Variations et extrémums · Seconde générale

Pourquoi étudier les variations ?

Une valeur ne raconte pas toute l'histoire

Savoir que $$f(2)=5$$ donne une photographie. Savoir que $$f$$ est croissante autour de $$2$$ raconte un mouvement : lorsque l'entrée augmente, la sortie augmente aussi. Les variations permettent de comparer sans calculer toutes les images, de prévoir l'allure d'une courbe et de chercher la meilleure valeur possible.

Trois usages essentiels

Comparer : de $$a<b$$ , déduire l'ordre de $$f(a)$$ et $$f(b)$$ .
Encadrer : déterminer toutes les valeurs possibles de $$f(x)$$ sur un intervalle.
Optimiser : choisir une longueur, un prix ou une durée qui rend une grandeur maximale ou minimale.

Croissance et décroissance

Définitions rigoureuses

Une fonction croissante ou décroissante sur un intervalle est dite monotone sur cet intervalle.

Le signe d'une différence

Pour prouver une variation, on choisit $$a<b$$ et on étudie

\[f(b)-f(a).\]

Si cette différence est toujours positive ou nulle, $$f$$ est croissante.
Si elle est toujours négative ou nulle, $$f$$ est décroissante.

Courbe et tableau de variations

Lire la courbe de gauche à droite

Considérons la fonction $$f$$ représentée ci-dessous sur $$[-4;5]$$ .

On lit successivement :

\begin{array}{c|ccccccccc} x&-4&&-2&&1&&3&&5\\ \hline f(x)&1&\nearrow&4&\searrow&-1&\nearrow&3&\searrow&2 \end{array}

Construire un tableau de variations

Le tableau précédent dit que $$f$$ est croissante sur $$[-4;-2]$$ , décroissante sur $$[-2;1]$$ , croissante sur $$[1;3]$$ , puis décroissante sur $$[3;5]$$ .

Exploiter un tableau

Sur $$[-2;1]$$ , $$f$$ est décroissante. Comme $$-1<0$$ , on peut écrire

\[f(-1)>f(0).\]

En revanche, le tableau seul ne permet pas de comparer directement $$f(-3)$$ et $$f(2)$$ : les deux entrées appartiennent à des intervalles de monotonie différents.

Maximum et minimum

Définitions

Pour la courbe précédente sur $$[-4;5]$$ , le maximum vaut $$4$$ , atteint en $$x=-2$$ , et le minimum vaut $$-1$$ , atteint en $$x=1$$ .

L'intervalle change la réponse

Sur $$[-4;5]$$ , le maximum de $$f$$ vaut $$4$$ . Mais sur $$[1;5]$$ , le maximum vaut $$3$$ , atteint en $$x=3$$ . Un extremum dépend toujours de l'intervalle étudié.

Variations d'une fonction affine

Le coefficient directeur mesure un changement

Pour $$f(x)=mx+p$$ et $a\neq b$ ,

\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=m.

Le coefficient directeur $$m$$ est le taux d'accroissement : lorsque l'entrée augmente de $$1$$ , la sortie varie de $$m$$ .

Variations des fonctions de référence

Les tableaux à connaître

Fonction	Domaine et variations	Extremum
$$x^2$$	décroît sur $]-\infty;0]$ , croît sur $[0;+\infty[$	minimum $$0$$ en $$0$$
$$\|x\|$$	décroît sur $]-\infty;0]$ , croît sur $[0;+\infty[$	minimum $$0$$ en $$0$$
$$1/x$$	décroît sur $]-\infty;0[$ et sur $]0;+\infty[$	aucun sur son domaine entier
$\sqrt{x}$	croît sur $[0;+\infty[$	minimum $$0$$ en $$0$$
$$x^3$$	croît sur $\R$	aucun sur $\R$

Démonstration pour le carré

Si $0\leq a<b$ , alors

\[b^2-a^2=(b-a)(b+a)>0,\]

donc la fonction carré est croissante sur $[0;+\infty[$ .

