La fonction cube et ses transformations · Dériver les polynômes de degré au plus trois · Zéros et formes factorisées d’un polynôme cubique. Exemples guidés, exercices progressifs et problème corrigé.
Ce petit quiz t’aide à partir avec les bons outils. Une base mal comprise peut rendre la suite plus difficile, même si tu travailles sérieusement.
Ce n’est pas une note : en cas d’erreur, tu sauras précisément quoi revoir avant d’avancer.
Tu peux revoir les explications ci-dessus, puis ouvrir le chapitre à ton rythme.
Avant de commencer5 questions pour vérifier tes bases
Pourquoi ce chapitre ?
Une fonction cubique peut changer plusieurs fois de sens de variation. La dérivée quadratique et les valeurs aux bornes permettent de choisir le meilleur réglage. Ton parcours. Module du programme professionnel pour les groupements A, B, C. Les automatismes, le raisonnement et les outils numériques se travaillent tout au long du parcours.
La fonction cube et ses transformations.
Dériver les polynômes de degré au plus trois.
Zéros et formes factorisées d’un polynôme cubique.
Étudier les variations d’une fonction cubique.
Optimiser un modèle cubique.
L’idée avant la formule
Un point où la dérivée est nulle est seulement un candidat. Le signe de part et d’autre et le domaine déterminent s’il s’agit d’un maximum, d’un minimum ou d’aucun des deux.
Les exercices 1 à 5 consolident les bases ; 6 à 10 demandent plusieurs étapes ; 11 à 15 t’invitent à choisir, justifier et contrôler. Cherche avant de consulter les indices.
Exercice 1 : Un cube négatif ★☆☆
Calcule \((-2)^3\) et \((-3)^3\).
Exercice 2 : Dériver terme à terme ★☆☆
Dérive \(f(x)=2x^3+5x^2-3x+4\).
Exercice 3 : Trois facteurs ★☆☆
Résous \((x-2)(x+1)(x-4)=0\).
Exercice 4 : Une dérivée quadratique ★☆☆
Calcule la dérivée de \(f(x)=x^3-6x^2+9x+2\).
Exercice 5 : Un point critique ★☆☆
Pour \(V(x)=-x^3+9x^2\) sur \([0;9]\), trouve les zéros de la dérivée.
Exercice 6 : Une équation cubique simple ★★☆
Résous \(2x^3+5=21\).
Exercice 7 : Une pente en un point ★★☆
Pour \(g(x)=-x^3+6x\), calcule la dérivée puis sa valeur en 2.
Exercice 8 : Tester une racine ★★☆
Pour \(f(x)=x^3-4x\), vérifie que 2 est une racine puis trouve toutes les racines.
Exercice 9 : Les variations associées ★★☆
On donne \(f^{\prime}(x)=3(x-1)(x-3)\). Décris les variations de f sur \([0;4]\).
Exercice 10 : Le volume maximal ★★☆
Poursuis l’étude de \(V(x)=-x^3+9x^2\) sur \([0;9]\).
Exercice 11 : Une dérivée nulle ★★★
Pourquoi le point d’abscisse zéro de la courbe du cube n’est-il pas un minimum ?
Exercice 12 : Trouver un paramètre ★★★
On a \(h(x)=ax^3+2x\) et \(h^{\prime}(1)=14\). Détermine a.
Exercice 13 : Une racine répétée ★★★
Combien de racines réelles distinctes possède \(f(x)=(x-1)^2(x+3)\) ? Le signe change-t-il en 1 ?
Exercice 14 : Extrema globaux ★★★
Pour \(f(x)=x^3-6x^2+9x+2\) sur \([0;4]\), utilise la dérivée précédente pour déterminer minimum et maximum globaux.
Exercice 15 : Fabrication restreinte ★★★
Le même modèle impose finalement \(x\in[1;4]\). Quel est le maximum autorisé ?
Problème : Pour aller plus loin
Optimiser un modèle cubique
Un indicateur de performance est \(f(x)=-x^3+6x^2\) sur [0;6].
