Limites de fonctions et asymptotes

Ton parcours : décrire ce que le calcul direct ne dit pas

Une limite répond à deux questions : où la variable se dirige-t-elle, et que deviennent alors les valeurs de la fonction ? Le point d'arrivée de x et celui de \(f(x)\) sont deux informations différentes.

Pour réactiver les bases : factoriser, déterminer un signe, manipuler les racines, connaître les limites de suites et les variations de l'exponentielle. À tout moment, une pause donne deux indices puis une explication ; essaie ensuite la variante pour voir ce qui est devenu plus clair.

Socle 2026–2027 : limites des fonctions, opérations, comparaison, asymptotes parallèles aux axes et comparaison entre \(x^n\) et \(e^x\). La preuve de cette dernière comparaison est guidée pour tout entier n positif, pas seulement pour n=1. Les quantificateurs sont décryptés comme un approfondissement de la formulation du programme.

Prolongements : asymptotes obliques et problème de synthèse. Le logarithme est présenté pour préparer la fiche dédiée : ses propriétés y seront reprises. La continuité justifiant certaines compositions sera développée dans son chapitre.

Pourquoi étudier les limites de fonctions ?

Des suites aux fonctions : plusieurs sens d'approche

Dans la fiche 5, nous avons étudié les limites de suites lorsque leur indice entier \(n\) tend vers \(+\infty\). Pour une fonction d'une variable réelle, on peut aussi étudier ce qui se passe près d'une abscisse donnée.

La variable \(x\) parcourt le domaine de la fonction, qui est une partie de \(\R\). Selon ce domaine, plusieurs approches sont possibles :

• \(x\) peut tendre vers \(+\infty\) ou vers \(-\infty\).

• Surtout, \(x\) peut tendre vers un nombre réel fini \(a\) (par exemple, que se passe-t-il quand \(x\) s'approche de \(0\) ?).

• \(x\) peut s'approcher d'un nombre \(a\) par la gauche (valeurs inférieures) ou par la droite (valeurs supérieures), et les deux limites peuvent être différentes.

Lire les limites avec les asymptotes

L'une des finalités majeures de l'étude des limites de fonctions est d'en déduire des propriétés géométriques sur la courbe représentative. Les limites permettent de détecter les asymptotes, des droites dont la courbe se rapproche au sens d'une limite. Une asymptote horizontale ou oblique peut être traversée, même une infinité de fois.

Comprendre les limites, c'est être capable de tracer l'allure globale d'une fonction près d'une borne de son domaine ou lorsque la variable tend vers l'infini.

L'outil fondamental du calcul différentiel

Sans limite, pas de dérivée ! Rappelle-toi la classe de Première : le nombre dérivé \(f'(a)\) est défini exactement comme une limite, celle du taux d'accroissement lorsque \(h\) tend vers \(0\) :

Les limites servent aussi à définir la continuité et interviennent dans la construction de l'intégrale.

L'idée avant la formule

Commençons par lire quelques situations sur une courbe. Nous préciserons ensuite ce que signifie « se rapprocher » dans chaque cas.

Limite en l'infini : La stabilisation (Asymptote horizontale)

Limite en un point fini : Une valeur sans borne près d’une abscisse (asymptote verticale)

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Le cours formel

Cette section présente les définitions en mots puis, pour approfondir, avec des quantificateurs. Le programme privilégie leur sens : tout intervalle autour de la limite finit par contenir toutes les valeurs considérées. C'est la fondation de l'analyse moderne (développée notamment par Cauchy et Weierstrass).

Limites en l'infini (\(x \to +\infty\) ou \(x \to -\infty\))

Ces définitions sont les analogues directs de celles vues pour les suites, à la différence près que le seuil n'est plus un entier \(N\), mais un nombre réel \(A\).

Limites en un point réel \(a\) (\(x \to a\))

On peut étudier une limite en un réel \(a\), que la fonction soit définie en \(a\) ou non. La question porte sur les valeurs \(f(x)\) lorsque \(x\) se rapproche de \(a\), avec \(x\ne a\).

Synthèse sur les Asymptotes (Inclus l'Asymptote Oblique)

Voici le récapitulatif fondamental pour l'analyse de courbes au baccalauréat :

• Si \(\limite{x}{+\infty} f(x) = \boldsymbol{L}\) ou \(\limite{x}{-\infty} f(x) = \boldsymbol{L}\) (avec \(L\) réel fini), alors la droite d'équation \(\boldsymbol{y=L}\) est une Asymptote Horizontale.

• Si une limite en a, à gauche ou à droite, vaut \(+\infty\) ou \(-\infty\) (\(a\) étant un réel fini), alors la droite d'équation \(\boldsymbol{x=a}\) est une Asymptote Verticale.

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Le couloir délimité par \(2-1/x\) et \(2+1/x\) se resserre. La courbe traverse la droite \(y=2\) aux multiples positifs de \(\pi\) ; pourtant sa distance à cette droite tend vers zéro.

Opérations sur les limites et Formes Indéterminées

Les théorèmes de somme, produit et quotient vus sur les suites s'appliquent exactement de la même manière pour les fonctions.

Rappel des 4 Formes Indéterminées (FI) qui bloquent le calcul direct :

1. « \(+\infty - \infty\) » 2. « \(0 \times \infty\) » 3. « \(\frac{\infty}{\infty}\) » 4. « \(\frac{0}{0}\) »

Limite d'une fonction composée

Limites usuelles et Croissances comparées

Théorèmes de Comparaison et des Gendarmes

Les théorèmes de comparaison s'appliquent aux fonctions comme aux suites. Ils permettent notamment d'étudier des expressions contenant \(\sin x\) ou \(\cos x\) en utilisant leurs bornes, même si ces deux fonctions n'ont pas de limite en l'infini.

