\[\begin{aligned}\det(\vec u,\vec u') &= (-b)a'-a(-b')\\[.35em]&= ab'-a'b.\end{aligned}\]
La nullité de ce déterminant donne exactement le critère annoncé.
Le cas des équations réduites
Propriété · Comparer les pentes
Pour
\[d:y=mx+p\]
\[\text{et }d':y=m'x+p'\]
si \(m\neq m'\) , les droites sont sécantes ;
si \(m=m'\) et \(p\neq p'\) , elles sont parallèles distinctes ;
si \(m=m'\) et \(p=p'\) , elles sont confondues.
Exemple · Des coefficients presque proportionnels
Les droites
\[d:2x-3y+1=0
\quad\text{et}\quad
d':-4x+6y+5=0\]
sont parallèles car \(2\times6-(-4)\times(-3)=0\) . Elles ne sont pas confondues : multiplier la première équation par \(-2\) donnerait une constante \(-2\) , et non \(5\) .
À toi d’essayer
Vérifier aussi la constante Compare \(d:x-2y+3=0\) à \(e:2x-4y+6=0\) et à \(f:2x-4y+7=0\) . Les vecteurs directeurs permettent-ils à eux seuls de distinguer \(e\) de \(f\) ?
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste Les coefficients de \(x\) et de \(y\) sont proportionnels dans les trois équations. Choisis un point simple de \(d\) , par exemple avec \(x=1\) .
Indice 2 · Un pas de plus On obtient \(A(1;2)\in d\) . Calcule les membres de gauche de \(e\) et de \(f\) en ce point.
Voir l’explication L'équation de \(e\) vaut deux fois celle de \(d\) , constante comprise : \(e=d\) . Pour \(A(1;2)\) ,
\[\begin{aligned}2(1)-4(2)+6&=0,\\[.35em]2(1)-4(2)+7&=1.\end{aligned}\]
Ainsi \(f\) possède la même direction mais ne passe pas par \(A\) : elle est parallèle distincte de \(d\) . Les directions ne suffisent pas à fixer la position. Réessaie : remplace le membre de gauche de \(f\) par \(-3x+6y-9\) . Tu retrouves la même droite que \(d\) , puisque tous les coefficients ont été multipliés par \(-3\) .
Trouver un point d'intersection Résoudre un système de deux équations
Méthode · Trois étapes indispensables
Pour trouver l'intersection de deux droites sécantes :
résous le système formé par leurs deux équations ;
écris les deux coordonnées du point obtenu ;
remplace dans les deux équations pour vérifier.
Tu peux utiliser la substitution ou une combinaison linéaire.
Exemple · Deux équations réduites
Pour
\[d:y=2x-3,
\qquad
d':y=-x+6,\]
Les deux expressions de \(y\) doivent coïncider :
\[\begin{aligned}2x-3&=-x+6,\\[.35em]3x&=9,\\[.35em]x&=3.\end{aligned}\]
On reporte cette abscisse dans les deux équations :
\[\begin{aligned}2(3)-3&=3,\\[.35em]-3+6&=3.\end{aligned}\]
Les deux ordonnées concordent. L'intersection est
\[\boxed{I(3;3)}.\]
Exemple · Deux équations cartésiennes
Résolvons
\[\begin{cases}
2x+y-4=0,\\
x-y-2=0.
\end{cases}\]
La deuxième équation donne \(x=y+2\) . En remplaçant dans la première,
\[2(y+2)+y-4=0,\]
On développe, puis on réduit :
\[\begin{aligned}2y+4+y-4&=0,\\[.35em]3y&=0,\\[.35em]y&=0.\end{aligned}\]
La seconde équation donne alors
\[\begin{aligned}x &= 0+2\\[.35em] &= 2.\end{aligned}\]
On vérifie \(2(2)+0-4=0\) et \(2-0-2=0\) ; les deux droites se coupent en \(\boxed{I(2;0)}\) .
Une preuve à construire
Pourquoi garder une équation après avoir additionné Pour le système \(2x+y=4\) et \(x-y=2\) , montre que l'on peut remplacer la première équation par la somme des deux, à condition de conserver la seconde. Explique pourquoi la somme seule ne suffit pas.
