Avant de commencer 5 questions pour vérifier tes bases Ton parcours dans ce chapitre Résumer des données demande de choisir ce que l’on veut comprendre. Une moyenne, un rang et une dispersion ne répondent pas à la même question.
Bases à reprendre : fractions, pourcentages et carré d’un nombre. On travaille sur des séries finies non vides de nombres réels finis ; les effectifs sont des entiers positifs ou nuls de somme \(N>0\) . Les pauses permettent d’essayer avec deux indices et une explication disponibles librement.
Repères 2026–2027 : les centres, l’écart type, l’effet de l’ajout ou du retrait d’une valeur et les données groupées sont travaillés dans le parcours. Les proportions et évolutions se prolongent dans la fiche 12. La formule raccourcie de variance, la minimisation et les scores centrés-réduits sont des approfondissements guidés.
Pourquoi étudier les statistiques ? Une liste de centaines de valeurs est souvent illisible. Les statistiques cherchent à la résumer sans mentir : où se situe son centre, comment les valeurs se dispersent-elles, existe-t-il des valeurs inhabituelles, et comment comparer deux groupes ?
Intuition · Un résumé n'est jamais la série entière
La moyenne, la médiane ou l'écart type éclairent chacun un aspect des données. Aucun indicateur ne raconte tout. Une bonne analyse associe au moins un indicateur de position, un indicateur de dispersion et, si possible, un graphique.
Exemple · Même moyenne, histoires différentes
Les séries
\[A: 9,10,10,10,11
\qquad\text{et}\qquad
B: 0,5,10,15,20\]
ont toutes deux pour moyenne \(10\) . Pourtant, les valeurs de \(A\) sont très regroupées tandis que celles de \(B\) sont très dispersées. La moyenne seule ne suffit donc pas.
Attention · Les données ne parlent pas toutes seules
Avant de calculer, vérifie la population étudiée, l'unité, la façon dont les données ont été recueillies et les éventuelles valeurs manquantes. Un calcul exact sur des données biaisées peut conduire à une conclusion trompeuse.
Vocabulaire et organisation des données Population, individus et caractère
Exemple · Reconnaître la nature de la variable
Le nombre de livres lus en un mois est quantitatif discret. La taille d'un élève est quantitative continue. Le moyen de transport est qualitatif : il sera étudié plus précisément dans la fiche suivante.
Effectifs et fréquences
Définition · Effectif et fréquence
Une valeur \(x_i\) apparaît \(n_i\) fois. Son effectif est \(n_i\) . Si l'effectif total est
\[N=n_1+n_2+\cdots+n_p,\]
sa fréquence est
\[\boxed{f_i=\frac{n_i}{N}}.\]
Théorème · Somme des fréquences
\[\boxed{f_1+f_2+\cdots+f_p=1}.\]
En pourcentage, leur somme vaut \(100\,\%\) .
Une preuve à construire
Pourquoi la somme vaut-elle 1 ? Pourquoi les fréquences totalisent-elles \(1\) ? Quelle hypothèse permet de diviser ?
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste Additionne les numérateurs en gardant le dénominateur commun \(N\) .
Indice 2 · Un pas de plus Chaque élève est compté une seule fois et \(N>0\) .
Voir la preuve expliquée \[\begin{aligned}f_1+\cdots+f_p &= \frac{n_1}{N}+\cdots+\frac{n_p}{N}\\[.35em]&= \frac{n_1+\cdots+n_p}{N}\\[.35em]&= \frac{N}{N}\\[.35em]&= 1.\end{aligned}\]
Méthode · Construire un tableau fiable
Trie les valeurs, compte chaque modalité, vérifie que la somme des effectifs vaut \(N\) , puis calcule les fréquences et vérifie qu'elles somment à \(1\) . Ces deux contrôles détectent beaucoup d'erreurs.
À toi d’essayer
Lire les personnes derrière les nombres Le tableau des livres comporte cinq valeurs possibles et vingt élèves. Pourquoi la moyenne ne se calcule-t-elle pas en additionnant \(0,1,2,3,4\) puis en divisant par \(5\) ? Combien d’élèves ont lu au plus un livre ?
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste Une valeur présente sept fois doit compter sept fois.
Indice 2 · Un pas de plus « Au plus un » inclut \(0\) et \(1\) ; additionne leurs effectifs.
Voir l’explication Les cinq modalités n’ont pas le même poids. La division par \(5\) traiterait chaque modalité comme une personne et donnerait \(2\) , alors que la moyenne réelle est \(39/20=1{,}95\) . On compte \(2+5=7\) élèves ayant lu au plus un livre, soit \(7/20=35\,\%\) . À réessayer : trouve la proportion ayant lu strictement plus de deux livres : \(6/20\) .
Représenter une série statistique Diagramme en bâtons
Pour une variable quantitative discrète, chaque valeur est représentée par un bâton dont la hauteur est proportionnelle à son effectif ou à sa fréquence.
Agrandir ↗ Attention · Bâtons ou histogramme ?
Dans un diagramme en bâtons, les barres sont séparées car les valeurs sont isolées. Dans un histogramme, les rectangles se touchent car ils représentent des intervalles de valeurs continues.
À toi d’essayer
Choisir ce qui détermine la hauteur Dans le diagramme des livres, quelle barre est la plus haute ? Représenter les fréquences changerait-il l’ordre des hauteurs ? La barre en \(0\) doit-elle disparaître ?
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste La hauteur décrit un nombre d’élèves, pas un nombre de livres.
Indice 2 · Un pas de plus Passer aux fréquences divise toutes les hauteurs par le même nombre \(20\) .
Voir l’explication La barre en \(2\) est la plus haute, avec \(7\) élèves. L’ordre est conservé par la division par \(20>0\) . La barre en \(0\) reste présente, de hauteur \(2\) élèves ou \(10\,\%\) : zéro livre n’est pas zéro personne. À réessayer : explique comment modifier l’axe vertical et sa légende pour représenter des pourcentages.
Lire un diagramme circulaire ou semi-circulaire
Un diagramme circulaire partage un disque selon des catégories. Dans un diagramme semi-circulaire, on partage un demi-disque. La proportion est représentée par la part de l'angle total, pas par un rayon différent pour chaque catégorie.
Méthode · Retrouver la proportion à partir d'un angle
Dans un cercle entier, l'angle total vaut \(360^\circ\) ; dans un demi-cercle, il vaut \(180^\circ\) . Pour une proportion \(f\) ,
\[\text{angle}=360^\circ f\quad\text{ou}\quad\text{angle}=180^\circ f.\]
Pour retrouver \(f\) , on divise par l'angle total correspondant. Les catégories doivent partager toute la population sans chevauchement ; on garde son effectif total près du graphique.
Exemple · Les mêmes proportions, deux dessins
Dans une enquête fictive auprès de \(40\) personnes, le transport principal déclaré est la marche pour \(20\) , le bus pour \(12\) , le vélo pour \(8\) .
Catégorie Effectif Fréquence Cercle Demi-cercle A : marche 20 \(50\,\%\) \(180^\circ\) \(90^\circ\) B : bus 12 \(30\,\%\) \(108^\circ\) \(54^\circ\) C : vélo 8 \(20\,\%\) \(72^\circ\) \(36^\circ\) Total 40 \(100\,\%\) \(360^\circ\) \(180^\circ\)
Par exemple, la part du bus est \(12/40=0{,}30\) . Son angle vaut \(360\times0{,}30=108^\circ\) dans le cercle et \(180\times0{,}30=54^\circ\) dans le demi-cercle. L'angle est divisé par deux, mais la proportion reste \(30\,\%\) .
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À toi d’essayer
Le même angle n'a pas toujours la même signification Un secteur de bus mesure \(54^\circ\) dans un diagramme semi-circulaire représentant \(200\) personnes. Quelle proportion et quel effectif représente-t-il ? Quel serait son angle dans un cercle entier ? Si un secteur mesurait \(54^\circ\) dans un cercle entier, représenterait-il la même proportion ?
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste Le total vaut \(180^\circ\) pour le demi-cercle, \(360^\circ\) pour le cercle.
Indice 2 · Un pas de plus Commence par \(54/180\) , puis applique cette proportion aux \(200\) personnes.
