Tle · Du modèle à l’autonomie

Schéma de Bernoulli et loi binomiale : pas à pas

Observe un exemple expliqué, entraîne-toi avec des indices, puis résous une autre situation sur papier. Compare les étapes avant de faire le point.

Mon objectif

Retrouver mes révisions

Schéma de Bernoulli et coefficients binomiaux

1. Observer

Une urne contient 3 rouges et 2 bleues. On compte les rouges : A, lors de quatre tirages avec remise et remélange indépendant ; B, lors de quatre tirages sans remise ; C, en tirant jusqu'à la première rouge. Dans quels cas le nombre compté suit-il directement une loi binomiale ?

A convient : $$n=4$$ , $$p=3/5$$ , donc $X\sim\mathcal B(4;3/5)$ . B ne convient pas : les tirages sont dépendants, même si les probabilités marginales peuvent être identiques. C ne convient pas : le nombre de tirages n'est pas fixé et le nombre de rouges à l'arrêt vaut 1. La durée d'attente est un autre objet. À réessayer : quatre lancers indépendants de dés, où l'on compte les résultats pairs.

2. S’entraîner avec aide

Dans cet exercice, les lancers sont supposés indépendants, les tirages avec remise uniformes et indépendants. Pour chaque situation, dire si c'est un schéma de Bernoulli. Si oui, préciser $$n$$ et $$p$$ .

On lance $$10$$ fois un dé équilibré. Succès = « obtenir un 6 ».
On tire $$5$$ cartes sans remise dans un jeu de $$52$$ . Succès = « tirer un as ».
On lance $$20$$ fois une pièce truquée ( $P(\text{Pile})=0{,}6$ ). Succès = « Pile ».
On interroge $$100$$ personnes, chacune ayant une probabilité $$0{,}3$$ de répondre oui (indépendamment). Succès = « oui ».
Un joueur lance un dé jusqu'à obtenir un 6. Succès = « obtenir un 6 ».
On tire $$8$$ boules avec remise dans une urne contenant $$3$$ rouges et $$7$$ bleues.

Comparer avec l’explication

a) Oui : chaque lancer a 2 issues (6 ou non-6), même $p=\frac{1}{6}$ , lancers indépendants. $$n=10$$ , $p=\frac{1}{6}$ .

b) Non : tirage sans remise $\Rightarrow$ les épreuves ne sont pas indépendantes (la composition du jeu change).

c) Oui : 2 issues (P/F), même $$p=0{,}6$$ , lancers indépendants. $$n=20$$ , $$p=0{,}6$$ .

d) Oui : 2 issues (oui/non), même $$p=0{,}3$$ , réponses indépendantes. $$n=100$$ , $$p=0{,}3$$ .

e) Non : le nombre de lancers n'est pas fixé à l'avance. Ce n'est pas un schéma de Bernoulli (c'est une loi géométrique).

f) Oui : les tirages sont uniformes et indépendants par hypothèse, 2 issues (rouge/bleue), $p=\frac{3}{10}$ . $$n=8$$ , $$p=0{,}3$$ .

3. Résoudre seul

Calculer :

$\binom{5}{2}$
$\binom{8}{3}$
$\binom{10}{0}$
$\binom{7}{7}$
$\binom{6}{4}$
$\binom{12}{2}$
$\binom{100}{1}$
$\binom{20}{18}$

Comparer avec l’explication

\begin{aligned}\binom{5}{2} &= \frac{5!}{2!3!}\\[.35em]&= \frac{120}{2\times 6}\\[.35em]&= 10.\end{aligned}

\begin{aligned}\binom{8}{3} &= \frac{8!}{3!5!}\\[.35em]&= \frac{8\times 7\times 6}{6}\\[.35em]&= 56.\end{aligned}

c) $\binom{10}{0}=1$ . d) $\binom{7}{7}=1$ . e)

\begin{aligned}\binom{6}{4} &= \binom{6}{2}\\[.35em]&= 15.\end{aligned}

\begin{aligned}\binom{12}{2} &= \frac{12\times 11}{2}\\[.35em]&= 66.\end{aligned}

g) $\binom{100}{1}=100$ . h)

\begin{aligned}\binom{20}{18} &= \binom{20}{2}\\[.35em]&= \frac{20\times 19}{2}\\[.35em]&= 190.\end{aligned}

