Fonctions trigonométriques

Pourquoi étudier les fonctions trigonométriques ?

Le problème fondamental

Comment décrire un mouvement périodique ? Une oscillation, une vibration, une onde ? Les fonctions polynômes et exponentielles ne suffisent pas : elles ne reviennent jamais à leur point de départ. Il faut des fonctions qui se répètent indéfiniment : c'est le rôle de \(\cos\) et \(\sin\).

En physique : le mouvement d'un pendule s'écrit \(\theta(t)=\theta_0\cos(\omega t+\varphi)\). La position d'une masse sur un ressort : \(x(t)=A\cos(\omega t)\).

En électricité : le courant domestique est \(i(t)=I_0\sin(2\pi\times 50\times t)\) à \(50\) Hz en France.

En traitement du signal : toute fonction périodique se décompose en somme de sinus et cosinus (série de Fourier). C'est le fondement du MP3, du JPEG, de la compression audio et vidéo.

L'idée directrice

L'idée avant la formule

Le cercle trigonométrique

Radian vs degré

Les valeurs remarquables

Périodicité et symétries

Le cours formel

Définitions et relation fondamentale

Périodicité et parité

Formules de symétrie sur le cercle

Formules d'addition

Dérivées de \(\cos\) et \(\sin\)

Dérivées de \(\cos u\) et \(\sin u\)

Étude complète de \(\cos\) et \(\sin\) sur \([0,2\pi]\)

La fonction tangente

Équations trigonométriques

Limites de référence

Primitives des fonctions trigonométriques

Boîte à outils : Réflexes pour le bac

Exercices

Exercice 1 ★☆☆ : Valeurs exactes

Calculer les valeurs exactes :

1. \(\cos\frac{5\pi}{3}\)
2. \(\sin\frac{7\pi}{6}\)
3. \(\cos\frac{3\pi}{4}\)
4. \(\sin(-\frac{5\pi}{4})\)
5. \(\tan\frac{2\pi}{3}\)
6. \(\cos\frac{13\pi}{6}\)

Exercice 2 ★☆☆ : Vérification de formules

1. Vérifier que \(\cos^2\frac\pi3+\sin^2\frac\pi3=1\).

2. Vérifier la formule \(\sin 2x=2\sin x\cos x\) pour \(x=\frac\pi6\).

3. Montrer que \(\cos\frac\pi{12}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\) en utilisant \(\frac\pi{12}=\frac\pi3-\frac\pi4\).

Exercice 3 ★☆☆ : Équations trigonométriques élémentaires

Résoudre sur \([0,2\pi[\) :

1. \(\cos x=0\)
2. \(\sin x=\frac{1}{2}\)
3. \(\cos x=-\frac{\sqrt{3}}{2}\)
4. \(\tan x=1\)

Exercice 4 ★☆☆ : Simplifications avec formules

Simplifier :

1. \(\cos^2 3x+\sin^2 3x\)
2. \(2\cos^2 x-1\)
3. \(\sin x\cos x\)
4. \(1-2\sin^2\frac{x}{2}\)
5. \(\cos^4 x-\sin^4 x\)

Exercice 5 ★★☆ : Équations avec changement de variable

Résoudre sur \(]-\pi,\pi]\) :

1. \(2\cos^2 x+\cos x-1=0\)
2. \(2\sin^2 x-3\sin x+1=0\)
3. \(\cos 2x=\cos x\)
4. \(\sin 2x=\cos x\)

Exercice 6 ★★☆ : Dérivées

Calculer la dérivée et préciser le domaine :

1. \(f(x)=\sin(3x+\frac\pi4)\)
2. \(g(x)=\cos^2 x-\sin^2 x\)
3. \(h(x)=x\sin x\)

4. \(k(x)=\frac{\sin x}{1+\cos x}\) (\(\cos x\neq -1\))

5. \(\ell(x)=\e^x\cos x\)

Exercice 7 ★★☆ : Limites

Calculer :

1. \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin 5x}{3x}\)
2. \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\tan x}{x}\)
3. \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}\)
4. \(\displaystyle\lim_{x\to\pi}\frac{\sin x}{x-\pi}\)
5. \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin x-\sin 2x}{x}\)

Exercice 8 ★★☆ : Étude de \(f(x)=\sin x+\cos x\)

1. Montrer que \(f(x)=\sqrt{2}\cos(x-\frac\pi4)\).

2. En déduire la période, l'amplitude, les zéros et les extremums de \(f\).

3. Dresser le tableau de variations sur \([0,2\pi]\).

4. Calculer \(\displaystyle\int_0^{\pi/2}(\sin x+\cos x)\,\mathrm{d}x\).

Exercice 9 ★★☆ : Étude de \(f(x)=\cos^2 x\)

1. Écrire \(f(x)\) sous forme linéarisée.