Voir l’explication Dans le demi-cercle,
\[\begin{aligned}f&=\frac{54}{180}\\[.35em]&= 0{,}30\\[.35em]&= 30\,\%,\\[.35em]n &= 0{,}30\times200\\[.35em]&= 60.\end{aligned}\]
La même catégorie ferait \(360\times0{,}30=108^\circ\) dans un cercle entier. En revanche, \(54^\circ\) dans un cercle entier correspond à
\[\begin{aligned}54/360 &= 0{,}15\\[.35em] &= 15\,\%,\end{aligned}\]
soit \(30\) personnes sur \(200\) . À réessayer : un secteur de \(36^\circ\) dans un demi-cercle représente \(20\,\%\) ; pour une population de \(80\) personnes, retrouve l'effectif \(16\) . Explique pourquoi deux secteurs de même proportion ne représentent pas toujours le même nombre de personnes.
Lire un nuage de points : deux mesures par observation
Un nuage de points place une observation à chaque couple de mesures \((x;y)\) . L'axe horizontal décrit la première variable quantitative ; l'axe vertical décrit la seconde. Une même abscisse peut correspondre à plusieurs observations : un nuage n'est pas nécessairement la courbe d'une fonction.
Exemple · Température et ventes observées
Voici des données fictives relevées sur huit journées : la température à midi en degrés Celsius et le nombre de portions vendues pendant l'heure suivante.
Journée 1 2 3 4 5 6 7 8 Température (\({}^\circ\) C) 10 12 14 16 18 20 20 24 Portions vendues 12 18 15 25 30 24 34 40
Le point \((16;25)\) signifie qu'une journée à \(16\,{}^\circ\) C a compté \(25\) portions vendues dans l'heure considérée. Les coordonnées ne donnent pas un numéro de journée : chaque axe a sa propre grandeur et son unité.
Agrandir ↗ On ne relie pas automatiquement les points : on n'a pas mesuré toutes les températures intermédiaires, et deux journées à la même température peuvent avoir des ventes différentes. On observe ici une tendance générale à davantage de ventes quand il fait plus chaud, avec de la dispersion. Ce seul relevé ne prouve pas que la température est la cause des différences : fréquentation, jour de la semaine ou autres facteurs peuvent intervenir.
À toi d’essayer
Une tendance ne prévoit pas chaque observation Lis les deux nombres de portions observés à \(20\,{}^\circ\) C. Le graphique permet-il de garantir le nombre vendu demain à cette température ? Réfute ensuite, avec deux points du graphique, la phrase « une température plus élevée donne toujours plus de ventes ». Cette réfutation interdit-elle de décrire une tendance générale ?
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste Une verticale passant par \(20\) rencontre deux observations. Pour réfuter « toujours », il suffit de deux observations qui contredisent la comparaison annoncée.
Indice 2 · Un pas de plus Compare les points \((12;18)\) et \((14;15)\) . La seconde température est plus grande, mais son nombre de portions est plus petit.
Voir l’explication À \(20\,{}^\circ\) C, les deux journées ont donné \(24\) et \(34\) portions. On ne peut donc pas lire une règle unique ni garantir la vente future.
Les points \((12;18)\) et \((14;15)\) contredisent « toujours plus » : \(14>12\) mais \(15<18\) . Cette variation locale n'efface pas la tendance globale visible dans ces huit observations. La tendance n'est ni une loi exacte, ni une preuve de causalité. À réessayer : si l'on échange les axes, le point \((16;25)\) devient \((25;16)\) . Nomme alors la grandeur de chaque axe et explique pourquoi on conserve les mêmes observations, avec un autre ordre des coordonnées.
Effectifs cumulés et fréquences cumulées
Définition · Cumuler jusqu'à une valeur
L'effectif cumulé croissant jusqu'à \(x_i\) est le nombre de données inférieures ou égales à \(x_i\) :
\[N_i=n_1+n_2+\cdots+n_i.\]
La fréquence cumulée correspondante est \(F_i=N_i/N\) .
Pour la série des livres, les effectifs cumulés sont \(2,7,14,18,20\) . Ils permettent de localiser immédiatement la médiane et les quartiles.
La moyenne Moyenne simple et moyenne pondérée
Définition · Moyenne
Pour \(N\) valeurs \(y_1,\ldots,y_N\) , la moyenne est
\[\boxed{\overline{x}=\frac{y_1+y_2+\cdots+y_N}{N}}.\]
Si la valeur \(x_i\) apparaît \(n_i\) fois, alors
\[\boxed{\overline{x}=\frac{n_1x_1+n_2x_2+\cdots+n_px_p}{N}}.\]
On parle de moyenne pondérée par les effectifs.
Une preuve à construire
Pourquoi les deux formules sont-elles équivalentes ? Retrouve la formule pondérée en imaginant la liste complète avant son regroupement.
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste Écris trois fois la même valeur : \(x+x+x\) .
Indice 2 · Un pas de plus L’effectif indique le nombre de répétitions, tandis que \(N\) compte toutes les observations.
Voir la preuve expliquée Dans la somme de toutes les données, la valeur \(x_1\) est écrite \(n_1\) fois : elle contribue donc pour \(n_1x_1\) . De même, \(x_i\) contribue pour \(n_ix_i\) . Regrouper les termes égaux transforme la première formule en la seconde.
Exemple · Moyenne du nombre de livres
\[\begin{aligned}\overline{x} &= \frac{2\times0+5\times1+7\times2+4\times3+2\times4}{20}\\[.35em]&= \frac{39}{20}\\[.35em]&= \boxed{1{,}95}.\end{aligned}\]
En moyenne, les élèves ont lu \(1{,}95\) livre. Cette valeur n'a pas besoin d'être une modalité observée.
Intuition · La moyenne comme point d'équilibre
Imagine chaque donnée comme une masse posée sur un axe. La moyenne est le point où l'ensemble s'équilibre. Les écarts positifs et négatifs à la moyenne se compensent exactement.
Théorème · Somme des écarts à la moyenne
\[\boxed{\sum_{i=1}^{p}n_i(x_i-\overline{x})=0}.\]
Démonstration · Les écarts se compensent
\[\begin{aligned}\sum_{i=1}^{p}n_i(x_i-\overline{x})
&=\sum_{i=1}^{p}n_ix_i-\overline{x}\sum_{i=1}^{p}n_i\\[.35em]&= N\overline{x}-\overline{x}N\\[.35em]&= 0.\end{aligned}\]
Linéarité de la moyenne
Théorème · Transformer toutes les données
Si chaque donnée \(x\) est remplacée par \(ax+b\) , alors la moyenne devient
\[\boxed{\overline{x}_{\mathrm{nouvelle}}=a\overline{x}+b}.\]
Une preuve à construire
Distribuer la somme Justifie que remplacer chaque valeur par \(ay+b\) transforme la moyenne en \(a\overline x+b\) , même si \(a\) est négatif.
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste Développe la somme de toutes les nouvelles valeurs.
Indice 2 · Un pas de plus Le nombre \(b\) apparaît \(N\) fois ; aucune comparaison d’ordre n’intervient.
Voir la preuve expliquée Les nouvelles valeurs sont \(ay_1+b,\ldots,ay_N+b\) . Leur moyenne vaut
\[\begin{aligned}\frac{(ay_1+b)+\cdots+(ay_N+b)}{N} &= a\frac{y_1+\cdots+y_N}{N}+\frac{Nb}{N}\\[.35em]&= a\overline{x}+b.\end{aligned}\]
Exemple · Convertir des températures
La conversion de degrés Celsius en degrés Fahrenheit est \(F=1{,}8C+32\) . Si la température moyenne est \(15\,{}^\circ\) C, la moyenne convertie vaut
\[1{,}8\times15+32=59\,{}^\circ\text{F}.\]
Il n'est pas nécessaire de convertir chaque mesure séparément.
Ajouter, retirer ou réunir des données
Propriété · Ajouter une valeur
Une série de \(N\) données a pour moyenne \(\overline{x}\) . Après l'ajout d'une valeur \(a\) , la nouvelle moyenne est
\[\boxed{\overline{x}'=\frac{N\overline{x}+a}{N+1}}.\]
Démonstration · Reconstruire la somme
L'ancienne somme vaut \(N\overline{x}\) . Ajouter \(a\) donne la somme \(N\overline{x}+a\) , répartie entre \(N+1\) valeurs.
Propriété · Réunir deux groupes
Deux groupes d'effectifs \(N_1,N_2\) et de moyennes \(m_1,m_2\) ont pour moyenne commune
\[\boxed{m=\frac{N_1m_1+N_2m_2}{N_1+N_2}}.\]
Attention · La moyenne des moyennes
La formule générale utilise les effectifs. La moyenne simple \((m_1+m_2)/2\) convient lorsque les effectifs sont égaux ; elle convient aussi si \(m_1=m_2\) . Pour des moyennes différentes et des tailles différentes, elle donne un résultat incorrect.
