Ce petit quiz t’aide à partir avec les bons outils. Une base mal comprise peut rendre la suite plus difficile, même si tu travailles sérieusement.
Ce n’est pas une note : en cas d’erreur, tu sauras précisément quoi revoir avant d’avancer.
Tu peux revoir les explications ci-dessus, puis ouvrir le chapitre à ton rythme.
Avant de commencer5 questions pour vérifier tes bases
Ton parcours : distinguer hauteur, pente et variation de la pente
Pour reprendre les bases : pente d'une tangente, signe et variations, dérivation d'un produit et d'une composée (fiche 7), tableau de signes. Le logarithme intervient dans quelques exemples ; sa définition et ses propriétés seront développées dans la fiche 11.
Socle 2026–2027 : définition par les sécantes, équivalences pour les fonctions deux fois dérivables, lecture graphique, points d'inflexion et inégalités. La preuve « f'' positive implique courbe au-dessus des tangentes » est guidée. L'inégalité arithmético-géométrique et les dérivées d'ordre supérieur sont des prolongements. La courbe de Lorenz, autre approfondissement possible, n'est pas traitée ici.
Tu peux interrompre la lecture après une pause et revenir à ses indices. Chercher une variante sans regarder l'explication aide à repérer ce qui reste à reprendre.
Pourquoi étudier la dérivée seconde ?
Passer de la pente à la variation de la pente
Dans la fiche précédente, la dérivée première a permis de répondre à une question capitale : la fonction monte-t-elle ou descend-t-elle ? La dérivée seconde pousse l'analyse un cran plus loin, avec une question encore plus fine :
La vitesse d'augmentation elle-même augmente-t-elle ou diminue-t-elle ?
Autrement dit, la dérivée première mesure une pente, tandis que la dérivée seconde mesure la variation de cette pente. C'est elle qui renseigne sur la courbure de la courbe.
Une fonction peut très bien être croissante tout en devenant de moins en moins raide. Elle peut aussi être décroissante tout en se redressant progressivement. Ces nuances ne sont pas visibles avec le seul signe de \(f'\) : il faut à ce moment-là regarder \(f''\).
Une idée centrale en sciences
La dérivée seconde intervient dans plusieurs situations :
en physique, si \(x(t)\) désigne une position, alors \(x'(t)\) est la vitesse et \(x''(t)\) l'accélération ;
en économie, elle permet de savoir si une croissance s'accélère ou ralentit ;
en optimisation, elle aide à distinguer un sommet d'un creux ;
en géométrie, elle indique si une courbe est en forme de bol, de chapeau, ou si elle change de courbure.
L'étude de la convexité complète celle des variations. Selon la question posée, elle permet de préciser l'allure de la courbe, ses positions par rapport aux tangentes ou ses points d'inflexion.
Le lien profond avec la lecture des graphes
Ce chapitre permet de faire le pont entre le calcul algébrique et la lecture visuelle des courbes.
Avec \(f'\), tu lis dans quel sens la courbe se déplace. Avec \(f''\), tu lis de quelle manière elle se plie. C'est exactement ce qui donne à une courbe son allure : arrondie vers le haut, vers le bas, ou changeant de forme en un point particulier.
Pour vérifier une lecture graphique, nomme la fonction représentée (f, f' ou f''), précise l'intervalle, puis relie ce que tu vois à une propriété. Les pauses suivantes permettent de travailler ces liens.
Ici, les pentes augmentent au fur et à mesure : la courbe est convexe.
Le bol et le chapeau
Agrandir ↗Comparer une courbe, une tangente et une corde
Pour f(x) = cx² avec c = 1, prévois la position de la courbe par rapport à la tangente et à la corde entre les abscisses −2 et 2. Puis change le signe de c.
Courbe bleue : f. Droite corail : tangente T en t. Segment en pointillés : corde entre (−2 ; 4c) et (2 ; 4c). Les comparaisons avec la corde concernent uniquement [−2 ; 2].
Pour c = 1, f(x) − T(x) = (x − t)² ≥ 0, et 4 − x² ≥ 0 sur [−2 ; 2] : la courbe est au-dessus de ses tangentes et sous la corde. Pour c = −1, les inégalités s’inversent. Pour c = 0, les trois tracés se confondent.