Si $a<b\leq0$ , les nombres $$a-b$$ et $$a+b$$ sont négatifs, donc

\[a^2-b^2=(a-b)(a+b)>0.\]

Ainsi $$a^2>b^2$$ : la fonction carré est décroissante sur $]-\infty;0]$ .

Démonstration pour l'inverse

Si $$a<b$$ sont dans un même intervalle de son domaine, alors $$ab>0$$ et

\frac1b-\frac1a=\frac{a-b}{ab}<0.

Ainsi $$1/b<1/a$$ : l'inverse est décroissante sur chacune des deux parties de son domaine.

Démonstrations pour la racine et le cube

Pour $0\leq a<b$ ,

\sqrt b-\sqrt a=\frac{b-a}{\sqrt b+\sqrt a}>0,

donc la racine carrée est croissante.

Pour $$a<b$$ ,

\[b^3-a^3=(b-a)(a^2+ab+b^2)>0,\]

car $$b-a>0$$ et

a^2+ab+b^2=\left(a+\frac b2\right)^2+\frac34b^2>0.

La fonction cube est donc strictement croissante sur $\R$ .

Démontrer avec l'algèbre

La forme centrée d'un carré

Transformer sans changer ou en inversant les variations

Somme de fonctions croissantes

Si $$f$$ et $$g$$ sont croissantes sur le même intervalle $$I$$ , alors $$f+g$$ est croissante sur $$I$$ . En effet, pour $$a<b$$ ,

f(a)\leq f(b) \quad\text{et}\quad g(a)\leq g(b).

En additionnant,

f(a)+g(a)\leq f(b)+g(b).

Résoudre un problème d'optimisation

Le protocole complet

Exemple : un rectangle de périmètre fixé

Un rectangle a un périmètre de $$40$$ m. Si un côté mesure $$x$$ m, l'autre mesure $$20-x$$ m. Le domaine est $$[0;20]$$ et l'aire vaut

\[A(x)=x(20-x)=20x-x^2.\]

Complétons le carré :

\[A(x)=100-(x-10)^2.\]

Comme $(x-10)^2\geq0$ ,

A(x)\leq100.

L'aire maximale vaut donc $$100$$ m $$^2$$ , atteinte pour $$x=10$$ . Le rectangle optimal est un carré de côté $$10$$ m.

Exploiter les variations

Comparer des images

Nombre de solutions de $$f(x)=k$$

Graphiquement, les solutions de $$f(x)=k$$ sont les abscisses des intersections avec la droite horizontale $$y=k$$ . Un tableau de variations permet souvent de prévoir zéro, une ou plusieurs intersections.

Encadrer sans calculer exactement

Si $$f$$ est croissante sur $$[a;b]$$ et $x\in[a;b]$ , alors

f(a)\leq f(x)\leq f(b).

Si $$f$$ est décroissante, les bornes sont inversées :

f(b)\leq f(x)\leq f(a).

Approcher un extremum avec Python

Le balayage

On évalue la fonction sur une grille régulière et on conserve la meilleure valeur rencontrée.

def f(x):
    return -(x - 1.73)**2 + 5.2

meilleur_x = 0
meilleur_y = f(0)

for k in range(51):
    x = k/10
    if f(x) > meilleur_y:
        meilleur_x = x
        meilleur_y = f(x)

print(meilleur_x, meilleur_y)

Avec un pas de $$0{,}1$$ , le programme affiche $$1{,}7$$ et $$5{,}1991$$ . Le maximum exact vaut $$5{,}2$$ en $$x=1{,}73$$ .

Précision et coût

Sur un intervalle de longueur $$L$$ , un pas $$h$$ demande environ $$L/h$$ évaluations. Diviser le pas par $$10$$ donne environ dix fois plus de calculs. Il faut annoncer le pas utilisé et distinguer valeur exacte et valeur approchée.

