Droites du plan · Seconde générale

Avant de commencer5 questions pour vérifier tes bases

1. Si A(1 ; 2) et B(4 ; 6), quelles sont les coordonnées du vecteur AB ?

(5 ; 8)(3 ; 4)(−3 ; −4)

2. Les vecteurs u=(2 ; −1) et v=(−6 ; 3) sont-ils colinéaires ?

Oui, v=3uNonOui, v=−3u

3. Pour f(x)=−2x+5, quelle valeur vaut f(0) ?

0−25

4. Quelle est la solution de 2x − 6 = 0 ?

−336

5. Dans un repère orthonormé, A(0 ; 0) et B(3 ; 4) sont distants de…

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Ton parcours dans cette fiche

Pourquoi étudier les droites ?

Une équation qui sélectionne exactement les bons points

Une droite dessinée contient une infinité de points. Une équation permet de les reconnaître tous sans dépendre de la précision du tracé. Pour la droite $$d$$ d'équation $$2x-y+1=0$$ , le point $$M(1;3)$$ appartient à $$d$$ car $2\times1-3+1=0$ , tandis que $$O(0;0)$$ n'y appartient pas car $1\neq0$ .

Trois langages pour le même objet

Le dessin montre la position de la droite et ses intersections avec les axes.
La direction indique comment se déplacer tout en restant sur la droite.
L'équation permet de calculer, de tester un point et de trouver une intersection.

Comprendre une équation cartésienne

Définition et condition indispensable

Tester l'appartenance d'un point

À toi d’essayer

Deux écritures peuvent sélectionner les mêmes points

Pour $$d:2x-y+1=0$$ , teste $$P(-2;-3)$$ et $$Q(1;2)$$ . Compare ensuite $$d$$ à $$d':-6x+3y-3=0$$ . Est-ce une nouvelle droite ? Explique ce qui changerait en multipliant tous les coefficients par zéro.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Calcule le membre de gauche pour chaque couple. Pour comparer les équations, regarde les trois coefficients, constante comprise.

Indice 2 · Un pas de plus

L'équation de $$d'$$ est celle de $$d$$ multipliée par $$-3$$ . Pour un nombre $$E$$ , les égalités $$E=0$$ et $$-3E=0$$ sont équivalentes.

Voir l’explication

Pour les deux points,

\begin{aligned}2(-2)-(-3)+1&=-4+3+1\\[.35em]&=0,\\[.35em]2(1)-2+1&=1.\end{aligned}

Ainsi $P\in d$ et $Q\notin d$ . Multiplier une équation par $$-3$$ conserve exactement ses solutions : on peut revenir en divisant par $$-3$$ . Donc $$d'=d$$ . En multipliant par zéro, on obtiendrait $$0=0$$ , vrai pour tous les points : cette opération perd l'information qui sélectionnait la droite. Réessaie : $$4x-2y+2=0$$ et $$4x-2y+3=0$$ décrivent-elles $$d$$ ? La première oui ; la seconde non, comme le montre le test de $$P$$ .

Droites horizontales et verticales

À toi d’essayer

Une coordonnée fixée, l'autre libre

Donne trois points de $$x=3$$ et trois points de $$y=-2$$ . Que représente le système formé par ces deux équations ? Compare avec les équations $$0x+0y=0$$ et $$0x+0y=5$$ .

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Pour $$x=3$$ , seule l'abscisse est imposée. Pour le système, les deux conditions doivent être satisfaites par un même point.

Indice 2 · Un pas de plus

Le point commun doit avoir simultanément l'abscisse $$3$$ et l'ordonnée $$-2$$ . Dans les deux dernières égalités, le membre de gauche vaut toujours zéro.

Voir l’explication

Les points $$(3;0)$$ , $$(3;1)$$ et $$(3;-2)$$ sont sur la verticale ; $$(0;-2)$$ , $$(1;-2)$$ et $$(3;-2)$$ sont sur l'horizontale. Leur intersection contient exactement $$I(3;-2)$$ . L'équation $$0=0$$ décrit le plan entier, tandis que $$0=5$$ ne décrit aucun point. Elles ne définissent donc pas des droites. Réessaie : trouve l'intersection de $$x=-1$$ et $$y=4$$ , puis explique pourquoi la verticale n'est pas une fonction $$y=f(x)$$ . Vérification : $$(-1;4)$$ ; pour $$x=-1$$ , il y a plusieurs ordonnées sur la verticale, et non une sortie unique.

Relier une droite à un vecteur directeur

Définition

À toi d’essayer

Une direction ne fixe pas la position

La droite $$d$$ passe par $$A(2;-1)$$ et a pour vecteur directeur $\vec u=(3;2)$ . Construis les points $$B$$ et $$C$$ tels que $\vect{AB}=\vec u$ et $\vect{AC}=-2\vec u$ . Le vecteur nul dirige-t-il $$d$$ ? Une autre droite peut-elle avoir le même vecteur directeur ?

