Un parcours à ton rythme
Ce que tu vas savoir faire
- Calculer une moyenne avec des effectifs ou des coefficients.
- Déterminer médiane et quartiles à partir des rangs.
- Comparer position et dispersion en gardant les unités et le contexte.
Tu peux lire la fiche en plusieurs séances. Les exemples montrent chaque étape ; les indices et les corrections restent accessibles quand tu en as besoin.
Les bases utiles avant de commencer
- Additionner, diviser et comparer des nombres.
- Lire un tableau d’effectifs ; distinguer une valeur et le nombre de fois où elle apparaît.
1. Commencer par les données et la question
Une statistique résume une série ; elle ne la remplace pas. Avant de calculer, identifie la population étudiée, le caractère mesuré, son unité et l’effectif total. Une série de temps de trajet se lit en minutes, une série de tailles en centimètres. Des nombres identiques n’ont pas le même sens si les unités ou les populations diffèrent.
Si les valeurs sont données une à une, compte-les puis range-les dans l’ordre croissant pour chercher une médiane ou des quartiles. Si elles sont regroupées dans un tableau, additionne les effectifs. N’oublie pas qu’une valeur d’effectif 4 doit compter quatre fois dans la moyenne et occuper quatre rangs dans la série ordonnée.
La fréquence d’une valeur est son effectif divisé par l’effectif total \(N\), avec \(N>0\). La somme des fréquences vaut 1, à l’arrondi près si elles sont affichées sous forme décimale. La fréquence cumulée jusqu’à une valeur additionne toutes les fréquences précédentes, en incluant cette valeur. Elle aide à repérer des seuils.
Choisis ensuite ce que tu veux décrire : une valeur centrale, une dispersion ou une proportion dépassant un seuil. Une moyenne élevée ne prouve pas que toutes les observations sont élevées. Comparer deux groupes exige de regarder plusieurs aspects des données.
2. Calculer une moyenne et comprendre les poids
Pour des valeurs \(x_i\) d’effectifs \(n_i\), la moyenne vaut la somme de toutes les observations, divisée par leur nombre :
Le numérateur additionne des valeurs pondérées ; le dénominateur additionne les poids. Avec des notes à coefficients, le même calcul s’applique aux coefficients. Si deux groupes ont le même effectif, on peut faire directement la moyenne de leurs moyennes. Sinon, il faut en général pondérer ; les deux calculs coïncident aussi lorsque les deux moyennes sont égales.
Exemple 1 · partir d’un tableau d’effectifs
On observe les valeurs 2, 4 et 7, avec les effectifs respectifs 3, 2 et 5. L’effectif total est \(N=3+2+5=10\). La somme des observations n’est pas \(2+4+7\), car chaque valeur apparaît plusieurs fois :
Le résultat se trouve entre 2 et 7, ce qui est cohérent. Il est plus proche de 7 que la moyenne non pondérée \(13/3\), puisque 7 représente la moitié des observations. Une valeur de moyenne supérieure au maximum aurait signalé une erreur de calcul ou de dénominateur.
À toi de jouer · à ton rythme
Pause · réunir deux groupes
Un premier groupe de 8 personnes a une moyenne de 12. Un second groupe de 12 personnes a une moyenne de 15. Quelle est la moyenne des 20 personnes ?
Tu peux chercher sur papier, demander une piste ou lire directement la correction. Reprends ensuite une étape avec tes propres mots.
Indice 1 · par où commencer
Retrouve la somme des observations de chaque groupe avant de réunir les deux sommes.
Indice 2 · avancer d’une étape
Le numérateur vaut \(8\times12+12\times15\), et le total des poids vaut 20.
Voir le corrigé entièrement rédigé
La somme du premier groupe vaut \(8\times12=96\), celle du second \(12\times15=180\). La moyenne globale est donc \((96+180)/20=276/20=13,8\). La moyenne simple de 12 et 15, égale à 13,5, donnerait le même poids aux deux groupes alors que le second est plus nombreux.
3. Trouver les bons rangs, puis lire les valeurs
Une médiane partage la série ordonnée en deux moitiés au sens où au moins la moitié des observations sont inférieures ou égales à elle, et au moins la moitié supérieures ou égales. Avec un effectif impair, on prend la valeur centrale. Avec un effectif pair, on adopte ici la convention usuelle : la moyenne des deux valeurs centrales. D’autres médianes peuvent satisfaire la définition ; annonce la convention si elle est discutée.
Pour les quartiles, on utilise ici la convention du lycée : \(Q_1\) est la valeur de rang \(\lceil N/4\rceil\) et \(Q_3\) celle de rang \(\lceil3N/4\rceil\), où les crochets supérieurs signifient que l’on arrondit le rang à l’entier supérieur. Les rangs commencent à 1. Certains logiciels interpolent autrement : une différence de résultat peut venir de la convention, pas d’une erreur arithmétique.
Exemple 2 · médiane et quartiles de la même série
Déplions le tableau précédent dans l’ordre croissant :
Il y a 10 observations. Les deux valeurs centrales sont aux rangs 5 et 6 : 4 et 7. La médiane choisie vaut donc \((4+7)/2=5,5\). Il n’est pas nécessaire que ce nombre soit une valeur observée.
Le rang de \(Q_1\) est \(\lceil10/4\rceil=3\), donc \(Q_1=2\). Le rang de \(Q_3\) est \(\lceil30/4\rceil=8\), donc \(Q_3=7\). Ne réponds pas « \(Q_1=3\) » : 3 est le rang recherché, 2 est la valeur située à ce rang.