Pour aller plus loin - guidé et facultatif

Cette partie dépasse le socle strict de la fiche, mais elle ne cache aucun prérequis. Elle prolonge la notion de composition rencontrée dans la fiche 06.

Composer deux fonctions monotones

Théorème · Règle des deux sens

Supposons que $$f$$ soit monotone sur $$I$$ et que $$g$$ soit monotone sur les valeurs produites par $$f$$ .

	$$g$$ croissante	$$g$$ décroissante
$$f$$ croissante	$g\circ f$ croissante	$g\circ f$ décroissante
$$f$$ décroissante	$g\circ f$ décroissante	$g\circ f$ croissante

Deux inversions de l'ordre se compensent.

Mesurer la perte près d'un optimum

Si

F(x)=M-a(x-\alpha)^2 \qquad(a>0),

alors

M-F(x)=a(x-\alpha)^2.

La perte par rapport au maximum dépend du carré de l'erreur sur $$x$$ . Une petite imprécision autour de $\alpha$ peut donc avoir un effet très limité.

Boîte à outils et erreurs à éviter

Exercices

Pour chaque exercice, justifie les comparaisons et précise les intervalles. Les étoiles indiquent une progression : elles ne ferment la porte à personne.

Exercice 1 ★☆☆ : Le vocabulaire

Indique si chaque affirmation est vraie ou fausse, puis corrige les affirmations fausses.

Une fonction croissante est toujours positive.
Si $$f$$ est décroissante et $$2<5$$ , alors $f(2)\geq f(5)$ .
Le maximum d'une fonction est une abscisse.
Une fonction peut être croissante sur un intervalle et décroissante sur un autre.

Exercice 2 ★☆☆ : Lire un tableau

On donne :

\begin{array}{c|ccccccc} x&-3&&0&&2&&6\\ \hline f(x)&1&\nearrow&5&\searrow&-2&\nearrow&4 \end{array}

Donne les intervalles de croissance et de décroissance.
Donne le maximum et le minimum sur $$[-3;6]$$ .
Compare $$f(1)$$ et $$f(2)$$ , puis $$f(3)$$ et $$f(5)$$ .
Encadre $$f(x)$$ lorsque $x\in[0;2]$ .

Exercice 3 ★☆☆ : Comparer des images

Sans calculatrice, compare :

\text{a) }(-5)^2\ \text{et}\ (-3)^2,\qquad \text{b) }\sqrt7\ \text{et}\ \sqrt{11},

\text{c) }\frac1{-6}\ \text{et}\ \frac1{-2},\qquad \text{d) }(-4)^3\ \text{et}\ 2^3.

Pour chaque comparaison, nomme l'intervalle de monotonie utilisé.

Exercice 4 ★☆☆ : De la courbe au tableau

La courbe polygonale passe par

A(-3;-1),\quad B(-1;2),\quad C(2;-2),\quad D(4;1)

et relie ces points dans cet ordre.

Trace un repère et la courbe.
Construis le tableau de variations.
Donne les extremums sur $$[-3;4]$$ .
Donne les extremums sur $$[0;4]$$ .

Exercice 5 ★☆☆ : Une fonction affine

Soit $$f(x)=7-2x$$ .

Calcule son taux d'accroissement entre $$1$$ et $$4$$ .
Démontre que $$f$$ est strictement décroissante sur $\R$ .
Encadre $$f(x)$$ si $x\in[-2;3]$ .
Détermine le maximum et le minimum de $$f$$ sur $$[-2;3]$$ .

Exercice 6 ★★☆ : Une forme centrée

On pose $$g(x)=3(x-2)^2-5$$ .

Détermine son minimum sur $\R$ .
Compare $$g(3)$$ et $$g(5)$$ en utilisant la fonction carré.
Donne les variations de $$g$$ .
Résous $g(x)\leq7$ .

