Équations différentielles

Pourquoi étudier les équations différentielles ?

De quoi parle-t-on ?

Une équation différentielle est une équation où l'inconnue est une fonction \(y(t)\) et où interviennent \(y\) et ses dérivées \(y'\), \(y''\), etc. C'est l'outil mathématique fondamental pour modéliser tout phénomène qui évolue dans le temps.

En Terminale, on étudie l'équation du premier ordre la plus simple : \(y'=ay+b\).

Les applications concrètes

En physique nucléaire : un échantillon radioactif perd ses atomes à un taux proportionnel à la quantité présente : \(N'(t)=-\lambda N(t)\). Solution : \(N(t)=N_0\e^{-\lambda t}\) (décroissance exponentielle). Le carbone 14 utilise ce principe pour la datation.

En biologie : une population de bactéries se multiplie proportionnellement à sa taille : \(P'(t)=kP(t)\). Solution : \(P(t)=P_0\e^{kt}\) (croissance exponentielle). C'est le modèle de Malthus.

En thermodynamique : un objet chaud refroidit vers la température ambiante \(T_a\) avec \(T'(t)=-k(T(t)-T_a)\). C'est la loi de refroidissement de Newton, une équation \(y'=ay+b\).

En électricité : le circuit RC obéit à \(u'(t)+\frac{1}{RC}u(t)=\frac{E}{RC}\), où \(u\) est la tension aux bornes du condensateur. C'est une équation \(y'=ay+b\).

L'idée directrice

L'idée avant la formule

Chercher une fonction à partir de sa dérivée

Un faisceau de courbes

L'équation \(y'=ay+b\) : évolution vers un équilibre

Le cours formel

Qu'est-ce qu'une équation différentielle ?

L'équation \(y'=f\) : lien avec les primitives

L'équation \(y'=ay\) : croissance et décroissance exponentielles

Structure des solutions de \(y'=ay\)

Le problème de Cauchy : condition initiale

L'équation \(y'=ay+b\) : évolution vers un équilibre

Principe de superposition : solution générale \(=\) homogène \(+\) particulière

Signe et variations des solutions

Vérifier qu'une fonction est solution, retrouver une ED

Temps caractéristiques

Le problème de Cauchy pour \(y'=ay+b\)

Mise sous forme canonique

Résumé graphique : allure des solutions

Tableau récapitulatif

Boîte à outils : Réflexes pour le bac

Exercices

Exercice 1 ★☆☆ : Solution générale de \(y'=ay\)

Résoudre sur \(\R\) :

1. \(y'=5y\)
2. \(y'=-3y\)
3. \(y'=\frac{y}{2}\)
4. \(y'=-0{,}1y\)
5. \(y'=-\frac{y}{7}\)
6. \(2y'=6y\)

Exercice 2 ★☆☆ : Problèmes de Cauchy pour \(y'=ay\)

Résoudre :

1. \(y'=2y\), \(y(0)=3\).

2. \(y'=-4y\), \(y(0)=10\).

3. \(y'=y\), \(y(0)=-2\).

4. \(y'=-y\), \(y(1)=5\).

Exercice 3 ★☆☆ : Vérification de solution

1. Vérifier que \(y(t)=3\e^{-2t}+4\) est solution de \(y'=-2y+8\).

2. Vérifier que \(y(t)=5\e^{t}-1\) est solution de \(y'=y+1\).

3. Vérifier que \(y(t)=\e^{-t}+2t-1\) n'est pas solution de \(y'=-y+2\).

Exercice 4 ★★☆ : Solution générale de \(y'=ay+b\)

Résoudre sur \(\R\) et préciser la solution d'équilibre :

1. \(y'=-2y+6\)
2. \(y'=3y-12\)
3. \(y'=-y+5\)
4. \(y'+4y=8\)
5. \(2y'-y=10\)
6. \(y'=-0{,}5y+3\)

Exercice 5 ★★☆ : Problèmes de Cauchy pour \(y'=ay+b\)

Résoudre :

1. \(y'=-2y+6\), \(y(0)=1\).

2. \(y'=3y-9\), \(y(0)=5\).

3. \(y'=-y+4\), \(y(0)=0\).

4. \(y'+3y=15\), \(y(0)=2\).

5. \(y'=-0{,}1y+2\), \(y(0)=0\).

Exercice 6 ★★☆ : Limites et comportement asymptotique

Pour chaque solution de l'exercice 5 :

1. Calculer \(\lim_{t\to+\infty}y(t)\).

2. Dresser le tableau de variations de \(y\).

3. Interpréter graphiquement.

Exercice 7 ★★☆ : Décroissance radioactive

Le carbone 14 se désintègre avec une demi-vie de \(t_{1/2}=5730\) ans. Un échantillon contient initialement \(N_0=10^{12}\) atomes de \({}^{14}\)C.

1. Écrire l'équation différentielle vérifiée par \(N(t)\).

