Produit scalaire dans l’espace

Ton parcours dans ce chapitre

Un produit scalaire transforme deux vecteurs en un nombre. Pour comprendre ce nombre, nous allons relier trois points de vue : une projection, un angle et un calcul de coordonnées.

Pour repartir des bases. \(\vect{AB}\) se calcule par « B moins A ». Sa norme est sa longueur, toujours positive ou nulle. Dans un triangle rectangle, Pythagore relie les carrés des longueurs. Le cosinus relie un angle à une projection ; les valeurs utiles seront rappelées avec une figure.

Les pauses et les preuves ont deux indices et une explication librement accessibles. Une réponse aidée est une étape ; la variante permet de reprendre seul. Les exercices 1 à 9 et 12 prolongent le socle.

Programme : produit scalaire, orthogonalité, projections, distances, angles, aires et volumes relèvent du programme applicable en 2026–2027. Les sphères et Cauchy–Schwarz sont des approfondissements. Les équations de plans préparent la fiche 4. La formule directe de distance point-plan sera expliquée comme une conséquence de la projection, sans être un prérequis caché.

Pourquoi étudier le produit scalaire dans l'espace ?

L'outil qui manquait

Dans la fiche précédente, tu as appris à manipuler des vecteurs de l'espace : les additionner, les multiplier par un scalaire, vérifier la colinéarité et la coplanarité. Mais il te manquait un outil fondamental : la capacité de mesurer des angles et des distances, et de déterminer si deux vecteurs sont perpendiculaires.

Le produit scalaire associe à deux vecteurs un nombre réel. Pour deux vecteurs non nuls, ce nombre dépend de leurs longueurs et de leur angle : il est positif pour un angle nul ou aigu, nul pour un angle droit, négatif pour un angle obtus ou plat.

Les applications

Le produit scalaire permet de traiter plusieurs questions géométriques :

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Nous l'utiliserons notamment pour construire l'équation cartésienne d'un plan et calculer la distance d'un point à un plan.

Ce que tu savais déjà

En Première, tu as vu le produit scalaire dans le plan. Tout ce que tu as appris reste valable dans l'espace : il suffit d'ajouter la troisième coordonnée. Les formules sont les mêmes, avec un terme supplémentaire.

L'idée avant la formule

Relier un angle à une projection

Trois façons de voir le même objet

Le cours formel

Définition du produit scalaire

Voir le signe avec une projection

Fixons \(\vec u=(3,0)\) dans le plan des deux vecteurs. Le vecteur \(\vec v\) a longueur 3 et fait un angle \(\theta\) avec \(\vec u\). Son extrémité se projette sur la droite de \(\vec u\) : la coordonnée signée du projeté est \(3\cos\theta\) et

Une projection signée peut être négative ; la distance entre deux points ne peut pas l'être. Le raisonnement se déroule dans le plan des deux vecteurs et s'applique donc aussi à des vecteurs de l'espace.

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Prévois : le produit devient-il plus grand ou plus petit quand l'angle passe de \(60^\circ\) à \(120^\circ\) ? Manipule ensuite l'angle et repère le moment où H passe par O. Les normes restent égales à 3 ; seule l'orientation change.

Repère orthonormé et expression analytique

Propriétés algébriques du produit scalaire

Norme d'un vecteur et distance

C'est la généralisation directe du théorème de Pythagore en 3D. En 2D, \(\norme{\vec{u}}=\sqrt{x^2+y^2}\). En 3D, on applique Pythagore deux fois (une fois dans le plan horizontal, une fois pour monter) et on obtient la racine de la somme des trois carrés.

Orthogonalité

Pour justifier une orthogonalité, on peut donc calculer un produit scalaire. Pour conclure que deux droites sont perpendiculaires, il faut aussi vérifier qu'elles sont sécantes.

Calcul d'angle

Vecteur normal et équation cartésienne d'un plan

Un vecteur normal permet de décrire un plan par une seule équation.

Orthogonalité de droites et plans

Pourquoi le projeté donne la plus courte distance

Pour un point M hors d'un plan \(\mathcal P\), la droite passant par M et perpendiculaire au plan coupe ce plan en un point H : c'est le projeté orthogonal. Si M est déjà dans le plan, son projeté est M lui-même. Cette définition précède la propriété « le plus proche » que nous allons démontrer.

