Suites géométriques et sommes · Terminale professionnelle

Avant de commencer5 questions pour vérifier tes bases

1. Augmenter une quantité de 20 %, c’est la multiplier par…

0,21,220

2. Pour x réel, que vaut x² × x³ ?

x⁵x⁶2x⁵

3. Si u₀ = 2 et uₙ₊₁ = 3uₙ, combien vaut u₂ ?

61218

4. Après « x = 3 », puis « x = x + 2 », quelle valeur contient x ?

Une égalité impossible35

5. Quel est le plus petit entier n tel que 3n > 10 ?

10/334

Pourquoi ce chapitre ?

Une réduction régulière en pourcentage donne une suite géométrique. Son étude aide à prévoir un seuil et le total des pertes sur une période. Ton parcours. Module du programme professionnel pour les groupements A, B, C. Les automatismes, le raisonnement et les outils numériques se travaillent tout au long du parcours.

Multiplier toujours par le même facteur.
Additionner une suite géométrique.
Choisir le modèle d’évolution.
Déterminer la première étape qui satisfait une condition.
Suites géométriques au tableur.

L’idée avant la formule

Retirer 20

Le cours formel

Multiplier toujours par le même facteur

Intuition · Construire la notion pas à pas

Reconnaître un facteur constant. Une suite est géométrique lorsque chaque terme s'obtient en multipliant le précédent par le même nombre q : $u_{n+1}=q u_n$ . Ce facteur est la raison. Pour des termes non nuls, on peut le retrouver en divisant un terme par celui qui le précède.

Comprendre l'exposant. Partir de $$u_0$$ et multiplier n fois par q donne $$u_n=u_0q^n$$ . Entre les rangs p et n, il y a $$n-p$$ multiplications : $u_n=u_pq^{n-p}$ . L'exposant compte les transitions.

Relier pourcentage et coefficient. Une hausse de t en écriture décimale donne le facteur $$1+t$$ , une baisse donne $$1-t$$ . Pour une baisse de 15 pour cent, on conserve 85 pour cent de la valeur : le facteur est 0,85. La diminution en euros change à chaque étape puisque la base change.

Interpréter les variations avec les hypothèses. Pour une suite de termes strictement positifs, $$q>1$$ produit une croissance, $$0<q<1$$ une décroissance, et $$q=1$$ une valeur constante. Ces conclusions utilisent la positivité ; une raison négative ferait alterner les signes et demande une autre analyse.

Exemple · Exemple commenté

Une quantité initiale de 200 diminue de 10 pour cent à chaque étape. Le facteur est

\begin{aligned}q &= 1-0{,}10\\[.35em] &= 0{,}90.\end{aligned}

La première étape donne $200\times0{,}9=180$ , puis la deuxième $180\times0{,}9=162$ , et la troisième $162\times0{,}9=145{,}8$ .

La formule directe retrouve ce résultat :

\begin{aligned}u_3 &= 200\times0{,}9^3\\[.35em] &= 200\times0{,}729\\[.35em] &= 145{,}8.\end{aligned}

Les diminutions absolues sont 20, puis 18, puis 16,2 ; elles ne sont pas constantes. Ce sont les quotients qui restent égaux à 0,9.

Après trois étapes, le coefficient global est 0,729 : la baisse totale est de 27,1 pour cent, et non de 30 pour cent. Additionner les trois taux ignorerait que chaque baisse porte sur la valeur restante.

Additionner une suite géométrique

Intuition · Construire la notion pas à pas

Additionner des termes qui se multiplient. Une somme géométrique a la forme $S=a+aq+\cdots+aq^{N-1}$ . Elle contient N termes : le dernier exposant est $$N-1$$ , car le premier terme correspond à l'exposant zéro.

Comprendre la formule par décalage. Multiplier S par q donne $qS=aq+aq^2+\cdots+aq^N$ . Quand on soustrait cette nouvelle ligne de la première, les termes intermédiaires s'annulent. Il reste $$S-qS=a-aq^N$$ , soit $$(1-q)S=a(1-q^N)$$ .

Traiter le cas particulier avant de diviser. Si $q\ne1$ , on peut diviser par $$1-q$$ : $$S=a(1-q^N)/(1-q)$$ . Si $$q=1$$ , cette division serait interdite ; tous les termes valent a, donc la somme vaut simplement Na.

