a)
\[\begin{aligned}P(G) &= P(\text{spam})\cdot P_{\text{spam}}(G)\\[.35em]&\quad {}+P(\overline{\text{spam}})\cdot P_{\overline{\text{spam}}}(G)\\[.35em]&= 0{,}4\times 0{,}8+0{,}6\times 0{,}1\\[.35em]&= 0{,}32+0{,}06\\[.35em]&= 0{,}38\end{aligned}.\]
b)
\[\begin{aligned}P_G(\text{spam}) &= \frac{0{,}4\times 0{,}8}{0{,}38}\\[.35em]&= \frac{0{,}32}{0{,}38}\\[.35em]&= \frac{16}{19}\\[.35em]&\approx 84{,}2\%\end{aligned}.\]
c) Notons \(G\) et \(U\) les événements « gratuit » et « urgent ». Par indépendance conditionnelle :
\[\begin{aligned}P_{\text{spam}}(G\cap U) &= P_{\text{spam}}(G)\cdot P_{\text{spam}}(U)\\[.35em]&= 0{,}8\times 0{,}6\\[.35em]&= 0{,}48\end{aligned}.\]
\[\begin{aligned}P_{\overline{\text{spam}}}(G\cap U) &= 0{,}1\times 0{,}05\\[.35em]&= 0{,}005\end{aligned}.\]
\[\begin{aligned}P(G\cap U) &= 0{,}4\times 0{,}48+0{,}6\times 0{,}005\\[.35em]&= 0{,}192+0{,}003\\[.35em]&= 0{,}195\end{aligned}.\]
\[\begin{aligned}P_{G\cap U}(\text{spam}) &= \frac{0{,}192}{0{,}195}\\[.35em]&= \frac{192}{195}\\[.35em]&= \frac{64}{65}\\[.35em]&\approx 98{,}5\%\end{aligned}.\]
La probabilité vaut environ \(98{,}5\%\) dans ce modèle. L’hypothèse d’indépendance dans chaque groupe est décisive : sans elle, les données ne suffisent pas pour multiplier les deux taux.
