Tle pro · Du modèle à l’autonomie

Suites géométriques et sommes : pas à pas

Observe un exemple expliqué, entraîne-toi avec des indices, puis résous une autre situation sur papier. Compare les étapes avant de faire le point.

Mon objectif

Retrouver mes révisions

Multiplier toujours par le même facteur

1. Observer

Exemple · Exemple commenté

Une quantité initiale de 200 diminue de 10 pour cent à chaque étape. Le facteur est

\begin{aligned}q &= 1-0{,}10\\[.35em] &= 0{,}90.\end{aligned}

La première étape donne $200\times0{,}9=180$ , puis la deuxième $180\times0{,}9=162$ , et la troisième $162\times0{,}9=145{,}8$ .

La formule directe retrouve ce résultat :

\begin{aligned}u_3 &= 200\times0{,}9^3\\[.35em] &= 200\times0{,}729\\[.35em] &= 145{,}8.\end{aligned}

Les diminutions absolues sont 20, puis 18, puis 16,2 ; elles ne sont pas constantes. Ce sont les quotients qui restent égaux à 0,9.

Après trois étapes, le coefficient global est 0,729 : la baisse totale est de 27,1 pour cent, et non de 30 pour cent. Additionner les trois taux ignorerait que chaque baisse porte sur la valeur restante.

2. S’entraîner avec aide

Une baisse de $8\,\%$ correspond à $$q=$$

$$0{,}08$$
$$0{,}92$$
$$1{,}08$$

Comparer avec l’explication

\begin{aligned}q &= 1-0{,}08\\[.35em] &= 0{,}92.\end{aligned}

Multiplier par 0,08 conserverait seulement 8 pour cent de la valeur.

3. Résoudre seul

$$u_0=5$$ et $$q=2$$ . Calcule $$u_1$$ , $$u_2$$ et $$u_5$$ .

Comparer avec l’explication

Une machine vaut 8 000 euros puis perd $15\,\%$ de sa valeur chaque année. Donne sa valeur après deux ans.

Comparer avec l’explication

4. Aller plus loin

Une suite géométrique positive a $$u_2=18$$ et $$u_4=162$$ . Trouve $$q$$ puis $$u_0$$ .

Comparer avec l’explication

Additionner une suite géométrique

1. Observer

2. S’entraîner avec aide

Pour $$q=1$$ , la somme de N termes égaux à a vaut…

La somme n’existe pas
$$Na$$
$$a/N$$

Comparer avec l’explication

La somme vaut $a+\cdots+a=Na$ . On n’utilise pas une formule qui diviserait par zéro.

3. Résoudre seul

Calcule $$3+6+12+24$$ .

Comparer avec l’explication

Calcule $$100+50+25+12{,}5+6{,}25$$ .

Comparer avec l’explication

4. Aller plus loin

Une production est de 200 pièces la première semaine puis augmente de $10\,\%$ par semaine selon un modèle non arrondi. Quel total prévoit-il sur quatre semaines ?

Comparer avec l’explication

Démonstration · Solution expliquée

Comprendre la question. On additionne quatre productions hebdomadaires d’un modèle qui conserve les décimales.

Construire la réponse.

La hausse de 10 pour cent donne la raison $$q=1{,}10$$ . Les productions sont 200, 220, 242 et $242\times1{,}1=266{,}2$ .
Le total peut se calculer directement : $$200+220+242+266{,}2=928{,}2$$ .
La formule vérifie $S=200(1-1{,}1^4)/(1-1{,}1)$ . Comme $1{,}1^4=1{,}4641$ , on obtient $200\times(-0{,}4641)/(-0{,}1)=928{,}2$ .

Vérifier. Le résultat décimal est cohérent avec un modèle non arrondi, mais une production réelle compte des pièces entières. Une règle d’arrondi appliquée chaque semaine constituerait un modèle légèrement différent.

Conclure. Le modèle prévoit 928,2 pièces au total, soit environ 928 pièces après arrondi final.

Choisir le modèle d’évolution

1. Observer

2. S’entraîner avec aide

$u_{n+1}=u_n+12$ est une règle…

Géométrique de raison 12
Arithmétique
Sans valeur initiale nécessaire

Comparer avec l’explication

$u_{n+1}-u_n=12$ : il s’agit d’une suite arithmétique de raison 12. Une valeur initiale reste nécessaire pour calculer ses termes.

3. Résoudre seul

Un salaire augmente de 40 euros par mois ; un autre de $2\,\%$ par mois. Associe chaque évolution à une famille de suites.

Comparer avec l’explication

À partir de 100, compare « augmenter de $10\,\%$ , puis ajouter 20 » et « ajouter 20, puis augmenter de $10\,\%$ ».

Comparer avec l’explication

4. Aller plus loin

Une fréquentation est 100, 120, 144 sur trois mois. Propose un modèle simple et prévois le quatrième. Cette prévision est-elle certaine ?

Comparer avec l’explication

Déterminer la première étape qui satisfait une condition

1. Observer

2. S’entraîner avec aide

$$u_n=3n$$ et $$u_n>12$$ : premier rang entier positif ou nul ?

$$n=4$$
$$n=5$$
$$n=3$$

Comparer avec l’explication

Le premier entier est 5 : au rang 4, la valeur 12 ne dépasse pas strictement 12 ; au rang 5, elle vaut 15.

3. Résoudre seul

$$u_n=20+7n$$ . Quel est le premier rang tel que $u_n\ge60$ ?

Comparer avec l’explication

$v_n=80\times0{,}5^n$ . Trouve le premier rang tel que $$v_n<10$$ .

Comparer avec l’explication

4. Aller plus loin

$$u_n=50+2n$$ pour $n\ge0$ . Peut-on chercher avec une boucle le premier rang où $$u_n<30$$ ?

Comparer avec l’explication

Suites géométriques au tableur

1. Observer

2. S’entraîner avec aide

Une référence absolue à D1 s’écrit…

D$2
D1
$D$1

Comparer avec l’explication

La référence $D$1 bloque la cellule D1 pendant la recopie.

3. Résoudre seul

B3 contient =B2+5. Quelle formule apparaît en B4 après recopie vers le bas ?

Comparer avec l’explication

Le taux est en D1. Une formule utilise le terme précédent B2 et le coefficient $$1+t$$ . Quelle référence faut-il donner à D1 pour recopier vers le bas ?

Comparer avec l’explication

4. Aller plus loin

Le rang 0 est en ligne 2. Dans quelle ligne se trouve le rang 12 ? Comment vérifier une somme des rangs 0 à 12 ?

Comparer avec l’explication

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