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste Une solution des deux égalités vérifie leur somme. Pour prouver une équivalence, il faut aussi pouvoir retrouver les deux égalités de départ.
Indice 2 · Un pas de plus À partir de \(3x=6\) et \(x-y=2\) , soustrais la seconde égalité de la première pour retrouver \(2x+y=4\) .
Voir la preuve expliquée Toute solution du système initial vérifie \(3x=6\) et \(x-y=2\) . Réciproquement, ces deux égalités redonnent \(2x+y=4\) par soustraction. Les systèmes sont donc équivalents :
\[\begin{cases}2x+y=4\\x-y=2\end{cases}\iff\begin{cases}3x=6\\x-y=2\end{cases}\iff\begin{cases}x=2\\y=0.\end{cases}\]
La seule égalité \(3x=6\) impose \(x=2\) , mais laisse \(y\) libre : elle décrit une droite entière. Par exemple, \((2;10)\) la vérifie sans vérifier le système initial. Le point d'intersection exige les deux conditions. Réessaie : résous \(x+y=7\) et \(x-y=1\) en gardant une équation après la somme. Vérification : \((4;3)\) .
Attention · Un système peut raconter trois histoires
Une solution unique : les droites sont sécantes.
Aucune solution : elles sont parallèles distinctes.
Une infinité de solutions : elles sont confondues.
Avant de calculer longtemps, comparer les directions permet souvent de prévoir le cas rencontré.
Agrandir ↗ Les graduations représentent une unité. Le trait plein désigne \(d\) , le trait discontinu \(e\) . Lis d'abord une position probable de \(I\) ; le calcul qui suit permet d'en établir les coordonnées exactes.
À toi d’essayer
La lecture prépare le calcul exact Les droites \(d:y=\tfrac12x+1\) et \(e:y=-x+4\) semblent se croiser près de \((2;2)\) . Détermine leur point commun par le calcul, vérifie ses deux coordonnées, puis explique ce qui se passe si \(e\) est remplacée par \(y=\tfrac12x+4\) .
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste Au point commun, les deux expressions de \(y\) donnent le même nombre. Résous d'abord une équation en \(x\) .
Indice 2 · Un pas de plus L'équation est \(\tfrac12x+1=-x+4\) , soit \(\tfrac32x=3\) . Dans la variante, les termes en \(x\) s'annulent.
Voir l’explication Le calcul se déroule ainsi :
\[\begin{aligned}\tfrac12x+1&=-x+4\\[.35em]\tfrac32x&=3\\[.35em]x&=2.\end{aligned}\]
On remplace ensuite \(x\) dans chacune des deux formules : \(\tfrac12(2)+1=2\) et \(-2+4=2\) . Le point commun est exactement \((2;2)\) . Pour la variante, l'égalité des sorties donnerait \(1=4\) , impossible : les deux droites sont parallèles distinctes et n'ont aucun point commun. Réessaie : compare \(d\) à \(y=\tfrac12x+1\) . L'égalité devient \(1=1\) pour toute abscisse : on retrouve la même droite et une infinité de points communs.
Démontrer un alignement Trois méthodes légitimes
Méthode · Choisir selon les données
Pour montrer que \(A,B,C\) sont alignés, avec \(A
e B\) , tu peux :
prouver que \(\vect{AB}\) et \(\vect{AC}\) sont colinéaires avec un déterminant nul ;
déterminer l'équation de \((AB)\) puis vérifier que \(C\) la satisfait ;
comparer les pentes, seulement si les quotients utilisés sont définis.
La méthode par équation est souvent la plus lisible lorsqu'une droite est déjà donnée. Si deux points sont confondus, les trois points sont alignés au sens où une droite les contient ; il faut choisir deux points distincts pour nommer une droite unique.
Exemple · Une seule équation pour trois points
La droite passant par \(A(0;1)\) et \(B(2;5)\) a pour pente
\[\begin{aligned}m &= \frac{5-1}{2-0}\\[.35em]&= 2,\end{aligned}\]
donc pour équation \(y=2x+1\) . Or \(2\times5+1=11\) , donc \(C(5;11)\) appartient à cette droite. Les points \(A,B,C\) sont alignés.
