Tle · Du modèle à l’autonomie

Produit scalaire dans l’espace : pas à pas

Observe un exemple expliqué, entraîne-toi avec des indices, puis résous une autre situation sur papier. Compare les étapes avant de faire le point.

Mon objectif

Retrouver mes révisions

Norme d'un vecteur et distance

1. Observer

2. S’entraîner avec aide

Dans un repère orthonormé, A vaut $$(1,-2,0)$$ et B vaut $$(-1,1,6)$$ . Calcule $\vect{AB}$ puis AB. Obtiendrais-tu la même longueur avec $\vect{BA}$ ?

Comparer avec l’explication

Les différences donnent $\vect{AB}=(-2,3,6)$ . On calcule :

\begin{aligned}AB^2&=(-2)^2+3^2+6^2\\[.35em]&=4+9+36\\[.35em]&=49.\end{aligned}

Comme AB est une longueur positive ou nulle,

\begin{aligned}AB &= \sqrt{49}\\[.35em]&= 7 .\end{aligned}

Le vecteur $\vect{BA}=(2,-3,-6)$ a les coordonnées opposées, mais les mêmes carrés : $$BA=7$$ . Réessaie : de $$(0,0,0)$$ à $$(2,-3,6)$$ , la longueur vaut encore 7. Des vecteurs de même norme ne sont pas nécessairement égaux.

3. Résoudre seul

$\vec{u}\coord{3}{-1}{2}$ , $\vec{v}\coord{1}{4}{-3}$ , $\vec{w}\coord{2}{2}{1}$ .

Calculer $\vec{u}\cdot\vec{v}$ , $\vec{u}\cdot\vec{w}$ , $\vec{v}\cdot\vec{w}$ .
Calculer $\norme{\vec{u}}$ , $\norme{\vec{v}}$ , $\norme{\vec{w}}$ .
Parmi ces vecteurs, lesquels sont orthogonaux ?

Comparer avec l’explication

On applique la formule $\vec{u}\cdot\vec{v}=xx'+yy'+zz'$ pour chaque couple :
$\begin{aligned}\vec{u}\cdot\vec{v} &= 3\times 1+(-1)\times 4+2\times(-3)\\[.35em]&= 3-4-6\\[.35em]&= \boldsymbol{-7}\end{aligned}$ $\begin{aligned}\vec{u}\cdot\vec{w} &= 3\times 2+(-1)\times 2+2\times 1\\[.35em]&= 6-2+2\\[.35em]&= \boldsymbol{6}\end{aligned}$ $\begin{aligned}\vec{v}\cdot\vec{w} &= 1\times 2+4\times 2+(-3)\times 1\\[.35em]&= 2+8-3\\[.35em]&= \boldsymbol{7}\end{aligned}$
On applique $\norme{\vec{u}}=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ :
$\begin{aligned}\norme{\vec{u}} &= \sqrt{9+1+4}\\[.35em]&= \sqrt{14}\end{aligned}$ $\begin{aligned}\norme{\vec{v}} &= \sqrt{1+16+9}\\[.35em]&= \sqrt{26}\end{aligned}$ $\begin{aligned}\norme{\vec{w}} &= \sqrt{4+4+1}\\[.35em]&= \sqrt{9}\\[.35em]&= 3\end{aligned}$
Deux vecteurs sont orthogonaux si leur produit scalaire est nul. Ici, $\vec{u}\cdot\vec{v}=-7\neq 0$ , $\vec{u}\cdot\vec{w}=6\neq 0$ , $\vec{v}\cdot\vec{w}=7\neq 0$ . Aucune paire n'est orthogonale.

$$A(1,-2,3)$$ , $$B(4,2,-1)$$ , $$C(0,1,5)$$ .

Calculer $$AB$$ , $$AC$$ , $$BC$$ .
Le triangle $$ABC$$ est-il rectangle ? Si oui, en quel sommet ?