2. Calculer la constante de désintégration \(\lambda\).

3. Exprimer \(N(t)\).

4. Combien d'atomes restent après 11460 ans ?

5. Un objet a perdu \(40\%\) de son \({}^{14}\)C. Quel est son âge ?

Exercice 8 ★★☆ : Refroidissement de Newton

Un café à \(90\)° C est posé dans une pièce à \(20\)° C. Sa température \(T(t)\) vérifie \(T'=-0{,}05(T-20)\).

1. Mettre sous forme \(T'=aT+b\) et identifier \(a\), \(b\), \(T_\infty\).

2. Résoudre avec \(T(0)=90\).

3. Au bout de combien de temps le café est-il à \(50\)° C ?

4. Tracer l'allure de la courbe.

Exercice 9 ★★☆ : Circuit RC (physique)

Un condensateur de capacité \(C\) se charge à travers une résistance \(R\) sous une tension \(E\). La tension \(u(t)\) aux bornes du condensateur vérifie :

1. Mettre sous forme \(u'=au+b\). Identifier \(a\), \(b\), \(u_\infty\).

2. Résoudre avec \(u(0)=0\) (condensateur initialement déchargé).

3. Montrer que \(u(\tau)=E(1-\e^{-1})\approx 0{,}63\,E\) où \(\tau=RC\).

4. Au bout de \(5\tau\), quelle fraction de \(E\) a-t-on atteinte ?

Exercice 10 ★★☆ : Concentration d'un médicament

Un médicament est injecté en continu au débit \(d=5\) mg/h. L'organisme l'élimine proportionnellement à sa concentration : \(C'(t)=-0{,}2C(t)+5\).

1. Déterminer la concentration d'équilibre \(C_\infty\).

2. Résoudre avec \(C(0)=0\).

3. Au bout de combien de temps atteint-on \(90\%\) de \(C_\infty\) ?

4. Tracer l'allure de \(C(t)\).

Exercice 11 ★★☆ : Démonstrations de cours

1. Démontrer que les solutions de \(y'=ay\) sont \(y=C\e^{at}\) (méthode de \(z=y\e^{-at}\)).

2. Démontrer que les solutions de \(y'=ay+b\) sont \(y=C\e^{at}-\frac{b}{a}\).

3. Démontrer la formule de la demi-vie \(t_{1/2}=\frac{\ln 2}{|a|}\).

Exercice 12 ★★☆ : Étude complète

On considère \(f(t)=3\e^{-2t}+1\) pour \(t\geqslant 0\).

1. Montrer que \(f\) est solution d'une équation différentielle \(y'=ay+b\) que l'on précisera.

2. Calculer \(f(0)\) et \(\lim_{t\to+\infty}f(t)\).

3. Étudier les variations de \(f\).

4. Calculer l'aire sous la courbe de \(f\) entre \(t=0\) et \(t=T\), puis la limite quand \(T\to+\infty\).

Exercice 13 ★★★ : Équation avec second membre non constant

On considère \(y'=-y+\e^{-2t}\).

1. Vérifier que \(y_p(t)=-\e^{-2t}\) est une solution particulière.

2. En posant \(z=y-y_p\), montrer que \(z'=-z\).

3. En déduire la solution générale.

4. Résoudre avec \(y(0)=0\).

Exercice 14 ★★★ : Méthode d'Euler

On approche la solution de \(y'=-y+1\), \(y(0)=0\) par la méthode d'Euler avec un pas \(h=0{,}5\) :

1. Calculer \(y_0,y_1,y_2,y_3,y_4\) (i.e. les valeurs approchées en \(t=0,\,0{,}5,\,1,\,1{,}5,\,2\)).

2. Calculer la solution exacte et comparer.

3. Expliquer pourquoi un pas plus petit donne une meilleure approximation.

4. (Bonus) Montrer que \(y_n=(1-h)^n\cdot y_0+\frac{1-(1-h)^n}{1-(1-h)}\cdot h\) et retrouver la limite quand \(n\to+\infty\).

Exercice 15 ★★☆ : Structure des solutions et superposition

On considère \((E)\) : \(y'=-2y+4\) et \((E_H)\) : \(y'=-2y\).

1. Déterminer la solution générale de \((E_H)\).

2. Vérifier que \(y_p(t)=2\) est solution particulière de \((E)\).

3. En déduire la solution générale de \((E)\).

4. Soient \(y_1(t)=3\e^{-2t}+2\) et \(y_2(t)=-\e^{-2t}+2\) deux solutions de \((E)\). Calculer \(y_1-y_2\). Vérifier que c'est une solution de \((E_H)\).

5. Vérifier que \(y_1+y_2\) n'est pas solution de \((E)\).

6. Montrer que \(\frac{y_1+y_2}{2}\) est solution de \((E)\). Pourquoi ? (Penser à \(\alpha+\beta=1\).)

Exercice 16 ★★☆ : Signe et variations

Soit \(f\) la solution de \(y'=-3y+9\), \(y(0)=5\).

