Tle · Du modèle à l’autonomie

Fonctions trigonométriques : pas à pas

Observe un exemple expliqué, entraîne-toi avec des indices, puis résous une autre situation sur papier. Compare les étapes avant de faire le point.

Mon objectif

Retrouver mes révisions

Formules de symétrie sur le cercle

1. Observer

2. S’entraîner avec aide

Calcule exactement $\cos(17\pi/6)$ et $\sin(17\pi/6)$ , en écrivant une transformation par ligne. Explique chaque signe avec le quadrant.

Comparer avec l’explication

La périodicité donne le même point pour $17\pi/6$ et $5\pi/6$ . Dans le deuxième quadrant, cosinus négatif et sinus positif :

\begin{aligned}\cos(17\pi/6)&=\cos(5\pi/6)\\[.35em]&=-\cos(\pi/6)\\[.35em]&=-\sqrt3/2,\\[.35em]\sin(17\pi/6)&=\sin(5\pi/6)\\[.35em]&=\sin(\pi/6)\\[.35em]&=1/2.\end{aligned}

Réessaie avec $-7\pi/4$ ; le signe ne se déduit pas uniquement du signe de l'angle.

3. Résoudre seul

Calculer les valeurs exactes :

$\cos\frac{5\pi}{3}$
$\sin\frac{7\pi}{6}$
$\cos\frac{3\pi}{4}$
$\sin(-\frac{5\pi}{4})$
$\tan\frac{2\pi}{3}$
$\cos\frac{13\pi}{6}$

Comparer avec l’explication

\begin{aligned}\cos\frac{5\pi}{3} &= \cos(2\pi-\frac\pi3)\\[.35em]&= \cos\frac\pi3\\[.35em]&= \frac{1}{2} .\end{aligned}

\begin{aligned}\sin\frac{7\pi}{6} &= \sin(\pi+\frac\pi6)\\[.35em]&= -\sin\frac\pi6\\[.35em]&= -\frac{1}{2} .\end{aligned}

\begin{aligned}\cos\frac{3\pi}{4} &= \cos(\pi-\frac\pi4)\\[.35em]&= -\cos\frac\pi4\\[.35em]&= -\frac{\sqrt{2}}{2} .\end{aligned}

\begin{aligned}\sin(-\frac{5\pi}{4}) &= -\sin\frac{5\pi}{4}\\[.35em]&= -\sin(\pi+\frac\pi4)\\[.35em]&= -(-\sin\frac\pi4)\\[.35em]&= \frac{\sqrt{2}}{2} .\end{aligned}

\begin{aligned}\tan\frac{2\pi}{3} &= \frac{\sin\frac{2\pi}{3}}{\cos\frac{2\pi}{3}}\\[.35em]&= \frac{\sin(\pi-\frac\pi3)}{\cos(\pi-\frac\pi3)}\\[.35em]&= \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{-\frac{1}{2}}\\[.35em]&= -\sqrt{3} .\end{aligned}

\begin{aligned}\cos\frac{13\pi}{6} &= \cos(\frac{13\pi}{6}-2\pi)\\[.35em]&= \cos\frac\pi6\\[.35em]&= \frac{\sqrt{3}}{2} .\end{aligned}

Résoudre sur $[0,2\pi[$ :

$\cos x=0$
$\sin x=\frac{1}{2}$
$\cos x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\tan x=1$

Comparer avec l’explication

a) $\cos x=0\iff x=\frac\pi2+k\pi$ . Sur $[0,2\pi[$ : $x=\frac\pi2$ ou $x=\frac{3\pi}{2}$ .

\sin x=\frac{1}{2}.

\sin\frac\pi6=\frac{1}{2}.

x=\frac\pi6+2k\pi

\begin{aligned}x &= \pi-\frac\pi6+2k\pi\\[.35em]&= \frac{5\pi}{6}+2k\pi .\end{aligned}

Sur $[0,2\pi[$ : $x=\frac\pi6$ ou $x=\frac{5\pi}{6}$ .

c) $\cos x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ . $\cos\frac{5\pi}{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ . $x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi$ ou $x=-\frac{5\pi}{6}+2k\pi$ . Sur $[0,2\pi[$ : $x=\frac{5\pi}{6}$ ou $x=\frac{7\pi}{6}$ .

d) $\tan x=1$ . $\tan\frac\pi4=1$ . $x=\frac\pi4+k\pi$ . Sur $[0,2\pi[$ : $x=\frac\pi4$ ou $x=\frac{5\pi}{4}$ .