4. Aller plus loin

Construire les lignes $$n=0$$ à $$n=7$$ du triangle de Pascal.
Vérifier que la somme de chaque ligne est $$2^n$$ .
Développer $$(1+x)^5$$ avec la formule du binôme.
Développer $$(2a-b)^4$$ .

Comparer avec l’explication

a) Lignes 0 à 7 : $$1$$ ; $1\;1$ ; $1\;2\;1$ ; $1\;3\;3\;1$ ; $1\;4\;6\;4\;1$ ; $1\;5\;10\;10\;5\;1$ ; $1\;6\;15\;20\;15\;6\;1$ ; $1\;7\;21\;35\;35\;21\;7\;1$ .

b) Sommes : $1,\;2,\;4,\;8,\;16,\;32,\;64,\;128=2^0,\ldots,2^7$ . Chaque somme est $$2^n$$ .

\[(1+x)^5=1+5x+10x^2+10x^3+5x^4+x^5.\]

\begin{aligned}(2a-b)^4 &= \sum_{k=0}^4\binom{4}{k}(2a)^k(-b)^{4-k}\\[.35em]&= b^4-4(2a)b^3+6(4a^2)b^2-4(8a^3)b+16a^4\end{aligned}

\[(2a-b)^4=16a^4-32a^3b+24a^2b^2-8ab^3+b^4.\]

Espérance, variance, écart-type de $\mathcal{B}(n,p)$

1. Observer

2. S’entraîner avec aide

Si $X\sim\mathcal B(8;0{,}3)$ , calculer $$E(X)$$ , $$V(X)$$ et $\sigma(X)$ . Peut-on observer $$X=2{,}4$$ ?

Comparer avec l’explication

On obtient

E(X)=2{,}4,\qquad V(X)=1{,}68,\qquad\sigma(X)=\sqrt{1{,}68}\approx1{,}30.

$$X$$ est entier, donc $$P(X=2{,}4)=0$$ . La moyenne n'est pas un nombre de succès promis lors d'une série. À réessayer : doubler $$n$$ : l'espérance et la variance doublent, mais l'écart-type est multiplié par $\sqrt2$ .

3. Résoudre seul

Pour chaque loi, calculer $$E(X)$$ , $$V(X)$$ et $\sigma(X)$ :

$X\sim\mathcal{B}(20\,;\,0{,}5)$
$X\sim\mathcal{B}(100\,;\,0{,}1)$
$X\sim\mathcal{B}(50\,;\,0{,}04)$
$X\sim\mathcal{B}(36\,;\,\frac{1}{6})$

Comparer avec l’explication

\begin{aligned}E &= 20\times 0{,}5\\[.35em]&= 10.\end{aligned}

\begin{aligned}V &= 20\times 0{,}5\times 0{,}5\\[.35em]&= 5.\end{aligned}

\begin{aligned}\sigma &= \sqrt{5}\\[.35em]&\approx 2{,}24.\end{aligned}

\begin{aligned}E &= 100\times 0{,}1\\[.35em]&= 10.\end{aligned}

\begin{aligned}V &= 100\times 0{,}1\times 0{,}9\\[.35em]&= 9.\end{aligned}

\sigma=3.

\begin{aligned}E &= 50\times 0{,}04\\[.35em]&= 2.\end{aligned}

\begin{aligned}V &= 50\times 0{,}04\times 0{,}96\\[.35em]&= 1{,}92.\end{aligned}

$\sigma\approx 1{,}39$ .

\begin{aligned}E &= 36\times\frac{1}{6}\\[.35em]&= 6.\end{aligned}

\begin{aligned}V &= 36\times\frac{1}{6}\times\frac{5}{6}\\[.35em]&= 5.\end{aligned}

\begin{aligned}\sigma &= \sqrt{5}\\[.35em]&\approx 2{,}24.\end{aligned}

Soit $X\sim\mathcal{B}(4\,;\,0{,}5)$ .