1. Déterminer \(f(t)\).

2. Calculer \(y_\infty\). La solution part-elle au-dessus ou en dessous de \(y_\infty\) ?

3. En déduire le signe de \(f'(t)\) pour tout \(t\geqslant 0\), puis les variations de \(f\).

4. Dresser le tableau de variations complet de \(f\) sur \([0,+\infty[\).

5. Montrer que \(f(t)>3\) pour tout \(t\geqslant 0\). La courbe croise-t-elle la droite \(y=3\) ?

Exercice 17 ★★☆ : Retrouver l'équation différentielle

1. On donne \(f(t)=4\e^{-t}+1\). Déterminer \(a\) et \(b\) tels que \(f\) soit solution de \(y'=ay+b\).

2. On donne \(g(t)=7\e^{2t}-3\). Déterminer l'ED vérifiée par \(g\).

3. On donne \(h(t)=A\e^{-5t}+B\). Sachant que \(h(0)=10\) et \(\lim_{t\to+\infty}h(t)=2\), déterminer \(A\), \(B\), et l'ED vérifiée par \(h\).

4. On sait que \(f\) est solution de \(y'=ay+b\) avec \(f(0)=6\) et \(\lim_{t\to+\infty}f(t)=4\), et que \(f\) est décroissante. Que peut-on dire sur \(a\) et \(y_\infty\) ? Déterminer \(b\).

Exercice 18 ★★☆ : Somme de solutions et équations différentes

1. \(y_1\) est solution de \(y'=-y\) et \(y_2\) est solution de \(y'=-y\). Montrer que \(y_1+y_2\) est solution de \(y'=-y\).

2. \(y_1\) est solution de \(y'=-y+3\) et \(y_2\) est solution de \(y'=-y+5\). Montrer que \(y_1+y_2\) est solution de \(y'=-y+8\). Généraliser.

3. \(y_1\) est solution de \(y'=2y+1\) et \(y_2\) est solution de \(y'=3y\). La fonction \(y_1+y_2\) est-elle solution d'une ED simple ? Justifier.

Problème : Modèle logistique et équation de Verhulst ★★★

On considère l'équation différentielle logistique :

où \(r>0\) est le taux de croissance intrinsèque et \(K>0\) la capacité limite du milieu. On pose \(P(0)=P_0\) avec \(0<P_0<K\).

Partie A : Étude qualitative

1. Montrer que les solutions constantes sont \(P=0\) et \(P=K\).

2. Pour \(0<P<K\), étudier le signe de \(P'\). La population croît-elle ?

3. Montrer que \(P''(t)=rP'(t)\bigl(1-\frac{2P(t)}{K}\bigr)\). En déduire que la croissance est la plus rapide quand \(P=\frac{K}{2}\) (point d'inflexion).

4. En déduire l'allure de la courbe (courbe en S, dite « sigmoïde »).

Partie B : Résolution explicite par changement de variable

1. On pose \(u(t)=\frac{1}{P(t)}\). Montrer que \(u\) vérifie l'équation différentielle linéaire :

   \[u'(t)=-ru(t)+\frac{r}{K}\]

   Indication : calculer \(u'=-\frac{P'}{P^2}\).

2. Résoudre cette équation (c'est un \(y'=ay+b\) !). En déduire \(u(t)\).

3. En déduire que :

   \[\boxed{P(t)=\frac{K}{1+\Bigl(\frac{K}{P_0}-1\Bigr)\e^{-rt}}}\]

4. Vérifier que \(P(0)=P_0\) et \(\lim_{t\to+\infty}P(t)=K\).

Partie C : Application numérique

1. On modélise une population de bactéries avec \(K=10\,000\), \(r=0{,}5\) h\(^{-1}\), \(P_0=100\).

   1. Calculer \(P(t)\).

   2. À quel instant la population atteint-elle \(5000\) (la moitié de \(K\)) ?

   3. Vérifier que c'est le point d'inflexion.

2. (Bonus) Montrer que pour \(P_0\) petit devant \(K\), on a \(P(t)\approx P_0\e^{rt}\) pour les temps courts (retrouver le modèle de Malthus comme approximation).

Corrigés détaillés

Exercice 1

a) \(y'=5y\) : \(y(t)=C\e^{5t}\). b) \(y'=-3y\) : \(y(t)=C\e^{-3t}\). c) \(y'=\frac{y}{2}\) : \(y(t)=C\e^{t/2}\).

d) \(y'=-0{,}1y\) : \(y(t)=C\e^{-0{,}1t}\). e) \(y'=-\frac{y}{7}\) : \(y(t)=C\e^{-t/7}\).

f) \(2y'=6y\iff y'=3y\) : \(y(t)=C\e^{3t}\).