Comparer avec l’explication

On calcule chaque distance :
$\begin{aligned}AB &= \sqrt{(4-1)^2+(2-(-2))^2+(-1-3)^2}\\[.35em]&= \sqrt{9+16+16}\\[.35em]&= \sqrt{41}\end{aligned}$ $\begin{aligned}AC &= \sqrt{(0-1)^2+(1-(-2))^2+(5-3)^2}\\[.35em]&= \sqrt{1+9+4}\\[.35em]&= \sqrt{14}\end{aligned}$ $\begin{aligned}BC &= \sqrt{(0-4)^2+(1-2)^2+(5-(-1))^2}\\[.35em]&= \sqrt{16+1+36}\\[.35em]&= \sqrt{53}\end{aligned}$
Le triangle $$ABC$$ est rectangle si et seulement si le théorème de Pythagore est vérifié pour l'un des trois sommets. Vérifions les trois possibilités :

$AB^2+AC^2 = 41+14 = 55 \neq 53 = BC^2$ non

$AB^2+BC^2 = 41+53 = 94 \neq 14 = AC^2$ non

$AC^2+BC^2 = 14+53 = 67 \neq 41 = AB^2$ non

Aucune égalité de Pythagore n'est vérifiée, donc le triangle $$ABC$$ n'est pas rectangle.

On peut aussi vérifier directement : $\vect{AB}\cdot\vect{AC}=3\times(-1)+4\times 3+(-4)\times 2=-3+12-8=1\neq 0$ , donc l'angle en $$A$$ n'est pas droit. De même pour les autres.

4. Aller plus loin

Démontrer que $\norme{\vec{u}+\vec{v}}^2=\norme{\vec{u}}^2+2\vec{u}\cdot\vec{v}+\norme{\vec{v}}^2$ .
En déduire que $\vec{u}\cdot\vec{v}=\frac{1}{2}\bigl(\norme{\vec{u}+\vec{v}}^2-\norme{\vec{u}}^2-\norme{\vec{v}}^2\bigr)$ .
Approfondissement. Démontrer l'inégalité de Cauchy–Schwarz : $|\vec{u}\cdot\vec{v}|\leqslant\norme{\vec{u}}\,\norme{\vec{v}}$ . Quand y a-t-il égalité ?

Comparer avec l’explication

$\begin{aligned}\norme{\vec{u}+\vec{v}}^2 &= (\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{u}+\vec{v})\\[.35em]&= \vec{u}\cdot\vec{u}+\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{v}\cdot\vec{u}+\vec{v}\cdot\vec{v}\\[.35em]&= \norme{\vec{u}}^2+2\vec{u}\cdot\vec{v}+\norme{\vec{v}}^2 .\end{aligned}$ $\square$
On isole $\vec{u}\cdot\vec{v}$ : $2\vec{u}\cdot\vec{v}=\norme{\vec{u}+\vec{v}}^2-\norme{\vec{u}}^2-\norme{\vec{v}}^2$ , d'où la formule. $\square$
Si l'un des vecteurs est nul, les deux membres sont nuls : l'inégalité est une égalité. Sinon, leur angle est défini et on sait que $\cos\theta\in[-1,1]$ . Donc $|\vec{u}\cdot\vec{v}|=\norme{\vec{u}}\norme{\vec{v}}|\cos\theta|\leqslant\norme{\vec{u}}\norme{\vec{v}}$ . Égalité si $|\cos\theta|=1$ , i.e. $\theta=0$ ou $\pi$ , i.e. $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires. $\square$

Vecteur normal et équation cartésienne d'un plan

1. Observer

2. S’entraîner avec aide

Un plan passe par $$A(1,0,2)$$ et a pour directions $\vec u=(1,1,0)$ et $\vec v=(0,1,1)$ . Vérifie que $\vec n=(1,-1,1)$ est normal au plan, puis trouve une équation de ce plan.

Comparer avec l’explication

Les deux directions ne sont pas colinéaires. Les produits sont

\vec n\cdot\vec u=1-1+0=0,\qquad\vec n\cdot\vec v=0-1+1=0.

Le vecteur $\vec n$ , non nul, est donc normal au plan. Avec A :

\begin{aligned}(x-1)-y+(z-2)&=0\\[.35em]x-y+z-3&=0.\end{aligned}

Contrôle : A vérifie $$1-0+2-3=0$$ ; le point $A+\vec u=(2,1,2)$ vérifie aussi $$2-1+2-3=0$$ . Réessaie : le plan de même direction passant par O a pour équation $$x-y+z=0$$ . La normale fixe la direction ; le point fixe la position.