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Ajoute les coordonnées du déplacement à celles du point de départ ; pour $$C$$ , calcule d'abord $-2\vec u$ .

Indice 2 · Un pas de plus

On a $-2\vec u=(-6;-4)$ . La direction est conservée lorsque le multiplicateur est non nul, même si le sens change.

Voir l’explication

On obtient $$B(5;1)$$ et $$C(-4;-5)$$ :

\begin{aligned}x_C &= 2-6\\[.35em]&= -4,\\[.35em]y_C &= -1-4\\[.35em]&= -5.\end{aligned}

Les trois points sont sur la même droite car les déplacements depuis $$A$$ sont colinéaires à $\vec u$ . Le vecteur nul n'a pas de direction privilégiée et n'est jamais un vecteur directeur. Une parallèle passant par un point extérieur à $$d$$ possède aussi la direction $$(3;2)$$ : le point connu est nécessaire pour fixer la position. Réessaie : trouve le point $$D$$ tel que $\vect{AD}=\tfrac12\vec u$ . Vérification : $$D(7/2;0)$$ .

D'une équation à une direction

D'un point et d'une direction vers une équation

Une preuve à construire

Construire l'équation à partir d'un déplacement

Soient $$A(x_A;y_A)$$ et $\vec u=(r;s)\ne(0;0)$ . Avec un déterminant, prouve que la droite passant par $$A$$ de direction $\vec u$ a pour équation $$s(x-x_A)-r(y-y_A)=0$$ . Vérifie que les coefficients de $$x$$ et de $$y$$ ne sont pas tous deux nuls.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Un point $$M$$ est sur la droite si et seulement si $\vect{AM}$ est colinéaire au vecteur directeur non nul. Le point $$A$$ lui-même doit aussi être conservé.

Indice 2 · Un pas de plus

Écris $\vect{AM}=(x-x_A;y-y_A)$ et calcule $\det(\vect{AM},\vec u)$ . Développe seulement après avoir exprimé la colinéarité.

Voir la preuve expliquée

Pour tout point $$M$$ , le critère du déterminant donne

\begin{aligned}M\in d&\iff\det(\vect{AM},\vec u)=0\\[.35em]&\iff s(x-x_A)-r(y-y_A)=0\\[.35em]&\iff sx-ry+(ry_A-sx_A)=0.\end{aligned}

On reconnaît $$a=s$$ , $$b=-r$$ et $$c=ry_A-sx_A$$ . Comme $(r;s)\ne(0;0)$ , on a $(a;b)\ne(0;0)$ : c'est bien une équation cartésienne de droite. Pour $$M=A$$ , le déplacement est nul et le déterminant aussi ; ce point n'est pas exclu. Réciproquement, chaque point vérifiant l'équation a un déplacement colinéaire à $\vec u$ , donc appartient à la droite. Les deux descriptions donnent le même ensemble. À reconstruire : prends $$A(4;1)$$ et $\vec u=(0;2)$ . Tu obtiens $$2(x-4)=0$$ , donc la verticale $$x=4$$ , sans division par une coordonnée nulle.

Comprendre l'équation réduite et la pente

Passer de $$ax+by+c=0$$ à $$y=mx+p$$

Lire la pente comme un déplacement

Une preuve à construire

Pourquoi deux points donnent le même taux

Soient $$A$$ et $$B$$ deux points d'une droite $$y=mx+p$$ avec $x_A\ne x_B$ . Démontre que $$(y_B-y_A)/(x_B-x_A)=m$$ . Explique pourquoi inverser simultanément l'ordre des deux différences conserve la pente.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Écris l'équation une fois pour $$A$$ , une fois pour $$B$$ , puis soustrais. Le nombre $$p$$ doit disparaître.

Indice 2 · Un pas de plus

Le dénominateur $$x_B-x_A$$ est non nul. En inversant le parcours, les deux différences sont multipliées par $$-1$$ .

Voir la preuve expliquée

On calcule

\begin{aligned}y_B-y_A&=(mx_B+p)-(mx_A+p)\\[.35em]&=m(x_B-x_A).\end{aligned}

La division par $x_B-x_A\ne0$ donne le taux $$m$$ . Dans l'autre sens,

\begin{aligned}\frac{y_A-y_B}{x_A-x_B} &= \frac{-(y_B-y_A)}{-(x_B-x_A)}\\[.35em]&= m.\end{aligned}

Changer le sens dans une seule des différences introduirait un signe erroné. Cette preuve vaut pour chaque paire de points de la droite ; la pente ne dépend pas de la longueur du déplacement choisi. Réessaie : avec $$A(1;1)$$ et $$B(5;3)$$ , retrouve $$1/2$$ dans les deux sens et donne l'erreur produite en ne retournant que le numérateur : $$-1/2$$ .

