Statistiques à une variable · Seconde générale

Avant de commencer5 questions pour vérifier tes bases

1. Augmenter une quantité de 20 %, c’est la multiplier par…

0,21,220

2. Une bibliothèque compte 12 emprunts lundi, 8 mardi et 15 mercredi. Combien d’emprunts sur les trois jours ?

35153

3. Quel est l’ordre croissant des valeurs 4,5 ; 4,05 ; 4,55 ?

4,05 ; 4,5 ; 4,554,55 ; 4,5 ; 4,054,5 ; 4,05 ; 4,55

4. Que vaut 2 × 3 + 4 × 5 ?

267050

5. Parmi 80 objets, 20 sont rouges. Quelle est la proportion d’objets rouges ?

20/80 = 1/480/20 = 420/100 = 1/5

Ton parcours dans ce chapitre

Résumer des données demande de choisir ce que l’on veut comprendre. Une moyenne, un rang et une dispersion ne répondent pas à la même question.

Bases à reprendre : fractions, pourcentages et carré d’un nombre. On travaille sur des séries finies non vides de nombres réels finis ; les effectifs sont des entiers positifs ou nuls de somme $$N>0$$ . Les pauses permettent d’essayer avec deux indices et une explication disponibles librement.

Repères 2026–2027 : les centres, l’écart type, l’effet de l’ajout ou du retrait d’une valeur et les données groupées sont travaillés dans le parcours. Les proportions et évolutions se prolongent dans la fiche 12. La formule raccourcie de variance, la minimisation et les scores centrés-réduits sont des approfondissements guidés.

Pourquoi étudier les statistiques ?

Une liste de centaines de valeurs est souvent illisible. Les statistiques cherchent à la résumer sans mentir : où se situe son centre, comment les valeurs se dispersent-elles, existe-t-il des valeurs inhabituelles, et comment comparer deux groupes ?

Vocabulaire et organisation des données

Population, individus et caractère

Effectifs et fréquences

À toi d’essayer

Lire les personnes derrière les nombres

Le tableau des livres comporte cinq valeurs possibles et vingt élèves. Pourquoi la moyenne ne se calcule-t-elle pas en additionnant $$0,1,2,3,4$$ puis en divisant par $$5$$ ? Combien d’élèves ont lu au plus un livre ?

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Une valeur présente sept fois doit compter sept fois.

Indice 2 · Un pas de plus

« Au plus un » inclut $$0$$ et $$1$$ ; additionne leurs effectifs.

Voir l’explication

Les cinq modalités n’ont pas le même poids. La division par $$5$$ traiterait chaque modalité comme une personne et donnerait $$2$$ , alors que la moyenne réelle est $$39/20=1{,}95$$ . On compte $$2+5=7$$ élèves ayant lu au plus un livre, soit $7/20=35\,\%$ . À réessayer : trouve la proportion ayant lu strictement plus de deux livres : $$6/20$$ .

Représenter une série statistique

Diagramme en bâtons

Pour une variable quantitative discrète, chaque valeur est représentée par un bâton dont la hauteur est proportionnelle à son effectif ou à sa fréquence.

À toi d’essayer

Choisir ce qui détermine la hauteur

Dans le diagramme des livres, quelle barre est la plus haute ? Représenter les fréquences changerait-il l’ordre des hauteurs ? La barre en $$0$$ doit-elle disparaître ?

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

La hauteur décrit un nombre d’élèves, pas un nombre de livres.

Indice 2 · Un pas de plus

Passer aux fréquences divise toutes les hauteurs par le même nombre $$20$$ .

Voir l’explication

La barre en $$2$$ est la plus haute, avec $$7$$ élèves. L’ordre est conservé par la division par $$20>0$$ . La barre en $$0$$ reste présente, de hauteur $$2$$ élèves ou $10\,\%$ : zéro livre n’est pas zéro personne. À réessayer : explique comment modifier l’axe vertical et sa légende pour représenter des pourcentages.

Lire un diagramme circulaire ou semi-circulaire

Un diagramme circulaire partage un disque selon des catégories. Dans un diagramme semi-circulaire, on partage un demi-disque. La proportion est représentée par la part de l'angle total, pas par un rayon différent pour chaque catégorie.

Exemple · Les mêmes proportions, deux dessins

Dans une enquête fictive auprès de $$40$$ personnes, le transport principal déclaré est la marche pour $$20$$ , le bus pour $$12$$ , le vélo pour $$8$$ .

Catégorie	Effectif	Fréquence	Cercle	Demi-cercle
A : marche	20	$50\,\%$	$180^\circ$	$90^\circ$
B : bus	12	$30\,\%$	$108^\circ$	$54^\circ$
C : vélo	8	$20\,\%$	$72^\circ$	$36^\circ$
Total	40	$100\,\%$	$360^\circ$	$180^\circ$

Par exemple, la part du bus est $$12/40=0{,}30$$ . Son angle vaut $360\times0{,}30=108^\circ$ dans le cercle et $180\times0{,}30=54^\circ$ dans le demi-cercle. L'angle est divisé par deux, mais la proportion reste $30\,\%$ .

Schéma : Lire un diagramme circulaire ou semi-circulaire

À toi d’essayer

Le même angle n'a pas toujours la même signification

Un secteur de bus mesure $54^\circ$ dans un diagramme semi-circulaire représentant $$200$$ personnes. Quelle proportion et quel effectif représente-t-il ? Quel serait son angle dans un cercle entier ? Si un secteur mesurait $54^\circ$ dans un cercle entier, représenterait-il la même proportion ?