2. En déduire la période de \(f\) et ses variations sur \([0,\pi]\).

3. Calculer \(\displaystyle\int_0^{\pi}\cos^2 x\,\mathrm{d}x\).

Exercice 10 ★★☆ : Primitives et intégrales

Calculer :

1. \(\displaystyle\int_0^{\pi/2}\sin x\,\mathrm{d}x\)
2. \(\displaystyle\int_0^{\pi}\cos 2x\,\mathrm{d}x\)
3. \(\displaystyle\int_0^{\pi/4}\frac{1}{\cos^2 x}\,\mathrm{d}x\)
4. \(\displaystyle\int_0^{\pi/2}\sin^2 x\,\mathrm{d}x\)

5. \(\displaystyle\int_0^{\pi}x\sin x\,\mathrm{d}x\) (intégration par parties)

Exercice 11 ★★☆ : Démonstrations de cours

1. Démontrer que \((\sin x)'=\cos x\) en utilisant le taux d'accroissement.

2. Démontrer les formules de l'angle double à partir des formules d'addition.

3. Démontrer que \(\cos(a-b)-\cos(a+b)=2\sin a\sin b\).

Exercice 12 ★★☆ : Inégalité fondamentale

1. Démontrer que pour tout \(x\geqslant 0\) : \(\sin x\leqslant x\).

2. Démontrer que pour tout \(x\geqslant 0\) : \(\cos x\geqslant 1-\frac{x^2}{2}\).

3. En déduire un encadrement de \(\sin 0{,}1\) sans calculatrice.

Exercice 13 ★★★ : Équation trigonométrique avancée

Résoudre sur \(\R\) : \(\cos x+\cos 2x+\cos 3x=0\).

Indication : remarquer que \(\cos x+\cos 3x=2\cos 2x\cos x\).

Exercice 14 ★★★ : Étude complète de \(f(x)=\frac{\sin x}{x}\) (sinus cardinal)

1. Montrer que \(f\) est prolongeable par continuité en \(0\). Préciser la valeur.

2. Montrer que \(f\) est paire.

3. Étudier les limites en \(\pm\infty\).

4. Montrer que \(f'(x)=\frac{x\cos x-\sin x}{x^2}\) pour \(x\neq 0\).

5. Montrer que \(f\) a une infinité d'extremums locaux.

Problème : Polynômes de Tchebychev et approximation trigonométrique ★★★

On définit, pour \(n\in\N\) et \(\theta\in\R\) : \(T_n(\cos\theta)=\cos(n\theta)\).

Partie A : Construction des polynômes

1. Calculer \(T_0(x)\), \(T_1(x)\), \(T_2(x)\) en exprimant \(\cos(0\cdot\theta)\), \(\cos\theta\) et \(\cos(2\theta)\) en fonction de \(\cos\theta\).

2. En utilisant \(\cos((n+1)\theta)=2\cos\theta\cos(n\theta)-\cos((n-1)\theta)\) (formule à démontrer), établir la relation de récurrence :

   \[T_{n+1}(x)=2xT_n(x)-T_{n-1}(x)\]

3. Calculer \(T_3(x)\) et \(T_4(x)\).

4. Montrer que \(T_n\) est un polynôme de degré \(n\) dont le coefficient dominant est \(2^{n-1}\) pour \(n\geqslant 1\).

Partie B : Propriétés remarquables

1. Montrer que les zéros de \(T_n\) dans \([-1,1]\) sont \(x_k=\cos\frac{(2k-1)\pi}{2n}\) pour \(k=1,\ldots,n\).

2. Montrer que \(T_n\) atteint alternativement les valeurs \(+1\) et \(-1\) en \(n+1\) points de \([-1,1]\) (extremums aux points \(y_j=\cos\frac{j\pi}{n}\) pour \(j=0,\ldots,n\)).

