Probabilités et fluctuations · Seconde professionnelle

Avant de commencer5 questions pour vérifier tes bases

1. Une bande est partagée en 5 parts égales ; 2 sont coloriées. Quelle fraction est coloriée ?

5/22/32/5

2. Une bibliothèque compte 12 emprunts lundi, 8 mardi et 15 mercredi. Combien d’emprunts sur les trois jours ?

35153

3. Quelle fraction représente exactement 0,35 ?

35/100035/1035/100

4. Pars de 4, ajoute 3, puis multiplie le résultat par 2. Quel nombre obtiens-tu ?

141110

5. Quel nombre multiplié par 4 donne 1 ?

1/40−4

Pourquoi ce chapitre ?

Les probabilités décrivent un modèle de tirage, tandis que les fréquences décrivent ce qui a été observé. La simulation aide à comprendre leur lien et leurs différences. Ton parcours. Module du programme professionnel pour les groupements A, B, C. Les automatismes, le raisonnement et les outils numériques se travaillent tout au long du parcours.

Modéliser une expérience aléatoire.
Combiner des événements.
Dénombrer avec un tableau ou un arbre.
Simuler et estimer une probabilité.
Observer les fluctuations d’échantillonnage.

L’idée avant la formule

Dans une boîte bien mélangée, compter les issues favorables suffit si chaque objet a la même chance d’être tiré. Répéter le tirage fait apparaître des fluctuations.

Le cours formel

Modéliser une expérience aléatoire

Intuition · Construire la notion pas à pas

Décrire l'expérience avant de calculer. Une expérience aléatoire possède plusieurs résultats possibles et l'on ne connaît pas à l'avance celui qui se réalisera. Chaque résultat est une issue ; l'ensemble des issues est l'univers. Un événement regroupe les issues qui satisfont une condition.

Attribuer des probabilités aux bonnes issues. Pour un dé équilibré, les six faces ont la même probabilité. Ce sont les faces qui sont équiprobables, pas toutes les catégories que l'on peut ensuite former. L'événement « obtenir 6 » et son contraire ne contiennent pas le même nombre de faces.

Justifier le quotient favorable sur possible. Dans un univers fini équiprobable, chaque issue porte la même part $$1/N$$ . Un événement contenant k issues porte donc $$k/N$$ . Sans équiprobabilité, il faut additionner les probabilités des issues favorables au lieu de seulement les compter.

Contrôler le résultat. Une probabilité ne peut être négative ni dépasser 1. Zéro correspond à un événement impossible dans le modèle fini ; 1 correspond à un événement certain. Un pourcentage se convertit en décimal avant les calculs : 30 pour cent correspond à 0,30.

Combiner des événements

Intuition · Construire la notion pas à pas

Traduire les mots en ensembles. « A et B » signifie que les deux conditions sont satisfaites : c'est l'intersection $A\cap B$ . « A ou B » signifie au moins l'une des deux, y compris les deux : c'est la réunion $A\cup B$ .

Comprendre la soustraction dans la réunion. Additionner $$P(A)$$ et $$P(B)$$ compte deux fois les issues présentes dans les deux événements. On enlève une fois leur probabilité : $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ . La soustraction corrige un double comptage.

Utiliser le contraire pour simplifier. L'événement $\overline A$ contient toutes les issues qui ne réalisent pas A. Les deux événements sont disjoints et couvrent l'univers, donc leurs probabilités totalisent 1. Le contraire de « au moins un succès » est « aucun succès ».

Ne pas confondre deux notions. Des événements incompatibles ne peuvent pas se produire ensemble. L'indépendance concerne au contraire l'effet d'une information sur une probabilité. Deux événements incompatibles de probabilités positives ne sont pas indépendants : savoir l'un réalisé rend l'autre impossible.

Dénombrer avec un tableau ou un arbre

Intuition · Construire la notion pas à pas

Décomposer les choix successifs. Si une première étape offre a possibilités et que chacune est suivie de b possibilités, le nombre de couples est $$ab$$ . Un tableau avec a lignes et b colonnes rend visible cette multiplication et aide à éviter les oublis.