Contrôler les signes et les arrondis. Pour $$q>1$$ , le numérateur et le dénominateur de la formule sont tous deux négatifs ; leur quotient est positif. Pour un effectif modélisé, on conserve les décimales jusqu'au total et l'on précise si des arrondis à chaque période changeraient le modèle.

Choisir le modèle d’évolution

Intuition · Construire la notion pas à pas

Lire les mots qui décrivent l'évolution. « Ajouter 40 chaque mois » décrit un écart constant ; « augmenter de 2 pour cent chaque mois » décrit un coefficient constant. Le premier modèle est arithmétique, le second géométrique. Le montant initial est nécessaire dans les deux cas pour obtenir des valeurs.

Tester une famille sur des données. On compare les différences successives pour chercher un modèle arithmétique et les quotients de termes non nuls pour chercher un modèle géométrique. Des données réelles peuvent être bruitées : un modèle approximatif doit être présenté comme tel.

Respecter l'ordre des opérations. « Augmenter puis ajouter » et « ajouter puis augmenter » ne donnent généralement pas le même résultat. Dans la seconde règle, la somme ajoutée bénéficie elle aussi du pourcentage. Écrire la règle avec des parenthèses rend cette différence visible.

Distinguer prévision et certitude. Une règle compatible avec trois observations peut fournir une estimation du terme suivant. Elle n'établit pas que la même évolution continuera. Une prévision doit préciser les hypothèses, la période visée et la manière d'arrondir si la quantité est un effectif.

Déterminer la première étape qui satisfait une condition

Intuition · Construire la notion pas à pas

Comprendre « le premier rang ». Trouver un terme qui dépasse un seuil ne suffit pas : il faut prouver que les termes précédents ne le dépassent pas. Pour une suite croissante, vérifier le terme retenu et celui qui le précède suffit une fois la croissance établie.

Traduire le caractère strict. « Au moins 60 » signifie $\ge60$ , tandis que « plus de 60 » signifie $$>60$$ . Si un terme vaut exactement 60, il convient dans le premier cas et pas dans le second. Le même soin est nécessaire pour « inférieur » et « inférieur ou égal ».

Le rang est entier. La résolution algébrique peut donner $n\ge5{,}714\ldots$ ; les rangs possibles sont pourtant 0, 1, 2, etc. Le premier rang admissible est alors 6. Si l'on obtient $$n>6$$ , il faut passer à 7 : un simple arrondi usuel n'est pas adapté.

Vérifier que l'objectif peut être atteint. Une suite croissante qui commence au-dessus de 50 ne deviendra pas inférieure à 30. Cette vérification précède une boucle de recherche ; sinon, le programme peut attendre indéfiniment un événement impossible.

Suites géométriques au tableur

Intuition · Construire la notion pas à pas

Traduire une récurrence en cellules. Une suite décrit des valeurs successives. Le tableur conserve chaque valeur dans une cellule et calcule la suivante sur la ligne d'après. On choisit ici la colonne A pour les rangs et B pour les valeurs : la ligne 2 contient le rang 0 et le terme initial.

Comprendre la recopie. Si la formule de B3 utilise B2, la recopie vers B4 transforme cette référence en B3. Ce déplacement est souhaité : le nouveau terme doit utiliser celui qui le précède. C'est une référence relative.

Garder un paramètre fixe. Si une raison ou un taux est enregistré dans D1, il doit rester lu au même endroit. La référence $D$1 bloque sa colonne et sa ligne. Une formule peut donc mélanger une référence relative au terme précédent et une référence absolue au paramètre.

Distinguer rang et numéro de ligne. Le rang zéro occupe déjà une ligne. Le terme de rang n se trouve donc ici en ligne $$n+2$$ , et les rangs 0 à n représentent $$n+1$$ valeurs. Avant une longue recopie, vérifie les trois premiers termes à la main : une erreur de référence se propage à toutes les lignes.

Boîte à outils

Exercices progressifs

Les exercices 1 à 5 consolident les bases ; 6 à 10 demandent plusieurs étapes ; 11 à 15 t’invitent à choisir, justifier et contrôler. Cherche avant de consulter les indices.

Exercice 1 : Une multiplication répétée ★☆☆

$$u_0=5$$ et $$q=2$$ . Calcule $$u_1$$ , $$u_2$$ et $$u_5$$ .

Exercice 2 : Quatre termes ★☆☆

Calcule $$3+6+12+24$$ .