À toi d’essayer
Retrouver la somme avant de réunir Deux groupes contiennent respectivement \(2\) et \(8\) valeurs, de moyennes \(10\) et \(15\) . Prévois de quelle moyenne le résultat global sera le plus proche, puis calcule.
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste Le deuxième groupe contient quatre fois plus de valeurs.
Indice 2 · Un pas de plus Reconstruis les sommes \(2\times10\) et \(8\times15\) .
Voir l’explication La somme vaut \(20+120=140\) pour \(10\) valeurs : la moyenne est \(14\) . Elle est plus proche de \(15\) . La moyenne simple \(12{,}5\) donnerait le même poids aux deux groupes. Si leurs moyennes étaient égales, elle donnerait aussi le bon résultat même avec des tailles différentes. À réessayer : échange les effectifs et retrouve \(11\) .
Médiane et quartiles
Définition · Médiane
On range les \(N\) valeurs dans l'ordre croissant.
Si \(N\) est impair, la médiane est la valeur de rang \((N+1)/2\) .
Si \(N\) est pair, on prend usuellement la moyenne des valeurs de rangs \(N/2\) et \(N/2+1\) .
Au moins la moitié des données est inférieure ou égale à la médiane, et au moins la moitié lui est supérieure ou égale.
Exemple · Deux tailles de séries
Pour \(3,5,8,9,12\) , la médiane est la troisième valeur : \(8\) . Pour \(3,5,8,9,12,20\) , elle vaut
\[\frac{8+9}{2}=8{,}5.\]
Attention · Toujours trier avant de chercher les rangs
Les formules de rang n'ont de sens que dans une liste ordonnée. Dans un tableau d'effectifs, utilise les effectifs cumulés pour repérer la valeur qui contient le rang recherché.
Les quartiles
Définition · Premier et troisième quartiles
Dans la convention usuelle du lycée français :
\(Q_1\) est la plus petite valeur telle qu'au moins \(25\,\%\) des données lui soient inférieures ou égales ; son rang est \(\lceil N/4\rceil\) .
\(Q_3\) est la plus petite valeur telle qu'au moins \(75\,\%\) des données lui soient inférieures ou égales ; son rang est \(\lceil3N/4\rceil\) .
Le symbole \(\lceil u\rceil\) signifie : le plus petit entier supérieur ou égal à \(u\) .
Exemple · Quartiles de la série des livres
\(N=20\) . Le rang de \(Q_1\) est \(20/4=5\) et celui de \(Q_3\) est \(3\times20/4=15\) . Les effectifs cumulés \(2,7,14,18,20\) donnent
\[\boxed{Q_1=1},
\qquad
\boxed{Q_3=3}.\]
À toi d’essayer
Un rang n’est pas une valeur Pour \(1,2,2,2,9,10,11\) , détermine \(Q_1\) , la médiane et \(Q_3\) . Combien de valeurs appartiennent à \([Q_1;Q_3]\) ?
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste Les rangs des quartiles sont les plafonds de \(7/4\) et \(21/4\) .
Indice 2 · Un pas de plus Ils valent \(2\) et \(6\) ; la médiane occupe le rang \(4\) .
Voir l’explication On obtient \(Q_1=2\) , médiane \(2\) et \(Q_3=10\) . Le rang \(6\) correspond à la valeur \(10\) , pas à \(6\) . Cinq valeurs sur sept appartiennent à \([2;10]\) : la boîte peut contenir plus de la moitié des données, notamment avec des répétitions. À réessayer : pour sept valeurs toutes égales à \(3\) , la boîte a une largeur nulle et contient toutes les données.
Les logiciels n’emploient pas tous la même convention pour les quartiles. Ici, on utilise toujours les rangs arrondis à l’entier supérieur définis ci-dessus ; une différence de convention n’est pas une erreur de calcul.
Boîte à moustaches
Une boîte à moustaches représente le minimum, \(Q_1\) , la médiane, \(Q_3\) et le maximum.
Agrandir ↗ Intuition · Lire la boîte
Avec cette convention, au moins la moitié des données se trouve dans \([Q_1;Q_3]\) ; les répétitions peuvent en placer davantage dans la boîte. Une boîte courte indique une forte concentration centrale ; des moustaches longues signalent des valeurs éloignées.
Mesurer la dispersion Étendue et écart interquartile
Définition · Deux indicateurs simples
\[\boxed{\text{étendue}=\text{maximum}-\text{minimum}},\]
\[\boxed{\text{écart interquartile}=Q_3-Q_1}.\]
L'étendue utilise les deux valeurs extrêmes. L'écart interquartile mesure la largeur de la moitié centrale de la série.
Exemple · Série des livres
Le minimum est \(0\) , le maximum \(4\) , \(Q_1=1\) et \(Q_3=3\) . Donc
\[\text{étendue}=4,
\qquad
Q_3-Q_1=2.\]
Propriété · Résistance aux valeurs extrêmes
La médiane et l'écart interquartile sont peu sensibles à une valeur extrêmement grande ou petite. La moyenne et l'étendue y sont davantage sensibles. Le choix des indicateurs dépend donc de la forme des données.
Variance et écart type
Définition · Variance et écart type
La variance est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne :
\[\boxed{V=\frac1N\sum_{i=1}^{p}n_i(x_i-\overline{x})^2}.\]
L'écart type est
\[\boxed{\sigma=\sqrt{V}}.\]
Intuition · Pourquoi mettre les écarts au carré ?
La somme des écarts simples vaut toujours zéro. Les carrés empêchent les écarts positifs et négatifs de s'annuler et donnent plus de poids aux valeurs très éloignées. La racine carrée ramène ensuite l'écart type dans l'unité des données.
Exemple · Écart type de la série des livres
La moyenne vaut \(1{,}95\) . Un calcul direct donne
\[\begin{aligned}&V\\[.35em]&= \frac{\begin{aligned}&2(0-1{,}95)^2 +5(1-1{,}95)^2\\&\quad {}+7(2-1{,}95)^2 +4(3-1{,}95)^2\\&\quad {}+2(4-1{,}95)^2\end{aligned}}{20}\\[.35em]&= 1{,}2475.\end{aligned}\]
Ainsi
\[\boxed{\sigma=\sqrt{1{,}2475}\approx1{,}12\ \text{livre}}.\]
Attention · Variance et écart type n'ont pas la même unité
Si les données sont en mètres, la variance est en mètres carrés, tandis que l'écart type est en mètres. Pour interpréter la dispersion avec l'unité d'origine, utilise l'écart type.
À toi d’essayer
Reconstituer chaque étape de l’écart type Pour \(1,3,5\) , calcule la moyenne, les écarts, leurs carrés, la variance et l’écart type. Pourquoi l’écart type n’est-il pas \(8\) ?
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste Les écarts à la moyenne sont \(-2,0,2\) .
Indice 2 · Un pas de plus La somme des carrés est \(8\) : il reste à diviser par le nombre de valeurs puis à prendre la racine.
Voir l’explication La moyenne vaut \(3\) . Les carrés valent \(4,0,4\) ; ainsi \(V=8/3\) puis
\[\begin{aligned}\sigma &= \sqrt{8/3}\\[.35em]&\approx 1{,}63\end{aligned}.\]
La somme \(8\) n’est ni la variance ni l’écart type. À réessayer : ajoute \(10\) à chaque donnée. La moyenne devient \(13\) , les écarts et l’écart type restent les mêmes.
Données regroupées en classes Pourquoi regrouper ?
Pour une variable continue, les valeurs exactes peuvent être très nombreuses. On les regroupe en intervalles appelés classes . La classe \([10;20[\) contient \(10\) mais pas \(20\) .
Histogramme
Définition · Histogramme pour des classes de même amplitude
Lorsque toutes les classes ont la même largeur, chaque classe est représentée par un rectangle dont la hauteur est proportionnelle à son effectif ou à sa fréquence. Les rectangles se touchent.
Agrandir ↗ Attention · Si les amplitudes sont différentes
La hauteur ne peut plus être simplement l'effectif : c'est l'aire du rectangle qui doit être proportionnelle à l'effectif. Dans cette fiche, les calculs exigibles portent sur des classes de même amplitude.
Exemple · Quand les moyennes de classes sont connues
Deux classes regroupent respectivement \(4\) et \(6\) trajets. Leurs moyennes exactes sont \(8\) et \(14\) minutes. La moyenne globale est exactement
\[\begin{aligned}\overline x &= \frac{4\times8+6\times14}{10}\\[.35em]&= \frac{116}{10}\\[.35em]&= 11{,}6.\end{aligned}\]
On n’a pas besoin des valeurs individuelles, ni d’une hypothèse d’uniformité. Si seules les bornes des classes sont connues, remplacer ces moyennes par les centres donne en général une estimation.