Schéma : Lire la pente comme un déplacement

À toi d’essayer

Lire les unités, pas l'angle du trait

Sur la figure précédente, le déplacement de $$A$$ à $$B$$ vaut $$4$$ unités horizontalement et $$2$$ verticalement. Calcule la pente. Si l'on étire seulement l'image en hauteur, les coordonnées mathématiques changent-elles ? Une droite passant par $$(1;4)$$ et $$(5;2)$$ aurait-elle la même pente ?

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Une pente est un quotient de variations de coordonnées. Un étirement de l'image change l'angle dessiné, pas les valeurs inscrites sur les axes.

Indice 2 · Un pas de plus

Pour les nouveaux points, le dénominateur est encore $$5-1=4$$ , mais le numérateur vaut $$2-4=-2$$ .

Voir l’explication

La première pente vaut $$2/4=1/2$$ . Étendre le dessin en hauteur n'altère pas les coordonnées : le quotient reste $$1/2$$ . La seconde droite a pour pente $$-2/4=-1/2$$ ; elle descend de gauche à droite. On lit donc les graduations et les sens des déplacements, sans mesurer l'angle à l'œil. Réessaie : un graphique de volume en litres selon un temps en minutes passe par $$(2;9)$$ et $$(6;3)$$ . Le taux est $$(3-9)/(6-2)=-1{,}5$$ litre par minute ; préciser les unités donne le sens du résultat.

Signe de la pente

Déterminer une équation à partir de données

Avec un point et une pente

Avec deux points

À toi d’essayer

La verticale fait partie de la méthode

Détermine la droite passant par $$A(2;-1)$$ et $$B(2;4)$$ avec un vecteur directeur. Compare avec la situation où l'on te donne deux fois le point $$A$$ . Dans ce second cas, obtient-on une droite unique ?

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Calcule les deux différences de coordonnées. Pour les points distincts, la formule par déterminant reste valable même si la première différence est nulle.

Indice 2 · Un pas de plus

Pour $$A$$ et $$B$$ , le vecteur est $$(0;5)$$ et la relation devient $$5(x-2)=0$$ . Pour $$A$$ et $$A$$ , le déplacement est nul.

Voir l’explication

Comme $A\ne B$ , le vecteur $$(0;5)$$ est non nul et dirige la droite. Son équation se simplifie en $$x=2$$ ; aucune pente n'est à calculer. Si les deux points sont confondus, le déterminant avec le vecteur nul vaut zéro pour tous les points du plan : il ne sélectionne plus une droite. Une infinité de droites passe par un seul point. Réessaie : traite $$C(-3;4)$$ et $$D(1;4)$$ . Vérification : $\vect{CD}=(4;0)$ et $$-4(y-4)=0$$ , donc l'horizontale $$y=4$$ .

Lire et tracer une droite

À partir d'une équation réduite

À partir d'une équation cartésienne

À toi d’essayer

Quand les deux axes donnent le même point

Pour tracer $$2x-y=0$$ , on pose d'abord $$x=0$$ , puis $$y=0$$ . Quels points obtient-on ? Termine la construction avec un deuxième point distinct, puis donne un vecteur directeur lisible sur ton dessin.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Les deux calculs peuvent donner l'origine. Deux fois le même point ne fixe pas une direction.

Indice 2 · Un pas de plus

Choisis maintenant $$x=1$$ . L'équation donne $$y=2$$ ; vérifie aussi le point obtenu.

Voir l’explication

Les deux intersections avec les axes sont toutes deux $$O(0;0)$$ . Il faut un autre point : avec $$x=1$$ , on a $$2-y=0$$ , donc $$B(1;2)$$ . Le vecteur $\vect{OB}=(1;2)$ dirige la droite. Une méthode de tracé doit fournir deux points distincts, pas seulement deux calculs. Réessaie : trace $$x+y=0$$ avec $$O$$ et un autre point. Tu peux choisir $$(1;-1)$$ et le vecteur $$(1;-1)$$ .

Comparer deux droites

Parallèles, confondues ou sécantes

Le cas des équations réduites

À toi d’essayer

Vérifier aussi la constante

Compare $$d:x-2y+3=0$$ à $$e:2x-4y+6=0$$ et à $$f:2x-4y+7=0$$ . Les vecteurs directeurs permettent-ils à eux seuls de distinguer $$e$$ de $$f$$ ?

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Les coefficients de $$x$$ et de $$y$$ sont proportionnels dans les trois équations. Choisis un point simple de $$d$$ , par exemple avec $$x=1$$ .

Indice 2 · Un pas de plus

On obtient $A(1;2)\in d$ . Calcule les membres de gauche de $$e$$ et de $$f$$ en ce point.