Exercice 7 ★★☆ : Transformer les variations

On sait que $$f$$ est croissante sur $$[-1;4]$$ . Donne, en justifiant, les variations sur cet intervalle de

\begin{aligned}u(x) &=f(x)+3,\\v(x) &=5f(x),\\w(x) &=-2f(x),\\z(x) &=7-f(x).\end{aligned}

Exercice 8 ★★☆ : Un extremum selon l'intervalle

Soit $$h(x)=9-(x+1)^2$$ .

Donne son maximum sur $\R$ .
Donne ses variations sur $\R$ .
Détermine ses extremums sur $$[-4;0]$$ .
Détermine ses extremums sur $$[1;5]$$ .

Exercice 9 ★★☆ : Encadrer une image

Si $x\in[2;5]$ , encadre $$x^2$$ , $\sqrt{x}$ et $$1/x$$ .
Si $x\in[-5;-2]$ , encadre $$x^2$$ et $$1/x$$ .
Explique pourquoi le sens de variation de $$1/x$$ sur chaque intervalle est indispensable.

Exercice 10 ★★☆ : Aire sous contrainte

Un rectangle a un périmètre de $$60$$ cm. Un côté mesure $$x$$ cm.

Donne le domaine de $$x$$ et exprime l'aire $$A(x)$$ .
Montre que $$A(x)=225-(x-15)^2$$ .
Détermine l'aire maximale et les dimensions correspondantes.
Résous $A(x)\geq200$ .

Exercice 11 ★★☆ : Exploiter un tableau

Une fonction $$p$$ est décroissante de $$6$$ à $$-1$$ sur $$[-2;1]$$ , puis croissante de $$-1$$ à $$5$$ sur $$[1;4]$$ .

Construis son tableau de variations.
Combien l'équation $$p(x)=-1$$ possède-t-elle de solutions indiquées par le tableau ?
Pour quelles valeurs de $$k$$ la droite $$y=k$$ peut-elle couper les deux branches ?
Encadre $$p(x)$$ sur $$[-2;4]$$ .

Exercice 12 ★★☆ : Balayage Python

On veut approcher le maximum de

f(x)=4-(x-2{,}37)^2

sur $$[0;5]$$ .

Complète un programme de balayage avec un pas de $$0{,}1$$ .
Quelle abscisse sera retenue ? Donne la valeur correspondante.
Quel est le maximum exact ?
Explique la différence entre les réponses aux questions 2 et 3.

Exercice 13 ★★★ : Prouver une variation par factorisation

Soit $$f(x)=x^2-4x+7$$ .

Montre que $$f(x)=(x-2)^2+3$$ .
Pour $2\leq a<b$ , factorise $$f(b)-f(a)$$ et prouve que $$f$$ est croissante sur $[2;+\infty[$ .
Pour $a<b\leq2$ , prouve que $$f$$ est décroissante sur $]-\infty;2]$ .
Donne le minimum de $$f$$ .

Exercice 14 ★★★ : Composer - pour aller plus loin

Sur $[0;+\infty[$ , pose

F(x)=\frac1{x^2+4}.

Décompose $$F$$ comme une succession de fonctions simples.
Démontre que $$F$$ est décroissante sur $[0;+\infty[$ .
Encadre $$F(x)$$ si $x\in[1;3]$ .
Résous $F(x)\geq1/8$ sur $[0;+\infty[$ .

Exercice 15 ★★★ : Une fonction à quatre phases

On définit sur $\R$

F(x)=5-\bigl(|x-2|-1\bigr)^2.

Calcule $$F(1)$$ , $$F(2)$$ et $$F(3)$$ .
Étudie successivement $$F$$ sur
$]-\infty;1],\quad[1;2],\quad[2;3],\quad[3;+\infty[.$
Construis le tableau de variations complet.
Donne le maximum de $$F$$ sur $\R$ .
Donne le minimum et le maximum de $$F$$ sur $$[0;4]$$ .

