Fonctions composées et primitives · Terminale STI2D · spécialité maths

Avant de commencer5 questions pour vérifier tes bases

Pourquoi ce chapitre ?

La composition relie des transformations successives. Reconnaître la dérivée intérieure aide aussi à retrouver une primitive sans développer inutilement. Ton parcours. Partie mathématiques de la spécialité physique-chimie et mathématiques en STI2D. Cette fiche complète les cours de mathématiques communs ; elle ne remplace pas les enseignements de physique-chimie.

Composer des fonctions et contrôler le domaine.
La dérivée d’une fonction composée.
Étudier les variations d’une composée.
Reconnaître une dérivée composée à l’envers.
Primitives de la forme $u^{\prime}$ /u.

L’idée avant la formule

Une expression comme ln(1 + $t^{2}$ ) applique d’abord un carré et une addition, puis un logarithme. La chaîne doit être suivie dans cet ordre pour le domaine comme pour la dérivée.

Le cours formel

Composer des fonctions et contrôler le domaine

Intuition · Construire la notion pas à pas

Enchaîner deux transformations. Dans $$v(u(x))$$ , la première opération est u, la seconde est v. La sortie de u devient l'entrée de v. On lit donc les parenthèses de l'intérieur vers l'extérieur.

L'ordre a un effet. Ajouter 2 puis élever au carré ne donne pas généralement le même résultat qu'élever au carré puis ajouter 2. La notation $v\circ u$ décrit un ordre précis ; ce n'est pas un produit de fonctions.

Passer deux contrôles de domaine. Il faut pouvoir calculer u(x), puis appliquer v au résultat. Pour $\ln(u(x))$ , cela impose $$u(x)>0$$ . Pour $\sqrt{u(x)}$ , cela impose $u(x)\ge0$ . Pour $$1/u(x)$$ , cela impose $u(x)\ne0$ . Plusieurs contraintes peuvent devoir être satisfaites simultanément.

Préparer les calculs suivants. Décomposer une fonction permet de repérer la règle de dérivation ou de primitive adaptée. Utiliser une lettre auxiliaire comme t pour la fonction extérieure rend le rôle de chaque expression plus visible et évite de confondre x avec son image.

La dérivée d’une fonction composée

Intuition · Construire la notion pas à pas

Deux variations se multiplient. Si une petite variation de x modifie u(x), puis que cette modification agit sur v, la pente finale combine les deux pentes. La dérivée de $$v(u(x))$$ est donc $u^{\prime}(x)v^{\prime}(u(x))$ .

Un ordre de calcul fiable. Écris l'intérieur u et calcule sa dérivée. Dérive ensuite la fonction extérieure comme si son argument était une simple lettre, puis remets u à sa place. Multiplie enfin par $u^{\prime}$ .

On obtient ainsi $nu^{n-1}u^{\prime}$ pour une puissance, $\mathrm e^u u^{\prime}$ pour une exponentielle et $u^{\prime}/u$ pour un logarithme d'argument positif. Pour une racine carrée d'argument strictement positif, la formule est $u^{\prime}/(2\sqrt u)$ .

Domaine de définition et dérivabilité. Une racine peut être définie lorsque son argument vaut zéro, mais la formule avec $\sqrt u$ au dénominateur ne s'y applique pas automatiquement. Il faut justifier le domaine sur lequel les deux fonctions sont dérivables, pas seulement celui où l'expression existe.

Étudier les variations d’une composée

Intuition · Construire la notion pas à pas

Utiliser une forme factorisée pour les variations. Après dérivation d'une composée, un facteur peut être toujours positif. C'est le cas d'une exponentielle, ou d'un dénominateur dont la positivité a été établie. Le signe dépend alors des facteurs restants.

Exponentielle et logarithme conservent le sens. Ces fonctions extérieures sont croissantes. La dérivée de $\mathrm e^u$ a donc le signe de $u^{\prime}$ ; celle de $\ln u$ aussi sur un domaine où $$u>0$$ . Il faut cependant toujours vérifier les conditions et les points où $u^{\prime}$ s'annule.

Ne pas confondre positivité et croissance. Un carré est positif ou nul, mais la fonction carré décroît sur les négatifs avant de croître sur les positifs. Une composée au carré peut donc changer plusieurs fois de sens. Son seul signe ne permet pas de connaître ses variations.

Achever l'étude. Une dérivée factorisée sert à construire un tableau de signes, puis les variations. Les valeurs extrêmes se calculent dans la fonction initiale. Un résultat peut être maximal sans que la dérivée et la fonction aient la même valeur.