Attention · Ne pas comparer seulement deux pentes mal définies
Si deux points distincts ont la même abscisse, leur droite est verticale. Écrire une pente demanderait une division par zéro. Une équation \(x=k\) ou un déterminant évite ce piège.
Programmer une équation en traitant le cas sans direction
Le programme traduit la formule obtenue par déterminant. Ces calculs n'exigent aucune division ; les coordonnées entières restent exactes en Python.
def equation_droite(xA, yA, xB, yB):
r = xB - xA
s = yB - yA
if r == 0 and s == 0:
return None
a = s
b = -r
c = r * yA - s * xA
return a, b, c
print(equation_droite(2, -1, 2, 4)) # (5, 0, -10)Le triplet retourné signifie \(ax+by+c=0\) . La valeur spéciale None signifie ici que les deux points sont confondus : les données ne choisissent pas une droite unique. Avec des mesures arrondies ou des nombres décimaux en machine, l'égalité à zéro demande une analyse de précision ; le programme ne certifie pas une direction issue de mesures incertaines.
À toi d’essayer
Expliquer la sortie, y compris l'absence de droite unique Prévois les sorties de equation_droite(0, 1, 2, 5) et de equation_droite(1, 3, 1, 3). Traduis la première sortie en une équation simplifiée. Pourquoi ne faut-il pas remplacer la deuxième sortie par \((0,0,0)\) en disant « voici la droite » ?
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste Calcule \(r\) , \(s\) , puis \(c=ry_A-sx_A\) . Dans le second appel, le test du programme est rencontré avant le calcul des coefficients.
Indice 2 · Un pas de plus Le premier appel donne \(r=2\) , \(s=4\) et \(c=2\) . Le second représente deux fois le même point.
Voir l’explication Le premier triplet est \((4,-2,2)\) , donc l'équation est \(4x-2y+2=0\) , ou \(2x-y+1=0\) après division par \(2\) . Les deux points vérifient cette équation. Le second appel renvoie None : une seule position ne fixe pas une direction. Le triplet \((0,0,0)\) donnerait \(0=0\) , c'est-à-dire tout le plan, pas une droite. Réessaie : prévois equation_droite(-3, 4, 1, 4). Vérification : \((0,-4,16)\) , qui décrit \(y=4\) .
Pour aller plus loin - guidé et facultatif Cette partie dépasse le socle strict. Elle est ouverte à toute personne curieuse : chaque outil supplémentaire est construit à partir des équations, des vecteurs et des distances déjà étudiés.
Décrire un demi-plan par une inégalité
Théorème · Une droite frontière, deux signes
La droite \(d:ax+by+c=0\) partage le plan en deux demi-plans :
\[ax+by+c>0
\qquad\text{et}\qquad
ax+by+c<0.\]
Avec \(\geqslant\) ou \(\leqslant\) , la droite frontière est incluse.
Exemple · Lire l'inégalité avant de colorier
\[\begin{aligned}&2x-y+1\geqslant0
\quad\\[.35em]&\Longleftrightarrow \quad
y\leqslant2x+1.\end{aligned}\]
Le point \(O(0;0)\) convient car \(1\geqslant0\) . On colorie donc le côté contenant l'origine, frontière comprise.
Agrandir ↗ Un lieu géométrique qui devient une parabole
Théorème · Équidistance d'un point et d'un axe
Soit \(F(0;1)\) . L'ensemble des points \(M(x;y)\) équidistants de \(F\) et de l'axe des abscisses possède l'équation
\[\boxed{y=\frac{x^2+1}{2}}.\]
Cette courbe n'est pas une droite : c'est une parabole.