Lire les valeurs et les coordonnées
Pour c = 1, f(x) − T(x) = (x − t)² ≥ 0, et 4 − x² ≥ 0 sur [−2 ; 2] : la courbe est au-dessus de ses tangentes et sous la corde. Pour c = −1, les inégalités s’inversent. Pour c = 0, les trois tracés se confondent.
Avec c = 1, la fonction est convexe sur tout ℝ, mais décroît à gauche de 0 et croît à droite. Explique pourquoi « convexe » ne veut pas dire « croissante ». Cette famille ne possède aucun point d’inflexion : pourquoi c = 0 ne suffit-il pas ?
Agrandir ↗ Trait plein : courbe ; tirets : tangente ; pointillés : corde. Pour c=0, les trois traits se confondent avec l'axe horizontal. L'échelle verticale est la même dans les trois dessins.
Cette propriété est très utile pour comprendre les dessins et aussi pour répondre à certaines questions de bac du type : « la courbe est-elle au-dessus ou au-dessous de sa tangente ? »
Calculer \(f'(x)\) puis \(f''(x)\) pour chacune des fonctions suivantes :
\(f(x)=x^4-3x^2+1\)
\(g(x)=e^x\)
\(h(x)=\ln(x)\) sur \(]0,+\infty[\)
\(k(x)=x^3\)
Exercice 2 ★☆☆ - Lire la courbure avec \(f''\)
Pour chaque fonction, étudier la convexité et la concavité :
\(f(x)=x^2\)
\(g(x)=-x^2+5\)
\(h(x)=x^3\)
Exercice 3 ★☆☆ - Premier point d'inflexion
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\R\) par
\[f(x)=x^3-6x\]
Calculer \(f''(x)\).
Étudier le signe de \(f''(x)\).
En déduire l'existence d'un point d'inflexion et donner ses coordonnées.
Exercice 4 ★★☆ - Le logarithme népérien
On considère la fonction \(f\) définie sur \(]0,+\infty[\) par
\[f(x)=\ln(x)\]
Calculer \(f'(x)\) puis \(f''(x)\).
Étudier la convexité de \(f\) sur son domaine.
Que peut-on dire de la position de la courbe par rapport à ses tangentes ?
Exercice 5 ★★☆ - Produit et changement de courbure
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\R\) par
\[f(x)=xe^x\]
Calculer \(f''(x)\).
Étudier le signe de \(f''(x)\).
Déterminer les intervalles de convexité et le point d'inflexion éventuel.
Exercice 6 ★★☆ - Un zéro de \(f''\) ne suffit pas
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\R\) par
\[f(x)=x^4\]
Calculer \(f''(x)\).
Vérifier que \(f''(0)=0\).
La courbe admet-elle pour autant un point d'inflexion en \(0\) ? Justifier soigneusement.
Exercice 7 ★★☆ - Etude complète de la courbure
On considère la fonction
\[f(x)=x^3-3x^2+2\]
Calculer \(f''(x)\).
Étudier le signe de \(f''(x)\).
Déterminer les intervalles de convexité et de concavité.
Donner les coordonnées du point d'inflexion.
Exercice 8 ★★☆ - Fonction rationnelle
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\R\setminus\{-1\}\) par
\[f(x)=\frac{1}{x+1}\]
Calculer \(f''(x)\).
Étudier le signe de \(f''(x)\) sur chacun des intervalles de définition.
La courbe admet-elle un point d'inflexion ? Expliquer avec précision.
Exercice 9 ★★☆ - Fonction avec racine
On considère la fonction \(f\) définie sur \([-1,+\infty[\) par
\[f(x)=(x+1)\sqrt{x+1}\]
Simplifier l'expression de \(f(x)\) sous la forme d'une puissance.
Calculer \(f''(x)\) sur \(]-1,+\infty[\).
Étudier la convexité de \(f\).
Exercice 10 ★★★ - Vrai ou Faux
Dire si chaque affirmation est vraie ou fausse, en justifiant :
« Si \(f''(a)=0\), alors \(a\) est l'abscisse d'un point d'inflexion. »
« Si \(f''(x)>0\) sur un intervalle, alors \(f'(x)\) y est croissante. »
« Si une fonction est concave sur un intervalle, alors sa courbe est au-dessus de ses tangentes. »
« Une fonction peut être croissante et concave sur un même intervalle. »
Exercice 11 ★★★ - Tangente en un point d'inflexion
On considère la fonction \(f(x)=x^3\).
Montrer que la courbe admet un point d'inflexion en \(0\).