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La figure représente un plan en perspective. L'angle droit est une donnée géométrique, signalée par son symbole ; il ne se déduit pas de l'apparence des autres angles du dessin.

Distance d'un point à un plan

Projeté orthogonal

Projeter sur une droite

Soit d la droite passant par A de vecteur directeur \(\vec u\ne\vec0\). Le projeté orthogonal H de M sur d est le point de d pour lequel \(\vect{MH}\cdot\vec u=0\). Si M appartient à d, H=M. Sinon, le triangle MHN est rectangle en H pour tout N de d distinct de H : la même preuve par Pythagore montre que \(MH\) est la plus courte distance à d.

Identités remarquables avec le produit scalaire

Relier une projection à une aire et à un volume

La boîte à outils : Réflexes pour le bac

Exercices

Exercice 1 ★☆☆ : Produits scalaires et normes

\(\vec{u}\coord{3}{-1}{2}\), \(\vec{v}\coord{1}{4}{-3}\), \(\vec{w}\coord{2}{2}{1}\).

1. Calculer \(\vec{u}\cdot\vec{v}\), \(\vec{u}\cdot\vec{w}\), \(\vec{v}\cdot\vec{w}\).

2. Calculer \(\norme{\vec{u}}\), \(\norme{\vec{v}}\), \(\norme{\vec{w}}\).

3. Parmi ces vecteurs, lesquels sont orthogonaux ?

Exercice 2 ★☆☆ : Distances

\(A(1,-2,3)\), \(B(4,2,-1)\), \(C(0,1,5)\).

1. Calculer \(AB\), \(AC\), \(BC\).

2. Le triangle \(ABC\) est-il rectangle ? Si oui, en quel sommet ?

Exercice 3 ★☆☆ : Angles entre vecteurs

1. Calculer l'angle entre \(\vec{u}\coord{1}{1}{0}\) et \(\vec{v}\coord{0}{1}{1}\).

2. Calculer l'angle entre \(\vec{u}\coord{1}{0}{0}\) et \(\vec{v}\coord{1}{1}{1}\).

3. Calculer l'angle \(\widehat{BAC}\) avec \(A(0,0,0)\), \(B(1,2,2)\), \(C(2,1,-2)\).

Exercice 4 ★☆☆ : Équations cartésiennes de plans

1. Déterminer l'équation du plan \(\mathcal{P}_1\) passant par \(A(2,-1,3)\) de vecteur normal \(\vec{n}_1\coord{1}{2}{-1}\).

2. Déterminer l'équation du plan \(\mathcal{P}_2\) passant par \(B(0,0,5)\) de vecteur normal \(\vec{n}_2\coord{0}{0}{1}\).

3. Le point \(C(3,1,0)\) appartient-il à \(\mathcal{P}_1\) ?

4. Donner un vecteur normal et un point du plan \(\mathcal{P}_3: 2x-3y+z-7=0\).

Exercice 5 ★★☆ : Plans parallèles et perpendiculaires

1. \(\mathcal{P}_1\) et \(\mathcal{P}_2\) sont-ils parallèles ? Confondus ?

2. \(\mathcal{P}_1\) et \(\mathcal{P}_3\) sont-ils perpendiculaires ?

3. Déterminer l'équation du plan \(\mathcal{P}_4\) parallèle à \(\mathcal{P}_1\) passant par le point \(D(1,0,-2)\).

Exercice 6 ★★☆ : Distance point-plan

1. Distance de \(M(3,-1,2)\) au plan \(\mathcal{P}:x+2y-2z+3=0\).

2. Distance de l'origine \(O(0,0,0)\) au plan \(\mathcal{Q}:3x-4y+5=0\).

3. Pour quelle valeur de \(k\) le point \(A(1,k,2)\) est-il dans le plan \(2x-y+3z-4=0\) ?

Exercice 7 ★★☆ : Projeté orthogonal

Soit \(\mathcal{P}:2x+y-2z+3=0\) et \(M_0(1,0,1)\).