Démonstration · Traduire une phrase géométrique en équation
La distance de \(M(x;y)\) à \(F(0;1)\) vaut
\[MF=\sqrt{x^2+(y-1)^2}.\]
La distance de \(M\) à l'axe des abscisses vaut \(|y|\) . La condition d'équidistance s'écrit donc
\[\sqrt{x^2+(y-1)^2}=|y|.\]
Les deux membres étant positifs ou nuls, leur égalité équivaut à celle de leurs carrés :
\[x^2+(y-1)^2=y^2.\]
Après développement et simplification,
\[x^2-2y+1=0,\]
d'où \(y=(x^2+1)/2\) . Réciproquement, cette expression est positive et les calculs se remontent : chaque point de la courbe vérifie bien l'équidistance.
Agrandir ↗ Distance d'un point à une droite
Théorème · Formule de distance
Pour \(d:ax+by+c=0\) et \(P(x_P;y_P)\) ,
\[\boxed{\operatorname{dist}(P,d)=
\frac{|ax_P+by_P+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}.}\]
Démonstration · Une aire de parallélogramme cachée
Prenons \(A(x_A;y_A)\) sur \(d\) et le vecteur directeur \(\vec u=(-b;a)\) . Comme \(ax_A+by_A+c=0\) ,
\[ax_P+by_P+c=a(x_P-x_A)+b(y_P-y_A).\]
Ce nombre est le déterminant \(\det(\vect{AP},\vec u)\) . Sa valeur absolue est l'aire du parallélogramme construit sur \(\vect{AP}\) et \(\vec u\) . Cette aire vaut aussi
\[\norme{\vec u}\times\operatorname{dist}(P,d).\]
Or \(\norme{\vec u}=\sqrt{a^2+b^2}\) . En divisant, on obtient la formule.
Exemple · Une distance exacte
Pour \(d:3x+4y-12=0\) et \(O(0;0)\) ,
\[\begin{aligned}\operatorname{dist}(O,d) &= \frac{|-12|}{\sqrt{3^2+4^2}}\\[.35em]&= \boxed{\frac{12}{5}}.\end{aligned}\]
Théorème · Formules de Cramer dans le plan
Pour deux droites sécantes
\[ax+by+c=0,
\qquad
a'x+b'y+c'=0,\]
posons \(\Delta=ab'-a'b\neq0\) . Leur point d'intersection vérifie
\[\boxed{x=\frac{bc'-b'c}{\Delta}},
\qquad
\boxed{y=\frac{ca'-ac'}{\Delta}}.\]
Démonstration · Éliminer sans deviner
Multiplions la première équation par \(b'\) et la seconde par \(b\) , puis soustrayons : les termes en \(y\) disparaissent et
\[(ab'-a'b)x+b'c-bc'=0.\]
Ainsi \(\Delta x=bc'-b'c\) . Une élimination analogue des termes en \(x\) donne \(\Delta y=ca'-ac'\) . Comme \(\Delta\neq0\) , on peut diviser. Ces formules condensent la méthode d'élimination ; elles ne la remplacent pas.
Exemple · Appliquer les formules sans perdre les signes
Considérons
\[d:2x+y-4=0,
\qquad
d':x-y-2=0.\]
Ici, \(a=2\) , \(b=1\) , \(c=-4\) , \(a'=1\) , \(b'=-1\) et \(c'=-2\) . Ainsi,
\[\begin{aligned}\Delta &= 2\times(-1)-1\times1\\[.35em]&= -3,\end{aligned}\]
puis
\[\begin{aligned}x &= \frac{1\times(-2)-(-1)\times(-4)}{-3}\\[.35em]&= 2\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}y &= \frac{(-4)\times1-2\times(-2)}{-3}\\[.35em]&= 0.\end{aligned}\]
Le point d'intersection est donc \(\boxed{P(2;0)}\) . On termine toujours par vérifier ce point dans les deux équations.
Exercices Pour chaque exercice, rédige les étapes et nomme les propriétés utilisées. Les étoiles indiquent une progression ; elles ne ferment la porte à personne.
Exercice 1 ★☆☆ : Appartenance à une droite
On considère la droite \(d:2x-3y+4=0\) .
Détermine si \(A(1;2)\) , \(B(-2;0)\) et \(C(0;1)\) appartiennent à \(d\) .
Trouve l'ordonnée du point de \(d\) d'abscisse \(4\) .
Trouve l'abscisse du point de \(d\) d'ordonnée \(-2\) .
