Équations trigonométriques et Fresnel · Terminale professionnelle

Avant de commencer5 questions pour vérifier tes bases

1. Que vaut cos(0) ?

01−1

2. Que vaut sin(π/2) ?

01−1

3. À combien de degrés correspond un angle de π radians ?

180°360°90°

4. Que vaut (2 ; −3) + (−5 ; 1) ?

(−10 ; −3)(−3 ; −2)(7 ; −4)

5. Un triangle rectangle a des côtés de l’angle droit de longueurs 3 et 4. Son hypoténuse mesure…

5725

Pourquoi ce chapitre ?

Les vecteurs de Fresnel permettent d’additionner des signaux sinusoïdaux de même pulsation. Les coordonnées donnent l’amplitude résultante et le déphasage. Ton parcours. Module du programme professionnel pour les groupements A. Les automatismes, le raisonnement et les outils numériques se travaillent tout au long du parcours.

Résoudre une équation de cosinus.
Résoudre une équation de sinus.
Chercher les instants où un signal atteint une valeur.
Représenter une sinusoïde par un vecteur de Fresnel.
Additionner des signaux avec Fresnel.

L’idée avant la formule

Additionner les amplitudes ne suffit pas lorsque les phases diffèrent. Deux vecteurs peuvent se renforcer ou se compenser selon leur direction.

Le cours formel

Résoudre une équation de cosinus

Intuition · Construire la notion pas à pas

Lire une équation comme une abscisse imposée. Résoudre $\cos x=a$ revient à chercher les points du cercle unité d'abscisse a. Si $$a>1$$ ou $$a<-1$$ , la droite verticale ne rencontre pas le cercle : aucune solution réelle n'est possible.

Comprendre les deux directions. Lorsque $$-1<a<1$$ , la même abscisse correspond à deux points symétriques par rapport à l'axe horizontal. Si l'un possède l'angle $\alpha$ , l'autre possède l'angle $-\alpha$ modulo un tour.

Passer des angles aux familles. Si $\alpha\in[0;\pi]$ vérifie $\cos\alpha=a$ , les solutions générales sont $\alpha+2k\pi$ et $-\alpha+2k\pi$ , avec k entier. La touche arccos fournit une valeur de référence, pas automatiquement toute la liste sur l'intervalle demandé.

Filtrer et éviter les doublons. On conserve seulement les angles du domaine. Pour a égal à 1 ou -1, les deux familles décrivent les mêmes positions et il faut éviter les répétitions. Dans $]-\pi;\pi]$ , la valeur $-\pi$ est exclue, mais $\pi$ est autorisée.

Résoudre une équation de sinus

Intuition · Construire la notion pas à pas

Lire une ordonnée imposée. Résoudre $\sin x=b$ revient à chercher les points du cercle d'ordonnée b. Une valeur hors de $$[-1;1]$$ est impossible. Pour une valeur strictement comprise entre -1 et 1, une horizontale rencontre généralement deux points.

Reconstruire le deuxième angle. Les deux points sont symétriques par rapport à l'axe vertical. Si l'un a pour angle $\alpha$ , l'autre a pour angle $\pi-\alpha$ , modulo $2\pi$ . Les familles sont donc $\alpha+2k\pi$ et $\pi-\alpha+2k\pi$ .

Interpréter la touche arcsinus. L'arcsinus renvoie une valeur principale dans $[-\pi/2;\pi/2]$ . Cette valeur sert de départ ; elle ne remplace pas la recherche de l'autre famille ni le filtrage par le domaine.

Contrôler le signe et les bornes. Un sinus positif place les points dans la moitié supérieure, un sinus négatif dans la moitié inférieure. Pour b égal à 1 ou -1, les deux points se confondent. Pour b égal à zéro, les angles aux extrémités de l'intervalle doivent être examinés avec soin.

Chercher les instants où un signal atteint une valeur

Intuition · Construire la notion pas à pas

Vérifier si la valeur est atteignable. Pour une amplitude A positive sans décalage vertical, le signal reste entre -A et A. Si la cible c est en dehors, on peut conclure sans résoudre une équation d'angle.

Isoler l'oscillation. Dans $A\sin(\omega t+\varphi)=c$ , on divise par A et l'on pose $\theta=\omega t+\varphi$ . Le problème devient une équation trigonométrique standard en $\theta$ , avec un intervalle d'angles déduit de celui des temps.

Revenir aux instants. Après avoir trouvé les familles d'angles, on soustrait la phase puis on divise par la pulsation : $t=(\theta-\varphi)/\omega$ . On ne supprime pas la phase sans effectuer cette transformation.