Problème : Le jardin au bord de la rivière ★★★

On note $$x$$ la largeur, en mètres, perpendiculaire à la rivière, et $$L$$ la longueur parallèle à la rivière.

Partie A - Le jardin sans allée

Explique pourquoi $$2x+L=80$$ et exprime $$L$$ en fonction de $$x$$ .
Détermine le domaine physique de $$x$$ .
Montre que l'aire totale est
$\[A(x)=x(80-2x).\]$
Vérifie l'identité
$\[A(x)=800-2(x-20)^2.\]$
Déduis l'aire maximale et les dimensions du jardin correspondant.

Partie B - Ajouter une allée intérieure

Une allée de sécurité de $$2$$ m de large longe les quatre côtés à l'intérieur du rectangle. La zone cultivable restante est donc un rectangle de dimensions $$x-4$$ et $$L-4$$ .

Justifie que le nouveau domaine est $x\in[4;38]$ .
Montre que l'aire cultivable vaut
$\[U(x)=(x-4)(76-2x).\]$
Développe $$U(x)$$ , puis montre que
$\[U(x)=578-2(x-21)^2.\]$
Détermine l'aire cultivable maximale et les dimensions extérieures correspondantes.
Compare ces dimensions avec celles qui maximisaient l'aire totale sans allée.

Partie C - Une surface minimale exigée

L'association souhaite au moins $$550$$ m $$^2$$ de zone cultivable.

Montre que $U(x)\geq550$ équivaut à
$(x-21)^2\leq14.$
Donne l'intervalle exact des largeurs possibles.
Donne l'intervalle correspondant pour la longueur $$L$$ .
Fournis des valeurs approchées au centimètre près.

Partie D - Robustesse de la construction

On vise la largeur optimale $$21$$ m, mais la réalisation peut produire une erreur $$t$$ :

\[x=21+t.\]

Montre que
$\[U(21+t)=578-2t^2.\]$
Si $|t|\leq0{,}5$ , prouve que l'aire cultivable reste au moins égale à $$577{,}5$$ m $$^2$$ .
Interprète : pourquoi dit-on que l'optimum est robuste à une petite erreur ?

Partie E - Vérification numérique

def utile(x):
    return (x - 4)*(76 - 2*x)

meilleur_x = 4
meilleure_aire = utile(4)

for k in range(341):
    x = 4 + k/10
    if utile(x) > meilleure_aire:
        meilleur_x = x
        meilleure_aire = utile(x)

print(meilleur_x, meilleure_aire)

Explique pourquoi la boucle teste exactement les largeurs de $$4$$ à $$38$$ par pas de $$0{,}1$$ .
Prévois l'affichage du programme.
Compare la force de la vérification numérique et celle de l'identité démontrée à la question 8.

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Corrigé 2

Corrigé 3

Corrigé 4

Démonstration · Du graphique au tableau

La ligne brisée monte de $$A(-3;-1)$$ à $$B(-1;2)$$ , descend jusqu'à $$C(2;-2)$$ , puis remonte jusqu'à $$D(4;1)$$ . Son tableau de variations est donc :

\begin{array}{c|ccccccc} x&-3&&-1&&2&&4\\ \hline f(x)&-1&\nearrow&2&\searrow&-2&\nearrow&1 \end{array}

Sur $$[-3;4]$$ , le maximum est $$2$$ , atteint en $$-1$$ , et le minimum est $$-2$$ , atteint en $$2$$ .

Pour étudier $$[0;4]$$ , il faut aussi connaître la valeur au bord $$x=0$$ . Entre $$B$$ et $$C$$ , la pente vaut

\frac{-2-2}{2-(-1)}=-\frac43,

donc $f(0)=2-\frac43=\frac23$ . Sur $$[0;2]$$ , la fonction décroît de $\frac23$ à $$-2$$ , puis elle croît de $$-2$$ à $$1$$ sur $$[2;4]$$ . Ainsi, sur $$[0;4]$$ :

\boxed{\max f=1\text{ en }x=4} \qquad\text{et}\qquad \boxed{\min f=-2\text{ en }x=2}.