Savoir si l'ordre distingue les issues. Avec deux dés distingués, le couple $$(1;3)$$ indique 1 sur le premier et 3 sur le second ; $$(3;1)$$ est une autre issue. Les deux peuvent produire la même somme sans devenir une seule issue élémentaire.

Distinguer issues et résultats regroupés. Les 36 couples de deux dés équilibrés indépendants sont équiprobables. Leurs sommes ne le sont pas : certaines viennent de nombreux couples, d'autres d'un seul. Pour la probabilité d'une somme, on compte donc les couples qui la produisent.

Tenir compte de la remise. Remettre un objet avant le second tirage restaure la composition initiale. Sans remise, le nombre total d'objets et le nombre d'objets favorables peuvent changer selon le premier résultat. Le dénombrement et les probabilités doivent refléter cette nouvelle situation.

Simuler et estimer une probabilité

Intuition · Construire la notion pas à pas

Transformer un modèle en procédure. Simuler un dé équilibré signifie produire des entiers de 1 à 6 avec les mêmes probabilités. Le programme ne vérifie pas qu'un dé physique est équilibré : cette propriété est une hypothèse du modèle que l'on a choisi de simuler.

Compter avant de diviser. Pour estimer la probabilité d'un événement sur N essais, on compte ses réalisations puis on divise par N. Le compteur commence à zéro avant les répétitions. Il augmente seulement lorsque l'événement se produit ; il ne doit pas être réinitialisé à chaque essai.

Distinguer fréquence et probabilité. La fréquence est calculée à partir d'une série obtenue. Elle change d'une simulation à l'autre. La probabilité est un paramètre du modèle ; elle ne change pas parce qu'une simulation donne une fréquence légèrement différente.

Comprendre la stabilisation. Avec beaucoup d'essais indépendants suivant le même modèle, les fréquences se concentrent davantage autour de la probabilité. Elles ne deviennent pas nécessairement exactes et ne se rapprochent pas à chaque essai. Fixer une graine permet de reproduire une simulation, sans garantir qu'elle sera plus proche de la valeur théorique.

Exemple · Exemple commenté

Pour estimer la probabilité d'obtenir 6, on peut utiliser :

from random import randint

def frequence(N):
    succes = 0
    for k in range(N):
        if randint(1, 6) == 6:
            succes += 1
    return succes / N

N doit être un entier strictement positif. Le compteur est créé avant la boucle ; chaque appel à randint(1,6) produit un lancer dans le modèle. Le test sélectionne uniquement la face 6 et l'incrément ajoute un succès. La division finale transforme le total en fréquence.

Si 168 succès sont obtenus en 1 000 essais, la fonction renvoie 0,168. Cette fréquence est proche de $1/6\approx0{,}1667$ , mais elle n'est pas la probabilité exacte. Un autre appel peut donner un résultat différent, ce qui est attendu pour une simulation aléatoire.

Observer les fluctuations d’échantillonnage

Intuition · Construire la notion pas à pas

Séparer les deux répétitions. Un échantillon contient n observations. Pour étudier la fluctuation, on répète N fois la création d'un échantillon et l'on obtient N fréquences. Il y a donc n tirages à l'intérieur de chaque groupe et N groupes au total.

Observer une distribution de fréquences. Même avec le même protocole et la même probabilité p, les groupes ne contiennent pas exactement la même proportion de succès. On calcule une fréquence par groupe puis on examine leur centre, leur dispersion et éventuellement un histogramme.

Distinguer augmenter n et augmenter N. Augmenter n, à protocole indépendant identique, tend à réduire les fluctuations de chaque fréquence. Augmenter N donne davantage de fréquences pour observer leur distribution ; cela ne change pas la taille de chaque groupe.

