Composée de fonctions et dérivation

Ton parcours : suivre une transformation, puis sa variation

Dans \((2x+1)^3\), on calcule d'abord \(2x+1\), puis on élève le résultat au cube. Pour comprendre la dérivée, il faut suivre ces deux étapes : chacune agit sur la variation transmise à l'étape suivante.

Pour reprendre les bases : le nombre dérivé est la limite d'un taux d'accroissement et la pente de la tangente. Réactive les dérivées de \(x^n\), de \(e^x\), les règles du produit et du quotient. Une racine demande une entrée positive ou nulle ; un logarithme une entrée strictement positive. Les formules contenant le logarithme seront reprises dans sa fiche dédiée.

Socle en vigueur en 2026–2027 : composition, dérivation de \(v\circ u\), exemples et dérivée seconde. La preuve générale de la règle en chaîne est proposée pour comprendre ; elle n'est pas présentée comme une démonstration explicitement exigée dans la liste officielle. Les dérivées d'ordre n et les familles de fonctions sont des approfondissements. La convexité sera étudiée dans la fiche suivante.

Chaque pause offre deux indices, une explication et une variante. Les exercices 1 à 8 et 10 reprennent les notions centrales ; les exercices 9, 11, 12 et le problème les prolongent.

Pourquoi étudier la composition et sa dérivée ?

Pourquoi composer des fonctions ?

Les sommes, produits et quotients de Première ne suffisent pas à décrire toutes les expressions. Dans \(e^{-x^2}\), le calcul de \(-x^2\) se fait avant l'exponentielle : l'une des fonctions reçoit le résultat de l'autre. C'est une composition. Reconnaître cette structure permet de dériver sans développer une expression inutilement longue.

La même idée apparaît dans un modèle où une quantité dépend d'une autre quantité qui évolue elle-même. Le calcul doit suivre cet ordre, et la dérivée doit tenir compte de chaque variation intermédiaire.

La cinématique et les taux de variations liés

Dans un modèle simple, on suppose que le volume de carburant consommé dépend de la distance parcourue \(d\) : on le note \(C(d)\). Cette distance dépend elle-même du temps \(t\), selon une fonction \(d(t)\). Le volume consommé au temps \(t\) est donc \(C(d(t))\).

Pour connaître le débit de consommation à un instant donné, on dérive cette composée. Si \(C\) et \(d\) sont dérivables aux points considérés, on multiplie le taux de consommation par kilomètre, \(C'(d(t))\), par la vitesse \(d'(t)\). Les unités aident à comprendre ce produit : des litres par kilomètre multipliés par des kilomètres par heure donnent des litres par heure. La règle en chaîne justifie ce calcul.

L'idée avant la formule

Visualiser la composition mathématique

Comprendre la multiplication des dérivées

Le cours formel

Définition et Domaine d'existence

Pour que la composée soit définie en \(x\), vérifie successivement deux conditions :

1. La valeur \(x\) doit appartenir au domaine de définition de la fonction interne \(u\).

2. La valeur \(u(x)\) doit appartenir au domaine de définition de la fonction externe \(v\).

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La règle de dérivation d'une composée

Les dérivées composées usuelles

Le théorème général se décline en plusieurs formules à connaître par cœur. Dans ce tableau, \(u\) désigne une fonction dérivable de \(x\).

Réflexe : on dérive la structure globale comme si \(u\) était \(x\), puis on multiplie par \(u'\).

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Dérivée seconde : faire varier la pente

Si la fonction dérivée \(f'\) est elle-même dérivable sur un intervalle, sa dérivée est notée \(f''\) et s'appelle la dérivée seconde de \(f\). On peut poursuivre ce calcul tant que la dérivée obtenue reste dérivable : on parle de dérivées successives.

La dérivée seconde décrit la variation de la pente de la tangente. Son signe permet d'étudier la convexité, comme on le verra dans la fiche suivante. Si \(f(t)\) représente une position sur un axe, \(f'(t)\) est la vitesse algébrique et \(f''(t)\) l'accélération sur cet axe.