La boîte à outils : Réflexes pour le bac

Exercices

Exercice 1 ★☆☆ : Limites de base par opérations

Déterminer les limites suivantes (bien vérifier si l'on est en présence d'une forme indéterminée ou non) :

1. \(\limite{x}{+\infty} \left(3x^2 - 5x + \frac{1}{x}\right)\)
2. \(\limite{x}{-\infty} (2 - x)(e^x + 4)\)

3. \(\limite{x}{0} \left(\frac{3}{x^2} + 5x - \sqrt{x}\right)\) (avec \(x > 0\))

Exercice 2 ★☆☆ : Asymptotes verticales (Signe du zéro)

On considère la fonction \(f\) définie par \(f(x) = \frac{-2x+5}{x-4}\).

1. Déterminer la limite de \(f\) quand \(x \to 4^-\) (limite par valeurs inférieures).

2. Déterminer la limite de \(f\) quand \(x \to 4^+\) (limite par valeurs supérieures).

3. En déduire l'existence d'une asymptote et préciser son équation cartésienne.

Exercice 3 ★☆☆ : Lever les F.I. sur les fractions rationnelles

Déterminer les limites suivantes en factorisant par les termes de plus haut degré :

1. \(\limite{x}{+\infty} \frac{4x^3 - 2x + 1}{5x^3 + 7x^2}\)
2. \(\limite{x}{-\infty} \frac{x^2 + 1}{x^3 - x}\)
3. \(\limite{x}{+\infty} \frac{x^4 - 1}{3x^2 + x}\)

Exercice 4 ★★☆ : La méthode de la quantité conjuguée

Soit la fonction \(f\) définie par \(f(x) = \sqrt{x^2 + 3x} - x\).

1. Montrer que le calcul direct de la limite en \(+\infty\) mène à une forme indéterminée.

2. En multipliant par la quantité conjuguée, réécrire \(f(x)\) sous la forme d'un quotient.

3. En factorisant le numérateur et le dénominateur par \(x\), déterminer \(\limite{x}{+\infty} f(x)\).

Exercice 5 ★★☆ : Rédaction de la composition de limites

Rédiger soigneusement le calcul des limites composées suivantes, en précisant les changements de variables :

1. \(\limite{x}{+\infty} e^{\frac{2x+1}{x-3}}\)
2. \(\limite{x}{-\infty} \sqrt{x^2 - 4x + 1}\)

Exercice 6 ★★☆ : Théorème des Gendarmes et fonctions oscillantes

Soit la fonction \(g\) définie par \(g(x) = \frac{x^2 + x\sin(x)}{x^2 + 1}\).

1. Démontrer que pour tout réel \(x > 0\), on a l'encadrement suivant :

   \[\frac{x^2 - x}{x^2 + 1} \le g(x) \le \frac{x^2 + x}{x^2 + 1}\]

2. En déduire la limite de \(g(x)\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\).

Exercice 7 ★★☆ : Croissances comparées (Comparer exponentielle et puissances)

Déterminer les limites suivantes en \(+\infty\) en forçant l'apparition des formules du cours :

1. \(f(x) = \frac{e^x}{x^2 + 5x}\)
2. \(g(x) = x^3 - e^x\)
3. \(h(x) = \frac{e^x + x}{e^x - x}\)

Exercice 8 ★★☆ : Croissances comparées en \(-\infty\)

1. Calculer \(\limite{x}{-\infty} (x^2 - 1)e^x\). (Indication : penser à développer l'expression d'abord).

2. On souhaite calculer \(\limite{x}{-\infty} x e^{-x}\). En posant \(X = -x\), déduire le résultat de cette limite. L'utilisation du théorème des croissances comparées était-elle véritablement nécessaire ici ?

Exercice 9 ★★☆ : F.I. du type \(\frac{0}{0}\) par factorisation

Déterminer les limites locales suivantes :

1. \(\limite{x}{3} \frac{x^2 - 9}{x - 3}\)
2. \(\limite{x}{1} \frac{x^2 + 2x - 3}{x - 1}\)

Exercice 10 ★★★ : Vrai ou Faux

Pour chacune des affirmations suivantes, justifier si elle est vraie (par une preuve) ou fausse (par un contre-exemple) :

1. « Si \(\limite{x}{+\infty} f(x) = 0\), alors pour \(x\) suffisamment grand, \(f(x)\) est strictement positif. »

2. « Si pour tout \(x \ge 0\), on a l'inégalité \(f(x) > x\), alors \(\limite{x}{+\infty} f(x) = +\infty\). »

3. « La courbe représentative d'une fonction ne peut jamais croiser son asymptote horizontale. »

Exercice 11 ★★★ : Asymptote Oblique et Position Relative

Soit la fonction \(f\) définie sur l'intervalle \(]-1 ; +\infty[\) par \(f(x) = \frac{2x^2 + x}{x + 1}\).

1. Trouver trois réels \(a, b\) et \(c\) tels que pour tout \(x > -1\), la fonction s'écrive :

   \[f(x) = ax + b + \frac{c}{x+1}\]

2. En déduire que la droite \((\Delta)\) d'équation \(y = 2x - 1\) est une asymptote oblique à la courbe en \(+\infty\).

3. Étudier la position relative de la courbe de \(f\) par rapport à son asymptote \((\Delta)\).

Exercice 12 ★★★ : Modélisation d'un phénomène physique

La température (exprimée en \(^\circ C\)) d'un objet métallique se refroidissant dans une pièce maintenue à \(20^\circ C\) est modélisée par la fonction \(T(t) = 20 + 60e^{-0,1t}\), où \(t \ge 0\) est le temps écoulé en minutes depuis la sortie du four.

1. Déterminer la température initiale de l'objet métallique.

2. Déterminer la limite de \(T(t)\) quand \(t \to +\infty\). Interpréter physiquement ce résultat.

Problème : Étude complète et Asymptotes ★★★

On considère la fonction \(f\) définie sur l'intervalle \(I = ]1 ; +\infty[\) par :

On note \(\mathcal{C}_f\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé du plan.

Partie A : Étude des limites et découverte des asymptotes

1. Déterminer rigoureusement la limite de \(f\) en \(x \to 1^+\). Quelle conséquence graphique majeure peut-on en tirer pour la courbe \(\mathcal{C}_f\) ?