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Le total vaut $180^\circ$ pour le demi-cercle, $360^\circ$ pour le cercle.

Indice 2 · Un pas de plus

Commence par $$54/180$$ , puis applique cette proportion aux $$200$$ personnes.

Voir l’explication

Dans le demi-cercle,

\begin{aligned}f&=\frac{54}{180}\\[.35em]&= 0{,}30\\[.35em]&= 30\,\%,\\[.35em]n &= 0{,}30\times200\\[.35em]&= 60.\end{aligned}

La même catégorie ferait $360\times0{,}30=108^\circ$ dans un cercle entier. En revanche, $54^\circ$ dans un cercle entier correspond à

\begin{aligned}54/360 &= 0{,}15\\[.35em] &= 15\,\%,\end{aligned}

soit $$30$$ personnes sur $$200$$ . À réessayer : un secteur de $36^\circ$ dans un demi-cercle représente $20\,\%$ ; pour une population de $$80$$ personnes, retrouve l'effectif $$16$$ . Explique pourquoi deux secteurs de même proportion ne représentent pas toujours le même nombre de personnes.

Lire un nuage de points : deux mesures par observation

Un nuage de points place une observation à chaque couple de mesures $$(x;y)$$ . L'axe horizontal décrit la première variable quantitative ; l'axe vertical décrit la seconde. Une même abscisse peut correspondre à plusieurs observations : un nuage n'est pas nécessairement la courbe d'une fonction.

Exemple · Température et ventes observées

Voici des données fictives relevées sur huit journées : la température à midi en degrés Celsius et le nombre de portions vendues pendant l'heure suivante.

Journée	1	2	3	4	5	6	7	8
Température ( ${}^\circ$ C)	10	12	14	16	18	20	20	24
Portions vendues	12	18	15	25	30	24	34	40

Le point $$(16;25)$$ signifie qu'une journée à $16\,{}^\circ$ C a compté $$25$$ portions vendues dans l'heure considérée. Les coordonnées ne donnent pas un numéro de journée : chaque axe a sa propre grandeur et son unité.

Schéma : Lire un nuage de points : deux mesures par observation

On ne relie pas automatiquement les points : on n'a pas mesuré toutes les températures intermédiaires, et deux journées à la même température peuvent avoir des ventes différentes. On observe ici une tendance générale à davantage de ventes quand il fait plus chaud, avec de la dispersion. Ce seul relevé ne prouve pas que la température est la cause des différences : fréquentation, jour de la semaine ou autres facteurs peuvent intervenir.

À toi d’essayer

Une tendance ne prévoit pas chaque observation

Lis les deux nombres de portions observés à $20\,{}^\circ$ C. Le graphique permet-il de garantir le nombre vendu demain à cette température ? Réfute ensuite, avec deux points du graphique, la phrase « une température plus élevée donne toujours plus de ventes ». Cette réfutation interdit-elle de décrire une tendance générale ?

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Une verticale passant par $$20$$ rencontre deux observations. Pour réfuter « toujours », il suffit de deux observations qui contredisent la comparaison annoncée.

Indice 2 · Un pas de plus

Compare les points $$(12;18)$$ et $$(14;15)$$ . La seconde température est plus grande, mais son nombre de portions est plus petit.

Voir l’explication

À $20\,{}^\circ$ C, les deux journées ont donné $$24$$ et $$34$$ portions. On ne peut donc pas lire une règle unique ni garantir la vente future.

Les points $$(12;18)$$ et $$(14;15)$$ contredisent « toujours plus » : $$14>12$$ mais $$15<18$$ . Cette variation locale n'efface pas la tendance globale visible dans ces huit observations. La tendance n'est ni une loi exacte, ni une preuve de causalité. À réessayer : si l'on échange les axes, le point $$(16;25)$$ devient $$(25;16)$$ . Nomme alors la grandeur de chaque axe et explique pourquoi on conserve les mêmes observations, avec un autre ordre des coordonnées.

Effectifs cumulés et fréquences cumulées

Pour la série des livres, les effectifs cumulés sont $$2,7,14,18,20$$ . Ils permettent de localiser immédiatement la médiane et les quartiles.

La moyenne

Moyenne simple et moyenne pondérée

Linéarité de la moyenne

Ajouter, retirer ou réunir des données

À toi d’essayer

Retrouver la somme avant de réunir

Deux groupes contiennent respectivement $$2$$ et $$8$$ valeurs, de moyennes $$10$$ et $$15$$ . Prévois de quelle moyenne le résultat global sera le plus proche, puis calcule.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Le deuxième groupe contient quatre fois plus de valeurs.

Indice 2 · Un pas de plus

Reconstruis les sommes $2\times10$ et $8\times15$ .

Voir l’explication

La somme vaut $$20+120=140$$ pour $$10$$ valeurs : la moyenne est $$14$$ . Elle est plus proche de $$15$$ . La moyenne simple $$12{,}5$$ donnerait le même poids aux deux groupes. Si leurs moyennes étaient égales, elle donnerait aussi le bon résultat même avec des tailles différentes. À réessayer : échange les effectifs et retrouve $$11$$ .

