Un parcours à ton rythme
Ce que tu vas savoir faire
- Déterminer où la fonction est définie et où les règles de dérivation s’appliquent.
- Reconnaître la dernière opération : somme, produit, quotient ou composition.
- Rédiger les étapes puis simplifier la dérivée sans changer son domaine.
- Contrôler un résultat par une autre écriture ou par le sens de la pente.
Tu peux lire la fiche en plusieurs séances. Les exemples montrent chaque étape ; les indices et les corrections restent accessibles quand tu en as besoin.
Les bases utiles avant de commencer
- Développer, factoriser et calculer avec des fractions.
- Connaître le sens d’une fonction, d’un domaine et d’une pente.
- Pour les exemples correspondants : connaître exponentielle et logarithme.
1. Préparer le calcul : une fonction et un domaine
Une dérivée décrit la variation locale d’une fonction. Le nombre \(f'(a)\) est la pente de la tangente à l’abscisse \(a\), lorsqu’il existe. La fonction \(f'\), elle, associe cette pente à chaque abscisse où la dérivation est possible. Calculer \(f(2)\) et calculer \(f'(2)\) répond donc à deux questions différentes : hauteur du point et pente de la courbe.
Commence par écrire le domaine de \(f\). Un dénominateur ne doit pas s’annuler ; l’intérieur d’une racine carrée doit être positif ou nul ; l’argument d’un logarithme doit être strictement positif. Ensuite seulement, précise un intervalle où les fonctions utilisées sont dérivables. La fonction \(x\mapsto\sqrt x\) existe en zéro, mais la formule \(1/(2\sqrt x)\) s’applique pour \(x>0\). Être définie en un point ne garantit pas une dérivée finie en ce point.
| Fonction | Dérivée | Où utiliser la formule |
|---|---|---|
| Constante \(c\) | \(0\) | Sur \(\mathbb R\) |
| \(x^n\), entier \(n\ge1\) | \(nx^{n-1}\) | Sur \(\mathbb R\) |
| \(1/x\) | \(-1/x^2\) | Pour \(x\ne0\) |
| \(\sqrt x\) | \(1/(2\sqrt x)\) | Pour \(x>0\) |
| \(e^x\) | \(e^x\) | Sur \(\mathbb R\) |
| \(\ln x\) | \(1/x\) | Pour \(x>0\) |
| \(\sin x\) et \(\cos x\) | \(\cos x\) et \(-\sin x\) | Sur \(\mathbb R\), angles en radians |
Le tableau se lit fonction par fonction. Par exemple, la dérivée de \(7x^3-4x+9\) vaut \(21x^2-4\) : la constante neuf contribue zéro. Si une formule n’est pas disponible en un point, ne conclus pas immédiatement que la fonction n’y est pas dérivable ; une autre écriture ou la définition peut être nécessaire.
2. Lire l’opération principale avant de dériver
Dans \((x^2+1)(3x-2)\), l’opération principale est une multiplication. Dans \(\ln(1+x^2)\), c’est l’application du logarithme à un résultat déjà calculé. Les parenthèses donnent cette structure. Pour éviter de mélanger les règles, nomme les deux fonctions qui jouent les rôles de \(u\) et \(v\), puis écris leurs dérivées sur des lignes distinctes.
Sur un intervalle où \(u\) et \(v\) sont dérivables, une somme se dérive terme à terme, une constante multiplicative se conserve, et un produit demande deux contributions :
Dans un produit, les deux facteurs peuvent varier. Le terme \(u'v\) décrit la contribution de la variation du premier ; \(uv'\) celle du second. Écrire seulement \(u'v'\) oublierait ces contributions. Un contrôle rapide : la dérivée de \(x\times x=x^2\) est \(2x\), alors que le produit des dérivées donnerait un.
Un produit, puis une vérification par développement
Soit \(f(x)=(x^2+1)(3x-2)\). Les deux facteurs sont des polynômes, donc dérivables sur \(\mathbb R\). Posons \(u(x)=x^2+1\) et \(v(x)=3x-2\).
Chaque terme du produit a été dérivé une fois. Pour contrôler indépendamment, on peut développer la fonction de départ :
Les deux résultats coïncident. En un, la hauteur vaut \(f(1)=2\) et la pente vaut \(f'(1)=8\). Les confondre conduirait à une tangente incorrecte.