3. En déduire que pour tout \(x\in[-1,1]\) : \(|T_n(x)|\leqslant 1\).

Partie C : Application : meilleure approximation polynomiale

1. Montrer que \(\cos 3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta\), puis en déduire que \(\cos\theta\approx\theta\) pour \(\theta\) petit est amélioré par \(\cos\theta\approx 1-\frac{\theta^2}{2}\).

2. (Bonus) On veut approcher \(f(x)=\cos(\pi x)\) sur \([-1,1]\) par un polynôme de degré 2. Montrer que le polynôme de meilleure approximation uniforme est lié à \(T_3\).

3. (Bonus) Montrer que la relation \(T_m(T_n(x))=T_{mn}(x)\) (composition des polynômes de Tchebychev).

Corrigés détaillés

Exercice 1

a) \(\cos\frac{5\pi}{3}=\cos(2\pi-\frac\pi3)=\cos\frac\pi3=\frac{1}{2}\).

b) \(\sin\frac{7\pi}{6}=\sin(\pi+\frac\pi6)=-\sin\frac\pi6=-\frac{1}{2}\).

c) \(\cos\frac{3\pi}{4}=\cos(\pi-\frac\pi4)=-\cos\frac\pi4=-\frac{\sqrt{2}}{2}\).

d) \(\sin(-\frac{5\pi}{4})=-\sin\frac{5\pi}{4}=-\sin(\pi+\frac\pi4)=-(-\sin\frac\pi4)=\frac{\sqrt{2}}{2}\).

e) \(\tan\frac{2\pi}{3}=\frac{\sin\frac{2\pi}{3}}{\cos\frac{2\pi}{3}}=\frac{\sin(\pi-\frac\pi3)}{\cos(\pi-\frac\pi3)}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{-\frac{1}{2}}=-\sqrt{3}\).

f) \(\cos\frac{13\pi}{6}=\cos(\frac{13\pi}{6}-2\pi)=\cos\frac\pi6=\frac{\sqrt{3}}{2}\).

Exercice 2

a) \(\cos^2\frac\pi3+\sin^2\frac\pi3=(\frac{1}{2})^2+(\frac{\sqrt{3}}{2})^2=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=1\).

b) \(\sin\frac\pi3=2\sin\frac\pi6\cos\frac\pi6=2\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\). Vérifie bien : \(\sin\frac\pi3=\frac{\sqrt{3}}{2}\).

c) \(\cos\frac\pi{12}=\cos(\frac\pi3-\frac\pi4)=\cos\frac\pi3\cos\frac\pi4+\sin\frac\pi3\sin\frac\pi4=\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}\).

Exercice 3

a) \(\cos x=0\iff x=\frac\pi2+k\pi\). Sur \([0,2\pi[\) : \(x=\frac\pi2\) ou \(x=\frac{3\pi}{2}\).

b) \(\sin x=\frac{1}{2}\). \(\sin\frac\pi6=\frac{1}{2}\). \(x=\frac\pi6+2k\pi\) ou \(x=\pi-\frac\pi6+2k\pi=\frac{5\pi}{6}+2k\pi\). Sur \([0,2\pi[\) : \(x=\frac\pi6\) ou \(x=\frac{5\pi}{6}\).

c) \(\cos x=-\frac{\sqrt{3}}{2}\). \(\cos\frac{5\pi}{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}\). \(x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi\) ou \(x=-\frac{5\pi}{6}+2k\pi\). Sur \([0,2\pi[\) : \(x=\frac{5\pi}{6}\) ou \(x=\frac{7\pi}{6}\).

d) \(\tan x=1\). \(\tan\frac\pi4=1\). \(x=\frac\pi4+k\pi\). Sur \([0,2\pi[\) : \(x=\frac\pi4\) ou \(x=\frac{5\pi}{4}\).

Exercice 4

a) \(\cos^2 3x+\sin^2 3x=1\) (relation fondamentale avec \(u=3x\)).

b) \(2\cos^2 x-1=\cos 2x\) (formule de l'angle double).

c) \(\sin x\cos x=\frac{1}{2}\sin 2x\) (formule \(\sin 2x=2\sin x\cos x\)).

d) \(1-2\sin^2\frac{x}{2}=\cos(2\cdot\frac{x}{2})=\cos x\) (formule \(\cos 2a=1-2\sin^2 a\)).

e) \(\cos^4 x-\sin^4 x=(\cos^2 x-\sin^2 x)(\cos^2 x+\sin^2 x)=\cos 2x\cdot 1=\cos 2x\).