Médiane et quartiles

La médiane partage la série en deux

À toi d’essayer

Ajouter une valeur change aussi les rangs

Pour $$2,4,6$$ , calcule moyenne et médiane. Ajoute $$100$$ , puis recommence. Retire ensuite $$100$$ . La médiane est-elle toujours inchangée lorsqu’on ajoute une valeur extrême ?

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Après l’ajout, il y a quatre valeurs : on utilise les deux rangs centraux.

Indice 2 · Un pas de plus

La nouvelle somme vaut $$112$$ ; les valeurs centrales sont $$4$$ et $$6$$ .

Voir l’explication

Initialement, moyenne et médiane valent $$4$$ . Après ajout, la moyenne vaut $$112/4=28$$ et la médiane $$(4+6)/2=5$$ . Le retrait redonne la série initiale. La médiane a changé de $$1$$ : elle résiste mieux ici, mais n’est pas immuable. À réessayer : remplace $$100$$ par $$1000$$ . La médiane reste $$5$$ , tandis que la moyenne devient $$253$$ .

Les quartiles

À toi d’essayer

Un rang n’est pas une valeur

Pour $$1,2,2,2,9,10,11$$ , détermine $$Q_1$$ , la médiane et $$Q_3$$ . Combien de valeurs appartiennent à $$[Q_1;Q_3]$$ ?

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Les rangs des quartiles sont les plafonds de $$7/4$$ et $$21/4$$ .

Indice 2 · Un pas de plus

Ils valent $$2$$ et $$6$$ ; la médiane occupe le rang $$4$$ .

Voir l’explication

On obtient $$Q_1=2$$ , médiane $$2$$ et $$Q_3=10$$ . Le rang $$6$$ correspond à la valeur $$10$$ , pas à $$6$$ . Cinq valeurs sur sept appartiennent à $$[2;10]$$ : la boîte peut contenir plus de la moitié des données, notamment avec des répétitions. À réessayer : pour sept valeurs toutes égales à $$3$$ , la boîte a une largeur nulle et contient toutes les données.

Les logiciels n’emploient pas tous la même convention pour les quartiles. Ici, on utilise toujours les rangs arrondis à l’entier supérieur définis ci-dessus ; une différence de convention n’est pas une erreur de calcul.

Boîte à moustaches

Une boîte à moustaches représente le minimum, $$Q_1$$ , la médiane, $$Q_3$$ et le maximum.

Mesurer la dispersion

Étendue et écart interquartile

Variance et écart type

À toi d’essayer

Reconstituer chaque étape de l’écart type

Pour $$1,3,5$$ , calcule la moyenne, les écarts, leurs carrés, la variance et l’écart type. Pourquoi l’écart type n’est-il pas $$8$$ ?

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Les écarts à la moyenne sont $$-2,0,2$$ .

Indice 2 · Un pas de plus

La somme des carrés est $$8$$ : il reste à diviser par le nombre de valeurs puis à prendre la racine.

Voir l’explication

La moyenne vaut $$3$$ . Les carrés valent $$4,0,4$$ ; ainsi $$V=8/3$$ puis

\begin{aligned}\sigma &= \sqrt{8/3}\\[.35em]&\approx 1{,}63\end{aligned}.

La somme $$8$$ n’est ni la variance ni l’écart type. À réessayer : ajoute $$10$$ à chaque donnée. La moyenne devient $$13$$ , les écarts et l’écart type restent les mêmes.

Données regroupées en classes

Pourquoi regrouper ?

Pour une variable continue, les valeurs exactes peuvent être très nombreuses. On les regroupe en intervalles appelés classes. La classe $$[10;20[$$ contient $$10$$ mais pas $$20$$ .

Histogramme

Moyenne estimée avec les centres de classes

À toi d’essayer

La moyenne exacte peut rester inconnue

On sait seulement que deux valeurs sont dans $$[0;10[$$ et deux autres dans $$[10;20[$$ . Donne deux séries compatibles ayant des moyennes différentes. Quelle estimation donnent les centres ?

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Essaie $$0,0,10,10$$ , puis $$9,9,19,19$$ .

Indice 2 · Un pas de plus

Les centres des deux classes sont $$5$$ et $$15$$ , avec le même effectif.

Voir l’explication

Les deux séries proposées ont pour moyennes $$5$$ et $$14$$ . Le même tableau de classes ne détermine donc pas la moyenne exacte. Les centres donnent l’estimation $$10$$ . En revanche, si la moyenne exacte de chaque classe est fournie, leur moyenne pondérée est exacte. À réessayer : justifie l’encadrement $5\leqslant\overline x<15$ en utilisant les bornes de chaque classe.

Classe médiane et interpolation

Les fréquences cumulées de l'exemple sont $$0{,}10$$ , $$0{,}40$$ , $$0{,}80$$ , $$1$$ . La fréquence $$0{,}50$$ est atteinte dans $$[20;30[$$ : c'est la classe médiane.

À toi d’essayer

Distinguer un modèle et une mesure

Dans l’exemple des trajets, pourquoi l’estimation médiane $$22{,}5$$ ne prouve-t-elle pas qu’une personne a mis exactement $$22{,}5$$ minutes ? Que peut-on dire des rangs $$10$$ et $$11$$ ?

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Le tableau place les rangs $$9$$ à $$16$$ dans $$[20;30[$$ sans donner leurs positions exactes.

Indice 2 · Un pas de plus

Le segment du polygone suppose une progression régulière dans la classe.