Exercice 2

a) \(y(t)=C\e^{2t}\), \(y(0)=C=3\). \(\boxed{y(t)=3\e^{2t}}\).

b) \(y(t)=C\e^{-4t}\), \(C=10\). \(\boxed{y(t)=10\e^{-4t}}\).

c) \(y(t)=C\e^t\), \(C=-2\). \(\boxed{y(t)=-2\e^t}\).

d) \(y(t)=C\e^{-t}\), \(y(1)=C\e^{-1}=5\), \(C=5\e\). \(\boxed{y(t)=5\e^{1-t}=5\e^{-(t-1)}}\).

Exercice 3

a) \(y=3\e^{-2t}+4\), \(y'=-6\e^{-2t}\). \(-2y+8=-2(3\e^{-2t}+4)+8=-6\e^{-2t}-8+8=-6\e^{-2t}=y'\). Solution.

b) \(y=5\e^t-1\), \(y'=5\e^t\). \(y+1=5\e^t-1+1=5\e^t=y'\). Solution.

c) \(y=\e^{-t}+2t-1\), \(y'=-\e^{-t}+2\). \(-y+2=-\e^{-t}-2t+1+2=-\e^{-t}-2t+3\). Or \(y'=-\e^{-t}+2\neq -\e^{-t}-2t+3\). Pas solution (sauf si \(t=\frac{1}{2}\), mais il faut que ce soit vrai pour tout \(t\)).

Exercice 4

a) \(y'=-2y+6\) : \(a=-2\), \(b=6\), \(y_\infty=3\). \(\boxed{y(t)=C\e^{-2t}+3}\).

b) \(y'=3y-12\) : \(a=3\), \(b=-12\), \(y_\infty=4\). \(\boxed{y(t)=C\e^{3t}+4}\).

c) \(y'=-y+5\) : \(a=-1\), \(b=5\), \(y_\infty=5\). \(\boxed{y(t)=C\e^{-t}+5}\).

d) \(y'+4y=8\iff y'=-4y+8\) : \(a=-4\), \(b=8\), \(y_\infty=2\). \(\boxed{y(t)=C\e^{-4t}+2}\).

e) \(2y'-y=10\iff y'=\frac{1}{2}y+5\) : \(a=\frac{1}{2}\), \(b=5\), \(y_\infty=-10\). \(\boxed{y(t)=C\e^{t/2}-10}\).

f) \(y'=-0{,}5y+3\) : \(a=-0{,}5\), \(b=3\), \(y_\infty=6\). \(\boxed{y(t)=C\e^{-0{,}5t}+6}\).

Exercice 5

a) \(y_\infty=3\). \(y(t)=C\e^{-2t}+3\), \(y(0)=C+3=1\), \(C=-2\). \(\boxed{y(t)=-2\e^{-2t}+3}\).

b) \(y_\infty=3\). \(y(t)=C\e^{3t}+3\), \(y(0)=C+3=5\), \(C=2\). \(\boxed{y(t)=2\e^{3t}+3}\).

c) \(y_\infty=4\). \(y(t)=C\e^{-t}+4\), \(y(0)=C+4=0\), \(C=-4\). \(\boxed{y(t)=4(1-\e^{-t})}\).

d) \(y'=-3y+15\), \(y_\infty=5\). \(y(t)=C\e^{-3t}+5\), \(y(0)=C+5=2\), \(C=-3\). \(\boxed{y(t)=-3\e^{-3t}+5}\).

e) \(y_\infty=20\). \(y(t)=C\e^{-0{,}1t}+20\), \(y(0)=C+20=0\), \(C=-20\). \(\boxed{y(t)=20(1-\e^{-0{,}1t})}\).

Exercice 6

a) Limites : (5a) \(\to 3\) ; (5b) \(\to +\infty\) ; (5c) \(\to 4\) ; (5d) \(\to 5\) ; (5e) \(\to 20\).

b) Variations : (5a) \(y'=-2(-2)\e^{-2t}=4\e^{-2t}>0\) : croissante de \(1\) vers \(3\). (5b) \(y'=6\e^{3t}>0\) : croissante vers \(+\infty\). (5c) \(y'=4\e^{-t}>0\) : croissante de \(0\) vers \(4\). (5d) \(y'=9\e^{-3t}>0\) : croissante de \(2\) vers \(5\). (5e) \(y'=2\e^{-0{,}1t}>0\) : croissante de \(0\) vers \(20\).

c) Pour (5a) et (5c) : la courbe part de \(y_0\) et monte vers \(y_\infty\) en se stabilisant (asymptote horizontale). Pour (5b) : divergence exponentielle (\(a>0\)).

Exercice 7

a) \(N'(t)=-\lambda N(t)\) (décroissance proportionnelle à la quantité présente).

b) \(t_{1/2}=\frac{\ln 2}{\lambda}=5730\), donc \(\lambda=\frac{\ln 2}{5730}\approx 1{,}21\times 10^{-4}\) an\(^{-1}\).

c) \(N(t)=N_0\e^{-\lambda t}=10^{12}\e^{-1{,}21\times 10^{-4}\,t}\).

d) \(11460=2\times 5730=2\times t_{1/2}\). Après 2 demi-vies : \(N=\frac{N_0}{4}=2{,}5\times 10^{11}\).

e) Reste \(60\%\) : \(\e^{-\lambda t}=0{,}6\), \(t=\frac{-\ln 0{,}6}{\lambda}=\frac{\ln\frac{5}{3}}{\lambda}=\frac{5730\ln\frac{5}{3}}{\ln 2}\approx 5730\times 0{,}737\approx 4224\) ans.