Exercice 5

a) \(2\cos^2 x+\cos x-1=0\). Posons \(X=\cos x\). \(2X^2+X-1=0\), \((2X-1)(X+1)=0\), \(X=\frac{1}{2}\) ou \(X=-1\).

\(\cos x=\frac{1}{2}\) : \(x=\pm\frac\pi3+2k\pi\). Sur \(]-\pi,\pi]\) : \(x=\frac\pi3\) ou \(x=-\frac\pi3\).

\(\cos x=-1\) : \(x=\pi+2k\pi\). Sur \(]-\pi,\pi]\) : \(x=\pi\).

Solutions : \(\{-\frac\pi3,\frac\pi3,\pi\}\).

b) \(2\sin^2 x-3\sin x+1=0\). \(Y=\sin x\). \(2Y^2-3Y+1=0\), \((2Y-1)(Y-1)=0\), \(Y=\frac{1}{2}\) ou \(Y=1\).

\(\sin x=\frac{1}{2}\) : \(x=\frac\pi6,\frac{5\pi}{6}\) sur \(]-\pi,\pi]\). \(\sin x=1\) : \(x=\frac\pi2\).

Solutions : \(\{\frac\pi6,\frac\pi2,\frac{5\pi}{6}\}\).

c) \(\cos 2x=\cos x\iff 2x=x+2k\pi\) ou \(2x=-x+2k\pi\). Cas 1 : \(x=2k\pi\). Cas 2 : \(3x=2k\pi\), \(x=\frac{2k\pi}{3}\).

Sur \(]-\pi,\pi]\) : \(x=0\), \(x=\frac{2\pi}{3}\), \(x=-\frac{2\pi}{3}\).

d) \(\sin 2x=\cos x\iff 2\sin x\cos x-\cos x=0\iff\cos x(2\sin x-1)=0\).

\(\cos x=0\) : \(x=\pm\frac\pi2\). \(\sin x=\frac{1}{2}\) : \(x=\frac\pi6,\frac{5\pi}{6}\).

Sur \(]-\pi,\pi]\) : \(\{-\frac\pi2,\frac\pi6,\frac\pi2,\frac{5\pi}{6}\}\).

Exercice 6

a) \(f'(x)=3\cos(3x+\frac\pi4)\).

b) \(g(x)=\cos^2 x-\sin^2 x=\cos 2x\). Donc \(g'(x)=-2\sin 2x\).

Alternative directe : \(g'(x)=-2\sin x\cos x-2\sin x\cos x=-4\sin x\cos x=-2\sin 2x\).

c) \(h'(x)=\sin x+x\cos x\).

d) \(k'(x)=\frac{\cos x(1+\cos x)-\sin x(-\sin x)}{(1+\cos x)^2}=\frac{\cos x+\cos^2 x+\sin^2 x}{(1+\cos x)^2}=\frac{\cos x+1}{(1+\cos x)^2}=\frac{1}{1+\cos x}\).

e) \(\ell'(x)=\e^x\cos x+\e^x(-\sin x)=\e^x(\cos x-\sin x)\).

Exercice 7

a) \(\frac{\sin 5x}{3x}=\frac{5}{3}\cdot\frac{\sin 5x}{5x}\). Posons \(u=5x\to 0\) : \(\frac{\sin u}{u}\to 1\). Limite : \(\frac{5}{3}\).

b) \(\frac{\tan x}{x}=\frac{\sin x}{x}\cdot\frac{1}{\cos x}\to 1\cdot 1=1\).

c) \(\frac{1-\cos x}{x^2}=-\frac{\cos x-1}{x^2}\to-(-\frac{1}{2})=\frac{1}{2}\).

d) Posons \(h=x-\pi\to 0\). \(\frac{\sin x}{x-\pi}=\frac{\sin(\pi+h)}{h}=\frac{-\sin h}{h}\to -1\).

e) \(\frac{\sin x-\sin 2x}{x}=\frac{\sin x}{x}-\frac{\sin 2x}{x}=\frac{\sin x}{x}-2\cdot\frac{\sin 2x}{2x}\to 1-2\cdot 1=-1\).

Corrigé : Exercice 8

1. Transformation de l'expression : Pour tout réel \(x\), on peut factoriser par \(\sqrt{2}\) pour faire apparaître des valeurs remarquables : \(\sin x + \cos x = \sqrt{2} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x \right)\).