Limiter la portée des extrêmes observés. Le minimum et le maximum d'une simulation décrivent seulement les fréquences obtenues pendant cette exécution. Ils ne sont pas des limites impossibles à franchir lors d'une future expérience. Un événement rare peut ne pas apparaître dans une série finie de simulations.

Boîte à outils

Exercices progressifs

Les exercices 1 à 5 consolident les bases ; 6 à 10 demandent plusieurs étapes ; 11 à 15 t’invitent à choisir, justifier et contrôler. Cherche avant de consulter les indices.

Exercice 1 : Une probabilité simple ★☆☆

Une boîte contient 7 jetons rouges et 3 bleus indiscernables au toucher. On en tire un uniformément. Quelle est la probabilité d’un bleu ?

Exercice 2 : Un contraire ★☆☆

La probabilité d’un retard est $$0{,}12$$ . Quelle est celle de ne pas être en retard ?

Exercice 3 : Deux choix successifs ★☆☆

On choisit uniformément une lettre parmi A, B, C, puis un chiffre parmi 1, 2. Liste l’univers et sa taille.

Exercice 4 : Calculer une fréquence ★☆☆

Une simulation de 500 lancers donne 87 six. Quelle fréquence a-t-on observée ?

Exercice 5 : Deux nombres à distinguer ★☆☆

On simule 300 échantillons de 50 tirages. Que valent n, N et le nombre total de tirages ?

Exercice 6 : Un événement sur un dé ★★☆

On lance un dé équilibré à six faces. Quelle est la probabilité d’obtenir un nombre strictement supérieur à 4 ?

Exercice 7 : Une réunion ★★☆

$$P(A)=0{,}4$$ , $$P(B)=0{,}5$$ et $P(A\cap B)=0{,}2$ . Calcule $P(A\cup B)$ .

Exercice 8 : Une somme de dés ★★☆

Avec deux dés équilibrés indépendants, calcule la probabilité d’une somme de 4.

Exercice 9 : Un compteur mal placé ★★☆

Un programme remet succes = 0 à l’intérieur de chaque tour de boucle. Pourquoi son total est-il faux ?

Exercice 10 : Une étendue de fréquences ★★☆

Les fréquences sont $$0{,}18$$ , $$0{,}25$$ , $$0{,}22$$ , $$0{,}16$$ . Calcule l’étendue et exprime-la en points de pourcentage.

Exercice 11 : Deux issues, deux chances ? ★★★

Un lot contient 99 produits conformes et 1 défectueux. Un élève annonce $P(\text{défectueux})=1/2$ car le produit est conforme ou non. Corrige son raisonnement.

Exercice 12 : Au moins un ★★★

Une expérience comporte deux essais. La probabilité de n’avoir aucun succès est $$0{,}36$$ . Quelle est la probabilité d’avoir au moins un succès ?

Exercice 13 : Avec ou sans remise ★★★

Une boîte contient 2 jetons rouges et 1 bleu. On tire deux fois. Compare la probabilité de deux rouges avec remise et sans remise.

Exercice 14 : Une stabilisation non monotone ★★★

Après 100 essais, une fréquence vaut $$0{,}50$$ ; après 101 essais, $$0{,}505$$ environ. Le modèle de probabilité $$0{,}5$$ est-il contredit parce que la fréquence s’est éloignée ?

Exercice 15 : Une simulation et ses limites ★★★

Une simulation n’a produit aucune fréquence supérieure à $$0{,}7$$ . Peut-on conclure qu’une telle fréquence est impossible ?

Problème : Pour aller plus loin

Simuler un contrôle au hasard

Une boîte contient 6 pièces conformes et 4 pièces à reprendre. On tire une pièce au hasard, puis on la remet avant le tirage suivant.

Définis l’événement R « à reprendre » et sa probabilité.
Donne la probabilité du contraire et vérifie la somme.
Propose une simulation avec des entiers de 1 à 10.
Une série de 50 tirages donne 17 reprises. Calcule la fréquence et compare à la probabilité.
On répète 200 séries de 50 tirages. Combien obtient-on de fréquences et de tirages ? Que devrait changer une taille de 500 tirages par série ?

