Fonctions trigonométriques · Terminale spécialité

Pourquoi étudier les fonctions trigonométriques ?

Méthode · Un parcours du point mobile au calcul

Objectifs : lire une coordonnée sur un cercle, expliquer une valeur exacte et un signe, résoudre une équation ou une inéquation, dériver une fonction composée, relier une dérivée à une courbe et optimiser une grandeur géométrique.

Prérequis : Pythagore, fractions et racines carrées, résolution d'un produit nul, dérivées et signe d'une fonction (fiche 07), limites et TVI (fiches 06 et 09). Un carré ne donne pas le signe : si $$y^2=3/4$$ , alors $y=\pm\sqrt3/2$ ; la figure ou le domaine permettent de choisir.

Socle du programme : sinus et cosinus, dérivées, variations, courbes, équations et inéquations sur un intervalle, étude d'une fonction et optimisation géométrique. Les rappels du cercle soutiennent ces capacités. Les formules d'addition sont admises ici comme outils complémentaires ; les preuves de dérivation sont proposées pour comprendre, sans les présenter comme des démonstrations explicitement exigées dans cette rubrique du programme.

Pour aller plus loin : tangente, limites fines, polynômes de Tchebychev et approximation. Les exercices d'intégration se reprennent après la fiche 13. À chaque pause, un essai, un indice ou une explication de ce qui bloque sont des façons utiles de travailler ; le corrigé peut attendre.

Le problème fondamental

Comment décrire un mouvement périodique ? Une oscillation, une vibration, une onde ? Une même valeur peut être prise plusieurs fois sans que tout le mouvement se répète : $$x^2$$ vaut $$1$$ en $$-1$$ et $$1$$ , mais n'est pas périodique. Nous cherchons une répétition du profil entier après une même durée. Il faut des fonctions qui se répètent indéfiniment : c'est le rôle de $\cos$ et $\sin$ .

En physique : un modèle de ressort idéal sans frottement conduit à $x(t)=A\cos(\omega t+\varphi)$ . Pour un pendule, cette forme est une approximation adaptée aux petites oscillations sans frottement ; elle n'est pas une loi exacte pour toute amplitude.

Un exemple de signal : $i(t)=I_0\sin(100\pi t)$ , avec $$t$$ en secondes et $$I_0>0$$ , représente un signal sinusoïdal dont la période est $$0{,}02$$ seconde. Une seconde contient alors $$50$$ périodes. Les paramètres doivent correspondre au phénomène que l'on veut modéliser.

Superposer des oscillations : $\sin t+\tfrac12\sin(3t)$ est déjà un profil différent d'une seule sinusoïde. Les séries de Fourier prolongent cette idée sous des hypothèses de régularité et avec un sens précis de convergence ; nous n'affirmons pas que toute fonction périodique est égale, sans condition, à une telle somme.

L'idée directrice

L'idée avant la formule

Le cercle trigonométrique

Radian vs degré

Intuition · Pourquoi les radians ?

Un radian est l'angle qui intercepte un arc de longueur 1 sur le cercle de rayon 1.

Tour complet $=2\pi$ radians $=360\degres$ . Donc $\pi\;\text{rad}=180\degres$ .

Conversion :

Degrés $\to$ radians : multiplier par $\frac{\pi}{180}$ .
Radians $\to$ degrés : multiplier par $\frac{180}{\pi}$ .

Pourquoi les radians dans les dérivées ? Si $$d$$ est une mesure en degrés, la fonction correspondante est $g(d)=\sin(\pi d/180)$ . La règle de composition donne $g'(d)=(\pi/180)\cos(\pi d/180)$ . Le facteur de conversion disparaît lorsque la variable est directement la mesure en radians. Vérifie donc l'unité de la variable et le mode de la calculatrice.

Degrés	$0\degres$	$30\degres$	$45\degres$	$60\degres$	$90\degres$	$120\degres$	$180\degres$	$360\degres$
Radians	$$0$$	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\pi}{2}$	$\frac{2\pi}{3}$	$\pi$	$2\pi$

Observer les deux coordonnées. Dans la manipulation, passe de $\pi/3$ à $2\pi/3$ , puis à $-\pi/3$ . Prévois d'abord quelle coordonnée change de signe. La longueur d'un segment est positive, mais une coordonnée peut être négative.

Lire sinus et cosinus sur le cercle

Pour θ = π/3, prévois le signe du sinus et du cosinus. Déplace le point, puis compare deux angles séparés par un tour complet.

Cercle de rayon 1. M = (cos θ ; sin θ). H et K sont les projections sur les axes. Un tour complet correspond à 2π radians.

À π/3, cos θ = 1/2 et sin θ = √3/2. À 2π/3, le cosinus change de signe, le sinus reste égal à √3/2. À −π/3, le sinus change de signe, le cosinus reste égal à 1/2.

Lire les valeurs et les coordonnées

À π/3, cos θ = 1/2 et sin θ = √3/2. À 2π/3, le cosinus change de signe, le sinus reste égal à √3/2. À −π/3, le sinus change de signe, le cosinus reste égal à 1/2.

Explique avec le dessin pourquoi cos² θ + sin² θ = 1, puis retrouve les coordonnées pour θ + 2π.

Le rayon vaut 1 dans les deux directions. Les deux points du haut ont la même ordonnée ; les deux points de droite ont la même abscisse.

Les valeurs remarquables

Intuition · Le tableau à connaître par cœur

$$x$$	$$0$$	$\dfrac{\pi}{6}$	$\dfrac{\pi}{4}$	$\dfrac{\pi}{3}$	$\dfrac{\pi}{2}$
$\cos x$	$$1$$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\dfrac{1}{2}$	$$0$$
$\sin x$	$$0$$	$\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$$1$$

Astuce mnémotechnique : $\cos$ décroît de $$1$$ à $$0$$ sur $[0,\frac\pi2]$ ; $\sin$ fait l'inverse. Les valeurs sont $\frac{\sqrt{0}}{2},\frac{\sqrt{1}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{4}}{2}$ :

\begin{aligned}\cos 0 &= \frac{\sqrt{4}}{2}\\&= 1,\\\cos\frac\pi6 &=\frac{\sqrt{3}}{2},\\\cos\frac\pi4 &=\frac{\sqrt{2}}{2},\\\cos\frac\pi3 &= \frac{\sqrt{1}}{2}\\&= \frac12,\\\cos\frac\pi2 &= \frac{\sqrt{0}}{2}\\&= 0.\end{aligned}

Et $\sin$ dans l'ordre inverse.

Périodicité et symétries

Le cours formel

Définitions et relation fondamentale

Périodicité et parité

Formules de symétrie sur le cercle

Propriété · Angles associés : le tableau essentiel

Transformation	Angle	$\cos$	$\sin$
Opposé	$$-x$$	$\cos x$	$-\sin x$
Supplémentaire	$\pi-x$	$-\cos x$	$\sin x$
Complément à $2\pi$	$2\pi-x$	$\cos x$	$-\sin x$
Décalage de $\pi$	$\pi+x$	$-\cos x$	$-\sin x$
Décalage de $\frac\pi2$	$\frac\pi2-x$	$\sin x$	$\cos x$
Décalage de $\frac\pi2$	$\frac\pi2+x$	$-\sin x$	$\cos x$

À toi d’essayer

Rendre le calcul vérifiable

Calcule exactement $\cos(17\pi/6)$ et $\sin(17\pi/6)$ , en écrivant une transformation par ligne. Explique chaque signe avec le quadrant.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Retire $12\pi/6$ , puis compare l'angle restant à $\pi$ .

Indice 2 · Un pas de plus

Il reste $5\pi/6=\pi-\pi/6$ .

Voir l’explication

La périodicité donne le même point pour $17\pi/6$ et $5\pi/6$ . Dans le deuxième quadrant, cosinus négatif et sinus positif :

\begin{aligned}\cos(17\pi/6)&=\cos(5\pi/6)\\[.35em]&=-\cos(\pi/6)\\[.35em]&=-\sqrt3/2,\\[.35em]\sin(17\pi/6)&=\sin(5\pi/6)\\[.35em]&=\sin(\pi/6)\\[.35em]&=1/2.\end{aligned}

Réessaie avec $-7\pi/4$ ; le signe ne se déduit pas uniquement du signe de l'angle.