Moyenne estimée avec les centres de classes
Définition · Centre d'une classe
Le centre de \([a;b[\) est
\[\boxed{c=\frac{a+b}{2}}.\]
Si l'on suppose les valeurs uniformément réparties dans chaque classe, on les remplace par le centre pour estimer la moyenne.
Méthode · Moyenne d'une série groupée
Avec des centres \(c_i\) et des effectifs \(n_i\) ,
\[\boxed{\overline{x}\approx\frac{n_1c_1+\cdots+n_pc_p}{N}}.\]
Le symbole \(\approx\) rappelle qu'on a perdu l'information sur les valeurs exactes à l'intérieur des classes.
Exemple · Temps de trajet moyen estimé
Les centres sont \(5,15,25,35\) . Ainsi
\[\begin{aligned}\overline{x} &\approx \frac{2\times5+6\times15+8\times25+4\times35}{20}\\[.35em]&= \frac{440}{20}\\[.35em]&= \boxed{22\ \text{minutes}}.\end{aligned}\]
À toi d’essayer
La moyenne exacte peut rester inconnue On sait seulement que deux valeurs sont dans \([0;10[\) et deux autres dans \([10;20[\) . Donne deux séries compatibles ayant des moyennes différentes. Quelle estimation donnent les centres ?
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste Essaie \(0,0,10,10\) , puis \(9,9,19,19\) .
Indice 2 · Un pas de plus Les centres des deux classes sont \(5\) et \(15\) , avec le même effectif.
Voir l’explication Les deux séries proposées ont pour moyennes \(5\) et \(14\) . Le même tableau de classes ne détermine donc pas la moyenne exacte. Les centres donnent l’estimation \(10\) . En revanche, si la moyenne exacte de chaque classe est fournie, leur moyenne pondérée est exacte. À réessayer : justifie l’encadrement \(5\leqslant\overline x<15\) en utilisant les bornes de chaque classe.
Les fréquences cumulées de l'exemple sont \(0{,}10\) , \(0{,}40\) , \(0{,}80\) , \(1\) . La fréquence \(0{,}50\) est atteinte dans \([20;30[\) : c'est la classe médiane .
Agrandir ↗ Propriété · Estimation dans la classe médiane
Sous l'hypothèse d'une répartition uniforme dans la classe \([L;L+h[\) d'effectif \(n_c\) , si \(C\) valeurs la précèdent, on estime la médiane par
\[\boxed{M\approx L+h\times\frac{N/2-C}{n_c}}.\]
Démonstration · Comprendre l'interpolation
Il faut avancer de \(N/2-C\) rangs à l'intérieur d'une classe contenant \(n_c\) valeurs. Cela représente la fraction \(\dfrac{N/2-C}{n_c}\) de la largeur \(h\) . On ajoute donc cette fraction de largeur à la borne gauche \(L\) .
Exemple · Estimer la médiane des trajets
Ici \(L=20\) , \(h=10\) , \(C=8\) et \(n_c=8\) . Donc
\[\begin{aligned}M &\approx 20+10\times\frac{10-8}{8}\\[.35em]&= \boxed{22{,}5\ \text{minutes}}.\end{aligned}\]
Ce nombre est une estimation fondée sur l'hypothèse d'uniformité dans la classe.
À toi d’essayer
Distinguer un modèle et une mesure Dans l’exemple des trajets, pourquoi l’estimation médiane \(22{,}5\) ne prouve-t-elle pas qu’une personne a mis exactement \(22{,}5\) minutes ? Que peut-on dire des rangs \(10\) et \(11\) ?
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste Le tableau place les rangs \(9\) à \(16\) dans \([20;30[\) sans donner leurs positions exactes.
Indice 2 · Un pas de plus Le segment du polygone suppose une progression régulière dans la classe.
Voir l’explication Les deux valeurs centrales sont dans \([20;30[\) , donc leur moyenne y est aussi, mais elles peuvent varier. L’interpolation fournit \(22{,}5\) dans un modèle uniforme ; ce n’est pas une observation retrouvée. À réessayer : place les huit valeurs de cette classe à \(21\) , puis à \(29\) . Les deux médianes deviennent \(21\) et \(29\) avec les mêmes effectifs de classes.
Cas de frontière : si \(N/2\) est exactement un effectif cumulé et \(N\) est pair, les deux rangs centraux peuvent appartenir à deux classes différentes. Il faut alors examiner ces deux rangs ; les seules bornes ne donnent pas nécessairement la médiane exacte.
Comparer deux séries
Exemple · Même centre, dispersion différente
Les séries \(A:9,10,10,10,11\) et \(B:0,5,10,15,20\) ont moyenne et médiane égales à \(10\) . Mais
\[\sigma_A=\sqrt{0{,}4}\approx0{,}63,
\qquad
\sigma_B=\sqrt{50}\approx7{,}07.\]
La série \(A\) est beaucoup plus homogène.
Agrandir ↗ Attention · Comparer ne signifie pas seulement classer
Une série peut avoir une moyenne plus haute mais aussi une dispersion beaucoup plus grande. Formule une phrase complète : plus élevée en moyenne , plus homogène , moitié centrale plus resserrée , etc.
Une valeur se déplace, le résumé change
On garde \(2,3,4,4,5,5,6,7\) et l’on ajoute une neuvième valeur \(t\geqslant7\) . La médiane reste \(5\) , car le cinquième rang ne bouge pas, tandis que la moyenne vaut \((36+t)/9\) .
\(t\) 7 9 25 Moyenne \(43/9\) \(5\) \(61/9\) Médiane 5 5 5 \(Q_1;Q_3\) \(4;6\) \(4;6\) \(4;6\)
Déplacer une valeur : moyenne et médiane
La série est 2 ; 3 ; 4 ; 4 ; 5 ; 5 ; 6 ; 7 ; t. Prévois ce que deviennent sa moyenne et sa médiane quand t passe de 9 à 25.
Chaque point représente une observation ; les valeurs égales sont empilées. La droite corail indique la moyenne, la droite bleue en pointillés la médiane. L’axe reste fixe.
Avec t = 9, la somme vaut 45 : la moyenne et la médiane valent 5. Avec t = 25, la somme vaut 61 : la moyenne vaut 61/9 ≈ 6,78, mais la cinquième valeur reste 5. Les quartiles restent 4 et 6.
Lire les valeurs et les coordonnées Avec t = 9, la somme vaut 45 : la moyenne et la médiane valent 5. Avec t = 25, la somme vaut 61 : la moyenne vaut 61/9 ≈ 6,78, mais la cinquième valeur reste 5. Les quartiles restent 4 et 6.
La médiane reste ici fixe parce que les rangs du milieu ne changent pas. Cela ne veut pas dire qu’elle ne change jamais. Explique pourquoi la moyenne augmente de 1/9 quand t augmente de 1, et observe l’écart-type.
Agrandir ↗ Les deux lignes utilisent le même axe : un point par observation. Le trait plein marque la moyenne ; la verticale en pointillés marque la médiane. Déplacer le point de \(9\) à \(25\) attire la moyenne vers la droite. Déplacer une valeur et ajouter une nouvelle valeur ne sont pas la même opération : le premier garde les rangs au nombre de neuf, le second change aussi l’effectif.
Calculer avec Python Le code ci-dessous se lit avec une liste finie non vide. La syntaxe des listes est fournie ; l’objectif est de reconnaître les calculs de moyenne et d’écart type. Un fichier vide ne possède pas de moyenne définie.
from math import sqrt
def indicateurs(valeurs):
n = len(valeurs)
if n == 0:
raise ValueError("serie non vide attendue")
moyenne = sum(valeurs) / n
variance = sum((x - moyenne)**2 for x in valeurs) / n
return moyenne, sqrt(variance)
serie = [0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2,
2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4]
print(indicateurs(serie)) # (1.95, environ 1.117)Attention · Vérifier la convention de la calculatrice
Certaines machines proposent deux écarts types : celui de la population, qui divise par \(N\) , et celui d'un échantillon, qui divise par \(N-1\) . Dans cette fiche et au programme de seconde, on utilise la formule divisée par \(N\) .
Pour aller plus loin - Accessible à tous Intuition · Statut de cette partie
Les résultats suivants prolongent les outils précédents. Ils sont facultatifs et leurs preuves décomposent le calcul littéral utilisé.
Théorème · Moyenne des carrés moins carré de la moyenne
\[\boxed{V=\frac1N\sum_{i=1}^{p}n_ix_i^2-\overline{x}^{2}}.\]
Une preuve à construire
Développer les carrés Retrouve la formule raccourcie de la variance à partir de sa définition. Où intervient la moyenne ?