   En reconnaissant \(\cos \frac{\pi}{4}\) et \(\sin \frac{\pi}{4}\) et en appliquant la formule d'addition \(\cos(a-b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b\), on obtient : \(\sin x + \cos x = \sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} \cos x + \sin \frac{\pi}{4} \sin x \right) = \mathbf{\sqrt{2} \cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right)}\).

2. Caractéristiques géométriques :

   • Période : La fonction est périodique de période \(2\pi\).

   • Amplitude : L'amplitude de l'oscillation est \(\sqrt{2}\).

   • Zéros : \(\cos(x - \frac{\pi}{4}) = 0 \iff x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + k\pi \iff \mathbf{x = \frac{3\pi}{4} + k\pi}\).

   • Maximum : La valeur maximale \(\sqrt{2}\) est atteinte pour \(x - \frac{\pi}{4} = 2k\pi\), soit \(\mathbf{x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi}\)[cite: 548].

   • Minimum : La valeur minimale \(-\sqrt{2}\) est atteinte pour \(x - \frac{\pi}{4} = \pi + 2k\pi\), soit \(\mathbf{x = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi}\).

3. Étude de la dérivée : La dérivée de \(f\) est \(f'(x) = \cos x - \sin x\)[cite: 550]. Par une méthode de factorisation identique à la question précédente, on montre que : \(f'(x) = \mathbf{\sqrt{2} \cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right)}\).

   Les points à tangente horizontale vérifient \(f'(x) = 0\) : \(x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + k\pi \iff \mathbf{x = \frac{\pi}{4} + k\pi}\).

d) \(\int_0^{\pi/2}(\sin x+\cos x)\,\mathrm{d}x=[-\cos x+\sin x]_0^{\pi/2}=(-0+1)-(-1+0)=2\).

Exercice 9

a) \(\cos^2 x=\frac{1+\cos 2x}{2}\) (linéarisation).

b) Période de \(\cos^2 x\) : celle de \(\frac{1+\cos 2x}{2}\) est \(\frac{2\pi}{2}=\pi\).

\(f'(x)=-\sin 2x\). \(f'(x)=0\iff 2x=k\pi\iff x=\frac{k\pi}{2}\).

c) \(\int_0^\pi\cos^2 x\,\mathrm{d}x=\int_0^\pi\frac{1+\cos 2x}{2}\,\mathrm{d}x=\bigl[\frac{x}{2}+\frac{\sin 2x}{4}\bigr]_0^\pi=\frac\pi2+0-(0+0)=\frac\pi2\).

Exercice 10

a) \(\int_0^{\pi/2}\sin x\,\mathrm{d}x=[-\cos x]_0^{\pi/2}=-\cos\frac\pi2+\cos 0=0+1=1\).

b) \(\int_0^\pi\cos 2x\,\mathrm{d}x=[\frac{\sin 2x}{2}]_0^\pi=\frac{\sin 2\pi}{2}-\frac{\sin 0}{2}=0\).

c) \(\int_0^{\pi/4}\frac{1}{\cos^2 x}\,\mathrm{d}x=[\tan x]_0^{\pi/4}=\tan\frac\pi4-\tan 0=1\).

d) \(\int_0^{\pi/2}\sin^2 x\,\mathrm{d}x=\int_0^{\pi/2}\frac{1-\cos 2x}{2}\,\mathrm{d}x=[\frac{x}{2}-\frac{\sin 2x}{4}]_0^{\pi/2}=\frac\pi4-0=\frac\pi4\).

e) IPP : \(u=x\), \(v'=\sin x\), \(u'=1\), \(v=-\cos x\).

\(\int_0^\pi x\sin x\,\mathrm{d}x=[-x\cos x]_0^\pi+\int_0^\pi\cos x\,\mathrm{d}x=-\pi\cos\pi+0+[\sin x]_0^\pi=\pi+0=\pi\).

Exercice 11

a) \(\frac{\sin(x+h)-\sin x}{h}=\frac{\sin x\cos h+\cos x\sin h-\sin x}{h}=\sin x\cdot\frac{\cos h-1}{h}+\cos x\cdot\frac{\sin h}{h}\).

