Intégrales, aires et valeurs moyennes · Terminale STI2D · spécialité maths

Avant de commencer5 questions pour vérifier tes bases

1. Quelle fonction a pour dérivée 2x sur ℝ ?

x²2x²2

2. Quelle est la dérivée de ln(x) sur son domaine réel ?

1/x pour x>01/x pour tout x≠0ln(x)/x pour x>0

3. Quelle est la dérivée de f(x)=e^(2x) sur ℝ ?

e^(2x)2e^(2x)e^(2)

4. Quelle est la moyenne des valeurs 2, 4 et 9 ?

457,5

5. Pour f(x)=x²−2 sur [−1 ; 3], quelles sont les images des deux bornes ?

1 et 9−3 et 1−1 et 7

Pourquoi ce chapitre ?

Une intégrale transforme une puissance en énergie et permet de calculer une puissance moyenne. Les méthodes numériques fournissent aussi des estimations contrôlées. Ton parcours. Partie mathématiques de la spécialité physique-chimie et mathématiques en STI2D. Cette fiche complète les cours de mathématiques communs ; elle ne remplace pas les enseignements de physique-chimie.

Comprendre une intégrale comme une accumulation.
Calculer une intégrale avec une primitive.
Propriétés et comparaisons des intégrales.
Valeur moyenne d’une fonction continue.
Approcher une intégrale numériquement.

L’idée avant la formule

Une puissance est une quantité par unité de temps. Multiplier sa hauteur par une petite durée donne une petite énergie ; l’intégrale additionne toutes ces contributions.

Le cours formel

Comprendre une intégrale comme une accumulation

Intuition · Construire la notion pas à pas

Additionner des contributions continues. Une intégrale cumule les valeurs d'une fonction sur un intervalle. On peut imaginer de très fines bandes : chacune contribue environ hauteur multipliée par largeur, et l'intégrale correspond à la somme limite de ces contributions.

Lire une aire lorsque la fonction est positive. Si $f\ge0$ sur $$[a;b]$$ avec $$a<b$$ , l'intégrale représente l'aire située entre la courbe et l'axe horizontal. Une fonction constante donne un rectangle ; une droite passant par l'origine peut délimiter un triangle.

Distinguer intégrale et aire géométrique. Une portion sous l'axe contribue négativement à l'intégrale. Deux zones peuvent donc se compenser, même si chacune occupe une aire positive. Pour obtenir une aire géométrique totale, sépare les intervalles de signe et additionne des aires positives.

Suivre les unités. Une vitesse en m/s intégrée sur un temps en secondes donne un déplacement en mètres. Un débit en litres par minute intégré sur des minutes donne des litres. Pour une vitesse signée, le déplacement peut différer de la distance totale parcourue.

L'intégrale entre deux bornes est un nombre ; une primitive est une fonction qui servira à calculer ce nombre.

Schéma : Comprendre une intégrale comme une accumulation

Calculer une intégrale avec une primitive

Intuition · Construire la notion pas à pas

Relier accumulation et primitive. Si f est continue sur $$[a;b]$$ et F une primitive, l'intégrale vaut $$F(b)-F(a)$$ . La primitive transforme ainsi un cumul continu en différence de deux valeurs.

Ne pas évaluer la mauvaise fonction. Il faut d'abord trouver F, puis l'évaluer aux bornes. Calculer seulement $$f(b)-f(a)$$ mesure une variation de la fonction initiale et ne donne généralement pas son intégrale.

Respecter les signes. On prend valeur à la borne supérieure moins valeur à la borne inférieure. Des parenthèses autour des deux évaluations évitent de ne soustraire qu'un seul terme. La notation $$[F(x)]_a^b$$ est une instruction de calcul de cette différence.

Pourquoi la constante ne compte pas. Utiliser $$F+C$$ donne $$F(b)+C-F(a)-C$$ , donc le même résultat. Une seule primitive suffit ; il est souvent plus simple de choisir C égal à zéro.