Exercice 3 : Montant ou pourcentage ★☆☆

Un salaire augmente de 40 euros par mois ; un autre de $2\,\%$ par mois. Associe chaque évolution à une famille de suites.

Exercice 4 : Un seuil arithmétique ★☆☆

$$u_n=20+7n$$ . Quel est le premier rang tel que $u_n\ge60$ ?

Exercice 5 : Une recopie relative ★☆☆

B3 contient =B2+5. Quelle formule apparaît en B4 après recopie vers le bas ?

Exercice 6 : Une baisse annuelle ★★☆

Une machine vaut 8 000 euros puis perd $15\,\%$ de sa valeur chaque année. Donne sa valeur après deux ans.

Exercice 7 : Une somme décroissante ★★☆

Calcule $$100+50+25+12{,}5+6{,}25$$ .

Exercice 8 : L’ordre change le résultat ★★☆

À partir de 100, compare « augmenter de $10\,\%$ , puis ajouter 20 » et « ajouter 20, puis augmenter de $10\,\%$ ».

Exercice 9 : Passer sous un seuil ★★☆

$v_n=80\times0{,}5^n$ . Trouve le premier rang tel que $$v_n<10$$ .

Exercice 10 : Un paramètre fixe ★★☆

Le taux est en D1. Une formule utilise le terme précédent B2 et le coefficient $$1+t$$ . Quelle référence faut-il donner à D1 pour recopier vers le bas ?

Exercice 11 : Retrouver une raison positive ★★★

Une suite géométrique positive a $$u_2=18$$ et $$u_4=162$$ . Trouve $$q$$ puis $$u_0$$ .

Exercice 12 : Une production cumulée ★★★

Une production est de 200 pièces la première semaine puis augmente de $10\,\%$ par semaine selon un modèle non arrondi. Quel total prévoit-il sur quatre semaines ?

Exercice 13 : Tester une annonce ★★★

Une fréquentation est 100, 120, 144 sur trois mois. Propose un modèle simple et prévois le quatrième. Cette prévision est-elle certaine ?

Exercice 14 : Un seuil impossible ★★★

$$u_n=50+2n$$ pour $n\ge0$ . Peut-on chercher avec une boucle le premier rang où $$u_n<30$$ ?

Exercice 15 : Un décalage de rang ★★★

Le rang 0 est en ligne 2. Dans quelle ligne se trouve le rang 12 ? Comment vérifier une somme des rangs 0 à 12 ?

Problème : Pour aller plus loin

Réduire les pertes d’une production

Au premier mois, les pertes sont de 500 unités. Un plan prévoit de les multiplier par 0,8 chaque mois.

Écris la récurrence et le terme général au rang n $\ge$ 1.
Calcule les pertes du cinquième mois.
Calcule le total des cinq premiers mois.
Trouve par calculs successifs le premier mois où les pertes sont au plus égales à 150.
Propose les formules de tableur et une limite d’interprétation du modèle.

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Corrigé 2

Corrigé 3

Corrigé 4

Corrigé 5

Corrigé 6

Corrigé 7

Corrigé 8

Corrigé 9

Corrigé 10

Corrigé 11

Corrigé 12

Démonstration · Solution expliquée

Comprendre la question. On additionne quatre productions hebdomadaires d’un modèle qui conserve les décimales.

Construire la réponse.

La hausse de 10 pour cent donne la raison $$q=1{,}10$$ . Les productions sont 200, 220, 242 et $242\times1{,}1=266{,}2$ .
Le total peut se calculer directement : $$200+220+242+266{,}2=928{,}2$$ .
La formule vérifie $S=200(1-1{,}1^4)/(1-1{,}1)$ . Comme $1{,}1^4=1{,}4641$ , on obtient $200\times(-0{,}4641)/(-0{,}1)=928{,}2$ .

Vérifier. Le résultat décimal est cohérent avec un modèle non arrondi, mais une production réelle compte des pièces entières. Une règle d’arrondi appliquée chaque semaine constituerait un modèle légèrement différent.

Conclure. Le modèle prévoit 928,2 pièces au total, soit environ 928 pièces après arrondi final.

Corrigé 13

Corrigé 14

Corrigé 15

Corrigé du problème

Comprendre la question. Chaque mois conserve 80 % des pertes du mois précédent.