Déterminer l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse \(0\).
Comparer, selon le signe de \(x\), la position de la courbe de \(f\) par rapport à cette tangente.
Exercice 12 ★★★ - Modélisation physique
On modélise la position d'un mobile par
\[s(t)=t^3-3t^2+2 \qquad (t\in\R)\]
Interpréter physiquement \(s'(t)\) et \(s''(t)\).
Calculer \(s''(t)\).
À quel instant l'accélération change-t-elle de signe ?
Que peut-on en déduire sur la courbure de la courbe représentative de \(s\) ?
Problème - Inégalités de convexité et approximation
★★★
Partie A - Convexité de l'exponentielle et inégalités
On considère la fonction \(f(x)=e^x\) définie sur \(\R\).
Calculer \(f''(x)\) et en déduire que \(f\) est convexe sur \(\R\).
En utilisant la propriété « une fonction convexe est toujours au-dessus de ses tangentes », écrire l'inégalité obtenue avec la tangente en \(x=0\). En déduire que :
\[e^x \geqslant 1 + x \quad \text{pour tout } x\in\R\]
En appliquant cette inégalité à \(x = \frac{a}{n}\) où \(a>0\) et \(n\in\N^*\), montrer que :
\[\left(1+\frac{a}{n}\right)^n \leqslant e^a\]
(Bonus) En appliquant l'inégalité \(e^x\geqslant 1+x\) à \(x=-\frac{a}{n}\), montrer que :
\[e^a \leqslant \frac{1}{\left(1-\frac{a}{n}\right)^n} \quad \text{pour } n > a\]
Partie B - Concavité du logarithme et inégalité arithmético-géométrique
On considère la fonction \(g(x)=\ln(x)\) définie sur \(]0,+\infty[\).
Calculer \(g''(x)\) et en déduire que \(g\) est concave sur \(]0,+\infty[\).
Pour une fonction concave, la courbe est en dessous de ses tangentes. Écrire l'inégalité obtenue avec la tangente en \(x=1\), et en déduire :
\[\ln(x) \leqslant x - 1 \quad \text{pour tout } x > 0\]
Soient \(a,b > 0\). En appliquant l'inégalité précédente à \(x = \frac{a}{b}\), montrer que :
\[\ln(a) - \ln(b) \leqslant \frac{a}{b} - 1\]
En déduire l'inégalité arithmético-géométrique : pour tous \(a,b > 0\),
\[\sqrt{ab} \leqslant \frac{a+b}{2}\]
avec égalité si et seulement si \(a=b\).
Indication : pose \(m=(a+b)/2\). Applique la question 6 à \(a/m\) et à \(b/m\), puis additionne. Les propriétés du logarithme sont rappelées dans la fiche 11.
Partie C - Tangente et point d'inflexion
On considère \(h(x) = x\,e^{-x}\) définie sur \(\R\).
Calculer \(h'(x)\), \(h''(x)\) et \(h'''(x)\).
Déterminer le point d'inflexion \(I\) de la courbe \(\mathcal{C}_h\).
Déterminer l'équation de la tangente \((T)\) à \(\mathcal{C}_h\) au point d'inflexion \(I\).
Montrer que \((T)\)traverse la courbe en \(I\) : étudier le signe de \(h(x) - T(x)\) au voisinage de \(x=2\), où \(T(x)\) désigne l'expression de la tangente.
On considère \(f(x)=\dfrac{1}{x+1}\) sur \(\R\setminus\{-1\}\).
\[f'(x)=-\frac{1}{(x+1)^2}\]
puis
\[f''(x)=\frac{2}{(x+1)^3}\]
Le signe de \(f''\) est celui de \((x+1)^3\).
sur \(]-\infty,-1[\), on a \((x+1)^3<0\), donc \(f''(x)<0\) ;
sur \(]-1,+\infty[\), on a \((x+1)^3>0\), donc \(f''(x)>0\).
Bien que le signe change ``autour'' de \(-1\), on ne peut pas parler de point d'inflexion en \(-1\) car la fonction n'est pas définie en \(-1\). Il n'y a donc aucun point d'inflexion.
Corrigé - Exercice 9
On considère \(f(x)=(x+1)\sqrt{x+1}\) sur \([-1,+\infty[\).
Ainsi, la fonction est convexe sur \([-1,+\infty[\) : le critère s'applique sur l'intérieur, puis on inclut \(-\)1 par continuité comme expliqué dans le cours.