1. Déterminer le projeté orthogonal \(H\) de \(M_0\) sur \(\mathcal{P}\).

2. Calculer la distance \(M_0H\).

3. Vérifier à l'aide de la formule de distance point-plan.

Exercice 8 ★★☆ : Équation cartésienne par trois points

Soient \(A(1,0,0)\), \(B(0,2,0)\), \(C(0,0,3)\).

1. Calculer \(\vect{AB}\) et \(\vect{AC}\).

2. Déterminer un vecteur \(\vec{n}\coord{a}{b}{c}\) normal au plan \((ABC)\) en résolvant \(\vec{n}\cdot\vect{AB}=0\) et \(\vec{n}\cdot\vect{AC}=0\).

3. En déduire l'équation cartésienne du plan \((ABC)\).

4. Vérifier que \(A\), \(B\), \(C\) satisfont cette équation.

Exercice 9 ★★☆ : Intersection droite-plan (équation cartésienne)

Droite \(d:\begin{cases}x=2+t\\y=1-t\\z=3+2t\end{cases}\) et plan \(\mathcal{P}:x+y+z-6=0\).

1. \(d\) est-elle parallèle à \(\mathcal{P}\) ? (le vecteur directeur est-il orthogonal au vecteur normal ?)

2. Déterminer l'intersection de \(d\) et \(\mathcal{P}\).

Exercice 10 ★★☆ : Approfondissement : sphère et plan

La sphère \(\mathcal{S}\) a pour centre \(\Omega(1,2,-1)\) et rayon \(R=3\).

1. Écrire l'équation de \(\mathcal{S}\).

2. Déterminer la distance de \(\Omega\) au plan \(\mathcal{P}:2x-y+2z-1=0\).

3. En déduire la position de \(\mathcal{P}\) par rapport à \(\mathcal{S}\) (sécant, tangent, extérieur ?).

Exercice 11 ★★★ : Identités et démonstrations

1. Démontrer que \(\norme{\vec{u}+\vec{v}}^2=\norme{\vec{u}}^2+2\vec{u}\cdot\vec{v}+\norme{\vec{v}}^2\).

2. En déduire que \(\vec{u}\cdot\vec{v}=\frac{1}{2}\bigl(\norme{\vec{u}+\vec{v}}^2-\norme{\vec{u}}^2-\norme{\vec{v}}^2\bigr)\).

3. Approfondissement. Démontrer l'inégalité de Cauchy–Schwarz : \(|\vec{u}\cdot\vec{v}|\leqslant\norme{\vec{u}}\,\norme{\vec{v}}\). Quand y a-t-il égalité ?

Exercice 12 ★★★ : Plan médiateur

Soient \(A(1,2,3)\) et \(B(5,-2,7)\).

1. Déterminer le milieu \(I\) de \([AB]\).

2. Déterminer l'équation cartésienne du plan \(\Pi\) médiateur de \([AB]\) (plan passant par \(I\) et perpendiculaire à \((AB)\)).

3. Vérifier que tout point \(M\) du plan \(\Pi\) vérifie \(MA=MB\).

Pour aller plus loin : Plans, sphères et projections ★★★

On travaille dans un repère orthonormé \((O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})\). Soit \(\mathcal{P}\) le plan d'équation \(x+2y+2z-9=0\) et \(\mathcal{S}\) la sphère de centre \(\Omega(3,1,2)\) et de rayon \(R=3\).

Partie A : Le plan \(\mathcal{P}\)

1. Donner un vecteur normal et un point de \(\mathcal{P}\).

2. Calculer la distance \(d(\Omega,\mathcal{P})\) du centre de la sphère au plan.

3. \(\mathcal{P}\) coupe-t-il \(\mathcal{S}\) ? Si oui, décrire l'intersection (nature, centre, rayon).

Partie B : Projection et symétrique

1. Déterminer le projeté orthogonal \(H\) de \(\Omega\) sur \(\mathcal{P}\).

2. Déterminer le symétrique \(\Omega'\) de \(\Omega\) par rapport au plan \(\mathcal{P}\).

3. Calculer \(\Omega\Omega'\).

Partie C : Intersection droite-sphère

Soit \(d\) la droite passant par \(A(0,0,0)\) et de vecteur directeur \(\vec{u}\coord{1}{2}{2}\).

