Tle pro · Du modèle à l’autonomie

Équations trigonométriques et Fresnel : pas à pas

Observe un exemple expliqué, entraîne-toi avec des indices, puis résous une autre situation sur papier. Compare les étapes avant de faire le point.

Mon objectif

Retrouver mes révisions

Résoudre une équation de cosinus

1. Observer

2. S’entraîner avec aide

$\cos x=2$ a…

Aucune solution réelle
Une solution
Deux solutions par tour

Comparer avec l’explication

$\cos x=2$ n’a aucune solution réelle.

3. Résoudre seul

Résous $\cos x=0$ sur $]-\pi;\pi]$ .

Comparer avec l’explication

Résous $\cos x=-1/2$ sur $[0;2\pi]$ .

Comparer avec l’explication

4. Aller plus loin

Résous $2\cos x+1=0$ sur $]-\pi;\pi]$ .

Comparer avec l’explication

Résoudre une équation de sinus

1. Observer

2. S’entraîner avec aide

$\sin x=1$ sur $[0;2\pi]$ donne…

$x=3\pi/2$
$x=\pi$
$x=\pi/2$

Comparer avec l’explication

Sur $[0;2\pi]$ , l’unique solution est $x=\pi/2$ .

3. Résoudre seul

Résous $\sin x=0$ sur $]-\pi;\pi]$ .

Comparer avec l’explication

Résous $\sin x=-\sqrt2/2$ sur $[0;2\pi]$ .

Comparer avec l’explication

4. Aller plus loin

Une calculatrice donne $\arcsin(0{,}6)\approx0{,}6435$ . Donne toutes les solutions de $\sin x=0{,}6$ sur $[0;2\pi]$ à $10^{-3}$ près.

Comparer avec l’explication

Démonstration · Solution expliquée

Comprendre la question. L’arcsinus donne une première solution ; il faut utiliser la symétrie pour la seconde.

Construire la réponse.

On conserve la valeur non arrondie
$\begin{aligned}\alpha &= \arcsin(0{,}6)\\[.35em] &\approx 0{,}6435011088.\end{aligned}$
La seconde solution sur la moitié supérieure est $\pi-\alpha\approx2{,}4980915448$ .
Le sinus est négatif sur la moitié inférieure, donc aucune autre solution n’y correspond à 0,6.
Au millième, les deux valeurs sont 0,644 et 2,498 radians.

Vérifier. Les deux angles sont symétriques autour de $\pi/2$ et leur somme exacte vaut $\pi$ . L’usage des valeurs non arrondies évite une perte de précision sur le second angle.

Conclure. Les solutions approchées sont 0,644 et 2,498 radians à $10^{-3}$ près.

Chercher les instants où un signal atteint une valeur

1. Observer

2. S’entraîner avec aide

Pour A sin( $\omega$ t + $\varphi$ ) = c, la première étape habituelle est…

Multiplier t par A
Diviser par A si A est non nul
Supprimer la phase sans calcul

Comparer avec l’explication

La première étape habituelle est de diviser par A.

3. Résoudre seul

Le signal est $s(t)=3\sin(2t)$ . Peut-il atteindre 4 ?

Comparer avec l’explication

Résous $4\sin(2\pi t)=0$ pour $t\in[0;1]$ .

Comparer avec l’explication

4. Aller plus loin

Résous $\sin(\pi t+\pi/2)=1$ sur $$[0;2]$$ .

Comparer avec l’explication

Représenter une sinusoïde par un vecteur de Fresnel

1. Observer

2. S’entraîner avec aide

Dans la convention sinus, la phase est représentée par…

Sa pulsation uniquement
Sa norme
L’angle initial du vecteur

Comparer avec l’explication

La phase est l’angle initial du vecteur.

3. Résoudre seul

Dans la convention sinus, donne le vecteur de Fresnel de $3\sin(\omega t)$ .

Comparer avec l’explication

Donne le vecteur de Fresnel de $2\sin(\omega t+\pi)$ .

Comparer avec l’explication

4. Aller plus loin

Un vecteur de Fresnel a pour coordonnées $$(3;3)$$ dans la convention sinus. Écris le signal de pulsation $\omega$ .

Comparer avec l’explication

Additionner des signaux avec Fresnel

1. Observer

2. S’entraîner avec aide

Deux sinusoïdes de même pulsation et d’amplitudes 3 et 4 ont toujours une amplitude totale de 7…

Vrai même en opposition
Faux
Vrai

Comparer avec l’explication

Faux : l’amplitude résultante dépend du déphasage et n’est pas toujours 7.

3. Résoudre seul

Additionne $2\sin(\omega t)$ et $5\sin(\omega t)$ .

Comparer avec l’explication

Additionne $5\sin(\omega t)$ et $3\sin(\omega t+\pi)$ .

Comparer avec l’explication

4. Aller plus loin

Additionne $6\sin(\omega t)$ et $8\sin(\omega t+\pi/2)$ . Donne amplitude et caractérisation de la phase.

Comparer avec l’explication

Démonstration · Solution expliquée

Comprendre la question. Les vecteurs initiaux sont perpendiculaires ; on additionne leurs coordonnées avant de calculer la norme.

Construire la réponse.

Le premier vecteur est $$(6;0)$$ et le second $$(0;8)$$ . La somme vaut $$(6;8)$$ .
L’amplitude est
$\begin{aligned}A &= \sqrt{6^2+8^2}\\[.35em] &= \sqrt{100}\\[.35em] &= 10.\end{aligned}$
La phase est dans le premier quadrant et vérifie
$\begin{aligned}\cos\varphi &= 6/10\\[.35em] &= 0{,}6,\end{aligned}$ $\begin{aligned}\sin\varphi &= 8/10\\[.35em] &= 0{,}8.\end{aligned}$
On peut choisir $\varphi\approx0{,}9273$ radian et écrire $10\sin(\omega t+\varphi)$ .

Vérifier. À t égal à zéro, les signaux d’origine totalisent 8 ; la forme résultante donne $10\times0{,}8=8$ . De plus $0{,}6^2+0{,}8^2=1$ valide les composantes normalisées.

Conclure. L’amplitude est 10 et la phase est caractérisée par cosinus 0,6 et sinus 0,8.

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