Avec des répétitions, les parts situées sous les quartiles peuvent dépasser 25 % et 75 %. Ici, 30 % des observations sont au plus égales à 2. Les seuils des quartiles garantissent au moins la proportion correspondante ; ils ne coupent pas forcément les effectifs en quatre groupes égaux.
4. Compléter la position par la dispersion
L’étendue est la différence entre maximum et minimum. L’écart interquartile est \(Q_3-Q_1\). L’écart-type décrit la dispersion quadratique autour de la moyenne et s’exprime dans la même unité que les données. La variance, elle, s’exprime dans l’unité au carré.
Dans une description de l’ensemble de la série, on divise par \(N\) :
Une calculatrice peut aussi proposer un écart-type corrigé, avec \(N-1\) au dénominateur, utilisé en estimation statistique. Il ne s’agit pas du même indicateur. Pour la variance descriptive demandée ici, choisis le calcul sur N. Garde les valeurs exactes aussi longtemps que possible ; arrondir la moyenne avant de calculer la variance peut dégrader le résultat.
Exemple 3 · même moyenne, deux situations différentes
La série A est 4 ; 5 ; 6. La série B est 0 ; 5 ; 10. Les deux moyennes valent 5, mais la série B est bien plus dispersée.
On obtient \(\sigma_A\approx0,82\) et \(\sigma_B\approx4,08\). Les étendues sont respectivement 2 et 10. Dire uniquement « les résultats moyens sont les mêmes » serait exact mais incomplet : le second groupe a des valeurs beaucoup plus éloignées du centre.
Déplacer une valeur : moyenne et médiane
La série est 2 ; 3 ; 4 ; 4 ; 5 ; 5 ; 6 ; 7 ; t. Prévois ce que deviennent sa moyenne et sa médiane quand t passe de 9 à 25.
Avec t = 9, la somme vaut 45 : la moyenne et la médiane valent 5. Avec t = 25, la somme vaut 61 : la moyenne vaut 61/9 ≈ 6,78, mais la cinquième valeur reste 5. Les quartiles restent 4 et 6.
Lire les valeurs et les coordonnées
Avec t = 9, la somme vaut 45 : la moyenne et la médiane valent 5. Avec t = 25, la somme vaut 61 : la moyenne vaut 61/9 ≈ 6,78, mais la cinquième valeur reste 5. Les quartiles restent 4 et 6.
La médiane reste ici fixe parce que les rangs du milieu ne changent pas. Cela ne veut pas dire qu’elle ne change jamais. Explique pourquoi la moyenne augmente de 1/9 quand t augmente de 1, et observe l’écart-type.
Observe qu’une valeur très grande entraîne la moyenne, alors que la médiane peut rester fixe. Cela justifie le choix de la médiane pour décrire certaines séries très dissymétriques. Ce choix dépend du but ; il n’existe pas un indicateur qui serait toujours le meilleur.
5. S’entraîner à calculer et à interpréter
À toi de jouer · à ton rythme
Exercice 2 · distinguer rang et valeur
Pour la série 1 ; 2 ; 2 ; 3 ; 5 ; 8 ; 9, détermine moyenne, médiane, quartiles et étendue avec les conventions de cette fiche.
Tu peux chercher sur papier, demander une piste ou lire directement la correction. Reprends ensuite une étape avec tes propres mots.
Indice 1 · par où commencer
La série est déjà ordonnée et contient 7 valeurs. La médiane est au rang 4.
Indice 2 · avancer d’une étape
Les rangs des quartiles sont \(\lceil7/4\rceil=2\) et \(\lceil21/4\rceil=6\). La somme vaut 30.
Voir le corrigé entièrement rédigé
La moyenne vaut \(30/7\approx4,29\). La médiane est la valeur de rang 4, donc 3. Le premier quartile, au rang 2, vaut 2 ; le troisième, au rang 6, vaut 8. L’étendue vaut \(9-1=8\). La moyenne supérieure à la médiane traduit ici l’influence des valeurs élevées ; elle ne signifie pas que la moitié des observations dépassent 4,29.
À toi de jouer · à ton rythme
Bilan · des conclusions justifiées
Deux séries de temps en minutes sont A : 9 ; 10 ; 11 et B : 5 ; 10 ; 15. Calcule leur moyenne et leur étendue. Peut-on dire que le temps est « toujours le même » dans les deux groupes ? Que manque-t-il pour généraliser à toute une population ?
Tu peux chercher sur papier, demander une piste ou lire directement la correction. Reprends ensuite une étape avec tes propres mots.
Indice 1 · par où commencer
Compare les sommes, puis les écarts entre plus grande et plus petite valeur.
Indice 2 · avancer d’une étape
Les deux moyennes valent 10 ; les étendues valent 2 et 10. Le nombre de personnes et leur mode de sélection comptent pour une généralisation.
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Pour A, la moyenne vaut \((9+10+11)/3=10\) minutes et l’étendue \(11-9=2\) minutes. Pour B, la moyenne vaut aussi \((5+10+15)/3=10\) minutes, mais l’étendue est \(15-5=10\) minutes. Les moyennes sont égales ; les temps individuels et leur dispersion diffèrent. Trois observations par groupe ne suffisent pas, à elles seules, à affirmer une caractéristique de toute une population. Il faudrait notamment connaître l’échantillonnage et l’incertitude associée. Notre calcul décrit les données disponibles.
Après comparaison, où en es-tu ?
Une réponse statistique complète contient le calcul, l’unité et une phrase liée à la question. Elle distingue ce qui est directement observé de ce que l’on souhaiterait en déduire.