Pour dériver une seconde fois, repère à nouveau les opérations présentes : il faut souvent combiner les règles du produit et de la composition.

La boîte à outils : Réflexes pour le bac

Exercices

Exercice 1 ★☆☆ : Dérivées de fonctions exponentielles composées

Dériver les fonctions suivantes sur \(\R\) :

1. \(f(x) = e^{4x - 7}\)
2. \(f(x) = e^{-x^2 + 1}\)
3. \(f(x) = e^{3x^2 + 2x - 1}\)

Exercice 2 ★☆☆ : Dérivées avec racines, logarithmes et puissances

Dériver les fonctions suivantes sur leur ensemble de définition :

1. \(g(x) = (2x^2 - 5x + 3)^4\)
2. \(g(x) = \sqrt{x^2 + 1}\)

3. \(g(x) = \ln(5x + 2)\) (pour \(x > -\frac{2}{5}\))

4. \(g(x) = \ln(x^2 + 4)\)

Exercice 3 ★☆☆ : Dérivées trigonométriques composées

Dériver les fonctions suivantes :

1. \(f(x) = \sin(3x + \pi)\)
2. \(f(x) = \cos(x^2)\)

3. \(f(x) = \sin^2(x)\) (Indication : écrire \((\sin(x))^2\) et utiliser \(u^n\).)

Exercice 4 ★★☆ : Produit et composition

Dériver puis factoriser les fonctions suivantes :

1. \(h(x) = (2x + 1)\, e^{-x}\)
2. \(h(x) = x^2\, e^{3x}\)
3. \(h(x) = (x^2 - 3x)\, e^{2x}\)

Exercice 5 ★★☆ : Quotient et composition

Dériver ; dans a), factoriser le numérateur, et dans b), donner une forme réunie en un seul quotient :

1. \(k(x) = \dfrac{e^x}{x^2 + 1}\)

2. \(k(x) = \dfrac{\ln(x^2+1)}{x}\) (pour \(x > 0\))

Exercice 6 ★★☆ : Équation de tangente

Soit \(f(x) = x\, e^{-x^2}\) définie sur \(\R\).

1. Calculer \(f'(x)\) et factoriser le résultat.

2. Déterminer l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse \(x = 0\).

3. La courbe admet-elle des tangentes horizontales ? Si oui, préciser les abscisses.

Exercice 7 ★★☆ : Étude de variations complète

Soit \(f(x) = \ln(x^2 - 2x + 2)\) définie sur \(\R\).

1. Montrer que \(x^2 - 2x + 2 > 0\) pour tout \(x\in\R\) (donc \(f\) est bien définie sur \(\R\)).

2. Calculer \(f'(x)\) et étudier son signe.

3. Dresser le tableau de variations de \(f\).

Exercice 8 ★★☆ : Application à la physique

La position d'un corps attaché à un ressort est donnée par \(x(t) = 5\cos\!\left(2t + \frac{\pi}{3}\right)\) (en mètres, \(t\) en secondes).

1. Calculer la vitesse \(v(t) = x'(t)\).

2. Calculer l'accélération \(a(t) = v'(t)\).

3. Montrer que \(a(t) = -4\,x(t)\). Quelle est la valeur de la constante \(k\) telle que \(a(t) = -k\, x(t)\) ?

Exercice 9 ★★☆ : Dérivée \(n\)-ième et récurrence

Soit \(f(x) = e^{2x}\).

1. Calculer \(f'(x)\), \(f''(x)\) et \(f^{(3)}(x)\).

2. Conjecturer une formule pour \(f^{(n)}(x)\) et la démontrer par récurrence.

Exercice 10 ★★☆ : Optimisation : modèle pharmacocinétique

La concentration d'un médicament dans le sang est modélisée par \(C(t) = 4t\, e^{-0{,}5t}\) (en mg/L, \(t\geqslant 0\) en heures).

1. Calculer \(C'(t)\) et la factoriser.

2. À quel instant la concentration est-elle maximale ? Quelle est cette concentration maximale ?