Corrigé 5

Corrigé 6

Corrigé 7

Corrigé 8

Corrigé 9

Corrigé 10

Corrigé 11

Démonstration · Variations et nombre de solutions

Le tableau montre que $$p$$ décroît de $$6$$ à $$-1$$ sur $$[-2;1]$$ , puis croît de $$-1$$ à $$5$$ sur $$[1;4]$$ .

La valeur $$-1$$ est atteinte au point de raccordement $$x=1$$ et nulle part ailleurs d'après les variations strictes indiquées. L'équation

\[p(x)=-1\]

admet donc exactement une solution : $$x=1$$ .

Une droite horizontale $$y=k$$ peut rencontrer chacune des deux branches lorsque $$k$$ appartient aux deux ensembles de valeurs, donc lorsque

k\in[-1;5].

Pour $-1<k\leq5$ , elle rencontre effectivement une fois chaque branche. Pour $$k=-1$$ , les deux branches se rejoignent au même point : il n'y a qu'une seule intersection.

Sur $$[-2;4]$$ , toutes les valeurs de $$p$$ sont comprises entre le minimum $$-1$$ et le maximum $$6$$ :

\boxed{-1\leq p(x)\leq6}.

Corrigé 12

Démonstration · Approcher sans confondre avec démontrer

Voici un programme possible :

def f(x):
    return 4 - (x - 2.37)**2

meilleur_x = 0
meilleure_valeur = f(0)

for k in range(51):
    x = k/10
    if f(x) > meilleure_valeur:
        meilleur_x = x
        meilleure_valeur = f(x)

print(meilleur_x, meilleure_valeur)

Les valeurs testées sont $$0$$ , $$0{,}1$$ , $$0{,}2$$ , …, $$5$$ . La plus proche de $$2{,}37$$ est $$2{,}4$$ : sa distance au centre est $$0{,}03$$ , contre $$0{,}07$$ pour $$2{,}3$$ . Le programme affiche donc approximativement

\boxed{2{,}4\quad 3{,}9991}.

En effet,

f(2{,}4)=4-0{,}03^2=3{,}9991.

Mais la forme $4-(x-2{,}37)^2$ démontre davantage : le maximum exact vaut $$4$$ et il est atteint exactement pour $$x=2{,}37$$ . Le programme ne donne qu'une approximation dépendant du pas choisi.

Corrigé 13

Corrigé 14

Corrigé 15

Démonstration · Une fonction à quatre phases

On étudie

\[F(x)=5-(|x-2|-1)^2.\]

Les trois valeurs centrales sont

F(1)=5, \qquad F(2)=4, \qquad F(3)=5.

Pour comprendre les variations, on suit successivement la distance $$|x-2|$$ , puis la distance de celle-ci à $$1$$ .

Sur $]-\infty;1]$ , $$F$$ est croissante.
Sur $$[1;2]$$ , $$F$$ est décroissante.
Sur $$[2;3]$$ , $$F$$ est croissante.
Sur $[3;+\infty[$ , $$F$$ est décroissante.

On peut résumer sans attribuer de « valeur en l'infini » :

\begin{array}{c|ccccccccc} x&\cdots&&1&&2&&3&&\cdots\\ \hline F(x)&&\nearrow&5&\searrow&4&\nearrow&5&\searrow& \end{array}

Le maximum sur $\R$ vaut $$5$$ et il est atteint pour $$x=1$$ et $$x=3$$ . La fonction n'a pas de minimum sur $\R$ : en choisissant $$|x-2|$$ de plus en plus grand, $$(|x-2|-1)^2$$ devient aussi grand que l'on veut et $$F(x)$$ devient aussi négatif que l'on veut.

