a) \(x^2\geqslant 0\) sur \([0,2]\), donc
\[\begin{aligned}\mathcal{A} &= \int_0^2 x^2\,\mathrm{d}x\\[.35em]&= [\frac{x^3}{3}]_0^2\\[.35em]&= \frac{8}{3}
.\end{aligned}\]
b) \(\sin x\geqslant 0\) sur \([0,\pi]\), \(\sin x\leqslant 0\) sur \([\pi,2\pi]\).
\[\begin{aligned}\mathcal{A} &= \int_0^\pi\sin x\,\mathrm{d}x+\int_\pi^{2\pi}(-\sin x)\,\mathrm{d}x\\[.35em]&= [-\cos x]_0^\pi+[\cos x]_\pi^{2\pi}\\[.35em]&= (1+1)+(1+1)\\[.35em]&= 4
.\end{aligned}\]
c) \(x^2=2x\iff x=0\) ou \(2\). Sur \([0,2]\) : \(2x-x^2=x(2-x)\geqslant 0\), donc \(2x\geqslant x^2\).
\[\begin{aligned}\mathcal{A} &= \int_0^2(2x-x^2)\,\mathrm{d}x\\[.35em]&= [x^2-\frac{x^3}{3}]_0^2\\[.35em]&= 4-\frac{8}{3}\\[.35em]&= \frac{4}{3}
.\end{aligned}\]
d) \(\e^x\geqslant 1\) sur \([0,1]\), donc
\[\begin{aligned}\mathcal{A} &= \int_0^1(\e^x-1)\,\mathrm{d}x\\[.35em]&= [\e^x-x]_0^1\\[.35em]&= (\e-1)-1\\[.35em]&= \e-2
.\end{aligned}\]
e) \(x^3-x=x(x-1)(x+1)\). Signe : positif sur \([-1,0]\), négatif sur \([0,1]\).
\[\begin{aligned}\mathcal{A} &= \int_{-1}^0(x^3-x)\,\mathrm{d}x+\int_0^1(x-x^3)\,\mathrm{d}x\\[.35em]&= [\frac{x^4}{4}-\frac{x^2}{2}]_{-1}^0+[\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{4}]_0^1\\[.35em]&= \frac{1}{4}+\frac{1}{4}\\[.35em]&= \frac{1}{2}
.\end{aligned}\]