Reconnaître une dérivée composée à l’envers

Intuition · Construire la notion pas à pas

Reconnaître une dérivée déjà connue. La règle de la chaîne dit que la dérivée de $$F(u)$$ vaut $u^{\prime}f(u)$ si $F^{\prime}=f$ . Pour trouver une primitive, on cherche donc dans l'expression la présence de l'intérieur u et de sa dérivée $u^{\prime}$ .

Un facteur constant peut être ajusté. Si l'expression contient trois fois $u^{\prime}f(u)$ , une primitive est trois fois $$F(u)$$ . Le facteur de correction doit être une constante. Diviser par une expression variable créerait de nouveaux termes lors de la dérivation.

Deux formes à reconnaître. Une primitive de $u^{\prime}\mathrm e^u$ est $\mathrm e^u$ . Une primitive de $u^{\prime}u^n$ est $u^{n+1}/(n+1)$ lorsque les expressions sont définies et $n\ne-1$ . Les conditions de domaine restent nécessaires.

Accepter les limites des formules disponibles. Une exponentielle composée sans le facteur intérieur adapté n'a pas forcément de primitive exprimable à l'aide des fonctions usuelles. La bonne méthode n'est pas de forcer une formule, mais de contrôler toute proposition par dérivation.

Primitives de la forme $u^{\prime}$ /u

Intuition · Construire la notion pas à pas

Reconnaître la dérivée d'un logarithme. La dérivée de $\ln u$ est $u^{\prime}/u$ lorsque u est positive. Une fraction dont le numérateur est la dérivée du dénominateur possède donc une primitive logarithmique.

Ajuster un coefficient. Commence par nommer le dénominateur u et calculer $u^{\prime}$ . Si le numérateur vaut k fois cette dérivée, avec k constant, une primitive est $k\ln u$ . La ressemblance visuelle ne suffit pas : calcule effectivement la dérivée du dénominateur.

Gérer le signe et les intervalles. Lorsque u est négative sur un intervalle, $\ln u$ n'existe pas, mais $\ln(-u)$ convient. On réunit les deux cas dans $\ln|u|$ . Cette notation n'autorise jamais à traverser un zéro de u ; la fraction initiale y est également interdite.

Fixer une constante si nécessaire. Une condition de valeur se traite après la reconnaissance de la primitive. Le logarithme au point imposé n'est pas forcément nul : il faut l'évaluer puis calculer la constante.

Boîte à outils

Exercices progressifs

Les exercices 1 à 5 consolident les bases ; 6 à 10 demandent plusieurs étapes ; 11 à 15 t’invitent à choisir, justifier et contrôler. Cherche avant de consulter les indices.

Exercice 1 : Calculer dans l’ordre ★☆☆

$$u(x)=x+2$$ , $$v(x)=x^2$$ . Calcule $$v(u(3))$$ et $$u(v(3))$$ .

Exercice 2 : Une puissance composée ★☆☆

Dérive $$(3x+1)^4$$ .

Exercice 3 : Un logarithme toujours défini ★☆☆

Dérive $\ln(x^2+1)$ .

Exercice 4 : Reconnaître une exponentielle ★☆☆

Trouve une primitive de $2x\mathrm e^{x^2}$ .

Exercice 5 : Le cas de référence ★☆☆

Trouve une primitive de $$5/x$$ sur $$x>0$$ .

Exercice 6 : Un domaine logarithmique ★★☆

Détermine le domaine de $\ln(5-2x)$ .

Exercice 7 : Une exponentielle composée ★★☆

Dérive $\mathrm e^{x^2}$ .

Exercice 8 : Un maximum exponentiel ★★☆

Étudie $f(x)=\mathrm e^{4x-x^2}$ .

Exercice 9 : Un facteur à ajuster ★★☆

Trouve une primitive de $$4(2x+1)^3$$ .

Exercice 10 : Une fraction composée ★★☆

Trouve une primitive de $$2x/(x^2+1)$$ sur $\mathbb R$ .

Exercice 11 : Deux contraintes ★★★

Détermine le domaine de $1/\ln x$ .

Exercice 12 : Une racine ★★★

Dérive $\sqrt{x^2+1}$ et justifie le domaine de dérivabilité.

Exercice 13 : Une erreur de signe ★★★

Un élève affirme que $$(x^2-1)^2$$ croît partout car c’est un carré. Étudie sa dérivée.

Exercice 14 : Une proposition incorrecte ★★★

$F(x)=\mathrm e^{x^2}$ est-elle une primitive de $\mathrm e^{x^2}$ ?

Exercice 15 : Une condition initiale ★★★

$F^{\prime}(x)=3/(3x+2)$ sur $$x>-2/3$$ , et $$F(0)=0$$ . Détermine F.