2. Montrer que la limite de la fonction \(f\) en \(+\infty\) est \(+\infty\).

3. Démontrer que, pour tout réel \(x \in I\), on peut réécrire la fonction sous la forme décomposée :

   \[f(x) = x - 1 + \frac{x+3}{x^2-1}\]

4. Démontrer grâce à l'expression précédente que la droite \((\Delta)\) d'équation \(y = x - 1\) est une asymptote oblique à \(\mathcal{C}_f\) en \(+\infty\).

5. Étudier le signe de la différence \(f(x) - (x - 1)\) sur l'intervalle \(I\) et en déduire la position relative de la courbe \(\mathcal{C}_f\) par rapport à son asymptote \((\Delta)\).

Partie B : Étude des variations de la fonction

1. Montrer que la dérivée de \(f\) sur l'intervalle \(I\) peut s'écrire sous la forme factorisée :

   \[f'(x) = \frac{x \cdot g(x)}{(x^2-1)^2}\]

   où \(g(x)\) est un polynôme de degré 3 que l'on déterminera.

2. Étudier les variations de g sur \(]1,+\infty[\), puis montrer qu'elle y possède un unique zéro \(\beta\in]2,3[\). En déduire le signe de g et le tableau de variations de f, avec les limites de la partie A. On utilisera la propriété suivante des fonctions continues : une fonction qui prend des valeurs de signes opposés entre deux points s'annule entre eux.

Partie C : Lien avec une suite récurrente

On définit la suite \((u_n)\) par son premier terme \(u_0 = 3\) et, pour tout \(n \in \N\), par la relation de récurrence \(u_{n+1} = f(u_n)\).

1. Démontrer que l'équation \(f(x) = x\) admet une unique solution \(\alpha\) sur l'intervalle \(]1 ; +\infty[\). Déterminer la valeur exacte de \(\alpha\).

2. Montrer que \(g(\alpha)=2\alpha-2>0\), puis en déduire \(\beta<\alpha\). Utiliser la croissance de f sur \([\alpha,+\infty[\) pour démontrer par récurrence que \(u_n>\alpha\) pour tout n. Étudier ensuite \(f(x)-x\) pour \(x>\alpha\) et prouver la stricte décroissance de la suite.

3. La suite \((u_n)\) est-elle convergente ? Si oui, quelle est sa limite ?

Corrigés détaillés

Corrigé : Exercice 1

1. Nous sommes en présence d'une somme où \(\limite{x}{+\infty} 3x^2 = +\infty\) et \(\limite{x}{+\infty} (-5x) = -\infty\). C'est une forme indéterminée. Factorisons par le terme de plus haut degré, \(x^2\) :

   \[\begin{aligned}3x^2 - 5x + \frac{1}{x} &= x^2 \left(3 - \frac{5}{x} + \frac{1}{x^3}\right)\end{aligned}\]

   On analyse les limites de chaque élément :

   • \(\limite{x}{+\infty} \frac{5}{x} = 0\) et \(\limite{x}{+\infty} \frac{1}{x^3} = 0\), donc la parenthèse tend vers \(3\).

   • \[\limite{x}{+\infty} x^2 = +\infty.\]

   Par le théorème du produit des limites, on obtient :

   \[\limite{x}{+\infty} \left(3x^2 - 5x + \frac{1}{x}\right) = \boldsymbol{+\infty}\]

2. Analysons les deux facteurs séparément en \(-\infty\) :

   • \[\limite{x}{-\infty} (2 - x) = +\infty.\]

   • On sait que \(\limite{x}{-\infty} e^x = 0\), donc \(\limite{x}{-\infty} (e^x + 4) = 4\).

   Par la règle du produit, une limite infinie multipliée par un réel strictement positif donne l'infini avec le même signe. Ainsi :

   \[\limite{x}{-\infty} (2 - x)(e^x + 4) = \boldsymbol{+\infty}\]

3. Quand \(x \to 0\) avec \(x>0\), on calcule les limites de chaque terme :

   • \(\limite{x}{0^+} x^2 = 0^+\), donc par passage à l'inverse \(\limite{x}{0^+} \frac{3}{x^2} = +\infty\).

   • \[\limite{x}{0^+} 5x = 0.\]
   • \[\limite{x}{0^+} \sqrt{x} = 0.\]

   Par la règle de la somme des limites (il n'y a aucune forme indéterminée ici), la limite globale est imposée par le terme tendant vers l'infini :

   \[\limite{x}{0^+} \left(\frac{3}{x^2} + 5x - \sqrt{x}\right) = \boldsymbol{+\infty}\]

Corrigé : Exercice 2

1. Étudions séparément le numérateur et le dénominateur lorsque \(x\) s'approche de la valeur interdite \(4\). Pour le numérateur :

   \[\begin{aligned}\limite{x}{4} (-2x + 5) &= -2(4) + 5\\[.35em]&= -3 .\end{aligned}\]

   Pour le dénominateur : \(\limite{x}{4} (x - 4) = 0\). Nous avons une limite de la forme \(\frac{-3}{0}\). Le résultat sera infini, mais il faut déterminer le signe du dénominateur près du point étudié.

   Puisque l'on étudie la limite à gauche (\(x \to 4^-\)), on a \(x < 4\). Ceci implique que \(x - 4 < 0\). Le dénominateur tend donc vers \(0^-\). Le quotient prend la forme \(\frac{-3}{0^-}\). Par la règle des signes (négatif divisé par négatif donne positif), on conclut :

   \[\limite{x}{4^-} f(x) = \boldsymbol{+\infty}\]

2. On reproduit le même raisonnement pour la limite à droite (\(x \to 4^+\)). Ici, \(x > 4\), ce qui implique que \(x - 4 > 0\). Le dénominateur tend vers \(0^+\). Le quotient prend la forme \(\frac{-3}{0^+}\). Par la règle des signes (négatif divisé par positif donne négatif), on conclut :

   \[\limite{x}{4^+} f(x) = \boldsymbol{-\infty}\]

3. Les limites calculées en \(x=4\) étant infinies, on en déduit géométriquement que la courbe représentative admet une asymptote verticale dont l'équation est la droite verticale d'abscisse \(\boldsymbol{x = 4}\).

