Primitives et intégration · Terminale spécialité

Pourquoi étudier les primitives et l'intégration ?

Méthode · Relier une accumulation à sa variation

Objectifs : reconnaître et vérifier une primitive, exploiter une condition initiale, expliquer une aire signée, calculer et encadrer une intégrale, une aire ou une valeur moyenne, utiliser une IPP et étudier une suite d'intégrales. Les méthodes numériques permettent aussi de travailler sans primitive explicite.

Prérequis : dérivées de produit et de composée, signe d'une fonction, continuité, limites et suites (fiches 05 à 12). Une primitive est une fonction ; une intégrale entre deux bornes fixées est un nombre. Une aire géométrique est positive ou nulle ; une accumulation signée peut être négative.

Socle : primitives usuelles, composées, propriétés des intégrales, moyenne, aires entre deux courbes, IPP et suites d'intégrales. Les preuves du programme sont l'unicité à constante près, le lien aire/primitive pour une fonction continue positive croissante, la formule de calcul par primitive et l'IPP. Le théorème général d'existence des primitives continues est admis dans ce parcours ; le cas positif croissant est démontré.

Algorithmes à explorer : rectangles, milieux, trapèzes, Monte-Carlo et Brouncker. Approfondissements : sommes de Riemann générales, suites adjacentes, Wallis et Machin. Les lois à densité évoquées en contexte sont un prolongement, pas le socle probabiliste de Terminale spécialité. Chaque pause peut être travaillée séparément avec ses deux indices ; reprendre une étape précise est plus utile que relire sans essayer.

Le problème fondamental : inverser la dérivation

On sait dériver : passer de $$f$$ à $$f'$$ . Mais comment faire le chemin inverse ? Connaissant la vitesse $$v(t)$$ , comment retrouver la position $$x(t)$$ ? Connaissant le débit d'eau d'un robinet $$q(t)$$ (en litres/seconde), comment calculer le volume total écoulé entre $$t=0$$ et $$t=T$$ ?

Chercher une fonction dont la dérivée est connue, c'est chercher une primitive. L'intégrale permet ensuite de calculer des aires, des volumes, des moyennes ou des quantités accumulées.

Schéma : Le problème fondamental : inverser la dérivation

Des exemples concrets

En cinématique : un objet a la vitesse $$v(t)=3t^2$$ m/s. La distance parcourue entre $$t=0$$ et $$t=2$$ est

\begin{aligned}d &= \int_0^2 3t^2\,\mathrm{d}t\\[.35em]&= [t^3]_0^2\\[.35em]&= 8\end{aligned}

m. Ici $v\geqslant0$ , donc déplacement et distance coïncident. Une primitive donne la position à une constante initiale près. Si la vitesse est signée et change de signe, la distance est l'intégrale de $$|v|$$ .

En probabilités : la probabilité qu'une variable aléatoire continue $$X$$ de densité $$f$$ tombe entre $$a$$ et $$b$$ est $P(a\leqslant X\leqslant b)=\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$ . La loi normale, la loi exponentielle, la loi uniforme utilisent toutes des intégrales.

En économie : le surplus du consommateur, la valeur actuelle nette d'un investissement, le coefficient de Gini pour mesurer les inégalités s'expriment comme des intégrales.

En physique : le long d'un axe, si $$F(x)$$ désigne la composante signée de la force sur cet axe, son travail est $W=\int_a^b F(x)\,\mathrm{d}x$ . L'énergie potentielle gravitationnelle, la pression hydrostatique, le moment d'inertie sont tous des intégrales.

L'idée directrice

L'idée avant la formule

Relier dérivée, primitive et intégrale

L'intégrale comme aire : l'intuition géométrique

Faire varier le niveau de la courbe. Dans la manipulation $$f(x)=x^2-c$$ sur $$[0,2]$$ , compare $$c=0$$ , $$c=1$$ et $$c=4$$ . Prévois les signes avant de regarder les résultats. Les rectangles utilisent ici leur milieu ; leur somme est une approximation, les nombres annoncés comme exacts viennent d'une primitive.

Distinguer une intégrale et une aire

Pour f(x) = x² − 1 sur [0 ; 2], prévois où les rectangles apportent une contribution positive ou négative. Augmente leur nombre, puis compare leur somme à l’intégrale.

Chaque rectangle a une largeur 2/n et la hauteur de la courbe au milieu de son intervalle. Bleu : contribution positive ; corail sous l’axe : contribution négative. La fenêtre reste fixe.

Pour x² − 1, l’aire sous l’axe est 2/3 et celle au-dessus est 4/3. L’intégrale vaut 4/3 − 2/3 = 2/3 ; l’aire géométrique vaut 4/3 + 2/3 = 2. Les rectangles donnent une approximation, pas ces valeurs exactes.

Lire les valeurs et les coordonnées

Avec c = 4, toute la courbe est sous l’axe, sauf à son extrémité droite. Explique pourquoi l’intégrale est négative alors que l’aire reste positive. Pour calculer l’aire, à quel endroit dois-tu couper l’intervalle quand 0 < c < 4 ?

$$c$$	signe sur $$[0,2]$$	intégrale signée	aire géométrique
$$0$$	positif ou nul	$$8/3$$	$$8/3$$
$$1$$	négatif puis positif	$$2/3$$	$$2$$
$$4$$	négatif ou nul	$$-16/3$$	$$16/3$$

À toi d’essayer

Annuler les contributions ne supprime pas les régions

Sans primitive, calcule $\int_0^2(1-x)\,\mathrm{d}x$ et l'aire entre la droite et l'axe. Explique pourquoi une intégrale nulle ne signifie pas que la fonction est nulle.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Deux triangles rectangles de base 1 et de hauteur 1 se trouvent de part et d'autre de l'axe.

Indice 2 · Un pas de plus

Chaque aire géométrique vaut $$1/2$$ , mais l'une des contributions est négative.

Voir l’explication

L'intégrale vaut $$1/2-1/2=0$$ ; l'aire vaut $$1/2+1/2=1$$ . La fonction change de signe : les contributions se compensent. Pour conclure qu'une fonction continue d'intégrale nulle est nulle, on aura besoin qu'elle soit positive ou nulle et d'un segment de longueur strictement positive. Réessaie avec la constante $$-2$$ sur $$[0,3]$$ .

L'idée des sommes de Riemann

Étape 1 : découper l'intervalle. Pour $$a<b$$ et un entier $n\geqslant1$ , on partage $$[a,b]$$ en $$n$$ intervalles de même largeur :

\Delta x = \frac{b-a}{n}

Les points de subdivision sont : $$x_0=a$$ , $x_1=a+\Delta x$ , $x_2=a+2\Delta x$ , …, $x_k=a+k\,\Delta x$ , …, $$x_n=b$$ .

En général : $\boldsymbol{x_k = a + k\cdot\frac{b-a}{n}}$ pour $k=0,1,\ldots,n$ .

Étape 2 : construire les rectangles. Sur chaque intervalle $[x_k,x_{k+1}]$ , on construit un rectangle de largeur $\Delta x$ et de hauteur $$|f(x_k)|$$ , en utilisant la valeur de $$f$$ au bord gauche. Sa contribution signée est :

\begin{aligned}&\text{Contribution signée du rectangle } k\\&= f(x_k)\times\Delta x\end{aligned}

Étape 3 : sommer les contributions. On obtient une approximation de l'intégrale :

\begin{aligned}S_n &= \sum_{k=0}^{n-1} f(x_k)\cdot\Delta x\\[.35em]&= \frac{b-a}{n}\sum_{k=0}^{n-1} f\!\left(a+k\,\frac{b-a}{n}\right)\end{aligned}

Étape 4 : passer à la limite. Pour une fonction continue sur $$[a,b]$$ , avec $$a<b$$ , les sommes convergent lorsque $$n$$ tend vers l'infini. Cela ne signifie pas que l'erreur décroît à chaque augmentation de $$n$$ pour toute fonction ; un encadrement justifié donne un contrôle plus précis. L'intégrale est la limite de cette somme :

\boxed{\begin{aligned}&\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\\&= \lim_{n\to+\infty} \frac{b-a}{n}\sum_{k=0}^{n-1} f\!\left(a+k\,\frac{b-a}{n}\right)\end{aligned}}

Démonstration · Exemple concret : calculer $\displaystyle\int_0^1 x^2\,\mathrm{d}x$ par les sommes de Riemann

Ici $$f(x)=x^2$$ , $$a=0$$ , $$b=1$$ . Donc $\Delta x=\frac{1}{n}$ et $x_k=\frac{k}{n}$ .

La somme de Riemann (par la droite) est :

\begin{aligned}S_n &= \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} f\!\left(\frac{k}{n}\right)\\[.35em]&= \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{k^2}{n^2}\\[.35em]&= \frac{1}{n^3}\sum_{k=1}^{n} k^2\end{aligned}

On utilise la formule classique (démontrable par récurrence ou télescopage) :

\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}

D'où :

\begin{aligned}S_n &= \frac{1}{n^3}\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\\[.35em]&= \frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}\\[.35em]&= \frac{2n^2+3n+1}{6n^2}\\[.35em]&= \frac{1}{3}+\frac{1}{2n}+\frac{1}{6n^2}\end{aligned}

Quand $n\to+\infty$ : $S_n\to\frac{1}{3}$ . Donc $\displaystyle\int_0^1 x^2\,\mathrm{d}x = \boldsymbol{\frac{1}{3}}$ .

Vérification par primitive : $F(x)=\frac{x^3}{3}$ ,

\begin{aligned}F(1)-F(0) &= \frac{1}{3}-0\\[.35em]&= \frac{1}{3}\end{aligned}

✓

Ces sommes donnent un pont entre des calculs finis et une aire. Pour une fonction croissante, les rectangles gauches minorent et les rectangles droits majorent : on peut contrôler l'écart avant de connaître une primitive.

À toi d’essayer

Quatre rectangles et une borne contrôlée

Pour $$x^2$$ sur $$[0,1]$$ , calcule les sommes gauches et droites avec $$n=4$$ . Encadre l'intégrale. L'aire de chaque rectangle vaut-elle simplement sa hauteur ?

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

La largeur vaut $$1/4$$ ; les hauteurs gauches sont $$0,(1/4)^2,(1/2)^2,(3/4)^2$$ .

Indice 2 · Un pas de plus

La somme droite remplace la hauteur 0 par la hauteur 1.

Voir l’explication

On obtient

\begin{aligned}L_4&=\tfrac14(0+\tfrac1{16}+\tfrac14+\tfrac9{16})\\[.35em]&=\tfrac7{32},\\[.35em]R_4&=L_4+\tfrac14\\[.35em]&=\tfrac{15}{32}.\end{aligned}

La croissance de $$x^2$$ donne $7/32\leqslant\int_0^1x^2\,\mathrm{d}x\leqslant15/32$ . La largeur est indispensable : la somme des hauteurs seule ne mesure pas l'aire. Réessaie avec $$f(x)=1+x$$ et $$n=2$$ .

Relier l'aire et la dérivée

Le cours formel

Primitives : définition et unicité

Une preuve à construire

Deux primitives diffèrent d'une constante

Si $$F$$ et $$G$$ sont deux primitives d'une même fonction sur un intervalle $$I$$ , démontre que $$G=F+C$$ pour une constante réelle $$C$$ . Pourquoi une condition en $x_0\in I$ rend-elle la primitive unique ?

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Calcule la dérivée de $$G-F$$ .

Indice 2 · Un pas de plus

Une fonction de dérivée nulle sur un intervalle est constante ; ce résultat ne dit pas « une même constante sur tous les intervalles disjoints ».

Voir la preuve expliquée

Sur $$I$$ ,

\begin{aligned}(G-F)' &= G'-F'\\[.35em]&= f-f\\[.35em]&= 0 .\end{aligned}

Le théorème de monotonie implique que $$G-F$$ est à la fois croissante et décroissante, donc constante : $$G=F+C$$ . Réciproquement, chaque $$F+C$$ a la dérivée $$f$$ . La condition $$G(x_0)=y_0$$ impose et détermine $$C=y_0-F(x_0)$$ . Réessaie sur $\R^*$ avec deux constantes différentes de part et d'autre de zéro : explique pourquoi ce n'est pas un contre-exemple au théorème sur un intervalle.

Tableau des primitives usuelles

Propriété · Les primitives à connaître par cœur

Fonction $$f(x)$$	Primitive $$F(x)$$	Domaine
$$a$$ (constante)	$$ax$$	$\R$
$$x^n$$ ( $n\in\N$ )	$\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$	$\R$
$\dfrac{1}{x^n}=x^{-n}$ ( $n\in\N,\ n\geqslant 2$ )	$-\dfrac{1}{(n-1)x^{n-1}}$	$]0,+\infty[$ ou $]-\infty,0[$
$x^\alpha$ ( $\alpha\in\R\setminus\{-1\}$ )	$\dfrac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}$	$]0,+\infty[$
$\dfrac{1}{\sqrt{x}}$	$2\sqrt{x}$	$]0,+\infty[$
$\dfrac{1}{x}$	$\ln\|x\|$	$]0,+\infty[$ ou $]-\infty,0[$
$\e^x$	$\e^x$	$\R$
$\e^{ax}$ ( $a\neq 0$ )	$\dfrac{\e^{ax}}{a}$	$\R$
$\cos x$	$\sin x$	$\R$
$\sin x$	$-\cos x$	$\R$
$\dfrac{1}{\cos^2 x}=1+\tan^2 x$	$\tan x$	$]-\frac\pi2,\frac\pi2[$

Primitives des fonctions composées

C'est le cœur technique du chapitre. L'idée est de reconnaître dans l'expression à primitiver une forme $g'(u(x))\cdot u'(x)$ , qui est la dérivée de $$g(u(x))$$ par la règle de la chaîne.