Construire la réponse.
1. Le terme initial est $$u_1=500$$ .
2. La récurrence est $u_{n+1}=0{,}8u_n$ : la suite est géométrique de raison 0,8.
3. Le terme général est $u_n=500\times0{,}8^{n-1}$ , car il y a n moins 1 évolutions après le premier mois.
Vérifier. Au rang 1, la puissance zéro redonne 500. Le coefficient inférieur à 1 fait diminuer les valeurs.

Conclure. Le modèle décrit une réduction de 20 % par mois.
Comprendre la question. Le cinquième mois vient après quatre réductions.

Construire la réponse.
1. $u_5=500\times0{,}8^4.$
2. $0{,}8^4=0{,}4096$ , donc $u_5=204{,}8$ .
Vérifier. Les valeurs des cinq mois sont 500, 400, 320, 256 et 204,8. Une prévision décimale peut représenter une moyenne même si les pertes observées sont entières.

Conclure. Les pertes prévues au cinquième mois sont 204,8 unités.
Comprendre la question. La somme cumule les cinq mois ; elle ne mesure pas seulement la baisse.

Construire la réponse.
1. On utilise $S_5=500(1-0{,}8^5)/(1-0{,}8)$ .
2. Le numérateur intérieur vaut $$1-0{,}32768=0{,}67232$$ et le dénominateur 0,2.
3. On obtient $500\times0{,}67232/0{,}2=1680{,}8$ .
Vérifier. L’addition $$500+400+320+256+204{,}8$$ donne aussi 1680,8. La différence $$500-204{,}8$$ serait une autre grandeur.

Conclure. Le cumul des pertes prévues sur les cinq mois vaut 1680,8 unités.
Comprendre la question. On prolonge les calculs jusqu’au premier terme inférieur ou égal à 150.

Construire la réponse.
1. Après $u_5=204{,}8$ , on calcule
  $\begin{aligned}u_6 &= 204{,}8\times0{,}8\\[.35em] &= 163{,}84.\end{aligned}$
2. Puis
  $\begin{aligned}u_7 &= 163{,}84\times0{,}8\\[.35em] &= 131{,}072.\end{aligned}$
3. Le mois 6 reste au-dessus de 150, mais le mois 7 passe en dessous.
Vérifier. La suite est strictement décroissante : tous les mois précédents ont des pertes supérieures à celles du mois 6.

Conclure. Le premier mois avec au plus 150 unités de pertes est le mois 7.
Comprendre la question. Le tableur répète la multiplication et peut conserver le cumul dans une troisième colonne.

Construire la réponse.
1. On initialise A2 à 1, B2 à 500 et C2 à 500.
2. La ligne suivante utilise =A2+1, =B2*0,8 et =C2+B3, dans un tableur à virgule décimale.
3. Après recopie, chaque ligne donne le mois, sa perte prévue et le cumul.
4. La baisse constante de 20 % est une hypothèse : les contraintes techniques peuvent modifier le taux, et des pertes observées ne se divisent pas indéfiniment en fractions d’unité.
Vérifier. La ligne du cinquième mois doit donner 204,8 et le cumul 1680,8, comme les calculs manuels.

Conclure. Le tableur automatise le modèle ; de nouvelles observations doivent confirmer sa validité dans la durée.

Variante autonome et bilan

Une dépense commence à 200 puis est multipliée par 1,1. Calcule le quatrième terme et la somme des quatre premiers.

À toi d’essayer

Vérifie ta démarche

Résous la variante, puis explique pourquoi ta méthode s’applique.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Repère les données utiles et l’inconnue. Reviens à la méthode correspondante dans la boîte à outils.

Indice 2 · Un pas de plus

Contrôle les unités, les bornes et la plausibilité du résultat avant de lire la correction.

Voir l’explication

Comprendre la question. La dépense croît de 10 % à chaque évolution, à partir d’un premier terme de 200.

Construire la réponse.

Le modèle au rang n est $u_n=200\times1{,}1^{n-1}$ .
Le quatrième terme vaut $200\times1{,}1^3=266{,}2$ .
La somme des quatre premiers termes vaut
$\begin{aligned}200(1{,}1^4-1)/(1{,}1-1) &= 200\times0{,}4641/0{,}1\\[.35em] &= 928{,}2.\end{aligned}$

Vérifier. L’addition directe $$200+220+242+266{,}2=928{,}2$$ confirme la somme.