Exercice 8

a) \(T'=-0{,}05T+0{,}05\times 20=-0{,}05T+1\). \(a=-0{,}05\), \(b=1\), \(T_\infty=\frac{-1}{-0{,}05}=20\).

b) \(T(t)=C\e^{-0{,}05t}+20\), \(T(0)=C+20=90\), \(C=70\). \(\boxed{T(t)=70\e^{-0{,}05t}+20}\).

c) \(T(t)=50\iff 70\e^{-0{,}05t}=30\iff\e^{-0{,}05t}=\frac{3}{7}\iff t=\frac{-\ln(3/7)}{0{,}05}=\frac{\ln(7/3)}{0{,}05}=20\ln\frac{7}{3}\approx 16{,}9\) minutes.

d) Courbe décroissante partant de \(90\), tendant vers \(20\) (asymptote horizontale).

Exercice 9

a) \(u'+\frac{1}{RC}u=\frac{E}{RC}\iff u'=-\frac{1}{RC}u+\frac{E}{RC}\). \(a=-\frac{1}{RC}\), \(b=\frac{E}{RC}\). \(u_\infty=-\frac{b}{a}=E\).

b) \(u(t)=C\e^{-t/(RC)}+E\), \(u(0)=C+E=0\), \(C=-E\). \(\boxed{u(t)=E(1-\e^{-t/(RC)})}\).

c) \(u(\tau)=u(RC)=E(1-\e^{-1})=E\bigl(1-\frac{1}{\e}\bigr)\approx 0{,}632\,E\approx 63\%\) de \(E\).

d) \(u(5\tau)=E(1-\e^{-5})\approx E(1-0{,}0067)\approx 0{,}993\,E\approx 99{,}3\%\) de \(E\). Quasi-chargé.

Exercice 10

a) Équilibre : \(-0{,}2C_\infty+5=0\), \(C_\infty=\frac{5}{0{,}2}=25\) mg/L.

b) \(C(t)=K\e^{-0{,}2t}+25\), \(C(0)=K+25=0\), \(K=-25\). \(\boxed{C(t)=25(1-\e^{-0{,}2t})}\).

c) \(90\%\) de \(C_\infty=22{,}5\). \(25(1-\e^{-0{,}2t})=22{,}5\iff\e^{-0{,}2t}=0{,}1\iff t=\frac{\ln 10}{0{,}2}=5\ln 10\approx 11{,}5\) h.

d) Courbe croissante partant de \(0\), tendant vers \(25\), avec point d'inflexion implicite en \(t=0\) (concavité toujours négative ici car \(C''<0\) pour \(t>0\)).

Exercice 11

a) On pose \(z(t)=y(t)\e^{-at}\). \(z'=y'\e^{-at}-ay\e^{-at}=\e^{-at}(y'-ay)\). Si \(y'=ay\) : \(z'=0\), donc \(z=C\) constante. \(y\e^{-at}=C\), i.e. \(y=C\e^{at}\). Réciproquement, \(y=C\e^{at}\Rightarrow y'=Ca\e^{at}=ay\).

b) On cherche \(y_p\) constante : \(0=ay_p+b\), \(y_p=-\frac{b}{a}\). On pose \(z=y-y_p\) : \(z'=y'=a(z+y_p)+b=az+ay_p+b=az\). Donc \(z=C\e^{at}\). \(y=C\e^{at}+y_p=C\e^{at}-\frac{b}{a}\).

c) \(y(t)=y_0\e^{at}\) avec \(a<0\), \(y_0>0\). \(y(t_{1/2})=\frac{y_0}{2}\) : \(y_0\e^{at_{1/2}}=\frac{y_0}{2}\). \(\e^{at_{1/2}}=\frac{1}{2}\). \(at_{1/2}=-\ln 2\). \(t_{1/2}=\frac{-\ln 2}{a}=\frac{\ln 2}{|a|}\).

Exercice 12

a) \(f(t)=3\e^{-2t}+1\), \(f'(t)=-6\e^{-2t}\). Calculons \(-2f+2=-2(3\e^{-2t}+1)+2=-6\e^{-2t}-2+2=-6\e^{-2t}=f'\). Donc \(f\) est solution de \(y'=-2y+2\) (\(a=-2\), \(b=2\)).

b) \(f(0)=3+1=4\). \(\lim_{t\to+\infty}f(t)=0+1=1=y_\infty=-\frac{2}{-2}\). Cohérent.

c) \(f'(t)=-6\e^{-2t}<0\) pour tout \(t\geqslant 0\) : \(f\) est strictement décroissante sur \([0,+\infty[\), de \(4\) vers \(1\).

d) \(\int_0^T f(t)\,\mathrm{d}t=\int_0^T(3\e^{-2t}+1)\,\mathrm{d}t=[-\frac{3}{2}\e^{-2t}+t]_0^T=-\frac{3}{2}\e^{-2T}+T+\frac{3}{2}\).