3. Résoudre seul

Déterminer l'équation du plan $\mathcal{P}_1$ passant par $$A(2,-1,3)$$ de vecteur normal $\vec{n}_1\coord{1}{2}{-1}$ .
Déterminer l'équation du plan $\mathcal{P}_2$ passant par $$B(0,0,5)$$ de vecteur normal $\vec{n}_2\coord{0}{0}{1}$ .
Le point $$C(3,1,0)$$ appartient-il à $\mathcal{P}_1$ ?
Donner un vecteur normal et un point du plan $\mathcal{P}_3: 2x-3y+z-7=0$ .

Comparer avec l’explication

$\mathcal{P}_1$ passe par $$A(2,-1,3)$$ , normal $\vec{n}_1\coord{1}{2}{-1}$ :

$$1(x-2)+2(y+1)+(-1)(z-3)=0$$ , soit $$x-2+2y+2-z+3=0$$ , d'où $\boldsymbol{x+2y-z+3=0}$ .

Vérification : $$2+2(-1)-3+3=0$$ ✓.
$\mathcal{P}_2$ passe par $$B(0,0,5)$$ , normal $\vec{n}_2\coord{0}{0}{1}$ :

$$0(x-0)+0(y-0)+1(z-5)=0$$ , soit $\boldsymbol{z-5=0}$ , ou encore $$z=5$$ .

C'est le plan horizontal à l'altitude $$z=5$$ .
$$C(3,1,0)$$ dans $\mathcal{P}_1$ ? On substitue : $3+2(1)-0+3=3+2+3=8\neq 0$ . Donc $\boldsymbol{C\notin\mathcal{P}_1}$ .
$\mathcal{P}_3:2x-3y+z-7=0$ . Vecteur normal : $\vec{n}_3\coord{2}{-3}{1}$ . Un point : posons
$\begin{aligned}y &= z\\[.35em]&= 0 ,\end{aligned}$
alors $$2x=7$$ , soit $x=\frac{7}{2}$ . Le point $\left(\frac{7}{2},0,0\right)$ appartient à $\mathcal{P}_3$ .

\mathcal{P}_1:2x-y+3z-1=0,

\mathcal{P}_2:4x-2y+6z+5=0,

\mathcal{P}_3:3x+2y+z-4=0.

$\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ sont-ils parallèles ? Confondus ?
$\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_3$ sont-ils perpendiculaires ?
Déterminer l'équation du plan $\mathcal{P}_4$ parallèle à $\mathcal{P}_1$ passant par le point $$D(1,0,-2)$$ .

Comparer avec l’explication

$\vec{n}_1\coord{2}{-1}{3}$ , $\vec{n}_2\coord{4}{-2}{6}=2\vec{n}_1$ . Les normaux sont colinéaires, donc $\mathcal{P}_1\parallel\mathcal{P}_2$ .

Confondus ? Prenons un point de $\mathcal{P}_1$ , par exemple $(0,0,\frac{1}{3})$ (car $-1+3\times\frac{1}{3}=0$ ). Substituons dans $\mathcal{P}_2$ : $0-0+6\times\frac{1}{3}+5=2+5=7\neq 0$ . Donc $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ sont parallèles et distincts.
$\vec{n}_1\cdot\vec{n}_3=2\times 3+(-1)\times 2+3\times 1=6-2+3=7\neq 0$ . Donc $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_3$ ne sont pas perpendiculaires.
$\mathcal{P}_4\parallel\mathcal{P}_1$ signifie même vecteur normal : $\vec{n}\coord{2}{-1}{3}$ . $\mathcal{P}_4$ passe par $$D(1,0,-2)$$ :

$$2(x-1)-(y-0)+3(z+2)=0$$ , soit $$2x-y+3z+4=0$$ .

Vérification : $$2-0-6+4=0$$ ✓. Donc $\boldsymbol{\mathcal{P}_4:2x-y+3z+4=0}$ .

4. Aller plus loin

Soient $$A(1,0,0)$$ , $$B(0,2,0)$$ , $$C(0,0,3)$$ .