Problème : Pour aller plus loin

Composer, dériver et retrouver une primitive

On étudie $f(t)=\ln(1+t^2)$ et $$g(t)=2t/(1+t^2)$$ .

Justifie le domaine de f et identifie intérieur et extérieur.
Dérive f et étudie ses variations.
Trouve la primitive G de g telle que G(0) = 2.
Trouve une primitive de 2t exp( $t^{2}$ ).
Vérifie pourquoi exp( $t^{2}$ ) n’est pas une primitive de exp( $t^{2}$ ).

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Corrigé 2

Corrigé 3

Corrigé 4

Corrigé 5

Corrigé 6

Corrigé 7

Corrigé 8

Corrigé 9

Corrigé 10

Corrigé 11

Corrigé 12

Corrigé 13

Corrigé 14

Corrigé 15

Corrigé du problème

Comprendre la question. Il faut vérifier l’argument du logarithme avant de composer les fonctions.

Construire la réponse.
1. Pour tout réel t, $t^2\ge0$ , donc $1+t^2\ge1>0$ .
2. L’intérieur est $$u(t)=1+t^2$$ et l’extérieur est la fonction ln.
3. La fonction intérieure est définie partout et ses valeurs sont toujours acceptées par ln.
Vérifier. Même en zéro, l’argument vaut 1, pas zéro : aucune abscisse n’est exclue.

Conclure. f est définie sur tous les réels.
Comprendre la question. La règle de la chaîne donne une fraction dont le dénominateur est toujours positif.

Construire la réponse.
1. La dérivée de l’intérieur est 2t, donc $f^{\prime}(t)=2t/(1+t^2)$ .
2. Le signe est celui de t : négatif avant zéro, nul en zéro et positif après.
3. f décroît sur $]-\infty;0]$ puis croît sur $[0;+\infty[$ . Son minimum vaut
  $\begin{aligned}f(0) &= \ln1\\[.35em] &= 0.\end{aligned}$
Vérifier. Le contrôle direct $1+t^2\ge1$ et la croissance de ln donnent aussi $f(t)\ge0$ , avec égalité seulement en zéro.

Conclure. La dérivée est g ; le minimum global de f est 0, atteint en zéro.
Comprendre la question. La question précédente fournit déjà une primitive de g.

Construire la réponse.
1. Comme $f^{\prime}=g$ , la famille est $G(t)=\ln(1+t^2)+C$ .
2. En zéro,
  $\begin{aligned}G(0) &= \ln1+C\\[.35em] &= C.\end{aligned}$
  La condition impose $$C=2$$ .
Vérifier. La dérivée de $\ln(1+t^2)+2$ reste g et sa valeur en zéro vaut 2.

Conclure. $G(t)=\ln(1+t^2)+2$ .
Comprendre la question. Le facteur 2t est exactement la dérivée de l’exposant.

Construire la réponse.
1. Posons $$u(t)=t^2$$ : $u^{\prime}(t)=2t$ .
2. La fonction est de la forme $u^{\prime}\mathrm e^u$ .
3. Une primitive est donc $\mathrm e^u=\mathrm e^{t^2}$ .
Vérifier. La règle de la chaîne redonne $(\mathrm e^{t^2})^{\prime}=2t\mathrm e^{t^2}$ .

Conclure. Une primitive est $\mathrm e^{t^2}$ .
Comprendre la question. Une même exponentielle ne reste sa propre dérivée que lorsque l’argument intérieur apporte le bon facteur.

Construire la réponse.
1. La dérivée de $\mathrm e^{t^2}$ est $2t\mathrm e^{t^2}$ .
2. Cette expression n’est pas identique à $\mathrm e^{t^2}$ : en zéro, la première vaut 0 et la seconde 1.
3. Le facteur 2t dépend de t ; une division par une constante ne peut pas le supprimer.
Vérifier. Le calcul précédent montrait une primitive de deux t fois l’exponentielle, pas une primitive de l’exponentielle seule.

Conclure. $\mathrm e^{t^2}$ n’est pas une primitive de $\mathrm e^{t^2}$ .

Variante autonome et bilan

Trouve une primitive de $$3/(3t+1)$$ sur t > -1/3 puis impose F(0) = 4.

À toi d’essayer

Vérifie ta démarche

Résous la variante, puis explique pourquoi ta méthode s’applique.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Repère les données utiles et l’inconnue. Reviens à la méthode correspondante dans la boîte à outils.

Indice 2 · Un pas de plus

Contrôle les unités, les bornes et la plausibilité du résultat avant de lire la correction.