Voir l’explication

L'équation de $$e$$ vaut deux fois celle de $$d$$ , constante comprise : $$e=d$$ . Pour $$A(1;2)$$ ,

\begin{aligned}2(1)-4(2)+6&=0,\\[.35em]2(1)-4(2)+7&=1.\end{aligned}

Ainsi $$f$$ possède la même direction mais ne passe pas par $$A$$ : elle est parallèle distincte de $$d$$ . Les directions ne suffisent pas à fixer la position. Réessaie : remplace le membre de gauche de $$f$$ par $$-3x+6y-9$$ . Tu retrouves la même droite que $$d$$ , puisque tous les coefficients ont été multipliés par $$-3$$ .

Trouver un point d'intersection

Résoudre un système de deux équations

Une preuve à construire

Pourquoi garder une équation après avoir additionné

Pour le système $$2x+y=4$$ et $$x-y=2$$ , montre que l'on peut remplacer la première équation par la somme des deux, à condition de conserver la seconde. Explique pourquoi la somme seule ne suffit pas.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Une solution des deux égalités vérifie leur somme. Pour prouver une équivalence, il faut aussi pouvoir retrouver les deux égalités de départ.

Indice 2 · Un pas de plus

À partir de $$3x=6$$ et $$x-y=2$$ , soustrais la seconde égalité de la première pour retrouver $$2x+y=4$$ .

Voir la preuve expliquée

Toute solution du système initial vérifie $$3x=6$$ et $$x-y=2$$ . Réciproquement, ces deux égalités redonnent $$2x+y=4$$ par soustraction. Les systèmes sont donc équivalents :

\begin{cases}2x+y=4\\x-y=2\end{cases}\iff\begin{cases}3x=6\\x-y=2\end{cases}\iff\begin{cases}x=2\\y=0.\end{cases}

La seule égalité $$3x=6$$ impose $$x=2$$ , mais laisse $$y$$ libre : elle décrit une droite entière. Par exemple, $$(2;10)$$ la vérifie sans vérifier le système initial. Le point d'intersection exige les deux conditions. Réessaie : résous $$x+y=7$$ et $$x-y=1$$ en gardant une équation après la somme. Vérification : $$(4;3)$$ .

Schéma : Résoudre un système de deux équations

Les graduations représentent une unité. Le trait plein désigne $$d$$ , le trait discontinu $$e$$ . Lis d'abord une position probable de $$I$$ ; le calcul qui suit permet d'en établir les coordonnées exactes.

À toi d’essayer

La lecture prépare le calcul exact

Les droites $d:y=\tfrac12x+1$ et $$e:y=-x+4$$ semblent se croiser près de $$(2;2)$$ . Détermine leur point commun par le calcul, vérifie ses deux coordonnées, puis explique ce qui se passe si $$e$$ est remplacée par $y=\tfrac12x+4$ .

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Au point commun, les deux expressions de $$y$$ donnent le même nombre. Résous d'abord une équation en $$x$$ .

Indice 2 · Un pas de plus

L'équation est $\tfrac12x+1=-x+4$ , soit $\tfrac32x=3$ . Dans la variante, les termes en $$x$$ s'annulent.

Voir l’explication

Le calcul se déroule ainsi :

\begin{aligned}\tfrac12x+1&=-x+4\\[.35em]\tfrac32x&=3\\[.35em]x&=2.\end{aligned}

On remplace ensuite $$x$$ dans chacune des deux formules : $\tfrac12(2)+1=2$ et $$-2+4=2$$ . Le point commun est exactement $$(2;2)$$ . Pour la variante, l'égalité des sorties donnerait $$1=4$$ , impossible : les deux droites sont parallèles distinctes et n'ont aucun point commun. Réessaie : compare $$d$$ à $y=\tfrac12x+1$ . L'égalité devient $$1=1$$ pour toute abscisse : on retrouve la même droite et une infinité de points communs.

Démontrer un alignement

Trois méthodes légitimes

Programmer une équation en traitant le cas sans direction

Le programme traduit la formule obtenue par déterminant. Ces calculs n'exigent aucune division ; les coordonnées entières restent exactes en Python.

def equation_droite(xA, yA, xB, yB):
    r = xB - xA
    s = yB - yA
    if r == 0 and s == 0:
        return None
    a = s
    b = -r
    c = r * yA - s * xA
    return a, b, c

print(equation_droite(2, -1, 2, 4))  # (5, 0, -10)

Le triplet retourné signifie $$ax+by+c=0$$ . La valeur spéciale None signifie ici que les deux points sont confondus : les données ne choisissent pas une droite unique. Avec des mesures arrondies ou des nombres décimaux en machine, l'égalité à zéro demande une analyse de précision ; le programme ne certifie pas une direction issue de mesures incertaines.