Factorise f et donne ses zéros dans le domaine.
Calcule et factorise \(f^{\prime}\).
Étudie son signe puis les variations de f.
Compare les valeurs aux bornes et au point critique pour trouver le maximum.
Résous f(x) \(\ge\) 0 sur le domaine et explique la différence entre signe et croissance.
Corrigés détaillés
Corrigé 1
Corrigé 2
Corrigé 3
Corrigé 4
Corrigé 5
Corrigé 6
Corrigé 7
Corrigé 8
Corrigé 9
Corrigé 10
Corrigé 11
Corrigé 12
Corrigé 13
Corrigé 14
Corrigé 15
Corrigé du problème
Comprendre la question. Une factorisation permet de lire les zéros et le signe de la fonction.
Vérifier. Les variations démontrent que toute autre valeur du domaine est au plus égale à celle de 4.
Conclure. Le maximum est 32, atteint pour le réglage x égal à 4.
Comprendre la question. Le signe de la fonction et celui de sa dérivée répondent à deux questions distinctes.
Construire la réponse.
Sur [0;6], \(x^2\ge0\) et \(6-x\ge0\), donc \(f(x)\ge0\).
La fonction est strictement positive entre 0 et 6, et nulle aux deux bornes.
Entre 4 et 6, elle décroît tout en restant positive : ses valeurs baissent mais demeurent au-dessus de zéro.
Vérifier. Le signe indique la position par rapport à l’axe ; les variations indiquent le sens de l’évolution lorsque x augmente.
Conclure. Les solutions de f(x) supérieure ou égale à zéro sont tout l’intervalle [0;6].
Variante autonome et bilan
Étudie \(g(x)=x^3-3x^2\) sur [0;3] et trouve le minimum.
Je peux expliquer : la fonction cube et ses transformations.
Je peux expliquer : dériver les polynômes de degré au plus trois.
Je peux expliquer : zéros et formes factorisées d’un polynôme cubique.
Je peux expliquer : étudier les variations d’une fonction cubique.
Je peux expliquer : optimiser un modèle cubique.
Fiche-mémoire
La fonction cube et ses transformations.
Identifie exactement la quantité élevée au cube.
Conserve le signe pour une puissance impaire.
Dans une équation, isole \(x^3\) avant de chercher x.
Utilise la stricte croissance pour justifier l’unicité.
Vérifie la solution dans l’expression initiale.
Dériver les polynômes de degré au plus trois.
Repère la variable de dérivation et les coefficients constants.
Dérive chaque terme avec son signe.
Réunis les termes pour obtenir la fonction dérivée.
Remplace ensuite la variable par l’abscisse demandée.
Pour un paramètre, traduis la pente imposée en équation et vérifie la valeur trouvée.
Zéros et formes factorisées d’un polynôme cubique.
Écris l’équation \(f(x)=0\).
Cherche une factorisation ou utilise celle qui est donnée.
Annule chaque facteur et résous les équations simples.
Compte les valeurs distinctes, même si un facteur est répété.
Vérifie les solutions et distingue annulation et changement de signe.
Étudier les variations d’une fonction cubique.
Dérive la fonction et factorise sa dérivée si possible.
Ordonne les zéros de la dérivée dans le domaine.
Construis les signes des facteurs puis du produit.
Traduis ces signes en variations de la fonction initiale.
Calcule les images des bornes et points critiques pour conclure sur les extrema.
Optimiser un modèle cubique.
Précise le domaine du modèle.
Dérive, factorise puis trouve tous les zéros de la dérivée.
Étudie le signe de chaque facteur, coefficient compris.
Calcule les valeurs aux candidats autorisés et aux bornes.
Compare et interprète la meilleure valeur réalisable.
Maîtrise du chapitre
Validation contrôlée
Réponds aux QCM, sélectionne les bonnes propositions ou remets les étapes dans l'ordre. Le site vérifie chaque réponse avant d'ouvrir la balise suivante.