Voir l’explication

Les deux valeurs centrales sont dans $$[20;30[$$ , donc leur moyenne y est aussi, mais elles peuvent varier. L’interpolation fournit $$22{,}5$$ dans un modèle uniforme ; ce n’est pas une observation retrouvée. À réessayer : place les huit valeurs de cette classe à $$21$$ , puis à $$29$$ . Les deux médianes deviennent $$21$$ et $$29$$ avec les mêmes effectifs de classes.

Cas de frontière : si $$N/2$$ est exactement un effectif cumulé et $$N$$ est pair, les deux rangs centraux peuvent appartenir à deux classes différentes. Il faut alors examiner ces deux rangs ; les seules bornes ne donnent pas nécessairement la médiane exacte.

Comparer deux séries

Une valeur se déplace, le résumé change

On garde $$2,3,4,4,5,5,6,7$$ et l’on ajoute une neuvième valeur $t\geqslant7$ . La médiane reste $$5$$ , car le cinquième rang ne bouge pas, tandis que la moyenne vaut $$(36+t)/9$$ .

$$t$$	7	9	25
Moyenne	$$43/9$$	$$5$$	$$61/9$$
Médiane	5	5	5
$$Q_1;Q_3$$	$$4;6$$	$$4;6$$	$$4;6$$

Déplacer une valeur : moyenne et médiane

La série est 2 ; 3 ; 4 ; 4 ; 5 ; 5 ; 6 ; 7 ; t. Prévois ce que deviennent sa moyenne et sa médiane quand t passe de 9 à 25.

Chaque point représente une observation ; les valeurs égales sont empilées. La droite corail indique la moyenne, la droite bleue en pointillés la médiane. L’axe reste fixe.

Avec t = 9, la somme vaut 45 : la moyenne et la médiane valent 5. Avec t = 25, la somme vaut 61 : la moyenne vaut 61/9 ≈ 6,78, mais la cinquième valeur reste 5. Les quartiles restent 4 et 6.

Lire les valeurs et les coordonnées

Avec t = 9, la somme vaut 45 : la moyenne et la médiane valent 5. Avec t = 25, la somme vaut 61 : la moyenne vaut 61/9 ≈ 6,78, mais la cinquième valeur reste 5. Les quartiles restent 4 et 6.

La médiane reste ici fixe parce que les rangs du milieu ne changent pas. Cela ne veut pas dire qu’elle ne change jamais. Explique pourquoi la moyenne augmente de 1/9 quand t augmente de 1, et observe l’écart-type.

Schéma : Une valeur se déplace, le résumé change

Les deux lignes utilisent le même axe : un point par observation. Le trait plein marque la moyenne ; la verticale en pointillés marque la médiane. Déplacer le point de $$9$$ à $$25$$ attire la moyenne vers la droite. Déplacer une valeur et ajouter une nouvelle valeur ne sont pas la même opération : le premier garde les rangs au nombre de neuf, le second change aussi l’effectif.

Calculer avec Python

Le code ci-dessous se lit avec une liste finie non vide. La syntaxe des listes est fournie ; l’objectif est de reconnaître les calculs de moyenne et d’écart type. Un fichier vide ne possède pas de moyenne définie.

from math import sqrt

def indicateurs(valeurs):
    n = len(valeurs)
    if n == 0:
        raise ValueError("serie non vide attendue")
    moyenne = sum(valeurs) / n
    variance = sum((x - moyenne)**2 for x in valeurs) / n
    return moyenne, sqrt(variance)

serie = [0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2,
         2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4]
print(indicateurs(serie))  # (1.95, environ 1.117)

Pour aller plus loin - Accessible à tous

Une formule plus rapide pour la variance

Transformer l'écart type

Pourquoi la moyenne est-elle un centre naturel ?

Score centré-réduit

À toi d’essayer

Expliquer un changement d’échelle

Une série a pour moyenne $$4$$ et écart type $$2$$ . Chaque donnée est remplacée par $$10-3x$$ . Prévois la nouvelle moyenne et le nouvel écart type. Que se passe-t-il si toutes les données sont remplacées par $$10$$ ?

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Le coefficient multiplicatif vaut $$-3$$ , mais une dispersion ne devient pas négative.

Indice 2 · Un pas de plus

Utilise la valeur absolue de $$-3$$ pour les distances.

Voir l’explication

La moyenne devient $10-3\times4=-2$ ; l’écart type devient $3\times2=6$ . Si toutes les données deviennent $$10$$ , la moyenne vaut $$10$$ et l’écart type $$0$$ . À réessayer : explique pourquoi le score centré-réduit n’est plus défini dans ce dernier cas : il faudrait diviser par zéro.

Boîte à outils et erreurs à éviter

Exercices progressifs

Exercice 1 ★☆☆ : Vocabulaire statistique

On étudie le temps, en minutes, mis par chacun des 50 salariés d'une entreprise pour venir travailler.

Identifier la population, un individu, le caractère étudié, sa nature et une unité adaptée. Expliquer pourquoi le temps n'est pas, en théorie, un caractère discret.

Exercice 2 ★☆☆ : Effectifs et fréquences

Le nombre de livres lus pendant un mois par 20 élèves est résumé ci-dessous.

Nombre de livres $$x_i$$	0	1	2	3	4
Effectif $$n_i$$	2	5	7	4	2

Vérifier l'effectif total.
Calculer les fréquences, puis les effectifs cumulés croissants.
Quelle proportion d'élèves a lu au moins deux livres ?