Dresser le tableau complet de la loi de $$X$$ .
Vérifier que $\sum_{k=0}^4 P(X=k)=1$ .
Retrouver $$E(X)$$ par le calcul direct $\sum k\,P(X=k)$ .
Retrouver $$V(X)$$ par la formule de König-Huygens.
Tracer le diagramme en bâtons.

Comparer avec l’explication

$X\sim\mathcal{B}(4\,;\,0{,}5)$ .

a) Calcul :

\begin{aligned}P(X=k) &= \binom{4}{k}\bigl(\frac{1}{2}\bigr)^4\\[.35em]&= \frac{1}{16}\binom{4}{k}.\end{aligned}

\binom{4}{0}=1,

\binom{4}{1}=4,

\binom{4}{2}=6,

\binom{4}{3}=4,

\binom{4}{4}=1.

Tableau complet :

$$k$$	0	1	2	3	4
$\binom{4}{k}$	1	4	6	4	1
$$P(X=k)$$	$\frac{1}{16}$	$\frac{4}{16}$	$\frac{6}{16}$	$\frac{4}{16}$	$\frac{1}{16}$
Décimal	$$0{,}0625$$	$$0{,}25$$	$$0{,}375$$	$$0{,}25$$	$$0{,}0625$$

\begin{aligned}\frac{1+4+6+4+1}{16} &= \frac{16}{16}\\[.35em]&= 1.\end{aligned}

OK.

\begin{aligned}E(X) &= 0\times\frac{1}{16}+1\times\frac{4}{16}+2\times\frac{6}{16}+3\times\frac{4}{16}+4\times\frac{1}{16}\\[.35em]&= \frac{0+4+12+12+4}{16}\\[.35em]&= \frac{32}{16}\\[.35em]&= 2\\[.35em]&= np.\end{aligned}

\begin{aligned}E(X^2) &= 0+\frac{4}{16}+\frac{24}{16}+\frac{36}{16}+\frac{16}{16}\\[.35em]&= \frac{80}{16}\\[.35em]&= 5.\end{aligned}

\begin{aligned}V(X) &= E(X^2)-[E(X)]^2\\[.35em]&= 5-4\\[.35em]&= 1\\[.35em]&= np(1-p)\\[.35em]&= 4\times 0{,}5\times 0{,}5.\end{aligned}

OK.

e) Diagramme en bâtons symétrique centré sur $$k=2$$ (les hauteurs sont $$1,4,6,4,1$$ divisées par 16).

4. Aller plus loin

Un joueur lance indépendamment cinq pièces équilibrées. Il gagne $$10$$ € par Pile obtenu et perd $$15$$ € par Face.

Exprimer le gain $$G$$ en fonction de $$X=$$ nombre de Piles.
Déterminer la loi de $$X$$ .
Calculer $$E(G)$$ . Le jeu est-il favorable au joueur ?
Calculer $\sigma(G)$ .

Comparer avec l’explication

a) Le joueur gagne $$10X$$ (pour les Piles) et perd $$15(5-X)$$ (pour les Faces).

\begin{aligned}G &= 10X-15(5-X)\\[.35em]&= 10X-75+15X\\[.35em]&= 25X-75.\end{aligned}

b) $X\sim\mathcal{B}(5\,;\,0{,}5)$ .

\begin{aligned}E(G) &= 25E(X)-75\\[.35em]&= 25\times 2{,}5-75\\[.35em]&= 62{,}5-75\\[.35em]&= \boxed{-12{,}5}\end{aligned}

€. Le jeu est défavorable au joueur.

\begin{aligned}V(G) &= 25^2\,V(X)\\[.35em]&= 625\times 5\times 0{,}5\times 0{,}5\\[.35em]&= 625\times 1{,}25\\[.35em]&= 781{,}25.\end{aligned}

\begin{aligned}\sigma(G) &= \sqrt{781{,}25}\\[.35em]&\approx 27{,}95\end{aligned}

€.