Exercice 2 ★☆☆ : Lire des vecteurs directeurs
Donne un vecteur directeur de chacune des droites suivantes :
\[d_1:3x+2y-7=0,
\qquad
d_2:x=4,
\qquad
d_3:y=-2x+5.\]
Le vecteur \((4;-6)\) dirige-t-il \(d_1\) ? Justifie.
Écris \(d_1:4x-2y+6=0\) sous forme réduite.
Écris \(d_2:y=-\dfrac34x+2\) sous forme cartésienne à coefficients entiers.
Explique pourquoi \(d_3:x=-5\) n'a pas d'équation réduite.
Exercice 4 ★☆☆ : Un point et une pente
Détermine les équations réduite et cartésienne de la droite de pente \(3/2\) passant par \(A(-2;3)\) . Vérifie ton résultat avec les coordonnées de \(A\) .
Exercice 5 ★★☆ : Un point et une direction
On donne \(A(1;-2)\) et \(\vec u=(4;3)\) .
Détermine une équation cartésienne de la droite \(d\) passant par \(A\) et dirigée par \(\vec u\) .
Teste l'appartenance de \(B(5;1)\) et de \(C(-3;-5)\) à \(d\) .
Donne deux autres vecteurs directeurs de \(d\) .
Exercice 6 ★★☆ : Une droite par deux points
Soient \(A(-3;1)\) et \(B(2;6)\) .
Calcule \(\vect{AB}\) .
Détermine une équation cartésienne de \((AB)\) par le déterminant.
Déduis-en son équation réduite et sa pente.
Exercice 7 ★★☆ : Tracer efficacement
Trace dans un même repère les droites
\[d_1:y=-\frac12x+2,
\qquad
d_2:x=3,
\qquad
d_3:2x-y+1=0.\]
Pour chacune, indique les deux points utilisés pour construire le tracé.
Exercice 8 ★★☆ : Familles de parallèles
On considère
\[\begin{aligned}d_1:2x-3y+1 &=0,\\[.35em]d_2:-4x+6y+5 &=0,\\[.35em]d_3:y &=\frac23x-1,\\[.35em]d_4:3x+2y-7 &=0.\end{aligned}\]
Regroupe les droites parallèles et précise si certaines sont confondues.
Exercice 9 ★★☆ : Confondues ou distinctes ?
On donne \(d:3x-6y+9=0\) et
\[d_1:x-2y+3=0,
\qquad
d_2:-x+2y-3=0,
\qquad
d_3:6x-12y+9=0.\]
Compare chacune des droites \(d_1,d_2,d_3\) à \(d\) .
Exercice 10 ★★☆ : Deux intersections
Trouve l'intersection de \(d_1:y=2x-1\) et \(d_2:y=-x+5\) .
Trouve l'intersection de \(d_3:2x+y=7\) et \(d_4:x-y=2\) .
Vérifie chaque point dans les deux équations correspondantes.
Exercice 11 ★★☆ : Alignement de points
On donne \(A(-2;-1)\) , \(B(1;5)\) , \(C(3;9)\) et \(D(4;10)\) .
Détermine une équation de \((AB)\) .
Montre que \(A,B,C\) sont alignés.
Le point \(D\) appartient-il à \((AB)\) ?
Retrouve les deux conclusions avec des déterminants.
Exercice 12 ★★☆ : Une droite dépendant d'un paramètre
Pour \(k\in\R\) , on considère
\[d_k:(k-1)x+2y-3=0\]
et la droite \(d:x+2y+1=0\) .
Pour quelle valeur de \(k\) les droites \(d_k\) et \(d\) sont-elles parallèles ?
Sont-elles alors confondues ?
Pour \(k\neq1\) , détermine l'intersection de \(d_k\) avec l'axe des abscisses.
Que se passe-t-il pour \(k=1\) ?
Exercice 13 ★★★ : Un demi-plan
On considère l'inégalité
\[2x-y+1\geqslant0.\]
Écris-la sous la forme \(y\leqslant mx+p\) .
Trace sa droite frontière.