Avant de conclure, contrôle le signe, les unités et un ordre de grandeur. Si la fonction est positive et $$a<b$$ , l'intégrale ne peut pas être négative.

Propriétés et comparaisons des intégrales

Intuition · Construire la notion pas à pas

Découper puis réunir. Une accumulation sur $$[a;c]$$ peut être séparée à une borne intermédiaire b. La relation de Chasles additionne les deux intégrales. Elle permet aussi de retrouver une portion inconnue en soustrayant une portion connue au total.

Combiner des grandeurs. L'intégrale d'une somme est la somme des intégrales, et un coefficient constant peut être sorti de l'intégrale. Pour combiner deux intégrales ainsi, leurs bornes doivent être les mêmes. Un produit de fonctions ne suit pas cette règle.

Tenir compte de l'orientation. Inverser les bornes change le signe. Avec des bornes identiques, aucune largeur n'est parcourue et l'intégrale est nulle. Ces propriétés concernent une accumulation signée, pas uniquement une aire géométrique positive.

Encadrer sans primitive. Si $m\le f(x)\le M$ sur $$[a;b]$$ avec $$a<b$$ , alors $m(b-a)\le\int_a^b f\le M(b-a)$ . Les deux constantes délimitent des rectangles qui encadrent l'accumulation. On peut ainsi obtenir un résultat utile sans connaître la formule exacte de f.

Valeur moyenne d’une fonction continue

Intuition · Construire la notion pas à pas

Remplacer une grandeur variable par une grandeur constante équivalente. Une vitesse moyenne doit produire le même déplacement sur la même durée. Un débit moyen doit fournir la même quantité. On commence donc par l'accumulation totale, puis on la divise par la durée ou la largeur.

Sur $$[a;b]$$ , la moyenne est $m=\int_a^b f(x)\,dx/(b-a)$ . Le rectangle de hauteur m possède la même aire algébrique que celle décrite par f. Le dénominateur est bien la largeur $$b-a$$ , pas forcément la borne b.

Contrôler les unités. L'intégrale multiplie les unités de f par celles de x ; la division par la largeur retire ces dernières. La moyenne retrouve donc les unités de f. Une puissance moyenne s'exprime en watts, tandis que son accumulation sur des heures s'exprime en wattheures.

Éviter la moyenne des seules extrémités. Ce raccourci est exact pour une fonction affine, mais pas pour une courbe quelconque. De même, deux moyennes sur des durées différentes doivent être pondérées par ces durées : chaque moyenne représente une accumulation différente.

Approcher une intégrale numériquement

Intuition · Construire la notion pas à pas

Remplacer une courbe par des bandes simples. On découpe $$[a;b]$$ en n intervalles de largeur $$h=(b-a)/n$$ . Sur chacun, un rectangle utilise une valeur de la fonction comme hauteur. L'aire approchée est la somme des hauteurs multipliée par h.

Choisir gauche ou droite. Les rectangles à gauche prennent les abscisses $a,a+h,\ldots,b-h$ ; ceux à droite prennent $a+h,\ldots,b$ . Chaque somme utilise exactement n hauteurs. Ajouter les deux extrémités ferait compter une hauteur de trop.

Savoir de quel côté se trouve l'erreur. Si f est croissante, les hauteurs de gauche sont inférieures aux valeurs de la courbe sur chaque intervalle : elles sous-estiment l'intégrale. À droite, elles la surestiment. Pour une fonction décroissante, les rôles s'inversent.

Une autre approche par tirages. Pour $0\le f\le M$ , on peut tirer uniformément des points dans le rectangle de largeur $$b-a$$ et hauteur M. La proportion située sous la courbe estime la fraction d'aire occupée. On multiplie donc cette proportion par l'aire du rectangle. Ce résultat aléatoire fluctue ; il n'est ni exact ni un encadrement garanti.

