La méthode pour ce cas spécifique est l'utilisation de la quantité conjuguée. On multiplie et divise par l'expression conjuguée \((\sqrt{x^2+3x} + x)\) :
\[\begin{aligned}f(x) &= \frac{\left(\sqrt{x^2+3x} - x\right)\left(\sqrt{x^2+3x} + x\right)}{\sqrt{x^2+3x} + x}\end{aligned}\]
On applique l'identité remarquable \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\) au numérateur :
\[\begin{aligned}f(x) &= \frac{\left(\sqrt{x^2+3x}\right)^2 - x^2}{\sqrt{x^2+3x} + x}\\[.35em]&= \frac{x^2 + 3x - x^2}{\sqrt{x^2+3x} + x}\\[.35em]&= \frac{3x}{\sqrt{x^2+3x} + x}\end{aligned}\]
La fonction est bien réécrite sous la forme d'un quotient.
On se retrouve maintenant avec une nouvelle forme indéterminée \(\frac{\infty}{\infty}\). Il faut factoriser par \(x\). Commençons par le terme sous la racine :
\[\begin{aligned}\sqrt{x^2+3x} &= \sqrt{x^2 \left(1+\frac{3}{x}\right)}\\[.35em]&= \sqrt{x^2} \times \sqrt{1+\frac{3}{x}}\end{aligned}\]
Puisque l'on cherche la limite en \(+\infty\), on peut supposer que \(x > 0\). Ainsi,
\[\begin{aligned}\sqrt{x^2} &= |x|\\[.35em]&= x
.\end{aligned}\]
L'expression du dénominateur devient :
\[\begin{aligned}\sqrt{x^2+3x} + x &= x\sqrt{1+\frac{3}{x}} + x\\[.35em]&= x \left(\sqrt{1+\frac{3}{x}} + 1\right)\end{aligned}\]
Remplaçons cela dans l'expression complète de \(f(x)\) :
\[\begin{aligned}f(x) &= \frac{3x}{x \left(\sqrt{1+\frac{3}{x}} + 1\right)}\\[.35em]&= \frac{3}{\sqrt{1+\frac{3}{x}} + 1}\end{aligned}\]
Quand \(x\) tend vers \(+\infty\), la fraction \(\frac{3}{x}\) tend vers \(0\). Le dénominateur tend donc vers
\[\begin{aligned}\sqrt{1+0} + 1 &= 1 + 1\\[.35em]&= 2
.\end{aligned}\]
La limite cherchée est donc \(\boldsymbol{\frac{3}{2}}\).