Exercice 3 ★☆☆ : Calculer une moyenne

Avec les données de l'exercice 2, calculer le nombre moyen de livres lus. Interpréter le résultat sans prétendre qu'un élève a nécessairement lu ce nombre de livres.

Exercice 4 ★☆☆ : Réunir deux groupes

Dans la classe A, 24 élèves ont obtenu une moyenne de $$12{,}5$$ . Dans la classe B, 36 élèves ont obtenu une moyenne de $$14{,}5$$ .

Calculer la moyenne des 60 élèves. Pourquoi la moyenne globale n'est-elle pas la moyenne simple de $$12{,}5$$ et $$14{,}5$$ ?

Exercice 5 ★☆☆ : Retrouver une valeur

Neuf nombres ont pour moyenne 12. Huit d'entre eux sont

8,\ 9,\ 10,\ 11,\ 12,\ 13,\ 14,\ 15.

Déterminer le neuvième nombre et vérifier le résultat.

Exercice 6 ★★☆ : Médiane et quartiles

Reprendre la série de l'exercice 2. Déterminer la médiane, le premier quartile $$Q_1$$ , le troisième quartile $$Q_3$$ , l'étendue et l'écart interquartile. Justifier chaque réponse avec un rang ou un effectif cumulé.

Exercice 7 ★★☆ : Boîte à moustaches

On considère la série ordonnée

2,\ 3,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 6,\ 6,\ 7,\ 8,\ 10,\ 12.

Déterminer le minimum, $$Q_1$$ , la médiane, $$Q_3$$ et le maximum.
Calculer l'étendue et l'écart interquartile.
Tracer la boîte à moustaches sur un axe gradué de 0 à 12.

Exercice 8 ★★☆ : Même moyenne, dispersions différentes

On compare les deux séries

\begin{aligned}&A: 9,\ 10,\ 10,\ 10,\ 11\\[.35em]&\text{et}\quad B: 0,\ 5,\ 10,\ 15,\ 20.\end{aligned}

Calculer, pour chacune, la moyenne, la variance et l'écart type. Interpréter la comparaison.

Exercice 9 ★★☆ : Changement d'unité

Une température $$X$$ , exprimée en degrés Celsius, a pour moyenne $$18$$ et pour écart type $$3{,}5$$ . On la convertit en degrés Fahrenheit par

\[Y=1{,}8X+32.\]

Déterminer la moyenne et l'écart type de $$Y$$ . Expliquer pourquoi ajouter 32 ne modifie pas l'écart type.

Exercice 10 ★★☆ : Ajouter ou retirer une donnée

Une série de 30 valeurs a pour moyenne 14.

On ajoute la valeur 20. Calculer la nouvelle moyenne.
En repartant de la série initiale, on retire une valeur égale à 8. Calculer la nouvelle moyenne.
Dans chaque cas, expliquer le sens de la variation avant même de calculer.

Exercice 11 ★★☆ : Données regroupées en classes

Les durées, en minutes, de 20 trajets sont regroupées ainsi.

Durée	$$[0;10[$$	$$[10;20[$$	$$[20;30[$$	$$[30;40[$$
Effectif	2	6	8	4

Calculer les fréquences et les fréquences cumulées croissantes.
Tracer l'histogramme. Pourquoi peut-on prendre les effectifs comme hauteurs ici ?
Estimer la moyenne à l'aide des centres des classes.
Déterminer la classe médiane, puis estimer la médiane en supposant une répartition uniforme dans cette classe.

Exercice 12 ★★☆ : Comparer sans surinterpréter

Deux séries $$C$$ et $$D$$ ont les résumés suivants.

	Moyenne	Écart type	Médiane	Écart interquartile
$$C$$	50	4	49	5
$$D$$	53	12	50	6

Comparer le niveau central et la dispersion des deux séries. Donner ensuite une affirmation que ces seuls indicateurs ne permettent pas de justifier.

Exercice 13 ★★★ : Une moyenne pondérée trompeuse

Une usine possède deux lignes de production. La première fabrique 80 pièces de masse moyenne 102 g ; la seconde en fabrique 120 de masse moyenne 98 g.

Calculer la masse moyenne des 200 pièces. Un élève affirme : « La moyenne vaut 100 g, car 100 est au milieu de 98 et 102. » Expliquer précisément son erreur.

Exercice 14 ★★★ : Formule raccourcie de la variance

La série suivante est donnée par effectifs.

$$x_i$$	1	2	3
$$n_i$$	2	4	2

Calculer $\overline{x}$ et la moyenne des carrés $\dfrac1N\sum n_ix_i^2$ .
Utiliser $V=\dfrac1N\sum n_ix_i^2-\overline{x}^{2}$ pour calculer la variance et l'écart type.
Vérifier la variance avec la définition fondée sur les écarts à la moyenne.

Exercice 15 ★★★ : La meilleure valeur centrale

Pour les données $$2$$ , $$5$$ et $$8$$ , on pose

\[S(a)=(2-a)^2+(5-a)^2+(8-a)^2.\]

Calculer la moyenne de la série.
Montrer que $$S(a)=3(a-5)^2+18$$ .
En déduire la valeur de $$a$$ qui minimise $$S(a)$$ et interpréter ce résultat.