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Corrigé 2

Corrigé 3

Corrigé 4

Corrigé 5

Corrigé 6

Corrigé 7

Corrigé 8

Corrigé 9

Démonstration · Solution expliquée

Comprendre la question. Une initialisation à chaque passage empêche le compteur de conserver l’historique.

Construire la réponse.

Au début d’un tour, l’instruction qui remet le compteur à zéro efface tous les succès des tours précédents.
Après le test de ce tour, le compteur vaut seulement zéro ou un selon son résultat.
À la fin, il ne décrit donc que le dernier essai, pas le total des essais.
La correction consiste à placer l’initialisation avant la boucle et à conserver seulement l’incrément conditionnel à l’intérieur.

Vérifier. Sur trois essais tous réussis, le programme erroné terminerait à 1 ; le compteur correct passerait successivement de 0 à 1, puis 2, puis 3.

Conclure. Il faut initialiser une seule fois avant les répétitions pour accumuler les succès.

Corrigé 10

Corrigé 11

Corrigé 12

Corrigé 13

Démonstration · Solution expliquée

Comprendre la question. On compare deux protocoles ; le second tirage n’a pas le même contenu disponible.

Construire la réponse.

Le premier rouge a dans les deux cas la probabilité $$2/3$$ .
Avec remise, on retrouve deux rouges sur trois jetons au second tirage :
$\begin{aligned}P(RR) &= (2/3)(2/3)\\[.35em] &= 4/9.\end{aligned}$
Sans remise, après un premier rouge, il reste un rouge et un bleu : la probabilité conditionnelle du second rouge vaut $$1/2$$ .
Le chemin sans remise vaut donc $$(2/3)(1/2)=1/3$$ .

Vérifier. $$1/3=3/9<4/9$$ : retirer un premier rouge diminue logiquement la chance de tirer encore un rouge. Conserver $$2/3$$ sans remise ignorerait ce retrait.

Conclure. Deux rouges ont la probabilité $$4/9$$ avec remise et $$1/3$$ sans remise.

Corrigé 14

Corrigé 15

Démonstration · Solution expliquée

Comprendre la question. Une absence observée dans une simulation finie n’équivaut pas à une impossibilité dans le modèle.

Construire la réponse.

La simulation a testé seulement un nombre limité d’échantillons.
Une fréquence supérieure à 0,7 peut être possible mais assez rare pour ne pas avoir été rencontrée.
Pour affirmer l’impossibilité, il faut une contrainte du modèle ou un raisonnement montrant que l’événement a une probabilité nulle dans le cadre étudié.

Vérifier. Par exemple, même une série de lancers d’un dé peut ne contenir aucun six sans rendre la face 6 impossible. Le même principe s’applique à une fréquence extrême non observée.

Conclure. Non : on peut dire qu’aucune fréquence supérieure à 0,7 n’a été observée, pas qu’une telle fréquence est impossible.

Corrigé du problème

Comprendre la question. Le tirage au hasard rend les dix pièces équiprobables.

Construire la réponse.
1. L’événement R signifie que la pièce choisie appartient aux quatre pièces à reprendre.
2. Il y a $$6+4=10$$ possibilités, dont 4 favorables :
  $\begin{aligned}P(R) &= 4/10\\[.35em] &= 0{,}4.\end{aligned}$
Vérifier. La probabilité est entre 0 et 1 et correspond à la proportion de pièces à reprendre dans la boîte.

Conclure. La probabilité d’une reprise est 0,4, soit 40 %.
Comprendre la question. Le contraire de R comprend toutes les issues qui ne demandent pas de reprise.

Construire la réponse.
1. Il s’agit de tirer une pièce conforme, parmi les six correspondantes.
2. La probabilité vaut $$6/10=0{,}6$$ , ou directement $$1-0{,}4=0{,}6$$ .
Vérifier. $$0{,}4+0{,}6=1$$ : les deux événements sont incompatibles et couvrent tout le tirage.