Période, amplitude et décalage : trois rôles différents

Pour justifier la plus petite période de $\cos$ , si $$T>0$$ est une période, alors

\begin{aligned}\cos T &= \cos0\\[.35em]&= 1 ,\end{aligned}

donc $T=2k\pi$ . Pour $\sin$ , utiliser $\sin(\pi/2+T)=1$ donne la même condition. Dans le modèle non constant, l'argument parcourt tout $\R$ ; $\omega T$ doit donc être un multiple non nul de $2\pi$ .

Schéma : Période, amplitude et décalage : trois rôles différents

Même amplitude 2 et même niveau 1 ; doubler la vitesse de l'argument divise la période par 2.

Formules d'addition

À toi d’essayer

Choisir une formule et contrôler le résultat

Retrouve $\sin(\pi/12)$ à partir de $\pi/4-\pi/6$ . Explique pourquoi la valeur doit être entre 0 et $$1/2$$ .

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

La formule de la différence est $\sin(a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b$ .

Indice 2 · Un pas de plus

Les deux termes donnent $\sqrt6/4$ et $\sqrt2/4$ .

Voir l’explication

On obtient successivement

\begin{aligned}\sin(\pi/12)&=\sin(\pi/4)\cos(\pi/6)-\cos(\pi/4)\sin(\pi/6)\\[.35em]&=\tfrac{\sqrt2}{2}\tfrac{\sqrt3}{2}-\tfrac{\sqrt2}{2}\tfrac12\\[.35em]&=\tfrac{\sqrt6-\sqrt2}{4}.\end{aligned}

L'angle est entre $$0$$ et $\pi/6$ ; le sinus y est croissant, donc sa valeur est entre $$0$$ et $$1/2$$ . Réessaie avec $\cos(5\pi/12)$ . L'identité $\sin(a-b)=\sin a-\sin b$ n'est pas une règle générale.

Dérivées de $\cos$ et $\sin$

Ordre logique choisi : nous admettons la continuité de sinus et cosinus issue de la construction du cercle, ainsi que les formules d'addition. L'encadrement géométrique suivant donne les limites en zéro, puis le taux d'accroissement donne les dérivées annoncées. On n'utilise pas ces dérivées pour prouver une limite dont leur démonstration dépendrait.

Pour $0<x<\pi/2$ , le triangle $$OAM$$ est dans le secteur, lui-même dans $$OAT$$ ; $AT=\sin x/\cos x$ .

Une preuve à construire

Une limite obtenue avec des aires

Pour $0<x<\pi/2$ , compare les trois aires du dessin et démontre $\cos x\leqslant\sin x/x\leqslant1$ . Déduis les limites de $\sin x/x$ et de $(\cos x-1)/x$ en zéro.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Les aires sont $\sin x/2$ , $$x/2$$ et $\sin x/(2\cos x)$ ; la mesure en radians est essentielle pour le secteur.

Indice 2 · Un pas de plus

Pour la seconde limite, multiplie numérateur et dénominateur par $\cos x+1$ , non nul près de zéro.

Voir la preuve expliquée

L'inclusion des régions donne $\sin x\leqslant x\leqslant\sin x/\cos x$ . Comme $$x>0$$ et $\cos x>0$ , on obtient $\cos x\leqslant\sin x/x\leqslant1$ . La continuité de cosinus en zéro et les gendarmes donnent la limite 1 à droite. Le quotient est pair, donc aussi à gauche. Ensuite, pour $x\neq0$ proche de zéro,

\begin{aligned}\frac{\cos x-1}{x}&=\frac{-\sin^2 x}{x(\cos x+1)}\\[.35em]&=-\frac{\sin x}{x}\frac{\sin x}{\cos x+1}\\[.35em]&\longrightarrow -1\times0=0.\end{aligned}

La preuve ne suppose pas la dérivabilité. Pour réessayer, explique précisément pourquoi diviser l'encadrement par $$x<0$$ directement demanderait de changer les signes.

Une preuve à construire

Du petit déplacement à la pente

Pour un réel $$a$$ , calcule les taux d'accroissement de sinus et cosinus entre $$a$$ et $$a+h$$ , puis fais tendre $$h$$ vers zéro.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Développe $\sin(a+h)$ et $\cos(a+h)$ avec les formules d'addition.

Indice 2 · Un pas de plus

Regroupe les termes contenant $\cos h-1$ et ceux contenant $\sin h$ .

Voir la preuve expliquée

Pour $h\neq0$ ,

\begin{aligned}\frac{\sin(a+h)-\sin a}{h}&=\sin a\frac{\cos h-1}{h}+\cos a\frac{\sin h}{h}\\[.35em]&\longrightarrow\sin a\times0+\cos a\times1\\[.35em]&=\cos a.\end{aligned}

De même,

\begin{aligned}\frac{\cos(a+h)-\cos a}{h}&=\cos a\frac{\cos h-1}{h}-\sin a\frac{\sin h}{h}\\[.35em]&\longrightarrow\cos a\times0-\sin a\times1\\[.35em]&=-\sin a.\end{aligned}

Ces limites finies prouvent la dérivabilité en tout $$a$$ . Réessaie sans la solution pour $a=\pi/3$ et donne les deux pentes exactes.

Dérivées de $\cos u$ et $\sin u$

Étude complète de $\cos$ et $\sin$ sur $[0,2\pi]$

Propriété · Variations du cosinus sur un tour

(\cos x)'=-\sin x.

$\sin x>0$ sur $]0,\pi[$ donc $\cos'<0$ : $\cos$ décroissante sur $[0,\pi]$ .

$\sin x<0$ sur $]\pi,2\pi[$ donc $\cos'>0$ : $\cos$ croissante sur $[\pi,2\pi]$ .

$$x$$	$$0$$		$\pi$		$2\pi$
$\cos'(x)=-\sin x$		$$-$$	$$0$$	$$+$$
$\cos x$	$$1$$	$\searrow$	$$-1$$	$\nearrow$	$$1$$

Propriété · Variations du sinus sur un tour

(\sin x)'=\cos x.

$\cos x>0$ sur $]0,\frac\pi2[\cup]\frac{3\pi}{2},2\pi[$ , $\cos x<0$ sur $]\frac\pi2,\frac{3\pi}{2}[$ .

$$x$$	$$0$$		$\frac\pi2$		$\frac{3\pi}{2}$		$2\pi$
$\sin'(x)=\cos x$		$$+$$	$$0$$	$$-$$	$$0$$	$$+$$
$\sin x$	$$0$$	$\nearrow$	$$1$$	$\searrow$	$$-1$$	$\nearrow$	$$0$$

Schéma : Étude complète de et sur [0,2 ]

Optimiser une aire avec un angle

Approfondissement : la fonction tangente

À toi d’essayer

Une dérivée positive sur plusieurs intervalles

La tangente a une dérivée positive sur son domaine. Est-elle strictement croissante sur ce domaine entier ? Compare $\pi/4$ et $3\pi/4$ .

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

La monotonie obtenue par le signe de la dérivée s'applique sur un intervalle.

Indice 2 · Un pas de plus

Une valeur interdite $\pi/2$ sépare les deux nombres.

Voir l’explication

On a $\pi/4<3\pi/4$ , mais $\tan(\pi/4)=1$ et $\tan(3\pi/4)=-1$ . Elle n'est donc pas croissante sur le domaine entier. Elle l'est sur chaque intervalle $]-\pi/2+k\pi,\pi/2+k\pi[$ ; aux extrémités de chacun, les limites sont respectivement $-\infty$ et $+\infty$ . Réessaie en donnant le domaine et les intervalles de croissance de $\tan(2x)$ .

Équations trigonométriques

Une preuve à construire

Pourquoi deux familles de solutions ?

Explique avec le cercle pourquoi $\cos x=\cos a$ équivaut à $x=a+2k\pi$ ou $x=-a+2k\pi$ , $k\in\Z$ . Que se passe-t-il si $\cos a=1$ ou $$-1$$ ?

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Fixer le cosinus, c'est fixer une abscisse. Une verticale coupe le cercle en au plus deux points.

Indice 2 · Un pas de plus

Les deux points sont symétriques par rapport à l'axe horizontal.

Voir la preuve expliquée

La verticale d'abscisse $\cos a$ coupe le cercle aux points d'angles $$a$$ et $$-a$$ , puis ajouter un nombre entier de tours donne toutes leurs mesures. Réciproquement, ces deux familles conservent l'abscisse par parité et périodicité. Aux abscisses $$1$$ et $$-1$$ , il n'y a qu'un point : les deux familles décrivent alors les mêmes solutions. Pour $\cos x=c$ avec $c\notin[-1,1]$ , il n'y a aucune solution réelle. Réessaie avec une horizontale pour retrouver les familles du sinus ; pour les valeurs $$1$$ et $$-1$$ , évite de compter deux fois le même point.