Corrigé - Exercice 10
Faux. Le contre-exemple classique est \(f(x)=x^4\) : on a \(f''(0)=0\), mais aucun point d'inflexion en \(0\).
Vrai. Si \(f''(x)>0\) sur un intervalle, alors \(f'\) y est croissante.
Vrai. Pour une fonction concave, la courbe est au-dessous de ses tangentes.
Vrai. Par exemple \(f(x)=\ln(x)\) sur \(]0,+\infty[\) est croissante car \(f'(x)=\dfrac1x>0\), et concave car \(f''(x)=-\dfrac1{x^2}<0\).
Corrigé - Exercice 11
On considère \(f(x)=x^3\).
\[f'(x)=3x^2.\]
puis
\[f''(x)=6x\]
Le signe de \(6x\) change en \(0\), donc la courbe admet un point d'inflexion en \(0\).
L'équation de la tangente au point d'abscisse \(0\) est
\[y=f'(0)(x-0)+f(0)\]
Or \(f'(0)=0\) et \(f(0)=0\), donc
\[\boxed{y=0}\]
La tangente est l'axe des abscisses.
On compare \(f(x)\) à \(0\).
si \(x<0\), alors \(x^3<0\) : la courbe est sous la tangente ;
si \(x>0\), alors \(x^3>0\) : la courbe est au-dessus de la tangente.
La courbe traverse donc sa tangente au point d'inflexion.
Corrigé - Exercice 12
On considère \(s(t)=t^3-3t^2+2\).
En physique :
\(s'(t)\) représente la vitesse ;
\(s''(t)\) représente l'accélération.
\[s'(t)=3t^2-6t.\]
puis
\[s''(t)=6t-6\]
L'accélération change de signe quand
\[6t-6=0 \Longleftrightarrow t=1\]
La courbe représentative de \(s\) est concave pour \(t<1\) et convexe pour \(t>1\). Elle admet donc un point d'inflexion pour l'instant \(t=1\).
Corrigé du problème
Partie A
1.\(f(x)=e^x\), \(f'(x)=e^x\), \(f''(x)=e^x>0\) pour tout \(x\in\R\). Donc \(f\) est convexe sur \(\R\).
La fonction logarithme est strictement croissante et ln(1)=0 : on en déduit \(ab/m^2\leqslant1\), puis \(ab\leqslant m^2\). Comme m est positif, \(\sqrt{ab}\leqslant m=(a+b)/2\).
Pour l'égalité, \(\ln z\leqslant z-1\) est stricte sauf en z=1 : cela se vérifie avec la dérivée de \(z-1-\ln z\), égale à \((z-1)/z\), dont le minimum unique est en 1. L'égalité exige donc a/m=b/m=1, soit a=b ; cette condition convient. Cette preuve utilise réellement la concavité du logarithme et ne se réduit pas à additionner deux inégalités sans lien avec le résultat demandé.
Cette dérivée est strictement négative avant 2, strictement positive après 2. La fonction \(\varphi'\) décroît donc jusqu'à 2 puis croît ; son minimum vaut zéro. Ainsi \(\varphi'(x)>0\) pour x\(\ne\)2. La différence \(\varphi\) est strictement croissante sur \(\R\) et s'annule en 2 : elle est négative avant 2, positive après 2. La courbe passe sous puis au-dessus de sa tangente, sur les deux intervalles entiers.
Le raisonnement relie trois niveaux : signe de \(\varphi''\), variations et signe de \(\varphi'\), puis variations et signe de \(\varphi\). La seule égalité \(h''(2)=0\) n'aurait pas suffi.
Bilan à essayer sans corrigé
Étudie les variations et la convexité de \(F(x)=(x-1)e^x\). Donne le point d'inflexion et l'équation de sa tangente. Explique pourquoi un point d'inflexion n'est pas nécessairement un extremum.
Pour \(G(x)=x^4\), compare la courbe à la corde entre \(-\)1 et 1 et à la tangente en 0. Explique pourquoi G''(0)=0 n'entraîne pas d'inflexion. Reprends enfin le dessin de f' du cours : esquisse une courbe de f passant par (0,2).
Réponds aux QCM, sélectionne les bonnes propositions ou remets les étapes dans l'ordre. Le site vérifie chaque réponse avant d'ouvrir la balise suivante.