Propriété · Primitives composées : les 6 formes à connaître

Si $$u$$ est dérivable sur $$I$$ :

Fonction	Primitive	Condition
$u'\cdot u^n$ ( $n\in\Z,\ n\neq -1$ )	$\dfrac{u^{n+1}}{n+1}$	$u\neq 0$ si $$n<0$$
$\dfrac{u'}{u}$	$\ln\|u\|$	$u\neq 0$
$u'\,\e^{u}$	$\e^{u}$	Sans condition
$u'\cos u$	$\sin u$	Sans condition
$u'\sin u$	$-\cos u$	Sans condition
$\dfrac{u'}{\sqrt{u}}$	$2\sqrt{u}$	$$u>0$$

Dans la première ligne, $$n$$ est entier. Pour une puissance réelle non entière $\alpha$ , on travaille avec $$u>0$$ et $\alpha\neq-1$ , comme dans la fiche 11. Les conditions portent sur tout l'intervalle de travail.

Exemple · Exemples détaillés de primitives composées

1. $\displaystyle\int\frac{2x}{x^2+1}\,\mathrm{d}x$ . On pose $$u=x^2+1$$ , $$u'=2x$$ . C'est la forme $\frac{u'}{u}$ . Réponse : $\ln(x^2+1)+C$ . (Pas de $|\cdot|$ car $$x^2+1>0$$ .)

2. $\displaystyle\int(2x+3)^4\,\mathrm{d}x$ . Ici $$u=2x+3$$ , $$u'=2$$ . On a $$u^4$$ mais il manque le facteur $$u'=2$$ devant. On écrit :

\begin{aligned}\int\frac{1}{2}\cdot 2\cdot(2x+3)^4\,\mathrm{d}x &= \frac{1}{2}\cdot\frac{(2x+3)^5}{5}+C\\[.35em]&= \frac{(2x+3)^5}{10}+C .\end{aligned}

3. $\displaystyle\int\frac{\e^x}{\e^x+1}\,\mathrm{d}x$ . $u=\e^x+1$ , $u'=\e^x$ . Forme $\frac{u'}{u}$ . Réponse : $\ln(\e^x+1)+C$ .

4. $\displaystyle\int\sin(3x+2)\,\mathrm{d}x$ . $$u=3x+2$$ , $$u'=3$$ . On ajuste :

\begin{aligned}\frac{1}{3}\int 3\sin u\,\mathrm{d}x &= \frac{1}{3}(-\cos u)+C\\[.35em]&= -\frac{1}{3}\cos(3x+2)+C .\end{aligned}

5. $\displaystyle\int x\e^{x^2}\,\mathrm{d}x$ . $$u=x^2$$ , $$u'=2x$$ . On ajuste : $\frac{1}{2}\int 2x\,\e^{x^2}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\e^{x^2}+C$ .

6. $\displaystyle\int\frac{x}{\sqrt{x^2+4}}\,\mathrm{d}x$ .

\[u=x^2+4,\]

\[u'=2x.\]

\begin{aligned}\frac{1}{2}\int\frac{2x}{\sqrt{u}}\,\mathrm{d}x &= \frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{u}+C\\[.35em]&= \sqrt{x^2+4}+C .\end{aligned}

\begin{aligned}\displaystyle\int\tan x\,\mathrm{d}x &= \int\frac{\sin x}{\cos x}\,\mathrm{d}x\\[.35em]&= -\int\frac{-\sin x}{\cos x}\,\mathrm{d}x\\[.35em]&= -\ln|\cos x|+C .\end{aligned}

(

u=\cos x,

u'=-\sin x

)

À toi d’essayer

Le facteur intérieur ne peut pas être inventé

Trouve une primitive de $3x\e^{x^2}$ puis explique pourquoi $\e^{x^2}/(2x)$ n'est pas une primitive de $\e^{x^2}$ sur $]0,+\infty[$ .

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Pour la première, $$u=x^2$$ et $$u'=2x$$ : ajuste par $$3/2$$ .

Indice 2 · Un pas de plus

Pour la seconde candidate, il faut dériver un quotient, y compris son dénominateur.

Voir l’explication

Une primitive de la première fonction est $3\e^{x^2}/2$ . Pour la candidate $$H$$ ,

\begin{aligned}H'(x)&=\frac{(2x\e^{x^2})(2x)-2\e^{x^2}}{4x^2}\\[.35em]&=\e^{x^2}\left(1-\frac1{2x^2}\right).\end{aligned}

Ce n'est pas $\e^{x^2}$ . Diviser par une dérivée non constante crée des termes supplémentaires. Réessaie avec $$5x/(1+x^2)$$ , en précisant le domaine.

À toi d’essayer

Une formule ne traverse pas une singularité

Calcule $\int_{-2}^{-1}1/x\,\mathrm{d}x$ . Peut-on ensuite écrire

\begin{aligned}\int_{-1}^{1}1/x\,\mathrm{d}x &= \ln1-\ln1\\[.35em]&= 0\end{aligned}

dans le cadre de ce cours ?

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Sur l'intervalle négatif, la primitive est $\ln|x|$ .

Indice 2 · Un pas de plus

Pour la seconde intégrale, vérifie d'abord la définition et la continuité de $$1/x$$ en zéro.

Voir l’explication

La première vaut $\ln|-1|-\ln|-2|=-\ln2$ , ce qui est cohérent avec une fonction négative. La seconde n'est pas une intégrale d'une fonction continue sur le segment : $$1/x$$ n'est pas définie en zéro. Le théorème de calcul par primitive ne s'applique pas en traversant ce point. Réessaie avec $$1/(x-3)$$ sur $$[1,2]$$ , puis examine le segment $$[2,4]$$ .

L'intégrale définie

Une preuve à construire

Une petite bande d'aire donne la valeur de la fonction

Soit $$f$$ continue, positive et croissante sur $$[a,b]$$ , avec $$a<b$$ . Appelle $$A(x)$$ l'aire sous la courbe entre $$a$$ et $$x$$ . Prouve $$A'(x)=f(x)$$ dans l'intérieur, puis $\int_a^b f=F(b)-F(a)$ pour toute primitive $$F$$ .

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Pour $$h>0$$ , la bande entre $$x$$ et $$x+h$$ est comprise entre deux rectangles de hauteurs $$f(x)$$ et $$f(x+h)$$ .

Indice 2 · Un pas de plus

Pour $$h<0$$ , utilise la bande entre $$x+h$$ et $$x$$ , de largeur $$-h>0$$ .

Voir la preuve expliquée

Pour $$h>0$$ tel que $x+h\in[a,b]$ ,

f(x)\leqslant\frac{A(x+h)-A(x)}h\leqslant f(x+h).

Pour $$h<0$$ , le quotient est l'aire entre $$x+h$$ et $$x$$ divisée par $$-h$$ , donc

f(x+h)\leqslant\frac{A(x+h)-A(x)}h\leqslant f(x).

La continuité fait tendre les deux bornes vers $$f(x)$$ ; les gendarmes donnent la dérivée. Aux extrémités, on utilise la limite du côté du segment. Ainsi $$A$$ est une primitive, $$A(a)=0$$ , et $$F-A$$ est constante. Par différence,

\begin{aligned}F(b)-F(a)&=A(b)-A(a)\\[.35em]&=A(b)\\[.35em]&=\int_a^b f.\end{aligned}

Réessaie en dessinant les deux bandes pour $$f(t)=t^2$$ sur $$[0,2]$$ , en un point intérieur. La continuité et la croissance ont chacune un rôle précis.

Exemple · Calculs de référence : à connaître

\begin{aligned}\displaystyle\int_0^1 x^2\,\mathrm{d}x &= \Bigl[\frac{x^3}{3}\Bigr]_0^1\\[.35em]&= \frac{1}{3}-0\\[.35em]&= \frac{1}{3} .\end{aligned}

\begin{aligned}\displaystyle\int_1^\e\frac{1}{x}\,\mathrm{d}x &= [\ln x]_1^\e\\[.35em]&= \ln\e-\ln 1\\[.35em]&= 1-0\\[.35em]&= 1 .\end{aligned}

\begin{aligned}\displaystyle\int_0^\pi\sin x\,\mathrm{d}x &= [-\cos x]_0^\pi\\[.35em]&= -\cos\pi-(-\cos 0)\\[.35em]&= -(-1)+1\\[.35em]&= 2 .\end{aligned}

\begin{aligned}\displaystyle\int_0^1\e^x\,\mathrm{d}x &= [\e^x]_0^1\\[.35em]&= \e-1 .\end{aligned}

\begin{aligned}\displaystyle\int_0^{\pi/2}\cos x\,\mathrm{d}x &= [\sin x]_0^{\pi/2}\\[.35em]&= 1-0\\[.35em]&= 1 .\end{aligned}

\begin{aligned}\displaystyle\int_0^1 2x\e^{x^2}\,\mathrm{d}x &= [\e^{x^2}]_0^1\\[.35em]&= \e-1 .\end{aligned}

(Primitive composée : $$u=x^2$$ , $$u'=2x$$ .)

\begin{aligned}\displaystyle\int_1^2\frac{2x+1}{x^2+x}\,\mathrm{d}x &= [\ln(x^2+x)]_1^2\\[.35em]&= \ln 6-\ln 2\\[.35em]&= \ln 3 .\end{aligned}

(

\[u=x^2+x,\]

\[u'=2x+1\]

)

Propriétés de l'intégrale

À toi d’essayer

Additionner et inverser des parcours

On sait $\int_0^2 f=3$ et $\int_2^5 f=-1$ . Calcule $\int_0^5 f$ , $\int_5^0 f$ et $\int_0^2(2f+1)$ . Les données permettent-elles de calculer $\int_0^2 f^2$ ?

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Chasles additionne les morceaux, puis la linéarité traite $$2f+1$$ .

Indice 2 · Un pas de plus

L'intégrale de la constante 1 sur $$[0,2]$$ vaut 2. La linéarité ne concerne pas les produits.

Voir l’explication

Les trois valeurs sont $$3-1=2$$ , $$-2$$ , et $2\times3+2=8$ . La moyenne seule ne détermine pas l'intégrale du carré : sur $$[0,2]$$ , $$f=3/2$$ donne $\int f=3$ et $\int f^2=9/2$ , tandis que $$f(x)=x+1/2$$ donne la même intégrale 3 et une intégrale du carré $$31/6$$ . Réessaie avec des bornes $\int_5^2 f$ ; dessine le parcours avant de changer le signe.

Une preuve à construire

Quand une intégrale nulle impose-t-elle une fonction nulle ?

Suppose $$f$$ continue, $f\geqslant0$ sur $$[a,b]$$ avec $$a<b$$ , et $\int_a^b f=0$ . Prouve que $$f$$ s'annule partout sur ce segment.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Suppose au contraire $$f(x_0)>0$$ et utilise la continuité pour conserver au moins la moitié de cette hauteur près de $$x_0$$ .

Indice 2 · Un pas de plus

Même si $$x_0$$ est une extrémité, le segment contient un petit intervalle de longueur strictement positive où $f\geqslant f(x_0)/2$ .

Voir la preuve expliquée

La continuité donne un voisinage relatif où $f\geqslant f(x_0)/2>0$ . Puisque $$a<b$$ , on peut y choisir $[\alpha,\beta]\subset[a,b]$ avec $\alpha<\beta$ , y compris si $$x_0=a$$ ou $$b$$ . Par positivité sur le reste du segment,

\int_a^b f\geqslant\int_\alpha^\beta f\geqslant\tfrac{f(x_0)}2(\beta-\alpha)>0,

contradiction. Sans continuité, un seul point de hauteur positive ne donnerait pas une région d'aire positive. Sans $f\geqslant0$ , les aires peuvent se compenser. Sans $$a<b$$ , l'intégrale est toujours nulle. Réessaie en construisant un exemple montrant le rôle de la positivité.

Valeur moyenne d'une fonction

À toi d’essayer

Un retour en arrière compte dans la distance

Une vitesse signée vaut $$v(t)=2-t$$ en mètres par seconde sur $$[0,3]$$ secondes. Calcule le déplacement, la distance parcourue et la vitesse moyenne signée.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

La vitesse s'annule à $$t=2$$ ; elle est négative ensuite.

Indice 2 · Un pas de plus

La primitive $$2t-t^2/2$$ donne le déplacement. Pour la distance, ajoute les deux aires positives.

Voir l’explication

Le déplacement vaut $$[2t-t^2/2]_0^3=3/2$$ m. L'aller de 0 à 2 parcourt 2 m ; le retour entre 2 et 3 parcourt $$1/2$$ m. La distance est donc $$5/2$$ m. La vitesse moyenne signée vaut $$(3/2)/3=1/2$$ m/s ; la distance divisée par la durée vaut $$5/6$$ m/s, une autre grandeur. Réessaie avec le même mouvement arrêté à $$t=2$$ .

Calcul d'aires

Deux aires de $$1/2$$ : leur différence est nulle, leur somme vaut 1.

À toi d’essayer

Choisir le haut avant d'intégrer

Calcule l'aire entre $$y=x$$ et $$y=x^2$$ sur $$[0,2]$$ . Peut-on utiliser $$x-x^2$$ comme hauteur sur tout le segment ?

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Les courbes se coupent en 0 et 1 ; leur ordre change à 1.