1. Écrire la représentation paramétrique de \(d\).

2. Déterminer les points d'intersection de \(d\) et \(\mathcal{S}\) en résolvant \((x-3)^2+(y-1)^2+(z-2)^2=9\).

3. Calculer la longueur de la corde découpée par la sphère sur la droite \(d\).

4. (Bonus) Vérifier que la droite \(d\) est perpendiculaire au plan \(\mathcal{P}\), et interpréter géométriquement les résultats obtenus.

Corrigés détaillés

Corrigé : Exercice 1

1. On applique la formule \(\vec{u}\cdot\vec{v}=xx'+yy'+zz'\) pour chaque couple :

   \[\begin{aligned}\vec{u}\cdot\vec{v} &= 3\times 1+(-1)\times 4+2\times(-3)\\[.35em]&= 3-4-6\\[.35em]&= \boldsymbol{-7}\end{aligned}\]
   \[\begin{aligned}\vec{u}\cdot\vec{w} &= 3\times 2+(-1)\times 2+2\times 1\\[.35em]&= 6-2+2\\[.35em]&= \boldsymbol{6}\end{aligned}\]
   \[\begin{aligned}\vec{v}\cdot\vec{w} &= 1\times 2+4\times 2+(-3)\times 1\\[.35em]&= 2+8-3\\[.35em]&= \boldsymbol{7}\end{aligned}\]

2. On applique \(\norme{\vec{u}}=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\) :

   \[\begin{aligned}\norme{\vec{u}} &= \sqrt{9+1+4}\\[.35em]&= \sqrt{14}\end{aligned}\]
   \[\begin{aligned}\norme{\vec{v}} &= \sqrt{1+16+9}\\[.35em]&= \sqrt{26}\end{aligned}\]
   \[\begin{aligned}\norme{\vec{w}} &= \sqrt{4+4+1}\\[.35em]&= \sqrt{9}\\[.35em]&= 3\end{aligned}\]

3. Deux vecteurs sont orthogonaux si leur produit scalaire est nul. Ici, \(\vec{u}\cdot\vec{v}=-7\neq 0\), \(\vec{u}\cdot\vec{w}=6\neq 0\), \(\vec{v}\cdot\vec{w}=7\neq 0\). Aucune paire n'est orthogonale.

Corrigé : Exercice 2

1. On calcule chaque distance :

   \[\begin{aligned}AB &= \sqrt{(4-1)^2+(2-(-2))^2+(-1-3)^2}\\[.35em]&= \sqrt{9+16+16}\\[.35em]&= \sqrt{41}\end{aligned}\]
   \[\begin{aligned}AC &= \sqrt{(0-1)^2+(1-(-2))^2+(5-3)^2}\\[.35em]&= \sqrt{1+9+4}\\[.35em]&= \sqrt{14}\end{aligned}\]
   \[\begin{aligned}BC &= \sqrt{(0-4)^2+(1-2)^2+(5-(-1))^2}\\[.35em]&= \sqrt{16+1+36}\\[.35em]&= \sqrt{53}\end{aligned}\]

2. Le triangle \(ABC\) est rectangle si et seulement si le théorème de Pythagore est vérifié pour l'un des trois sommets. Vérifions les trois possibilités :

   \(AB^2+AC^2 = 41+14 = 55 \neq 53 = BC^2\) non

   \(AB^2+BC^2 = 41+53 = 94 \neq 14 = AC^2\) non

   \(AC^2+BC^2 = 14+53 = 67 \neq 41 = AB^2\) non

   Aucune égalité de Pythagore n'est vérifiée, donc le triangle \(ABC\) n'est pas rectangle.

   On peut aussi vérifier directement : \(\vect{AB}\cdot\vect{AC}=3\times(-1)+4\times 3+(-4)\times 2=-3+12-8=1\neq 0\), donc l'angle en \(A\) n'est pas droit. De même pour les autres.