\(\frac{\cos h-1}{h}\to 0\) et \(\frac{\sin h}{h}\to 1\) quand \(h\to 0\). Donc \((\sin x)'=\cos x\).

b) \(\cos(a+a)=\cos^2 a-\sin^2 a=\cos 2a\). Variante : \(=2\cos^2 a-1\) (en remplaçant \(\sin^2 a=1-\cos^2 a\)). \(=1-2\sin^2 a\) (en remplaçant \(\cos^2 a=1-\sin^2 a\)).

\(\sin(a+a)=\sin a\cos a+\cos a\sin a=2\sin a\cos a=\sin 2a\).

c) \(\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b\) et \(\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b\). En soustrayant : \(\cos(a-b)-\cos(a+b)=2\sin a\sin b\).

Exercice 12

a) \(g(x)=x-\sin x\) pour \(x\geqslant 0\). \(g'(x)=1-\cos x\geqslant 0\) (car \(\cos x\leqslant 1\)). \(g(0)=0\) et \(g\) croissante : \(g(x)\geqslant 0\) pour \(x\geqslant 0\), i.e. \(\sin x\leqslant x\).

b) \(h(x)=\cos x-1+\frac{x^2}{2}\) pour \(x\geqslant 0\). \(h'(x)=-\sin x+x\). Par a), \(-\sin x+x\geqslant 0\) pour \(x\geqslant 0\), donc \(h'\geqslant 0\).

\(h(0)=0\) et \(h\) croissante : \(h(x)\geqslant 0\), i.e. \(\cos x\geqslant 1-\frac{x^2}{2}\).

c) Par a) avec \(x=0{,}1\) : \(\sin 0{,}1\leqslant 0{,}1\). On peut aussi montrer \(\sin x\geqslant x-\frac{x^3}{6}\) (même méthode en itérant) : \(\sin 0{,}1\geqslant 0{,}1-\frac{0{,}001}{6}\approx 0{,}09983\).

Encadrement : \(0{,}0998\leqslant\sin 0{,}1\leqslant 0{,}1\). (Valeur exacte : \(\sin 0{,}1\approx 0{,}09983\).)

Exercice 13

\(\cos x+\cos 3x=2\cos\frac{x+3x}{2}\cos\frac{3x-x}{2}=2\cos 2x\cos x\) (formule de factorisation).

L'équation devient \(2\cos 2x\cos x+\cos 2x=0\), soit \(\cos 2x(2\cos x+1)=0\).

Cas 1 : \(\cos 2x=0\iff 2x=\frac\pi2+k\pi\iff x=\frac\pi4+\frac{k\pi}{2}\).

Cas 2 : \(\cos x=-\frac{1}{2}\iff x=\pm\frac{2\pi}{3}+2k\pi\).

Solution générale : \(x\in\bigl\{\frac\pi4+\frac{k\pi}{2},\;\pm\frac{2\pi}{3}+2k\pi\;;\;k\in\Z\bigr\}\).

Exercice 14

\(f(x)=\frac{\sin x}{x}\) pour \(x\neq 0\).

a) \(\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1\). On prolonge \(f\) en posant \(f(0)=1\). La fonction prolongée est continue en 0.

b) \(f(-x)=\frac{\sin(-x)}{-x}=\frac{-\sin x}{-x}=\frac{\sin x}{x}=f(x)\) : \(f\) est paire.

c) \(|\frac{\sin x}{x}|\leqslant\frac{1}{|x|}\to 0\) quand \(x\to\pm\infty\). Donc \(\lim_{\pm\infty}f(x)=0\).

d) Pour \(x\neq 0\) : \(f'(x)=\frac{\cos x\cdot x-\sin x\cdot 1}{x^2}=\frac{x\cos x-\sin x}{x^2}\).

e) \(f'(x)=0\iff x\cos x=\sin x\iff\tan x=x\) (pour \(\cos x\neq 0\)). L'équation \(\tan x=x\) a une infinité de solutions : graphiquement, la droite \(y=x\) coupe chaque branche de \(\tan\) (il y a une solution dans chaque intervalle \(]\frac\pi2+k\pi,\frac\pi2+(k+1)\pi[\) pour \(k\geqslant 1\)). Chacune correspond à un extremum local de \(f\).

Corrigé du problème

Partie A : Construction des polynômes

1. \(T_0(\cos\theta)=\cos(0)=1\), donc \(T_0(x)=1\).

\(T_1(\cos\theta)=\cos\theta\), donc \(T_1(x)=x\).