Détermine si \(A(0;0)\) , \(B(0;2)\) et \(C(-1;-1)\) appartiennent à la région.
Représente la région et indique si la frontière est incluse.
Exercice 14 ★★★ : Distance à une droite
On donne \(d:3x+4y-12=0\) et \(O(0;0)\) .
Calcule directement \(\operatorname{dist}(O,d)\) avec la formule de l'approfondissement.
Détermine l'équation de la droite passant par \(O\) et perpendiculaire à \(d\) . Tu peux utiliser que, pour deux droites non verticales perpendiculaires, le produit des pentes vaut \(-1\) .
Trouve son intersection \(H\) avec \(d\) .
Calcule \(OH\) et vérifie la première réponse.
Exercice 15 ★★★ : Construire une parabole par équidistance
Soit \(F(0;2)\) . On cherche les points \(M(x;y)\) équidistants de \(F\) et de l'axe des abscisses.
Traduis l'équidistance par une égalité de distances.
Démontre que le lieu possède l'équation \(y=\dfrac{x^2}{4}+1\) .
Trouve les points du lieu d'abscisses \(-2\) , \(0\) et \(2\) .
Vérifie directement l'équidistance pour le point d'abscisse \(0\) .
Corrigés détaillés Corrigé 1
Corrigé 2
Démonstration · Passer d'une équation à une direction
Pour \(d_1:3x+2y-7=0\) , le vecteur \((-b;a)\) donne
\[\boxed{\vec u_1=(-2;3)}.\]
La droite \(d_2:x=4\) est verticale, donc \(\boxed{\vec u_2=(0;1)}\) convient. Pour \(d_3:y=-2x+5\) , un déplacement de \(1\) horizontalement produit un déplacement de \(-2\) verticalement, donc
\[\boxed{\vec u_3=(1;-2)}.\]
Enfin,
\[(4;-6)=-2(-2;3),\]
donc \((4;-6)\) dirige bien \(d_1\) .
Corrigé 3
Corrigé 4
Démonstration · Utiliser la forme point-pente
La formule \(y-y_A=m(x-x_A)\) donne
\[y-3=\frac32(x+2).\]
Ainsi,
\[\boxed{y=\frac32x+6}.\]
En multipliant par \(2\) et en regroupant,
\[\boxed{3x-2y+12=0}.\]
Le contrôle avec \(A(-2;3)\) donne \(3(-2)-2\times3+12=0\) .
Corrigé 5
Démonstration · Le déterminant évite de chercher la pente
Avec \(A(1;-2)\) et \(\vec u=(4;3)\) ,
\[3(x-1)-4(y+2)=0,\]
donc
\[\boxed{d:3x-4y-11=0}.\]
Pour \(B(5;1)\) ,
\[3\times5-4\times1-11=0,\]
et pour \(C(-3;-5)\) ,
\[3\times(-3)-4\times(-5)-11=0.\]
Ainsi \(\boxed{B,C\in d}\) . Par exemple, \((8;6)=2\vec u\) et \((-4;-3)=-\vec u\) sont deux autres vecteurs directeurs.
Corrigé 6
Démonstration · Deux points donnent une direction
\[\begin{aligned}\vect{AB} &= (2-(-3);6-1)\\[.35em]&= \boxed{(5;5)}.\end{aligned}\]
La relation de colinéarité avec \(\vect{AM}=(x+3;y-1)\) donne
\[5(x+3)-5(y-1)=0.\]
Après division par \(5\) ,
\[\boxed{x-y+4=0}.\]
Ainsi
\[\boxed{y=x+4},
\qquad
\boxed{m=1}.\]
Corrigé 7
Démonstration · Deux points bien choisis par droite
Pour \(d_1:y=-\dfrac12x+2\) , on peut utiliser \((0;2)\) et \((4;0)\) . Pour \(d_2:x=3\) , on choisit par exemple \((3;0)\) et \((3;2)\) . Enfin,
\[\begin{aligned}&d_3:2x-y+1=0
\quad\\[.35em]&\Longleftrightarrow \quad
y=2x+1.\end{aligned}\]
On peut donc placer \((0;1)\) et \((1;3)\) , ou encore \((-1/2;0)\) . Chaque paire contient deux points distincts et détermine entièrement la droite correspondante.