Indice 2 · Un pas de plus

Sur $$[0,1]$$ , $x\geqslant x^2$ ; sur $$[1,2]$$ , c'est l'inverse.

Voir l’explication

Il faut deux intégrales positives :

\begin{aligned}\mathcal A&=\int_0^1(x-x^2)\,\mathrm{d}x+\int_1^2(x^2-x)\,\mathrm{d}x\\[.35em]&=\tfrac16+\left[\tfrac{x^3}{3}-\tfrac{x^2}{2}\right]_1^2\\[.35em]&=\tfrac16+\tfrac56\\[.35em]&=1.\end{aligned}

L'intégrale signée de $$x-x^2$$ sur $$[0,2]$$ serait $$-2/3$$ ; sa valeur absolue n'est pas non plus l'aire. Réessaie sur $$[0,3]$$ en conservant la coupure au point d'intersection.

Intégration par parties (IPP)

Une preuve à construire

Retrouver l'intégration par parties

Pour $$u,v$$ continûment dérivables sur $$[a,b]$$ , démontre l'IPP à partir de la dérivée de $$uv$$ . Explique le signe moins et la nature du terme de bord.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Le produit se dérive en deux termes : $$(uv)'=u'v+uv'$$ .

Indice 2 · Un pas de plus

Intègre cette égalité, puis isole l'intégrale cherchée.

Voir la preuve expliquée

La continuité des dérivées rend les termes intégrables. On obtient

\begin{aligned}[uv]_a^b&=\int_a^b u'v+\int_a^b uv',\\[.35em]\int_a^b uv'&=[uv]_a^b-\int_a^b u'v.\end{aligned}

Le signe moins vient du terme déplacé ; le crochet vaut le nombre $$u(b)v(b)-u(a)v(a)$$ . La classe $\mathcal C^1$ signifie ici que les fonctions ont une dérivée continue. Réessaie en prenant $$u(x)=x$$ et $$v(x)=x^2$$ sur $$[0,1]$$ , et vérifie les deux membres.

Exemple · Les 4 IPP fondamentales du bac

\displaystyle I=\int_0^1 x\e^x\,\mathrm{d}x.

\[u=x\]

(P),

v'=\e^x

(E).

\[u'=1,\]

v=\e^x.

\begin{aligned}I &= [x\e^x]_0^1-\int_0^1 1\cdot\e^x\,\mathrm{d}x\\[.35em]&= \e-[\e^x]_0^1\\[.35em]&= \e-(\e-1)\\[.35em]&= \boxed{1} .\end{aligned}

\displaystyle J=\int_1^\e\ln x\,\mathrm{d}x.

u=\ln x

(L),

\[v'=1\]

(P).

u'=\frac{1}{x},

\[v=x.\]

\begin{aligned}J &= [x\ln x]_1^\e-\int_1^\e\frac{x}{x}\,\mathrm{d}x\\[.35em]&= \e\cdot 1-0-[\,x\,]_1^\e\\[.35em]&= \e-(\e-1)\\[.35em]&= \boxed{1} .\end{aligned}

\displaystyle K=\int_0^\pi x\sin x\,\mathrm{d}x.

\[u=x\]

(P),

v'=\sin x

(T).

\[u'=1,\]

v=-\cos x.

\begin{aligned}K &= [-x\cos x]_0^\pi+\int_0^\pi\cos x\,\mathrm{d}x\\[.35em]&= \pi\cdot 1+[\sin x]_0^\pi\\[.35em]&= \pi+0\\[.35em]&= \boxed{\pi} .\end{aligned}

\displaystyle L=\int_0^1(2x+1)\e^{-x}\,\mathrm{d}x.

\[u=2x+1,\]

v'=\e^{-x}.

\[u'=2,\]

v=-\e^{-x}.

\begin{aligned}L &= [-(2x+1)\e^{-x}]_0^1+\int_0^1 2\e^{-x}\,\mathrm{d}x\\[.35em]&= -3\e^{-1}+1+[-2\e^{-x}]_0^1\\[.35em]&= -3\e^{-1}+1-2\e^{-1}+2\\[.35em]&= \boxed{3-5\e^{-1}} .\end{aligned}

Le théorème fondamental de l'analyse

Exemple · Fonctions définies par une intégrale

1. Une fonction à étudier sans formule usuelle. Sur $\R$ , posons $F(x)=\int_0^x\e^{-t^2}\,\mathrm{d}t$ . L'intégrande est continu. Le TFA puis la dérivation d'une composée donnent :

\begin{aligned}F'(x)&=\e^{-x^2}>0,\\[.35em]F''(x)&=(-2x)\e^{-x^2}.\end{aligned}

La première ligne montre que $$F$$ est strictement croissante. Dans la seconde, le facteur exponentiel est positif : $$F''$$ est positif pour $$x<0$$ , nul en 0 et négatif pour $$x>0$$ . La convexité change donc en 0. Comme $$F(0)=0$$ , l'origine est un point d'inflexion. L'intégrale définit bien $$F$$ , même sans primitive exprimée avec les fonctions usuelles.

2. Une borne variable et un minimum. Pour $$x>0$$ , posons $G(x)=\int_1^x\frac{\ln t}{t}\,\mathrm{d}t$ . La continuité de l'intégrande sur $]0,+\infty[$ permet d'écrire

G'(x)=\frac{\ln x}{x}.

Le dénominateur est positif. Le signe de $$G'$$ est donc celui de $\ln x$ : négatif sur $$]0,1[$$ , nul en 1, positif sur $]1,+\infty[$ . Ainsi $$G$$ décroît jusqu'à 1 puis croît, et son minimum vaut $$G(1)=0$$ . On peut vérifier cette conclusion en reconnaissant la primitive :

\begin{aligned}G(x)&=\left[\frac{(\ln t)^2}{2}\right]_1^x\\[.35em]&=\frac{(\ln x)^2}{2}\geqslant0.\end{aligned}

À toi d’essayer

La borne variable peut être une fonction

Pour $x\neq0$ , pose $G(x)=\int_1^{x^2}1/t\,\mathrm{d}t$ . Calcule $$G'$$ et donne le signe de $$G$$ selon $$|x|$$ .

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

La borne supérieure $$x^2$$ est positive, mais peut être inférieure à 1.

Indice 2 · Un pas de plus

La fonction $H(y)=\int_1^y1/t\,\mathrm{d}t$ a pour dérivée $$1/y$$ ; compose-la avec $$x^2$$ .

Voir l’explication

La primitive donne

\begin{aligned}G(x) &= \ln(x^2)\\[.35em]&= 2\ln|x| .\end{aligned}

Par composition,

\begin{aligned}G'(x) &= 2x\times\frac1{x^2}\\[.35em]&= \frac2x.\end{aligned}

La fonction est négative si $$0<|x|<1$$ , nulle pour $$|x|=1$$ , positive pour $$|x|>1$$ . L'intégrande est positif, mais une borne supérieure plus petite inverse l'orientation. Réessaie pour $\int_0^{2x}\e^t\,\mathrm{d}t$ et vérifie le facteur 2.

Sommes de Riemann

À toi d’essayer

Identifier aussi la largeur et les bornes

Quelle est la limite de $S_n=\sum_{k=0}^{n-1}2/(n+2k)$ ? Identifie une fonction et un intervalle permettant de lire cette somme.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Écris $$2/(n+2k)=(2/n)/(1+2k/n)$$ .

Indice 2 · Un pas de plus

On reconnaît une largeur $$2/n$$ et des abscisses $$2k/n$$ sur $$[0,2]$$ .

Voir l’explication

La somme est celle des rectangles gauches de $$f(x)=1/(1+x)$$ sur $$[0,2]$$ , avec $n\geqslant1$ . Comme $$f$$ est continue,

S_n\longrightarrow\int_0^2\frac{\mathrm{d}x}{1+x}=\ln3.

On peut aussi travailler sur $$[0,1]$$ avec la fonction $$2/(1+2x)$$ , donnant le même nombre. Réessaie pour $\sum_{k=1}^n1/(2n+k)$ : ne devine pas les bornes uniquement à partir des indices.

Inégalités intégrales et encadrements

Exemple · Encadrements détaillés

1. Encadrons $I=\int_0^1\frac{1}{1+x^2}\,\mathrm{d}x$ . Pour $x\in[0,1]$ : $1\leqslant 1+x^2\leqslant 2$ , donc $\frac{1}{2}\leqslant\frac{1}{1+x^2}\leqslant 1$ . D'où $\frac{1}{2}\leqslant I\leqslant 1$ . (Valeur exacte :

\begin{aligned}I &= \frac\pi4\\[.35em]&\approx 0{,}785 .\end{aligned}

)

2. Montrons $1\leqslant\int_0^1\e^{x^2}\,\mathrm{d}x\leqslant\e$ . Sur $$[0,1]$$ : $0\leqslant x^2\leqslant 1$ , donc $1=\e^0\leqslant\e^{x^2}\leqslant\e^1=\e$ . En intégrant : $1\leqslant\int_0^1\e^{x^2}\leqslant\e$ .

3. Encadrement fin avec $\sin x\leqslant x$ : $\int_0^1\sin x\,\mathrm{d}x\leqslant\int_0^1 x\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2}$ . Vérification :

\begin{aligned}\int_0^1\sin x\,\mathrm{d}x &= 1-\cos 1\\[.35em]&\approx 0{,}46 .\end{aligned}

À toi d’essayer

Une primitive explicite n'est pas nécessaire

Sur $$[0,1]$$ , utilise $1-u\leqslant1/(1+u)\leqslant1$ pour $u\geqslant0$ afin d'encadrer $\int_0^1 1/(1+x^4)\,\mathrm{d}x$ . Compare à la borne issue de $1/2\leqslant f\leqslant1$ .

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

La différence $$1/(1+u)-(1-u)$$ vaut $u^2/(1+u)\geqslant0$ .

Indice 2 · Un pas de plus

Avec $$u=x^4$$ , intègre le polynôme $$1-x^4$$ .

Voir l’explication

On obtient

\tfrac45=\int_0^1(1-x^4)\,\mathrm{d}x\leqslant\int_0^1\frac{\mathrm{d}x}{1+x^4}\leqslant1.

La borne inférieure $$4/5$$ est plus précise que $$1/2$$ . On a encadré la fonction par une autre fonction, pas seulement par des constantes. Réessaie en utilisant $1/(1+u)\leqslant1-u+u^2$ pour améliorer la borne supérieure.

Une suite d'intégrales : comparer avant de calculer

À toi d’essayer

Une récurrence et un encadrement

Pour $I_n=\int_0^1x^n/(1+x)\,\mathrm{d}x$ , calcule $$I_0$$ , puis $I_n+I_{n+1}$ . Déduis $$I_1,I_2$$ et une preuve que $I_n\to0$ .

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Additionne les deux intégrandes avant de chercher deux primitives.

Indice 2 · Un pas de plus

Sur $$[0,1]$$ , $x^n/2\leqslant x^n/(1+x)\leqslant x^n$ .

Voir l’explication

On a $I_0=\ln2$ . La linéarité donne

\begin{aligned}I_n+I_{n+1}&=\int_0^1\frac{x^n(1+x)}{1+x}\,\mathrm{d}x\\[.35em]&=\int_0^1x^n\,\mathrm{d}x\\[.35em]&=\frac1{n+1}.\end{aligned}

Donc $I_1=1-\ln2$ et $I_2=\ln2-1/2$ . En intégrant l'encadrement de l'indice, on trouve $1/[2(n+1)]\leqslant I_n\leqslant1/(n+1)$ ; les gendarmes prouvent la limite zéro. Réessaie avec $\int_0^1x^n/(2+x)\,\mathrm{d}x$ et cherche d'abord deux constantes pour encadrer le dénominateur.

Calcul numérique : rectangles, milieux et trapèzes

Pour $$f$$ continue sur $$[a,b]$$ , $$a<b$$ , $n\geqslant1$ et $$h=(b-a)/n$$ , pose $$x_k=a+kh$$ . Quatre approximations utilisent les mêmes subdivisions :

\begin{aligned}L_n&=h\sum_{k=0}^{n-1}f(x_k),\\[.35em]R_n&=h\sum_{k=0}^{n-1}f(x_{k+1}),\\[.35em]M_n&=h\sum_{k=0}^{n-1}f\bigl((x_k+x_{k+1})/2\bigr),\\[.35em]T_n&=h\sum_{k=0}^{n-1}\frac{f(x_k)+f(x_{k+1})}{2}.\end{aligned}

La dernière somme remplace chaque arc par une corde : chaque morceau devient un trapèze. On a $$T_n=(L_n+R_n)/2$$ . Pour une fonction croissante, $$L_n$$ minore et $$R_n$$ majore l'intégrale ; pour une fonction décroissante, les rôles sont inversés. Sans monotonie, les sommes gauche et droite ne fournissent pas automatiquement un encadrement. La convergence des quatre méthodes pour une fonction continue est admise ; l'activité et la preuve suivantes donnent des contrôles concrets.

from math import isfinite, fsum

def quadratures(f, a, b, n):
    if type(n) is not int or n < 1:
        raise ValueError("n doit etre un entier positif")
    if not (isfinite(a) and isfinite(b) and a < b):
        raise ValueError("bornes finies avec a < b")
    h = (b - a) / n
    if not isfinite(h) or h <= 0:
        raise ValueError("pas non representable")
    gauche, droite, milieu = [], [], []
    for k in range(n):
        xg = a + k * h
        xd = b if k == n - 1 else a + (k + 1) * h
        if not xg < xd:
            raise ValueError("subdivision confondue par arrondi")
        vals = (f(xg), f(xd), f(xg + (xd - xg)/2))
        if not all(isfinite(v) for v in vals):
            raise ValueError("valeur non finie")
        gauche.append(vals[0])
        droite.append(vals[1])
        milieu.append(vals[2])
    L, R, M = (h * fsum(v) for v in (gauche, droite, milieu))
    T = L/2 + R/2
    if not all(isfinite(v) for v in (L, R, M, T)):
        raise ValueError("resultat non fini")
    return L, R, M, T

Les valeurs calculées sont des flottants ; vérifier seulement un nombre fini de points ne prouve pas que la fonction est continue entre eux. On justifie le domaine et la monotonie avant d'interpréter ces résultats comme bornes théoriques. Les tests du code détectent quelques entrées invalides et un pas trop petit, sans certifier les erreurs d'arrondi.