Gérer les bornes d'une période. Sur un intervalle fermé contenant une période complète, l'état initial et l'état final peuvent tous deux satisfaire l'équation. Ils correspondent à deux instants différents, même si le signal et la direction sont identiques. On garde donc les deux si les bornes sont incluses.

Représenter une sinusoïde par un vecteur de Fresnel

Intuition · Construire la notion pas à pas

Fixer une convention de lecture. Ici, un signal $A\sin(\omega t+\varphi)$ est représenté par la projection verticale d'un vecteur tournant. Sa norme vaut A et son angle initial vaut $\varphi$ . Annoncer cette convention sinus est nécessaire avant de lire les coordonnées.

Passer de la formule au vecteur initial. À t égal à zéro, le vecteur a pour coordonnées $(A\cos\varphi;A\sin\varphi)$ . Sa composante verticale est donc exactement la valeur initiale du signal. Sa composante horizontale n'est pas cette valeur initiale.

Comprendre l'évolution. Après une durée t, le vecteur a tourné d'un angle $\omega t$ . Sa norme reste A et sa projection verticale devient $A\sin(\omega t+\varphi)$ , ce qui retrouve la formule du signal.

Revenir du vecteur à la sinusoïde. À partir de coordonnées $$(x;y)$$ non nulles simultanément, l'amplitude est $\sqrt{x^2+y^2}$ . Les relations $\cos\varphi=x/A$ et $\sin\varphi=y/A$ donnent la phase et son quadrant. Un vecteur nul représente un signal nul, dont la phase n'est pas déterminée.

Additionner des signaux avec Fresnel

Intuition · Construire la notion pas à pas

Vérifier une rotation commune. La somme de vecteurs de Fresnel représente la somme de signaux de même pulsation, écrits dans la même convention. Les vecteurs tournent alors ensemble et leur somme tourne au même rythme. Avec des pulsations différentes, on ne peut pas conserver un seul vecteur résultant fixe dans ce cadre.

Additionner les coordonnées, pas les normes. On transforme chaque couple amplitude-phase en coordonnées, puis on additionne les composantes horizontales et verticales. La norme du vecteur somme se calcule après cette addition.

Comprendre les cas particuliers. Des vecteurs en phase pointent dans la même direction : leurs amplitudes s'additionnent. En opposition, ils pointent en sens contraire et se compensent partiellement ou totalement. Pour d'autres phases, la géométrie du triangle détermine l'amplitude résultante.

Retrouver la phase de la somme. Si les coordonnées résultantes sont $$(x;y)$$ et la norme A non nulle, on utilise $\cos\varphi=x/A$ et $\sin\varphi=y/A$ . Le quadrant est indispensable. Si la somme est nulle, le signal est nul et aucune phase particulière n'est imposée.

Schéma : Additionner des signaux avec Fresnel

Boîte à outils

Exercices progressifs

Les exercices 1 à 5 consolident les bases ; 6 à 10 demandent plusieurs étapes ; 11 à 15 t’invitent à choisir, justifier et contrôler. Cherche avant de consulter les indices.

Exercice 1 : Une valeur remarquable ★☆☆

Résous $\cos x=0$ sur $]-\pi;\pi]$ .

Exercice 2 : Un sinus nul ★☆☆

Résous $\sin x=0$ sur $]-\pi;\pi]$ .

Exercice 3 : Une valeur impossible ★☆☆

Le signal est $s(t)=3\sin(2t)$ . Peut-il atteindre 4 ?

Exercice 4 : Vecteur initial ★☆☆

Dans la convention sinus, donne le vecteur de Fresnel de $3\sin(\omega t)$ .

Exercice 5 : En phase ★☆☆

Additionne $2\sin(\omega t)$ et $5\sin(\omega t)$ .

Exercice 6 : Des bornes précises ★★☆

Résous $\cos x=-1/2$ sur $[0;2\pi]$ .

Exercice 7 : Une valeur négative ★★☆

Résous $\sin x=-\sqrt2/2$ sur $[0;2\pi]$ .

Exercice 8 : Les passages par zéro ★★☆

Résous $4\sin(2\pi t)=0$ pour $t\in[0;1]$ .

Exercice 9 : Une phase opposée ★★☆

Donne le vecteur de Fresnel de $2\sin(\omega t+\pi)$ .

Exercice 10 : En opposition ★★☆

Additionne $5\sin(\omega t)$ et $3\sin(\omega t+\pi)$ .