Exercice 11 ★★★ : Vrai ou Faux (justifier)

Pour chaque affirmation, démontrer qu'elle est vraie ou la réfuter par un contre-exemple.

1. « La dérivée de \(f(x) = \ln(e^x + 1)\) vérifie \(0 < f'(x) < 1\) pour tout \(x\in\R\). »

2. « La composée de deux fonctions strictement décroissantes est décroissante. »

Exercice 12 ★★★ : Modèle logistique et équation différentielle

On considère \(f(x) = \dfrac{10}{1 + 9e^{-x}}\) définie sur \(\R\).

1. Montrer que \(f'(x) = \dfrac{90\,e^{-x}}{(1+9e^{-x})^2}\).

2. En déduire que \(f\) est strictement croissante sur \(\R\).

3. Montrer que \(f\) est solution de l'équation différentielle \(y' = \dfrac{y(10-y)}{10}\).

Problème : La famille exponentielle \((x^n e^{-x})\) ★★★

On pose \(f_0(x)=e^{-x}\), y compris en zéro. Pour tout entier \(n\geqslant1\), on définit la fonction \(f_n\) sur \([0,+\infty[\) par :

La fiche sur les limites a établi que pour tout \(n\geqslant1\) (et directement pour n=0) : \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty} x^n e^{-x} = 0\) (l'exponentielle l'emporte sur toute puissance de \(x\)).

Partie A : Étude de \(f_1\) et \(f_2\)

1. Calculer \(f_1'(x)\) et dresser le tableau de variations de \(f_1\) sur \([0,+\infty[\).

2. Calculer \(f_2'(x)\), la factoriser, et en déduire le tableau de variations de \(f_2\) sur \([0,+\infty[\).

3. Pour \(f_1\) et \(f_2\), préciser les coordonnées du maximum et sa valeur exacte.

Partie B : Étude générale de \(f_n\)

1. Montrer que pour tout \(n\geqslant 1\) : \(f_n'(x) = (n - x)\, x^{n-1}\, e^{-x}\).

   Indication : dériver le produit \(x^n \times e^{-x}\) et factoriser.

2. En déduire que \(f_n\) est croissante sur \([0,n]\) et décroissante sur \([n,+\infty[\).

3. Montrer que le maximum de \(f_n\) est atteint en \(x = n\) et vaut \(f_n(n) = \left(\frac{n}{e}\right)^n\).

4. Calculer \(f_n(n)\) pour \(n = 1, 2, 3, 4\). La suite \((f_n(n))_{n\geqslant 1}\) semble-t-elle croissante ?

Partie C : Relation de récurrence et dérivée seconde

1. Montrer la relation : \(f_n'(x) = n\, f_{n-1}(x) - f_n(x)\) pour tout \(n\geqslant 1\).

2. En dérivant la relation précédente, montrer que pour tout \(n\geqslant 2\) :

   \[\begin{aligned}f_n''(x) &= n(n-1)\, f_{n-2}(x)\\&\quad {}- 2n\, f_{n-1}(x) + f_n(x)\end{aligned}\]

   Indication : dériver la relation de la question 8 en utilisant la même relation appliquée à \(f_{n-1}\).

3. Déterminer les points d'inflexion de \(f_2\) (c'est-à-dire les points où \(f_2''\) s'annule en changeant de signe).

Corrigés détaillés

Corrigé : Exercice 1

1. Forme \(e^u\) avec \(u=4x-7\), \(u'=4\). Par \((e^u)'=u'e^u\) : \(f'(x)=\boldsymbol{4\,e^{4x-7}}\).

2. \(u=-x^2+1\), \(u'=-2x\). D'où \(f'(x)=\boldsymbol{-2x\,e^{-x^2+1}}\).