Conclure. La probabilité d’une pièce conforme est 0,6, soit 60 %.
Comprendre la question. La simulation doit attribuer exactement quatre issues sur dix à une reprise.

Construire la réponse.
1. On tire uniformément un entier parmi 1, 2, …, 10.
2. On associe les valeurs 1 à 4 à une reprise et les valeurs 5 à 10 à une pièce conforme.
3. À chaque nouveau tirage, on conserve le même ensemble de dix valeurs : cela représente la remise et la composition inchangée de la boîte.
Vérifier. Les quatre valeurs favorables ont une probabilité totale 4/10. Une simulation sans remise demanderait au contraire de modifier les possibilités.

Conclure. Un entier uniforme de 1 à 10, classé comme reprise s’il est au plus égal à 4, reproduit ce modèle.
Comprendre la question. Une fréquence décrit le résultat observé dans une série finie.

Construire la réponse.
1. La fréquence des reprises est $$17/50=0{,}34$$ , soit $34\,\%$ .
2. La probabilité du modèle reste 0,4. L’écart observé est $$0{,}34-0{,}4=-0{,}06$$ , soit 6 points de pourcentage en moins.
Vérifier. Sur une série aléatoire limitée, le nombre observé n’est pas obligé d’égaler 40 % de l’effectif. Cet écart seul ne prouve pas une modification de la boîte.

Conclure. La fréquence observée est 34 %, inférieure à la probabilité de 40 % ; cette différence peut venir de la fluctuation.
Comprendre la question. Une série produit une fréquence ; plusieurs séries permettent d’observer sa dispersion.

Construire la réponse.
1. 200 séries donnent 200 fréquences.
2. Chaque série contient 50 tirages : le total est $200\times50=10000$ tirages.
3. Avec 500 tirages par série, le total serait $200\times500=100000$ tirages, toujours pour 200 fréquences.
4. Les fréquences de séries plus longues tendent à se concentrer davantage autour de 0,4, tout en restant aléatoires.
Vérifier. Il faut distinguer augmenter le nombre de séries, qui donne plus de fréquences à observer, et augmenter la taille de chaque série, qui réduit leur dispersion.

Conclure. On obtient 200 fréquences à partir de 10000 tirages ; des séries de 500 rendent généralement les fréquences moins dispersées.

Variante autonome et bilan

Une boîte contient 3 objets rouges et 9 bleus. Sur 80 tirages avec remise, 18 sont rouges. Compare probabilité et fréquence.

À toi d’essayer

Vérifie ta démarche

Résous la variante, puis explique pourquoi ta méthode s’applique.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Repère les données utiles et l’inconnue. Reviens à la méthode correspondante dans la boîte à outils.

Indice 2 · Un pas de plus

Contrôle les unités, les bornes et la plausibilité du résultat avant de lire la correction.

Voir l’explication

Comprendre la question. On calcule séparément la probabilité issue de la composition et la fréquence issue des observations.

Construire la réponse.

La boîte contient $$3+9=12$$ objets, donc
$\begin{aligned}P(\text{rouge}) &= 3/12\\[.35em] &= 0{,}25.\end{aligned}$
Sur les 80 tirages, la fréquence observée vaut $$18/80=0{,}225$$ .
L’écart fréquence moins probabilité est $$0{,}225-0{,}25=-0{,}025$$ , soit 2,5 points de pourcentage.

Vérifier. La remise maintient la probabilité à 25 % pour chaque tirage. La fréquence 22,5 % décrit seulement cette série.

Conclure. La probabilité est 25 % et la fréquence observée 22,5 % ; elles peuvent différer sans que la boîte ait changé.

Je peux expliquer : modéliser une expérience aléatoire.
Je peux expliquer : combiner des événements.
Je peux expliquer : dénombrer avec un tableau ou un arbre.
Je peux expliquer : simuler et estimer une probabilité.
Je peux expliquer : observer les fluctuations d’échantillonnage.