4. Aller plus loin

Résoudre sur $]-\pi,\pi]$ :

$2\cos^2 x+\cos x-1=0$
$2\sin^2 x-3\sin x+1=0$
$\cos 2x=\cos x$
$\sin 2x=\cos x$

Comparer avec l’explication

a) Posons $X=\cos x\in[-1,1]$ . Alors

\begin{aligned}2X^2+X-1=0&\iff(2X-1)(X+1)=0\\[.35em]&\iff X=1/2\ \text{ou}\ X=-1.\end{aligned}

Ces deux valeurs sont des cosinus possibles.

$\cos x=\frac{1}{2}$ : $x=\pm\frac\pi3+2k\pi$ . Sur $]-\pi,\pi]$ : $x=\frac\pi3$ ou $x=-\frac\pi3$ .

$\cos x=-1$ : $x=\pi+2k\pi$ . Sur $]-\pi,\pi]$ : $x=\pi$ .

Solutions : $\{-\frac\pi3,\frac\pi3,\pi\}$ .

b) Posons $Y=\sin x\in[-1,1]$ . Alors

\begin{aligned}2Y^2-3Y+1=0&\iff(2Y-1)(Y-1)=0\\[.35em]&\iff Y=1/2\ \text{ou}\ Y=1.\end{aligned}

Ces deux valeurs sont des sinus possibles.

$\sin x=\frac{1}{2}$ : $x=\frac\pi6,\frac{5\pi}{6}$ sur $]-\pi,\pi]$ . $\sin x=1$ : $x=\frac\pi2$ .

Solutions : $\{\frac\pi6,\frac\pi2,\frac{5\pi}{6}\}$ .

c) L'égalité des cosinus donne deux familles, $k\in\Z$ :

\begin{aligned}2x=x+2k\pi&\iff x=2k\pi,\\[.35em]2x=-x+2k\pi&\iff3x=2k\pi\\[.35em]&\iff x=2k\pi/3.\end{aligned}

Sur $]-\pi,\pi]$ : $$x=0$$ , $x=\frac{2\pi}{3}$ , $x=-\frac{2\pi}{3}$ .

\begin{aligned}\sin 2x=\cos x\\[.35em]&\iff 2\sin x\cos x-\cos x=0\\[.35em]&\iff \cos x(2\sin x-1)=0 .\end{aligned}

\cos x=0

x=\pm\frac\pi2.

\sin x=\frac{1}{2}

x=\frac\pi6,\frac{5\pi}{6}.

Sur $]-\pi,\pi]$ : $\{-\frac\pi2,\frac\pi6,\frac\pi2,\frac{5\pi}{6}\}$ .

Formules d'addition

1. Observer

2. S’entraîner avec aide

Retrouve $\sin(\pi/12)$ à partir de $\pi/4-\pi/6$ . Explique pourquoi la valeur doit être entre 0 et $$1/2$$ .

Comparer avec l’explication

On obtient successivement

\begin{aligned}\sin(\pi/12)&=\sin(\pi/4)\cos(\pi/6)-\cos(\pi/4)\sin(\pi/6)\\[.35em]&=\tfrac{\sqrt2}{2}\tfrac{\sqrt3}{2}-\tfrac{\sqrt2}{2}\tfrac12\\[.35em]&=\tfrac{\sqrt6-\sqrt2}{4}.\end{aligned}

L'angle est entre $$0$$ et $\pi/6$ ; le sinus y est croissant, donc sa valeur est entre $$0$$ et $$1/2$$ . Réessaie avec $\cos(5\pi/12)$ . L'identité $\sin(a-b)=\sin a-\sin b$ n'est pas une règle générale.

3. Résoudre seul

Vérifier que $\cos^2\frac\pi3+\sin^2\frac\pi3=1$ .
Vérifier la formule $\sin 2x=2\sin x\cos x$ pour $x=\frac\pi6$ .
Montrer que $\cos\frac\pi{12}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$ en utilisant $\frac\pi{12}=\frac\pi3-\frac\pi4$ .

Comparer avec l’explication

\begin{aligned}\cos^2\frac\pi3+\sin^2\frac\pi3 &= (\frac{1}{2})^2+(\frac{\sqrt{3}}{2})^2\\[.35em]&= \frac{1}{4}+\frac{3}{4}\\[.35em]&= 1 .\end{aligned}

\begin{aligned}\sin\frac\pi3 &= 2\sin\frac\pi6\cos\frac\pi6\\[.35em]&= 2\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\\[.35em]&= \frac{\sqrt{3}}{2} .\end{aligned}

Vérifie bien : $\sin\frac\pi3=\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

\begin{aligned}\cos\frac\pi{12} &= \cos(\frac\pi3-\frac\pi4)\\[.35em]&= \cos\frac\pi3\cos\frac\pi4+\sin\frac\pi3\sin\frac\pi4\\[.35em]&= \frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\\[.35em]&= \frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4} .\end{aligned}

