2de pro · Du modèle à l’autonomie

Probabilités et fluctuations : pas à pas

Observe un exemple expliqué, entraîne-toi avec des indices, puis résous une autre situation sur papier. Compare les étapes avant de faire le point.

Mon objectif

Retrouver mes révisions

Modéliser une expérience aléatoire

1. Observer

2. S’entraîner avec aide

Une probabilité peut valoir…

$$-0{,}2$$
$$0{,}7$$
$$1{,}4$$

Comparer avec l’explication

0,7 est possible ; 1,4 et -0,2 ne sont pas des probabilités.

3. Résoudre seul

Une boîte contient 7 jetons rouges et 3 bleus indiscernables au toucher. On en tire un uniformément. Quelle est la probabilité d’un bleu ?

Comparer avec l’explication

On lance un dé équilibré à six faces. Quelle est la probabilité d’obtenir un nombre strictement supérieur à 4 ?

Comparer avec l’explication

4. Aller plus loin

Un lot contient 99 produits conformes et 1 défectueux. Un élève annonce $P(\text{défectueux})=1/2$ car le produit est conforme ou non. Corrige son raisonnement.

Comparer avec l’explication

Combiner des événements

1. Observer

2. S’entraîner avec aide

\(P(A)=0{,}3\)

P(\overline A)=

$$1{,}3$$
$$0{,}7$$
$$0{,}3$$

Comparer avec l’explication

\begin{aligned}P(\overline A) &= 1-0{,}3\\[.35em] &= 0{,}7.\end{aligned}

3. Résoudre seul

La probabilité d’un retard est $$0{,}12$$ . Quelle est celle de ne pas être en retard ?

Comparer avec l’explication

$$P(A)=0{,}4$$ , $$P(B)=0{,}5$$ et $P(A\cap B)=0{,}2$ . Calcule $P(A\cup B)$ .

Comparer avec l’explication

4. Aller plus loin

Une expérience comporte deux essais. La probabilité de n’avoir aucun succès est $$0{,}36$$ . Quelle est la probabilité d’avoir au moins un succès ?

Comparer avec l’explication

Dénombrer avec un tableau ou un arbre

1. Observer

2. S’entraîner avec aide

Deux dés distingués donnent combien de couples ?

Comparer avec l’explication

Il y a $6\times6=36$ couples, même si certaines sommes se répètent.

3. Résoudre seul

On choisit uniformément une lettre parmi A, B, C, puis un chiffre parmi 1, 2. Liste l’univers et sa taille.

Comparer avec l’explication

Avec deux dés équilibrés indépendants, calcule la probabilité d’une somme de 4.

Comparer avec l’explication

4. Aller plus loin

Une boîte contient 2 jetons rouges et 1 bleu. On tire deux fois. Compare la probabilité de deux rouges avec remise et sans remise.

Comparer avec l’explication

Démonstration · Solution expliquée

Comprendre la question. On compare deux protocoles ; le second tirage n’a pas le même contenu disponible.

Construire la réponse.

Le premier rouge a dans les deux cas la probabilité $$2/3$$ .
Avec remise, on retrouve deux rouges sur trois jetons au second tirage :
$\begin{aligned}P(RR) &= (2/3)(2/3)\\[.35em] &= 4/9.\end{aligned}$
Sans remise, après un premier rouge, il reste un rouge et un bleu : la probabilité conditionnelle du second rouge vaut $$1/2$$ .
Le chemin sans remise vaut donc $$(2/3)(1/2)=1/3$$ .

Vérifier. $$1/3=3/9<4/9$$ : retirer un premier rouge diminue logiquement la chance de tirer encore un rouge. Conserver $$2/3$$ sans remise ignorerait ce retrait.

Conclure. Deux rouges ont la probabilité $$4/9$$ avec remise et $$1/3$$ sans remise.