Calculer $\vect{AB}$ et $\vect{AC}$ .
Déterminer un vecteur $\vec{n}\coord{a}{b}{c}$ normal au plan $$(ABC)$$ en résolvant $\vec{n}\cdot\vect{AB}=0$ et $\vec{n}\cdot\vect{AC}=0$ .
En déduire l'équation cartésienne du plan $$(ABC)$$ .
Vérifier que $$A$$ , $$B$$ , $$C$$ satisfont cette équation.

Comparer avec l’explication

$\vect{AB}=\coord{-1}{2}{0},$ $\vect{AC}=\coord{-1}{0}{3}.$
On cherche $\vec{n}\coord{a}{b}{c}$ tel que $\vec{n}\cdot\vect{AB}=0$ et $\vec{n}\cdot\vect{AC}=0$ :

$\begin{cases}-a+2b=0\\-a+3c=0\end{cases}$ . De (1) : $$a=2b$$ . De (2) : $$a=3c$$ , donc
$\begin{aligned}c &= \frac{a}{3}\\[.35em]&= \frac{2b}{3} .\end{aligned}$
Prenons $$b=3$$ : $$a=6$$ , $$c=2$$ . Donc $\vec{n}\coord{6}{3}{2}$ .

Vérification :
$\begin{aligned}\vec{n}\cdot\vect{AB} &= -6+6+0\\[.35em]&= 0\end{aligned}$
✓,
$\begin{aligned}\vec{n}\cdot\vect{AC} &= -6+0+6\\[.35em]&= 0\end{aligned}$
✓.
$\mathcal{P}$ passe par $$A(1,0,0)$$ : $$6(x-1)+3y+2z=0$$ , soit $\boldsymbol{6x+3y+2z-6=0}$ .
$$A$$ :
$\[6-6=0\]$
✓. $$B$$ :
$\[0+6+0-6=0\]$
✓. $$C$$ :
$\[0+0+6-6=0\]$
✓.

Projeté orthogonal

1. Observer

2. S’entraîner avec aide

Projette $$M(2,1,3)$$ sur le plan $\mathcal P:x+y+z=0$ . Vérifie que H appartient au plan, puis que $\vect{MH}$ est normal au plan. Calcule ensuite la distance de M au plan.

Comparer avec l’explication

L'équation impose $$t=-2$$ , donc $$H=(0,-1,1)$$ . Les deux contrôles sont distincts :

0+(-1)+1=0\quad\text{et}\quad\vect{MH}=(-2,-2,-2)=-2\vec n.

Le premier place H dans le plan, le second établit la perpendicularité. On peut alors utiliser la propriété du projeté :

\begin{aligned}d(M,\mathcal P)&=MH\\[.35em]&=\sqrt{(-2)^2+(-2)^2+(-2)^2}\\[.35em]&= \sqrt{12}\\[.35em]&= 2\sqrt3.\end{aligned}

Réessaie : le projeté de $$(1,-1,0)$$ sur ce plan est lui-même, et la distance vaut 0. Vérifie l'appartenance avant tout calcul.

3. Résoudre seul

Distance de $$M(3,-1,2)$$ au plan $\mathcal{P}:x+2y-2z+3=0$ .
Distance de l'origine $$O(0,0,0)$$ au plan $\mathcal{Q}:3x-4y+5=0$ .
Pour quelle valeur de $$k$$ le point $$A(1,k,2)$$ est-il dans le plan $$2x-y+3z-4=0$$ ?

Comparer avec l’explication

$\begin{aligned}d &= \frac{|1\times 3+2\times(-1)+(-2)\times 2+3|}{\sqrt{1+4+4}}\\[.35em]&= \frac{|3-2-4+3|}{3}\\[.35em]&= \frac{|0|}{3}\\[.35em]&= \boldsymbol{0} .\end{aligned}$
Distance 0 signifie que $$M$$ est dans le plan $\mathcal{P}$ . On peut vérifier : $$3+2(-1)-2(2)+3=0$$ ✓.
$\begin{aligned}d &= \frac{|3\times 0-4\times 0+5|}{\sqrt{9+16+0}}\\[.35em]&= \frac{5}{5}\\[.35em]&= \boldsymbol{1} .\end{aligned}$
$A(1,k,2)\in\mathcal{P}$ $\Leftrightarrow$ $$2(1)-k+3(2)-4=0$$ , soit $$2-k+6-4=0$$ , d'où $$4-k=0$$ , et $\boldsymbol{k=4}$ .