À toi d’essayer

Comparer quatre méthodes sur un exemple exact

Pour $$f(x)=x^2$$ sur $$[0,1]$$ , $$n=4$$ , vérifie que le code donne $$L_4=7/32$$ , $$R_4=15/32$$ , $$M_4=21/64$$ et $$T_4=11/32$$ . Quelle valeur est la plus proche de $$1/3$$ ?

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Les milieux sont $$1/8,3/8,5/8,7/8$$ , chacun associé à la largeur $$1/4$$ .

Indice 2 · Un pas de plus

Le trapèze est la moyenne des sommes gauche et droite. Compare les différences exactes à $$1/3$$ .

Voir l’explication

Pour les milieux,

\begin{aligned}M_4 &= \tfrac14\frac{1+9+25+49}{64}\\[.35em]&= \frac{21}{64}.\end{aligned}

Le trapèze vaut $$(7/32+15/32)/2=11/32$$ . Les écarts sont $$1/3-M_4=1/192$$ et $$T_4-1/3=1/96$$ ; le milieu est ici le plus précis. Ce constat sur $$x^2$$ n'est pas une garantie universelle pour toutes les fonctions. Réessaie avec une fonction affine : quelles méthodes deviennent exactes ?

Une preuve à construire

Raffiner des rectangles avec une borne d'erreur

Pour $$f$$ continue croissante sur $$[a,b]$$ , montre $L_n\leqslant\int_a^b f\leqslant R_n$ et calcule $$R_n-L_n$$ . Pourquoi les suites $L_{2^p}$ et $R_{2^p}$ sont-elles adjacentes ?

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Sur chaque intervalle, la valeur de $$f$$ est entre ses deux valeurs aux extrémités.

Indice 2 · Un pas de plus

La différence des sommes se télescope. Quand on coupe un intervalle en deux, une hauteur gauche est remplacée par deux hauteurs dont la seconde est plus grande.

Voir la preuve expliquée

La comparaison rectangle par rectangle puis la somme donne les deux bornes. La différence vaut

\begin{aligned}R_n-L_n&=h\sum_{k=0}^{n-1}\bigl(f(x_{k+1})-f(x_k)\bigr)\\[.35em]&=\frac{b-a}{n}\bigl(f(b)-f(a)\bigr).\end{aligned}

En divisant chaque intervalle en deux, la somme gauche augmente ou reste égale, et la somme droite diminue ou reste égale. Ainsi $L_{2^p}$ est croissante, $R_{2^p}$ décroissante, et leur écart tend vers zéro : elles sont adjacentes et convergent vers l'intégrale qu'elles encadrent. Leur moyenne a une erreur théorique au plus la moitié de cet écart. Si $$f$$ est constante, l'écart est nul dès le départ. Réessaie avec $$f(x)=1/(1+x)$$ , décroissante : échange correctement les bornes.

Monte-Carlo : une estimation aléatoire

Pour estimer $\int_0^1x^2\,\mathrm{d}x$ , choisissons des points uniformément dans le carré unité. La proportion située sous $$y=x^2$$ estime l'aire cherchée. Dans le modèle, les tirages sont indépendants ; la loi des grands nombres explique la convergence de la fréquence vers la probabilité $$p=1/3$$ . Une réalisation finie ne donne pas une borne certaine et l'erreur peut augmenter lorsque l'on ajoute des points.

from random import Random

def monte_carlo_carre(n, seed=0):
    if type(n) is not int or n < 1:
        raise ValueError("n doit etre un entier positif")
    rng = Random(seed)
    succes = 0
    for _ in range(n):
        x, y = rng.random(), rng.random()
        if y <= x*x:
            succes += 1
    return succes / n

print(monte_carlo_carre(10000, seed=7))

La graine rend l'expérience reproductible ; le générateur simule les tirages du modèle. Avec $$N$$ points indépendants, la variance de la fréquence est $p(1-p)/N\leqslant1/(4N)$ . L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, étudiée avec les probabilités, donne

P\bigl(|\widehat p-p|\geqslant\varepsilon\bigr)\leqslant\frac1{4N\varepsilon^2},\quad\varepsilon>0.

Cette majoration concerne une probabilité d'erreur, pas chaque simulation isolée. Pour $$N=10000$$ et $\varepsilon=0{,}05$ , elle vaut $$0{,}01$$ ; elle reste assez prudente. Pour cette intégrale simple, les méthodes déterministes sont beaucoup plus précises à coût comparable ; Monte-Carlo introduit une autre façon d'estimer une accumulation.

À toi d’essayer

Une fréquence n'est pas une aire exacte

Une simulation de 12 points en place 5 sous la courbe. Quelle estimation fournit-elle ? Peut-on en conclure que l'aire est exactement $$5/12$$ , ou que 24 points donneront forcément une meilleure estimation ?

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

L'aire du carré vaut 1 ; on la multiplie par la fréquence observée.

Indice 2 · Un pas de plus

Distingue un résultat de tirage et une propriété valable pour tous les tirages.

Voir l’explication

L'estimation vaut $5/12\simeq0{,}417$ , alors que l'aire exacte vaut $$1/3$$ . Un échantillon fini peut s'écarter de la proportion théorique ; doubler sa taille ne garantit pas d'améliorer cette réalisation. Les garanties portent sur une probabilité ou sur une convergence quand la taille tend vers l'infini. Réessaie avec 40 succès sur 100 points, puis calcule la borne de Tchebychev pour une erreur de $$0{,}1$$ et $$N=1000$$ .

Brouncker : calculer le logarithme de 2 avec des rationnels

La série associée à Brouncker s'écrit, en regroupant les termes par paires,

\ln2=\frac1{1\times2}+\frac1{3\times4}+\frac1{5\times6}+\cdots.

Nous la justifions par une identité finie et une borne du reste, puis écrivons l'algorithme. Pour $n\geqslant1$ , posons

B_n=\sum_{k=0}^{n-1}\frac1{(2k+1)(2k+2)},\qquad U_n=B_n+\frac1{2n+1}.

Une preuve à construire

Une identité finie avant la somme infinie

Sur $$[0,1]$$ , vérifie $1/(1+x)=\sum_{k=0}^{n-1}(x^{2k}-x^{2k+1})+x^{2n}/(1+x)$ . Déduis $B_n\leqslant\ln2\leqslant U_n$ et la convergence vers $\ln2$ .

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Multiplie l'identité par $$1+x$$ : les puissances intermédiaires se simplifient.

Indice 2 · Un pas de plus

L'intégrale de $x^{2k}-x^{2k+1}$ vaut $$1/(2k+1)-1/(2k+2)$$ .

Voir la preuve expliquée

La multiplication donne $1=1-x^{2n}+x^{2n}$ , donc l'identité est vraie, même en $$x=1$$ . En intégrant la somme finie,

\ln2=B_n+\int_0^1\frac{x^{2n}}{1+x}\,\mathrm{d}x.

Le reste est positif et au plus $\int_0^1x^{2n}\,\mathrm{d}x=1/(2n+1)$ , qui tend vers zéro. Cela prouve convergence et encadrement, sans échange non justifié d'une somme infinie et d'une intégrale. De plus $$B_n$$ augmente et

U_{n+1}-U_n=\frac1{2n+3}-\frac1{2n+2}<0.

Les deux suites sont adjacentes. Leur moyenne a une erreur au plus $$1/[2(2n+1)]$$ . Réessaie avec $$n=1$$ , puis $$n=2$$ , en donnant des fractions exactes.

from fractions import Fraction

def brouncker(n):
    if type(n) is not int or n < 1:
        raise ValueError("n doit etre un entier positif")
    bas = Fraction(0)
    for k in range(n):
        bas += Fraction(1, (2*k + 1)*(2*k + 2))
    haut = bas + Fraction(1, 2*n + 1)
    return bas, haut, (bas + haut)/2

bas, haut, milieu = brouncker(10)
print(bas, haut)
print(float(milieu))

Ici les bornes retournées sont des fractions exactes : leur preuve s'applique sans erreur d'arrondi. Convertir en flottant permet un affichage approché, mais ne transforme pas un arrondi vers l'intérieur en borne valide. Les grands dénominateurs rendent cette version exacte moins rapide qu'une somme flottante.

$$n$$	$$B_n$$ approché	$$U_n$$ approché	moyenne approchée
1	0,500000	0,833333	0,666667
2	0,583333	0,783333	0,683333
10	0,668771	0,716390	0,692581
100	0,690653	0,695629	0,693141

À toi d’essayer

Un critère d'arrêt démontré

Avec la moyenne de $$B_n$$ et $$U_n$$ , quel rang suffit pour garantir une erreur au plus $$0{,}001$$ en arithmétique exacte ? Ce rang est-il nécessairement le premier qui donne en réalité cette précision ?

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Impose $1/[2(2n+1)]\leqslant1/1000$ .

Indice 2 · Un pas de plus

Après multiplication par des nombres positifs, on obtient $4n+2\geqslant1000$ .

Voir l’explication

Il suffit que $n\geqslant249{,}5$ , donc l'entier $$n=250$$ convient. La borne d'erreur est une garantie ; l'erreur réelle peut être plus petite, comme le suggère le tableau. On n'a pas prouvé que 250 est nécessaire pour obtenir cette précision, seulement qu'il suffit par cette majoration. Réessaie avec une précision $$0{,}01$$ .

À toi d’essayer

Une borne doit rester du bon côté

Un calcul exact donne $7/32\leqslant I\leqslant15/32$ . Peut-on arrondir au centième et écrire $0{,}22\leqslant I\leqslant0{,}47$ comme conséquence certaine ?

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

La borne inférieure exacte vaut $$0{,}21875$$ . Un arrondi vers le haut la rend plus forte.

Indice 2 · Un pas de plus

Pour une borne inférieure, arrondis vers le bas ; pour une borne supérieure, vers le haut.

Voir l’explication

Les données garantissent $0{,}21\leqslant I\leqslant0{,}47$ . Elles ne garantissent pas $I\geqslant0{,}22$ : par exemple $$I=0{,}219$$ respecterait l'encadrement initial. Un arrondi au plus proche donne une valeur approchée, pas automatiquement une borne. Réessaie pour $1/3\leqslant J\leqslant2/3$ au centième.

Boîte à outils : Réflexes pour le bac

Méthode · Les 10 réflexes essentiels

Vérifier en dérivant : après avoir trouvé $$F$$ , dérive-la pour vérifier que $$F'=f$$ . C'est le réflexe numéro un.
Repérer $\frac{u'}{u}$ : c'est $\ln|u|$ . Le motif le plus fréquent au bac.
Repérer $u'\e^u$ : c'est $\e^u$ . Deuxième motif le plus fréquent.
Repérer $$u'u^n$$ : primitive $u^{n+1}/(n+1)$ pour $n\in\Z\setminus\{-1\}$ , avec $u\neq0$ si $$n<0$$ .
Linéariser $\cos^2 x$ et $\sin^2 x$ avant d'intégrer ( $\frac{1+\cos 2x}{2}$ et $\frac{1-\cos 2x}{2}$ ).
IPP : pour $\int x^n\e^x$ , $\int x^n\sin x$ , $\int x^n\cos x$ , $\int\ln x$ , $\int x\ln x$ . Règle LPET.
Aire = intégrale de $$|f|$$ : ne pas oublier la valeur absolue pour les aires géométriques.
Aire entre deux courbes : $\int|f-g|$ , étudier le signe de $$f-g$$ .
Ne pas oublier le $$+C$$ dans les primitives (sauf dans une intégrale définie où $$C$$ se simplifie).
Fonction intégrale $\to$ TFA : si $F(x)=\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t$ , alors $$F'(x)=f(x)$$ et $$F(a)=0$$ .

Méthode · Mots-clés à repérer dans les énoncés du bac

Tu lis dans l'énoncé…	Tu penses à…
« trouver une primitive de $$f$$ »	tableau des primitives, vérifier en dérivant
« calculer $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$ »	$$[F(x)]_a^b=F(b)-F(a)$$
« calculer l'aire sous la courbe »	$\int_a^b\|f(x)\|\,\mathrm{d}x$ , étudier le signe de $$f$$
« calculer l'aire entre les courbes »	$\int_a^b\|f(x)-g(x)\|\,\mathrm{d}x$
« valeur moyenne de $$f$$ »	$\frac{1}{b-a}\int_a^b f$
« $$F$$ définie par $\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t$ »	TFA : $$F'=f$$ , $$F(a)=0$$ , étudier $$F$$ via $$f$$
« $\frac{1}{n}\sum f(k/n)$ »	somme de Riemann $\to\int_0^1 f$
« encadrer l'intégrale »	encadrer $$f$$ puis intégrer
« $$F$$ est la primitive de $$f$$ telle que… »	déterminer $$C$$ par la condition initiale
« en déduire une primitive de… »	IPP ou transformation

Attention · Six points à vérifier dans sa réponse

Une primitive ou toutes les primitives ? $$x^2$$ est bien une primitive de $$2x$$ sur $\R$ . Pour donner toutes les primitives, on écrit $$x^2+C$$ , $C\in\R$ . Une condition initiale impose ensuite la constante.
Confondre primitive de $\sin$ et de $\cos$ . Retiens : primitive de $\sin x$ est $-\cos x$ (signe $$-$$ ), primitive de $\cos x$ est $\sin x$ (pas de $$-$$ ).
Calculer l'aire comme $\int_a^b f$ sans valeur absolue. Si $$f$$ change de signe, l'intégrale n'est PAS l'aire. L'aire est $\int|f|$ .
Oublier le coefficient dans les primitives composées. $\int\e^{3x}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{3}\e^{3x}+C$ , pas $\e^{3x}+C$ .
Se tromper dans l'IPP. Le crochet $$[uv]_a^b$$ est un nombre, pas une fonction. Vérifie que tu calcules bien $$u(b)v(b)-u(a)v(a)$$ .
Confondre $\int_a^b f$ et $\int_b^a f$ . Inverser les bornes change le signe !