3. \(u=3x^2+2x-1\), \(u'=6x+2\). D'où

   \[\begin{aligned}f'(x) &= (6x+2)\,e^{3x^2+2x-1}\\[.35em]&= \boldsymbol{2(3x+1)\,e^{3x^2+2x-1}} .\end{aligned}\]

Corrigé : Exercice 2

1. Forme \(u^n\) avec \(u=2x^2-5x+3\), \(n=4\), \(u'=4x-5\). Par \((u^n)'=nu'u^{n-1}\) :

   \(g'(x)=\boldsymbol{4(4x-5)(2x^2-5x+3)^3}\)

2. Forme \(\sqrt{u}\) avec \(u=x^2+1\), \(u'=2x\). Par \((\sqrt{u})'=\frac{u'}{2\sqrt{u}}\) :

   \[\begin{aligned}g'(x) &= \frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}}\\[.35em]&= \boldsymbol{\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}}\end{aligned}\]

3. Forme \(\ln(u)\) avec \(u=5x+2\), \(u'=5\). Par \((\ln u)'=\frac{u'}{u}\) : \(g'(x)=\boldsymbol{\frac{5}{5x+2}}\).

4. \(u=x^2+4\), \(u'=2x\). D'où \(g'(x)=\boldsymbol{\frac{2x}{x^2+4}}\).

Corrigé : Exercice 3

1. \(u=3x+\pi\), \(u'=3\). Par \((\sin u)'=u'\cos u\) : \(f'(x)=\boldsymbol{3\cos(3x+\pi)}\).

2. \(u=x^2\), \(u'=2x\). Par \((\cos u)'=-u'\sin u\) : \(f'(x)=\boldsymbol{-2x\sin(x^2)}\).

3. \[\begin{aligned}f(x) &= (\sin x)^2\\[.35em]&= u^2\end{aligned}\]

   avec \(u=\sin x\), \(u'=\cos x\). D'où \(f'(x)=2\sin x\cos x\). On reconnaît la formule de duplication : \(f'(x)=\boldsymbol{\sin(2x)}\).

Corrigé : Exercice 4

1. Produit \(U\times V\) : \(U=2x+1\), \(V=e^{-x}\), \(U'=2\), \(V'=-e^{-x}\).

   \[\begin{aligned}h'(x) &= 2e^{-x}+(2x+1)(-e^{-x})\\[.35em]&= e^{-x}[2-(2x+1)]\\[.35em]&= \boldsymbol{(1-2x)\,e^{-x}}\end{aligned}\]
2. \[U=x^2,\]
   \[V=e^{3x},\]
   \[U'=2x,\]
   \[V'=3e^{3x}.\]
   \[\begin{aligned}h'(x) &= 2x\,e^{3x}+3x^2\,e^{3x}\\[.35em]&= \boldsymbol{x(2+3x)\,e^{3x}}\end{aligned}\]
3. \[U=x^2-3x,\]
   \[V=e^{2x},\]
   \[U'=2x-3,\]
   \[V'=2e^{2x}.\]
   \[\begin{aligned}h'(x) &= (2x-3)e^{2x}+(x^2-3x)\cdot 2e^{2x}\\[.35em]&= e^{2x}[(2x-3)+2(x^2-3x)]\\[.35em]&= \boldsymbol{(2x^2-4x-3)\,e^{2x}}\end{aligned}\]

Corrigé : Exercice 5

1. Quotient \(\frac{U}{V}\) : \(U=e^x\), \(V=x^2+1\), \(U'=e^x\), \(V'=2x\).

   \[\begin{aligned}k'(x) &= \frac{e^x(x^2+1)-e^x\cdot 2x}{(x^2+1)^2}\\[.35em]&= \frac{e^x(x^2-2x+1)}{(x^2+1)^2}\\[.35em]&= \boldsymbol{\frac{e^x(x-1)^2}{(x^2+1)^2}}\end{aligned}\]

   On a utilisé l'identité remarquable \(x^2-2x+1=(x-1)^2\). Comme \((x-1)^2\geqslant 0\) et \(e^x>0\), on a \(k'(x)\geqslant 0\) : \(k\) est croissante sur \(\R\).

