Probabilités conditionnelles · Première spécialité

Pourquoi les probabilités conditionnelles ?

Le problème fondamental

Une probabilité mesure une « chance » ; mais cette chance change dès qu'on apprend une information. Quelle est la probabilité qu'il pleuve aujourd'hui ? Et sachant que le ciel est gris ? Quelle est la probabilité d'être malade ? Et sachant qu'un test est positif ? Les probabilités conditionnelles formalisent cette mise à jour : comment une information nouvelle modifie les chances.

Le piège de l'inversion. « La probabilité d'être positif au test sachant qu'on est malade » ( $$P_M(+)$$ ) n'est pas « la probabilité d'être malade sachant qu'on est positif » ( $$P_+(M)$$ ). Confondre les deux est l'erreur la plus célèbre des probabilités (et la plus lourde de conséquences). Ce chapitre apprend à les distinguer.

Les outils. Deux représentations rendent tout simple : l'arbre pondéré (on suit des chemins) et le tableau croisé (on compte des effectifs).

L'idée directrice

L'idée avant la formule

Conditionner, c'est réduire l'univers

L'arbre pondéré : suivre les chemins

L'indépendance : quand l'info ne change rien

Le cours complet

Rappels de probabilités

Probabilité conditionnelle

Arbres pondérés

Méthode · Construire et lire un arbre, pas à pas

Premier niveau. On choisit le premier événement et son contraire ( $$A$$ , $\overline A$ ). Sur ces deux branches on écrit $$P(A)$$ et $P(\overline A)$ : leur somme fait $$1$$ .
Deuxième niveau. Depuis chaque nœ ud, on repart vers $$B$$ et $\overline B$ . Les probabilités y sont conditionnelles : $$P_A(B)$$ depuis le nœ ud $$A$$ , $P_{\overline A}(B)$ depuis le nœ ud $\overline A$ . À chaque nœ ud, les deux branches somment encore à $$1$$ (donc $P_A(\overline B)=1-P_A(B)$ ).
Probabilité d'un chemin. On multiplie toutes les probabilités rencontrées le long du chemin. Le chemin « $$A$$ puis $$B$$ » donne $P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B)$ .
Probabilité d'un événement. On repère tous les chemins qui le réalisent et on additionne leurs probabilités.

Pourquoi ça marche ? Multiplier traduit la règle du produit ( $P(A\cap B)=P(A)P_A(B)$ ) ; additionner traduit le fait que les différents chemins mènent à des situations incompatibles (on ne peut pas suivre deux chemins en même temps), et les probabilités d'événements incompatibles s'ajoutent.

Tableaux croisés d'effectifs

Exemple · Probabilités à partir d'un tableau

Dans un lycée de $$200$$ élèves :

	Externe ( $$E$$ )	Demi-pension ( $$D$$ )	Total
Fille ( $$F$$ )	$$40$$	$$70$$	$$110$$
Garçon ( $$G$$ )	$$30$$	$$60$$	$$90$$
Total	$$70$$	$$130$$	$$200$$

$P(F)=\dfrac{110}{200}=0{,}55$ . $P(F\cap D)=\dfrac{70}{200}=0{,}35$ . $P_D(F)=\dfrac{70}{130}\approx 0{,}54$ (parmi les demi-pensionnaires). $P_F(D)=\dfrac{70}{110}\approx 0{,}64$ (parmi les filles). On voit que $P_D(F)\neq P_F(D)$ .

Partition et formule des probabilités totales

Indépendance de deux événements

Inverser le conditionnement (situations de « faux positifs »)

Exemple · Pourquoi un test positif n'est pas une condamnation

Une maladie touche $1\%$ de la population. Un test la détecte dans $90\%$ des cas chez un malade, mais donne $5\%$ de « faux positifs » chez un bien-portant. Quelle est la probabilité d'être malade ( $$M$$ ) sachant que le test est positif ( $$+$$ ) ?

\begin{aligned}P(+) &= P(M)P_M(+) +P(\overline M)P_{\overline M}(+)\\&= 0{,}01\times 0{,}9 +0{,}99\times 0{,}05\\&= 0{,}009 +0{,}0495 = 0{,}0585.\end{aligned}

P_+(M)=\frac{P(M\cap +)}{P(+)}=\frac{0{,}009}{0{,}0585}\approx 0{,}154.

Surprise : même avec un test positif, la probabilité d'être malade n'est que d'environ $\mathbf{15\%}$ ! (Parce que la maladie est rare, les faux positifs sont très nombreux.) C'est tout l'enjeu de ne pas confondre $$P_M(+)$$ et $$P_+(M)$$ .

Intuition · Voir les faux positifs sur $10\,000$ personnes

Le calcul paraît abstrait : rendons-le concret sur $10\,000$ personnes (maladie à $1\%$ , test positif chez $90\%$ des malades et $5\%$ des bien-portants).