Exercice 11 : Une équation transformée ★★★

Résous $2\cos x+1=0$ sur $]-\pi;\pi]$ .

Exercice 12 : Une solution oubliée ★★★

Une calculatrice donne $\arcsin(0{,}6)\approx0{,}6435$ . Donne toutes les solutions de $\sin x=0{,}6$ sur $[0;2\pi]$ à $10^{-3}$ près.

Exercice 13 : Une phase à retirer ★★★

Résous $\sin(\pi t+\pi/2)=1$ sur $$[0;2]$$ .

Exercice 14 : Retrouver amplitude et phase ★★★

Un vecteur de Fresnel a pour coordonnées $$(3;3)$$ dans la convention sinus. Écris le signal de pulsation $\omega$ .

Exercice 15 : Deux composantes perpendiculaires ★★★

Additionne $6\sin(\omega t)$ et $8\sin(\omega t+\pi/2)$ . Donne amplitude et caractérisation de la phase.

Problème : Pour aller plus loin

Recomposer deux signaux de même fréquence

On additionne $s_1(t)=3\cos(2t)$ et $s_2(t)=4\sin(2t)$ , avec t en secondes.

Écris les deux signaux sous la convention cosinus et donne leurs vecteurs de Fresnel.
Additionne les vecteurs et trouve l’amplitude résultante.
Écris la somme sous la forme A cos(2t + $\varphi$ ) et donne une phase adaptée.
Donne la période de la somme.
Résous $s_{1}$ (t) = 0 sur [0; $\pi$ ] puis sin(2t) = 1/2 sur ce même intervalle.

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Corrigé 2

Corrigé 3

Corrigé 4

Corrigé 5

Corrigé 6

Corrigé 7

Corrigé 8

Corrigé 9

Corrigé 10

Corrigé 11

Corrigé 12

Démonstration · Solution expliquée

Comprendre la question. L’arcsinus donne une première solution ; il faut utiliser la symétrie pour la seconde.

Construire la réponse.

On conserve la valeur non arrondie
$\begin{aligned}\alpha &= \arcsin(0{,}6)\\[.35em] &\approx 0{,}6435011088.\end{aligned}$
La seconde solution sur la moitié supérieure est $\pi-\alpha\approx2{,}4980915448$ .
Le sinus est négatif sur la moitié inférieure, donc aucune autre solution n’y correspond à 0,6.
Au millième, les deux valeurs sont 0,644 et 2,498 radians.

Vérifier. Les deux angles sont symétriques autour de $\pi/2$ et leur somme exacte vaut $\pi$ . L’usage des valeurs non arrondies évite une perte de précision sur le second angle.

Conclure. Les solutions approchées sont 0,644 et 2,498 radians à $10^{-3}$ près.

Corrigé 13

Corrigé 14

Corrigé 15

Démonstration · Solution expliquée

Comprendre la question. Les vecteurs initiaux sont perpendiculaires ; on additionne leurs coordonnées avant de calculer la norme.

Construire la réponse.

Le premier vecteur est $$(6;0)$$ et le second $$(0;8)$$ . La somme vaut $$(6;8)$$ .
L’amplitude est
$\begin{aligned}A &= \sqrt{6^2+8^2}\\[.35em] &= \sqrt{100}\\[.35em] &= 10.\end{aligned}$
La phase est dans le premier quadrant et vérifie
$\begin{aligned}\cos\varphi &= 6/10\\[.35em] &= 0{,}6,\end{aligned}$ $\begin{aligned}\sin\varphi &= 8/10\\[.35em] &= 0{,}8.\end{aligned}$
On peut choisir $\varphi\approx0{,}9273$ radian et écrire $10\sin(\omega t+\varphi)$ .

Vérifier. À t égal à zéro, les signaux d’origine totalisent 8 ; la forme résultante donne $10\times0{,}8=8$ . De plus $0{,}6^2+0{,}8^2=1$ valide les composantes normalisées.

Conclure. L’amplitude est 10 et la phase est caractérisée par cosinus 0,6 et sinus 0,8.

Corrigé du problème

Comprendre la question. Les vecteurs de Fresnel doivent tous utiliser la même convention, ici le cosinus.

Construire la réponse.
1. Le premier signal est déjà $3\cos(2t)$ : amplitude 3, phase 0, vecteur $(3\cos0;3\sin0)=(3;0)$ .
2. On écrit $\sin(2t)=\cos(2t-\pi/2)$ . Le second signal a donc une amplitude 4 et une phase $-\pi/2$ .
3. Son vecteur est $(4\cos(-\pi/2);4\sin(-\pi/2))=(0;-4)$ .
Vérifier. La formule $\cos(\alpha-\pi/2)=\sin\alpha$ confirme le signe négatif de la phase.