2. \[U=\ln(x^2+1),\]
   \[V=x,\]
   \[U'=\frac{2x}{x^2+1},\]
   \[V'=1.\]
   \[\begin{aligned}k'(x) &= \frac{\frac{2x}{x^2+1}\cdot x-\ln(x^2+1)}{x^2}\\[.35em]&= \frac{\frac{2x^2}{x^2+1}-\ln(x^2+1)}{x^2}\\[.35em]&= \boldsymbol{\frac{2x^2-(x^2+1)\ln(x^2+1)}{x^2(x^2+1)}}\end{aligned}\]

Corrigé : Exercice 6

1. Produit \(U\times V\) : \(U=x\), \(V=e^{-x^2}\), \(U'=1\), \(V'=-2x\,e^{-x^2}\).

   \[\begin{aligned}f'(x) &= e^{-x^2}+x(-2x\,e^{-x^2})\\[.35em]&= e^{-x^2}(1-2x^2)\\[.35em]&= \boldsymbol{(1-2x^2)\,e^{-x^2}}\end{aligned}\]
2. \[\begin{aligned}f(0) &= 0\cdot e^0\\[.35em]&= 0\end{aligned}\]

   et

   \[\begin{aligned}f'(0) &= (1-0)\cdot e^0\\[.35em]&= 1 .\end{aligned}\]

   Tangente en \(x=0\) :

   \[\begin{aligned}y &= f'(0)(x-0)+f(0)\\[.35em]&= \boldsymbol{x} .\end{aligned}\]

3. Tangente horizontale \(\Leftrightarrow\) \(f'(x)=0\). Comme \(e^{-x^2}>0\) : \(1-2x^2=0\Leftrightarrow x^2=\frac{1}{2}\Leftrightarrow \boldsymbol{x=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}}\).

Corrigé : Exercice 7

1. \(\Delta=(-2)^2-4\times 1\times 2=4-8=-4<0\). Coefficient dominant positif, donc \(x^2-2x+2>0\) pour tout \(x\in\R\). ✓

   On peut aussi écrire : \(x^2-2x+2=(x-1)^2+1\geqslant1>0\). Cette seconde forme donne directement la raison de la positivité.

2. \(u=x^2-2x+2\), \(u'=2x-2\). D'où

   \[\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2x-2}{x^2-2x+2}\\[.35em]&= \frac{2(x-1)}{x^2-2x+2} .\end{aligned}\]

   Le dénominateur est toujours \(>0\), donc \(f'(x)\) est du signe de \(2(x-1)\) : négatif sur \(]-\infty,1[\), nul en \(x=1\), positif sur \(]1,+\infty[\).

3. \(f\) décroissante sur \(]-\infty,1]\), croissante sur \([1,+\infty[\). Minimum en \(x=1\) :

   \[\begin{aligned}f(1) &= \ln(1)\\[.35em]&= 0 .\end{aligned}\]

   Aux deux infinis, \((x-1)^2+1\to+\infty\), donc f tend vers \(+\infty\). Le tableau descend de \(+\infty\) à 0, puis remonte vers \(+\infty\).

Corrigé : Exercice 8

1. \(x(t)=5\cos(u)\) avec \(u=2t+\frac{\pi}{3}\), \(u'=2\). Par \((\cos u)'=-u'\sin u\) :

   \[\begin{aligned}v(t) &= x'(t)\\[.35em]&= \boldsymbol{-10\sin\!\left(2t+\frac{\pi}{3}\right)}\end{aligned}\]

2. \(v(t)=-10\sin(u)\) avec le même \(u\). Par \((\sin u)'=u'\cos u\) :

   \[\begin{aligned}a(t) &= v'(t)\\[.35em]&= \boldsymbol{-20\cos\!\left(2t+\frac{\pi}{3}\right)}\end{aligned}\]
3. \[\begin{aligned}-4\,x(t) &= -4\times 5\cos(2t+\frac{\pi}{3})\\[.35em]&= -20\cos(2t+\frac{\pi}{3})\\[.35em]&= a(t)\end{aligned}\]

   ✓. Donc \(\boldsymbol{k=4}\) (c'est \(\omega^2\) avec \(\omega=2\) rad/s).