Exemple · Équations résolues

1. $\cos x=\frac{1}{2}$ . $\cos\frac\pi3=\frac{1}{2}$ , donc $x=\frac\pi3+2k\pi$ ou $x=-\frac\pi3+2k\pi$ .

2. $\sin x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ . $\sin(-\frac\pi4)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ , donc $x=-\frac\pi4+2k\pi$ ou

\begin{aligned}x &= \pi+\frac\pi4+2k\pi\\[.35em]&= \frac{5\pi}{4}+2k\pi .\end{aligned}

3. Pour résoudre $2\cos^2 x-\cos x-1=0$ , posons $X=\cos x$ , donc $X\in[-1,1]$ .

\begin{aligned}2X^2-X-1=0&\iff(2X+1)(X-1)=0\\[.35em]&\iff X=-\tfrac12\ \text{ou}\ X=1.\end{aligned}

Les deux valeurs sont dans $$[-1,1]$$ . On revient à l'angle :

\begin{aligned}\cos x=-\tfrac12&\iff x=\pm2\pi/3+2k\pi,\quad k\in\Z,\\[.35em]\cos x=1&\iff x=2k\pi,\quad k\in\Z.\end{aligned}

4. Pour $\sin(2x)=\sin x$ , les deux familles du sinus donnent, avec $k\in\Z$ :

\begin{aligned}2x=x+2k\pi&\iff x=2k\pi,\\[.35em]2x=\pi-x+2k\pi&\iff3x=\pi+2k\pi\\[.35em]&\iff x=\pi/3+2k\pi/3.\end{aligned}

Il reste à sélectionner les valeurs dans l'intervalle demandé, si l'énoncé en impose un.

À toi d’essayer

Une racine algébrique peut être impossible sur le cercle

Résous $2\cos^2x-5\cos x+2=0$ sur $[-\pi,\pi]$ . Explique quelle solution du polynôme ne correspond à aucun angle.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Pose $X=\cos x$ en gardant $-1\leqslant X\leqslant1$ .

Indice 2 · Un pas de plus

Le polynôme se factorise en $$(2X-1)(X-2)$$ .

Voir l’explication

Les étapes sont

\begin{aligned}2X^2-5X+2=0&\iff(2X-1)(X-2)=0\\[.35em]&\iff X=1/2\ \text{ou}\ X=2.\end{aligned}

La valeur 2 est hors de $$[-1,1]$$ et n'est donc pas un cosinus réel. Il reste $\cos x=1/2$ , donnant $x=\pm\pi/3$ sur l'intervalle demandé. Réessaie avec $2\sin^2x+3\sin x+1=0$ sur le même intervalle ; cette fois, vérifie chaque racine avant de l'exclure.

À toi d’essayer

Garder les zéros, puis filtrer les entiers

Résous $\sin(2x)=\sin x$ sur $[0,2\pi[$ . Pourquoi ne faut-il pas diviser immédiatement par $\sin x$ ?

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Factorise $2\sin x\cos x-\sin x$ .

Indice 2 · Un pas de plus

Deux facteurs : $\sin x=0$ ou $\cos x=1/2$ .

Voir l’explication

Le produit nul donne les familles $x=k\pi$ , puis $x=\pm\pi/3+2k\pi$ . Dans l'intervalle demandé, les premières donnent $$0$$ et $\pi$ , les secondes $\pi/3$ et $5\pi/3$ . L'ensemble est donc $\{0,\pi/3,\pi,5\pi/3\}$ . Diviser par $\sin x$ aurait perdu $$0$$ et $\pi$ ; $2\pi$ est exclu par la borne. Réessaie avec $\sin(2x)=0$ sur le même intervalle, en encadrant $$k$$ dans $x=k\pi/2$ .

Résoudre une inéquation sur le cercle

Méthode · Exemple : une abscisse au plus égale à un seuil

Sur $[-\pi,\pi]$ , résoudre $\cos x\leqslant1/2$ signifie garder les points à gauche de la verticale $$X=1/2$$ , frontière comprise. Les angles frontières sont $-\pi/3$ et $\pi/3$ :

x\in[-\pi,-\pi/3]\cup[\pi/3,\pi].

Pour $\cos x<1/2$ , retire seulement les frontières où le cosinus vaut $$1/2$$ ; $-\pi$ et $\pi$ restent admis. Ce sont deux mesures distinctes du même point du cercle, appartenant toutes deux à l'intervalle demandé.

Pour un seuil $$c<-1$$ , $\cos x\leqslant c$ n'a pas de solution ; pour $c\geqslant1$ , tout l'intervalle convient. Pour $$c=-1$$ , seuls les points de cosinus $$-1$$ conviennent. Entre $$-1$$ et $$1$$ , on peut repérer numériquement l'angle frontière si sa valeur n'est pas remarquable.

Schéma : Résoudre une inéquation sur le cercle

Limites de référence

Une preuve à construire

Un dessin oscillant ne suffit pas à prouver

Démontre que le cosinus n'a pas de limite en $+\infty$ , à l'aide de deux suites d'arguments. Fais ensuite de même pour le sinus.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Une limite de fonction imposerait la même limite le long de toute suite tendant vers $+\infty$ .

Indice 2 · Un pas de plus

Compare les angles $2n\pi$ et $(2n+1)\pi$ pour cosinus.

Voir la preuve expliquée

Les deux suites tendent vers $+\infty$ , mais leurs cosinus valent respectivement 1 et $$-1$$ . Aucune même limite finie n'est possible ; les bornes $$[-1,1]$$ excluent aussi une limite infinie. Pour sinus, utiliser $\pi/2+2n\pi$ et $3\pi/2+2n\pi$ , donnant 1 et $$-1$$ . La parité ou les suites opposées traitent $-\infty$ . Réessaie pour $1+\cos x$ : changer le niveau ne supprime pas les oscillations.

Primitives des fonctions trigonométriques

Une primitive est une fonction dont la dérivée redonne la fonction étudiée. Les règles et le calcul d'intégrales seront développés dans la fiche 13. Toutes les formules s'entendent sur un intervalle ; celles contenant $\tan x$ exigent que $\cos x$ ne s'y annule pas.

Boîte à outils : Réflexes pour le bac

Méthode · Mots-clés à repérer

Tu lis dans l'énoncé…	Tu penses à…
« résoudre $\cos x=\ldots$ »	deux familles de solutions ( $\pm$ )
« résoudre $\sin x=\ldots$ »	deux familles ( $$a$$ et $\pi-a$ )
« $\cos^2 x+\ldots$ » ou $\sin^2 x$	remplacer par $1-\sin^2$ ou $1-\cos^2$
« simplifier $\cos 2x$ »	trois formes au choix
« primitive de $\sin^2$ ou $\cos^2$ »	linéariser d'abord
« phénomène périodique »	$A\cos(\omega t+\varphi)$
« limite en 0 avec $\sin$ »	$\frac{\sin x}{x}\to 1$

Méthode · Récapitulatif des formules

Résultat	Formule
Pythagore	$\cos^2 x+\sin^2 x=1$
Dérivées	$(\cos x)'=-\sin x$ , $(\sin x)'=\cos x$
Périodicité	$\cos(x+2\pi)=\cos x$ , $\sin(x+2\pi)=\sin x$
Parité	$\cos(-x)=\cos x$ , $\sin(-x)=-\sin x$
Addition	$\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$
Addition	$\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b$
Angle double	$\begin{aligned}\cos 2a&=2\cos^2 a-1\\&=1-2\sin^2 a\end{aligned}$
Angle double	$\sin 2a=2\sin a\cos a$
Limite	$\frac{\sin x}{x}\to 1$ quand $x\to 0$
Tangente	$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$ , $(\tan x)'=\frac{1}{\cos^2 x}$

Exercices

Les exercices 1 à 7 travaillent les calculs essentiels ; l'exercice 8 relie plusieurs représentations. Les questions d'intégrales des exercices 8 à 10 se reprennent après la fiche 13. Les exercices 13 et 14 ainsi que le problème sont des approfondissements : ils peuvent demander plusieurs essais.