Méthode · Récapitulatif complet des formules

Résultat	Formule
Intégrale définie	$\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = F(b)-F(a) = \bigl[F(x)\bigr]_a^b$
Linéarité	$\int_a^b(\lambda f+g) = \lambda\int_a^b f+\int_a^b g$
Chasles	$\int_a^b f+\int_b^c f = \int_a^c f$
Bornes inversées	$\int_a^b f = -\int_b^a f$
Positivité	$f\geqslant 0 \;\Longrightarrow\; \int_a^b f\geqslant 0 \quad (a\leqslant b)$
Inég. de la moyenne	$m(b-a)\leqslant\int_a^b f\leqslant M(b-a)$
Valeur moyenne	$\mu = \frac{1}{b-a}\int_a^b f$
Aire (une courbe)	$\mathcal{A} = \int_a^b\bigl\|f(x)\bigr\|\,\mathrm{d}x$
Aire (deux courbes)	$\mathcal{A} = \int_a^b\bigl\|f(x)-g(x)\bigr\|\,\mathrm{d}x$
IPP	$\int_a^b uv' = \bigl[uv\bigr]_a^b-\int_a^b u'v$
TFA	$\left(\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t\right)' = f(x)$
Riemann	$\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}f\!\Bigl(\frac{k}{n}\Bigr) \;\xrightarrow[n\to+\infty]{}\; \int_0^1 f$

Exercices

Exercice 1 ★☆☆ : Primitives directes

Déterminer une primitive de chaque fonction sur son domaine :

$$f(x)=3x^2-2x+5$$
$f(x)=\frac{1}{x^3}$ sur $]0,+\infty[$
$f(x)=\sqrt{x}$ sur $]0,+\infty[$
$f(x)=4\e^x-\frac{1}{x}$ sur $]0,+\infty[$
$f(x)=\cos x-3\sin x$
$f(x)=\frac{2}{\cos^2 x}$ sur $]-\frac\pi2,\frac\pi2[$
$f(x)=5\e^{-2x}$
$f(x)=x^{3/2}$ sur $]0,+\infty[$

Exercice 2 ★☆☆ : Intégrales directes

Calculer :

$\int_0^2(3x^2+1)\,\mathrm{d}x$ .
$\int_1^4\frac1{\sqrt x}\,\mathrm{d}x$ .
$\int_0^1\e^{-x}\,\mathrm{d}x$ .
$\int_0^{\pi/3}\sin x\,\mathrm{d}x$ .
$\int_1^\e\frac3x\,\mathrm{d}x$ .
$\int_0^1(x+1)^3\,\mathrm{d}x$ .

Exercice 3 ★☆☆ : Primitive avec condition initiale

Déterminer la primitive $$F$$ de $$f$$ vérifiant la condition :

$\[f(x)=4x^3,\]$ $\[F(1)=2.\]$
$f(x)=\cos x,$ $F(\frac\pi2)=3.$
$f(x)=\e^{2x},$ $\[F(0)=1.\]$
$f(x)=\frac{1}{x}$ sur $]0,+\infty[$ , $$F(1)=0$$ .

Exercice 4 ★★☆ : Primitives composées

Déterminer une primitive. Préciser $$u$$ et $$u'$$ à chaque fois.

$f(x)=\frac{2x+1}{x^2+x+3}$
$$f(x)=(3x-1)^5$$
$f(x)=x\e^{x^2}$
$\begin{aligned}f(x) &= \tan x\\[.35em]&= \frac{\sin x}{\cos x}\end{aligned}$
$f(x)=\frac{\e^x}{\e^x+2}$
$f(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$
$f(x)=\frac{\cos x}{1+\sin x}$
$f(x)=x^2\e^{x^3}$

Exercice 5 ★★☆ : Valeur moyenne

Calculer la valeur moyenne de $$f(x)=x^2$$ sur $$[0,3]$$ .
Calculer la valeur moyenne de $f(x)=\sin x$ sur $[0,\pi]$ .
Calculer la valeur moyenne de $f(x)=\e^x$ sur $[0,\ln 2]$ .
Calculer la valeur moyenne de $f(x)=\frac{1}{1+x}$ sur $$[0,1]$$ .

Exercice 6 ★★☆ : Calcul d'aires

Aire entre $$y=x^2$$ et l'axe $$Ox$$ pour $x\in[0,2]$ .
Aire entre $y=\sin x$ et l'axe $$Ox$$ pour $x\in[0,2\pi]$ .
Aire entre $$y=x^2$$ et $$y=2x$$ pour $x\in[0,2]$ .
Aire entre $y=\e^x$ et $$y=1$$ pour $x\in[0,1]$ .
Aire entre $$y=x^3-x$$ et l'axe $$Ox$$ pour $x\in[-1,1]$ .

Exercice 7 ★★☆ : Intégration par parties

Calculer à l'aide d'une IPP :

$\displaystyle\int_0^1 x\e^x\,\mathrm{d}x$
$\displaystyle\int_1^\e\ln x\,\mathrm{d}x$
$\displaystyle\int_0^{\pi/2}x\cos x\,\mathrm{d}x$
$\displaystyle\int_0^1(2x+1)\e^{-x}\,\mathrm{d}x$
$\displaystyle\int_1^\e x\ln x\,\mathrm{d}x$

Exercice 8 ★★☆ : Double IPP

Calculer $\displaystyle\int_0^1 x^2\e^x\,\mathrm{d}x$ en effectuant deux IPP successives.

Exercice 9 ★★☆ : Fonction intégrale et TFA

$F(x)=\displaystyle\int_0^x\frac{1}{1+t^2}\,\mathrm{d}t$ , pour $x\in\R$ . Dans les questions d) et e), $\arctan$ désigne la fonction réciproque de la tangente restreinte à $]-\pi/2,\pi/2[$ ; sa dérivée est admise. Ainsi $\arctan0=0$ et $\arctan1=\pi/4$ .

Calculer $$F'(x)$$ et $$F(0)$$ .
Montrer que $$F$$ est strictement croissante.
Montrer que $$F$$ est impaire.
Calculer $$F(1)$$ sachant que $(\arctan x)'=\frac{1}{1+x^2}$ .
Montrer que $\lim_{x\to+\infty}F(x)=\frac\pi2$ .

Exercice 10 ★★☆ : Sommes de Riemann

Reconnaître une somme de Riemann et calculer la limite :

$\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\frac{1}{1+k/n}$
$\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{n+k}$
$\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}\e^{k/n}$
$\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\sqrt{\frac{k}{n}}$

Exercice 11 ★★☆ : Encadrement d'intégrales

Encadrer $\displaystyle\int_0^1\frac{1}{1+x^3}\,\mathrm{d}x$ .
Montrer que $1\leqslant\displaystyle\int_0^1\e^{x^2}\,\mathrm{d}x\leqslant\e$ .
On prolonge $\sin x/x$ par la valeur 1 en zéro. Montrer que $\frac{\pi}{4}-\frac{\pi^3}{192}\leqslant\displaystyle\int_0^{\pi/4}\frac{\sin x}{x}\,\mathrm{d}x\leqslant\frac{\pi}{4}$ .

Exercice 12 ★★☆ : Linéarisation et intégration trigo

Calculer en linéarisant :

$\displaystyle\int_0^{\pi}\cos^2 x\,\mathrm{d}x$
$\displaystyle\int_0^{\pi/2}\sin^2 x\,\mathrm{d}x$
$\displaystyle\int_0^{\pi}\sin^2 x\cos^2 x\,\mathrm{d}x$
$\displaystyle\int_0^{\pi/2}\cos^4 x\,\mathrm{d}x$ (Indication : $\cos^4 x=(\cos^2 x)^2$ .)

Exercice 13 ★★★ : Démonstrations de cours

Démontrer le théorème d'intégration par parties.
Démontrer le lien aire/primitive pour une fonction continue positive croissante, puis la formule de calcul de l'intégrale par une primitive.
Démontrer que si $$a<b$$ , $$f$$ est continue et positive ou nulle sur $$[a,b]$$ avec $\int_a^b f=0$ , alors $$f=0$$ sur $$[a,b]$$ .

Exercice 14 ★★★ : Les intégrales de Wallis

$I_n=\displaystyle\int_0^{\pi/2}\cos^n x\,\mathrm{d}x$ pour $n\in\N$ .

Calculer $$I_0$$ et $$I_1$$ .
Par IPP, montrer la relation de récurrence $I_n=\frac{n-1}{n}\,I_{n-2}$ pour $n\geqslant 2$ .
Calculer $$I_2$$ , $$I_3$$ , $$I_4$$ , $$I_5$$ .
Montrer que $$(I_n)$$ est décroissante et positive, donc convergente.
Montrer que $\frac{I_{n+1}}{I_n}\to 1$ et en déduire la formule de Wallis : $\lim_{n\to+\infty}\prod_{k=1}^n\frac{4k^2}{4k^2-1}=\frac\pi2$ .

Problème : Inégalités intégrales et approximation de $\pi$ ★★★

On rappelle que $(\arctan x)'=\dfrac{1}{1+x^2}$ et que $\arctan 1=\dfrac{\pi}{4}$ .

Partie A : L'intégrale fondamentale et la formule de Leibniz

Montrer que $\displaystyle\int_0^1\frac{1}{1+x^2}\,\mathrm{d}x=\frac{\pi}{4}$ .
Pour $n\in\N$ , en utilisant la formule de la somme géométrique avec la raison $$q=-x^2$$ , montrer que :
$\frac{1}{1+x^2}=\sum_{k=0}^{n}(-1)^k x^{2k}+\frac{(-1)^{n+1}x^{2n+2}}{1+x^2}$
En intégrant sur $$[0,1]$$ , montrer que :
$\begin{aligned}\frac{\pi}{4} &=\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k}{2k+1}+R_n\\\text{où }R_n &=(-1)^{n+1}\int_0^1\frac{x^{2n+2}}{1+x^2}\,\mathrm{d}x\end{aligned}$
Montrer que $0\leqslant|R_n|\leqslant\frac{1}{2n+3}$ , et en déduire la formule de Leibniz :
$\begin{aligned}\frac{\pi}{4} &= 1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots\\[.35em]&= \sum_{k=0}^{+\infty}\frac{(-1)^k}{2k+1}\end{aligned}$
Combien de termes suffisent, d'après la borne précédente, pour obtenir une erreur sur $\pi$ au plus égale à $10^{-2}$ ? À $10^{-6}$ ?

Partie B : Sommes de Riemann et encadrement de $\pi$

En utilisant les sommes de Riemann de $f(x)=\frac{1}{1+x^2}$ sur $$[0,1]$$ , montrer que :
$\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{1+(k/n)^2}\xrightarrow[n\to+\infty]{}\frac{\pi}{4}$
$$f$$ est décroissante sur $$[0,1]$$ . En déduire l'encadrement :
$\begin{aligned}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{1+(k/n)^2} &\leqslant \frac{\pi}{4}\\&\leqslant \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{1+(k/n)^2}\end{aligned}$
Calculer numériquement pour $$n=4$$ et vérifier la cohérence.

Partie C : Formule de Machin : calculer $\pi$ efficacement

Montrer que $\arctan\frac{1}{2}+\arctan\frac{1}{3}=\frac\pi4$ .

Indication : calculer $\tan(\alpha+\beta)$ avec $\alpha=\arctan\frac{1}{2}$ , $\beta=\arctan\frac{1}{3}$ .
(Bonus : Formule de Machin, 1706) Montrer que :
$\frac\pi4=4\arctan\frac{1}{5}-\arctan\frac{1}{239}$
Indication : poser $\alpha=\arctan\frac{1}{5}$ , calculer $\tan 2\alpha$ , $\tan 4\alpha$ , puis $\tan(4\alpha-\frac\pi4)$ .
Expliquer pourquoi la formule de Machin converge beaucoup plus vite que la formule de Leibniz. Donner des nombres de termes suffisants pour les deux séries, avec un contrôle de l'erreur absolue sur $\pi$ inférieur à $5\times10^{-11}$ . Expliquer ce qu'il faut encore vérifier pour certifier un arrondi à 10 décimales.