À toi de jouer · à ton rythme
Exercice 1 — Identifier les deux contributions
Dérive \(p(x)=(x+1)(x^2-2)\), puis calcule \(p'(0)\). Vérifie par un développement de \(p\).
Tu peux chercher sur papier, demander une piste ou lire directement la correction. Reprends ensuite une étape avec tes propres mots.
Indice 1 · par où commencer
Prends \(u(x)=x+1\) et \(v(x)=x^2-2\). Les deux sont dérivables sur les réels.
Indice 2 · avancer d’une étape
La règle donne \(p'(x)=1\times(x^2-2)+(x+1)\times2x\). Développe maintenant, sans oublier le terme constant.
Voir le corrigé entièrement rédigé
On applique la règle du produit, puis on rassemble les termes de même degré :
La vérification part de \(p(x)=x^3+x^2-2x-2\), dont la dérivée redonne \(3x^2+2x-2\). La pente en zéro est négative. Pour réessayer, remplace \(x+1\) par \(2x+1\), et repère précisément la contribution qui change.
3. Dériver un quotient sans oublier ses exclusions
Pour le quotient \(u/v\), les deux fonctions doivent être dérivables et \(v\) doit être non nulle sur l’intervalle étudié. Le dénominateur de la dérivée est un carré ; le numérateur comporte une soustraction dans un ordre précis :
Le trait de fraction signifie que tout le numérateur est divisé par \(v^2\). Garde des parenthèses avant de développer le signe moins. La présence d’un carré au dénominateur ne permet pas de réintroduire les valeurs où la fonction initiale n’existait pas.
Un quotient dont le numérateur se simplifie
Pour \(g(x)=(2x+1)/(x-3)\), le domaine est \(\mathbb R\setminus\{3\}\). La fonction est dérivable sur chacun des intervalles séparés par trois. Avec \(u'=2\) et \(v'=1\) :
Le signe moins devant \(2x+1\) affecte les deux termes. Une autre écriture confirme le résultat : \(g(x)=2+7/(x-3)\), pour \(x\ne3\). La dérivée de la constante est nulle ; celle du second terme vaut \(-7/(x-3)^2\). La dérivée est négative de chaque côté de trois. Cela ne permet pas de parler d’un seul intervalle de décroissance traversant la valeur interdite.
À toi de jouer · à ton rythme
Exercice 2 — Une simplification conserve-t-elle le domaine ?
On définit \(h(x)=(x^2-1)/(x-1)\). Détermine son domaine, simplifie puis dérive. Peut-on annoncer \(h'(1)=1\) ?
Tu peux chercher sur papier, demander une piste ou lire directement la correction. Reprends ensuite une étape avec tes propres mots.
Indice 1 · par où commencer
Le dénominateur interdit un avant toute simplification. Factorise \(x^2-1\).
Indice 2 · avancer d’une étape
Pour \(x\ne1\), \(h(x)=x+1\). L’égalité d’expressions ne donne pas une valeur à la fonction initiale en un.
Voir le corrigé entièrement rédigé
Le domaine est \(\mathbb R\setminus\{1\}\). Sur ce domaine, on peut simplifier le facteur non nul :
On ne peut pas annoncer \(h'(1)\), puisque \(h(1)\) n’est pas défini. La fonction \(\widetilde h(x)=x+1\) définie sur tous les réels est un prolongement : elle possède une dérivée en un, mais c’est une fonction avec un domaine différent. Pour réessayer, traite \((x^2-4)/(x-2)\).
4. Dériver de l’extérieur vers l’intérieur
Une composée se calcule en deux temps : on calcule \(u(x)\), puis on applique une fonction extérieure \(F\). Si \(u\) est dérivable en \(x\) et \(F\) dérivable en \(u(x)\), la règle est :
On dérive la fonction extérieure en conservant son argument, puis on multiplie par la dérivée intérieure. Ce dernier facteur traduit la vitesse à laquelle l’argument change. Par exemple, \((e^{-3x^2})'=e^{-3x^2}\times(-6x)\). La dérivée de l’exponentielle n’est donc pas toujours la fonction de départ : c’est le cas pour \(e^x\), dont l’argument a une dérivée égale à un.