À toi d’essayer

Expliquer la sortie, y compris l'absence de droite unique

Prévois les sorties de equation_droite(0, 1, 2, 5) et de equation_droite(1, 3, 1, 3). Traduis la première sortie en une équation simplifiée. Pourquoi ne faut-il pas remplacer la deuxième sortie par $$(0,0,0)$$ en disant « voici la droite » ?

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Calcule $$r$$ , $$s$$ , puis $$c=ry_A-sx_A$$ . Dans le second appel, le test du programme est rencontré avant le calcul des coefficients.

Indice 2 · Un pas de plus

Le premier appel donne $$r=2$$ , $$s=4$$ et $$c=2$$ . Le second représente deux fois le même point.

Voir l’explication

Le premier triplet est $$(4,-2,2)$$ , donc l'équation est $$4x-2y+2=0$$ , ou $$2x-y+1=0$$ après division par $$2$$ . Les deux points vérifient cette équation. Le second appel renvoie None : une seule position ne fixe pas une direction. Le triplet $$(0,0,0)$$ donnerait $$0=0$$ , c'est-à-dire tout le plan, pas une droite. Réessaie : prévois equation_droite(-3, 4, 1, 4). Vérification : $$(0,-4,16)$$ , qui décrit $$y=4$$ .

Choisir une stratégie

Pour aller plus loin - guidé et facultatif

Cette partie dépasse le socle strict. Elle est ouverte à toute personne curieuse : chaque outil supplémentaire est construit à partir des équations, des vecteurs et des distances déjà étudiés.

Décrire un demi-plan par une inégalité

Un lieu géométrique qui devient une parabole

Distance d'un point à une droite

Formules d'intersection sans substitution

Boîte à outils et erreurs à éviter

Exercices

Pour chaque exercice, rédige les étapes et nomme les propriétés utilisées. Les étoiles indiquent une progression ; elles ne ferment la porte à personne.

Exercice 1 ★☆☆ : Appartenance à une droite

On considère la droite $$d:2x-3y+4=0$$ .

Détermine si $$A(1;2)$$ , $$B(-2;0)$$ et $$C(0;1)$$ appartiennent à $$d$$ .
Trouve l'ordonnée du point de $$d$$ d'abscisse $$4$$ .
Trouve l'abscisse du point de $$d$$ d'ordonnée $$-2$$ .

Exercice 2 ★☆☆ : Lire des vecteurs directeurs

Donne un vecteur directeur de chacune des droites suivantes :

d_1:3x+2y-7=0, \qquad d_2:x=4, \qquad d_3:y=-2x+5.

Le vecteur $$(4;-6)$$ dirige-t-il $$d_1$$ ? Justifie.

Exercice 3 ★☆☆ : Changer de forme

Écris $$d_1:4x-2y+6=0$$ sous forme réduite.
Écris $d_2:y=-\dfrac34x+2$ sous forme cartésienne à coefficients entiers.
Explique pourquoi $$d_3:x=-5$$ n'a pas d'équation réduite.

Exercice 4 ★☆☆ : Un point et une pente

Détermine les équations réduite et cartésienne de la droite de pente $$3/2$$ passant par $$A(-2;3)$$ . Vérifie ton résultat avec les coordonnées de $$A$$ .

Exercice 5 ★★☆ : Un point et une direction

On donne $$A(1;-2)$$ et $\vec u=(4;3)$ .

Détermine une équation cartésienne de la droite $$d$$ passant par $$A$$ et dirigée par $\vec u$ .
Teste l'appartenance de $$B(5;1)$$ et de $$C(-3;-5)$$ à $$d$$ .
Donne deux autres vecteurs directeurs de $$d$$ .

Exercice 6 ★★☆ : Une droite par deux points

Soient $$A(-3;1)$$ et $$B(2;6)$$ .

Calcule $\vect{AB}$ .
Détermine une équation cartésienne de $$(AB)$$ par le déterminant.
Déduis-en son équation réduite et sa pente.

Exercice 7 ★★☆ : Tracer efficacement

Trace dans un même repère les droites

d_1:y=-\frac12x+2, \qquad d_2:x=3, \qquad d_3:2x-y+1=0.

Pour chacune, indique les deux points utilisés pour construire le tracé.

Exercice 8 ★★☆ : Familles de parallèles

On considère

\begin{aligned}d_1:2x-3y+1 &=0,\\[.35em]d_2:-4x+6y+5 &=0,\\[.35em]d_3:y &=\frac23x-1,\\[.35em]d_4:3x+2y-7 &=0.\end{aligned}

Regroupe les droites parallèles et précise si certaines sont confondues.

Exercice 9 ★★☆ : Confondues ou distinctes ?

On donne $$d:3x-6y+9=0$$ et

d_1:x-2y+3=0, \qquad d_2:-x+2y-3=0, \qquad d_3:6x-12y+9=0.