Corrigé : Exercice 3

1. Le numérateur et le dénominateur tendent vers \(+\infty\). Nous avons une forme indéterminée \(\frac{\infty}{\infty}\). On factorise par le terme de plus haut degré, \(x^3\), en haut et en bas :

   \[\begin{aligned}&\frac{4x^3 - 2x + 1}{5x^3 + 7x^2}\\[.35em]&= \frac{x^3 \left(4 - \frac{2x}{x^3} + \frac{1}{x^3}\right)}{x^3 \left(5 + \frac{7x^2}{x^3}\right)}\\[.35em]&= \frac{x^3 \left(4 - \frac{2}{x^2} + \frac{1}{x^3}\right)}{x^3 \left(5 + \frac{7}{x}\right)}\end{aligned}\]

   Pour \(x \neq 0\), on simplifie par \(x^3\) :

   \[= \frac{4 - \frac{2}{x^2} + \frac{1}{x^3}}{5 + \frac{7}{x}}\]

   Toutes les fractions du type \(\frac{1}{x^n}\) tendent vers \(0\) en \(+\infty\). Le numérateur tend donc vers \(4\), et le dénominateur vers \(5\). Le résultat final est : \(\boldsymbol{\frac{4}{5}}\).

2. De même, on a une forme \(\frac{\infty}{\infty}\). On factorise par \(x^2\) au numérateur et par \(x^3\) au dénominateur :

   \[\begin{aligned}&\frac{x^2 + 1}{x^3 - x}\\[.35em]&= \frac{x^2 \left(1 + \frac{1}{x^2}\right)}{x^3 \left(1 - \frac{1}{x^2}\right)}\\[.35em]&= \frac{x^2}{x^3} \times \frac{1 + \frac{1}{x^2}}{1 - \frac{1}{x^2}}\\[.35em]&= \frac{1}{x} \times \frac{1 + \frac{1}{x^2}}{1 - \frac{1}{x^2}}\end{aligned}\]

   Le deuxième facteur de ce produit tend vers \(\frac{1+0}{1-0} = 1\). Le premier facteur \(\frac{1}{x}\) tend vers \(0\) en \(-\infty\). Le produit \(0 \times 1\) donne la limite : \(\boldsymbol{0}\).

3. On factorise par \(x^4\) en haut et \(x^2\) en bas :

   \[\begin{aligned}&\frac{x^4 - 1}{3x^2 + x}\\[.35em]&= \frac{x^4 \left(1 - \frac{1}{x^4}\right)}{x^2 \left(3 + \frac{1}{x}\right)}\\[.35em]&= x^2 \times \frac{1 - \frac{1}{x^4}}{3 + \frac{1}{x}}\end{aligned}\]

   Le quotient tend vers \(\frac{1-0}{3+0} = \frac{1}{3}\). Le facteur \(x^2\) tend vers \(+\infty\). Le produit d'une limite infinie par un réel strictement positif donne l'infini. La limite est donc : \(\boldsymbol{+\infty}\).

Corrigé : Exercice 4

1. En \(+\infty\), le polynôme sous la racine \(x^2+3x\) tend vers \(+\infty\), donc la racine carrée tend vers \(+\infty\). Le second terme \(-x\) tend vers \(-\infty\). La somme donne immédiatement une forme indéterminée classique du type « \(+\infty - \infty\) ».

2. La méthode pour ce cas spécifique est l'utilisation de la quantité conjuguée. On multiplie et divise par l'expression conjuguée \((\sqrt{x^2+3x} + x)\) :

   \[\begin{aligned}f(x) &= \frac{\left(\sqrt{x^2+3x} - x\right)\left(\sqrt{x^2+3x} + x\right)}{\sqrt{x^2+3x} + x}\end{aligned}\]

   On applique l'identité remarquable \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\) au numérateur :

   \[\begin{aligned}f(x) &= \frac{\left(\sqrt{x^2+3x}\right)^2 - x^2}{\sqrt{x^2+3x} + x}\\[.35em]&= \frac{x^2 + 3x - x^2}{\sqrt{x^2+3x} + x}\\[.35em]&= \frac{3x}{\sqrt{x^2+3x} + x}\end{aligned}\]

   La fonction est bien réécrite sous la forme d'un quotient.

3. On se retrouve maintenant avec une nouvelle forme indéterminée \(\frac{\infty}{\infty}\). Il faut factoriser par \(x\). Commençons par le terme sous la racine :

   \[\begin{aligned}\sqrt{x^2+3x} &= \sqrt{x^2 \left(1+\frac{3}{x}\right)}\\[.35em]&= \sqrt{x^2} \times \sqrt{1+\frac{3}{x}}\end{aligned}\]

   Puisque l'on cherche la limite en \(+\infty\), on peut supposer que \(x > 0\). Ainsi,

   \[\begin{aligned}\sqrt{x^2} &= |x|\\[.35em]&= x .\end{aligned}\]

   L'expression du dénominateur devient :

   \[\begin{aligned}\sqrt{x^2+3x} + x &= x\sqrt{1+\frac{3}{x}} + x\\[.35em]&= x \left(\sqrt{1+\frac{3}{x}} + 1\right)\end{aligned}\]

   Remplaçons cela dans l'expression complète de \(f(x)\) :

   \[\begin{aligned}f(x) &= \frac{3x}{x \left(\sqrt{1+\frac{3}{x}} + 1\right)}\\[.35em]&= \frac{3}{\sqrt{1+\frac{3}{x}} + 1}\end{aligned}\]

   Quand \(x\) tend vers \(+\infty\), la fraction \(\frac{3}{x}\) tend vers \(0\). Le dénominateur tend donc vers

   \[\begin{aligned}\sqrt{1+0} + 1 &= 1 + 1\\[.35em]&= 2 .\end{aligned}\]

   La limite cherchée est donc \(\boldsymbol{\frac{3}{2}}\).