Calcul de probabilités cumulées

1. Observer

2. S’entraîner avec aide

Pour une variable entière, écrire $P(X\geqslant3)$ à l'aide d'un cumul $P(X\leqslant k)$ . Puis écrire $P(2\leqslant X\leqslant5)$ .

Comparer avec l’explication

Le complémentaire est $X\leqslant2$ , d'où

P(X\geqslant3)=1-P(X\leqslant2).

Le cumul jusqu'à 5 contient aussi 0 et 1 :

P(2\leqslant X\leqslant5)=P(X\leqslant5)-P(X\leqslant1).

L'erreur « retirer jusqu'à 2 » supprimerait une valeur autorisée. À réessayer : traduire $$P(2<X<6)$$ et comparer.

3. Résoudre seul

$X\sim\mathcal{B}(8\,;\,0{,}3)$ . Calculer :

$$P(X=0)$$
$$P(X=2)$$
$$P(X=8)$$
$P(X\leqslant 1)$
$P(X\geqslant 1)$
$P(2\leqslant X\leqslant 5)$

Comparer avec l’explication

$X\sim\mathcal{B}(8\,;\,0{,}3)$ . On note $$q=0{,}7$$ .

\begin{aligned}P(X=0) &= \binom{8}{0}(0{,}3)^0(0{,}7)^8\\[.35em]&= 0{,}7^8\\[.35em]&\approx 0{,}0576.\end{aligned}

\begin{aligned}P(X=2) &= \binom{8}{2}(0{,}3)^2(0{,}7)^6\\[.35em]&= 28\times 0{,}09\times 0{,}117649\\[.35em]&\approx 0{,}2965.\end{aligned}

\begin{aligned}P(X=8) &= (0{,}3)^8\\[.35em]&\approx 0{,}00007.\end{aligned}

\begin{aligned}P(X\leqslant 1) &= P(X=0)+P(X=1)\\[.35em]&= 0{,}0576+\binom{8}{1}(0{,}3)^1(0{,}7)^7\\[.35em]&= 0{,}0576+8\times 0{,}3\times 0{,}0824\\[.35em]&\approx 0{,}0576+0{,}1977\\[.35em]&\approx 0{,}2553.\end{aligned}

\begin{aligned}P(X\geqslant 1) &= 1-P(X=0)\\[.35em]&= 1-0{,}0576\\[.35em]&\approx 0{,}9424.\end{aligned}

\begin{aligned}P(2\leqslant X\leqslant 5) &= P(X\leqslant 5)-P(X\leqslant 1)\\[.35em]&\approx 0{,}9887-0{,}2553\\[.35em]&\approx 0{,}7334.\end{aligned}

Une usine fabrique des composants dont $3\%$ sont défectueux. On prélève $$20$$ composants au hasard (on suppose le lot assez grand pour modéliser par un tirage avec remise).

Justifier que $$X$$ , le nombre de défectueux, suit $\mathcal{B}(20\,;\,0{,}03)$ .
Calculer $$P(X=0)$$ : probabilité qu'aucun ne soit défectueux.
Calculer $P(X\leqslant 1)$ .
Calculer $P(X\geqslant 2)$ .
Le lot est refusé si $X\geqslant 3$ . Quelle est la probabilité de refus ?