\(T_2(\cos\theta)=\cos 2\theta=2\cos^2\theta-1\), donc \(T_2(x)=2x^2-1\).

2. Démontrons d'abord la formule d'aide. Par les formules d'addition :

En additionnant : \(\cos((n+1)\theta)+\cos((n-1)\theta)=2\cos\theta\cos n\theta\).

D'où \(\cos((n+1)\theta)=2\cos\theta\cos(n\theta)-\cos((n-1)\theta)\), ce qui donne, en posant \(x=\cos\theta\) :

3. \(T_3(x)=2xT_2(x)-T_1(x)=2x(2x^2-1)-x=4x^3-2x-x=4x^3-3x\).

\(T_4(x)=2xT_3(x)-T_2(x)=2x(4x^3-3x)-(2x^2-1)=8x^4-6x^2-2x^2+1=8x^4-8x^2+1\).

4. Par récurrence. \(T_0\) est de degré 0, \(T_1\) de degré 1 (coeff. dominant 1 \(=2^0\)). Supposons \(T_n\) de degré \(n\) avec coefficient dominant \(2^{n-1}\) et \(T_{n-1}\) de degré \(n-1\). Alors \(T_{n+1}=2xT_n-T_{n-1}\) : le terme de plus haut degré est \(2x\cdot 2^{n-1}x^n=2^n x^{n+1}\). Donc \(T_{n+1}\) est de degré \(n+1\) avec coefficient dominant \(2^n=2^{(n+1)-1}\).

Partie B : Propriétés remarquables

5. \(T_n(x_k)=0\iff\cos(n\theta_k)=0\) où \(x_k=\cos\theta_k\). \(\cos(n\theta)=0\iff n\theta=\frac\pi2+m\pi\) (\(m\in\Z\)), i.e. \(\theta=\frac{(2m+1)\pi}{2n}\).

Pour \(m=0,1,\ldots,n-1\) : \(\theta_k=\frac{(2k-1)\pi}{2n}\) avec \(k=1,\ldots,n\) (ce qui donne \(n\) valeurs distinctes de \(\theta\in]0,\pi[\)). Les zéros sont \(x_k=\cos\frac{(2k-1)\pi}{2n}\), tous distincts dans \(]-1,1[\).

6. \(T_n(y_j)=\cos(n\cdot\frac{j\pi}{n})=\cos(j\pi)=(-1)^j\). Donc \(T_n\) vaut alternativement \(+1\) et \(-1\) aux \(n+1\) points \(y_j=\cos\frac{j\pi}{n}\) pour \(j=0,1,\ldots,n\). Ce sont des extremums.

7. Pour tout \(x\in[-1,1]\), on peut écrire \(x=\cos\theta\) pour un \(\theta\in[0,\pi]\). Alors \(T_n(x)=\cos(n\theta)\), et \(|\cos(n\theta)|\leqslant 1\).

Partie C : Application

8. \(\cos 3\theta=T_3(\cos\theta)=4\cos^3\theta-3\cos\theta\).

Pour \(\theta\) petit : \(\cos\theta\approx 1-\frac{\theta^2}{2}\) est meilleur que \(\cos\theta\approx 1\) (approximation d'ordre 0). Cet encadrement provient de l'inégalité \(\cos x\geqslant 1-\frac{x^2}{2}\) démontrée dans l'exercice 12.

9. (Bonus) L'idée est que parmi tous les polynômes unitaires de degré \(n\), celui qui s'écarte le moins de 0 sur \([-1,1]\) est \(\frac{T_n(x)}{2^{n-1}}\). Pour \(n=3\) : le polynôme unitaire de degré 3 le plus proche de 0 est \(\frac{T_3(x)}{4}=x^3-\frac{3}{4}x\). L'approximation de \(\cos(\pi x)\) par un polynôme de degré 2 s'obtient en utilisant cette propriété d'optimalité de \(T_3\).

10. (Bonus) \(T_m(T_n(\cos\theta))=T_m(\cos(n\theta))=\cos(m\cdot n\theta)=\cos(mn\cdot\theta)=T_{mn}(\cos\theta)\).

Comme cela vaut pour tout \(\theta\in[0,\pi]\), i.e. pour tout \(x=\cos\theta\in[-1,1]\), et que deux polynômes coïncidant sur un intervalle sont égaux, on a \(T_m\circ T_n=T_{mn}\).