Voir l’explication

Comprendre la question. On reconnaît une fraction dont le numérateur dérive le dénominateur.

Construire la réponse.

Sur $$t>-1/3$$ , $$3t+1>0$$ , donc le logarithme de cet argument est autorisé.
La dérivée de $$3t+1$$ vaut 3 : les primitives sont $\ln(3t+1)+C$ .
En zéro, $\ln1+C=C$ . La condition impose $$C=4$$ .

Vérifier. La dérivée de $\ln(3t+1)+4$ est $$3/(3t+1)$$ et la valeur initiale est 4.

Conclure. $F(t)=\ln(3t+1)+4$ sur $]-1/3;+\infty[$ .

Je peux expliquer : composer des fonctions et contrôler le domaine.
Je peux expliquer : la dérivée d’une fonction composée.
Je peux expliquer : étudier les variations d’une composée.
Je peux expliquer : reconnaître une dérivée composée à l’envers.
Je peux expliquer : primitives de la forme $u^{\prime}$ /u.

Fiche-mémoire

Composer des fonctions et contrôler le domaine.

Identifie l’opération intérieure puis l’opération extérieure.
Vérifie que l’intérieur est défini.
Impose les contraintes de l’extérieur à la valeur intérieure.
Résous simultanément les conditions obtenues.
Pour une valeur, effectue les opérations dans l’ordre des parenthèses.

La dérivée d’une fonction composée.

Vérifie le domaine de dérivabilité de la composée.
Identifie u et calcule $u^{\prime}$ .
Dérive l’extérieur puis remplace son argument par u.
Multiplie par la dérivée intérieure.
Simplifie et contrôle un coefficient ou un cas particulier.

Étudier les variations d’une composée.

Vérifie le domaine de la fonction.
Applique la règle de la chaîne.
Factorise et identifie les facteurs toujours positifs.
Établis les signes restants puis les variations.
Évalue la fonction aux points critiques et contrôle les extrema.

Reconnaître une dérivée composée à l’envers.

Repère une expression intérieure u.
Calcule $u^{\prime}$ et compare-la au facteur présent.
Ajuste uniquement par un coefficient constant si nécessaire.
Applique la primitive de la forme reconnue.
Dérive toute la réponse pour vérifier qu’aucun facteur variable ne manque.

Primitives de la forme $u^{\prime}$ /u.

Repère le dénominateur u et son domaine de signe constant.
Calcule $u^{\prime}$ puis compare au numérateur.
Ajuste par une constante si le rapport est constant.
Utilise ln u, ln(-u) ou ln|u| sur l’intervalle adapté.
Ajoute la constante nécessaire puis contrôle par dérivation.

Maîtrise du chapitre

Validation contrôlée

Réponds aux QCM, sélectionne les bonnes propositions ou remets les étapes dans l'ordre. Le site vérifie chaque réponse avant d'ouvrir la balise suivante.

Avant le cours, vérifie tes bases

Pourquoi ce chapitre ?

L’idée avant la formule

Le cours formel

Composer des fonctions et contrôler le domaine

La dérivée d’une fonction composée

Étudier les variations d’une composée

Reconnaître une dérivée composée à l’envers

Primitives de la forme \(u^{\prime}\)/u

Boîte à outils

Exercices progressifs

Exercice 1 : Calculer dans l’ordre ★☆☆

Exercice 2 : Une puissance composée ★☆☆

Exercice 3 : Un logarithme toujours défini ★☆☆

Exercice 4 : Reconnaître une exponentielle ★☆☆

Exercice 5 : Le cas de référence ★☆☆

Exercice 6 : Un domaine logarithmique ★★☆

Exercice 7 : Une exponentielle composée ★★☆

Exercice 8 : Un maximum exponentiel ★★☆

Exercice 9 : Un facteur à ajuster ★★☆

Exercice 10 : Une fraction composée ★★☆

Exercice 11 : Deux contraintes ★★★

Exercice 12 : Une racine ★★★

Exercice 13 : Une erreur de signe ★★★

Exercice 14 : Une proposition incorrecte ★★★

Exercice 15 : Une condition initiale ★★★

Problème : Pour aller plus loin

Composer, dériver et retrouver une primitive

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Corrigé 2

Corrigé 3

Corrigé 4

Corrigé 5

Corrigé 6

Corrigé 7

Corrigé 8

Corrigé 9

Corrigé 10

Corrigé 11

Corrigé 12

Corrigé 13

Corrigé 14

Corrigé 15

Corrigé du problème

Variante autonome et bilan

Fiche-mémoire

Maîtrise du chapitre

Pour relier les notions

Primitives de la forme $u^{\prime}$ /u