Corrigé : Exercice 3

1. \[\begin{aligned}\vec{u}\cdot\vec{v} &= 0+1+0\\[.35em]&= 1 .\end{aligned}\]

   \(\norme{\vec{u}}=\sqrt{2}\), \(\norme{\vec{v}}=\sqrt{2}\). \(\cos\theta=\frac{1}{2}\). Donc \(\boldsymbol{\theta=\frac{\pi}{3}}\) (60°).

2. \[\begin{aligned}\vec{u}\cdot\vec{v} &= 1+0+0\\[.35em]&= 1 .\end{aligned}\]

   \(\norme{\vec{u}}=1\), \(\norme{\vec{v}}=\sqrt{3}\). \(\cos\theta=\frac{1}{\sqrt{3}}\). Donc

   \[\begin{aligned}\theta &= \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\\[.35em]&\approx \boldsymbol{54{,}7°} .\end{aligned}\]

3. Les vecteurs sont \(\vect{AB}\coord{1}{2}{2}\) et \(\vect{AC}\coord{2}{1}{-2}\).

   \[\begin{aligned}\vect{AB}\cdot\vect{AC} &= 2+2-4\\[.35em]&= 0 .\end{aligned}\]

   Le produit scalaire est nul, donc \(\boldsymbol{\widehat{BAC}=\frac{\pi}{2}}\) (angle droit).

Corrigé : Exercice 4

1. \(\mathcal{P}_1\) passe par \(A(2,-1,3)\), normal \(\vec{n}_1\coord{1}{2}{-1}\) :

   \(1(x-2)+2(y+1)+(-1)(z-3)=0\), soit \(x-2+2y+2-z+3=0\), d'où \(\boldsymbol{x+2y-z+3=0}\).

   Vérification : \(2+2(-1)-3+3=0\) ✓.

2. \(\mathcal{P}_2\) passe par \(B(0,0,5)\), normal \(\vec{n}_2\coord{0}{0}{1}\) :

   \(0(x-0)+0(y-0)+1(z-5)=0\), soit \(\boldsymbol{z-5=0}\), ou encore \(z=5\).

   C'est le plan horizontal à l'altitude \(z=5\).

3. \(C(3,1,0)\) dans \(\mathcal{P}_1\) ? On substitue : \(3+2(1)-0+3=3+2+3=8\neq 0\). Donc \(\boldsymbol{C\notin\mathcal{P}_1}\).

4. \(\mathcal{P}_3:2x-3y+z-7=0\). Vecteur normal : \(\vec{n}_3\coord{2}{-3}{1}\). Un point : posons

   \[\begin{aligned}y &= z\\[.35em]&= 0 ,\end{aligned}\]

   alors \(2x=7\), soit \(x=\frac{7}{2}\). Le point \(\left(\frac{7}{2},0,0\right)\) appartient à \(\mathcal{P}_3\).

Corrigé : Exercice 5

1. \(\vec{n}_1\coord{2}{-1}{3}\), \(\vec{n}_2\coord{4}{-2}{6}=2\vec{n}_1\). Les normaux sont colinéaires, donc \(\mathcal{P}_1\parallel\mathcal{P}_2\).

   Confondus ? Prenons un point de \(\mathcal{P}_1\), par exemple \((0,0,\frac{1}{3})\) (car \(-1+3\times\frac{1}{3}=0\)). Substituons dans \(\mathcal{P}_2\) : \(0-0+6\times\frac{1}{3}+5=2+5=7\neq 0\). Donc \(\mathcal{P}_1\) et \(\mathcal{P}_2\) sont parallèles et distincts.

2. \(\vec{n}_1\cdot\vec{n}_3=2\times 3+(-1)\times 2+3\times 1=6-2+3=7\neq 0\). Donc \(\mathcal{P}_1\) et \(\mathcal{P}_3\) ne sont pas perpendiculaires.

3. \(\mathcal{P}_4\parallel\mathcal{P}_1\) signifie même vecteur normal : \(\vec{n}\coord{2}{-1}{3}\). \(\mathcal{P}_4\) passe par \(D(1,0,-2)\) :

   \(2(x-1)-(y-0)+3(z+2)=0\), soit \(2x-y+3z+4=0\).