Problème défi : deux stations de mesure

Deux stations mesurent chaque jour une même grandeur. Durant une première période de 20 jours, on obtient les tableaux suivants.

Station A : valeur	10	12	14	16	18
Effectif	2	4	8	4	2

Station B : valeur	8	11	14	17	20
Effectif	2	4	8	4	2

Partie A : Étudier la station A

Vérifier que l'effectif total est 20.
Calculer les fréquences et les effectifs cumulés croissants.
Calculer la moyenne.
Déterminer la médiane.
Déterminer $$Q_1$$ , $$Q_3$$ et l'écart interquartile.
Calculer la variance et l'écart type, arrondi au centième.

Partie B : Comparer avec la station B

Calculer la moyenne de B.
Déterminer sa médiane, ses quartiles et son écart interquartile.
Calculer sa variance et son écart type, arrondi au centième.
Comparer les deux stations avec une phrase complète portant sur la position et la dispersion.

Partie C : Une nouvelle période, données regroupées

La station A fournit 20 nouvelles durées, regroupées en classes de même amplitude.

Durée	$$[0;10[$$	$$[10;20[$$	$$[20;30[$$	$$[30;40[$$
Effectif	2	6	8	4

Calculer les fréquences et les fréquences cumulées.
Tracer l'histogramme.
Estimer la moyenne à l'aide des centres des classes.
Identifier la classe médiane.
En supposant les valeurs uniformément réparties dans cette classe, estimer la médiane par interpolation linéaire.
Expliquer pourquoi les réponses aux questions 13 et 15 sont des estimations.

Partie D : Calibrer la station A

Après étalonnage, chaque valeur $$X$$ de la première période est remplacée par

\[Y=1{,}2X-2.\]

Calculer la moyenne de $$Y$$ .
Déterminer la médiane, $$Q_1$$ et $$Q_3$$ de $$Y$$ .
Déterminer l'écart type de $$Y$$ .
Déterminer sa variance.

Partie E : Regrouper les deux stations

On réunit les 20 mesures de A et les 20 mesures de B de la première période.

Calculer la moyenne des 40 mesures.
Les deux séries ayant la même moyenne, montrer que la variance de la série réunie est la moyenne de leurs variances. En déduire l'écart type global.
Classer A, B et la série réunie de la plus homogène à la plus dispersée. Justifier.

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Corrigé 2

Démonstration · Du comptage aux fréquences

L'effectif total est

\begin{aligned}N &= 2+5+7+4+2\\[.35em]&= 20.\end{aligned}

On divise chaque effectif par 20.

$$x_i$$	0	1	2	3	4
$$n_i$$	2	5	7	4	2
$$f_i$$	$$0{,}10$$	$$0{,}25$$	$$0{,}35$$	$$0{,}20$$	$$0{,}10$$
Effectif cumulé	2	7	14	18	20

Contrôle : $$0{,}10+0{,}25+0{,}35+0{,}20+0{,}10=1$$ .

Au moins deux livres signifie 2, 3 ou 4 livres. Il y a $$7+4+2=13$$ élèves, soit

\begin{aligned}\frac{13}{20} &= 0{,}65\\[.35em]&= \boxed{65\,\%}.\end{aligned}

Corrigé 3

Corrigé 4

Corrigé 5

Corrigé 6

Corrigé 7

Corrigé 8

Corrigé 9

Corrigé 10

Corrigé 11

Démonstration · Des classes aux estimations

Les fréquences sont $$0{,}10$$ , $$0{,}30$$ , $$0{,}40$$ et $$0{,}20$$ . Leurs valeurs cumulées sont

0{,}10,\quad0{,}40,\quad0{,}80,\quad1.

Toutes les classes ont la même amplitude, 10 minutes : on peut donc prendre les effectifs comme hauteurs de l'histogramme. Sinon, il faudrait comparer des aires et utiliser des densités.

Les centres sont 5, 15, 25 et 35. La moyenne estimée vaut

\begin{aligned}\overline{x} &\approx \frac{2\times5+6\times15+8\times25+4\times35}{20}\\[.35em]&= \frac{440}{20}\\[.35em]&= \boxed{22\ \text{min}}.\end{aligned}

Le rang médian se situe autour de 10. Or 8 valeurs sont inférieures à 20 et 16 sont inférieures à 30 : la classe médiane est $\boxed{[20;30[}$ .

Il faut parcourir $$10-8=2$$ positions parmi les 8 valeurs supposées uniformément réparties dans cette classe, soit $$2/8$$ de sa largeur :

20+\frac{2}{8}\times10=\boxed{22{,}5\ \text{min}}.

Ces deux résultats sont des estimations, car les valeurs exactes à l'intérieur des classes sont inconnues.