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste Développe \((x_i-\overline x)^2\) .
Indice 2 · Un pas de plus La somme des fréquences vaut \(1\) et la moyenne pondérée des \(x_i\) vaut \(\overline x\) .
Voir la preuve expliquée \[\begin{aligned}V&=\frac1N\sum_i n_i(x_i-\overline{x})^2\\[.35em]&=\frac1N\sum_i n_i(x_i^2-2x_i\overline{x}+\overline{x}^{2})\\[.35em]&= \frac1N\sum_i n_ix_i^2 -2\overline{x}\underbrace{\frac1N\sum_i n_ix_i}_{\overline{x}}\\[.35em]&\quad {}+\overline{x}^{2}\underbrace{\frac1N\sum_i n_i}_{1}\\[.35em]&=\frac1N\sum_i n_ix_i^2-\overline{x}^{2}.\end{aligned}\]
Théorème · Effet de \(x\mapsto ax+b\)
Si toutes les données sont remplacées par \(ax+b\) , alors
\[\boxed{\sigma_{\mathrm{nouveau}}=|a|\sigma}.\]
Ajouter \(b\) ne change pas la dispersion ; multiplier par \(a\) multiplie toutes les distances par \(|a|\) .
Une preuve à construire
Transformer les écarts à la moyenne Pourquoi le facteur multiplicatif de l’écart type est-il \(|a|\) et non \(a\) ?
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste Compare chaque donnée à sa nouvelle moyenne \(a\overline x+b\) .
Indice 2 · Un pas de plus Le carré fait apparaître \(a^2\) , et la racine carrée est positive ou nulle.
Voir la preuve expliquée La nouvelle moyenne vaut \(a\overline{x}+b\) . L'écart correspondant à \(x_i\) devient
\[(ax_i+b)-(a\overline{x}+b)=a(x_i-\overline{x}).\]
Son carré est multiplié par \(a^2\) , donc la variance par \(a^2\) . En prenant la racine carrée, l'écart type est multiplié par \(\sqrt{a^2}=|a|\) .
Pourquoi la moyenne est-elle un centre naturel ?
Théorème · La somme des carrés est minimale à la moyenne
Pour tout réel \(a\) ,
\[\boxed{\sum_{j=1}^{N}(y_j-a)^2
=\sum_{j=1}^{N}(y_j-\overline{x})^2+N(a-\overline{x})^2}.\]
La somme est donc minimale lorsque \(a=\overline{x}\) .
Une preuve à construire
Faire apparaître un carré positif Pourquoi la somme des carrés des distances aux données est-elle minimale à la moyenne ?
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste Écris \(y_j-a=(y_j-\overline x)+(\overline x-a)\) .
Indice 2 · Un pas de plus Après développement, la somme des écarts à la moyenne annule le terme croisé.
Voir la preuve expliquée Écrivons \(y_j-a=(y_j-\overline{x})+(\overline{x}-a)\) et développons. En sommant, le terme croisé contient \(\sum_j(y_j-\overline{x})=0\) . Il reste
\[\sum_j(y_j-a)^2=\sum_j(y_j-\overline{x})^2+N(\overline{x}-a)^2.\]
Le dernier terme est positif ou nul, et il vaut zéro exactement pour \(a=\overline{x}\) .
Score centré-réduit
Définition · Comparer des positions dans des unités différentes
Si \(\sigma>0\) , le score
\[\boxed{z=\frac{x-\overline{x}}{\sigma}}\]
indique à combien d'écarts types la valeur \(x\) se trouve de la moyenne. Un score positif est au-dessus de la moyenne ; un score négatif est en dessous.
Exemple · Comparer deux résultats
Un score de \(14\) dans une série de moyenne \(10\) et d'écart type \(2\) donne \(z=2\) . Un score de \(72\) dans une série de moyenne \(60\) et d'écart type \(8\) donne \(z=1{,}5\) . Relativement à son groupe, le premier résultat est plus éloigné au-dessus de la moyenne.
À toi d’essayer
Expliquer un changement d’échelle Une série a pour moyenne \(4\) et écart type \(2\) . Chaque donnée est remplacée par \(10-3x\) . Prévois la nouvelle moyenne et le nouvel écart type. Que se passe-t-il si toutes les données sont remplacées par \(10\) ?
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste Le coefficient multiplicatif vaut \(-3\) , mais une dispersion ne devient pas négative.
Indice 2 · Un pas de plus Utilise la valeur absolue de \(-3\) pour les distances.
Voir l’explication La moyenne devient \(10-3\times4=-2\) ; l’écart type devient \(3\times2=6\) . Si toutes les données deviennent \(10\) , la moyenne vaut \(10\) et l’écart type \(0\) . À réessayer : explique pourquoi le score centré-réduit n’est plus défini dans ce dernier cas : il faudrait diviser par zéro.
Boîte à outils et erreurs à éviter
Méthode · Rangs
Trie, puis utilise les effectifs cumulés.
Méthode · Écart type
Moyenne, écarts, carrés, moyenne, racine.
Attention · Réflexes
Unité, tri, total des effectifs, somme des fréquences et arrondi annoncé.
Intuition · Le résumé le plus honnête
Donne un indicateur de centre, un indicateur de dispersion et un graphique. Puis explique en une phrase ce que chacun apporte.
Exercices progressifs Intuition · Mode d'emploi
Les exercices sont classés par difficulté. Cherche d'abord sans regarder le corrigé, écris les étapes et contrôle toujours l'ordre de grandeur du résultat.
Exercice 1 ★☆☆ : Vocabulaire statistique
On étudie le temps, en minutes, mis par chacun des 50 salariés d'une entreprise pour venir travailler.
Identifier la population, un individu, le caractère étudié, sa nature et une unité adaptée. Expliquer pourquoi le temps n'est pas, en théorie, un caractère discret.
Exercice 2 ★☆☆ : Effectifs et fréquences
Le nombre de livres lus pendant un mois par 20 élèves est résumé ci-dessous.
Nombre de livres \(x_i\) 0 1 2 3 4 Effectif \(n_i\) 2 5 7 4 2
Vérifier l'effectif total.
Calculer les fréquences, puis les effectifs cumulés croissants.
Quelle proportion d'élèves a lu au moins deux livres ?
Exercice 3 ★☆☆ : Calculer une moyenne
Avec les données de l'exercice 2, calculer le nombre moyen de livres lus. Interpréter le résultat sans prétendre qu'un élève a nécessairement lu ce nombre de livres.
Exercice 4 ★☆☆ : Réunir deux groupes
Dans la classe A, 24 élèves ont obtenu une moyenne de \(12{,}5\) . Dans la classe B, 36 élèves ont obtenu une moyenne de \(14{,}5\) .
Calculer la moyenne des 60 élèves. Pourquoi la moyenne globale n'est-elle pas la moyenne simple de \(12{,}5\) et \(14{,}5\) ?
Exercice 5 ★☆☆ : Retrouver une valeur
Neuf nombres ont pour moyenne 12. Huit d'entre eux sont
\[8,\ 9,\ 10,\ 11,\ 12,\ 13,\ 14,\ 15.\]
Déterminer le neuvième nombre et vérifier le résultat.
Reprendre la série de l'exercice 2. Déterminer la médiane, le premier quartile \(Q_1\) , le troisième quartile \(Q_3\) , l'étendue et l'écart interquartile. Justifier chaque réponse avec un rang ou un effectif cumulé.
Exercice 7 ★★☆ : Boîte à moustaches
On considère la série ordonnée
\[2,\ 3,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 6,\ 6,\ 7,\ 8,\ 10,\ 12.\]
Déterminer le minimum, \(Q_1\) , la médiane, \(Q_3\) et le maximum.
Calculer l'étendue et l'écart interquartile.
Tracer la boîte à moustaches sur un axe gradué de 0 à 12.
Exercice 8 ★★☆ : Même moyenne, dispersions différentes
On compare les deux séries
\[\begin{aligned}&A: 9,\ 10,\ 10,\ 10,\ 11\\[.35em]&\text{et}\quad B: 0,\ 5,\ 10,\ 15,\ 20.\end{aligned}\]
Calculer, pour chacune, la moyenne, la variance et l'écart type. Interpréter la comparaison.
Exercice 9 ★★☆ : Changement d'unité
Une température \(X\) , exprimée en degrés Celsius, a pour moyenne \(18\) et pour écart type \(3{,}5\) . On la convertit en degrés Fahrenheit par
\[Y=1{,}8X+32.\]
Déterminer la moyenne et l'écart type de \(Y\) . Expliquer pourquoi ajouter 32 ne modifie pas l'écart type.