Fiche-mémoire

Modéliser une expérience aléatoire.

Décris les issues possibles et précise le modèle de tirage.
Justifie l’équiprobabilité avant d’utiliser un simple dénombrement.
Liste exactement les issues favorables, en respectant les mots comme « strictement ».
Divise le nombre favorable par le nombre total, puis simplifie.
Contrôle que la valeur est dans $$[0;1]$$ et interprète-la dans le contexte.

Combiner des événements.

Traduis « et », « ou », « aucun » et « au moins un » avec des événements précis.
Cherche si le contraire est plus simple à calculer.
Pour une réunion, repère l’intersection pour corriger le double comptage.
Vérifie si les événements sont disjoints avant d’additionner sans correction.
Contrôle les bornes et, si possible, les issues ou l’événement complémentaire.

Dénombrer avec un tableau ou un arbre.

Décris les étapes et indique si les objets ou les positions sont distingués.
Construis un tableau ou un arbre pour lister les issues sans répétition.
Justifie l’équiprobabilité des issues élémentaires avant de les compter.
Regroupe seulement ensuite les issues favorables à l’événement demandé.
En cas de tirage sans remise, actualise la composition après chaque étape.

Simuler et estimer une probabilité.

Décris le modèle, l’événement recherché et la méthode de tirage simulé.
Initialise le compteur avant la boucle et fixe un nombre entier positif d’essais.
Produis une nouvelle issue à chaque essai et incrémente seulement en cas de succès.
Divise le total des succès par le nombre d’essais après la boucle.
Compare la fréquence à la théorie et répète la simulation pour observer la fluctuation.

Observer les fluctuations d’échantillonnage.

Identifie n, taille d’un échantillon, et N, nombre d’échantillons.
Calcule une fréquence pour chacun des N groupes.
Résume ou représente ces fréquences pour examiner leur dispersion.
Pour comparer des tailles, garde le même modèle et des tirages indépendants.
Présente les extrêmes comme observés et distingue événement rare et événement impossible.

Maîtrise du chapitre

Validation contrôlée

Réponds aux QCM, sélectionne les bonnes propositions ou remets les étapes dans l'ordre. Le site vérifie chaque réponse avant d'ouvrir la balise suivante.

Avant le cours, vérifie tes bases

Pourquoi ce chapitre ?

L’idée avant la formule

Le cours formel

Modéliser une expérience aléatoire

Combiner des événements

Dénombrer avec un tableau ou un arbre

Simuler et estimer une probabilité

Observer les fluctuations d’échantillonnage

Boîte à outils

Exercices progressifs

Exercice 1 : Une probabilité simple ★☆☆

Exercice 2 : Un contraire ★☆☆

Exercice 3 : Deux choix successifs ★☆☆

Exercice 4 : Calculer une fréquence ★☆☆

Exercice 5 : Deux nombres à distinguer ★☆☆

Exercice 6 : Un événement sur un dé ★★☆

Exercice 7 : Une réunion ★★☆

Exercice 8 : Une somme de dés ★★☆

Exercice 9 : Un compteur mal placé ★★☆

Exercice 10 : Une étendue de fréquences ★★☆

Exercice 11 : Deux issues, deux chances ? ★★★

Exercice 12 : Au moins un ★★★

Exercice 13 : Avec ou sans remise ★★★

Exercice 14 : Une stabilisation non monotone ★★★

Exercice 15 : Une simulation et ses limites ★★★

Problème : Pour aller plus loin

Simuler un contrôle au hasard

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Corrigé 2

Corrigé 3

Corrigé 4

Corrigé 5

Corrigé 6

Corrigé 7

Corrigé 8

Corrigé 9

Corrigé 10

Corrigé 11

Corrigé 12

Corrigé 13

Corrigé 14

Corrigé 15

Corrigé du problème

Variante autonome et bilan

Fiche-mémoire

Maîtrise du chapitre

Pour relier les notions