Corrigés détaillés

Exercice 1

a) $$F(x)=x^3-x^2+5x$$ . Vérif :

\begin{aligned}F' &= 3x^2-2x+5\\[.35em]&= f(x) .\end{aligned}

f(x)=x^{-3}.

\begin{aligned}F(x) &= \frac{x^{-2}}{-2}\\[.35em]&= -\frac{1}{2x^2} .\end{aligned}

Vérif : $F'=\frac{1}{x^3}$ .

f(x)=x^{1/2}.

\begin{aligned}F(x) &= \frac{x^{3/2}}{3/2}\\[.35em]&= \frac{2}{3}x\sqrt{x} .\end{aligned}

Vérif :

\begin{aligned}F' &= \frac{2}{3}\cdot\frac{3}{2}x^{1/2}\\[.35em]&= \sqrt{x} .\end{aligned}

d) $F(x)=4\e^x-\ln x$ (sur $]0,+\infty[$ ).

e) $F(x)=\sin x+3\cos x$ . Vérif :

\begin{aligned}F' &= \cos x-3\sin x\\[.35em]&= f(x) .\end{aligned}

f) $F(x)=2\tan x$ . Vérif :

\begin{aligned}F' &= \frac{2}{\cos^2 x}\\[.35em]&= f(x) .\end{aligned}

\begin{aligned}F(x) &= 5\cdot\frac{\e^{-2x}}{-2}\\[.35em]&= -\frac{5}{2}\e^{-2x} .\end{aligned}

Vérif :

\begin{aligned}F' &= -\frac{5}{2}\cdot(-2)\e^{-2x}\\[.35em]&= 5\e^{-2x} .\end{aligned}

f(x)=x^{3/2}.

\begin{aligned}F(x) &= \frac{x^{5/2}}{5/2}\\[.35em]&= \frac{2}{5}x^{5/2} .\end{aligned}

Exercice 2

\begin{aligned}\int_0^2(3x^2+1)\,\mathrm{d}x &= [x^3+x]_0^2\\[.35em]&= (8+2)-0\\[.35em]&= 10 .\end{aligned}

\begin{aligned}\int_1^4 x^{-1/2}\,\mathrm{d}x &= [2\sqrt{x}]_1^4\\[.35em]&= 2\cdot 2-2\cdot 1\\[.35em]&= 2 .\end{aligned}

\begin{aligned}\int_0^1\e^{-x}\,\mathrm{d}x &= [-\e^{-x}]_0^1\\[.35em]&= -\e^{-1}+\e^0\\[.35em]&= 1-\frac{1}{\e} .\end{aligned}

\begin{aligned}\int_0^{\pi/3}\sin x\,\mathrm{d}x &= [-\cos x]_0^{\pi/3}\\[.35em]&= -\cos\frac\pi3+\cos 0\\[.35em]&= -\frac{1}{2}+1\\[.35em]&= \frac{1}{2} .\end{aligned}

\begin{aligned}\int_1^\e\frac{3}{x}\,\mathrm{d}x &= [3\ln x]_1^\e\\[.35em]&= 3\ln\e-3\ln 1\\[.35em]&= 3 .\end{aligned}

\begin{aligned}\int_0^1(x+1)^3\,\mathrm{d}x &= [\frac{(x+1)^4}{4}]_0^1\\[.35em]&= \frac{16}{4}-\frac{1}{4}\\[.35em]&= \frac{15}{4} .\end{aligned}

Exercice 3

\[F(x)=x^4+C.\]

\begin{aligned}F(1) &= 1+C\\[.35em]&= 2 ,\end{aligned}

\[C=1.\]

\[F(x)=x^4+1.\]

F(x)=\sin x+C.

\begin{aligned}F(\frac\pi2) &= 1+C\\[.35em]&= 3 ,\end{aligned}

\[C=2.\]

F(x)=\sin x+2.

F(x)=\frac{1}{2}\e^{2x}+C.

\begin{aligned}F(0) &= \frac{1}{2}+C\\[.35em]&= 1 ,\end{aligned}

C=\frac{1}{2}.

F(x)=\frac{\e^{2x}+1}{2}.

F(x)=\ln x+C.

\begin{aligned}F(1) &= 0+C\\[.35em]&= 0 ,\end{aligned}

\[C=0.\]

F(x)=\ln x.

Exercice 4

Dans l'exercice 4, les fonctions sont définies sur $\R$ , sauf d) sur les intervalles évitant les zéros de cosinus, et g) sur ceux évitant $-\pi/2+2k\pi$ . En a), $$x^2+x+3=(x+1/2)^2+11/4>0$$ ; en g), $1+\sin x>0$ sur le domaine. Une constante différente peut être choisie sur chaque composante.

a) $$u=x^2+x+3$$ , $$u'=2x+1$$ . Forme $\frac{u'}{u}$ . Primitive : $\ln(x^2+x+3)+C$ .

b) $$u=3x-1$$ , $$u'=3$$ . On a $$u^5$$ avec le facteur $$1$$ au lieu de $$u'=3$$ . On ajuste : $\frac{1}{3}\cdot\frac{(3x-1)^6}{6}=\frac{(3x-1)^6}{18}+C$ .

c) $$u=x^2$$ , $$u'=2x$$ . On a $x\e^{u}=\frac{1}{2}u'\e^u$ . Primitive : $\frac{1}{2}\e^{x^2}+C$ .

d) $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$ . $u=\cos x$ , $u'=-\sin x$ . $\tan x=-\frac{u'}{u}$ . Primitive : $-\ln|\cos x|+C$ .

e) $u=\e^x+2$ , $u'=\e^x$ . Forme $\frac{u'}{u}$ . Primitive : $\ln(\e^x+2)+C$ .

f) $$u=1+x^2$$ , $$u'=2x$$ . $\frac{x}{\sqrt{u}}=\frac{1}{2}\frac{u'}{\sqrt{u}}$ . Primitive : $\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{u}=\sqrt{1+x^2}+C$ .

g) $u=1+\sin x$ , $u'=\cos x$ . Forme $\frac{u'}{u}$ . Primitive : $\ln(1+\sin x)+C$ .

h) $$u=x^3$$ , $$u'=3x^2$$ . $x^2\e^{x^3}=\frac{1}{3}u'\e^u$ . Primitive : $\frac{1}{3}\e^{x^3}+C$ .

Exercice 5

\begin{aligned}\mu &= \frac{1}{3}\int_0^3 x^2\,\mathrm{d}x\\[.35em]&= \frac{1}{3}[\frac{x^3}{3}]_0^3\\[.35em]&= \frac{1}{3}\cdot 9\\[.35em]&= 3 .\end{aligned}

\begin{aligned}\mu &= \frac{1}{\pi}\int_0^\pi\sin x\,\mathrm{d}x\\[.35em]&= \frac{1}{\pi}[-\cos x]_0^\pi\\[.35em]&= \frac{1}{\pi}(1+1)\\[.35em]&= \frac{2}{\pi}\\[.35em]&\approx 0{,}637 .\end{aligned}

\begin{aligned}\mu &= \frac{1}{\ln 2}\int_0^{\ln 2}\e^x\,\mathrm{d}x\\[.35em]&= \frac{1}{\ln 2}[\e^x]_0^{\ln 2}\\[.35em]&= \frac{2-1}{\ln 2}\\[.35em]&= \frac{1}{\ln 2}\\[.35em]&\approx 1{,}443 .\end{aligned}

\begin{aligned}\mu &= \frac{1}{1}\int_0^1\frac{1}{1+x}\,\mathrm{d}x\\[.35em]&= [\ln(1+x)]_0^1\\[.35em]&= \ln 2\\[.35em]&\approx 0{,}693 .\end{aligned}

Exercice 6

a) $x^2\geqslant 0$ sur $$[0,2]$$ , donc

\begin{aligned}\mathcal{A} &= \int_0^2 x^2\,\mathrm{d}x\\[.35em]&= [\frac{x^3}{3}]_0^2\\[.35em]&= \frac{8}{3} .\end{aligned}

b) $\sin x\geqslant 0$ sur $[0,\pi]$ , $\sin x\leqslant 0$ sur $[\pi,2\pi]$ .

\begin{aligned}\mathcal{A} &= \int_0^\pi\sin x\,\mathrm{d}x+\int_\pi^{2\pi}(-\sin x)\,\mathrm{d}x\\[.35em]&= [-\cos x]_0^\pi+[\cos x]_\pi^{2\pi}\\[.35em]&= (1+1)+(1+1)\\[.35em]&= 4 .\end{aligned}

c) $x^2=2x\iff x=0$ ou $$2$$ . Sur $$[0,2]$$ : $2x-x^2=x(2-x)\geqslant 0$ , donc $2x\geqslant x^2$ .

\begin{aligned}\mathcal{A} &= \int_0^2(2x-x^2)\,\mathrm{d}x\\[.35em]&= [x^2-\frac{x^3}{3}]_0^2\\[.35em]&= 4-\frac{8}{3}\\[.35em]&= \frac{4}{3} .\end{aligned}

d) $\e^x\geqslant 1$ sur $$[0,1]$$ , donc

\begin{aligned}\mathcal{A} &= \int_0^1(\e^x-1)\,\mathrm{d}x\\[.35em]&= [\e^x-x]_0^1\\[.35em]&= (\e-1)-1\\[.35em]&= \e-2 .\end{aligned}

e) $$x^3-x=x(x-1)(x+1)$$ . Signe : positif sur $$[-1,0]$$ , négatif sur $$[0,1]$$ .

\begin{aligned}\mathcal{A} &= \int_{-1}^0(x^3-x)\,\mathrm{d}x+\int_0^1(x-x^3)\,\mathrm{d}x\\[.35em]&= [\frac{x^4}{4}-\frac{x^2}{2}]_{-1}^0+[\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{4}]_0^1\\[.35em]&= \frac{1}{4}+\frac{1}{4}\\[.35em]&= \frac{1}{2} .\end{aligned}

Exercice 7

\[u=x,\]

v'=\e^x.

\[u'=1,\]

v=\e^x.

\begin{aligned}[x\e^x]_0^1-\int_0^1\e^x\,\mathrm{d}x &= \e-(\e-1)\\[.35em]&= 1 .\end{aligned}

u=\ln x,

\[v'=1.\]

u'=\frac{1}{x},

\[v=x.\]

\begin{aligned}[x\ln x]_1^\e-\int_1^\e 1\,\mathrm{d}x &= \e-(\e-1)\\[.35em]&= 1 .\end{aligned}

\[u=x,\]

v'=\cos x.

\[u'=1,\]

v=\sin x.

\begin{aligned}[x\sin x]_0^{\pi/2}-\int_0^{\pi/2}\sin x\,\mathrm{d}x &= \frac\pi2-[-\cos x]_0^{\pi/2}\\[.35em]&= \frac\pi2-(0+1)\\[.35em]&= \frac\pi2-1 .\end{aligned}

\[u=2x+1,\]

v'=\e^{-x}.

\[u'=2,\]

v=-\e^{-x}.

\begin{aligned}&[-(2x+1)\e^{-x}]_0^1+\int_0^1 2\e^{-x}\,\mathrm{d}x\\[.35em]&= -3\e^{-1} +1\\[.35em]&\quad {}+[-2\e^{-x}]_0^1\\[.35em]&= -3\e^{-1}+1-2\e^{-1}+2\\[.35em]&= 3-\frac{5}{\e} .\end{aligned}

u=\ln x,

\[v'=x.\]

u'=\frac{1}{x},

v=\frac{x^2}{2}.

\begin{aligned}[\frac{x^2}{2}\ln x]_1^\e-\int_1^\e\frac{x}{2}\,\mathrm{d}x &= \frac{\e^2}{2}-[\frac{x^2}{4}]_1^\e\\[.35em]&= \frac{\e^2}{2}-\frac{\e^2-1}{4}\\[.35em]&= \frac{\e^2+1}{4} .\end{aligned}

Exercice 8

I=\int_0^1 x^2\e^x\,\mathrm{d}x.

1^re IPP : $$u=x^2$$ , $v'=\e^x$ , $$u'=2x$$ , $v=\e^x$ .

\begin{aligned}I &= [x^2\e^x]_0^1-\int_0^1 2x\e^x\,\mathrm{d}x\\[.35em]&= \e-2\int_0^1 x\e^x\,\mathrm{d}x .\end{aligned}

2^e IPP : (Ex. 7a) $\int_0^1 x\e^x\,\mathrm{d}x=1$ .

\begin{aligned}I &= \e-2\times 1\\[.35em]&= \e-2 .\end{aligned}

Exercice 9

a) Par le TFA : $F'(x)=\frac{1}{1+x^2}$ et

\begin{aligned}F(0) &= \int_0^0\frac{1}{1+t^2}\,\mathrm{d}t\\[.35em]&= 0 .\end{aligned}

b) $F'(x)=\frac{1}{1+x^2}>0$ pour tout $x\in\R$ : $$F$$ est strictement croissante.

c) Posons $$H(x)=F(-x)+F(x)$$ . Par composition et parité de $$1/(1+x^2)$$ ,

\begin{aligned}H'(x) &= -F'(-x)+F'(x)\\[.35em]&= 0.\end{aligned}

La fonction $$H$$ est constante sur $\R$ et $$H(0)=0$$ , donc $$F(-x)=-F(x)$$ . Ce raisonnement évite d'utiliser un changement de variable d'intégration non encore établi.

\begin{aligned}F(1) &= \int_0^1\frac{1}{1+t^2}\,\mathrm{d}t\\[.35em]&= [\arctan t]_0^1\\[.35em]&= \arctan 1-\arctan 0\\[.35em]&= \frac\pi4 .\end{aligned}

e) Pour $$x>0$$ :

\begin{aligned}F(x) &= \int_0^x\frac{\mathrm{d}t}{1+t^2}\\[.35em]&= \arctan x .\end{aligned}

La fonction $\arctan$ est croissante et majorée par $\pi/2$ , donc possède une limite $\ell\leqslant\pi/2$ . Si $\ell<\pi/2$ , la continuité de la tangente en $\ell$ donnerait $\tan(\arctan x)\to\tan\ell$ fini, alors que ce nombre est $x\to+\infty$ . Donc $\ell=\pi/2$ .