Exercice 1 ★☆☆ : Valeurs exactes

Calculer les valeurs exactes :

$\cos\frac{5\pi}{3}$
$\sin\frac{7\pi}{6}$
$\cos\frac{3\pi}{4}$
$\sin(-\frac{5\pi}{4})$
$\tan\frac{2\pi}{3}$
$\cos\frac{13\pi}{6}$

Exercice 2 ★☆☆ : Vérification de formules

Vérifier que $\cos^2\frac\pi3+\sin^2\frac\pi3=1$ .
Vérifier la formule $\sin 2x=2\sin x\cos x$ pour $x=\frac\pi6$ .
Montrer que $\cos\frac\pi{12}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$ en utilisant $\frac\pi{12}=\frac\pi3-\frac\pi4$ .

Exercice 3 ★☆☆ : Équations trigonométriques élémentaires

Résoudre sur $[0,2\pi[$ :

$\cos x=0$
$\sin x=\frac{1}{2}$
$\cos x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\tan x=1$

Exercice 4 ★☆☆ : Simplifications avec formules

Simplifier :

$\cos^2 3x+\sin^2 3x$
$2\cos^2 x-1$
$\sin x\cos x$
$1-2\sin^2\frac{x}{2}$
$\cos^4 x-\sin^4 x$

Exercice 5 ★★☆ : Équations avec changement de variable

Résoudre sur $]-\pi,\pi]$ :

$2\cos^2 x+\cos x-1=0$
$2\sin^2 x-3\sin x+1=0$
$\cos 2x=\cos x$
$\sin 2x=\cos x$

Exercice 6 ★★☆ : Dérivées

Calculer la dérivée et préciser le domaine :

$f(x)=\sin(3x+\frac\pi4)$
$g(x)=\cos^2 x-\sin^2 x$
$h(x)=x\sin x$
$k(x)=\frac{\sin x}{1+\cos x}$ ( $\cos x\neq -1$ )
$\ell(x)=\e^x\cos x$

Exercice 7 ★★☆ : Limites

Calculer :

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin 5x}{3x}$
$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\tan x}{x}$
$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}$
$\displaystyle\lim_{x\to\pi}\frac{\sin x}{x-\pi}$
$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin x-\sin 2x}{x}$

Exercice 8 ★★☆ : Étude de $f(x)=\sin x+\cos x$

Montrer que $f(x)=\sqrt{2}\cos(x-\frac\pi4)$ .
En déduire la période, l'amplitude, les zéros et les extremums de $$f$$ .
Dresser le tableau de variations sur $[0,2\pi]$ .
Calculer $\displaystyle\int_0^{\pi/2}(\sin x+\cos x)\,\mathrm{d}x$ .

Exercice 9 ★★☆ : Étude de $f(x)=\cos^2 x$

Écrire $$f(x)$$ sous forme linéarisée.
En déduire la période de $$f$$ et ses variations sur $[0,\pi]$ .
Calculer $\displaystyle\int_0^{\pi}\cos^2 x\,\mathrm{d}x$ .

Exercice 10 ★★☆ : Primitives et intégrales

Calculer :

$\displaystyle\int_0^{\pi/2}\sin x\,\mathrm{d}x$
$\displaystyle\int_0^{\pi}\cos 2x\,\mathrm{d}x$
$\displaystyle\int_0^{\pi/4}\frac{1}{\cos^2 x}\,\mathrm{d}x$
$\displaystyle\int_0^{\pi/2}\sin^2 x\,\mathrm{d}x$
$\displaystyle\int_0^{\pi}x\sin x\,\mathrm{d}x$ (intégration par parties)

Exercice 11 ★★☆ : Démonstrations de cours

Démontrer que $(\sin x)'=\cos x$ en utilisant le taux d'accroissement.
Démontrer les formules de l'angle double à partir des formules d'addition.
Démontrer que $\cos(a-b)-\cos(a+b)=2\sin a\sin b$ .

Exercice 12 ★★☆ : Inégalité fondamentale

Démontrer que pour tout $x\geqslant 0$ : $\sin x\leqslant x$ .
Démontrer que pour tout $x\geqslant 0$ : $\cos x\geqslant 1-\frac{x^2}{2}$ .
En déduire un encadrement de $\sin 0{,}1$ sans calculatrice.

Exercice 13 ★★★ : Équation trigonométrique avancée

Résoudre sur $\R$ : $\cos x+\cos 2x+\cos 3x=0$ .

Indication : remarquer que $\cos x+\cos 3x=2\cos 2x\cos x$ .

Exercice 14 ★★★ : Étude complète de $f(x)=\frac{\sin x}{x}$ (sinus cardinal)

Montrer que $$f$$ est prolongeable par continuité en $$0$$ . Préciser la valeur.
Montrer que $$f$$ est paire.
Étudier les limites en $\pm\infty$ .
Montrer que $f'(x)=\frac{x\cos x-\sin x}{x^2}$ pour $x\neq 0$ .
Montrer que $$f$$ a une infinité d'extremums locaux.

Problème : Polynômes de Tchebychev et approximation trigonométrique ★★★

On cherche des polynômes $$T_n$$ satisfaisant $T_n(\cos\theta)=\cos(n\theta)$ pour tout $\theta\in\R$ . La partie A les construit par récurrence sur tout $\R$ et vérifie cette propriété : elle ne définit pas un polynôme sur $\R$ en choisissant arbitrairement un angle. Dans les parties B et C, les expressions contenant $$1/n$$ supposent $n\geqslant1$ .

Partie A : Construction des polynômes

Calculer $$T_0(x)$$ , $$T_1(x)$$ , $$T_2(x)$$ en exprimant $\cos(0\cdot\theta)$ , $\cos\theta$ et $\cos(2\theta)$ en fonction de $\cos\theta$ .
En utilisant $\cos((n+1)\theta)=2\cos\theta\cos(n\theta)-\cos((n-1)\theta)$ (formule à démontrer), établir la relation de récurrence :
$T_{n+1}(x)=2xT_n(x)-T_{n-1}(x)$
Calculer $$T_3(x)$$ et $$T_4(x)$$ .
Montrer que $$T_n$$ est un polynôme de degré $$n$$ dont le coefficient dominant est $2^{n-1}$ pour $n\geqslant 1$ .

Partie B : Propriétés remarquables

Montrer que les zéros de $$T_n$$ dans $$[-1,1]$$ sont $x_k=\cos\frac{(2k-1)\pi}{2n}$ pour $k=1,\ldots,n$ .
Montrer que $$T_n$$ atteint alternativement les valeurs $$+1$$ et $$-1$$ en $$n+1$$ points de $$[-1,1]$$ (extremums aux points $y_j=\cos\frac{j\pi}{n}$ pour $j=0,\ldots,n$ ).
En déduire que pour tout $x\in[-1,1]$ : $|T_n(x)|\leqslant 1$ .

Partie C : Application : meilleure approximation polynomiale

Retrouver $\cos(3\theta)=4\cos^3\theta-3\cos\theta$ . Puis, par la méthode des dérivées successives de l'exercice 12, établir $0\leqslant\cos\theta-(1-\theta^2/2)\leqslant\theta^4/24$ pour tout réel $\theta$ . Quelle précision obtient-on pour $|\theta|\leqslant0{,}1$ ?
(Bonus) On veut approcher $$x^3$$ sur $$[-1,1]$$ par un polynôme $$Q$$ de degré au plus 2. Montrer que $$Q_*(x)=3x/4$$ donne une erreur maximale $$1/4$$ . Prouver qu'aucun tel $$Q$$ ne peut donner une erreur maximale strictement inférieure à $$1/4$$ , en examinant les quatre valeurs alternées de $$T_3/4$$ .
(Bonus) Montrer que la relation $T_m(T_n(x))=T_{mn}(x)$ (composition des polynômes de Tchebychev).