Comparer avec l’explication

a) Chaque composant est défectueux (S) ou non (É), indépendamment, avec $$p=0{,}03$$ . $$n=20$$ prélèvements. $X\sim\mathcal{B}(20\,;\,0{,}03)$ .

\begin{aligned}P(X=0) &= 0{,}97^{20}\\[.35em]&\approx 0{,}5438.\end{aligned}

\begin{aligned}P(X\leqslant 1) &= P(X=0)+P(X=1)\\[.35em]&= 0{,}5438+\binom{20}{1}(0{,}03)(0{,}97)^{19}\\[.35em]&\approx 0{,}5438+20\times 0{,}03\times 0{,}5607\\[.35em]&\approx 0{,}5438+0{,}3364\\[.35em]&\approx 0{,}8802.\end{aligned}

\begin{aligned}P(X\geqslant 2) &= 1-P(X\leqslant 1)\\[.35em]&\approx 1-0{,}8802\\[.35em]&\approx 0{,}1198.\end{aligned}

P(X\geqslant 3)=1-P(X\leqslant 2).

\begin{aligned}P(X=2) &= \binom{20}{2}(0{,}03)^2(0{,}97)^{18}\\[.35em]&= 190\times 0{,}0009\times 0{,}5780\\[.35em]&\approx 0{,}0988.\end{aligned}

\begin{aligned}P(X\leqslant 2) &\approx 0{,}8802+0{,}0988\\[.35em]&\approx 0{,}9790.\end{aligned}

\begin{aligned}P(X\geqslant 3) &\approx 0{,}021\\[.35em]&\approx 2{,}1\%.\end{aligned}

4. Aller plus loin

On lance dix dés équilibrés indépendants. Quelle est la probabilité d'obtenir au moins un 6 ?
On répète indépendamment $$n$$ fois une épreuve de Bernoulli de paramètre $$p=0{,}1$$ . Déterminer le plus petit $$n$$ tel que $P(X\geqslant 1)\geqslant 0{,}95$ .
Pour $$0<p<1$$ et $0<\alpha<1$ , généraliser : montrer que le plus petit $$n$$ tel que $P(X\geqslant 1)\geqslant\alpha$ est $n=\left\lceil\frac{\ln(1-\alpha)}{\ln(1-p)}\right\rceil$ .

Comparer avec l’explication

a) $X\sim\mathcal{B}(10\,;\,\frac{1}{6})$ .

\begin{aligned}P(X\geqslant 1) &= 1-P(X=0)\\[.35em]&= 1-\bigl(\frac{5}{6}\bigr)^{10}\\[.35em]&\approx 1-0{,}1615\\[.35em]&\approx 0{,}8385.\end{aligned}

b) L'événement contraire est « aucun succès ». Pour $n\geqslant1$ :

\begin{aligned}P(X\geqslant1)\geqslant0{,}95 &\iff 1-0{,}9^n\geqslant0{,}95\\[.35em]&\iff 0{,}9^n\leqslant0{,}05\\[.35em]&\iff n\ln(0{,}9)\leqslant\ln(0{,}05)\\[.35em]&\iff n\geqslant\frac{\ln(0{,}05)}{\ln(0{,}9)}\approx28{,}43.\end{aligned}

Le logarithme est croissant, puis la division par $\ln(0{,}9)<0$ renverse l'inégalité. Le plus petit entier est $\boxed{29}$ . Vérification : $1-0{,}9^{28}\approx0{,}9477$ et $1-0{,}9^{29}\approx0{,}9529$ .

c) Pour $$0<p<1$$ et $0<\alpha<1$ , les logarithmes existent et $\ln(1-p)<0$ :

\begin{aligned}P(X\geqslant1)\geqslant\alpha &\iff (1-p)^n\leqslant1-\alpha\\[.35em]&\iff n\ln(1-p)\leqslant\ln(1-\alpha)\\[.35em]&\iff n\geqslant\frac{\ln(1-\alpha)}{\ln(1-p)}.\end{aligned}

Prendre le plafond donne le plus petit entier convenable. Les cas $$p=0$$ ou $$p=1$$ se traitent directement, sans logarithme.

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