Tle STI2D · Du modèle à l’autonomie

Intégrales, aires et valeurs moyennes : pas à pas

Observe un exemple expliqué, entraîne-toi avec des indices, puis résous une autre situation sur papier. Compare les étapes avant de faire le point.

Mon objectif

Retrouver mes révisions

Comprendre une intégrale comme une accumulation

1. Observer

2. S’entraîner avec aide

L’intégrale d’un débit en L/min sur un temps en min s’exprime en…

Litres
Minutes
Litres par minute

Comparer avec l’explication

L’unité est le litre : $(\mathrm L/\mathrm{min})\times\mathrm{min}=\mathrm L$ . L’intégrale donne une quantité de liquide, tandis que la moyenne du débit resterait en litres par minute.

3. Résoudre seul

Calcule $\int_1^5 2\,dx$ par la géométrie.

Comparer avec l’explication

Calcule $\int_0^3 x\,dx$ géométriquement.

Comparer avec l’explication

4. Aller plus loin

Compare $\int_{-1}^1 x\,dx$ et l’aire entre la droite et l’axe.

Comparer avec l’explication

Calculer une intégrale avec une primitive

1. Observer

2. S’entraîner avec aide

$\int_a^b f(x)\,dx$ vaut…

$$f(b)-f(a)$$
$$F(a)-F(b)$$
$$F(b)-F(a)$$

Comparer avec l’explication

$\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)$ . On évalue la primitive aux bornes, pas la fonction initiale. Toute constante ajoutée à F disparaît dans la soustraction.

3. Résoudre seul

Calcule $\int_0^2 (2x+1)\,dx$ .

Comparer avec l’explication

Calcule $\int_0^1 2\mathrm e^{2x}\,dx$ .

Comparer avec l’explication

4. Aller plus loin

Calcule $\int_1^3 1/x\,dx$ .

Comparer avec l’explication

Propriétés et comparaisons des intégrales

1. Observer

2. S’entraîner avec aide

Inverser les bornes d’une intégrale…

Ne change rien
La rend toujours positive
Change son signe

Comparer avec l’explication

Inverser les bornes change le signe : $\int_b^a f=-\int_a^b f$ . En effet, $$F(a)-F(b)=-(F(b)-F(a))$$ . Cela n’impose pas que l’une des intégrales soit toujours positive.

3. Résoudre seul

On sait $\int_0^5 f=12$ et $\int_0^2 f=3$ . Calcule $\int_2^5 f$ .

Comparer avec l’explication

Sur $$[1;4]$$ , $\int f=7$ et $\int g=2$ . Calcule $\int(2f-3g)$ .

Comparer avec l’explication

4. Aller plus loin

Sur $$[2;5]$$ , $4\le f(x)\le6$ . Encadre son intégrale.

Comparer avec l’explication

Valeur moyenne d’une fonction continue

1. Observer

2. S’entraîner avec aide

La valeur moyenne sur [a ; b] est l’intégrale divisée par…

b - a
b + a
2

Comparer avec l’explication

Il faut diviser par $$b-a$$ , pour $$a<b$$ : $m=\frac1{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$ . Le rectangle de hauteur m et largeur $$b-a$$ retrouve ainsi la même accumulation.

3. Résoudre seul

Calcule la moyenne de $$f(x)=2x+1$$ sur $$[0;4]$$ .

Comparer avec l’explication

Calcule la moyenne de $$x^2$$ sur $$[1;2]$$ .

Comparer avec l’explication

4. Aller plus loin

Une puissance moyenne vaut 100 W pendant 2 h puis 200 W pendant 1 h. Calcule la moyenne sur 3 h.

Comparer avec l’explication

Approcher une intégrale numériquement

1. Observer

2. S’entraîner avec aide

Pour une fonction croissante, les rectangles à gauche…

Donnent toujours la valeur exacte
Surestiment l’intégrale
Sous-estiment l’intégrale

Comparer avec l’explication

Les rectangles à gauche sous-estiment l’intégrale d’une fonction croissante : leur hauteur ne dépasse pas les valeurs de la fonction sur chaque bande. Les rectangles à droite donnent au contraire une surestimation.

3. Résoudre seul

Approche $\int_0^2 x^2\,dx$ avec deux rectangles à gauche.

Comparer avec l’explication

Pour le même calcul, utilise deux rectangles à droite puis compare à la valeur exacte.

Comparer avec l’explication

4. Aller plus loin

On tire 2 000 points uniformément dans $[0;2]\times[0;3]$ . 900 sont sous une courbe comprise entre 0 et 3. Estime son intégrale.

Comparer avec l’explication

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