Conclure. Les vecteurs en convention cosinus sont (3;0) et (0;-4).
Comprendre la question. La somme des signaux de même fréquence se traduit par une somme vectorielle.

Construire la réponse.
1. Le vecteur résultant est $$(3;0)+(0;-4)=(3;-4)$$ .
2. Son amplitude est sa norme :
  $\begin{aligned}A &= \sqrt{3^2+(-4)^2}\\[.35em] &= \sqrt{25}\\[.35em] &= 5.\end{aligned}$
Vérifier. Additionner les amplitudes 3 et 4 donnerait 7 seulement pour des signaux en phase. Ici leurs phases sont décalées d’un quart de tour.

Conclure. L’amplitude résultante est 5.
Comprendre la question. La phase doit correspondre au bon quadrant et retrouver les deux coefficients lors du développement.

Construire la réponse.
1. On veut $\cos\varphi=3/5$ et $\sin\varphi=-4/5$ , donc une phase dans le quatrième quadrant.
2. On peut choisir
  $\begin{aligned}\varphi &= -\arctan(4/3)\\[.35em] &\approx -0{,}9273\end{aligned}$
  radian.
3. En développant, $5\cos(2t+\varphi)=5\cos\varphi\cos(2t)-5\sin\varphi\sin(2t)$ .
4. Les coefficients deviennent 3 et +4, exactement ceux de la somme initiale.
Vérifier. Le signe moins de la formule d’addition transforme le sinus négatif de la phase en un coefficient positif devant le signal sinus.

Conclure. La somme vaut $5\cos(2t-\arctan(4/3))$ .
Comprendre la question. Les deux signaux ont conservé la même pulsation 2 dans leur somme.

Construire la réponse.
1. La période d’un signal non nul de pulsation 2 est
  $\begin{aligned}T &= 2\pi/2\\[.35em] &= \pi\end{aligned}$
  secondes.
2. La phase décale la courbe horizontalement sans changer sa période.
Vérifier. Augmenter t de pi ajoute $2\pi$ à l’argument, ce qui conserve le cosinus.

Conclure. La période de la somme est pi secondes.
Comprendre la question. On résout d’abord pour l’angle 2t, dont l’intervalle est deux fois plus large.

Construire la réponse.
1. Pour $t\in[0;\pi]$ , l’angle $$2t$$ appartient à $[0;2\pi]$ .
2. $$s_1(t)=0$$ équivaut à $\cos(2t)=0$ . Les angles sont $\pi/2$ et $3\pi/2$ , donc $t=\pi/4$ ou $3\pi/4$ .
3. Pour $\sin(2t)=1/2$ , les angles sont $\pi/6$ et $5\pi/6$ . En divisant par 2, $t=\pi/12$ ou $5\pi/12$ .
Vérifier. Toutes les solutions obtenues sont dans l’intervalle imposé. Les angles de chaque liste redonnent la valeur trigonométrique demandée.

Conclure. Les zéros de $$s_1$$ sont $\pi/4$ et $3\pi/4$ ; les solutions du sinus sont $\pi/12$ et $5\pi/12$ .

Variante autonome et bilan

Recompose $2\cos t+2\sin t$ et résous son égalité à zéro sur [0;2 $\pi$ ].

À toi d’essayer

Vérifie ta démarche

Résous la variante, puis explique pourquoi ta méthode s’applique.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Repère les données utiles et l’inconnue. Reviens à la méthode correspondante dans la boîte à outils.

Indice 2 · Un pas de plus

Contrôle les unités, les bornes et la plausibilité du résultat avant de lire la correction.

Voir l’explication

Comprendre la question. Les deux composantes ont la même amplitude et sont en quadrature.

Construire la réponse.

En convention cosinus, leurs vecteurs sont (2;0) et (0;-2). La somme (2;-2) a pour norme $2\sqrt2$ et pour argument $-\pi/4$ .
Le signal est donc $2\sqrt2\cos(t-\pi/4)$ .
Il est nul lorsque $t-\pi/4=\pi/2+k\pi$ , soit $t=3\pi/4+k\pi$ .
Sur $[0;2\pi]$ , seuls k égal à 0 et 1 conviennent, donnant $3\pi/4$ et $7\pi/4$ .