Corrigés détaillés

Exercice 1

\begin{aligned}\cos\frac{5\pi}{3} &= \cos(2\pi-\frac\pi3)\\[.35em]&= \cos\frac\pi3\\[.35em]&= \frac{1}{2} .\end{aligned}

\begin{aligned}\sin\frac{7\pi}{6} &= \sin(\pi+\frac\pi6)\\[.35em]&= -\sin\frac\pi6\\[.35em]&= -\frac{1}{2} .\end{aligned}

\begin{aligned}\cos\frac{3\pi}{4} &= \cos(\pi-\frac\pi4)\\[.35em]&= -\cos\frac\pi4\\[.35em]&= -\frac{\sqrt{2}}{2} .\end{aligned}

\begin{aligned}\sin(-\frac{5\pi}{4}) &= -\sin\frac{5\pi}{4}\\[.35em]&= -\sin(\pi+\frac\pi4)\\[.35em]&= -(-\sin\frac\pi4)\\[.35em]&= \frac{\sqrt{2}}{2} .\end{aligned}

\begin{aligned}\tan\frac{2\pi}{3} &= \frac{\sin\frac{2\pi}{3}}{\cos\frac{2\pi}{3}}\\[.35em]&= \frac{\sin(\pi-\frac\pi3)}{\cos(\pi-\frac\pi3)}\\[.35em]&= \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{-\frac{1}{2}}\\[.35em]&= -\sqrt{3} .\end{aligned}

\begin{aligned}\cos\frac{13\pi}{6} &= \cos(\frac{13\pi}{6}-2\pi)\\[.35em]&= \cos\frac\pi6\\[.35em]&= \frac{\sqrt{3}}{2} .\end{aligned}

Exercice 2

\begin{aligned}\cos^2\frac\pi3+\sin^2\frac\pi3 &= (\frac{1}{2})^2+(\frac{\sqrt{3}}{2})^2\\[.35em]&= \frac{1}{4}+\frac{3}{4}\\[.35em]&= 1 .\end{aligned}

\begin{aligned}\sin\frac\pi3 &= 2\sin\frac\pi6\cos\frac\pi6\\[.35em]&= 2\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\\[.35em]&= \frac{\sqrt{3}}{2} .\end{aligned}

Vérifie bien : $\sin\frac\pi3=\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

\begin{aligned}\cos\frac\pi{12} &= \cos(\frac\pi3-\frac\pi4)\\[.35em]&= \cos\frac\pi3\cos\frac\pi4+\sin\frac\pi3\sin\frac\pi4\\[.35em]&= \frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\\[.35em]&= \frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4} .\end{aligned}

Exercice 3

a) $\cos x=0\iff x=\frac\pi2+k\pi$ . Sur $[0,2\pi[$ : $x=\frac\pi2$ ou $x=\frac{3\pi}{2}$ .

\sin x=\frac{1}{2}.

\sin\frac\pi6=\frac{1}{2}.

x=\frac\pi6+2k\pi

\begin{aligned}x &= \pi-\frac\pi6+2k\pi\\[.35em]&= \frac{5\pi}{6}+2k\pi .\end{aligned}

Sur $[0,2\pi[$ : $x=\frac\pi6$ ou $x=\frac{5\pi}{6}$ .

c) $\cos x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ . $\cos\frac{5\pi}{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ . $x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi$ ou $x=-\frac{5\pi}{6}+2k\pi$ . Sur $[0,2\pi[$ : $x=\frac{5\pi}{6}$ ou $x=\frac{7\pi}{6}$ .

d) $\tan x=1$ . $\tan\frac\pi4=1$ . $x=\frac\pi4+k\pi$ . Sur $[0,2\pi[$ : $x=\frac\pi4$ ou $x=\frac{5\pi}{4}$ .

Exercice 4

a) $\cos^2 3x+\sin^2 3x=1$ (relation fondamentale avec $$u=3x$$ ).

b) $2\cos^2 x-1=\cos 2x$ (formule de l'angle double).

c) $\sin x\cos x=\frac{1}{2}\sin 2x$ (formule $\sin 2x=2\sin x\cos x$ ).

\begin{aligned}1-2\sin^2\frac{x}{2} &= \cos(2\cdot\frac{x}{2})\\[.35em]&= \cos x\end{aligned}

(formule $\cos 2a=1-2\sin^2 a$ ).

\begin{aligned}\cos^4 x-\sin^4 x &= (\cos^2 x-\sin^2 x)(\cos^2 x+\sin^2 x)\\[.35em]&= \cos 2x\cdot 1\\[.35em]&= \cos 2x .\end{aligned}

Exercice 5

a) Posons $X=\cos x\in[-1,1]$ . Alors

\begin{aligned}2X^2+X-1=0&\iff(2X-1)(X+1)=0\\[.35em]&\iff X=1/2\ \text{ou}\ X=-1.\end{aligned}

Ces deux valeurs sont des cosinus possibles.

$\cos x=\frac{1}{2}$ : $x=\pm\frac\pi3+2k\pi$ . Sur $]-\pi,\pi]$ : $x=\frac\pi3$ ou $x=-\frac\pi3$ .

$\cos x=-1$ : $x=\pi+2k\pi$ . Sur $]-\pi,\pi]$ : $x=\pi$ .

Solutions : $\{-\frac\pi3,\frac\pi3,\pi\}$ .

b) Posons $Y=\sin x\in[-1,1]$ . Alors

\begin{aligned}2Y^2-3Y+1=0&\iff(2Y-1)(Y-1)=0\\[.35em]&\iff Y=1/2\ \text{ou}\ Y=1.\end{aligned}

Ces deux valeurs sont des sinus possibles.

$\sin x=\frac{1}{2}$ : $x=\frac\pi6,\frac{5\pi}{6}$ sur $]-\pi,\pi]$ . $\sin x=1$ : $x=\frac\pi2$ .

Solutions : $\{\frac\pi6,\frac\pi2,\frac{5\pi}{6}\}$ .

c) L'égalité des cosinus donne deux familles, $k\in\Z$ :

\begin{aligned}2x=x+2k\pi&\iff x=2k\pi,\\[.35em]2x=-x+2k\pi&\iff3x=2k\pi\\[.35em]&\iff x=2k\pi/3.\end{aligned}

Sur $]-\pi,\pi]$ : $$x=0$$ , $x=\frac{2\pi}{3}$ , $x=-\frac{2\pi}{3}$ .

\begin{aligned}\sin 2x=\cos x\\[.35em]&\iff 2\sin x\cos x-\cos x=0\\[.35em]&\iff \cos x(2\sin x-1)=0 .\end{aligned}

\cos x=0

x=\pm\frac\pi2.

\sin x=\frac{1}{2}

x=\frac\pi6,\frac{5\pi}{6}.

Sur $]-\pi,\pi]$ : $\{-\frac\pi2,\frac\pi6,\frac\pi2,\frac{5\pi}{6}\}$ .

Exercice 6

Pour l'exercice 6, $f,g,h,\ell$ sont définies et dérivables sur $\R$ . Le domaine de $$k$$ est $\R\setminus\{\pi+2j\pi:j\in\Z\}$ ; la règle du quotient s'applique sur chaque intervalle de ce domaine.

f'(x)=3\cos(3x+\frac\pi4).

\begin{aligned}g(x) &= \cos^2 x-\sin^2 x\\[.35em]&= \cos 2x .\end{aligned}

Donc $g'(x)=-2\sin 2x$ .

Alternative directe :

\begin{aligned}g'(x) &= -2\sin x\cos x-2\sin x\cos x\\[.35em]&= -4\sin x\cos x\\[.35em]&= -2\sin 2x .\end{aligned}

h'(x)=\sin x+x\cos x.

\begin{aligned}k'(x) &= \frac{\cos x(1+\cos x)-\sin x(-\sin x)}{(1+\cos x)^2}\\[.35em]&= \frac{\cos x+\cos^2 x+\sin^2 x}{(1+\cos x)^2}\\[.35em]&= \frac{\cos x+1}{(1+\cos x)^2}\\[.35em]&= \frac{1}{1+\cos x} .\end{aligned}

\begin{aligned}\ell'(x) &= \e^x\cos x+\e^x(-\sin x)\\[.35em]&= \e^x(\cos x-\sin x) .\end{aligned}

Exercice 7

a) $\frac{\sin 5x}{3x}=\frac{5}{3}\cdot\frac{\sin 5x}{5x}$ . Posons

\begin{aligned}u &= 5x\\[.35em]&\to 0\end{aligned}

$\frac{\sin u}{u}\to 1$ . Limite : $\frac{5}{3}$ .

\begin{aligned}\frac{\tan x}{x} &= \frac{\sin x}{x}\cdot\frac{1}{\cos x}\\[.35em]&\to 1\cdot 1\\[.35em]&= 1 .\end{aligned}

c) Pour $x\neq0$ , $1-\cos x=2\sin^2(x/2)$ , donc

\begin{aligned}\frac{1-\cos x}{x^2} &= \frac12\left(\frac{\sin(x/2)}{x/2}\right)^2\\[.35em]&\to \frac12 .\end{aligned}

Cette transformation explique la limite plutôt que de seulement la réciter.

d) Posons

\begin{aligned}h &= x-\pi\\[.35em]&\to 0 .\end{aligned}

\begin{aligned}\frac{\sin x}{x-\pi} &= \frac{\sin(\pi+h)}{h}\\[.35em]&= \frac{-\sin h}{h}\\[.35em]&\to -1 .\end{aligned}

\begin{aligned}\frac{\sin x-\sin 2x}{x} &= \frac{\sin x}{x}-\frac{\sin 2x}{x}\\[.35em]&= \frac{\sin x}{x}-2\cdot\frac{\sin 2x}{2x}\\[.35em]&\to 1-2\cdot 1\\[.35em]&= -1 .\end{aligned}

Corrigé : Exercice 8

Transformation de l'expression : Pour tout réel $$x$$ , on peut factoriser par $\sqrt{2}$ pour faire apparaître des valeurs remarquables : $\sin x + \cos x = \sqrt{2} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x \right)$ .