Simuler et estimer une probabilité

1. Observer

Exemple · Exemple commenté

Pour estimer la probabilité d'obtenir 6, on peut utiliser :

from random import randint

def frequence(N):
    succes = 0
    for k in range(N):
        if randint(1, 6) == 6:
            succes += 1
    return succes / N

N doit être un entier strictement positif. Le compteur est créé avant la boucle ; chaque appel à randint(1,6) produit un lancer dans le modèle. Le test sélectionne uniquement la face 6 et l'incrément ajoute un succès. La division finale transforme le total en fréquence.

Si 168 succès sont obtenus en 1 000 essais, la fonction renvoie 0,168. Cette fréquence est proche de $1/6\approx0{,}1667$ , mais elle n'est pas la probabilité exacte. Un autre appel peut donner un résultat différent, ce qui est attendu pour une simulation aléatoire.

2. S’entraîner avec aide

Une fréquence observée sur 200 essais avec 46 succès vaut…

$$4{,}35$$
$$0{,}23$$
$$0{,}46$$

Comparer avec l’explication

$$46/200=0{,}23$$ , soit 23 pour cent.

3. Résoudre seul

Une simulation de 500 lancers donne 87 six. Quelle fréquence a-t-on observée ?

Comparer avec l’explication

Un programme remet succes = 0 à l’intérieur de chaque tour de boucle. Pourquoi son total est-il faux ?

Comparer avec l’explication

Démonstration · Solution expliquée

Comprendre la question. Une initialisation à chaque passage empêche le compteur de conserver l’historique.

Construire la réponse.

Au début d’un tour, l’instruction qui remet le compteur à zéro efface tous les succès des tours précédents.
Après le test de ce tour, le compteur vaut seulement zéro ou un selon son résultat.
À la fin, il ne décrit donc que le dernier essai, pas le total des essais.
La correction consiste à placer l’initialisation avant la boucle et à conserver seulement l’incrément conditionnel à l’intérieur.

Vérifier. Sur trois essais tous réussis, le programme erroné terminerait à 1 ; le compteur correct passerait successivement de 0 à 1, puis 2, puis 3.

Conclure. Il faut initialiser une seule fois avant les répétitions pour accumuler les succès.

4. Aller plus loin

Après 100 essais, une fréquence vaut $$0{,}50$$ ; après 101 essais, $$0{,}505$$ environ. Le modèle de probabilité $$0{,}5$$ est-il contredit parce que la fréquence s’est éloignée ?

Comparer avec l’explication

Observer les fluctuations d’échantillonnage

1. Observer

2. S’entraîner avec aide

Augmenter la taille de chaque échantillon tend à…

Réduire la dispersion des fréquences
Supprimer tout hasard
Changer la probabilité du modèle

Comparer avec l’explication

Augmenter n tend à réduire la dispersion des fréquences, sans supprimer tout hasard.

3. Résoudre seul

On simule 300 échantillons de 50 tirages. Que valent n, N et le nombre total de tirages ?

Comparer avec l’explication

Les fréquences sont $$0{,}18$$ , $$0{,}25$$ , $$0{,}22$$ , $$0{,}16$$ . Calcule l’étendue et exprime-la en points de pourcentage.

Comparer avec l’explication

4. Aller plus loin

Une simulation n’a produit aucune fréquence supérieure à $$0{,}7$$ . Peut-on conclure qu’une telle fréquence est impossible ?

Comparer avec l’explication

Démonstration · Solution expliquée

Comprendre la question. Une absence observée dans une simulation finie n’équivaut pas à une impossibilité dans le modèle.

Construire la réponse.

La simulation a testé seulement un nombre limité d’échantillons.
Une fréquence supérieure à 0,7 peut être possible mais assez rare pour ne pas avoir été rencontrée.
Pour affirmer l’impossibilité, il faut une contrainte du modèle ou un raisonnement montrant que l’événement a une probabilité nulle dans le cadre étudié.

Vérifier. Par exemple, même une série de lancers d’un dé peut ne contenir aucun six sans rendre la face 6 impossible. Le même principe s’applique à une fréquence extrême non observée.

Conclure. Non : on peut dire qu’aucune fréquence supérieure à 0,7 n’a été observée, pas qu’une telle fréquence est impossible.

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