Corrigé : Exercice 5

1. Décomposons soigneusement la limite de cette fonction composée. Posons la fonction intérieure \(g(x) = \frac{2x+1}{x-3}\).

   Étape 1 : Déterminons la limite de \(g\) en \(+\infty\). C'est une fraction rationnelle, on factorise par les termes dominants :

   \[\begin{aligned}g(x) &= \frac{x\left(2+\frac{1}{x}\right)}{x\left(1-\frac{3}{x}\right)}\\[.35em]&= \frac{2+\frac{1}{x}}{1-\frac{3}{x}}\end{aligned}\]

   On en déduit facilement que

   \[\begin{aligned}\limite{x}{+\infty} g(x) &= \frac{2+0}{1-0}\\[.35em]&= 2 .\end{aligned}\]

   Étape 2 : Déterminons la limite de la fonction extérieure. On pose le changement de variable \(X = g(x)\). D'après l'étape précédente, \(X\) tend vers \(2\). On calcule la limite de l'exponentielle en ce point :

   \[\limite{X}{2} e^X = e^2\]

   Conclusion : Par le théorème de composition des limites, \(\boldsymbol{\limite{x}{+\infty} e^{\frac{2x+1}{x-3}} = e^2}\).

2. Répétons la procédure. Fonction intérieure : \(h(x) = x^2 - 4x + 1\).

   Étape 1 : Limite en \(-\infty\). On factorise le polynôme par son terme dominant :

   \[\begin{aligned}h(x) &= x^2\left(1 - \frac{4}{x} + \frac{1}{x^2}\right)\end{aligned}\]

   Comme \(\limite{x}{-\infty} x^2 = +\infty\) et la parenthèse tend vers \(1\), on a par produit \(\limite{x}{-\infty} h(x) = +\infty\).

   Étape 2 : Limite extérieure. On pose \(X = h(x)\). On cherche la limite de la racine carrée quand \(X\) tend vers \(+\infty\) :

   \[\limite{X}{+\infty} \sqrt{X} = +\infty\]

   Conclusion : Par composition, \(\boldsymbol{\limite{x}{-\infty} \sqrt{x^2-4x+1} = +\infty}\).

Corrigé : Exercice 6

1. La présence de la fonction sinus nous oblige à recourir aux inégalités. On sait que pour tout réel \(x\), on a l'encadrement fondamental :

   \[-1 \le \sin(x) \le 1\]

   L'énoncé nous permet de supposer que \(x > 0\). On peut donc multiplier toute l'inégalité par \(x\) sans altérer le sens :

   \[-x \le x\sin(x) \le x\]

   On ajoute ensuite \(x^2\) à chaque membre :

   \[x^2 - x \le x^2 + x\sin(x) \le x^2 + x\]

   Le dénominateur de \(g(x)\) est \(x^2 + 1\). Cette quantité est strictement positive pour tout \(x\) réel. On peut donc diviser toute la chaîne d'inégalités par ce terme :

   \[\begin{aligned}\frac{x^2 - x}{x^2 + 1} &\le \frac{x^2 + x\sin(x)}{x^2 + 1}\\&\le \frac{x^2 + x}{x^2 + 1}\end{aligned}\]

   L'encadrement est démontré.

2. Étudions séparément les limites des deux « gendarmes » (les bornes) en \(+\infty\).

   Borne inférieure :

   \[\begin{aligned}&\limite{x}{+\infty} \frac{x^2 - x}{x^2 + 1}\\[.35em]&= \limite{x}{+\infty} \frac{x^2\left(1 - \frac{1}{x}\right)}{x^2\left(1 + \frac{1}{x^2}\right)}\\[.35em]&= \limite{x}{+\infty} \frac{1 - \frac{1}{x}}{1 + \frac{1}{x^2}}\\[.35em]&= 1\end{aligned}\]

   Borne supérieure :

   \[\begin{aligned}&\limite{x}{+\infty} \frac{x^2 + x}{x^2 + 1}\\[.35em]&= \limite{x}{+\infty} \frac{x^2\left(1 + \frac{1}{x}\right)}{x^2\left(1 + \frac{1}{x^2}\right)}\\[.35em]&= \limite{x}{+\infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{1 + \frac{1}{x^2}}\\[.35em]&= 1\end{aligned}\]

   Les deux fonctions encadrantes convergent vers la même limite finie \(1\). D'après le théorème des gendarmes, la fonction centrale est forcée de converger vers cette même valeur. Donc :

   \[\limite{x}{+\infty}g(x)=1.\]

Corrigé : Exercice 7

1. \(f(x) = \frac{e^x}{x^2 + 5x}\). Remplacer par l'infini donne une F.I. de type \(\frac{\infty}{\infty}\). L'objectif est de forcer l'apparition de l'expression du cours \(\frac{e^x}{x^n}\). Le dénominateur se factorise par son terme dominant \(x^2\) :

   \[\begin{aligned}f(x) &= \frac{e^x}{x^2\left(1 + \frac{5}{x}\right)}\\[.35em]&= \frac{e^x}{x^2} \times \frac{1}{1 + \frac{5}{x}}\end{aligned}\]

   Par croissances comparées :

   \[\limite{x}{+\infty}\frac{e^x}{x^2}=+\infty.\]

   La seconde fraction tend vers \(\frac{1}{1+0} = 1\). Le second facteur tend vers 1, donc la règle du produit donne :

   \[\limite{x}{+\infty}f(x)=+\infty.\]

2. \(g(x) = x^3 - e^x\). C'est une F.I. classique du type \(+\infty - \infty\). Pour faire apparaître une croissance comparée, factorisons le numérateur par \(e^x\).

   \[\begin{aligned}g(x) &= e^x \left(\frac{x^3}{e^x} - 1\right)\end{aligned}\]

   Par croissances comparées, l'exponentielle domine \(x^3\), ce qui justifie que \(\limite{x}{+\infty} \frac{e^x}{x^3} = +\infty\). En passant à l'inverse, on obtient que \(\limite{x}{+\infty} \frac{x^3}{e^x} = 0\). La parenthèse tend donc vers \(0 - 1 = -1\). Puisque \(\limite{x}{+\infty} e^x = +\infty\), le produit de ces deux limites donne : \(\boldsymbol{\limite{x}{+\infty} g(x) = -\infty}\).