Conclure. Le quatrième terme est 266,2 et le cumul des quatre premiers est 928,2.

Je peux expliquer : multiplier toujours par le même facteur.
Je peux expliquer : additionner une suite géométrique.
Je peux expliquer : choisir le modèle d’évolution.
Je peux expliquer : déterminer la première étape qui satisfait une condition.
Je peux expliquer : suites géométriques au tableur.

Fiche-mémoire

Multiplier toujours par le même facteur.

Identifie le facteur multiplicatif q, notamment à partir d’un pourcentage.
Compte le nombre de multiplications depuis le rang connu.
Applique $u_n=u_pq^{n-p}$ ; garde la précision jusqu’au dernier calcul.
Pour retrouver q, relie les termes connus et utilise les hypothèses de signe.
Contrôle un calcul par récurrence et vérifie que la tendance est cohérente.

Additionner une suite géométrique.

Identifie le premier terme a, la raison q et le nombre N de termes.
Si $$q=1$$ , calcule Na ; sinon, utilise $$a(1-q^N)/(1-q)$$ .
Respecte les parenthèses et calcule la puissance avant les soustractions.
Conserve les décimales utiles et annonce la règle d’arrondi.
Contrôle par une addition courte ou par un encadrement cohérent du total.

Choisir le modèle d’évolution.

Traduis la phrase d’évolution en opération sur le terme courant.
Cherche une différence constante ou un quotient constant, sans confondre ces deux tests.
Écris la valeur initiale, la récurrence et, si possible, la formule explicite.
Calcule une ou deux étapes à la main pour contrôler l’ordre des opérations.
Présente une extrapolation comme une prévision conditionnelle et adapte l’arrondi au contexte.

Déterminer la première étape qui satisfait une condition.

Écris précisément l’inégalité demandée et le domaine des rangs.
Contrôle les variations et la possibilité d’atteindre le seuil.
Résous l’inégalité ou calcule les termes jusqu’au franchissement.
Choisis le premier entier autorisé, en respectant le signe strict ou large.
Vérifie le rang retenu et le précédent, puis traduis le rang en date ou en nombre d’étapes.

Suites géométriques au tableur.

Saisis le rang zéro et la valeur initiale sur la même ligne.
Écris la formule de récurrence dans la ligne suivante.
Garde relative la référence au terme précédent et fige les paramètres.
Vérifie trois valeurs à la main puis recopie.
Contrôle le rang final et le nombre de termes de toute somme.

Maîtrise du chapitre

Validation contrôlée

Réponds aux QCM, sélectionne les bonnes propositions ou remets les étapes dans l'ordre. Le site vérifie chaque réponse avant d'ouvrir la balise suivante.

Avant le cours, vérifie tes bases

Pourquoi ce chapitre ?

L’idée avant la formule

Le cours formel

Multiplier toujours par le même facteur

Additionner une suite géométrique

Choisir le modèle d’évolution

Déterminer la première étape qui satisfait une condition

Suites géométriques au tableur

Boîte à outils

Exercices progressifs

Exercice 1 : Une multiplication répétée ★☆☆

Exercice 2 : Quatre termes ★☆☆

Exercice 3 : Montant ou pourcentage ★☆☆

Exercice 4 : Un seuil arithmétique ★☆☆

Exercice 5 : Une recopie relative ★☆☆

Exercice 6 : Une baisse annuelle ★★☆

Exercice 7 : Une somme décroissante ★★☆

Exercice 8 : L’ordre change le résultat ★★☆

Exercice 9 : Passer sous un seuil ★★☆

Exercice 10 : Un paramètre fixe ★★☆

Exercice 11 : Retrouver une raison positive ★★★

Exercice 12 : Une production cumulée ★★★

Exercice 13 : Tester une annonce ★★★

Exercice 14 : Un seuil impossible ★★★

Exercice 15 : Un décalage de rang ★★★

Problème : Pour aller plus loin

Réduire les pertes d’une production

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Corrigé 2

Corrigé 3

Corrigé 4

Corrigé 5

Corrigé 6

Corrigé 7

Corrigé 8

Corrigé 9

Corrigé 10

Corrigé 11

Corrigé 12

Corrigé 13

Corrigé 14

Corrigé 15

Corrigé du problème

Variante autonome et bilan

Fiche-mémoire

Maîtrise du chapitre

Pour relier les notions