Compare chacune des droites $$d_1,d_2,d_3$$ à $$d$$ .

Exercice 10 ★★☆ : Deux intersections

Trouve l'intersection de $$d_1:y=2x-1$$ et $$d_2:y=-x+5$$ .
Trouve l'intersection de $$d_3:2x+y=7$$ et $$d_4:x-y=2$$ .
Vérifie chaque point dans les deux équations correspondantes.

Exercice 11 ★★☆ : Alignement de points

On donne $$A(-2;-1)$$ , $$B(1;5)$$ , $$C(3;9)$$ et $$D(4;10)$$ .

Détermine une équation de $$(AB)$$ .
Montre que $$A,B,C$$ sont alignés.
Le point $$D$$ appartient-il à $$(AB)$$ ?
Retrouve les deux conclusions avec des déterminants.

Exercice 12 ★★☆ : Une droite dépendant d'un paramètre

Pour $k\in\R$ , on considère

\[d_k:(k-1)x+2y-3=0\]

et la droite $$d:x+2y+1=0$$ .

Pour quelle valeur de $$k$$ les droites $$d_k$$ et $$d$$ sont-elles parallèles ?
Sont-elles alors confondues ?
Pour $k\neq1$ , détermine l'intersection de $$d_k$$ avec l'axe des abscisses.
Que se passe-t-il pour $$k=1$$ ?

Exercice 13 ★★★ : Un demi-plan

On considère l'inégalité

2x-y+1\geqslant0.

Écris-la sous la forme $y\leqslant mx+p$ .
Trace sa droite frontière.
Détermine si $$A(0;0)$$ , $$B(0;2)$$ et $$C(-1;-1)$$ appartiennent à la région.
Représente la région et indique si la frontière est incluse.

Exercice 14 ★★★ : Distance à une droite

On donne $$d:3x+4y-12=0$$ et $$O(0;0)$$ .

Calcule directement $\operatorname{dist}(O,d)$ avec la formule de l'approfondissement.
Détermine l'équation de la droite passant par $$O$$ et perpendiculaire à $$d$$ . Tu peux utiliser que, pour deux droites non verticales perpendiculaires, le produit des pentes vaut $$-1$$ .
Trouve son intersection $$H$$ avec $$d$$ .
Calcule $$OH$$ et vérifie la première réponse.

Exercice 15 ★★★ : Construire une parabole par équidistance

Soit $$F(0;2)$$ . On cherche les points $$M(x;y)$$ équidistants de $$F$$ et de l'axe des abscisses.

Traduis l'équidistance par une égalité de distances.
Démontre que le lieu possède l'équation $y=\dfrac{x^2}{4}+1$ .
Trouve les points du lieu d'abscisses $$-2$$ , $$0$$ et $$2$$ .
Vérifie directement l'équidistance pour le point d'abscisse $$0$$ .

Problème : Le couloir de sécurité ★★★

Partie A - La première piste

On donne $$A(-4;-1)$$ et $$B(4;3)$$ . La droite $$d_1$$ est la droite $$(AB)$$ .

Calcule $\vect{AB}$ et donne un vecteur directeur aussi simple que possible de $$d_1$$ .
Établis une équation cartésienne de $$d_1$$ à l'aide du déterminant.
Vérifie l'équation avec $$A$$ et $$B$$ .
Écris l'équation réduite de $$d_1$$ et lis sa pente.

Partie B - Une piste sécante

La droite $$d_2$$ passe par $$C(-1;5)$$ et possède pour vecteur directeur $\vec v=(3;-2)$ .

Détermine une équation cartésienne puis une équation réduite de $$d_2$$ .
Justifie que $$d_1$$ et $$d_2$$ sont sécantes sans calculer leur intersection.
Calcule leur point d'intersection $$P$$ .
Vérifie que $$P$$ appartient bien aux deux droites.

Partie C - Fermer une zone triangulaire

La droite $$d_3$$ passe par $$D(6;-2)$$ et est parallèle à $$d_1$$ .

Détermine une équation cartésienne de $$d_3$$ .
Calcule le point $Q=d_2\cap d_3$ .
Détermine l'équation de la droite $$(AQ)$$ et explique pourquoi sa forme est particulièrement simple.
Calcule l'aire exacte du triangle $$APQ$$ à l'aide d'un déterminant.

Partie D - Décrire le couloir par des inégalités

Le couloir de sécurité est la bande fermée comprise entre $$d_1$$ et $$d_3$$ .

Montre qu'un point $$M(x;y)$$ appartient au couloir si et seulement si
$x-2y+2\geqslant0 \qquad\text{et}\qquad x-2y-10\leqslant0.$
Classe les points $$O(0;0)$$ , $$R(10;0)$$ et $$S(-5;4)$$ : intérieur, frontière ou extérieur du couloir.
Explique pourquoi les deux droites frontières sont incluses.
À l'aide de la formule de distance de l'approfondissement, calcule la largeur exacte du couloir.