   Vérification : \(2-0-6+4=0\) ✓. Donc \(\boldsymbol{\mathcal{P}_4:2x-y+3z+4=0}\).

Corrigé : Exercice 6

1. \[\begin{aligned}d &= \frac{|1\times 3+2\times(-1)+(-2)\times 2+3|}{\sqrt{1+4+4}}\\[.35em]&= \frac{|3-2-4+3|}{3}\\[.35em]&= \frac{|0|}{3}\\[.35em]&= \boldsymbol{0} .\end{aligned}\]

   Distance 0 signifie que \(M\) est dans le plan \(\mathcal{P}\). On peut vérifier : \(3+2(-1)-2(2)+3=0\) ✓.

2. \[\begin{aligned}d &= \frac{|3\times 0-4\times 0+5|}{\sqrt{9+16+0}}\\[.35em]&= \frac{5}{5}\\[.35em]&= \boldsymbol{1} .\end{aligned}\]

3. \(A(1,k,2)\in\mathcal{P}\) \(\Leftrightarrow\) \(2(1)-k+3(2)-4=0\), soit \(2-k+6-4=0\), d'où \(4-k=0\), et \(\boldsymbol{k=4}\).

Corrigé : Exercice 7

1. Normal \(\vec{n}\coord{2}{1}{-2}\). Droite par \(M_0(1,0,1)\) de direction \(\vec{n}\) : \(\begin{cases}x=1+2t\\y=t\\z=1-2t\end{cases}\).

   Substitution dans \(\mathcal{P}\) : \(2(1+2t)+(t)-2(1-2t)+3=0\), soit \(2+4t+t-2+4t+3=0\), d'où \(9t+3=0\), \(t=-\frac{1}{3}\).

   \[\begin{aligned}H &= \left(1-\frac{2}{3},\,-\frac{1}{3},\,1+\frac{2}{3}\right)\\[.35em]&= \boldsymbol{\left(\frac{1}{3},-\frac{1}{3},\frac{5}{3}\right)} .\end{aligned}\]
2. \[\begin{aligned}M_0H &= \sqrt{\left(\frac{1}{3}-1\right)^2+\left(-\frac{1}{3}\right)^2+\left(\frac{5}{3}-1\right)^2}\\[.35em]&= \sqrt{\frac{4}{9}+\frac{1}{9}+\frac{4}{9}}\\[.35em]&= \sqrt{\frac{9}{9}}\\[.35em]&= \boldsymbol{1} .\end{aligned}\]

3. Formule directe :

   \[\begin{aligned}d &= \frac{|2(1)+0-2(1)+3|}{3}\\[.35em]&= \frac{|2-2+3|}{3}\\[.35em]&= \frac{3}{3}\\[.35em]&= 1\end{aligned}\]

   ✓.

Corrigé : Exercice 8

1. \[\vect{AB}=\coord{-1}{2}{0},\]
   \[\vect{AC}=\coord{-1}{0}{3}.\]

2. On cherche \(\vec{n}\coord{a}{b}{c}\) tel que \(\vec{n}\cdot\vect{AB}=0\) et \(\vec{n}\cdot\vect{AC}=0\) :

   \(\begin{cases}-a+2b=0\\-a+3c=0\end{cases}\). De (1) : \(a=2b\). De (2) : \(a=3c\), donc

   \[\begin{aligned}c &= \frac{a}{3}\\[.35em]&= \frac{2b}{3} .\end{aligned}\]

   Prenons \(b=3\) : \(a=6\), \(c=2\). Donc \(\vec{n}\coord{6}{3}{2}\).

   Vérification :

   \[\begin{aligned}\vec{n}\cdot\vect{AB} &= -6+6+0\\[.35em]&= 0\end{aligned}\]

   ✓,

   \[\begin{aligned}\vec{n}\cdot\vect{AC} &= -6+0+6\\[.35em]&= 0\end{aligned}\]

   ✓.

3. \(\mathcal{P}\) passe par \(A(1,0,0)\) : \(6(x-1)+3y+2z=0\), soit \(\boldsymbol{6x+3y+2z-6=0}\).