Simplifier :

$\cos^2 3x+\sin^2 3x$
$2\cos^2 x-1$
$\sin x\cos x$
$1-2\sin^2\frac{x}{2}$
$\cos^4 x-\sin^4 x$

Comparer avec l’explication

a) $\cos^2 3x+\sin^2 3x=1$ (relation fondamentale avec $$u=3x$$ ).

b) $2\cos^2 x-1=\cos 2x$ (formule de l'angle double).

c) $\sin x\cos x=\frac{1}{2}\sin 2x$ (formule $\sin 2x=2\sin x\cos x$ ).

\begin{aligned}1-2\sin^2\frac{x}{2} &= \cos(2\cdot\frac{x}{2})\\[.35em]&= \cos x\end{aligned}

(formule $\cos 2a=1-2\sin^2 a$ ).

\begin{aligned}\cos^4 x-\sin^4 x &= (\cos^2 x-\sin^2 x)(\cos^2 x+\sin^2 x)\\[.35em]&= \cos 2x\cdot 1\\[.35em]&= \cos 2x .\end{aligned}

4. Aller plus loin

Résoudre sur $\R$ : $\cos x+\cos 2x+\cos 3x=0$ .

Indication : remarquer que $\cos x+\cos 3x=2\cos 2x\cos x$ .

Comparer avec l’explication

\begin{aligned}\cos x+\cos 3x &= 2\cos\frac{x+3x}{2}\cos\frac{3x-x}{2}\\[.35em]&= 2\cos 2x\cos x\end{aligned}

(formule de factorisation).

L'équation devient $2\cos 2x\cos x+\cos 2x=0$ , soit $\cos 2x(2\cos x+1)=0$ .

Cas 1 :

\begin{aligned}\cos 2x=0\\[.35em]&\iff 2x=\frac\pi2+k\pi\\[.35em]&\iff x=\frac\pi4+\frac{k\pi}{2} .\end{aligned}

Cas 2 : $\cos x=-\frac{1}{2}\iff x=\pm\frac{2\pi}{3}+2k\pi$ .

Solution générale : $x\in\bigl\{\frac\pi4+\frac{k\pi}{2},\;\pm\frac{2\pi}{3}+2k\pi\;;\;k\in\Z\bigr\}$ .

Dérivées de $\cos u$ et $\sin u$

1. Observer

2. S’entraîner avec aide

Dérive $f(x)=\sin^2(3x)$ sur $\R$ . Compare avec la dérivée de $g(x)=\sin(3x^2)$ .

Comparer avec l’explication

Les calculs donnent

\begin{aligned}f'(x)&=2\sin(3x)\,[3\cos(3x)]\\[.35em]&=6\sin(3x)\cos(3x)\\[.35em]&=3\sin(6x),\\[.35em]g'(x)&=6x\cos(3x^2).\end{aligned}

Le carré extérieur et le carré dans l'argument ne se dérivent pas de la même façon. Réessaie avec $\cos^2(2x-1)$ et $\cos((2x-1)^2)$ .

3. Résoudre seul

Calculer la dérivée et préciser le domaine :

$f(x)=\sin(3x+\frac\pi4)$
$g(x)=\cos^2 x-\sin^2 x$
$h(x)=x\sin x$
$k(x)=\frac{\sin x}{1+\cos x}$ ( $\cos x\neq -1$ )
$\ell(x)=\e^x\cos x$

Comparer avec l’explication

Pour l'exercice 6, $f,g,h,\ell$ sont définies et dérivables sur $\R$ . Le domaine de $$k$$ est $\R\setminus\{\pi+2j\pi:j\in\Z\}$ ; la règle du quotient s'applique sur chaque intervalle de ce domaine.

f'(x)=3\cos(3x+\frac\pi4).

\begin{aligned}g(x) &= \cos^2 x-\sin^2 x\\[.35em]&= \cos 2x .\end{aligned}

Donc $g'(x)=-2\sin 2x$ .