Partie E - Le trajet de l'équipe mobile

À l'instant repéré par le réel $$t$$ , l'équipe se trouve au point $$T_t$$ défini par

\vect{CT_t}=t\vec v, \qquad C(-1;5), \qquad \vec v=(3;-2).

Exprime les coordonnées de $$T_t$$ en fonction de $$t$$ .
Calcule $x_{T_t}-2y_{T_t}+2$ puis $x_{T_t}-2y_{T_t}-10$ .
Détermine exactement les valeurs de $$t$$ pour lesquelles $$T_t$$ appartient au couloir.
Montre que les positions extrêmes obtenues sont précisément $$P$$ et $$Q$$ .
Détermine le paramètre du milieu $$M$$ de $$[PQ]$$ , puis calcule ses coordonnées.
Montre que $$M$$ est à la même distance des deux frontières.
Calcule la longueur exacte $$PQ$$ de la portion de trajet située dans le couloir.

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Corrigé 2

Corrigé 3

Corrigé 4

Corrigé 5

Corrigé 6

Corrigé 7

Corrigé 8

Corrigé 9

Corrigé 10

Corrigé 11

Corrigé 12

Corrigé 13

Corrigé 14

Corrigé 15

Corrigé du problème

Partie A - La première piste

Partie B - Une piste sécante

Partie C - Fermer une zone triangulaire

Partie D - Décrire le couloir par des inégalités

Démonstration · Deux frontières parallèles

Posons
$F_1(x,y)=x-2y+2, \qquad F_3(x,y)=x-2y-10.$
Sur $$d_1$$ , $$F_1=0$$ et $$F_3=-12$$ . Sur $$d_3$$ , $$F_1=12$$ et $$F_3=0$$ . Entre les deux frontières, $$F_1$$ varie donc de $$0$$ à $$12$$ tandis que $$F_3=F_1-12$$ varie de $$-12$$ à $$0$$ . Le couloir est exactement décrit par
$\boxed{F_1\geqslant0} \qquad\text{et}\qquad \boxed{F_3\leqslant0}.$
Pour $$O(0;0)$$ ,
$F_1(O)=2>0, \qquad F_3(O)=-10<0.$
Donc $$O$$ est à l'intérieur. Pour $$R(10;0)$$ ,
$F_1(R)=12, \qquad F_3(R)=0,$
donc $$R$$ est sur la frontière $$d_3$$ . Pour $$S(-5;4)$$ ,
$\[F_1(S)=-11<0,\]$
donc $$S$$ est à l'extérieur.
Les signes $\geqslant$ et $\leqslant$ autorisent l'égalité : les points des deux droites frontières sont inclus.
Prenons $$A(-4;-1)$$ sur $$d_1$$ . Sa distance à $$d_3:x-2y-10=0$$ vaut
$\frac{|-4-2(-1)-10|}{\sqrt{1^2+(-2)^2}} =\frac{12}{\sqrt5}.$
La largeur exacte du couloir est donc
$\boxed{\frac{12}{\sqrt5}=\frac{12\sqrt5}{5}}.$

Partie E - Le trajet de l'équipe mobile

Démonstration · Transformer la bande en intervalle de paramètres

Comme
$\begin{aligned}\vect{CT_t} &= t(3;-2)\\[.35em] &= (3t;-2t),\end{aligned}$ $\boxed{T_t(-1+3t;5-2t)}.$
On calcule
$\begin{aligned}x_{T_t}-2y_{T_t}+2 &= (-1+3t)-2(5-2t)+2\\[.35em]&= \boxed{7t-9},\\[.35em]x_{T_t}-2y_{T_t}-10 &= (-1+3t)-2(5-2t)-10\\[.35em]&= \boxed{7t-21}.\end{aligned}$
Le point $$T_t$$ est dans le couloir si et seulement si
$7t-9\geqslant0 \qquad\text{et}\qquad 7t-21\leqslant0.$
Ainsi,
$\boxed{\frac97\leqslant t\leqslant3}.$
Pour $$t=9/7$$ ,
$\begin{aligned}T_{9/7} &= \left(-1+\frac{27}{7};5-\frac{18}{7}\right)\\[.35em]&= \left(\frac{20}{7};\frac{17}{7}\right)\\[.35em]&= P.\end{aligned}$
Pour $$t=3$$ ,
$\begin{aligned}T_3 &= (8;-1)\\[.35em]&= Q.\end{aligned}$
La portion du trajet située dans le couloir est donc exactement le segment $$[PQ]$$ .
Le paramètre du milieu est la moyenne des paramètres des extrémités :
$\begin{aligned}t_M &= \frac{\frac97+3}{2}\\[.35em]&= \boxed{\frac{15}{7}}.\end{aligned}$
Ainsi,
$\begin{aligned}M &= T_{15/7}\\[.35em]&= \boxed{\left(\frac{38}{7};\frac57\right)}.\end{aligned}$
Au point $$M$$ , les deux expressions valent
$\begin{aligned}F_1(M) &= 7\times\frac{15}{7}-9\\[.35em]&= 6\end{aligned}$ $\begin{aligned}F_3(M) &= 7\times\frac{15}{7}-21\\[.35em]&= -6.\end{aligned}$
Les distances aux deux frontières sont donc toutes deux égales à
$\boxed{\frac6{\sqrt5}}.$
Entre $P=T_{9/7}$ et $$Q=T_3$$ , la variation du paramètre vaut
$3-\frac97=\frac{12}{7}.$
Comme
$\begin{aligned}\norme{\vec v} &= \sqrt{3^2+(-2)^2}\\[.35em] &= \sqrt{13},\end{aligned}$ $\boxed{PQ=\frac{12\sqrt{13}}{7}}.$