Boîte à outils

Exercices progressifs

Les exercices 1 à 5 consolident les bases ; 6 à 10 demandent plusieurs étapes ; 11 à 15 t’invitent à choisir, justifier et contrôler. Cherche avant de consulter les indices.

Exercice 1 : Une aire rectangulaire ★☆☆

Calcule $\int_1^5 2\,dx$ par la géométrie.

Exercice 2 : Un polynôme ★☆☆

Calcule $\int_0^2 (2x+1)\,dx$ .

Exercice 3 : Chasles ★☆☆

On sait $\int_0^5 f=12$ et $\int_0^2 f=3$ . Calcule $\int_2^5 f$ .

Exercice 4 : Une moyenne affine ★☆☆

Calcule la moyenne de $$f(x)=2x+1$$ sur $$[0;4]$$ .

Exercice 5 : Deux rectangles ★☆☆

Approche $\int_0^2 x^2\,dx$ avec deux rectangles à gauche.

Exercice 6 : Une aire triangulaire ★★☆

Calcule $\int_0^3 x\,dx$ géométriquement.

Exercice 7 : Une exponentielle ★★☆

Calcule $\int_0^1 2\mathrm e^{2x}\,dx$ .

Exercice 8 : Linéarité ★★☆

Sur $$[1;4]$$ , $\int f=7$ et $\int g=2$ . Calcule $\int(2f-3g)$ .

Exercice 9 : Une moyenne non affine ★★☆

Calcule la moyenne de $$x^2$$ sur $$[1;2]$$ .

Exercice 10 : Un encadrement ★★☆

Pour le même calcul, utilise deux rectangles à droite puis compare à la valeur exacte.

Exercice 11 : Aire et intégrale ★★★

Compare $\int_{-1}^1 x\,dx$ et l’aire entre la droite et l’axe.

Exercice 12 : Une intégrale logarithmique ★★★

Calcule $\int_1^3 1/x\,dx$ .

Exercice 13 : Un encadrement ★★★

Sur $$[2;5]$$ , $4\le f(x)\le6$ . Encadre son intégrale.

Exercice 14 : Deux durées différentes ★★★

Une puissance moyenne vaut 100 W pendant 2 h puis 200 W pendant 1 h. Calcule la moyenne sur 3 h.

Exercice 15 : Monte-Carlo ★★★

On tire 2 000 points uniformément dans $[0;2]\times[0;3]$ . 900 sont sous une courbe comprise entre 0 et 3. Estime son intégrale.

Problème : Pour aller plus loin

Énergie fournie par une puissance variable

La puissance est $$P(t)=2t+3$$ watts pendant 0 $\le$ t $\le$ 4 secondes.

Calcule l’énergie totale avec une primitive et donne son unité.
Calcule la puissance moyenne.
Retrouve l’énergie par l’aire d’un trapèze.
Utilise quatre rectangles à gauche puis à droite et encadre l’intégrale.
Une simulation uniforme dans le rectangle [0;4] × [0;11] place 635 points sur 1 000 sous la courbe. Estime l’énergie et discute la précision.

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Corrigé 2

Corrigé 3

Corrigé 4

Corrigé 5

Corrigé 6

Corrigé 7

Corrigé 8

Corrigé 9

Corrigé 10

Corrigé 11

Corrigé 12

Corrigé 13

Corrigé 14

Corrigé 15

Corrigé du problème

Comprendre la question. L’énergie est l’accumulation de la puissance au cours du temps.

Construire la réponse.
1. On calcule $E=\int_0^4(2t+3)\,dt$ .
2. Une primitive est $$F(t)=t^2+3t$$ .
3. $\begin{aligned}E &= F(4)-F(0)\\[.35em] &= (16+12)-0\\[.35em] &= 28.\end{aligned}$
Vérifier. Les unités sont watts multipliés par secondes, soit des joules. La puissance positive impose une énergie positive.