Sur $$[0;4]$$ , on ajoute

F(0)=4 \qquad\text{et}\qquad F(4)=4.

Ainsi, le maximum vaut $$5$$ , atteint en $$1$$ et en $$3$$ , tandis que le minimum vaut $$4$$ , atteint en $$0$$ , en $$2$$ et en $$4$$ .

Corrigé du problème

Partie A - Sans allée

Partie B - Ajouter une allée intérieure

Démonstration · Optimiser l'aire réellement cultivable

L'allée retire $$2$$ m sur chacun des deux côtés de chaque dimension. Il faut donc $x-4\geq0$ et $L-4\geq0$ . Or
$L-4=76-2x\geq0\ssi x\leq38.$
D'où le nouveau domaine
$\boxed{x\in[4;38]}.$
Les dimensions cultivables sont $$x-4$$ et
$\[L-4=(80-2x)-4=76-2x.\]$
Ainsi,
$\boxed{U(x)=(x-4)(76-2x)}.$
Développons, puis complétons le carré :
$\begin{aligned} U(x) &=-2x^2+84x-304\\ &=-2(x^2-42x)-304\\ &=-2\bigl[(x-21)^2-441\bigr]-304\\ &=\boxed{578-2(x-21)^2}. \end{aligned}$
Comme $(x-21)^2\geq0$ , on a $U(x)\leq578$ , avec égalité pour $$x=21$$ . La longueur extérieure vaut alors
$L=80-2\times21=38.$
L'aire cultivable maximale est
$\boxed{578\ \text{m}^2}$
pour des dimensions extérieures $$21$$ m par $$38$$ m.
Sans allée, les dimensions optimales étaient $$20$$ m par $$40$$ m. Avec l'allée, elles deviennent $$21$$ m par $$38$$ m. L'allée ne retire pas la même proportion aux deux dimensions : il faut donc refaire l'optimisation, et pas simplement reprendre l'ancien rectangle optimal.

Partie C - Une surface minimale exigée

Démonstration · Transformer une contrainte d'aire en intervalle

À partir de la forme centrée,
$\begin{aligned} U(x)\geq550 &\ssi 578-2(x-21)^2\geq550\\ &\ssi -2(x-21)^2\geq-28\\ &\ssi (x-21)^2\leq14. \end{aligned}$
Dans la dernière étape, on divise par $$-2$$ : il faut donc inverser le sens de l'inégalité.
La condition $(x-21)^2\leq14$ signifie
$|x-21|\leq\sqrt{14}.$
Ainsi,
$\boxed{x\in[21-\sqrt{14}\,;\,21+\sqrt{14}]}.$
Cet intervalle est bien inclus dans $$[4;38]$$ .
Comme $$L=80-2x$$ , l'ordre des bornes s'inverse lorsque $$x$$ augmente. On obtient
$\boxed{L\in[38-2\sqrt{14}\,;\,38+2\sqrt{14}]}.$
Avec $\sqrt{14}\approx3{,}741657$ ,
$x\in[17{,}258\ldots;24{,}741\ldots]$
et
$L\in[30{,}516\ldots;45{,}483\ldots].$
Au centimètre près, on peut écrire
$\begin{aligned}&\boxed{x\in[17{,}26;24{,}74]\ \text{m}}\\&\text{et}\quad \boxed{L\in[30{,}52;45{,}48]\ \text{m}}.\end{aligned}$

Partie D - Robustesse de la construction

Partie E - Vérification numérique

Fiche-mémoire

Tu sais maintenant lire, démontrer et optimiser.

La difficulté n'est pas un verdict : c'est une étape que l'on peut détailler.

Maîtrise du chapitre

Validation contrôlée

Réponds aux QCM, sélectionne les bonnes propositions ou remets les étapes dans l'ordre. Le site vérifie chaque réponse avant d'ouvrir la balise suivante.

