Tle pro · Du modèle à l’autonomie

Fonctions polynômes de degré trois : pas à pas

Observe un exemple expliqué, entraîne-toi avec des indices, puis résous une autre situation sur papier. Compare les étapes avant de faire le point.

Mon objectif

Retrouver mes révisions

La fonction cube et ses transformations

1. Observer

2. S’entraîner avec aide

\((-4)^3=\)

$$-12$$
$$64$$
$$-64$$

Comparer avec l’explication

\begin{aligned}(-4)^3 &= (-4)(-4)(-4)\\[.35em] &= 16(-4)\\[.35em] &= -64.\end{aligned}

Une puissance impaire conserve le signe négatif de la base.

3. Résoudre seul

Calcule $$(-2)^3$$ et $$(-3)^3$$ .

Comparer avec l’explication

Résous $$2x^3+5=21$$ .

Comparer avec l’explication

4. Aller plus loin

Pourquoi le point d’abscisse zéro de la courbe du cube n’est-il pas un minimum ?

Comparer avec l’explication

Dériver les polynômes de degré au plus trois

1. Observer

2. S’entraîner avec aide

La dérivée de $$3x^2$$ est…

$$6x^2$$
$$6x$$
$$3x$$

Comparer avec l’explication

La dérivée de $$3x^2$$ est $3\times2x=6x$ . L’exposant diminue d’une unité et multiplie le coefficient ; le nombre 3 ne disparaît pas.

3. Résoudre seul

Dérive $$f(x)=2x^3+5x^2-3x+4$$ .

Comparer avec l’explication

Pour $$g(x)=-x^3+6x$$ , calcule la dérivée puis sa valeur en 2.

Comparer avec l’explication

4. Aller plus loin

On a $$h(x)=ax^3+2x$$ et $h^{\prime}(1)=14$ . Détermine a.

Comparer avec l’explication

Zéros et formes factorisées d’un polynôme cubique

1. Observer

2. S’entraîner avec aide

Un polynôme cubique peut avoir trois racines réelles distinctes…

Non
Seulement s’il est nul partout
Oui

Comparer avec l’explication

Oui : le polynôme $$x(x-1)(x+1)=x^3-x$$ possède les trois racines distinctes -1, 0 et 1. Chaque valeur annule un facteur. Tous les polynômes cubiques n’ont toutefois pas trois racines distinctes.

3. Résoudre seul

Résous $$(x-2)(x+1)(x-4)=0$$ .

Comparer avec l’explication

Pour $$f(x)=x^3-4x$$ , vérifie que 2 est une racine puis trouve toutes les racines.

Comparer avec l’explication

4. Aller plus loin

Combien de racines réelles distinctes possède $$f(x)=(x-1)^2(x+3)$$ ? Le signe change-t-il en 1 ?

Comparer avec l’explication

Étudier les variations d’une fonction cubique

1. Observer

2. S’entraîner avec aide

La dérivée d’un polynôme de degré trois est de degré…

Quatre
Deux
Trois

Comparer avec l’explication

La dérivée est de degré deux. Le coefficient dominant $$3a$$ reste non nul puisque a l’est ; aucun autre terme dérivé ne peut annuler ce terme de degré deux.

3. Résoudre seul

Calcule la dérivée de $$f(x)=x^3-6x^2+9x+2$$ .

Comparer avec l’explication

On donne $f^{\prime}(x)=3(x-1)(x-3)$ . Décris les variations de f sur $$[0;4]$$ .

Comparer avec l’explication

4. Aller plus loin

Pour $$f(x)=x^3-6x^2+9x+2$$ sur $$[0;4]$$ , utilise la dérivée précédente pour déterminer minimum et maximum globaux.

Comparer avec l’explication

Optimiser un modèle cubique

1. Observer

2. S’entraîner avec aide

Si deux racines de la dérivée appartiennent au domaine, on doit…

Garder la plus grande sans calcul
Garder seulement la première
Examiner les deux et les bornes

Comparer avec l’explication

Il faut examiner les deux racines admissibles et les bornes, étudier les variations puis comparer les images utiles. Garder seulement le premier zéro de la dérivée peut manquer le meilleur résultat.

3. Résoudre seul

Pour $$V(x)=-x^3+9x^2$$ sur $$[0;9]$$ , trouve les zéros de la dérivée.

Comparer avec l’explication

Poursuis l’étude de $$V(x)=-x^3+9x^2$$ sur $$[0;9]$$ .

Comparer avec l’explication

4. Aller plus loin

Le même modèle impose finalement $x\in[1;4]$ . Quel est le maximum autorisé ?

Comparer avec l’explication

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