Alternative directe :

\begin{aligned}g'(x) &= -2\sin x\cos x-2\sin x\cos x\\[.35em]&= -4\sin x\cos x\\[.35em]&= -2\sin 2x .\end{aligned}

h'(x)=\sin x+x\cos x.

\begin{aligned}k'(x) &= \frac{\cos x(1+\cos x)-\sin x(-\sin x)}{(1+\cos x)^2}\\[.35em]&= \frac{\cos x+\cos^2 x+\sin^2 x}{(1+\cos x)^2}\\[.35em]&= \frac{\cos x+1}{(1+\cos x)^2}\\[.35em]&= \frac{1}{1+\cos x} .\end{aligned}

\begin{aligned}\ell'(x) &= \e^x\cos x+\e^x(-\sin x)\\[.35em]&= \e^x(\cos x-\sin x) .\end{aligned}

Montrer que $f(x)=\sqrt{2}\cos(x-\frac\pi4)$ .
En déduire la période, l'amplitude, les zéros et les extremums de $$f$$ .
Dresser le tableau de variations sur $[0,2\pi]$ .
Calculer $\displaystyle\int_0^{\pi/2}(\sin x+\cos x)\,\mathrm{d}x$ .

Comparer avec l’explication

Transformation de l'expression : Pour tout réel $$x$$ , on peut factoriser par $\sqrt{2}$ pour faire apparaître des valeurs remarquables : $\sin x + \cos x = \sqrt{2} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x \right)$ .

En reconnaissant $\cos \frac{\pi}{4}$ et $\sin \frac{\pi}{4}$ et en appliquant la formule d'addition $\cos(a-b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b$ , on obtient :
$\begin{aligned}\sin x + \cos x &= \sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} \cos x + \sin \frac{\pi}{4} \sin x \right)\\[.35em]&= \mathbf{\sqrt{2} \cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right)} .\end{aligned}$
Caractéristiques géométriques :
- Période : La fonction est périodique de période $2\pi$ .
- Amplitude : L'amplitude de l'oscillation est $\sqrt{2}$ .
- Zéros :
  $\begin{aligned}\cos(x - \frac{\pi}{4}) = 0\\[.35em]&\iff x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + k\pi\\[.35em]&\iff \mathbf{x = \frac{3\pi}{4} + k\pi} .\end{aligned}$
- Maximum : La valeur maximale $\sqrt{2}$ est atteinte pour $x - \frac{\pi}{4} = 2k\pi$ , soit $\mathbf{x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi}$ .
- Minimum : La valeur minimale $-\sqrt{2}$ est atteinte pour $x - \frac{\pi}{4} = \pi + 2k\pi$ , soit $\mathbf{x = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi}$ .
Étude de la dérivée : La dérivée de $$f$$ est $f'(x) = \cos x - \sin x$ . Par une méthode de factorisation identique à la question précédente, on montre que : $f'(x) = \mathbf{\sqrt{2} \cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right)}$ .

Les points à tangente horizontale vérifient $$f'(x) = 0$$ : $x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + k\pi \iff \mathbf{x = \frac{\pi}{4} + k\pi}$ .

$$x$$	$$0$$		$\frac\pi4$		$\frac{5\pi}{4}$		$2\pi$
$$f'(x)$$		$$+$$	$$0$$	$$-$$	$$0$$	$$+$$
$$f(x)$$	$$1$$	$\nearrow$	$\sqrt{2}$	$\searrow$	$-\sqrt{2}$	$\nearrow$	$$1$$

\begin{aligned}\int_0^{\pi/2}(\sin x+\cos x)\,\mathrm{d}x &= [-\cos x+\sin x]_0^{\pi/2}\\[.35em]&= (-0+1)-(-1+0)\\[.35em]&= 2 .\end{aligned}

4. Aller plus loin

Écrire $$f(x)$$ sous forme linéarisée.
En déduire la période de $$f$$ et ses variations sur $[0,\pi]$ .
Calculer $\displaystyle\int_0^{\pi}\cos^2 x\,\mathrm{d}x$ .

Comparer avec l’explication

a) $\cos^2 x=\frac{1+\cos 2x}{2}$ (linéarisation).

b) Période de $\cos^2 x$ : celle de $\frac{1+\cos 2x}{2}$ est $\frac{2\pi}{2}=\pi$ .

f'(x)=-\sin 2x.

\begin{aligned}f'(x)=0\\[.35em]&\iff 2x=k\pi\\[.35em]&\iff x=\frac{k\pi}{2} .\end{aligned}

$$x$$	$$0$$		$\frac\pi2$		$\pi$
$f'(x)=-\sin 2x$		$$-$$	$$0$$	$$+$$
$\cos^2 x$	$$1$$	$\searrow$	$$0$$	$\nearrow$	$$1$$

\begin{aligned}\int_0^\pi\cos^2 x\,\mathrm{d}x &= \int_0^\pi\frac{1+\cos 2x}{2}\,\mathrm{d}x\\[.35em]&= \bigl[\frac{x}{2}+\frac{\sin 2x}{4}\bigr]_0^\pi\\[.35em]&= \frac\pi2+0-(0+0)\\[.35em]&= \frac\pi2 .\end{aligned}

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