Fiche-mémoire

Une droite relie la géométrie, l'algèbre et les fonctions.

Pour vérifier tes repères sans le corrigé, détermine la droite passant par $$(0;3)$$ et $$(2;-1)$$ , puis son intersection avec $$y=1$$ . Explique chacune de tes étapes. Repères à consulter ensuite : $$y=-2x+3$$ et $$(1;1)$$ . Reprends la pause correspondante si le choix d'une méthode reste incertain.

Maîtrise du chapitre

Validation contrôlée

Réponds aux QCM, sélectionne les bonnes propositions ou remets les étapes dans l'ordre. Le site vérifie chaque réponse avant d'ouvrir la balise suivante.

Avant le cours, vérifie tes bases

Apprendre étape par étape

Ton parcours dans cette fiche

Pourquoi étudier les droites ?

Une équation qui sélectionne exactement les bons points

Trois langages pour le même objet

Comprendre une équation cartésienne

Définition et condition indispensable

Tester l'appartenance d'un point

Droites horizontales et verticales

Relier une droite à un vecteur directeur

Définition

D'une équation à une direction

D'un point et d'une direction vers une équation

Comprendre l'équation réduite et la pente

Passer de \(ax+by+c=0\) à \(y=mx+p\)

Lire la pente comme un déplacement

Signe de la pente

Déterminer une équation à partir de données

Avec un point et une pente

Avec deux points

Lire et tracer une droite

À partir d'une équation réduite

À partir d'une équation cartésienne

Comparer deux droites

Parallèles, confondues ou sécantes

Le cas des équations réduites

Trouver un point d'intersection

Résoudre un système de deux équations

Démontrer un alignement

Trois méthodes légitimes

Programmer une équation en traitant le cas sans direction

Choisir une stratégie

Pour aller plus loin - guidé et facultatif

Décrire un demi-plan par une inégalité

Un lieu géométrique qui devient une parabole

Distance d'un point à une droite

Formules d'intersection sans substitution

Boîte à outils et erreurs à éviter

Exercices

Exercice 1 ★☆☆ : Appartenance à une droite

Exercice 2 ★☆☆ : Lire des vecteurs directeurs

Exercice 3 ★☆☆ : Changer de forme

Exercice 4 ★☆☆ : Un point et une pente

Exercice 5 ★★☆ : Un point et une direction

Exercice 6 ★★☆ : Une droite par deux points

Exercice 7 ★★☆ : Tracer efficacement

Exercice 8 ★★☆ : Familles de parallèles

Exercice 9 ★★☆ : Confondues ou distinctes ?

Exercice 10 ★★☆ : Deux intersections

Exercice 11 ★★☆ : Alignement de points

Exercice 12 ★★☆ : Une droite dépendant d'un paramètre

Exercice 13 ★★★ : Un demi-plan

Exercice 14 ★★★ : Distance à une droite

Exercice 15 ★★★ : Construire une parabole par équidistance

Problème : Le couloir de sécurité ★★★

Partie A - La première piste

Partie B - Une piste sécante

Partie C - Fermer une zone triangulaire

Partie D - Décrire le couloir par des inégalités

Partie E - Le trajet de l'équipe mobile

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Corrigé 2

Corrigé 3

Corrigé 4

Corrigé 5

Corrigé 6

Corrigé 7

Corrigé 8

Corrigé 9

Corrigé 10

Corrigé 11

Corrigé 12

Corrigé 13

Corrigé 14

Corrigé 15

Corrigé du problème

Partie A - La première piste

Partie B - Une piste sécante

Passer de $\(ax+by+c=0\)$ à $\(y=mx+p\)$