Exercice 10

a) $f(x)=\frac{1}{1+x}$ continue sur $$[0,1]$$ . $\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\frac{1}{1+k/n}$ est une somme de Riemann (borne droite). Limite :

\begin{aligned}\int_0^1\frac{1}{1+x}\,\mathrm{d}x &= [\ln(1+x)]_0^1\\[.35em]&= \ln 2 .\end{aligned}

b) $\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{n+k}=\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{1+k/n}$ : somme de Riemann de $\frac{1}{1+x}$ sur $$[0,1]$$ . Limite : $\ln 2$ .

c) $\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}\e^{k/n}$ : somme de Riemann de $\e^x$ sur $$[0,1]$$ . Limite : $\int_0^1\e^x\,\mathrm{d}x=\e-1$ .

d) $\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\sqrt{\frac{k}{n}}$ : somme de Riemann de $\sqrt{x}$ sur $$[0,1]$$ . Limite :

\begin{aligned}\int_0^1\sqrt{x}\,\mathrm{d}x &= [\frac{2}{3}x^{3/2}]_0^1\\[.35em]&= \frac{2}{3} .\end{aligned}

Exercice 11

a) Pour $x\in[0,1]$ : $0\leqslant x^3\leqslant 1$ , donc $1\leqslant 1+x^3\leqslant 2$ et $\frac{1}{2}\leqslant\frac{1}{1+x^3}\leqslant 1$ .

En intégrant : $\frac{1}{2}\leqslant\int_0^1\frac{1}{1+x^3}\,\mathrm{d}x\leqslant 1$ .

b) Sur $$[0,1]$$ : $0\leqslant x^2\leqslant 1$ , donc $\e^0\leqslant\e^{x^2}\leqslant\e^1$ . En intégrant : $1\leqslant\int_0^1\e^{x^2}\,\mathrm{d}x\leqslant\e$ .

c) L'exercice 12 de la fiche de trigonométrie a démontré par dérivées successives $x-x^3/6\leqslant\sin x\leqslant x$ pour $x\geqslant0$ . Pour $$x>0$$ , on divise par $$x$$ ; en zéro, la fonction prolongée vaut 1. On peut donc intégrer l'encadrement continu sur tout le segment :

\begin{aligned}\int_0^{\pi/4}(1-x^2/6)\,\mathrm{d}x&\leqslant\int_0^{\pi/4}\frac{\sin x}{x}\,\mathrm{d}x\leqslant\pi/4,\\[.35em]\frac\pi4-\frac{\pi^3}{1152}&\leqslant\int_0^{\pi/4}\frac{\sin x}{x}\,\mathrm{d}x\leqslant\pi/4.\end{aligned}

Comme $\pi^3/1152<\pi^3/192$ , cette borne inférieure est plus forte que celle demandée et l'implique. On utilise une inégalité démontrée sur tout le segment, pas une approximation locale sans contrôle du reste.

Exercice 12

\cos^2 x=\frac{1+\cos 2x}{2}.

\begin{aligned}\int_0^\pi\frac{1+\cos 2x}{2}\,\mathrm{d}x &= [\frac{x}{2}+\frac{\sin 2x}{4}]_0^\pi\\[.35em]&= \frac\pi2+0\\[.35em]&= \frac\pi2 .\end{aligned}

\sin^2 x=\frac{1-\cos 2x}{2}.

\begin{aligned}\int_0^{\pi/2}\frac{1-\cos 2x}{2}\,\mathrm{d}x &= [\frac{x}{2}-\frac{\sin 2x}{4}]_0^{\pi/2}\\[.35em]&= \frac\pi4-0\\[.35em]&= \frac\pi4 .\end{aligned}

\begin{aligned}\sin^2 x\cos^2 x &= (\frac{\sin 2x}{2})^2\\[.35em]&= \frac{\sin^2 2x}{4}\\[.35em]&= \frac{1}{4}\cdot\frac{1-\cos 4x}{2}\\[.35em]&= \frac{1-\cos 4x}{8} .\end{aligned}

\begin{aligned}\int_0^\pi\frac{1-\cos 4x}{8}\,\mathrm{d}x &= \frac{1}{8}[x-\frac{\sin 4x}{4}]_0^\pi\\[.35em]&= \frac{\pi}{8} .\end{aligned}

\begin{aligned}\cos^4 x &= (\cos^2 x)^2\\[.35em]&= (\frac{1+\cos 2x}{2})^2\\[.35em]&= \frac{1+2\cos 2x+\cos^2 2x}{4}\\[.35em]&= \frac{1+2\cos 2x+\frac{1+\cos 4x}{2}}{4}\\[.35em]&= \frac{3+4\cos 2x+\cos 4x}{8} .\end{aligned}

\begin{aligned}&\int_0^{\pi/2}\frac{3+4\cos 2x+\cos 4x}{8}\,\mathrm{d}x\\[.35em]&= \frac{1}{8}[3x +2\sin 2x\\[.35em]&\quad {}+\frac{\sin 4x}{4}]_0^{\pi/2}\\[.35em]&= \frac{1}{8}\cdot\frac{3\pi}{2}\\[.35em]&= \frac{3\pi}{16} .\end{aligned}

Exercice 13

a) $$(uv)'=u'v+uv'$$ . En intégrant : $\int_a^b(uv)'=\int_a^b u'v+\int_a^b uv'$ . Or $\int_a^b(uv)'=[uv]_a^b$ . D'où $\int_a^b uv'=[uv]_a^b-\int_a^b u'v$ .

b) Reprends la preuve guidée « Une petite bande d'aire donne la valeur de la fonction ». Pour $$h>0$$ , le quotient est entre $$f(x)$$ et $$f(x+h)$$ ; pour $$h<0$$ , il est entre $$f(x+h)$$ et $$f(x)$$ . La continuité donne sa limite et donc $$A'=f$$ . Puis $$F-A$$ est constante sur l'intervalle, d'où la formule de calcul aux bornes.

c) Reprends la preuve guidée « Quand une intégrale nulle impose-t-elle une fonction nulle ? ». Un point de valeur strictement positive donnerait, par continuité et avec $$a<b$$ , un petit segment de longueur positive où la fonction est minorée par une constante positive. Son intégrale serait strictement positive, contradiction. Le cas d'un point situé à une extrémité est traité par un voisinage relatif au segment.

Exercice 14

\begin{aligned}I_0 &= \int_0^{\pi/2}1\,\mathrm{d}x\\[.35em]&= \frac\pi2 .\end{aligned}

\begin{aligned}I_1 &= \int_0^{\pi/2}\cos x\,\mathrm{d}x\\[.35em]&= [\sin x]_0^{\pi/2}\\[.35em]&= 1 .\end{aligned}

b) Écrivons $I_n=\int_0^{\pi/2}\cos^{n-1}x\cdot\cos x\,\mathrm{d}x$ . IPP : $u=\cos^{n-1}x$ , $v'=\cos x$ , donc $u'=-(n-1)\cos^{n-2}x\sin x$ , $v=\sin x$ .

I_n=[\cos^{n-1}x\sin x]_0^{\pi/2}+(n-1)\int_0^{\pi/2}\cos^{n-2}x\sin^2 x\,\mathrm{d}x.

Le crochet vaut $$0$$ (vérifier aux deux bornes). On remplace $\sin^2 x=1-\cos^2 x$ :

\begin{aligned}I_n &= (n-1)\int_0^{\pi/2}\cos^{n-2}x\,\mathrm{d}x\\[.35em]&\quad {}-(n-1)\int_0^{\pi/2}\cos^n x\,\mathrm{d}x\\[.35em]&= (n-1)I_{n-2}-(n-1)I_n .\end{aligned}

$I_n+(n-1)I_n=(n-1)I_{n-2}$ , soit $nI_n=(n-1)I_{n-2}$ . D'où $\boxed{I_n=\frac{n-1}{n}I_{n-2}}$ .

\begin{aligned}I_2 &= \frac{1}{2}I_0\\[.35em]&= \frac\pi4 .\end{aligned}

\begin{aligned}I_3 &= \frac{2}{3}I_1\\[.35em]&= \frac{2}{3} .\end{aligned}

\begin{aligned}I_4 &= \frac{3}{4}I_2\\[.35em]&= \frac{3\pi}{16} .\end{aligned}

\begin{aligned}I_5 &= \frac{4}{5}I_3\\[.35em]&= \frac{8}{15} .\end{aligned}

d) Sur $[0,\frac\pi2]$ : $0\leqslant\cos x\leqslant 1$ , donc $\cos^{n+1}x\leqslant\cos^n x$ . En intégrant : $I_{n+1}\leqslant I_n$ . De plus $$I_n>0$$ (intégrale d'une fonction positive non nulle). Donc $$(I_n)$$ décroissante positive, elle converge.

e) Pour $n\geqslant0$ , la décroissance et la récurrence donnent

\frac{n+1}{n+2}I_n=I_{n+2}\leqslant I_{n+1}\leqslant I_n.

Comme $$I_n>0$$ , on peut diviser et appliquer les gendarmes :

\frac{n+1}{n+2}\leqslant\frac{I_{n+1}}{I_n}\leqslant1,\qquad\frac{I_{n+1}}{I_n}\longrightarrow1.

Déroulons séparément les indices pairs et impairs pour $n\geqslant1$ :

I_{2n}=\frac\pi2\prod_{k=1}^n\frac{2k-1}{2k},\qquad I_{2n+1}=\prod_{k=1}^n\frac{2k}{2k+1}.

Il faut prendre le quotient dans le bon sens :

\begin{aligned}\frac{I_{2n+1}}{I_{2n}}&=\frac2\pi\prod_{k=1}^n\frac{(2k)^2}{(2k-1)(2k+1)}\\[.35em]&=\frac2\pi\prod_{k=1}^n\frac{4k^2}{4k^2-1}\longrightarrow1.\end{aligned}

Donc le produit tend vers $\pi/2$ . Contrôle avec $$n=1$$ : $I_3/I_2=8/(3\pi)$ correspond bien à $(2/\pi)(4/3)$ . Il n'est pas nécessaire d'introduire ici une équivalence non expliquée pour les intégrales.

Corrigé du problème

Partie A : L'intégrale fondamentale et la formule de Leibniz

\begin{aligned}\int_0^1\frac{1}{1+x^2}\,\mathrm{d}x &= [\arctan x]_0^1\\[.35em]&= \arctan 1-\arctan 0\\[.35em]&= \frac\pi4-0\\[.35em]&= \frac\pi4 .\end{aligned}

2. La somme géométrique de premier terme $$1$$ et de raison $$q=-x^2$$ donne :

\begin{aligned}\sum_{k=0}^{n}(-x^2)^k &= \sum_{k=0}^{n}(-1)^k x^{2k}\\[.35em]&= \frac{1-(-x^2)^{n+1}}{1-(-x^2)}\\[.35em]&= \frac{1-(-1)^{n+1}x^{2n+2}}{1+x^2}\end{aligned}

On isole le terme recherché : de l'égalité $\sum_{k=0}^n(-1)^k x^{2k}=\frac{1-(-1)^{n+1}x^{2n+2}}{1+x^2}$ , on tire :

\frac{1}{1+x^2}=\sum_{k=0}^n(-1)^k x^{2k}+\frac{(-1)^{n+1}x^{2n+2}}{1+x^2}

ce qui est bien le résultat demandé (vérifier en multipliant par $$1+x^2$$ ).

3. En intégrant terme à terme sur $$[0,1]$$ :

\begin{aligned}&\int_0^1\frac{1}{1+x^2}\,\mathrm{d}x\\&= \sum_{k=0}^n(-1)^k\int_0^1 x^{2k}\,\mathrm{d}x\\&\quad {}+(-1)^{n+1}\int_0^1\frac{x^{2n+2}}{1+x^2}\,\mathrm{d}x\end{aligned}

\begin{aligned}\int_0^1 x^{2k}\,\mathrm{d}x &= [\frac{x^{2k+1}}{2k+1}]_0^1\\[.35em]&= \frac{1}{2k+1} .\end{aligned}

Donc $\frac\pi4=\sum_{k=0}^n\frac{(-1)^k}{2k+1}+R_n$ avec $R_n=(-1)^{n+1}\int_0^1\frac{x^{2n+2}}{1+x^2}\,\mathrm{d}x$ .

4. $|R_n|=\int_0^1\frac{x^{2n+2}}{1+x^2}\,\mathrm{d}x$ . Sur $$[0,1]$$ : $\frac{x^{2n+2}}{1+x^2}\leqslant x^{2n+2}$ (car $1+x^2\geqslant 1$ ). D'où $|R_n|\leqslant\int_0^1 x^{2n+2}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2n+3}\to 0$ .

Conclusion :

\begin{aligned}\frac\pi4 &= \lim_{n\to+\infty}\sum_{k=0}^n\frac{(-1)^k}{2k+1}\\[.35em]&= 1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots\end{aligned}

5. Avec $$N=n+1$$ termes, on approche $\pi$ par $4\sum_{k=0}^{N-1}(-1)^k/(2k+1)$ . L'erreur est donc au plus $$4/(2N+1)$$ : le facteur 4 est indispensable.

\begin{aligned}\frac4{2N+1}\leqslant10^{-2}&\iff2N+1\geqslant400\\[.35em]&\iff N\geqslant199{,}5.\end{aligned}

Il suffit de $$200$$ termes. Pour $10^{-6}$ , on obtient $N\geqslant1999999{,}5$ , donc $$2000000$$ termes. Ce sont les premiers entiers satisfaisant cette garantie, pas une preuve de minimalité pour l'erreur réelle.