Corrigé 12

Corrigé 13

Corrigé 14

Corrigé 15

Corrigé du problème défi

Partie A : Station A

Démonstration · Questions 1 à 6

1. L'effectif total est $2+4+8+4+2=\boxed{20}$ .

2. On obtient :

Valeur	10	12	14	16	18
Fréquence	$$0{,}10$$	$$0{,}20$$	$$0{,}40$$	$$0{,}20$$	$$0{,}10$$
Effectif cumulé	2	6	14	18	20

3. La distribution est symétrique autour de 14. Le calcul confirme :

\begin{aligned}\overline{x}_A &= \frac{2\times10+4\times12+8\times14+4\times16+2\times18}{20}\\[.35em]&= \frac{280}{20}\\[.35em]&= \boxed{14}.\end{aligned}

4. Les rangs 10 et 11 appartiennent au groupe de valeur 14, donc $\mathrm{Med}_A=\boxed{14}$ .

5. Le rang de $$Q_1$$ est 5 : $Q_{1,A}=12$ . Le rang de $$Q_3$$ est 15 : $Q_{3,A}=16$ . Ainsi,

\begin{aligned}IQR_A &= 16-12\\[.35em]&= \boxed{4}.\end{aligned}

6. En exploitant les écarts à 14,

\begin{aligned}V_A &= \frac{2(-4)^2+4(-2)^2+8(0)^2+4(2)^2+2(4)^2}{20}\\[.35em]&= \frac{96}{20}\\[.35em]&= \boxed{4{,}8}.\end{aligned}

Donc

\begin{aligned}\sigma_A &= \sqrt{4{,}8}\\[.35em]&\approx \boxed{2{,}19}.\end{aligned}

Partie B : Station B

Démonstration · Questions 7 à 10

7. La distribution est elle aussi symétrique autour de 14 :

\begin{aligned}\overline{x}_B &= \frac{2\times8+4\times11+8\times14+4\times17+2\times20}{20}\\[.35em]&= \frac{280}{20}\\[.35em]&= \boxed{14}.\end{aligned}

8. Les rangs 10 et 11 valent 14, donc $\mathrm{Med}_B=14$ . Les rangs 5 et 15 valent respectivement 11 et 17 :

Q_{1,B}=11,\qquad Q_{3,B}=17, \qquad IQR_B=\boxed{6}.

9. Avec les écarts $$-6$$ , $$-3$$ , 0, 3 et 6,

\begin{aligned}V_B &= \frac{2\times36+4\times9+8\times0+4\times9+2\times36}{20}\\[.35em]&= \frac{216}{20}\\[.35em]&= \boxed{10{,}8},\end{aligned}

d'où

\begin{aligned}\sigma_B &= \sqrt{10{,}8}\\[.35em]&\approx \boxed{3{,}29}.\end{aligned}

10. Les deux stations ont le même centre : moyenne et médiane égales à 14. En revanche, A est plus homogène, car son écart interquartile et son écart type sont plus petits : $$4<6$$ et $$2{,}19<3{,}29$$ .

Partie C : Données regroupées

Démonstration · Questions 11 à 16

11. Les fréquences sont $$0{,}10$$ , $$0{,}30$$ , $$0{,}40$$ et $$0{,}20$$ ; les fréquences cumulées sont $$0{,}10$$ , $$0{,}40$$ , $$0{,}80$$ et 1.

12. Les classes ont toutes une largeur de 10 minutes. Un histogramme correct comporte donc quatre rectangles jointifs de hauteurs 2, 6, 8 et 4.

13. Les centres 5, 15, 25 et 35 donnent

\begin{aligned}\overline{x} &\approx \frac{2\times5+6\times15+8\times25+4\times35}{20}\\[.35em]&= \boxed{22\ \text{min}}.\end{aligned}

14. Le seuil médian est au rang 10. Il est atteint dans $\boxed{[20;30[}$ , car l'effectif cumulé passe de 8 à 16.

15. Il reste $$10-8=2$$ valeurs à parcourir parmi les 8 de cette classe. Sous l'hypothèse uniforme,

\begin{aligned}m &\approx 20+\frac{2}{8}\times(30-20)\\[.35em]&= \boxed{22{,}5\ \text{min}}.\end{aligned}

16. Les positions exactes dans chaque classe sont inconnues. Remplacer chaque classe par son centre et supposer une répartition uniforme sont deux modèles utiles, mais ils ne reconstituent pas les données initiales.

Partie D : Calibrage affine

Démonstration · Questions 17 à 20

La fonction $x\mapsto1{,}2x-2$ est croissante : elle conserve donc l'ordre des données.

17.

\begin{aligned}\overline{Y} &= 1{,}2\overline{X}-2\\[.35em]&= 1{,}2\times14-2\\[.35em]&= \boxed{14{,}8}.\end{aligned}

18.

\begin{aligned}\mathrm{Med}_Y &= 1{,}2\times14-2\\[.35em]&= \boxed{14{,}8},\end{aligned}

Q_{1,Y}=1{,}2\times12-2=\boxed{12{,}4}, \qquad Q_{3,Y}=1{,}2\times16-2=\boxed{17{,}2}.

19. Une translation ne change pas l'écart type et une multiplication par $$1{,}2$$ le multiplie par $$1{,}2$$ :

\begin{aligned}\sigma_Y &= 1{,}2\sqrt{4{,}8}\\[.35em]&\approx \boxed{2{,}63}.\end{aligned}

20.

\begin{aligned}V_Y &= 1{,}2^2V_X\\[.35em]&= 1{,}44\times4{,}8\\[.35em]&= \boxed{6{,}912}.\end{aligned}

On peut contrôler que $\sqrt{6{,}912}\approx2{,}63$ .