Exercice 10 ★★☆ : Ajouter ou retirer une donnée
Une série de 30 valeurs a pour moyenne 14.
On ajoute la valeur 20. Calculer la nouvelle moyenne.
En repartant de la série initiale, on retire une valeur égale à 8. Calculer la nouvelle moyenne.
Dans chaque cas, expliquer le sens de la variation avant même de calculer.
Exercice 11 ★★☆ : Données regroupées en classes
Les durées, en minutes, de 20 trajets sont regroupées ainsi.
Durée \([0;10[\) \([10;20[\) \([20;30[\) \([30;40[\) Effectif 2 6 8 4
Calculer les fréquences et les fréquences cumulées croissantes.
Tracer l'histogramme. Pourquoi peut-on prendre les effectifs comme hauteurs ici ?
Estimer la moyenne à l'aide des centres des classes.
Déterminer la classe médiane, puis estimer la médiane en supposant une répartition uniforme dans cette classe.
Exercice 12 ★★☆ : Comparer sans surinterpréter
Deux séries \(C\) et \(D\) ont les résumés suivants.
Moyenne Écart type Médiane Écart interquartile \(C\) 50 4 49 5 \(D\) 53 12 50 6
Comparer le niveau central et la dispersion des deux séries. Donner ensuite une affirmation que ces seuls indicateurs ne permettent pas de justifier.
Exercice 13 ★★★ : Une moyenne pondérée trompeuse
Une usine possède deux lignes de production. La première fabrique 80 pièces de masse moyenne 102 g ; la seconde en fabrique 120 de masse moyenne 98 g.
Calculer la masse moyenne des 200 pièces. Un élève affirme : « La moyenne vaut 100 g, car 100 est au milieu de 98 et 102. » Expliquer précisément son erreur.
La série suivante est donnée par effectifs.
Calculer \(\overline{x}\) et la moyenne des carrés \(\dfrac1N\sum n_ix_i^2\) .
Utiliser \(V=\dfrac1N\sum n_ix_i^2-\overline{x}^{2}\) pour calculer la variance et l'écart type.
Vérifier la variance avec la définition fondée sur les écarts à la moyenne.
Exercice 15 ★★★ : La meilleure valeur centrale
Pour les données \(2\) , \(5\) et \(8\) , on pose
\[S(a)=(2-a)^2+(5-a)^2+(8-a)^2.\]
Calculer la moyenne de la série.
Montrer que \(S(a)=3(a-5)^2+18\) .
En déduire la valeur de \(a\) qui minimise \(S(a)\) et interpréter ce résultat.
Problème défi : deux stations de mesure Intuition · Objectif
Ce problème rassemble presque tout le chapitre. Il est long, mais chaque partie est guidée. Les résultats précédents peuvent être réutilisés : avance une question après l'autre.
Deux stations mesurent chaque jour une même grandeur. Durant une première période de 20 jours, on obtient les tableaux suivants.
Station A : valeur 10 12 14 16 18 Effectif 2 4 8 4 2
Station B : valeur 8 11 14 17 20 Effectif 2 4 8 4 2
Partie A : Étudier la station A
Vérifier que l'effectif total est 20.
Calculer les fréquences et les effectifs cumulés croissants.
Calculer la moyenne.
Déterminer la médiane.
Déterminer \(Q_1\) , \(Q_3\) et l'écart interquartile.
Calculer la variance et l'écart type, arrondi au centième.
Partie B : Comparer avec la station B
Calculer la moyenne de B.
Déterminer sa médiane, ses quartiles et son écart interquartile.
Calculer sa variance et son écart type, arrondi au centième.
Comparer les deux stations avec une phrase complète portant sur la position et la dispersion.
Partie C : Une nouvelle période, données regroupées
La station A fournit 20 nouvelles durées, regroupées en classes de même amplitude.
Durée \([0;10[\) \([10;20[\) \([20;30[\) \([30;40[\) Effectif 2 6 8 4
Calculer les fréquences et les fréquences cumulées.
Tracer l'histogramme.
Estimer la moyenne à l'aide des centres des classes.
Identifier la classe médiane.
En supposant les valeurs uniformément réparties dans cette classe, estimer la médiane par interpolation linéaire.
Expliquer pourquoi les réponses aux questions 13 et 15 sont des estimations.
Partie D : Calibrer la station A
Après étalonnage, chaque valeur \(X\) de la première période est remplacée par
\[Y=1{,}2X-2.\]
Calculer la moyenne de \(Y\) .
Déterminer la médiane, \(Q_1\) et \(Q_3\) de \(Y\) .
Déterminer l'écart type de \(Y\) .
Déterminer sa variance.
Partie E : Regrouper les deux stations
On réunit les 20 mesures de A et les 20 mesures de B de la première période.
Calculer la moyenne des 40 mesures.
Les deux séries ayant la même moyenne, montrer que la variance de la série réunie est la moyenne de leurs variances. En déduire l'écart type global.
Classer A, B et la série réunie de la plus homogène à la plus dispersée. Justifier.
Attention · Avant de tourner la page
Vérifie que tes fréquences totalisent 1, que tes quartiles correspondent à des rangs, et que chaque comparaison mentionne à la fois le centre et la dispersion.
Corrigés détaillés Corrigé 1
Démonstration · Traduire la situation
La population est l'ensemble des 50 salariés étudiés.
Un individu est l'un de ces salariés.
Le caractère est son temps de trajet domicile–travail.
Il est quantitatif continu : en théorie, un temps peut prendre toutes les valeurs d'un intervalle, par exemple \(18{,}4\) minutes.
Une unité adaptée est la minute, éventuellement la seconde si la mesure est plus précise.
Si les temps sont arrondis à la minute, le tableau n'affiche que des entiers ; cela ne change pas la nature théorique du caractère.
Corrigé 2
Démonstration · Du comptage aux fréquences
L'effectif total est
\[\begin{aligned}N &= 2+5+7+4+2\\[.35em]&= 20.\end{aligned}\]
On divise chaque effectif par 20.
\(x_i\) 0 1 2 3 4 \(n_i\) 2 5 7 4 2 \(f_i\) \(0{,}10\) \(0{,}25\) \(0{,}35\) \(0{,}20\) \(0{,}10\) Effectif cumulé 2 7 14 18 20
Contrôle : \(0{,}10+0{,}25+0{,}35+0{,}20+0{,}10=1\) .
Au moins deux livres signifie 2, 3 ou 4 livres. Il y a \(7+4+2=13\) élèves, soit
\[\begin{aligned}\frac{13}{20} &= 0{,}65\\[.35em]&= \boxed{65\,\%}.\end{aligned}\]
Corrigé 3
Démonstration · Une somme pondérée
Il faut tenir compte du nombre d'élèves associé à chaque valeur :
\[\begin{aligned}\overline{x} &= \frac{2\times0+5\times1+7\times2+4\times3+2\times4}{20}\\[.35em]&= \frac{39}{20}\\[.35em]&= \boxed{1{,}95}.\end{aligned}\]
Les élèves ont donc lu en moyenne \(1{,}95\) livre durant le mois. Cette moyenne résume le groupe ; elle n'est pas obligatoirement une valeur réellement observée.
Corrigé 4
Démonstration · Pondérer par les effectifs
La somme des notes de la classe A vaut \(24\times12{,}5=300\) . Celle de la classe B vaut \(36\times14{,}5=522\) . Ainsi,
\[\begin{aligned}\overline{x} &= \frac{300+522}{24+36}\\[.35em]&= \frac{822}{60}\\[.35em]&= \boxed{13{,}7}.\end{aligned}\]
La classe B compte davantage d'élèves : sa moyenne doit donc peser davantage. La moyenne simple \((12{,}5+14{,}5)/2=13{,}5\) ne conviendrait que si les deux classes avaient le même effectif.
Corrigé 5
Démonstration · Revenir à la somme
Une moyenne de 12 pour 9 nombres correspond à une somme totale de
\[9\times12=108.\]
La somme des huit nombres connus est
\[8+9+10+11+12+13+14+15=92.\]
Le nombre manquant vaut donc
\[108-92=\boxed{16}.\]
Vérification :
\[\begin{aligned}(92+16)/9 &= 108/9\\[.35em]&= 12\end{aligned}.\]
Corrigé 6
Démonstration · Lire des rangs dans les effectifs cumulés
Il y a \(N=20\) valeurs.
