Tle · Du modèle à l’autonomie

Dérivée seconde, convexité et points d’inflexion : pas à pas

Observe un exemple expliqué, entraîne-toi avec des indices, puis résous une autre situation sur papier. Compare les étapes avant de faire le point.

Mon objectif

Retrouver mes révisions

Définition de la dérivée seconde

1. Observer

2. S’entraîner avec aide

Calcule les deux dérivées de $f(x)=(x+2)e^{-x}$ , puis détermine le signe de $$f''$$ .

Comparer avec l’explication

Sur $\R$ , on dérive deux produits successifs :

\begin{aligned}f'(x)&=e^{-x}-(x+2)e^{-x}\\[.35em]&=-(x+1)e^{-x},\\[.35em]f''(x)&=-e^{-x}+(x+1)e^{-x}\\[.35em]&=xe^{-x}.\end{aligned}

L'exponentielle étant strictement positive, $$f''$$ a le signe de $$x$$ . Réessaie : pour $(x+3)e^{-x}$ , les deux dérivées sont $-(x+2)e^{-x}$ et $(x+1)e^{-x}$ ; le zéro se déplace en $$-1$$ .

3. Résoudre seul

Calculer $$f'(x)$$ puis $$f''(x)$$ pour chacune des fonctions suivantes :

$$f(x)=x^4-3x^2+1$$
$$g(x)=e^x$$
$h(x)=\ln(x)$ sur $]0,+\infty[$
$$k(x)=x^3$$

Comparer avec l’explication

Si $$f(x)=x^4-3x^2+1$$ , alors
$\[f'(x)=4x^3-6x\]$
puis
$\[f''(x)=12x^2-6\]$
Si $$g(x)=e^x$$ , alors
$\[g'(x)=e^x.\]$
puis
$\[g''(x)=e^x\]$
Si $h(x)=\ln(x)$ sur $]0,+\infty[$ , alors
$h'(x)=\frac{1}{x}$
puis
$h''(x)=-\frac{1}{x^2}$
Si $$k(x)=x^3$$ , alors
$\[k'(x)=3x^2.\]$
puis
$\[k''(x)=6x\]$

On considère la fonction $$f$$ définie sur $]0,+\infty[$ par

f(x)=\ln(x)

Calculer $$f'(x)$$ puis $$f''(x)$$ .
Étudier la convexité de $$f$$ sur son domaine.
Que peut-on dire de la position de la courbe par rapport à ses tangentes ?

Comparer avec l’explication

On considère $f(x)=\ln(x)$ sur $]0,+\infty[$ .

$f'(x)=\frac1x.$
puis
$f''(x)=-\frac1{x^2}$
Pour tout $$x>0$$ , on a $$x^2>0$$ , donc $-\dfrac1{x^2}<0$ . Ainsi,
$f''(x)<0 \quad \text{sur } ]0,+\infty[$
Donc $$f$$ est concave sur $]0,+\infty[$ .
Comme la fonction est concave, sa courbe est située en-dessous de ses tangentes.

4. Aller plus loin

On considère la fonction $$f$$ définie sur $\R\setminus\{-1\}$ par

f(x)=\frac{1}{x+1}

Calculer $$f''(x)$$ .
Étudier le signe de $$f''(x)$$ sur chacun des intervalles de définition.
La courbe admet-elle un point d'inflexion ? Expliquer avec précision.

Comparer avec l’explication

On considère $f(x)=\dfrac{1}{x+1}$ sur $\R\setminus\{-1\}$ .

$f'(x)=-\frac{1}{(x+1)^2}$
puis
$f''(x)=\frac{2}{(x+1)^3}$
Le signe de $$f''$$ est celui de $$(x+1)^3$$ .
- sur $]-\infty,-1[$ , on a $$(x+1)^3<0$$ , donc $$f''(x)<0$$ ;
- sur $]-1,+\infty[$ , on a $$(x+1)^3>0$$ , donc $$f''(x)>0$$ .
Bien que le signe change ``autour'' de $$-1$$ , on ne peut pas parler de point d'inflexion en $$-1$$ car la fonction n'est pas définie en $$-1$$ . Il n'y a donc aucun point d'inflexion.

Le point d'inflexion

1. Observer

2. S’entraîner avec aide

Compare en zéro $$f(x)=x^4$$ , $$g(x)=x^3+2x+5$$ et $$h(x)=1/x$$ . Lesquelles ont un point d'inflexion ? Une tangente horizontale est-elle nécessaire ?