En reconnaissant $\cos \frac{\pi}{4}$ et $\sin \frac{\pi}{4}$ et en appliquant la formule d'addition $\cos(a-b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b$ , on obtient :
$\begin{aligned}\sin x + \cos x &= \sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} \cos x + \sin \frac{\pi}{4} \sin x \right)\\[.35em]&= \mathbf{\sqrt{2} \cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right)} .\end{aligned}$
Caractéristiques géométriques :
- Période : La fonction est périodique de période $2\pi$ .
- Amplitude : L'amplitude de l'oscillation est $\sqrt{2}$ .
- Zéros :
  $\begin{aligned}\cos(x - \frac{\pi}{4}) = 0\\[.35em]&\iff x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + k\pi\\[.35em]&\iff \mathbf{x = \frac{3\pi}{4} + k\pi} .\end{aligned}$
- Maximum : La valeur maximale $\sqrt{2}$ est atteinte pour $x - \frac{\pi}{4} = 2k\pi$ , soit $\mathbf{x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi}$ .
- Minimum : La valeur minimale $-\sqrt{2}$ est atteinte pour $x - \frac{\pi}{4} = \pi + 2k\pi$ , soit $\mathbf{x = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi}$ .
Étude de la dérivée : La dérivée de $$f$$ est $f'(x) = \cos x - \sin x$ . Par une méthode de factorisation identique à la question précédente, on montre que : $f'(x) = \mathbf{\sqrt{2} \cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right)}$ .

Les points à tangente horizontale vérifient $$f'(x) = 0$$ : $x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + k\pi \iff \mathbf{x = \frac{\pi}{4} + k\pi}$ .

$$x$$	$$0$$		$\frac\pi4$		$\frac{5\pi}{4}$		$2\pi$
$$f'(x)$$		$$+$$	$$0$$	$$-$$	$$0$$	$$+$$
$$f(x)$$	$$1$$	$\nearrow$	$\sqrt{2}$	$\searrow$	$-\sqrt{2}$	$\nearrow$	$$1$$

\begin{aligned}\int_0^{\pi/2}(\sin x+\cos x)\,\mathrm{d}x &= [-\cos x+\sin x]_0^{\pi/2}\\[.35em]&= (-0+1)-(-1+0)\\[.35em]&= 2 .\end{aligned}

Exercice 9

a) $\cos^2 x=\frac{1+\cos 2x}{2}$ (linéarisation).

b) Période de $\cos^2 x$ : celle de $\frac{1+\cos 2x}{2}$ est $\frac{2\pi}{2}=\pi$ .

f'(x)=-\sin 2x.

\begin{aligned}f'(x)=0\\[.35em]&\iff 2x=k\pi\\[.35em]&\iff x=\frac{k\pi}{2} .\end{aligned}

$$x$$	$$0$$		$\frac\pi2$		$\pi$
$f'(x)=-\sin 2x$		$$-$$	$$0$$	$$+$$
$\cos^2 x$	$$1$$	$\searrow$	$$0$$	$\nearrow$	$$1$$

\begin{aligned}\int_0^\pi\cos^2 x\,\mathrm{d}x &= \int_0^\pi\frac{1+\cos 2x}{2}\,\mathrm{d}x\\[.35em]&= \bigl[\frac{x}{2}+\frac{\sin 2x}{4}\bigr]_0^\pi\\[.35em]&= \frac\pi2+0-(0+0)\\[.35em]&= \frac\pi2 .\end{aligned}

Exercice 10

\begin{aligned}\int_0^{\pi/2}\sin x\,\mathrm{d}x &= [-\cos x]_0^{\pi/2}\\[.35em]&= -\cos\frac\pi2+\cos 0\\[.35em]&= 0+1\\[.35em]&= 1 .\end{aligned}

\begin{aligned}\int_0^\pi\cos 2x\,\mathrm{d}x &= [\frac{\sin 2x}{2}]_0^\pi\\[.35em]&= \frac{\sin 2\pi}{2}-\frac{\sin 0}{2}\\[.35em]&= 0 .\end{aligned}

\begin{aligned}\int_0^{\pi/4}\frac{1}{\cos^2 x}\,\mathrm{d}x &= [\tan x]_0^{\pi/4}\\[.35em]&= \tan\frac\pi4-\tan 0\\[.35em]&= 1 .\end{aligned}

\begin{aligned}\int_0^{\pi/2}\sin^2 x\,\mathrm{d}x &= \int_0^{\pi/2}\frac{1-\cos 2x}{2}\,\mathrm{d}x\\[.35em]&= [\frac{x}{2}-\frac{\sin 2x}{4}]_0^{\pi/2}\\[.35em]&= \frac\pi4-0\\[.35em]&= \frac\pi4 .\end{aligned}

e) IPP : $$u=x$$ , $v'=\sin x$ , $$u'=1$$ , $v=-\cos x$ .

\begin{aligned}\int_0^\pi x\sin x\,\mathrm{d}x &= [-x\cos x]_0^\pi+\int_0^\pi\cos x\,\mathrm{d}x\\[.35em]&= -\pi\cos\pi+0+[\sin x]_0^\pi\\[.35em]&= \pi+0\\[.35em]&= \pi .\end{aligned}

Exercice 11

\begin{aligned}\frac{\sin(x+h)-\sin x}{h} &= \frac{\sin x\cos h+\cos x\sin h-\sin x}{h}\\[.35em]&= \sin x\cdot\frac{\cos h-1}{h}+\cos x\cdot\frac{\sin h}{h} .\end{aligned}

$\frac{\cos h-1}{h}\to 0$ et $\frac{\sin h}{h}\to 1$ quand $h\to 0$ . Donc $(\sin x)'=\cos x$ .

\begin{aligned}\cos(a+a) &= \cos^2 a-\sin^2 a\\[.35em]&= \cos 2a .\end{aligned}

Variante : $=2\cos^2 a-1$ (en remplaçant $\sin^2 a=1-\cos^2 a$ ). $=1-2\sin^2 a$ (en remplaçant $\cos^2 a=1-\sin^2 a$ ).

\begin{aligned}\sin(a+a) &= \sin a\cos a+\cos a\sin a\\[.35em]&= 2\sin a\cos a\\[.35em]&= \sin 2a .\end{aligned}

c) $\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$ et $\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$ . En soustrayant : $\cos(a-b)-\cos(a+b)=2\sin a\sin b$ .

Exercice 12

a) $g(x)=x-\sin x$ pour $x\geqslant 0$ . $g'(x)=1-\cos x\geqslant 0$ (car $\cos x\leqslant 1$ ). $$g(0)=0$$ et $$g$$ croissante : $g(x)\geqslant 0$ pour $x\geqslant 0$ , i.e. $\sin x\leqslant x$ .

b) $h(x)=\cos x-1+\frac{x^2}{2}$ pour $x\geqslant 0$ . $h'(x)=-\sin x+x$ . Par a), $-\sin x+x\geqslant 0$ pour $x\geqslant 0$ , donc $h'\geqslant 0$ .

$$h(0)=0$$ et $$h$$ croissante : $h(x)\geqslant 0$ , i.e. $\cos x\geqslant 1-\frac{x^2}{2}$ .

c) La question a) donne $\sin(0{,}1)\leqslant0{,}1$ . Pour une borne inférieure, pose $j(x)=\sin x-x+x^3/6$ sur $[0,+\infty[$ . Sa dérivée vaut $\cos x-1+x^2/2$ , positive ou nulle par b). Comme $$j(0)=0$$ , $j(x)\geqslant0$ et donc

x-x^3/6\leqslant\sin x\leqslant x\quad(x\geqslant0).