3. \(h(x) = \frac{e^x + x}{e^x - x}\). C'est une nouvelle F.I. \(\frac{\infty}{\infty}\). On factorise par le terme dominant \(e^x\) au numérateur et au dénominateur :

   \[\begin{aligned}h(x) &= \frac{e^x \left(1 + \frac{x}{e^x}\right)}{e^x \left(1 - \frac{x}{e^x}\right)}\\[.35em]&= \frac{1 + \frac{x}{e^x}}{1 - \frac{x}{e^x}}\end{aligned}\]

   Le théorème des croissances comparées donne \(\limite{x}{+\infty} \frac{e^x}{x} = +\infty\), d'où \(\limite{x}{+\infty} \frac{x}{e^x} = 0\). Le numérateur tend vers \(1+0=1\), et le dénominateur vers \(1-0=1\). Par quotient, \(\boldsymbol{\limite{x}{+\infty} h(x) = 1}\).

Corrigé : Exercice 8

1. En \(-\infty\), le polynôme \((x^2 - 1)\) tend vers \(+\infty\) et l'exponentielle \(e^x\) tend vers \(0\). C'est une F.I. \(\infty \times 0\). L'astuce standard est de développer l'expression pour exploiter la forme du cours :

   \[\begin{aligned}(x^2 - 1)e^x &= x^2 e^x - e^x\end{aligned}\]

   Le cours sur les croissances comparées en \(-\infty\) nous dit que pour tout \(n\), \(\limite{x}{-\infty} x^n e^x = 0\). On applique ceci pour \(n=2\) : \(\limite{x}{-\infty} x^2 e^x = 0\). De plus, la limite fondamentale de l'exponentielle est \(\limite{x}{-\infty} e^x = 0\). Par une simple différence (\(0 - 0\)), on obtient \(\boldsymbol{\limite{x}{-\infty} (x^2 - 1)e^x = 0}\).

2. Analysons ce qui se passe quand on cherche \(\limite{x}{-\infty} x e^{-x}\). Quand \(x \to -\infty\), le premier facteur \(x\) tend logiquement vers \(-\infty\). Pour le second facteur \(e^{-x}\), l'exposant \((-x)\) va tendre vers \(+\infty\). Donc \(e^{-x}\) tend vers \(+\infty\). Le produit est de la forme \((-\infty) \times (+\infty)\). Les règles d'opérations sur les limites permettent ici de conclure directement. Le changement de variable demandé reste correct : avec

   \[\begin{aligned}X &= -x\\[.35em]&\to +\infty ,\end{aligned}\]

   on obtient \(-Xe^X\to-\infty\). Le théorème de croissances comparées n'est pas nécessaire ici. Conclusion directe : \(\boldsymbol{\limite{x}{-\infty} x e^{-x} = -\infty}\).

Corrigé : Exercice 9

1. En substituant \(x\) par 3, on aboutit à la forme indéterminée du type \(\frac{0}{0}\). On lève cette indétermination en factorisant le numérateur à l'aide de l'identité remarquable \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) :

   \[\begin{aligned}x^2 - 9 &= (x-3)(x+3)\end{aligned}\]

   Pour tout \(x \neq 3\) (ce qui est le cas dans un passage à la limite), la fraction se réduit :

   \[\begin{aligned}\frac{(x-3)(x+3)}{x-3} &= x+3\end{aligned}\]

   La limite de ce polynôme simplifié est celle du polynôme obtenu :

   \[\begin{aligned}\limite{x}{3} (x+3) &= 3 + 3\\[.35em]&= \boldsymbol{6}\end{aligned}\]

2. Encore une fois, la substitution directe \(x=1\) donne \(\frac{1+2-3}{1-1} = \frac{0}{0}\), une F.I. Le numérateur \(P(x) = x^2 + 2x - 3\) s'annule en 1, cela certifie que \(1\) est une racine, et donc que \(P(x)\) peut être factorisé par \((x-1)\). Cherchons le facteur manquant \((x-1)(x+c) = x^2 + 2x - 3\). En développant et en identifiant le terme constant :

   \[\begin{aligned}-1 \times c &= -3 \implies c\\[.35em]&= 3 .\end{aligned}\]

   La factorisation est donc \((x-1)(x+3)\). On simplifie la fraction originelle :

   \[\begin{aligned}\frac{(x-1)(x+3)}{x-1} &= x+3 \quad \text{pour } x \neq 1\end{aligned}\]

   Le passage à la limite donne immédiatement :

   \[\begin{aligned}\limite{x}{1} (x+3) &= 1 + 3\\[.35em]&= \boldsymbol{4}\end{aligned}\]

Corrigé : Exercice 10

1. Faux. La limite décrit un point d'arrivée mathématique, elle n'indique en aucun cas par quel côté ce point est approché (par dessus ou par dessous). Preuve par contre-exemple : Considérons la fonction \(f(x) = -\frac{1}{x}\). Sa limite est \(\limite{x}{+\infty} f(x) = 0\). Pourtant, pour tout \(x > 0\), on a \(-\frac{1}{x}<0\). La fonction est donc strictement négative malgré une limite nulle.

2. Vrai. Cette affirmation est une traduction directe du théorème de comparaison pour les limites infinies. Démonstration : La fonction minorante \(g(x) = x\) vérifie : \(\limite{x}{+\infty} g(x) = +\infty\). Comme \(f(x)\) est strictement supérieur à un gendarme qui file vers l'infini, \(f(x)\) est poussé vers l'infini. D'où \(\limite{x}{+\infty} f(x) = +\infty\).