Quand \(T\to+\infty\) : \(\int_0^T f\to+\infty\) (la partie \(T\) domine). L'aire n'est pas finie car \(f\to 1\neq 0\).

Mais l'aire entre la courbe et l'asymptote \(y=1\) est : \(\int_0^{+\infty}(f(t)-1)\,\mathrm{d}t=\int_0^{+\infty}3\e^{-2t}\,\mathrm{d}t=[-\frac{3}{2}\e^{-2t}]_0^{+\infty}=\frac{3}{2}\).

Exercice 13

a) \(y_p=-\e^{-2t}\), \(y_p'=2\e^{-2t}\). \(-y_p+\e^{-2t}=\e^{-2t}+\e^{-2t}=2\e^{-2t}=y_p'\). Solution.

b) \(z=y-y_p=y+\e^{-2t}\), \(z'=y'+2\e^{-2t}\). Or \(y'=-y+\e^{-2t}=-(z-\e^{-2t})+\e^{-2t}=-z+2\e^{-2t}\).

Donc \(z=y+\e^{-2t}\), \(z'=y'-2\e^{-2t}\). Et \(y'=-y+\e^{-2t}=-(z-\e^{-2t})+\e^{-2t}=-z+2\e^{-2t}\). Donc \(z'=-z+2\e^{-2t}-2\e^{-2t}=-z\). \(z'=-z\).

c) \(z(t)=C\e^{-t}\), \(y=z-\e^{-2t}=C\e^{-t}-\e^{-2t}\).

Solution générale : \(\boxed{y(t)=C\e^{-t}-\e^{-2t}}\).

d) \(y(0)=C-1=0\), \(C=1\). \(\boxed{y(t)=\e^{-t}-\e^{-2t}}\).

Exercice 14

a) \(f(t,y)=-y+1\), \(h=0{,}5\). \(y_0=0\).

\(y_1=y_0+0{,}5\times(-0+1)=0{,}5\).

\(y_2=0{,}5+0{,}5\times(-0{,}5+1)=0{,}5+0{,}25=0{,}75\).

\(y_3=0{,}75+0{,}5\times(-0{,}75+1)=0{,}75+0{,}125=0{,}875\).

\(y_4=0{,}875+0{,}5\times(-0{,}875+1)=0{,}875+0{,}0625=0{,}9375\).

b) Solution exacte : \(y'=-y+1\), \(y(0)=0\), \(y_\infty=1\). \(y(t)=1-\e^{-t}\).

\(y(0)=0\), \(y(0{,}5)\approx 0{,}393\), \(y(1)\approx 0{,}632\), \(y(1{,}5)\approx 0{,}777\), \(y(2)\approx 0{,}865\).

Comparaison : Euler surestime (\(0{,}5>0{,}393\), etc.) car la méthode utilise la pente au début de l'intervalle, alors que la pente diminue.

c) Avec un pas plus petit, les rectangles approximent mieux la courbe : l'erreur sur chaque pas est proportionnelle à \(h^2\), et il y a \(n=\frac{T}{h}\) pas, donc l'erreur totale est de l'ordre de \(h\). \(h\to 0\) donne la solution exacte.

d) (Bonus) \(y_{n+1}=(1-h)y_n+h\). C'est une suite arithmético-géométrique de raison \(q=1-h=0{,}5\) et point fixe \(\ell\) tel que \(\ell=(1-h)\ell+h\), i.e. \(\ell=1\). Donc \(y_n-1=(y_0-1)(1-h)^n=-(1-h)^n\) et \(y_n=1-(1-h)^n=1-0{,}5^n\). Quand \(n\to+\infty\) : \(y_n\to 1=y_\infty\).

Exercice 15

a) \((E_H)\) : \(y'=-2y\). Solution générale : \(y_H(t)=C\e^{-2t}\).

b) \(y_p(t)=2\) : \(y_p'=0\) et \(-2\times 2+4=0\). Donc \(y_p'=-2y_p+4\). ✓

c) Par le principe de superposition : \(y(t)=y_H(t)+y_p=C\e^{-2t}+2\).

d) \(y_1-y_2=3\e^{-2t}+2-(-\e^{-2t}+2)=4\e^{-2t}\). Vérifions : \((4\e^{-2t})'=-8\e^{-2t}=-2\times 4\e^{-2t}\). C'est bien solution de \((E_H)\). ✓

e) \(y_1+y_2=3\e^{-2t}-\e^{-2t}+4=2\e^{-2t}+4\). \((y_1+y_2)'=-4\e^{-2t}\).