4. \(A\):

   \[6-6=0\]

   ✓. \(B\):

   \[0+6+0-6=0\]

   ✓. \(C\):

   \[0+0+6-6=0\]

   ✓.

Corrigé : Exercice 9

1. Vect. dir. de \(d\): \(\vec{u}\coord{1}{-1}{2}\). Normal de \(\mathcal{P}\): \(\vec{n}\coord{1}{1}{1}\).

   \(\vec{u}\cdot\vec{n}=1-1+2=2\neq 0\). Donc \(\vec{u}\) n'est pas orthogonal à \(\vec{n}\), ce qui signifie que \(d\) n'est pas parallèle à \(\mathcal{P}\).

2. Substituons la paramétrisation de \(d\) dans l'équation de \(\mathcal{P}\) : \((2+t)+(1-t)+(3+2t)-6=0\), soit \(2t=0\), d'où \(t=0\).

   Le point d'intersection est \(\boldsymbol{M=(2,1,3)}\).

Corrigé : Exercice 10

1. \(\mathcal{S}\): \((x-1)^2+(y-2)^2+(z+1)^2=9\).

2. \[\begin{aligned}d(\Omega,\mathcal{P}) &= \frac{|2(1)-1(2)+2(-1)-1|}{3}\\[.35em]&= \frac{|2-2-2-1|}{3}\\[.35em]&= \frac{3}{3}\\[.35em]&= \boldsymbol{1} .\end{aligned}\]

3. \(d(\Omega,\mathcal{P})=1<R=3\). Donc \(\mathcal{P}\) est sécant à \(\mathcal{S}\). L'intersection est un cercle de centre \(H\) (projeté de \(\Omega\) sur \(\mathcal{P}\)) et de rayon

   \[\begin{aligned}r &= \sqrt{R^2-d^2}\\[.35em]&= \sqrt{9-1}\\[.35em]&= \boldsymbol{2\sqrt{2}} .\end{aligned}\]

Corrigé : Exercice 11

1. \[\begin{aligned}\norme{\vec{u}+\vec{v}}^2 &= (\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{u}+\vec{v})\\[.35em]&= \vec{u}\cdot\vec{u}+\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{v}\cdot\vec{u}+\vec{v}\cdot\vec{v}\\[.35em]&= \norme{\vec{u}}^2+2\vec{u}\cdot\vec{v}+\norme{\vec{v}}^2 .\end{aligned}\]
   \(\square\)

2. On isole \(\vec{u}\cdot\vec{v}\) : \(2\vec{u}\cdot\vec{v}=\norme{\vec{u}+\vec{v}}^2-\norme{\vec{u}}^2-\norme{\vec{v}}^2\), d'où la formule. \(\square\)

3. Si l'un des vecteurs est nul, les deux membres sont nuls : l'inégalité est une égalité. Sinon, leur angle est défini et on sait que \(\cos\theta\in[-1,1]\). Donc \(|\vec{u}\cdot\vec{v}|=\norme{\vec{u}}\norme{\vec{v}}|\cos\theta|\leqslant\norme{\vec{u}}\norme{\vec{v}}\). Égalité si \(|\cos\theta|=1\), i.e. \(\theta=0\) ou \(\pi\), i.e. \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires. \(\square\)

Corrigé : Exercice 12

1. \[\begin{aligned}I &= \left(\frac{1+5}{2},\frac{2-2}{2},\frac{3+7}{2}\right)\\[.35em]&= \boldsymbol{(3,0,5)} .\end{aligned}\]

2. Le plan \(\Pi\) est perpendiculaire à \((AB)\) et passe par \(I\). Un vecteur normal à \(\Pi\) est \(\vect{AB}\coord{4}{-4}{4}\), qu'on simplifie en \(\coord{1}{-1}{1}\).

   Équation : \(1(x-3)-1(y-0)+1(z-5)=0\), soit \(\boldsymbol{x-y+z-8=0}\).

   Vérification : \(I=(3,0,5)\) donne \(3-0+5-8=0\) ✓.