Un logarithme composé, puis un point à examiner séparément
Soit \(k(x)=\ln(1+x^2)\). Son argument est strictement positif pour tout réel, car \(1+x^2\ge1\). On peut appliquer la règle avec \(u(x)=1+x^2\) :
La formule est définie sur tous les réels. En revanche, pour \(r(x)=\sqrt{x^2}\), la règle de la racine ne s’applique directement que lorsque \(x^2>0\). On obtient \(r'(x)=x/|x|\) pour \(x\ne0\). Il faut examiner zéro autrement : \(r(x)=|x|\), et le quotient de variation \(|t|/t\) vaut un à droite, moins un à gauche. Il n’existe pas de limite commune finie ; \(r\) n’est pas dérivable en zéro. La fonction y est pourtant définie et continue.
À toi de jouer · à ton rythme
Exercice 3 — Combiner produit et composée
Calcule la dérivée de \(q(x)=(x^2+1)e^{-x}\). Factorise le résultat, puis détermine où la pente est nulle. Le résultat permet-il de dire que la fonction est constante ?
Tu peux chercher sur papier, demander une piste ou lire directement la correction. Reprends ensuite une étape avec tes propres mots.
Indice 1 · par où commencer
L’opération principale est un produit. Dans le second facteur, la dérivée de \(-x\) apporte un signe moins.
Indice 2 · avancer d’une étape
On obtient \(2xe^{-x}-(x^2+1)e^{-x}\). Mets l’exponentielle en facteur et reconnais un carré.
Voir le corrigé entièrement rédigé
Les deux facteurs sont dérivables sur les réels. On calcule d’abord la composée, puis le produit :
Comme l’exponentielle est strictement positive, la dérivée s’annule exactement en un. Elle est négative en tout autre point : la fonction n’est pas constante. Une pente nulle en un point ne signifie pas une pente nulle sur un intervalle. Pour contrôler, \(q'(0)=-1\) dans les deux écritures. Pour réessayer, dérive \((x^2+1)e^x\) et compare le signe obtenu.
Après comparaison, où en es-tu ?
5. Donner du sens au résultat et contrôler
Pour la parabole \(f(x)=x^2\), prévois le signe de la pente en une abscisse négative, en zéro, puis en une abscisse positive. Dans la manipulation, fais varier l’écart entre les deux points. Le quotient de variation vaut \(2a+h\) pour \(h\ne0\) ; sa limite vaut \(2a\). On retrouve ainsi \(f'(a)=2a\).
De la sécante à la tangente : faire varier l’écart
Sur la parabole f(x) = x², A a pour abscisse a et B pour abscisse a + h. Garde a = 1. Prévois les pentes pour h = 1, puis 0,5, puis −0,5. Rapproche ensuite B de A.
Pour a = 1 et h = 1, A = (1 ; 1), B = (2 ; 4) : la sécante a une pente de 3 et la tangente une pente de 2. Pour h non nul, la pente de la sécante est 2a + h ; sa limite quand h tend vers 0 vaut 2a.
À h = 0, les deux points sont confondus : le quotient de variation n’est pas défini. La tangente reste tracée parce que la limite existe. Explique pourquoi approcher 0 et remplacer h par 0 dans le quotient sont deux opérations différentes.
À écart nul, on ne calcule pas une fraction « zéro sur zéro ». On utilise la limite déjà établie. La figure aide à interpréter la dérivée ; une lecture approchée à l’écran ne remplace pas sa justification exacte.
Avant de conclure un calcul, vérifie quatre éléments : le domaine, la règle choisie, la dérivée de chaque fonction intérieure et la gestion des signes. Une évaluation numérique ou un développement différent peut révéler une erreur ; l’accord en un seul point ne prouve cependant pas l’égalité de deux fonctions.
Variante sans corrigé : dérive \(s(x)=\ln(x)/(x+1)\) en précisant le domaine, puis calcule \(s'(1)\). Fais apparaître séparément le logarithme, le quotient et la substitution finale. Si une étape demande un indice, reprends ensuite une expression voisine sans regarder le modèle : c’est cette nouvelle tentative qui permet de vérifier ce que tu peux expliquer.