Corrigé : Exercice 9

1. \[f'(x)=2e^{2x},\]
   \[f''(x)=4e^{2x},\]
   \[f^{(3)}(x)=8e^{2x}.\]

   On observe : \(f^{(n)}(x)=2^n e^{2x}\).

2. Récurrence. Initialisation (\(n=1\)) :

   \[\begin{aligned}f'(x) &= 2e^{2x}\\[.35em]&= 2^1 e^{2x}\end{aligned}\]

   ✓.

   Hérédité : si \(f^{(n)}(x)=2^n e^{2x}\), alors

   \[\begin{aligned}f^{(n+1)}(x) &= (2^n e^{2x})'\\[.35em]&= 2^n\times 2e^{2x}\\[.35em]&= 2^{n+1}e^{2x}\end{aligned}\]

   ✓.

   Conclusion : \(\boldsymbol{f^{(n)}(x)=2^n e^{2x}}\) pour tout \(n\geqslant 1\). \(\square\)

Corrigé : Exercice 10

1. \[U=4t,\]
   \[V=e^{-0{,}5t},\]
   \[U'=4,\]
   \[V'=-0{,}5\,e^{-0{,}5t}.\]
   \[\begin{aligned}C'(t) &= 4e^{-0{,}5t}+4t(-0{,}5\,e^{-0{,}5t})\\[.35em]&= e^{-0{,}5t}(4-2t)\\[.35em]&= \boldsymbol{2(2-t)\,e^{-0{,}5t}}\end{aligned}\]

2. \(e^{-0{,}5t}>0\), donc \(C'(t)\) est du signe de \((2-t)\) : positif pour \(t<2\), nul pour \(t=2\), négatif pour \(t>2\).

   Maximum en \(\boldsymbol{t=2}\) heures. Valeur :

   \[\begin{aligned}C(2) &= 8\,e^{-1}\\[.35em]&= \frac{8}{e}\\[.35em]&\approx \boldsymbol{2{,}94\text{ mg/L}} .\end{aligned}\]

Corrigé : Exercice 11

1. Vrai. \(f'(x)=\frac{e^x}{e^x+1}\). Numérateur et dénominateur \(>0\), donc \(f'(x)>0\). De plus \(e^x<e^x+1\), donc \(\frac{e^x}{e^x+1}<1\). Au final : \(\boldsymbol{0<f'(x)<1}\) pour tout \(x\in\R\). ✓

2. Faux. Contre-exemple : \(u(x)=-x\) et \(v(x)=-x\), toutes deux décroissantes. Or

   \[\begin{aligned}(v\circ u)(x) &= v(-x)\\[.35em]&= -(-x)\\[.35em]&= x ,\end{aligned}\]

   qui est croissante.

   Plus généralement, si \(x_1<x_2\), la première décroissance donne \(u(x_1)>u(x_2)\), puis la seconde \(v(u(x_1))<v(u(x_2))\). La preuve par l'ordre ne suppose aucune dérivabilité ; la preuve guidée du cours la détaille.

Corrigé : Exercice 12

1. On écrit \(f(x)=10(1+9e^{-x})^{-1}\). Forme \(ku^{-1}\) avec \(u=1+9e^{-x}\), \(u'=-9e^{-x}\). Par \((u^{-1})'=-\frac{u'}{u^2}\) :

   \[\begin{aligned}f'(x) &= 10\times\frac{9e^{-x}}{(1+9e^{-x})^2}\\[.35em]&= \boldsymbol{\frac{90\,e^{-x}}{(1+9e^{-x})^2}}\end{aligned}\]

   ✓

2. \(90e^{-x}>0\) et \((1+9e^{-x})^2>0\), donc \(f'(x)>0\) sur \(\R\) : \(f\) est strictement croissante. ✓