3. Soit \(M(x,y,z)\in\Pi\), donc \(x-y+z-8=0\).

   \[\begin{aligned}MA^2 &= (x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2\\[.35em]&= x^2-2x+1+y^2-4y+4+z^2-6z+9\end{aligned}\]
   \[\begin{aligned}MB^2 &= (x-5)^2+(y+2)^2+(z-7)^2\\[.35em]&= x^2-10x+25+y^2+4y+4+z^2-14z+49\end{aligned}\]
   \[\begin{aligned}MA^2 -MB^2 &= (-2x+10x) +(-4y-4y)\\[.35em]&\quad {}+(-6z+14z) +(14-78)\\[.35em]&= 8x-8y+8z-64\end{aligned}\]
   \[\begin{aligned}&= 8(x-y+z-8)\\[.35em]&= 8\times 0\\[.35em]&= 0 .\end{aligned}\]

   Donc \(MA^2=MB^2\), i.e. \(MA=MB\). \(\square\)

Corrigé : Problème

Partie A

1. Normal : \(\vec{n}\coord{1}{2}{2}\). Un point : en posant

\(x=9\). Le point \((9,0,0)\in\mathcal{P}\).

2.

Le centre \(\Omega\) est dans le plan \(\mathcal{P}\) ! Vérification : \(3+2+4-9=0\) ✓.

3. Comme \(\Omega\in\mathcal{P}\) et \(R=3>0\), le plan passe par le centre de la sphère. L'intersection de \(\mathcal{S}\) et \(\mathcal{P}\) est un grand cercle de \(\mathcal{S}\) : un cercle de centre \(\Omega\) et de rayon \(R=3\).

Partie B

4. Comme \(\Omega\in\mathcal{P}\), le projeté orthogonal de \(\Omega\) sur \(\mathcal{P}\) est \(\Omega\) lui-même : \(\boldsymbol{H=\Omega=(3,1,2)}\).

5. Le symétrique \(\Omega'\) vérifie \(H=\frac{\Omega+\Omega'}{2}\), donc \(\Omega'=2H-\Omega\). Comme \(H=\Omega\), \(\boldsymbol{\Omega'=\Omega=(3,1,2)}\). Le symétrique de \(\Omega\) par rapport à \(\mathcal{P}\) est \(\Omega\) lui-même, ce qui est logique puisque \(\Omega\) est dans le plan.

6.

Partie C

7. \(d:\begin{cases}x=t\\y=2t\\z=2t\end{cases}\), \(t\in\R\).

8. On substitue dans l'équation de \(\mathcal{S}\) : \((t-3)^2+(2t-1)^2+(2t-2)^2=9\).

Développons : \(t^2-6t+9+4t^2-4t+1+4t^2-8t+4=9\), soit \(9t^2-18t+14=9\), d'où \(9t^2-18t+5=0\).

\(\sqrt{\Delta}=12\). \(t=\frac{18\pm 12}{18}\), donc

et

Points d'intersection :

9.

10. Étude du vecteur normal et interprétation :

Le vecteur directeur de la droite \(d\) est \(\vec{u} \coord{1}{2}{2}\). Le vecteur normal du plan \(\mathcal{P}\) est \(\vec{n} \coord{1}{2}{2}\). On constate que \(\vec{u} = \vec{n}\), ce qui signifie que la droite \(d\) est perpendiculaire au plan \(\mathcal{P}\).

Synthèse géométrique :

• Le plan \(\mathcal{P}\) passe par le centre \(\Omega\) de la sphère car \(d(\Omega, \mathcal{P}) = 0\). C'est donc un plan diamétral de la sphère.

• La droite \(d\) est perpendiculaire à ce plan, mais elle ne passe pas par le centre \(\Omega\). En effet, pour le point \(\Omega(3, 1, 2)\), le système de la droite \(d\) (\(x=t, y=2t, z=2t\)) donnerait \(t=3\) pour l'abscisse, mais \(y = 2(3) = 6 \neq 1\) pour l'ordonnée.

• Cette configuration explique que la droite \(d\) coupe la sphère selon une corde \([M_1M_2]\) de longueur \(4\). Cette longueur est strictement inférieure au diamètre de la sphère (\(2R = 6\)), ce qui confirme géométriquement que la droite ne passe pas par le centre \(\Omega\).

Fiche mémoire : un nombre pour mesurer et justifier

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