Comparer avec l’explication

$$f''$$ s'annule mais reste positive ou nulle : pas d'inflexion. $$g''$$ passe de négative à positive : l'inflexion est $$I(0,5)$$ , avec pente $$g'(0)=2$$ ; elle n'est pas horizontale. $$h$$ n'est pas définie en zéro : aucun point de la courbe à cet endroit, malgré des signes opposés de part et d'autre. Réessaie : $$x^5+1$$ a une inflexion en $$(0,1)$$ , tandis que $$x^6+1$$ n'en a pas en zéro.

3. Résoudre seul

Pour chaque fonction, étudier la convexité et la concavité :

$$f(x)=x^2$$
$$g(x)=-x^2+5$$
$$h(x)=x^3$$

Comparer avec l’explication

Pour $$f(x)=x^2$$ , on a $$f''(x)=2>0$$ pour tout $x\in\R$ . Donc $$f$$ est convexe sur $\R$ .
Pour $$g(x)=-x^2+5$$ , on a $$g''(x)=-2<0$$ pour tout $x\in\R$ . Donc $$g$$ est concave sur $\R$ .
Pour $$h(x)=x^3$$ , on a $$h''(x)=6x$$ .
- sur $]-\infty,0[$ , $$6x<0$$ , donc $$h$$ est concave ;
- sur $]0,+\infty[$ , $$6x>0$$ , donc $$h$$ est convexe.
Il y a changement de signe en $$0$$ , donc point d'inflexion en $$(0,0)$$ .

On considère la fonction $$f$$ définie sur $\R$ par

\[f(x)=x^3-6x\]

Calculer $$f''(x)$$ .
Étudier le signe de $$f''(x)$$ .
En déduire l'existence d'un point d'inflexion et donner ses coordonnées.

Comparer avec l’explication

On considère $$f(x)=x^3-6x$$ .

On calcule :
$\[f'(x)=3x^2-6.\]$
puis
$\[f''(x)=6x\]$
Le signe de $$f''(x)$$ est celui de $$x$$ :
- $$f''(x)<0$$ si $$x<0$$ ;
- $\[f''(0)=0;\]$
- $$f''(x)>0$$ si $$x>0$$ .
Il y a changement de signe en $$0$$ , donc point d'inflexion d'abscisse $$0$$ . Comme $$f(0)=0$$ , le point est
$\boxed{I(0,0)}$

4. Aller plus loin

On considère la fonction $$f$$ définie sur $\R$ par

\[f(x)=x^4\]

Calculer $$f''(x)$$ .
Vérifier que $$f''(0)=0$$ .
La courbe admet-elle pour autant un point d'inflexion en $$0$$ ? Justifier soigneusement.

Comparer avec l’explication

On considère $$f(x)=x^4$$ .

$\[f'(x)=4x^3.\]$
puis
$\[f''(x)=12x^2\]$
On a bien
$\begin{aligned}f''(0) &= 12\times 0^2\\[.35em]&= 0\end{aligned}$
Cependant, pour tout réel $$x$$ , on a $x^2\ge 0$ , donc
$12x^2\ge 0$
La dérivée seconde ne change pas de signe au voisinage de $$0$$ : elle reste positive ou nulle de chaque côté.

La courbe reste donc convexe avant et après $$0$$ . Il n'y a pas de point d'inflexion en $$0$$ .

Exemple très détaillé d'étude complète

1. Observer

Exemple · Étudier la convexité de

\(f(x)=x^3-3x^2+2\)

On veut déterminer les intervalles de convexité, de concavité, puis les points d'inflexion.

1. Domaine de définition. \\ La fonction est polynomiale, donc définie sur tout $\R$ .

2. Calcul de la dérivée première.

\[f'(x)=3x^2-6x\]

3. Calcul de la dérivée seconde.

\begin{aligned}f''(x) &= 6x-6\\[.35em]&= 6(x-1)\end{aligned}

4. Zéros de $$f''$$ .

6(x-1)=0 \Longleftrightarrow x=1

5. Tableau de signe de $$f''$$ .

\begin{array}{|c|ccc|} \hline x & -\infty & 1 & +\infty \\ \hline x-1 & - & 0 & + \\ \hline f''(x)=6(x-1) & - & 0 & + \\ \hline \end{array}

6. Interprétation.

sur $]-\infty,1[$ , on a $$f''(x)<0$$ , donc $$f$$ est concave ;
sur $]1,+\infty[$ , on a $$f''(x)>0$$ , donc $$f$$ est convexe.

7. Point d'inflexion. \\ Comme $$f''$$ change de signe en $$1$$ , la courbe admet un point d'inflexion d'abscisse $$1$$ . On calcule son ordonnée :

\begin{aligned}f(1) &= 1-3+2\\[.35em]&= 0\end{aligned}

Le point d'inflexion est donc :

\boxed{I(1,0)}

2. S’entraîner avec aide

Étudie la convexité de $$F(x)=x^3-6x^2+9x+1$$ ; trouve l'inflexion puis sa tangente.