3. On calcule

   \[\begin{aligned}10-f(x) &= 10-\frac{10}{1+9e^{-x}}\\[.35em]&= \frac{10(1+9e^{-x})-10}{1+9e^{-x}}\\[.35em]&= \frac{90e^{-x}}{1+9e^{-x}} .\end{aligned}\]

   Donc

   \[\begin{aligned}\frac{f(x)(10-f(x))}{10} &= \frac{1}{10} \times\frac{10}{1+9e^{-x}}\\[.35em]&\quad {}\times\frac{90e^{-x}}{1+9e^{-x}}\\[.35em]&= \frac{90e^{-x}}{(1+9e^{-x})^2}\\[.35em]&= f'(x) .\end{aligned}\]
   \(\square\)

Corrigé : Problème (La famille \((x^n e^{-x})\))

Partie A

1. \(f_1(x)=xe^{-x}\). Produit : \(U=x\), \(V=e^{-x}\), \(U'=1\), \(V'=-e^{-x}\).

\(e^{-x}>0\), donc \(f_1'\) du signe de \((1-x)\) : positif sur \([0,1[\), nul en \(x=1\), négatif sur \(]1,+\infty[\). \(f_1\) croissante sur \([0,1]\), décroissante sur \([1,+\infty[\). Avec \(f_1(0)=0\) et \(\lim_{+\infty}f_1=0\).

2.

Pour \(x\geqslant 0\) : \(f_2'\geqslant 0\Leftrightarrow x(2-x)\geqslant 0\Leftrightarrow 0\leqslant x\leqslant 2\). \(f_2\) croissante sur \([0,2]\), décroissante sur \([2,+\infty[\). Avec \(f_2(0)=0\) et \(\lim_{+\infty}f_2=0\).

3. Max de \(f_1\) :

Max de \(f_2\) :

Partie B

4. On dérive \(f_n(x)=x^n\times e^{-x}\) :

5. Pour \(x>0\) : \(x^{n-1}>0\) et \(e^{-x}>0\). Le signe de \(f_n'\) est celui de \((n-x)\) : positif si \(x<n\), négatif si \(x>n\). Donc \(f_n\) croissante sur \([0,n]\), décroissante sur \([n,+\infty[\).

6. Maximum en \(x=n\) :

7.

Ces quatre valeurs suggèrent une suite croissante ; elles ne constituent pas une preuve pour tous les rangs. Pour approfondir, pose \(H(t)=t(\ln t-1)\) pour \(t\geqslant1\). Sa dérivée vaut \(\ln t\), strictement positive pour \(t>1\), donc H est strictement croissante. Comme \(f_n(n)=e^{H(n)}\), la suite est strictement croissante. De plus \(H(n)\to+\infty\) (par exemple \(H(n)\geqslant n\) dès \(n\geqslant e^2\)), donc elle tend vers \(+\infty\).

Partie C

8.

9. On dérive \(f_n'=nf_{n-1}-f_n\) :

Par la question 8 appliquée à \(f_{n-1}\) : \(f_{n-1}'=(n-1)f_{n-2}-f_{n-1}\). Et \(f_n'=nf_{n-1}-f_n\). D'où :

10. Pour \(n=2\) :

\(f_2''(x)=0\Leftrightarrow x^2-4x+2=0\) (car \(e^{-x}>0\)).

racines :

Le trinôme change de signe en chaque racine, donc ce sont bien des points d'inflexion :

Bilan à essayer sans corrigé

Pour \(F(x)=(x+1)e^{-2x}\), identifie l'opération finale, calcule et factorise \(F'(x)\), détermine les variations, puis écris la tangente en zéro. Calcule enfin \(F''(x)\) en expliquant la règle choisie.

Pour \(G(x)=\sqrt{(x-2)^4}\), explique pourquoi la formule de dérivation de la racine ne s'applique pas directement en 2, puis décide malgré cela si G y est dérivable. Si une étape résiste, reprends la pause correspondante et essaie à nouveau avec \(\sqrt{(x+1)^4}\).

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