Partie B : Sommes de Riemann et encadrement de $\pi$

6. $f(x)=\frac{1}{1+x^2}$ est continue sur $$[0,1]$$ . Par le théorème des sommes de Riemann :

\begin{aligned}S_n &= \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}f(\frac{k}{n})\\[.35em]&= \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{1+(k/n)^2}\\[.35em]&\to \int_0^1\frac{1}{1+x^2}\,\mathrm{d}x\\[.35em]&= \frac\pi4 .\end{aligned}

7. $f'(x)=\frac{-2x}{(1+x^2)^2}<0$ sur $$]0,1]$$ : $$f$$ est décroissante. Sur $[\frac{k}{n},\frac{k+1}{n}]$ :

$f(\frac{k+1}{n})\leqslant f(x)\leqslant f(\frac{k}{n})$ . En intégrant puis en sommant :

$\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n f(\frac{k}{n})\leqslant\int_0^1 f\leqslant\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}f(\frac{k}{n})$ .

\[n=4\]

\begin{aligned}S_4^+ &= \frac{1}{4}(f(0)+f(\frac{1}{4})+f(\frac{1}{2})+f(\frac{3}{4}))\\[.35em]&= \frac{1}{4}(1+\frac{16}{17}+\frac{4}{5}+\frac{16}{25})\\[.35em]&= \frac{1}{4}(1+0{,}941+0{,}8+0{,}64)\\[.35em]&\approx 0{,}845 .\end{aligned}

\begin{aligned}S_4^- &= \frac{1}{4}(f(\frac{1}{4})+f(\frac{1}{2})+f(\frac{3}{4})+f(1))\\[.35em]&= \frac{1}{4}(\frac{16}{17}+\frac{4}{5}+\frac{16}{25}+\frac{1}{2})\\[.35em]&\approx 0{,}720 .\end{aligned}

Les bornes exactes sont $$S_4^-=2449/3400$$ et $$S_4^+=1437/1700$$ . Un encadrement décimal arrondi vers l'extérieur est $0{,}720\leqslant\pi/4\leqslant0{,}846$ , donc $2{,}880\leqslant\pi\leqslant3{,}384$ . La valeur approchée $$0{,}845$$ ne serait pas une borne supérieure déduite du calcul, car elle est inférieure à $$S_4^+$$ .

Partie C : Formule de Machin

\alpha=\arctan\frac{1}{2},

\beta=\arctan\frac{1}{3}.

\tan\alpha=\frac{1}{2},

\tan\beta=\frac{1}{3}.

\begin{aligned}\tan(\alpha+\beta) &= \frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}}\\[.35em]&= \frac{5/6}{5/6}\\[.35em]&= 1 .\end{aligned}

$\alpha,\beta\in\,]0,\frac\pi4[$ donc $\alpha+\beta\in\,]0,\frac\pi2[$ . Or $\tan(\alpha+\beta)=1$ et $\alpha+\beta\in\,]0,\frac\pi2[$ : $\alpha+\beta=\frac\pi4$ .

10. (Bonus) Posons $\alpha=\arctan\frac{1}{5}$ . $\tan\alpha=\frac{1}{5}$ .

\begin{aligned}\tan 2\alpha &= \frac{2\cdot\frac{1}{5}}{1-\frac{1}{25}}\\[.35em]&= \frac{2/5}{24/25}\\[.35em]&= \frac{50}{120}\\[.35em]&= \frac{5}{12} .\end{aligned}

\begin{aligned}\tan 4\alpha &= \frac{2\cdot\frac{5}{12}}{1-\frac{25}{144}}\\[.35em]&= \frac{10/12}{119/144}\\[.35em]&= \frac{10\cdot 144}{12\cdot 119}\\[.35em]&= \frac{120}{119} .\end{aligned}

\begin{aligned}\tan(4\alpha-\frac\pi4) &= \frac{\tan 4\alpha-1}{1+\tan 4\alpha}\\[.35em]&= \frac{\frac{120}{119}-1}{1+\frac{120}{119}}\\[.35em]&= \frac{1/119}{239/119}\\[.35em]&= \frac{1}{239} .\end{aligned}

Justifions l'intervalle permettant d'inverser la tangente. Comme $0<\alpha<\pi/4$ , on a $0<2\alpha<\pi/2$ . La tangente est croissante sur cet intervalle et $\tan(2\alpha)=5/12<1$ , donc $2\alpha<\pi/4$ et $0<4\alpha<\pi/2$ . Ainsi $4\alpha-\pi/4\in]-\pi/4,\pi/4[$ . La tangente y est injective, ce qui donne $4\alpha-\pi/4=\arctan(1/239)$ . Le calcul de la tangente seul ne déterminait l'angle qu'à un multiple de $\pi$ près. D'où $\frac\pi4=4\arctan\frac{1}{5}-\arctan\frac{1}{239}$ .

11. Pour $0\leqslant z\leqslant1$ et $N\geqslant1$ , l'identité géométrique finie intégrée entre 0 et $$z$$ donne

\begin{aligned}\arctan z &=\sum_{k=0}^{N-1}\frac{(-1)^kz^{2k+1}}{2k+1}+r_N(z),\\|r_N(z)| &\leqslant\frac{z^{2N+1}}{2N+1}.\end{aligned}

Le signe du reste est $$(-1)^N$$ pour $$z>0$$ . Pour $\pi=16\arctan(1/5)-4\arctan(1/239)$ , l'erreur cumulée de $$N$$ et $$M$$ termes est au plus

E_{N,M}=\frac{16}{(2N+1)5^{2N+1}}+\frac4{(2M+1)239^{2M+1}}.

Avec $$N=8$$ et $$M=2$$ , elle est inférieure à $2{,}26\times10^{-12}$ , donc à $5\times10^{-11}$ . Un seul terme pour $$1/239$$ donnerait une borne de contribution supérieure à $9\times10^{-8}$ , insuffisante à cette précision. Le facteur 16 et les deux séries doivent être pris en compte.

Pour certifier l'arrondi à 10 décimales, on calcule la somme rationnelle exacte $P_{8,2}$ , puis on vérifie que tout l'intervalle $[P_{8,2}-E_{8,2},P_{8,2}+E_{8,2}]$ appartient à la même cellule d'arrondi. Ici cet intervalle est contenu dans $$[3{,}14159265355,3{,}14159265365[$$ ; l'arrondi est donc $$3{,}1415926536$$ . Une petite erreur absolue, sans position de l'intervalle par rapport aux frontières d'arrondi, ne suffit pas toujours à affirmer les mêmes décimales.

Cette méthode exige peu de termes parce que les puissances comportent $5^{2k+1}$ et $239^{2k+1}$ ; le contrôle de Leibniz décroît seulement comme $$1/N$$ . Nous comparons des nombres de termes et des bornes, sans assimiler leur rapport à un facteur universel de temps de calcul.

Bilan à vérifier par une variante

Peux-tu choisir et vérifier une primitive, expliquer le signe d'une intégrale, calculer une aire entre courbes et une moyenne, écrire une IPP sans perdre un terme de bord, ou justifier un encadrement numérique ? Une réponse accompagnée de son domaine et d'un contrôle est plus informative qu'une formule seule.

Variante sans corrigé : pour $$f(x)=x^2-2x$$ sur $$[0,3]$$ , détermine une primitive qui vaut 4 en zéro. Calcule ensuite l'intégrale, l'aire géométrique et la valeur moyenne. Dessine les deux régions avant de calculer. Pour prolonger, pose $J_n=\int_0^1x^n\e^{-x}\,\mathrm{d}x$ : cherche une récurrence et un encadrement prouvant la convergence vers zéro.

Prochaine fiche : équations différentielles, où l'inconnue est une fonction dont on connaît une relation avec sa dérivée.

$\(c\)$	signe sur $\([0,2]\)$	intégrale signée	aire géométrique
$\(0\)$	positif ou nul	$\(8/3\)$	$\(8/3\)$
$\(1\)$	négatif puis positif	$\(2/3\)$	$\(2\)$
$\(4\)$	négatif ou nul	$\(-16/3\)$	$\(16/3\)$

Fonction $\(f(x)\)$	Primitive $\(F(x)\)$	Domaine
$\(a\)$ (constante)	$\(ax\)$	$\R$
$\(x^n\)$ ( $n\in\N$ )	$\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$	$\R$
$\dfrac{1}{x^n}=x^{-n}$ ( $n\in\N,\ n\geqslant 2$ )	$-\dfrac{1}{(n-1)x^{n-1}}$	$]0,+\infty[$ ou $]-\infty,0[$
$x^\alpha$ ( $\alpha\in\R\setminus\{-1\}$ )	$\dfrac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}$	$]0,+\infty[$
$\dfrac{1}{\sqrt{x}}$	$2\sqrt{x}$	$]0,+\infty[$
$\dfrac{1}{x}$	$\ln\|x\|$	$]0,+\infty[$ ou $]-\infty,0[$
$\e^x$	$\e^x$	$\R$
$\e^{ax}$ ( $a\neq 0$ )	$\dfrac{\e^{ax}}{a}$	$\R$
$\cos x$	$\sin x$	$\R$
$\sin x$	$-\cos x$	$\R$
$\dfrac{1}{\cos^2 x}=1+\tan^2 x$	$\tan x$	$]-\frac\pi2,\frac\pi2[$

Fonction	Primitive	Condition
$u'\cdot u^n$ ( $n\in\Z,\ n\neq -1$ )	$\dfrac{u^{n+1}}{n+1}$	$u\neq 0$ si $\(n<0\)$
$\dfrac{u'}{u}$	$\ln\|u\|$	$u\neq 0$
$u'\,\e^{u}$	$\e^{u}$	Sans condition
$u'\cos u$	$\sin u$	Sans condition
$u'\sin u$	$-\cos u$	Sans condition
$\dfrac{u'}{\sqrt{u}}$	$2\sqrt{u}$	$\(u>0\)$

Tu lis dans l'énoncé…	Tu penses à…
« trouver une primitive de $\(f\)$ »	tableau des primitives, vérifier en dérivant
« calculer $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$ »	$\([F(x)]_a^b=F(b)-F(a)\)$
« calculer l'aire sous la courbe »	$\int_a^b\|f(x)\|\,\mathrm{d}x$ , étudier le signe de $\(f\)$
« calculer l'aire entre les courbes »	$\int_a^b\|f(x)-g(x)\|\,\mathrm{d}x$
« valeur moyenne de $\(f\)$ »	$\frac{1}{b-a}\int_a^b f$
« $\(F\)$ définie par $\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t$ »	TFA : $\(F'=f\)$ , $\(F(a)=0\)$ , étudier $\(F\)$ via $\(f\)$
« $\frac{1}{n}\sum f(k/n)$ »	somme de Riemann $\to\int_0^1 f$
« encadrer l'intégrale »	encadrer $\(f\)$ puis intégrer
« $\(F\)$ est la primitive de $\(f\)$ telle que… »	déterminer $\(C\)$ par la condition initiale
« en déduire une primitive de… »	IPP ou transformation

Avant le cours, vérifie tes bases

Apprendre étape par étape

Pourquoi étudier les primitives et l'intégration ?

Le problème fondamental : inverser la dérivation

Des exemples concrets

L'idée directrice

L'idée avant la formule

Relier dérivée, primitive et intégrale

L'intégrale comme aire : l'intuition géométrique

L'idée des sommes de Riemann

Relier l'aire et la dérivée

Le cours formel

Primitives : définition et unicité

Tableau des primitives usuelles

Primitives des fonctions composées

L'intégrale définie

Propriétés de l'intégrale

Valeur moyenne d'une fonction

Calcul d'aires

Intégration par parties (IPP)

Le théorème fondamental de l'analyse

Sommes de Riemann

Inégalités intégrales et encadrements

Une suite d'intégrales : comparer avant de calculer

Calcul numérique : rectangles, milieux et trapèzes

Monte-Carlo : une estimation aléatoire

Brouncker : calculer le logarithme de 2 avec des rationnels

Boîte à outils : Réflexes pour le bac

Exercices

Exercice 1 ★☆☆ : Primitives directes

Exercice 2 ★☆☆ : Intégrales directes

Exercice 3 ★☆☆ : Primitive avec condition initiale

Exercice 4 ★★☆ : Primitives composées

Exercice 5 ★★☆ : Valeur moyenne

Exercice 6 ★★☆ : Calcul d'aires

Exercice 7 ★★☆ : Intégration par parties

Exercice 8 ★★☆ : Double IPP

Exercice 9 ★★☆ : Fonction intégrale et TFA

Exercice 10 ★★☆ : Sommes de Riemann

Exercice 11 ★★☆ : Encadrement d'intégrales

Exercice 12 ★★☆ : Linéarisation et intégration trigo

Exercice 13 ★★★ : Démonstrations de cours

Exercice 14 ★★★ : Les intégrales de Wallis

Problème : Inégalités intégrales et approximation de \(\pi\) ★★★

Corrigés détaillés

Exercice 1

Exercice 2

Exercice 3

Exercice 4

Exercice 5

Exercice 6

Exercice 7

Exercice 8

Exercice 9

Exercice 10

Exercice 11

Exercice 12

Exercice 13

Exercice 14

Corrigé du problème

Bilan à vérifier par une variante

Maîtrise du chapitre

Parcours validé

Pour relier les notions