Vérifier. Le développement du cosinus redonne $2\cos t+2\sin t$ ; aux deux temps retenus, les deux termes sont opposés.

Conclure. La somme est $2\sqrt2\cos(t-\pi/4)$ et ses zéros demandés sont $3\pi/4$ et $7\pi/4$ .

Je peux expliquer : résoudre une équation de cosinus.
Je peux expliquer : résoudre une équation de sinus.
Je peux expliquer : chercher les instants où un signal atteint une valeur.
Je peux expliquer : représenter une sinusoïde par un vecteur de fresnel.
Je peux expliquer : additionner des signaux avec fresnel.

Fiche-mémoire

Résoudre une équation de cosinus.

Isole le cosinus et vérifie que sa valeur imposée appartient à $$[-1;1]$$ .
Trouve un angle de référence $\alpha$ dans $[0;\pi]$ .
Écris les deux familles $\alpha+2k\pi$ et $-\alpha+2k\pi$ .
Filtre par l’intervalle et supprime les doublons.
Substitue les angles retenus et vérifie les bornes ouvertes ou fermées.

Résoudre une équation de sinus.

Isole le sinus et vérifie que la valeur cible est entre -1 et 1.
Trouve un angle de référence exact ou avec arcsinus en mode radian.
Construis les familles $\alpha+2k\pi$ et $\pi-\alpha+2k\pi$ .
Ajoute ou retire des tours pour ne garder que les angles du domaine.
Contrôle les signes, les bornes et les doublons ; arrondis seulement les résultats finaux.

Chercher les instants où un signal atteint une valeur.

Compare la cible à l’amplitude pour exclure une valeur impossible.
Divise par le facteur extérieur et pose l’angle complet comme inconnue.
Traduis l’intervalle de temps en intervalle d’angles ou écris les familles générales.
Résous l’équation trigonométrique puis isole t en conservant la phase.
Filtre par l’intervalle temporel, contrôle les bornes et substitue les instants retenus.

Représenter une sinusoïde par un vecteur de Fresnel.

Annonce la convention sinus ou cosinus avant de représenter le signal.
Relève l’amplitude positive et la phase initiale.
Calcule les coordonnées $(A\cos\varphi;A\sin\varphi)$ .
Pour le retour au signal, calcule la norme puis l’angle avec les deux signes.
Contrôle la valeur à t égal à zéro par la projection correspondant à la convention.

Additionner des signaux avec Fresnel.

Vérifie la même pulsation et la même convention.
Convertis chaque amplitude-phase en deux coordonnées.
Additionne séparément les composantes.
Calcule la norme résultante puis la phase à partir des deux composantes normalisées.
Contrôle une valeur instantanée et traite séparément le cas du vecteur nul.

Maîtrise du chapitre

Validation contrôlée

Réponds aux QCM, sélectionne les bonnes propositions ou remets les étapes dans l'ordre. Le site vérifie chaque réponse avant d'ouvrir la balise suivante.

Avant le cours, vérifie tes bases

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L’idée avant la formule

Le cours formel

Résoudre une équation de cosinus

Résoudre une équation de sinus

Chercher les instants où un signal atteint une valeur

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Boîte à outils

Exercices progressifs

Exercice 1 : Une valeur remarquable ★☆☆

Exercice 2 : Un sinus nul ★☆☆

Exercice 3 : Une valeur impossible ★☆☆

Exercice 4 : Vecteur initial ★☆☆

Exercice 5 : En phase ★☆☆

Exercice 6 : Des bornes précises ★★☆

Exercice 7 : Une valeur négative ★★☆

Exercice 8 : Les passages par zéro ★★☆

Exercice 9 : Une phase opposée ★★☆

Exercice 10 : En opposition ★★☆

Exercice 11 : Une équation transformée ★★★

Exercice 12 : Une solution oubliée ★★★

Exercice 13 : Une phase à retirer ★★★

Exercice 14 : Retrouver amplitude et phase ★★★

Exercice 15 : Deux composantes perpendiculaires ★★★

Problème : Pour aller plus loin

Recomposer deux signaux de même fréquence

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Corrigé 2

Corrigé 3

Corrigé 4

Corrigé 5

Corrigé 6

Corrigé 7

Corrigé 8

Corrigé 9

Corrigé 10

Corrigé 11

Corrigé 12

Corrigé 13

Corrigé 14

Corrigé 15

Corrigé du problème

Variante autonome et bilan

Fiche-mémoire

Maîtrise du chapitre

Pour relier les notions