La médiane est la moyenne des valeurs de rangs 10 et 11. L'effectif cumulé atteint 14 pour la valeur 2 : ces deux rangs valent 2. Donc \(\mathrm{Med}=\boxed{2}\) .
Le rang de \(Q_1\) est \(\lceil20/4\rceil=5\) . Le 5e terme vaut 1, donc \(Q_1=\boxed{1}\) .
Le rang de \(Q_3\) est \(\lceil3\times20/4\rceil=15\) . Le 15e terme vaut 3, donc \(Q_3=\boxed{3}\) .
Enfin,
\[\begin{aligned}\text{étendue} &= 4-0\\[.35em]&= \boxed{4},\\[.35em]\text{écart interquartile} &= 3-1\\[.35em]&= \boxed{2}.\end{aligned}\]
Corrigé 7
Démonstration · Construire les cinq nombres-clés
La série contient \(N=12\) valeurs.
minimum : 2 ; maximum : 12 ;
\(Q_1\) est la valeur de rang \(\lceil12/4\rceil=3\) , donc \(Q_1=3\) ;
la médiane est la moyenne des 6e et 7e valeurs : \((6+6)/2=6\) ;
\(Q_3\) est la valeur de rang \(\lceil36/4\rceil=9\) , donc \(Q_3=7\) .
Ainsi, l'étendue vaut \(12-2=\boxed{10}\) et l'écart interquartile vaut \(7-3=\boxed{4}\) .
Agrandir ↗ Corrigé 8
Démonstration · Le centre ne suffit pas
Les deux séries ont pour moyenne 10.
Pour A,
\[\begin{aligned}V_A &= \frac{(9-10)^2+3(10-10)^2+(11-10)^2}{5}\\[.35em]&= \frac25\\[.35em]&= \boxed{0{,}4},\end{aligned}\]
donc
\[\begin{aligned}\sigma_A &= \sqrt{0{,}4}\\[.35em]&\approx \boxed{0{,}63}\end{aligned}.\]
Pour B,
\[\begin{aligned}V_B &= \frac{(-10)^2+(-5)^2+0^2+5^2+10^2}{5}\\[.35em]&= \frac{250}{5}\\[.35em]&= \boxed{50},\end{aligned}\]
donc
\[\begin{aligned}\sigma_B &= \sqrt{50}\\[.35em]&\approx \boxed{7{,}07}\end{aligned}.\]
Les centres sont identiques, mais A est beaucoup plus homogène : ses valeurs sont très proches de 10, contrairement à celles de B.
Corrigé 9
Démonstration · Appliquer les règles de transformation
Pour \(Y=aX+b\) ,
\[\overline{Y}=a\overline{X}+b
\qquad\text{et}\qquad
\sigma_Y=|a|\sigma_X.\]
Ici,
\[\begin{aligned}\overline{Y} &= 1{,}8\times18+32\\[.35em]&= \boxed{64{,}4\ ^\circ\mathrm F},\end{aligned}\]
et
\[\begin{aligned}\sigma_Y &= 1{,}8\times3{,}5\\[.35em]&= \boxed{6{,}3\ ^\circ\mathrm F}.\end{aligned}\]
Ajouter 32 décale toutes les températures de la même quantité : les écarts entre les valeurs ne changent pas. Seule la multiplication par \(1{,}8\) agrandit les écarts.
Corrigé 10
Démonstration · Conserver la somme totale
La somme initiale est \(30\times14=420\) .
Après ajout de 20,
\[\begin{aligned}\overline{x}_{\mathrm{nouvelle}} &= \frac{420+20}{31}\\[.35em]&= \frac{440}{31}\\[.35em]&\approx \boxed{14{,}19}.\end{aligned}\]
Comme 20 est supérieur à l'ancienne moyenne, la moyenne augmente.
Après retrait de 8 à la série initiale,
\[\begin{aligned}\overline{x}_{\mathrm{nouvelle}} &= \frac{420-8}{29}\\[.35em]&= \frac{412}{29}\\[.35em]&\approx \boxed{14{,}21}.\end{aligned}\]
Retirer une valeur inférieure à la moyenne fait aussi augmenter la moyenne.
Corrigé 11
Démonstration · Des classes aux estimations
Les fréquences sont \(0{,}10\) , \(0{,}30\) , \(0{,}40\) et \(0{,}20\) . Leurs valeurs cumulées sont
\[0{,}10,\quad0{,}40,\quad0{,}80,\quad1.\]
Toutes les classes ont la même amplitude, 10 minutes : on peut donc prendre les effectifs comme hauteurs de l'histogramme. Sinon, il faudrait comparer des aires et utiliser des densités.
Les centres sont 5, 15, 25 et 35. La moyenne estimée vaut
\[\begin{aligned}\overline{x} &\approx \frac{2\times5+6\times15+8\times25+4\times35}{20}\\[.35em]&= \frac{440}{20}\\[.35em]&= \boxed{22\ \text{min}}.\end{aligned}\]
Le rang médian se situe autour de 10. Or 8 valeurs sont inférieures à 20 et 16 sont inférieures à 30 : la classe médiane est \(\boxed{[20;30[}\) .
Il faut parcourir \(10-8=2\) positions parmi les 8 valeurs supposées uniformément réparties dans cette classe, soit \(2/8\) de sa largeur :
\[20+\frac{2}{8}\times10=\boxed{22{,}5\ \text{min}}.\]
Ces deux résultats sont des estimations, car les valeurs exactes à l'intérieur des classes sont inconnues.
Corrigé 12
Démonstration · Séparer position et dispersion
La série D a la moyenne la plus élevée : \(53\) contre \(50\) . Cependant, les médianes sont proches : 50 contre 49. Cela suggère que le centre des données ordinaires est voisin, tandis que certaines valeurs de D peuvent tirer sa moyenne vers le haut.
La série C est nettement plus homogène selon l'écart type : 4 contre 12. Les écarts interquartiles, 5 et 6, sont beaucoup plus proches ; la moitié centrale des deux séries a donc une dispersion comparable.
Avec ces seuls indicateurs, on ne peut pas affirmer, par exemple, que « toutes les valeurs de C sont inférieures à toutes celles de D », ni connaître la forme exacte des distributions.
Corrigé 13
Démonstration · Les deux lignes n'ont pas le même poids
La masse totale produite est
\[80\times102+120\times98=8160+11760=19920\ \text{g}.\]
Donc
\[\begin{aligned}\overline{x} &= \frac{19920}{200}\\[.35em]&= \boxed{99{,}6\ \text{g}}.\end{aligned}\]
L'erreur consiste à accorder le même poids aux deux moyennes alors que la seconde ligne produit 120 pièces et la première seulement 80. La moyenne globale est donc plus proche de 98 g que de 102 g.
Corrigé 14
Démonstration · Deux chemins vers la même variance
L'effectif total est \(N=8\) . On trouve
\[\begin{aligned}\overline{x} &= \frac{2\times1+4\times2+2\times3}{8}\\[.35em]&= \frac{16}{8}\\[.35em]&= 2,\\[.35em]\frac1N\sum n_ix_i^2 &= \frac{2\times1^2+4\times2^2+2\times3^2}{8}\\[.35em]&= \frac{36}{8}\\[.35em]&= 4{,}5.\end{aligned}\]
La formule raccourcie donne
\[V=4{,}5-2^2=\boxed{0{,}5},
\qquad
\sigma=\sqrt{0{,}5}\approx\boxed{0{,}71}.\]
Avec la définition,
\[\begin{aligned}V &= \frac{2(1-2)^2+4(2-2)^2+2(3-2)^2}{8}\\[.35em]&= \frac4{8}\\[.35em]&= 0{,}5.\end{aligned}\]
Les deux méthodes concordent.
Corrigé 15
Démonstration · La moyenne minimise les carrés des écarts
La moyenne vaut
\[\begin{aligned}\overline{x} &= (2+5+8)/3\\[.35em]&= 5\end{aligned}.\]
Développons :
\[\begin{aligned}S(a)&=(a-2)^2+(a-5)^2+(a-8)^2\\[.35em]&=3a^2-30a+93\\[.35em]&=\boxed{3(a-5)^2+18}.\end{aligned}\]
Un carré étant toujours positif ou nul, \(S(a)\) est minimale lorsque \((a-5)^2=0\) , donc pour \(\boxed{a=5}\) . La valeur minimale est 18. Dans cette série, comme en général, la moyenne est le nombre qui minimise la somme des carrés des écarts aux données.