Malades : $1\%$ de $10\,000=100$ personnes. Parmi elles, $90\%$ sont positives : $\mathbf{90}$ vrais positifs.
Bien-portants : $9\,900$ personnes. Parmi elles, $5\%$ sont (à tort) positives : $\mathbf{495}$ faux positifs.
Total de positifs : $$90+495=585$$ . Or sur ces $$585$$ positifs, seuls $$90$$ sont vraiment malades :
$P_+(M)=\frac{90}{585}\approx 0{,}154.$

La morale : les bien-portants étant très nombreux, même un petit taux de faux positifs ( $5\%$ ) produit énormément de positifs à tort, qui « noient » les vrais malades. C'est tout l'enjeu de ne pas confondre $$P_M(+)$$ (grande : un malade est presque toujours détecté) et $$P_+(M)$$ (petite : un positif est rarement malade quand la maladie est rare).

Pour aller plus loin : une marche aléatoire

Méthode · Simuler une trajectoire

from random import choice

def marche(n):
    position = 0
    trajectoire = [0]
    for k in range(n):
        pas = choice([-1, 1])
        position = position + pas
        trajectoire.append(position)
    return trajectoire

La liste renvoyée contient toutes les positions successives. Deux exécutions donnent généralement deux trajectoires différentes : c'est normal, car une simulation reproduit le hasard au lieu de calculer une probabilité exacte.

Boîte à outils : réflexes pour le bac

Méthode · Formulaire complet

Objet	Formule
Conditionnelle	$P_A(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}$
Règle du produit	$P(A\cap B)=P(A)P_A(B)=P(B)P_B(A)$
Probabilités totales	$P(B)=P(A)P_A(B)+P(\overline A)P_{\overline A}(B)$
Indépendance	$P(A\cap B)=P(A)P(B)$ ( $$P_A(B)=P(B)$$ )
Inversion (Bayes)	$P_B(A)=\dfrac{P(A)P_A(B)}{P(B)}$
Contraire / réunion	$P(\overline A)=1-P(A)$ , $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

Méthode · Algorithme : méthode de Monte-Carlo (estimer $\pi$)

On tire des points au hasard dans le carré $[0\,;1]^2$ ; la proportion qui tombe dans le quart de disque approche son aire $\frac{\pi}{4}$ .

import random

def estimer_pi(n):
    dedans = 0
    for _ in range(n):
        x, y = random.random(), random.random()   # point au hasard
        if x*x + y*y <= 1:                          # dans le quart de disque
            dedans += 1
    return 4 * dedans / n                           # 4 x (pi/4) = pi

print(estimer_pi(1000000))   # ~ 3.14

Exercices

Exercice 1 ★☆☆ : Probabilité conditionnelle directe

On donne $$P(A)=0{,}4$$ , $$P(B)=0{,}5$$ et $P(A\cap B)=0{,}2$ .

Calculer $$P_A(B)$$ et $$P_B(A)$$ .
$$A$$ et $$B$$ sont-ils indépendants ?

Exercice 2 ★☆☆ : Règle du produit

On donne $$P(A)=0{,}3$$ et $P_A(B)=0{,}6$ . Calculer $P(A\cap B)$ .

Exercice 3 ★☆☆ : Lire un arbre

On considère l'arbre : $$P(A)=0{,}2$$ ; $P_A(B)=0{,}9$ ; $P_{\overline A}(B)=0{,}3$ .

Calculer $P(A\cap B)$ et $P(\overline A\cap B)$ .
En déduire $$P(B)$$ .

Exercice 4 ★☆☆ : Tableau croisé

Sur $$500$$ clients, $$300$$ sont des femmes ; $$180$$ femmes et $$80$$ hommes ont acheté en ligne ( $$L$$ ).

Compléter mentalement les effectifs, puis calculer $$P(L)$$ .
Calculer $$P_F(L)$$ (probabilité d'acheter en ligne sachant que c'est une femme).
Calculer $$P_L(F)$$ . Comparer avec $$P_F(L)$$ .

Exercice 5 ★☆☆ : Réunion et contraire

On donne $$P(A)=0{,}5$$ , $$P(B)=0{,}4$$ , $P(A\cap B)=0{,}25$ . Calculer $P(A\cup B)$ et $P(\overline A)$ .

Exercice 6 ★★☆ : Arbre et probabilités totales

Un sac contient $$3$$ jetons rouges et $$2$$ bleus. On tire un jeton, on note sa couleur, on le remet, puis on tire un second jeton.

Représenter la situation par un arbre.
Calculer la probabilité d'obtenir deux jetons de la même couleur.

Exercice 7 ★★☆ : Tester l'indépendance

On donne $$P(A)=0{,}6$$ , $$P(B)=0{,}5$$ et $P(A\cap B)=0{,}3$ . Les événements $$A$$ et $$B$$ sont-ils indépendants ? Justifier de deux façons.

Exercice 8 ★★☆ : Deux dés

On lance deux dés équilibrés. $$A$$ : « le premier dé donne $$6$$ », $$B$$ : « la somme vaut $$7$$ ».