Comparer avec l’explication

La fonction est polynomiale, donc deux fois dérivable sur $\R$ .

\begin{aligned}F'(x)&=3x^2-12x+9,\\[.35em]F''(x)&=6x-12\\[.35em]&=6(x-2).\end{aligned}

Elle est concave sur $]-\infty,2]$ et convexe sur $[2,+\infty[$ . Le signe change en 2 ;

\begin{aligned}F(2) &= 8-24+18+1\\[.35em]&= 3 ,\end{aligned}

donc $$I(2,3)$$ . La pente vaut

\begin{aligned}F'(2) &= 12-24+9\\[.35em]&= -3\end{aligned}

\begin{aligned}T(x) &= 3-3(x-2)\\[.35em]&= -3x+9 .\end{aligned}

Une inflexion peut avoir une pente négative. Réessaie : en ajoutant 4 à $$F$$ , seule l'ordonnée de $$I$$ et de la tangente augmente de 4.

3. Résoudre seul

On considère la fonction $$f$$ définie sur $\R$ par

\[f(x)=xe^x\]

Calculer $$f''(x)$$ .
Étudier le signe de $$f''(x)$$ .
Déterminer les intervalles de convexité et le point d'inflexion éventuel.

Comparer avec l’explication

On considère $$f(x)=xe^x$$ .

Première dérivée :
$\begin{aligned}f'(x) &= e^x+xe^x\\[.35em]&= (x+1)e^x\end{aligned}$
Seconde dérivée :
$\begin{aligned}f''(x) &= 1\cdot e^x +(x+1)e^x\\[.35em]&= (x+2)e^x\end{aligned}$
Comme $$e^x>0$$ pour tout $$x$$ , le signe de $$f''(x)$$ est celui de $$x+2$$ .
- si $$x<-2$$ , alors $$f''(x)<0$$ ;
- si $$x=-2$$ , alors $$f''(x)=0$$ ;
- si $$x>-2$$ , alors $$f''(x)>0$$ .
Donc la fonction est concave sur $]-\infty,-2[$ et convexe sur $]-2,+\infty[$ . Il y a changement de signe en $$-2$$ , donc point d'inflexion. Or
$f(-2)=-2e^{-2}$
donc
$\boxed{I\left(-2,-2e^{-2}\right)}$

On considère la fonction

\[f(x)=x^3-3x^2+2\]

Calculer $$f''(x)$$ .
Étudier le signe de $$f''(x)$$ .
Déterminer les intervalles de convexité et de concavité.
Donner les coordonnées du point d'inflexion.

Comparer avec l’explication

On considère $$f(x)=x^3-3x^2+2$$ .

$\[f'(x)=3x^2-6x.\]$
puis
$\begin{aligned}f''(x) &= 6x-6\\[.35em]&= 6(x-1)\end{aligned}$
Le signe de $$f''$$ est celui de $$x-1$$ .
- si $$x<1$$ , alors $$f''(x)<0$$ ;
- si $$x=1$$ , alors $$f''(x)=0$$ ;
- si $$x>1$$ , alors $$f''(x)>0$$ .
Donc $$f$$ est concave sur $]-\infty,1[$ et convexe sur $]1,+\infty[$ .
Comme il y a changement de signe en $$1$$ , la courbe admet un point d'inflexion d'abscisse $$1$$ . Or
$\begin{aligned}f(1) &= 1-3+2\\[.35em]&= 0\end{aligned}$
donc
$\boxed{I(1,0)}$

4. Aller plus loin

On considère la fonction $$f(x)=x^3$$ .

Montrer que la courbe admet un point d'inflexion en $$0$$ .
Déterminer l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse $$0$$ .
Comparer, selon le signe de $$x$$ , la position de la courbe de $$f$$ par rapport à cette tangente.

Comparer avec l’explication

On considère $$f(x)=x^3$$ .

$\[f'(x)=3x^2.\]$
puis
$\[f''(x)=6x\]$
Le signe de $$6x$$ change en $$0$$ , donc la courbe admet un point d'inflexion en $$0$$ .
L'équation de la tangente au point d'abscisse $$0$$ est
$\[y=f'(0)(x-0)+f(0)\]$
Or $$f'(0)=0$$ et $$f(0)=0$$ , donc
$\boxed{y=0}$
La tangente est l'axe des abscisses.
On compare $$f(x)$$ à $$0$$ .
- si $$x<0$$ , alors $$x^3<0$$ : la courbe est sous la tangente ;
- si $$x>0$$ , alors $$x^3>0$$ : la courbe est au-dessus de la tangente.
La courbe traverse donc sa tangente au point d'inflexion.

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