Conclure. L’énergie totale fournie est de 28 J.
Comprendre la question. La puissance moyenne doit fournir la même énergie pendant la même durée.

Construire la réponse.
1. La durée est $$4-0=4$$ secondes.
2. La moyenne vaut
  $\begin{aligned}E/4 &= 28/4\\[.35em] &= 7\end{aligned}$
  watts.
Vérifier. Une puissance constante de 7 W pendant 4 s fournirait bien 28 J. La moyenne est entre les valeurs minimale 3 W et maximale 11 W.

Conclure. La puissance moyenne est de 7 W.
Comprendre la question. La courbe affine forme un trapèze avec l’axe horizontal.

Construire la réponse.
1. Les hauteurs aux bornes sont $$P(0)=3$$ et $$P(4)=11$$ .
2. La largeur est 4 secondes.
3. L’aire du trapèze vaut
  $\begin{aligned}4(3+11)/2 &= 4\times7\\[.35em] &= 28.\end{aligned}$
Vérifier. Cette méthode géométrique retrouve le calcul par primitive, puisque la puissance est positive.

Conclure. L’aire représente la même énergie de 28 J.
Comprendre la question. Quatre rectangles sur un intervalle de largeur 4 ont chacun une largeur de 1.

Construire la réponse.
1. À gauche, on utilise les temps 0, 1, 2, 3 : les hauteurs sont 3, 5, 7, 9 et la somme des aires vaut 24.
2. À droite, on utilise 1, 2, 3, 4 : les hauteurs sont 5, 7, 9, 11 et la somme vaut 32.
3. La fonction croît : les rectangles gauches sous-estiment l’intégrale et les droits la surestiment.
Vérifier. On obtient bien $24\le28\le32$ . Les deux sommes comportent quatre rectangles, pas cinq.

Conclure. L’encadrement par ces rectangles est de 24 J à 32 J.
Comprendre la question. Le tirage uniforme estime la proportion de l’aire du rectangle située sous la courbe.

Construire la réponse.
1. La proportion observée est $$635/1000=0{,}635$$ .
2. L’aire du rectangle de tirage vaut $4\times11=44$ .
3. L’énergie estimée est $0{,}635\times44=27{,}94$ J.
4. L’écart à la valeur exacte est $$27{,}94-28=-0{,}06$$ J.
Vérifier. La proximité de cette estimation ne garantit pas qu’un autre tirage de 1000 points sera aussi précis. L’aléa ne fournit pas un encadrement déterministe.

Conclure. La simulation estime l’énergie à 27,94 J, très proche de 28 J pour ce tirage.

Variante autonome et bilan

Calcule énergie et puissance moyenne pour $$Q(t)=t^2$$ de 0 à 3 secondes.

À toi d’essayer

Vérifie ta démarche

Résous la variante, puis explique pourquoi ta méthode s’applique.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Repère les données utiles et l’inconnue. Reviens à la méthode correspondante dans la boîte à outils.

Indice 2 · Un pas de plus

Contrôle les unités, les bornes et la plausibilité du résultat avant de lire la correction.

Voir l’explication

Comprendre la question. Une puissance quadratique exige une moyenne obtenue par l’intégrale.

Construire la réponse.

L’énergie est
$\begin{aligned}\int_0^3t^2\,dt &= [t^3/3]_0^3\\[.35em] &= 27/3\\[.35em] &= 9\end{aligned}$
J.
La durée vaut 3 secondes, donc la puissance moyenne est $$9/3=3$$ W.
La moyenne des extrémités serait $$(0+9)/2=4{,}5$$ W ; ce raccourci n’est pas exact pour une fonction quadratique.

Vérifier. Une puissance constante de 3 W durant 3 s fournit bien 9 J.

Conclure. L’énergie est 9 J et la puissance moyenne 3 W.