Corrigé 8
Démonstration · Comparer les pentes et les constantes
On transforme les trois premières équations :
\[d_1:y=\frac23x+\frac13,
\qquad
d_2:y=\frac23x-\frac56,
\qquad
d_3:y=\frac23x-1.\]
Elles ont la même pente \(2/3\) mais des ordonnées à l'origine différentes : elles sont donc parallèles deux à deux et distinctes. Pour \(d_4:3x+2y-7=0\) ,
\[y=-\frac32x+\frac72.\]
Sa pente est différente ; \(d_4\) est sécante aux trois autres. Aucune des quatre droites n'est confondue avec une autre.
Corrigé 9
Démonstration · La constante compte autant que la direction
En divisant l'équation de \(d\) par \(3\) ,
\[d:x-2y+3=0.\]
Ainsi \(\boxed{d_1=d}\) . En multipliant cette équation par \(-1\) , on obtient
\[-x+2y-3=0,\]
donc \(\boxed{d_2=d}\) . Pour \(d_3\) , la division par \(6\) donne
\[x-2y+\frac32=0.\]
La direction est la même, mais la constante diffère : \(\boxed{d_3\parallel d}\) et les deux droites sont distinctes.
Corrigé 10
Corrigé 11
Démonstration · Équation puis déterminants
\[\begin{aligned}\vect{AB} &= (3;6)\\[.35em]&= 3(1;2).\end{aligned}\]
La droite \((AB)\) a donc pour pente \(2\) et passe par \(A(-2;-1)\) :
\[y+1=2(x+2),\]
d'où
\[\boxed{(AB):y=2x+3}.\]
Pour \(C(3;9)\) , \(2\times3+3=9\) , donc \(C\in(AB)\) . Pour \(D(4;10)\) , \(2\times4+3=11\neq10\) , donc \(D\notin(AB)\) .
Avec les déterminants,
\[\vect{AC}=(5;10),
\qquad
\det(\vect{AB},\vect{AC})=3\times10-6\times5=0,\]
mais
\[\vect{AD}=(6;11),
\qquad
\det(\vect{AB},\vect{AD})=3\times11-6\times6=-3\neq0.\]
On retrouve les deux conclusions.
Corrigé 12
Démonstration · Un paramètre dans les coefficients
Les couples de coefficients sont \((k-1;2)\) et \((1;2)\) . Le parallélisme exige
\[(k-1)\times2-1\times2=0,\]
donc \(2k-4=0\) et
\[\boxed{k=2}.\]
Pour cette valeur,
\[d_2:x+2y-3=0
\quad\text{et}\quad
d:x+2y+1=0.\]
Les droites sont parallèles distinctes, car leurs constantes diffèrent.
Sur l'axe des abscisses, \(y=0\) . Si \(k\neq1\) ,
\[(k-1)x-3=0,\]
donc l'intersection est
\[\boxed{\left(\frac{3}{k-1};0\right)}.\]
Pour \(k=1\) , l'équation devient \(2y-3=0\) , soit \(y=3/2\) : la droite est horizontale et ne rencontre pas l'axe des abscisses.
Corrigé 13
Démonstration · Frontière puis point-test
\[\begin{aligned}&2x-y+1\geqslant0
\quad\\[.35em]&\Longleftrightarrow \quad
\boxed{y\leqslant2x+1}.\end{aligned}\]
La frontière est la droite \(y=2x+1\) , que l'on peut tracer avec \((0;1)\) et \((1;3)\) .
Pour \(A(0;0)\) , le membre de gauche vaut \(1>0\) : \(A\) est dans l'intérieur. Pour \(B(0;2)\) , il vaut \(-1<0\) : \(B\) est à l'extérieur. Pour \(C(-1;-1)\) , il vaut
\[-2+1+1=0,\]
donc \(C\) est sur la frontière. Comme l'inégalité contient le signe \(\geqslant\) , la frontière est incluse. On colorie le demi-plan situé sous la droite.