Fonction	Domaine et variations	Extremum
$\(x^2\)$	décroît sur $]-\infty;0]$ , croît sur $[0;+\infty[$	minimum $\(0\)$ en $\(0\)$
$\(\|x\|\)$	décroît sur $]-\infty;0]$ , croît sur $[0;+\infty[$	minimum $\(0\)$ en $\(0\)$
$\(1/x\)$	décroît sur $]-\infty;0[$ et sur $]0;+\infty[$	aucun sur son domaine entier
$\sqrt{x}$	croît sur $[0;+\infty[$	minimum $\(0\)$ en $\(0\)$
$\(x^3\)$	croît sur $\R$	aucun sur $\R$

	$\(g\)$ croissante	$\(g\)$ décroissante
$\(f\)$ croissante	$g\circ f$ croissante	$g\circ f$ décroissante
$\(f\)$ décroissante	$g\circ f$ décroissante	$g\circ f$ croissante

Pourquoi étudier les variations ?

Une valeur ne raconte pas toute l'histoire

Trois usages essentiels

Croissance et décroissance

Définitions rigoureuses

Le signe d'une différence

Courbe et tableau de variations

Lire la courbe de gauche à droite

Construire un tableau de variations

Exploiter un tableau

Maximum et minimum

Définitions

L'intervalle change la réponse

Variations d'une fonction affine

Le coefficient directeur mesure un changement

Variations des fonctions de référence

Les tableaux à connaître

Démonstration pour le carré

Démonstration pour l'inverse

Démonstrations pour la racine et le cube

Démontrer avec l'algèbre

La forme centrée d'un carré

Transformer sans changer ou en inversant les variations

Somme de fonctions croissantes

Résoudre un problème d'optimisation

Le protocole complet

Exemple : un rectangle de périmètre fixé

Exploiter les variations

Comparer des images

Nombre de solutions de \(f(x)=k\)

Encadrer sans calculer exactement

Approcher un extremum avec Python

Le balayage

Précision et coût

Pour aller plus loin - guidé et facultatif

Composer deux fonctions monotones

Mesurer la perte près d'un optimum

Boîte à outils et erreurs à éviter

Exercices

Exercice 1 ★☆☆ : Le vocabulaire

Exercice 2 ★☆☆ : Lire un tableau

Exercice 3 ★☆☆ : Comparer des images

Exercice 4 ★☆☆ : De la courbe au tableau

Exercice 5 ★☆☆ : Une fonction affine

Exercice 6 ★★☆ : Une forme centrée

Exercice 7 ★★☆ : Transformer les variations

Exercice 8 ★★☆ : Un extremum selon l'intervalle

Exercice 9 ★★☆ : Encadrer une image

Exercice 10 ★★☆ : Aire sous contrainte

Exercice 11 ★★☆ : Exploiter un tableau

Exercice 12 ★★☆ : Balayage Python

Exercice 13 ★★★ : Prouver une variation par factorisation

Exercice 14 ★★★ : Composer - pour aller plus loin

Exercice 15 ★★★ : Une fonction à quatre phases

Problème : Le jardin au bord de la rivière ★★★

Partie A - Le jardin sans allée

Partie B - Ajouter une allée intérieure

Partie C - Une surface minimale exigée

Partie D - Robustesse de la construction

Partie E - Vérification numérique

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Corrigé 2

Corrigé 3

Corrigé 4

Corrigé 5

Corrigé 6

Corrigé 7

Corrigé 8

Corrigé 9

Corrigé 10

Corrigé 11

Corrigé 12

Corrigé 13

Corrigé 14

Corrigé 15

Corrigé du problème

Partie A - Sans allée

Partie B - Ajouter une allée intérieure

Partie C - Une surface minimale exigée

Nombre de solutions de $\(f(x)=k\)$