Pour $$x=1/10$$ , la borne inférieure exacte est $$599/6000$$ . On peut l'abaisser à $$0{,}0998$$ et écrire $0{,}0998\leqslant\sin(0{,}1)\leqslant0{,}1$ . Une valeur approchée n'est pas une « valeur exacte » et doit être arrondie dans le bon sens si elle sert de borne.

Exercice 13

\begin{aligned}\cos x+\cos 3x &= 2\cos\frac{x+3x}{2}\cos\frac{3x-x}{2}\\[.35em]&= 2\cos 2x\cos x\end{aligned}

(formule de factorisation).

L'équation devient $2\cos 2x\cos x+\cos 2x=0$ , soit $\cos 2x(2\cos x+1)=0$ .

Cas 1 :

\begin{aligned}\cos 2x=0\\[.35em]&\iff 2x=\frac\pi2+k\pi\\[.35em]&\iff x=\frac\pi4+\frac{k\pi}{2} .\end{aligned}

Cas 2 : $\cos x=-\frac{1}{2}\iff x=\pm\frac{2\pi}{3}+2k\pi$ .

Solution générale : $x\in\bigl\{\frac\pi4+\frac{k\pi}{2},\;\pm\frac{2\pi}{3}+2k\pi\;;\;k\in\Z\bigr\}$ .

Exercice 14

$f(x)=\frac{\sin x}{x}$ pour $x\neq 0$ .

a) $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$ . On prolonge $$f$$ en posant $$f(0)=1$$ . La fonction prolongée est continue en 0.

\begin{aligned}f(-x) &= \frac{\sin(-x)}{-x}\\[.35em]&= \frac{-\sin x}{-x}\\[.35em]&= \frac{\sin x}{x}\\[.35em]&= f(x)\end{aligned}

$$f$$ est paire.

c) $|\frac{\sin x}{x}|\leqslant\frac{1}{|x|}\to 0$ quand $x\to\pm\infty$ . Donc $\lim_{\pm\infty}f(x)=0$ .

d) Pour $x\neq 0$ :

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{\cos x\cdot x-\sin x\cdot 1}{x^2}\\[.35em]&= \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} .\end{aligned}

e) Posons $N(x)=x\cos x-\sin x$ . Pour un entier $k\geqslant1$ , sur $[k\pi,(k+1)\pi]$ , $$N$$ est continue et

N(k\pi)=k\pi(-1)^k,\qquad N((k+1)\pi)=(k+1)\pi(-1)^{k+1}.

Ces deux valeurs ont des signes opposés. De plus $N'(x)=-x\sin x$ garde un signe strict sur l'intervalle ouvert, donc $$N$$ y est strictement monotone. Le TVI donne un unique zéro, avec changement de signe. Puisque $$f'=N/x^2$$ et $$x^2>0$$ , ce zéro correspond bien à un extremum local, et non seulement à une tangente horizontale. Les intervalles sont disjoints : il y a une infinité d'extremums. Un zéro de $$N$$ ne vérifie pas $\cos x=0$ , car alors

\begin{aligned}N &= -\sin x\\[.35em]&= \pm1\end{aligned}

on peut donc aussi l'écrire $\tan x=x$ . La figure seule ne prouvait ni l'existence ni le changement de signe.

Corrigé du problème

Partie A : Construction des polynômes

\begin{aligned}T_0(\cos\theta) &= \cos(0)\\[.35em]&= 1 ,\end{aligned}

donc $$T_0(x)=1$$ .

$T_1(\cos\theta)=\cos\theta$ , donc $$T_1(x)=x$$ .

\begin{aligned}T_2(\cos\theta) &= \cos 2\theta\\[.35em]&= 2\cos^2\theta-1 ,\end{aligned}

donc $$T_2(x)=2x^2-1$$ .

2. Démontrons d'abord la formule d'aide. Par les formules d'addition :

\begin{aligned}\cos((n+1)\theta) &= \cos(n\theta+\theta)\\[.35em]&= \cos n\theta\cos\theta-\sin n\theta\sin\theta\end{aligned}

\begin{aligned}\cos((n-1)\theta) &= \cos(n\theta-\theta)\\[.35em]&= \cos n\theta\cos\theta+\sin n\theta\sin\theta\end{aligned}

En additionnant : $\cos((n+1)\theta)+\cos((n-1)\theta)=2\cos\theta\cos n\theta$ .

D'où la formule annoncée. Définissons maintenant sur tout $\R$ les polynômes $$T_0=1$$ , $$T_1(x)=x$$ et, pour $n\geqslant1$ , $T_{n+1}=2xT_n-T_{n-1}$ . Une récurrence utilisant la formule trigonométrique montre que $T_n(\cos\theta)=\cos(n\theta)$ pour tous $$n$$ et $\theta$ . Cela établit leur existence. Deux polynômes ayant cette propriété coïncident sur $$[-1,1]$$ et sont donc égaux, car un polynôme non nul n'a qu'un nombre fini de racines.

T_{n+1}(x)=2xT_n(x)-T_{n-1}(x)

\begin{aligned}T_3(x) &= 2xT_2(x)-T_1(x)\\[.35em]&= 2x(2x^2-1)-x\\[.35em]&= 4x^3-2x-x\\[.35em]&= 4x^3-3x .\end{aligned}

\begin{aligned}T_4(x) &= 2xT_3(x)-T_2(x)\\[.35em]&= 2x(4x^3-3x)-(2x^2-1)\\[.35em]&= 8x^4-6x^2-2x^2+1\\[.35em]&= 8x^4-8x^2+1 .\end{aligned}

4. Par récurrence. $$T_0$$ est de degré 0, $$T_1$$ de degré 1 (coeff. dominant 1 $$=2^0$$ ). Supposons $$T_n$$ de degré $$n$$ avec coefficient dominant $2^{n-1}$ et $T_{n-1}$ de degré $$n-1$$ . Alors $T_{n+1}=2xT_n-T_{n-1}$ : le terme de plus haut degré est $2x\cdot 2^{n-1}x^n=2^n x^{n+1}$ . Donc $T_{n+1}$ est de degré $$n+1$$ avec coefficient dominant $2^n=2^{(n+1)-1}$ .

Partie B : Propriétés remarquables

5. $T_n(x_k)=0\iff\cos(n\theta_k)=0$ où $x_k=\cos\theta_k$ . $\cos(n\theta)=0\iff n\theta=\frac\pi2+m\pi$ ( $m\in\Z$ ), i.e. $\theta=\frac{(2m+1)\pi}{2n}$ .

Pour $m=0,1,\ldots,n-1$ : $\theta_k=\frac{(2k-1)\pi}{2n}$ avec $k=1,\ldots,n$ (ce qui donne $$n$$ valeurs distinctes de $\theta\in]0,\pi[$ ). Les zéros sont $x_k=\cos\frac{(2k-1)\pi}{2n}$ , tous distincts dans $$]-1,1[$$ .

\begin{aligned}T_n(y_j) &= \cos(n\cdot\frac{j\pi}{n})\\[.35em]&= \cos(j\pi)\\[.35em]&= (-1)^j .\end{aligned}

Donc $$T_n$$ vaut alternativement $$+1$$ et $$-1$$ aux $$n+1$$ points $y_j=\cos\frac{j\pi}{n}$ pour $j=0,1,\ldots,n$ . La borne $|T_n|\leqslant1$ , justifiée à la question suivante pour tous les points du segment, en fait des extremums relatifs au segment ; les deux extrémités sont comprises dans cet énoncé.

7. Pour tout $x\in[-1,1]$ , on peut écrire $x=\cos\theta$ pour un $\theta\in[0,\pi]$ . Alors $T_n(x)=\cos(n\theta)$ , et $|\cos(n\theta)|\leqslant 1$ .

Partie C : Application

8. La propriété de $$T_3$$ donne l'identité d'angle triple. Elle ne suffit pas à elle seule à justifier une approximation locale. Pour $x\geqslant0$ , l'exercice 12 a établi $\cos x\geqslant1-x^2/2$ et $\sin x\geqslant x-x^3/6$ . Posons

H(x)=1-x^2/2+x^4/24-\cos x.

Alors $H'(x)=-x+x^3/6+\sin x\geqslant0$ et $$H(0)=0$$ , donc $H(x)\geqslant0$ . On réunit les deux bornes, puis la parité étend le résultat à $$x<0$$ :

0\leqslant\cos x-(1-x^2/2)\leqslant x^4/24.