Soit $\mathcal{P}:2x+y-2z+3=0$ et $$M_0(1,0,1)$$ .

Déterminer le projeté orthogonal $$H$$ de $$M_0$$ sur $\mathcal{P}$ .
Calculer la distance $$M_0H$$ .
Vérifier à l'aide de la formule de distance point-plan.

Comparer avec l’explication

Normal $\vec{n}\coord{2}{1}{-2}$ . Droite par $$M_0(1,0,1)$$ de direction $\vec{n}$ : $\begin{cases}x=1+2t\\y=t\\z=1-2t\end{cases}$ .

Substitution dans $\mathcal{P}$ : $$2(1+2t)+(t)-2(1-2t)+3=0$$ , soit $$2+4t+t-2+4t+3=0$$ , d'où $$9t+3=0$$ , $t=-\frac{1}{3}$ .
$\begin{aligned}H &= \left(1-\frac{2}{3},\,-\frac{1}{3},\,1+\frac{2}{3}\right)\\[.35em]&= \boldsymbol{\left(\frac{1}{3},-\frac{1}{3},\frac{5}{3}\right)} .\end{aligned}$
$\begin{aligned}M_0H &= \sqrt{\left(\frac{1}{3}-1\right)^2+\left(-\frac{1}{3}\right)^2+\left(\frac{5}{3}-1\right)^2}\\[.35em]&= \sqrt{\frac{4}{9}+\frac{1}{9}+\frac{4}{9}}\\[.35em]&= \sqrt{\frac{9}{9}}\\[.35em]&= \boldsymbol{1} .\end{aligned}$
Formule directe :
$\begin{aligned}d &= \frac{|2(1)+0-2(1)+3|}{3}\\[.35em]&= \frac{|2-2+3|}{3}\\[.35em]&= \frac{3}{3}\\[.35em]&= 1\end{aligned}$
✓.

4. Aller plus loin

Soient $$A(1,2,3)$$ et $$B(5,-2,7)$$ .

Déterminer le milieu $$I$$ de $$[AB]$$ .
Déterminer l'équation cartésienne du plan $\Pi$ médiateur de $$[AB]$$ (plan passant par $$I$$ et perpendiculaire à $$(AB)$$ ).
Vérifier que tout point $$M$$ du plan $\Pi$ vérifie $$MA=MB$$ .

Comparer avec l’explication

$\begin{aligned}I &= \left(\frac{1+5}{2},\frac{2-2}{2},\frac{3+7}{2}\right)\\[.35em]&= \boldsymbol{(3,0,5)} .\end{aligned}$
Le plan $\Pi$ est perpendiculaire à $$(AB)$$ et passe par $$I$$ . Un vecteur normal à $\Pi$ est $\vect{AB}\coord{4}{-4}{4}$ , qu'on simplifie en $\coord{1}{-1}{1}$ .

Équation : $$1(x-3)-1(y-0)+1(z-5)=0$$ , soit $\boldsymbol{x-y+z-8=0}$ .

Vérification : $$I=(3,0,5)$$ donne $$3-0+5-8=0$$ ✓.
Soit $M(x,y,z)\in\Pi$ , donc $$x-y+z-8=0$$ .
$\begin{aligned}MA^2 &= (x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2\\[.35em]&= x^2-2x+1+y^2-4y+4+z^2-6z+9\end{aligned}$ $\begin{aligned}MB^2 &= (x-5)^2+(y+2)^2+(z-7)^2\\[.35em]&= x^2-10x+25+y^2+4y+4+z^2-14z+49\end{aligned}$ $\begin{aligned}MA^2 -MB^2 &= (-2x+10x) +(-4y-4y)\\[.35em]&\quad {}+(-6z+14z) +(14-78)\\[.35em]&= 8x-8y+8z-64\end{aligned}$ $\begin{aligned}&= 8(x-y+z-8)\\[.35em]&= 8\times 0\\[.35em]&= 0 .\end{aligned}$
Donc $$MA^2=MB^2$$ , i.e. $$MA=MB$$ . $\square$

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