Partie E : Série réunie

Démonstration · Questions 21 à 23

21. Les groupes ont chacun 20 valeurs et une moyenne égale à 14 :

\begin{aligned}\overline{x}_{A\cup B} &= \frac{20\times14+20\times14}{40}\\[.35em]&= \boxed{14}.\end{aligned}

22. Tous les écarts sont mesurés à la même moyenne 14. La somme des carrés des écarts de A vaut $$20V_A$$ et celle de B vaut $$20V_B$$ . Ainsi,

\begin{aligned}V_{A\cup B} &= \frac{20V_A+20V_B}{40}\\[.35em]&= \frac{V_A+V_B}{2}\\[.35em]&= \frac{4{,}8+10{,}8}{2}\\[.35em]&= \boxed{7{,}8}.\end{aligned}

Donc

\begin{aligned}\sigma_{A\cup B} &= \sqrt{7{,}8}\\[.35em]&\approx \boxed{2{,}79}.\end{aligned}

23. Les écarts types vérifient

\[2{,}19<2{,}79<3{,}29.\]

Le classement de la plus homogène à la plus dispersée est donc

\boxed{\begin{aligned} \text{station A} &< \text{série réunie}\\ &< \text{station B} \end{aligned}}.

La variance globale est bien intermédiaire, car elle est ici la moyenne des deux variances. Cette conclusion utilise le fait essentiel que les deux groupes ont la même moyenne.

Fiche-mémoire

Maîtrise du chapitre

Validation contrôlée

Réponds aux QCM, sélectionne les bonnes propositions ou remets les étapes dans l'ordre. Le site vérifie chaque réponse avant d'ouvrir la balise suivante.

Nombre $\(x_i\)$	0	1	2	3	4	Total
Effectif $\(n_i\)$	2	5	7	4	2	20
Fréquence $\(f_i\)$	$\(0{,}10\)$	$\(0{,}25\)$	$\(0{,}35\)$	$\(0{,}20\)$	$\(0{,}10\)$	1

Durée en minutes	$\([0;10[\)$	$\([10;20[\)$	$\([20;30[\)$	$\([30;40[\)$	Total
Effectif	2	6	8	4	20
Fréquence	$\(0{,}10\)$	$\(0{,}30\)$	$\(0{,}40\)$	$\(0{,}20\)$	1

$\(t\)$	7	9	25
Moyenne	$\(43/9\)$	$\(5\)$	$\(61/9\)$
Médiane	5	5	5
$\(Q_1;Q_3\)$	$\(4;6\)$	$\(4;6\)$	$\(4;6\)$

$\(x_i\)$	0	1	2	3	4
$\(n_i\)$	2	5	7	4	2
$\(f_i\)$	$\(0{,}10\)$	$\(0{,}25\)$	$\(0{,}35\)$	$\(0{,}20\)$	$\(0{,}10\)$
Effectif cumulé	2	7	14	18	20

Avant le cours, vérifie tes bases

Apprendre étape par étape

Ton parcours dans ce chapitre

Pourquoi étudier les statistiques ?

Vocabulaire et organisation des données

Population, individus et caractère

Effectifs et fréquences

Représenter une série statistique

Diagramme en bâtons

Lire un diagramme circulaire ou semi-circulaire

Lire un nuage de points : deux mesures par observation

Effectifs cumulés et fréquences cumulées

La moyenne

Moyenne simple et moyenne pondérée

Linéarité de la moyenne

Ajouter, retirer ou réunir des données

Médiane et quartiles

La médiane partage la série en deux

Les quartiles

Boîte à moustaches

Mesurer la dispersion

Étendue et écart interquartile

Variance et écart type

Données regroupées en classes

Pourquoi regrouper ?

Histogramme

Moyenne estimée avec les centres de classes

Classe médiane et interpolation

Comparer deux séries

Une valeur se déplace, le résumé change

Calculer avec Python

Pour aller plus loin - Accessible à tous

Une formule plus rapide pour la variance

Transformer l'écart type

Pourquoi la moyenne est-elle un centre naturel ?

Score centré-réduit

Boîte à outils et erreurs à éviter

Exercices progressifs

Exercice 1 ★☆☆ : Vocabulaire statistique

Exercice 2 ★☆☆ : Effectifs et fréquences

Exercice 3 ★☆☆ : Calculer une moyenne

Exercice 4 ★☆☆ : Réunir deux groupes

Exercice 5 ★☆☆ : Retrouver une valeur

Exercice 6 ★★☆ : Médiane et quartiles

Exercice 7 ★★☆ : Boîte à moustaches

Exercice 8 ★★☆ : Même moyenne, dispersions différentes

Exercice 9 ★★☆ : Changement d'unité

Exercice 10 ★★☆ : Ajouter ou retirer une donnée

Exercice 11 ★★☆ : Données regroupées en classes

Exercice 12 ★★☆ : Comparer sans surinterpréter

Exercice 13 ★★★ : Une moyenne pondérée trompeuse

Exercice 14 ★★★ : Formule raccourcie de la variance

Exercice 15 ★★★ : La meilleure valeur centrale

Problème défi : deux stations de mesure

Partie A : Étudier la station A

Partie B : Comparer avec la station B

Partie C : Une nouvelle période, données regroupées

Partie D : Calibrer la station A

Partie E : Regrouper les deux stations

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Corrigé 2

Corrigé 3

Corrigé 4

Corrigé 5

Corrigé 6

Corrigé 7

Corrigé 8

Corrigé 9

Corrigé 10

Corrigé 11

Corrigé 12

Corrigé 13

Corrigé 14

Corrigé 15

Corrigé du problème défi

Partie A : Station A

Partie B : Station B

Partie C : Données regroupées

Partie D : Calibrage affine