Pour $|x|\leqslant0{,}1$ , l'erreur est au plus $$1/240000$$ , soit moins de $$0{,}00000417$$ . L'approximation $\cos x\approx x$ serait incompatible avec $\cos0=1$ ; l'approximation constante de départ est $\cos x\approx1$ .

9. Avec $$Q_*(x)=3x/4$$ , l'erreur est

\begin{aligned}R_*(x) &= x^3-3x/4\\[.35em]&= T_3(x)/4 .\end{aligned}

La borne de la partie B donne $|R_*|\leqslant1/4$ , valeur atteinte aux quatre points $$-1,-1/2,1/2,1$$ .

Une preuve à construire

Pourquoi ne peut-on pas faire mieux avec un degré 2 ?

Suppose qu'un polynôme $$Q$$ de degré au plus 2 vérifie $$|x^3-Q(x)|<1/4$$ pour tout $x\in[-1,1]$ . Montre une contradiction en étudiant $$D=(x^3-Q)-R_*$$ .

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Les deux termes de degré 3 s'annulent : $$D$$ est de degré au plus 2.

Indice 2 · Un pas de plus

Aux quatre points $$-1,-1/2,1/2,1$$ , $$R_*$$ vaut successivement $$-1/4,1/4,-1/4,1/4$$ .

Voir la preuve expliquée

Aux quatre points, $$D$$ a successivement les signes $$+,-,+,-$$ , puisque l'autre erreur est strictement comprise entre $$-1/4$$ et $$1/4$$ . Par continuité et TVI, $$D$$ a un zéro dans chacun des trois intervalles disjoints entre ces points. Or un polynôme non nul de degré au plus 2 a au plus deux racines. Il n'est pas nul puisque ses valeurs aux quatre points sont non nulles : contradiction. Aucun $$Q$$ ne donne une erreur maximale strictement inférieure à $$1/4$$ ; $$Q_*$$ atteint donc le minimum possible. La preuve concerne l'approximation de $$x^3$$ , pas automatiquement celle de $\cos(\pi x)$ . Réessaie avec l'approximation de $$x^2$$ par une constante sur $$[-1,1]$$ : trouve le meilleur compromis entre les valeurs 0 et 1.

10. (Bonus)

\begin{aligned}T_m(T_n(\cos\theta)) &= T_m(\cos(n\theta))\\[.35em]&= \cos(m\cdot n\theta)\\[.35em]&= \cos(mn\cdot\theta)\\[.35em]&= T_{mn}(\cos\theta) .\end{aligned}

Comme cela vaut pour tout $\theta\in[0,\pi]$ , i.e. pour tout $x=\cos\theta\in[-1,1]$ , et que deux polynômes coïncidant sur un intervalle sont égaux, on a $T_m\circ T_n=T_{mn}$ .

Bilan à vérifier par un nouvel essai

Les capacités à vérifier sont : retrouver des coordonnées avec un signe justifié, distinguer valeur et pente, encadrer les entiers dans une famille de solutions, lire une inéquation sur le cercle, dériver une composée et argumenter un maximum. Reprends l'indice qui débloque une étape précise si nécessaire.

Variante sans corrigé : résous $\cos x\geqslant-\sqrt2/2$ sur $[-\pi,\pi]$ . Étudie ensuite $F(x)=\sin(2x)$ sur $[0,\pi]$ : zéros, signe de la dérivée, variations et valeurs extrêmes. Dessine d'abord une prévision, puis compare-la au calcul. Pour prolonger, un rectangle inscrit dans un cercle de rayon 2 peut-il avoir une aire de 9 ? Justifie sans tâtonnement numérique.

Prochaine fiche : primitives et intégration, pour relier les pentes aux aires et aux accumulations.

$\(x\)$	$\(0\)$		$\pi$		$2\pi$
$\cos'(x)=-\sin x$		$\(-\)$	$\(0\)$	$\(+\)$
$\cos x$	$\(1\)$	$\searrow$	$\(-1\)$	$\nearrow$	$\(1\)$

$\(x\)$	$\(0\)$		$\frac\pi2$		$\frac{3\pi}{2}$		$2\pi$
$\sin'(x)=\cos x$		$\(+\)$	$\(0\)$	$\(-\)$	$\(0\)$	$\(+\)$
$\sin x$	$\(0\)$	$\nearrow$	$\(1\)$	$\searrow$	$\(-1\)$	$\nearrow$	$\(0\)$

$\(x\)$	$\(0\)$		$\frac\pi4$		$\frac{5\pi}{4}$		$2\pi$
$\(f'(x)\)$		$\(+\)$	$\(0\)$	$\(-\)$	$\(0\)$	$\(+\)$
$\(f(x)\)$	$\(1\)$	$\nearrow$	$\sqrt{2}$	$\searrow$	$-\sqrt{2}$	$\nearrow$	$\(1\)$

$\(x\)$	$\(0\)$		$\frac\pi2$		$\pi$
$f'(x)=-\sin 2x$		$\(-\)$	$\(0\)$	$\(+\)$
$\cos^2 x$	$\(1\)$	$\searrow$	$\(0\)$	$\nearrow$	$\(1\)$

Transformation	Angle	$\cos$	$\sin$
Opposé	$\(-x\)$	$\cos x$	$-\sin x$
Supplémentaire	$\pi-x$	$-\cos x$	$\sin x$
Complément à $2\pi$	$2\pi-x$	$\cos x$	$-\sin x$
Décalage de $\pi$	$\pi+x$	$-\cos x$	$-\sin x$
Décalage de $\frac\pi2$	$\frac\pi2-x$	$\sin x$	$\cos x$
Décalage de $\frac\pi2$	$\frac\pi2+x$	$-\sin x$	$\cos x$

Avant le cours, vérifie tes bases

Pourquoi étudier les fonctions trigonométriques ?

Le problème fondamental

L'idée directrice

L'idée avant la formule

Le cercle trigonométrique

Radian vs degré

Les valeurs remarquables

Périodicité et symétries

Le cours formel

Définitions et relation fondamentale

Périodicité et parité

Formules de symétrie sur le cercle

Période, amplitude et décalage : trois rôles différents

Formules d'addition

Dérivées de \(\cos\) et \(\sin\)

Dérivées de \(\cos u\) et \(\sin u\)

Étude complète de \(\cos\) et \(\sin\) sur \([0,2\pi]\)

Optimiser une aire avec un angle

Approfondissement : la fonction tangente

Équations trigonométriques

Résoudre une inéquation sur le cercle

Limites de référence

Primitives des fonctions trigonométriques

Boîte à outils : Réflexes pour le bac

Exercices

Exercice 1 ★☆☆ : Valeurs exactes

Exercice 2 ★☆☆ : Vérification de formules

Exercice 3 ★☆☆ : Équations trigonométriques élémentaires

Exercice 4 ★☆☆ : Simplifications avec formules

Exercice 5 ★★☆ : Équations avec changement de variable

Exercice 6 ★★☆ : Dérivées

Exercice 7 ★★☆ : Limites

Exercice 8 ★★☆ : Étude de \(f(x)=\sin x+\cos x\)

Exercice 9 ★★☆ : Étude de \(f(x)=\cos^2 x\)

Exercice 10 ★★☆ : Primitives et intégrales

Exercice 11 ★★☆ : Démonstrations de cours

Exercice 12 ★★☆ : Inégalité fondamentale

Exercice 13 ★★★ : Équation trigonométrique avancée

Exercice 14 ★★★ : Étude complète de \(f(x)=\frac{\sin x}{x}\) (sinus cardinal)

Problème : Polynômes de Tchebychev et approximation trigonométrique ★★★

Corrigés détaillés

Exercice 1

Exercice 2

Exercice 3

Exercice 4

Exercice 5

Exercice 6

Exercice 7

Corrigé : Exercice 8

Exercice 9

Exercice 10

Exercice 11

Exercice 12

Exercice 13

Exercice 14

Corrigé du problème

Bilan à vérifier par un nouvel essai

Maîtrise du chapitre

Pour relier les notions

Dérivées de $\cos$ et $\sin$

Dérivées de $\cos u$ et $\sin u$

Étude complète de $\cos$ et $\sin$ sur $[0,2\pi]$

Exercice 8 ★★☆ : Étude de $f(x)=\sin x+\cos x$

Exercice 9 ★★☆ : Étude de $f(x)=\cos^2 x$

Exercice 14 ★★★ : Étude complète de $f(x)=\frac{\sin x}{x}$ (sinus cardinal)