\(-2(y_1+y_2)+4=-2(2\e^{-2t}+4)+4=-4\e^{-2t}-4\neq -4\e^{-2t}\). Pas solution de \((E)\). ✗

f) \(\frac{y_1+y_2}{2}=\e^{-2t}+2\). \((\frac{y_1+y_2}{2})'=-2\e^{-2t}\) et \(-2(\e^{-2t}+2)+4=-2\e^{-2t}\). ✓

C'est parce que \(\frac{1}{2}y_1+\frac{1}{2}y_2\) avec \(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1\) : quand les coefficients somment à 1, la combinaison barycentrique de solutions de \((E)\) est encore solution de \((E)\) (car \((\alpha+\beta)b=1\times b=b\)).

Exercice 16

a) \(a=-3\), \(b=9\), \(y_\infty=-\frac{9}{-3}=3\). Solution : \(y(t)=C\e^{-3t}+3\). \(y(0)=C+3=5\), \(C=2\).

\(\boxed{f(t)=2\e^{-3t}+3}\).

b) \(y_\infty=3\). \(f(0)=5>3\). La solution part au-dessus de \(y_\infty\).

c) \(f'(t)=-6\e^{-3t}<0\) pour tout \(t\geqslant 0\). Donc \(f\) est strictement décroissante.

Autre méthode : \(f'(t)=-3(f(t)-3)=-3\times 2\e^{-3t}<0\) car \(f(t)>3\).

d) Tableau :

e) \(f(t)-3=2\e^{-3t}>0\) pour tout \(t\) car l'exponentielle est toujours strictement positive. Donc \(f(t)>3\) pour tout \(t\geqslant 0\). La courbe ne croise jamais la droite \(y=3\) : elle s'en approche asymptotiquement par au-dessus.

Exercice 17

a) \(f(t)=4\e^{-t}+1\). Forme \(C\e^{at}+y_\infty\) : \(a=-1\), \(y_\infty=1=-\frac{b}{a}=b\), d'où \(b=1\). ED : \(\boxed{y'=-y+1}\).

Vérification : \(f'=-4\e^{-t}\) et \(-f+1=-(4\e^{-t}+1)+1=-4\e^{-t}\). OK.

b) \(g(t)=7\e^{2t}-3\). \(a=2\), \(y_\infty=-3=-\frac{b}{2}\), \(b=6\). ED : \(\boxed{y'=2y+6}\).

Vérification : \(g'=14\e^{2t}\) et \(2g+6=14\e^{2t}-6+6=14\e^{2t}\). OK.

c) \(h(0)=A+B=10\). \(\lim_{t\to+\infty}h(t)=B=2\) (car \(a=-5<0\)). Donc \(A=8\).

\(h(t)=8\e^{-5t}+2\). ED : \(a=-5\), \(y_\infty=2=-\frac{b}{-5}\), \(b=10\). \(\boxed{y'=-5y+10}\).

d) \(f\) décroissante et \(\lim f=4\) : nécessairement \(a<0\) (convergence) et \(y_\infty=4=-\frac{b}{a}\), d'où \(b=-4a\). De plus \(f(0)=6>4=y_\infty\) (part au-dessus). Pas assez d'info pour trouver \(a\) seul, mais \(b=-4a>0\).

Exercice 18

a) \(y_1'=-y_1\) et \(y_2'=-y_2\). \((y_1+y_2)'=y_1'+y_2'=-y_1-y_2=-(y_1+y_2)\). Donc \(y_1+y_2\) est solution de \(y'=-y\). C'est la stabilité par addition de l'équation homogène.

b) \(y_1'=-y_1+3\) et \(y_2'=-y_2+5\). \((y_1+y_2)'=y_1'+y_2'=(-y_1+3)+(-y_2+5)=-(y_1+y_2)+8\).

Donc \(y_1+y_2\) est solution de \(y'=-y+8\). On peut généraliser : si \(y_1\) est solution de \(y'=ay+b_1\) et \(y_2\) de \(y'=ay+b_2\), alors \(y_1+y_2\) est solution de \(y'=ay+(b_1+b_2)\). Le coefficient \(a\) doit être le même.

c) \(y_1'=2y_1+1\) et \(y_2'=3y_2\). \((y_1+y_2)'=2y_1+1+3y_2\). On ne peut pas écrire cela sous la forme \(c(y_1+y_2)+d\) car les coefficients de \(y_1\) et \(y_2\) sont différents (\(2\neq 3\)). Il n'y a pas d'ED simple de la forme \(y'=ay+b\) satisfaite par \(y_1+y_2\) en général. Le principe de superposition ne fonctionne que pour le même coefficient \(a\).

Corrigé du problème : Modèle logistique de Verhulst

Partie A : Étude qualitative

1. Solutions constantes : \(P'=0\iff rP(1-\frac{P}{K})=0\iff P=0\) ou \(1-\frac{P}{K}=0\iff P=K\).

Les deux solutions constantes sont \(\boxed{P=0}\) et \(\boxed{P=K}\).