Corrigé du problème défi Partie A : Station A
Démonstration · Questions 1 à 6
1. L'effectif total est \(2+4+8+4+2=\boxed{20}\) .
2. On obtient :
Valeur 10 12 14 16 18 Fréquence \(0{,}10\) \(0{,}20\) \(0{,}40\) \(0{,}20\) \(0{,}10\) Effectif cumulé 2 6 14 18 20
3. La distribution est symétrique autour de 14. Le calcul confirme :
\[\begin{aligned}\overline{x}_A &= \frac{2\times10+4\times12+8\times14+4\times16+2\times18}{20}\\[.35em]&= \frac{280}{20}\\[.35em]&= \boxed{14}.\end{aligned}\]
4. Les rangs 10 et 11 appartiennent au groupe de valeur 14, donc \(\mathrm{Med}_A=\boxed{14}\) .
5. Le rang de \(Q_1\) est 5 : \(Q_{1,A}=12\) . Le rang de \(Q_3\) est 15 : \(Q_{3,A}=16\) . Ainsi,
\[\begin{aligned}IQR_A &= 16-12\\[.35em]&= \boxed{4}.\end{aligned}\]
6. En exploitant les écarts à 14,
\[\begin{aligned}V_A &= \frac{2(-4)^2+4(-2)^2+8(0)^2+4(2)^2+2(4)^2}{20}\\[.35em]&= \frac{96}{20}\\[.35em]&= \boxed{4{,}8}.\end{aligned}\]
Donc
\[\begin{aligned}\sigma_A &= \sqrt{4{,}8}\\[.35em]&\approx \boxed{2{,}19}.\end{aligned}\]
Partie B : Station B
Démonstration · Questions 7 à 10
7. La distribution est elle aussi symétrique autour de 14 :
\[\begin{aligned}\overline{x}_B &= \frac{2\times8+4\times11+8\times14+4\times17+2\times20}{20}\\[.35em]&= \frac{280}{20}\\[.35em]&= \boxed{14}.\end{aligned}\]
8. Les rangs 10 et 11 valent 14, donc \(\mathrm{Med}_B=14\) . Les rangs 5 et 15 valent respectivement 11 et 17 :
\[Q_{1,B}=11,\qquad Q_{3,B}=17,
\qquad IQR_B=\boxed{6}.\]
9. Avec les écarts \(-6\) , \(-3\) , 0, 3 et 6,
\[\begin{aligned}V_B &= \frac{2\times36+4\times9+8\times0+4\times9+2\times36}{20}\\[.35em]&= \frac{216}{20}\\[.35em]&= \boxed{10{,}8},\end{aligned}\]
d'où
\[\begin{aligned}\sigma_B &= \sqrt{10{,}8}\\[.35em]&\approx \boxed{3{,}29}.\end{aligned}\]
10. Les deux stations ont le même centre : moyenne et médiane égales à 14. En revanche, A est plus homogène, car son écart interquartile et son écart type sont plus petits : \(4<6\) et \(2{,}19<3{,}29\) .
Partie C : Données regroupées
Démonstration · Questions 11 à 16
11. Les fréquences sont \(0{,}10\) , \(0{,}30\) , \(0{,}40\) et \(0{,}20\) ; les fréquences cumulées sont \(0{,}10\) , \(0{,}40\) , \(0{,}80\) et 1.
12. Les classes ont toutes une largeur de 10 minutes. Un histogramme correct comporte donc quatre rectangles jointifs de hauteurs 2, 6, 8 et 4.
Agrandir ↗ 13. Les centres 5, 15, 25 et 35 donnent
\[\begin{aligned}\overline{x} &\approx \frac{2\times5+6\times15+8\times25+4\times35}{20}\\[.35em]&= \boxed{22\ \text{min}}.\end{aligned}\]
14. Le seuil médian est au rang 10. Il est atteint dans \(\boxed{[20;30[}\) , car l'effectif cumulé passe de 8 à 16.
15. Il reste \(10-8=2\) valeurs à parcourir parmi les 8 de cette classe. Sous l'hypothèse uniforme,
\[\begin{aligned}m &\approx 20+\frac{2}{8}\times(30-20)\\[.35em]&= \boxed{22{,}5\ \text{min}}.\end{aligned}\]
16. Les positions exactes dans chaque classe sont inconnues. Remplacer chaque classe par son centre et supposer une répartition uniforme sont deux modèles utiles, mais ils ne reconstituent pas les données initiales.
Partie D : Calibrage affine
Démonstration · Questions 17 à 20
La fonction \(x\mapsto1{,}2x-2\) est croissante : elle conserve donc l'ordre des données.
17.
\[\begin{aligned}\overline{Y} &= 1{,}2\overline{X}-2\\[.35em]&= 1{,}2\times14-2\\[.35em]&= \boxed{14{,}8}.\end{aligned}\]
18.
\[\begin{aligned}\mathrm{Med}_Y &= 1{,}2\times14-2\\[.35em]&= \boxed{14{,}8},\end{aligned}\]
\[Q_{1,Y}=1{,}2\times12-2=\boxed{12{,}4},
\qquad
Q_{3,Y}=1{,}2\times16-2=\boxed{17{,}2}.\]
19. Une translation ne change pas l'écart type et une multiplication par \(1{,}2\) le multiplie par \(1{,}2\) :
\[\begin{aligned}\sigma_Y &= 1{,}2\sqrt{4{,}8}\\[.35em]&\approx \boxed{2{,}63}.\end{aligned}\]
20.
\[\begin{aligned}V_Y &= 1{,}2^2V_X\\[.35em]&= 1{,}44\times4{,}8\\[.35em]&= \boxed{6{,}912}.\end{aligned}\]
On peut contrôler que \(\sqrt{6{,}912}\approx2{,}63\) .
Partie E : Série réunie
Démonstration · Questions 21 à 23
21. Les groupes ont chacun 20 valeurs et une moyenne égale à 14 :
\[\begin{aligned}\overline{x}_{A\cup B} &= \frac{20\times14+20\times14}{40}\\[.35em]&= \boxed{14}.\end{aligned}\]
22. Tous les écarts sont mesurés à la même moyenne 14. La somme des carrés des écarts de A vaut \(20V_A\) et celle de B vaut \(20V_B\) . Ainsi,
\[\begin{aligned}V_{A\cup B} &= \frac{20V_A+20V_B}{40}\\[.35em]&= \frac{V_A+V_B}{2}\\[.35em]&= \frac{4{,}8+10{,}8}{2}\\[.35em]&= \boxed{7{,}8}.\end{aligned}\]
Donc
\[\begin{aligned}\sigma_{A\cup B} &= \sqrt{7{,}8}\\[.35em]&\approx \boxed{2{,}79}.\end{aligned}\]
23. Les écarts types vérifient
\[2{,}19<2{,}79<3{,}29.\]
Le classement de la plus homogène à la plus dispersée est donc
\[\boxed{\begin{aligned}
\text{station A} &< \text{série réunie}\\
&< \text{station B}
\end{aligned}}.\]
La variance globale est bien intermédiaire, car elle est ici la moyenne des deux variances. Cette conclusion utilise le fait essentiel que les deux groupes ont la même moyenne.
Fiche-mémoire Agrandir ↗ Définition · Effectif et fréquence
\[N=\sum n_i,
\qquad f_i=\frac{n_i}{N},
\qquad \sum f_i=1.\]
Définition · Moyenne
\[\begin{aligned}\overline{x} &= \frac{\sum n_ix_i}{N}\\[.35em] &= \sum f_ix_i.\end{aligned}\]
Elle utilise toutes les valeurs, mais elle est sensible aux valeurs extrêmes.
Méthode · Données en classes
Centre de \([a;b[\) : \((a+b)/2\) .
\[\overline{x}\approx\frac{\sum n_i c_i}{N}.\]
Le résultat est une estimation.
Définition · Dispersion
\[\text{étendue}=\max-\min,
\qquad IQR=Q_3-Q_1.\]
\[V=\frac1N\sum n_i(x_i-\overline{x})^2,
\qquad \sigma=\sqrt V.\]
Méthode · Formule raccourcie
\[V=\frac1N\sum n_ix_i^2-\overline{x}^{2}.\]
Ne pas oublier le carré de la moyenne.
Méthode · Transformation affine
Si \(Y=aX+b\) ,
\[\overline{Y}=a\overline{X}+b,
\qquad \sigma_Y=|a|\sigma_X,\]
\[V_Y=a^2V_X.\]
Attention · Les quatre pièges
Ne pas oublier de trier pour la médiane ; ne pas moyenner deux moyennes sans les effectifs ; ne pas confondre variance et écart type ; ne pas présenter comme exacte une moyenne calculée avec des centres de classes.
Idée à retenir : un indicateur résume, mais il ne raconte jamais toute l'histoire. Associe toujours un centre, une dispersion et une représentation.
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