3. Faux. C'est une idée reçue très répandue chez les élèves. Une asymptote représente un comportement limite global à l'infini, mais n'interdit nullement des intersections locales. De plus, une courbe peut croiser son asymptote une infinité de fois ! Contre-exemple : La fonction oscillante amortie \(f(x) = \frac{\sin(x)}{x}\). D'après le théorème des gendarmes, son asymptote horizontale est la droite \(y=0\). Or l'équation \(\frac{\sin(x)}{x} = 0\) admet une infinité de solutions (les multiples non nuls de \(\pi\), car zéro est exclu du domaine). La courbe coupe donc cette droite une infinité de fois, tandis que sa distance à la droite tend vers zéro.

Corrigé : Exercice 11

1. Pour déterminer ces coefficients, on réduit l'expression paramétrique au même dénominateur pour pouvoir l'identifier avec l'expression initiale :

   \[\begin{aligned}ax + b + \frac{c}{x+1} &= \frac{(ax+b)(x+1) + c}{x+1}\\[.35em]&= \frac{ax^2 + ax + bx + b + c}{x+1}\\[.35em]&= \frac{ax^2 + (a+b)x + (b+c)}{x+1}\end{aligned}\]

   On procède maintenant à l'identification des coefficients du numérateur avec ceux de la fonction originale \(2x^2 + x\):

   • Terme en \(x^2\) : \(a = 2\)

   • Terme en \(x\) :

     \[\begin{aligned}a+b &= 1 \implies 2+b\\[.35em]&= 1 \implies b\\[.35em]&= -1\end{aligned}\]

   • Terme constant :

     \[\begin{aligned}b+c &= 0 \implies -1+c\\[.35em]&= 0 \implies c\\[.35em]&= 1\end{aligned}\]

   La décomposition est donc formellement démontrée :

   \[\boldsymbol{f(x) = 2x - 1 + \frac{1}{x+1}}\]

2. Pour prouver l'existence d'une asymptote oblique, on étudie la différence entre la fonction et l'équation de la droite suspectée. Posons \(d(x) = f(x) - (2x-1)\). D'après la question 1, cette différence s'effondre à :

   \[d(x) = \frac{1}{x+1}\]

   Cet écart tend vers zéro en \(+\infty\) :

   \[\begin{aligned}\limite{x}{+\infty} d(x) &= \limite{x}{+\infty} \frac{1}{x+1}\\[.35em]&= 0\end{aligned}\]

   Par définition du cours, la droite \((\Delta)\) d'équation \(\boldsymbol{y = 2x - 1}\) est par conséquent une asymptote oblique à la courbe en \(+\infty\).

3. Étudier la position relative exige d'étudier le signe de l'écart \(d(x) = \frac{1}{x+1}\). L'énoncé nous place sur le domaine d'étude \(]-1 ; +\infty[\). Sur cet intervalle, on a \(x > -1\), ce qui implique que \(x+1 > 0\). Le numérateur étant strictement positif (\(1 > 0\)) et le dénominateur étant strictement positif, le quotient est positif : \(d(x) > 0\). Conclusion de l'analyse : l'écart \(f(x) - y_{\Delta}\) étant toujours positif, la courbe \(\mathcal{C}_f\) est strictement située au-dessus de son asymptote \((\Delta)\) sur l'intégralité du domaine.

Corrigé : Exercice 12

1. L'instant initial d'un processus correspond au temps \(t = 0\). Calculons l'image de 0 :

   \[\begin{aligned}T(0) &= 20 + 60e^{-0,1 \times 0}\\[.35em]&= 20 + 60e^0\\[.35em]&= 20 + 60 \times 1\\[.35em]&= \boldsymbol{80^\circ C}\end{aligned}\]

   L'objet métallique sort du four à la température de 80\(^\circ\)C.

2. On cherche \(\limite{t}{+\infty} T(t)\). C'est une limite composée.

   • L'argument de l'exponentielle est \(-0,1t\). Sa limite en \(+\infty\) est \(\limite{t}{+\infty} (-0,1t) = -\infty\).

   • Par composition avec la limite usuelle de l'exponentielle en l'infini négatif, \(\limite{X}{-\infty} e^X = 0\), on obtient :

     \[\limite{t}{+\infty} e^{-0,1t} = 0\]

   Par produit et somme basiques, la limite de la fonction globale est :

   \[\begin{aligned}\limite{t}{+\infty} T(t) &= 20 + 60 \times 0\\[.35em]&= \boldsymbol{20}\end{aligned}\]

   Interprétation physique du modèle : À long terme (asymptotiquement), l'objet se refroidit lentement jusqu'à atteindre l'équilibre thermique parfait avec son environnement. Dans ce modèle, la température reste strictement supérieure à \(20^\circ C\) à chaque instant fini, puisque \(60e^{-0{,}1t}>0\). Elle peut toutefois devenir aussi proche de cette valeur que l'on veut. La droite horizontale \(y=20\) est asymptote à la courbe de refroidissement.

Corrigé : Problème (Analyse et Suite Récurrente)

Partie A : Étude des limites

1. On cherche la limite locale de \(f(x) = \frac{x^3 - x^2 + 4}{x^2 - 1}\) en \(1^+\). Évaluons numérateur et dénominateur :

• Limite du numérateur : \(1^3 - 1^2 + 4 = 4\).

• Limite du dénominateur : \(1^2 - 1 = 0\). Il faut préciser le signe. Comme l'approche se fait par valeurs supérieures (\(x \to 1^+ \implies x > 1\)), alors \(x^2 > 1\), et par suite \(x^2-1 > 0\). Le dénominateur est donc un « \(0^+\) ».

Par la règle du quotient d'un réel strictement positif par un zéro positif, on obtient avec le signe indiqué :

Conséquence graphique : Cette limite infinie en un point fini démontre que la droite verticale d'équation \(\boldsymbol{x = 1}\) est une asymptote verticale à la courbe \(\mathcal{C}_f\).