2. Pour \(0<P<K\) : \(r>0\), \(P>0\) et \(1-\frac{P}{K}>0\) (car \(P<K\)). Donc \(P'=rP(1-\frac{P}{K})>0\) : la population croît.

3. \(P'=rP-\frac{r}{K}P^2\). Dérivons :

\(P''=rP'-\frac{2r}{K}PP'=P'\bigl(r-\frac{2rP}{K}\bigr)=rP'\bigl(1-\frac{2P}{K}\bigr)\).

\(P''=0\iff P'=0\) (exclu si \(0<P<K\)) ou \(1-\frac{2P}{K}=0\iff P=\frac{K}{2}\).

Signe de \(P''\) : \(P'>0\), donc \(P''\) a le signe de \(1-\frac{2P}{K}\).

\(P<\frac{K}{2}\) : \(P''>0\) (croissance accélérée, concavité vers le haut).

\(P>\frac{K}{2}\) : \(P''<0\) (croissance ralentie, concavité vers le bas).

Le point d'inflexion est en \(P=\frac{K}{2}\) : c'est là que la croissance est la plus rapide.

4. Allure : la courbe est en S (sigmoïde). Elle part de \(P_0\), croît d'abord de plus en plus vite (concavité \(+\)), puis de moins en moins vite (concavité \(-\)), et tend vers \(K\).

Partie B : Résolution explicite

5. \(u=\frac{1}{P}\), donc \(u'=-\frac{P'}{P^2}\). Or \(P'=rP(1-\frac{P}{K})=rP-\frac{r}{K}P^2\).

\(u'=-\frac{rP-\frac{r}{K}P^2}{P^2}=-\frac{r}{P}+\frac{r}{K}=-ru+\frac{r}{K}\).

Donc \(\boxed{u'=-ru+\frac{r}{K}}\) : c'est bien \(y'=ay+b\) avec \(a=-r\), \(b=\frac{r}{K}\).

6. \(u_\infty=-\frac{b}{a}=-\frac{r/K}{-r}=\frac{1}{K}\). Solution générale : \(u(t)=A\e^{-rt}+\frac{1}{K}\).

Condition initiale : \(u(0)=\frac{1}{P_0}=A+\frac{1}{K}\), \(A=\frac{1}{P_0}-\frac{1}{K}=\frac{K-P_0}{KP_0}\).

\(u(t)=\frac{K-P_0}{KP_0}\e^{-rt}+\frac{1}{K}=\frac{(K-P_0)\e^{-rt}+P_0}{KP_0}\).

7. \(P(t)=\frac{1}{u(t)}=\frac{KP_0}{P_0+(K-P_0)\e^{-rt}}\).

On multiplie numérateur et dénominateur par \(\frac{1}{P_0}\) :

\(P(t)=\frac{K}{1+\frac{K-P_0}{P_0}\e^{-rt}}=\frac{K}{1+(\frac{K}{P_0}-1)\e^{-rt}}\).

8. \(P(0)=\frac{K}{1+(\frac{K}{P_0}-1)}=\frac{K}{K/P_0}=P_0\). Correct.

\(\lim_{t\to+\infty}P(t)=\frac{K}{1+0}=K\) car \(\e^{-rt}\to 0\). La population tend bien vers la capacité limite.

Partie C : Application numérique

9a. \(K=10\,000\), \(r=0{,}5\), \(P_0=100\). \(\frac{K}{P_0}-1=99\).

\(P(t)=\frac{10\,000}{1+99\e^{-0{,}5t}}\).

9b. \(P(t)=5000\iff 1+99\e^{-0{,}5t}=2\iff 99\e^{-0{,}5t}=1\iff\e^{-0{,}5t}=\frac{1}{99}\).

\(t=\frac{\ln 99}{0{,}5}=2\ln 99\approx 2\times 4{,}595\approx 9{,}19\) heures.

9c. \(P(t^*)=5000=\frac{K}{2}\) correspond bien au point d'inflexion (question 3).

On peut vérifier : \(P''(t^*)=rP'(t^*)(1-\frac{2\times 5000}{10\,000})=rP'(t^*)\times 0=0\).

10. Pour \(P_0\ll K\) et \(t\) petit : \(\frac{P}{K}\approx 0\), donc \(P'\approx rP\). La solution approchée est \(P(t)\approx P_0\e^{rt}\) (modèle de Malthus).

Dans la formule exacte : pour \(t\) petit, \(\e^{-rt}\approx 1-rt\), donc \((\frac{K}{P_0}-1)\e^{-rt}\approx\frac{K}{P_0}-1\gg 1\) (car \(P_0\ll K\)). Numérateur \(K\) et dénominateur \(\approx\frac{K}{P_0}\e^{-rt}\), d'où \(P(t)\approx\frac{K}{K/P_0\cdot\e^{-rt}}=P_0\e^{rt}\).

Le modèle logistique contient le modèle de Malthus comme cas limite (petite population, temps courts). L'effet de saturation n'apparaît que lorsque \(P\) se rapproche de \(K\).