Je peux expliquer : comprendre une intégrale comme une accumulation.
Je peux expliquer : calculer une intégrale avec une primitive.
Je peux expliquer : propriétés et comparaisons des intégrales.
Je peux expliquer : valeur moyenne d’une fonction continue.
Je peux expliquer : approcher une intégrale numériquement.

Fiche-mémoire

Comprendre une intégrale comme une accumulation.

Identifie l’intervalle et sa largeur $$b-a$$ .
Repère le signe de la fonction sur chaque portion.
Calcule les aires simples par la géométrie si possible.
Pour l’intégrale, donne un signe aux contributions sous l’axe.
Pour une aire géométrique, additionne les valeurs positives et précise les unités.

Calculer une intégrale avec une primitive.

Vérifie que la fonction est continue sur l’intervalle.
Cherche une primitive et contrôle-la par dérivation.
Calcule séparément F(b) et F(a).
Soustrais dans l’ordre $$F(b)-F(a)$$ avec des parenthèses.
Contrôle signe, ordre de grandeur et unités avant d’arrondir.

Propriétés et comparaisons des intégrales.

Vérifie et aligne les bornes des intégrales connues.
Utilise Chasles pour découper ou reconstituer un intervalle.
Utilise la linéarité pour les sommes et coefficients constants.
Intègre une constante en la multipliant par la largeur.
Pour un encadrement, multiplie les bornes de la fonction par $$b-a$$ .

Valeur moyenne d’une fonction continue.

Identifie l’intervalle et sa largeur.
Calcule l’intégrale, c’est-à-dire l’accumulation totale.
Divise par la largeur pour obtenir la moyenne.
Pour plusieurs périodes, additionne leurs accumulations avant de diviser.
Contrôle que la moyenne garde les unités de la fonction et reste entre ses bornes.

Approcher une intégrale numériquement.

Calcule $$h=(b-a)/n$$ .
Liste exactement n abscisses gauches ou droites.
Évalue la fonction à ces abscisses et additionne les hauteurs.
Multiplie par h puis utilise les variations pour interpréter l’erreur.
Pour Monte-Carlo, multiplie la proportion observée par l’aire totale du rectangle.

Maîtrise du chapitre

Validation contrôlée

Réponds aux QCM, sélectionne les bonnes propositions ou remets les étapes dans l'ordre. Le site vérifie chaque réponse avant d'ouvrir la balise suivante.

Avant le cours, vérifie tes bases

Pourquoi ce chapitre ?

L’idée avant la formule

Le cours formel

Comprendre une intégrale comme une accumulation

Calculer une intégrale avec une primitive

Propriétés et comparaisons des intégrales

Valeur moyenne d’une fonction continue

Approcher une intégrale numériquement

Boîte à outils

Exercices progressifs

Exercice 1 : Une aire rectangulaire ★☆☆

Exercice 2 : Un polynôme ★☆☆

Exercice 3 : Chasles ★☆☆

Exercice 4 : Une moyenne affine ★☆☆

Exercice 5 : Deux rectangles ★☆☆

Exercice 6 : Une aire triangulaire ★★☆

Exercice 7 : Une exponentielle ★★☆

Exercice 8 : Linéarité ★★☆

Exercice 9 : Une moyenne non affine ★★☆

Exercice 10 : Un encadrement ★★☆

Exercice 11 : Aire et intégrale ★★★

Exercice 12 : Une intégrale logarithmique ★★★

Exercice 13 : Un encadrement ★★★

Exercice 14 : Deux durées différentes ★★★

Exercice 15 : Monte-Carlo ★★★

Problème : Pour aller plus loin

Énergie fournie par une puissance variable

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Corrigé 2

Corrigé 3

Corrigé 4

Corrigé 5

Corrigé 6

Corrigé 7

Corrigé 8

Corrigé 9

Corrigé 10

Corrigé 11

Corrigé 12

Corrigé 13

Corrigé 14

Corrigé 15

Corrigé du problème

Variante autonome et bilan

Fiche-mémoire

Maîtrise du chapitre

Pour relier les notions