Calculer $$P(A)$$ , $$P(B)$$ et $P(A\cap B)$ .
$$A$$ et $$B$$ sont-ils indépendants ?

Exercice 9 ★★☆ : Deux machines

La machine 1 fabrique $70\%$ des pièces ( $3\%$ défectueuses), la machine 2 les $30\%$ restants ( $5\%$ défectueuses). Calculer la probabilité qu'une pièce soit défectueuse.

Exercice 10 ★★☆ : Inversion

Avec les données de l'exercice 9, une pièce est défectueuse. Quelle est la probabilité qu'elle vienne de la machine 2 ?

Exercice 11 ★★☆ : Tableau et indépendance

Dans un groupe, on classe les personnes selon le sport ( $$S$$ ) et la musique ( $$M$$ ) :

	$$M$$	$\overline M$	Total
$$S$$	$$24$$	$$16$$	$$40$$
$\overline S$	$$36$$	$$24$$	$$60$$
Total	$$60$$	$$40$$	$$100$$

Les événements $$S$$ et $$M$$ sont-ils indépendants ? Justifier par le calcul.

Exercice 12 ★★★ : Faux positifs

Une maladie touche $2\%$ d'une population. Un test est positif chez $95\%$ des malades et chez $4\%$ des bien-portants.

Calculer la probabilité qu'un test soit positif.
Calculer la probabilité d'être malade sachant que le test est positif. Commenter.

Exercice 13 ★★★ : Démonstrations

Démontrer la formule des probabilités totales pour la partition $\{A\,;\overline A\}$ .
Montrer que si $$A$$ et $$B$$ sont indépendants, alors $\overline A$ et $$B$$ le sont aussi.

Exercice 14 ★★★ : Tirage sans remise

Une urne contient $$4$$ boules rouges et $$3$$ noires. On tire deux boules successivement et sans remise.

Construire l'arbre (attention : les probabilités du 2^e tirage dépendent du 1^re).
Calculer la probabilité de tirer deux boules rouges, puis la probabilité d'obtenir une rouge et une noire (dans un ordre quelconque).

Exercice 15 ★★★ : Succession d'épreuves indépendantes

Un joueur réussit un panier avec probabilité $$0{,}8$$ , indépendamment d'un tir à l'autre. Il tire $$3$$ fois.

Probabilité de réussir les trois tirs.
Probabilité de rater au moins un tir.

Exercice 16 ★★★ : Inversion dans un tableau

Reprendre le tableau lycée du cours ( $$110$$ filles, $$90$$ garçons ; $$70$$ externes, $$130$$ demi-pensionnaires ; $$40$$ filles externes). Un élève tiré au sort est externe : quelle est la probabilité que ce soit une fille ?

Problème : Contrôle qualité ★★★

Partie A : arbre et probabilités totales

Construire un arbre pondéré décrivant la situation (fournisseur, puis défectueux $$D$$ ou non).
Calculer $P(F_1\cap D)$ et $P(F_2\cap D)$ .
En déduire la probabilité $$P(D)$$ qu'un composant soit défectueux.

Partie B : inversion (d'où vient le défaut ?)

Un composant prélevé est défectueux. Calculer la probabilité qu'il provienne de $$F_2$$ , soit $$P_D(F_2)$$ .
Commenter : pourquoi cette probabilité est-elle bien plus grande que les $30\%$ de composants fournis par $$F_2$$ ?

Partie C : deux composants indépendants

On prélève deux composants « au hasard » (tirages indépendants). Calculer la probabilité que les deux soient bons.
Calculer la probabilité qu'au moins un des deux soit défectueux.

Partie D : un bon composant

Un composant prélevé est bon ( $\overline D$ ). Calculer la probabilité qu'il provienne de $$F_1$$ , soit $P_{\overline D}(F_1)$ .

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Corrigé 2

Corrigé 3

Corrigé 4

Corrigé 5

Corrigé 6

Corrigé 7

Corrigé 8

Corrigé 9

Corrigé 10

Corrigé 11

Corrigé 12

Corrigé 13

Corrigé 14

Corrigé 15

Corrigé 16

Corrigé du problème : Contrôle qualité

Fiche-mémoire

Maîtrise du chapitre

Validation contrôlée

Réponds aux QCM, sélectionne les bonnes propositions ou remets les étapes dans l'ordre. Le site vérifie chaque réponse avant d'ouvrir la balise suivante.

	Externe ( $\(E\)$ )	Demi-pension ( $\(D\)$ )	Total
Fille ( $\(F\)$ )	$\(40\)$	$\(70\)$	$\(110\)$
Garçon ( $\(G\)$ )	$\(30\)$	$\(60\)$	$\(90\)$
Total	$\(70\)$	$\(130\)$	$\(200\)$

	$\(M\)$	$\overline M$	Total
$\(S\)$	$\(24\)$	$\(16\)$	$\(40\)$
$\overline S$	$\(36\)$	$\(24\)$	$\(60\)$
Total	$\(60\)$	$\(40\)$	$\(100\)$