Corrigé 14
Démonstration · Deux calculs de la même distance
La formule donne directement
\[\begin{aligned}\operatorname{dist}(O,d) &= \frac{|3\times0+4\times0-12|}{\sqrt{3^2+4^2}}\\[.35em]&= \boxed{\frac{12}{5}}.\end{aligned}\]
La pente de \(d\) est \(-3/4\) . Une droite perpendiculaire possède donc la pente \(4/3\) ; celle qui passe par \(O\) a pour équation
\[y=\frac43x.\]
À l'intersection avec \(d\) ,
\[3x+4\left(\frac43x\right)-12=0,\]
donc \(25x=36\) , puis
\[\boxed{H\left(\frac{36}{25};\frac{48}{25}\right)}.\]
Enfin,
\[\begin{aligned}OH &= \sqrt{\left(\frac{36}{25}\right)^2+\left(\frac{48}{25}\right)^2}\\[.35em]&= \frac{60}{25}\\[.35em]&= \boxed{\frac{12}{5}}.\end{aligned}\]
Les deux méthodes concordent.
Corrigé 15
Démonstration · Faire naître l'équation du lieu
La distance de \(M(x;y)\) à \(F(0;2)\) vaut \(\sqrt{x^2+(y-2)^2}\) ; sa distance à l'axe des abscisses vaut \(|y|\) . L'équidistance s'écrit
\[\sqrt{x^2+(y-2)^2}=|y|.\]
En élevant au carré,
\[x^2+y^2-4y+4=y^2,\]
donc
\[\boxed{y=\frac{x^2}{4}+1}.\]
La formule obtenue donne \(y\geq1\) . Réciproquement, elle redonne l'égalité des carrés des deux distances, puis celle des distances non négatives ; aucun point parasite n'a été ajouté.
Pour \(x=-2,0,2\) , on obtient respectivement
\[\boxed{(-2;2)},
\qquad
\boxed{(0;1)},
\qquad
\boxed{(2;2)}.\]
Pour \(M(0;1)\) ,
\[\begin{aligned}MF &=1\\\text{et}\quad \operatorname{dist}(M,\text{axe des abscisses}) &= |1|\\&= 1.\end{aligned}\]
L'équidistance est bien vérifiée.
Fiche-mémoire Définition · Équation cartésienne
\[d:ax+by+c=0,
\qquad
(a;b)\neq(0;0).\]
\(M(x;y)\in d\) si et seulement si ses coordonnées vérifient l'équation.
Théorème · Vecteur directeur
Pour \(d:ax+by+c=0\) ,
\[\vec u=(-b;a).\]
Avec \(A(x_A;y_A)\) et \(\vec u=(r;s)\) :
\[s(x-x_A)-r(y-y_A)=0.\]
Définition · Équation réduite
Si \(b\neq0\) ,
\[y=mx+p,
\qquad
m=-\frac ab,
\qquad
p=-\frac cb.\]
La droite est dirigée par \((1;m)\) .
Propriété · Deux points
Pour \(A\ne B\) ,
\[\vect{AB}=(x_B-x_A;y_B-y_A).\]
Si \(x_A\neq x_B\) ,
\[m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}.\]
Pour deux points distincts, la méthode par déterminant fonctionne aussi pour une verticale.
Théorème · Positions relatives
Pour
\[d:ax+by+c=0\]
\[\text{et }d':a'x+b'y+c'=0,\]
\[\begin{aligned}d\parallel d'&\iff ab'-a'b=0.\end{aligned}\]
Sinon, elles ont une intersection unique.
Attention · Réflexes
Une verticale \(x=k\) n'a pas de pente. Vérifie une équation avec les points donnés. Vérifie une intersection dans les deux équations. Pour une région, trace d'abord la frontière.
Une droite relie la géométrie, l'algèbre et les fonctions.
Pour vérifier tes repères sans le corrigé, détermine la droite passant par \((0;3)\) et \((2;-1)\) , puis son intersection avec \(y=1\) . Explique chacune de tes étapes. Repères à consulter ensuite : \(y=-2x+3\) et \((1;1)\) . Reprends la pause correspondante si le choix d'une méthode reste incertain.
