Tle STI2D · Du modèle à l’autonomie

Fonctions composées et primitives : pas à pas

Observe un exemple expliqué, entraîne-toi avec des indices, puis résous une autre situation sur papier. Compare les étapes avant de faire le point.

Mon objectif

Retrouver mes révisions

Composer des fonctions et contrôler le domaine

1. Observer

2. S’entraîner avec aide

Dans $\mathrm e^{x^2}$ , la fonction intérieure est…

$x\mapsto x^2$
$x\mapsto2x$
$x\mapsto\mathrm e^x$

Comparer avec l’explication

La fonction intérieure est $u:x\mapsto x^2$ . L’extérieur est $v:t\mapsto\mathrm e^t$ . On a bien $v(u(x))=\mathrm e^{x^2}$ ; inverser cet ordre donnerait une autre expression.

3. Résoudre seul

$$u(x)=x+2$$ , $$v(x)=x^2$$ . Calcule $$v(u(3))$$ et $$u(v(3))$$ .

Comparer avec l’explication

Détermine le domaine de $\ln(5-2x)$ .

Comparer avec l’explication

4. Aller plus loin

Détermine le domaine de $1/\ln x$ .

Comparer avec l’explication

La dérivée d’une fonction composée

1. Observer

2. S’entraîner avec aide

La dérivée de $$v(u(x))$$ vaut…

$u^{\prime}(x)v^{\prime}(u(x))$
$v^{\prime}(x)$
$u^{\prime}(x)+v^{\prime}(x)$

Comparer avec l’explication

$(v(u(x)))^{\prime}=u^{\prime}(x)v^{\prime}(u(x))$ . Les deux effets se multiplient ; on ne remplace pas l’argument de $v^{\prime}$ par x et on n’oublie pas le facteur intérieur.

3. Résoudre seul

Dérive $$(3x+1)^4$$ .

Comparer avec l’explication

Dérive $\mathrm e^{x^2}$ .

Comparer avec l’explication

4. Aller plus loin

Dérive $\sqrt{x^2+1}$ et justifie le domaine de dérivabilité.

Comparer avec l’explication

Étudier les variations d’une composée

1. Observer

2. S’entraîner avec aide

Le signe de la dérivée de $\mathrm e^{u(x)}$ est celui de…

Toujours positif
$$u(x)$$
$u^{\prime}(x)$

Comparer avec l’explication

La dérivée est $u^{\prime}(x)\mathrm e^{u(x)}$ . Puisque $\mathrm e^{u(x)}>0$ , le signe est exactement celui de $u^{\prime}(x)$ , y compris son annulation éventuelle.

3. Résoudre seul

Dérive $\ln(x^2+1)$ .

Comparer avec l’explication

Étudie $f(x)=\mathrm e^{4x-x^2}$ .

Comparer avec l’explication

4. Aller plus loin

Un élève affirme que $$(x^2-1)^2$$ croît partout car c’est un carré. Étudie sa dérivée.

Comparer avec l’explication

Reconnaître une dérivée composée à l’envers

1. Observer

2. S’entraîner avec aide

Une primitive de $u^{\prime}\mathrm e^u$ est…

$\mathrm e^{u^{\prime}}$
$u\mathrm e^u$
$\mathrm e^u$

Comparer avec l’explication

Une primitive de $u^{\prime}\mathrm e^u$ est $\mathrm e^u$ , car la règle de la chaîne redonne exactement $u^{\prime}\mathrm e^u$ . On peut ajouter une constante pour la famille complète.

3. Résoudre seul

Trouve une primitive de $2x\mathrm e^{x^2}$ .

Comparer avec l’explication

Trouve une primitive de $$4(2x+1)^3$$ .

Comparer avec l’explication

4. Aller plus loin

$F(x)=\mathrm e^{x^2}$ est-elle une primitive de $\mathrm e^{x^2}$ ?

Comparer avec l’explication

Primitives de la forme $u^{\prime}$ /u

1. Observer

2. S’entraîner avec aide

Une primitive de $$1/x$$ sur $$x>0$$ est…

$$-1/x^2$$
$$x^0/0$$
$\ln x$

Comparer avec l’explication

Une primitive de $$1/x$$ sur $]0;+\infty[$ est $\ln x$ , puisque $(\ln x)^{\prime}=1/x$ . Le domaine positif est indispensable pour cette écriture.

3. Résoudre seul

Trouve une primitive de $$5/x$$ sur $$x>0$$ .

Comparer avec l’explication

Trouve une primitive de $$2x/(x^2+1)$$ sur $\mathbb R$ .

Comparer avec l’explication

4. Aller plus loin

$F^{\prime}(x)=3/(3x+2)$ sur $$x>-2/3$$ , et $$F(0)=0$$ . Détermine F.

Comparer avec l’explication

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