2. En \(+\infty\), nous faisons face à une F.I. rationnelle du type \(\frac{\infty}{\infty}\). On factorise le numérateur et le dénominateur par la puissance dominante de \(x\) :

Dans le quotient de droite, les termes en \(1/x\), \(1/x^2\) et \(1/x^3\) tendent vers zéro. Ce quotient tend donc vers 1. Comme le facteur \(x\) tend vers \(+\infty\), la règle du produit donne :

3. Pour valider cette nouvelle forme, la méthode la plus robuste est de réduire l'expression de droite au même dénominateur :

On retrouve l'expression de \(f(x)\) : l'égalité est vérifiée sur son domaine.

4. Établissons la différence \(d(x)\) pour prouver l'asymptote oblique :

Calculons la limite de cet écart en \(+\infty\). C'est une fonction rationnelle, on applique la règle des monômes de plus haut degré en factorisant :

Puisque \(\limite{x}{+\infty} \frac{1}{x} = 0\), et que la fraction complexe tend vers 1, la limite totale est 0. On a bien \(\limite{x}{+\infty} d(x) = 0\), ce qui est la définition exacte stipulant que la droite \((\Delta)\) d'équation \(\boldsymbol{y = x - 1}\) est une asymptote oblique.

5. La position relative requiert l'étude du signe de l'écart \(d(x) = \frac{x+3}{x^2-1}\). L'intervalle de définition considéré est \(I = ]1 ; +\infty[\). Sur cet intervalle :

• \(x > 1 \implies x+3 > 4 > 0\). Le numérateur est strictement positif.

• \(x > 1 \implies x^2 > 1 \implies x^2-1 > 0\). Le dénominateur est strictement positif.

Le quotient est donc globalement positif : \(d(x) > 0\). L'écart étant irrémédiablement positif, on déduit que la courbe \(\mathcal{C}_f\) évolue strictement au-dessus de l'asymptote \((\Delta)\) sur l'intervalle étudié.

Partie B : Étude des variations

6. Appliquons les règles de dérivation de la forme \(\frac{u}{v}\), avec :

On développe le numérateur avec prudence :

La dernière étape consiste à factoriser ce résultat par l'élément commun \(x\) :

La fonction s'écrit bien sous la forme demandée, en définissant formellement \(\boldsymbol{g(x) = x^3 - 3x - 6}\).

7. Pour \(x>1\), on a \(g'(x)=3x^2-3>0\) : g est strictement croissante. Elle est continue car polynomiale. Les valeurs

et

sont de signes opposés. La propriété des valeurs intermédiaires donne un zéro \(\beta\in]2,3[\), et la stricte croissance en garantit l'unicité. On en déduit \(g(x)<0\) pour \(1<x<\beta\), puis \(g(x)>0\) pour \(x>\beta\).

Dans \(f'(x)=xg(x)/(x^2-1)^2\), les facteurs x et le dénominateur sont strictement positifs. La dérivée a donc le signe de g :

La fonction décroît depuis une branche infinie, atteint son minimum, puis croît vers \(+\infty\). Ce tableau est cohérent avec les deux limites calculées : une fonction strictement croissante sur tout l'intervalle n'aurait pas pu avoir une limite \(+\infty\) à son extrémité gauche.

Partie C : Les méandres de la suite

8. Trouver le point fixe \(f(x) = x\) est bien plus facile en utilisant la version décomposée de la fonction issue de A.3 :

Puisque \(x \in ]1 ; +\infty[\), le dénominateur \(x^2-1\) n'est jamais nul. On peut multiplier la relation :

Ce polynôme du second degré détiendra la réponse. Son discriminant est

Il possède deux solutions :

L'énoncé restreint drastiquement les valeurs valides à l'intervalle \(]1 ; +\infty[\). Sachant que \(\sqrt{17}\) est un peu plus grand que \(4\) (puisque \(\sqrt{16}=4\)), la solution \(x_1\) est négative (rejetée). La solution \(x_2\) vaut environ \(\frac{1+4,12}{2} = 2,56\), ce qui est bien supérieur à 1. Il existe donc une unique solution : \(\boldsymbol{\alpha = \frac{1+\sqrt{17}}{2}}\).

9. Le point fixe vérifie \(\alpha^2=\alpha+4\), donc

Ainsi \(g(\alpha)=5\alpha+4-3\alpha-6=2\alpha-2>0\). Puisque g est strictement croissante et s'annule en \(\beta\), on a \(\alpha>\beta\). La fonction f est donc strictement croissante sur \([\alpha,+\infty[\).

Initialisation : \(\sqrt{17}<5\) donne \(\alpha=(1+\sqrt{17})/2<3=u_0\). Si \(u_n>\alpha\), f est définie en \(u_n\) et sa croissance sur cet intervalle donne

La récurrence prouve l'existence de tous les termes et \(u_n>\alpha\). Pour \(x>\alpha\),

Le numérateur est un trinôme de coefficient dominant négatif, donc strictement négatif à droite de sa plus grande racine \(\alpha\) ; le dénominateur est positif pour \(x>1\). En prenant \(x=u_n>\alpha\), on obtient \(u_{n+1}<u_n\) : la suite est strictement décroissante.

10. La suite est décroissante et minorée par \(\alpha\) : elle converge vers \(\ell\geqslant\alpha>1\). Sa limite appartient donc au domaine de f, sur lequel cette fraction rationnelle est continue. On peut passer à la limite dans \(u_{n+1}=f(u_n)\) et obtenir \(\ell=f(\ell)\). L'unique point fixe dans \(]1,+\infty[\) est \(\alpha\), d'où

La propriété utilisée pour la récurrence est la croissance sur \([\alpha,+\infty[\), pas une croissance sur tout le domaine. L'intervalle choisi est une partie de la preuve.

Bilan à essayer sans corrigé

Pour \(f(x)=3+2/(x-1)\), détermine le domaine, les deux limites à l'infini, les limites à gauche et à droite de 1, puis les asymptotes. Donne un seuil A garantissant \(|f(x)-3|<0{,}01\) pour tous les \(x\geqslant A\).

Calcule ensuite \(\lim_{x\to+\infty}x^4e^{-2x}\) et explique pourquoi le même raisonnement ne donne pas la même réponse en \(-\infty\). Si tu hésites, reprends la pause sur les croissances, puis recommence avec \(x^2e^{-x}\).

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