Calculer une intégrale et interpréter son résultat

Un parcours à ton rythme

Ce que tu vas savoir faire

Distinguer une primitive, qui est une fonction, d’une intégrale définie, qui est un nombre.
Reconnaître une dérivée connue à l’intérieur d’une expression.
Calculer avec les bornes dans le bon ordre et contrôler le signe.
Découper un intervalle pour calculer une aire géométrique.
Choisir et vérifier une intégration par parties.

Tu peux lire la fiche en plusieurs séances. Les exemples montrent chaque étape ; les indices et les corrections restent accessibles quand tu en as besoin.

Les bases utiles avant de commencer

Dériver un polynôme, une exponentielle et une composée.
Étudier le signe d’une expression sur un intervalle.
Calculer exactement avec des fractions et des valeurs de fonctions.

1. Distinguer la fonction cherchée et le nombre demandé

Une primitive de $$f$$ sur un intervalle est une fonction $$F$$ dont la dérivée vaut $$f$$ sur cet intervalle. Trouver une primitive revient donc à chercher une opération de dérivation en sens inverse. Pour $$f(x)=2x$$ , on peut prendre $$F(x)=x^2$$ , mais aussi $$x^2+7$$ : la dérivée d’une constante est nulle. Toutes les primitives sur un même intervalle diffèrent d’une constante.

Une intégrale définie $\int_a^b f(x)\,dx$ est un nombre. Dans les méthodes de ce guide, on vérifie que $$f$$ est continue sur l’intervalle fermé entre les bornes. Si $$F$$ est une primitive, le théorème fondamental donne :

\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)=[F(x)]_a^b.

La lettre $$x$$ est la variable d’intégration ; elle disparaît du résultat après évaluation aux bornes. La notation entre crochets signifie « valeur à la borne supérieure moins valeur à la borne inférieure ». Ajouter une constante à $$F$$ ne change pas ce nombre, car elle se soustrait : $$(F(b)+C)-(F(a)+C)=F(b)-F(a)$$ . On n’ajoute donc pas un « plus C » au résultat numérique d’une intégrale définie.

Primitives usuelles à vérifier par dérivation
Fonction à intégrer	Une primitive	Conditions
$$x^n$$ , entier $n\ge0$	$x^{n+1}/(n+1)$	Sur $\mathbb R$
$$e^x$$	$$e^x$$	Sur $\mathbb R$
$$1/x$$	$\ln\|x\|$	Sur un intervalle ne contenant pas zéro
$\cos x$	$\sin x$	Angles en radians
$\sin x$	$-\cos x$	Angles en radians

Sur les réels strictement positifs, la primitive de $$1/x$$ s’écrit simplement $\ln x$ . Le cas $$n=-1$$ ne se traite pas avec la formule des puissances : son dénominateur serait nul. De même, on ne calcule pas l’intégrale de $$1/x$$ de moins un à un en soustrayant mécaniquement deux logarithmes : la fonction présente une singularité au milieu. L’intégration impropre demande un autre cadre et ne fournit pas ici une intégrale convergente.

2. Une primitive, deux évaluations, une soustraction

Avant toute recherche sophistiquée, essaie la linéarité : une somme s’intègre terme à terme et une constante multiplicative se conserve. Une expression polynomiale peut souvent être développée avant intégration. Le contrôle décisif d’une primitive candidate consiste à la dériver ; ce contrôle est plus fiable qu’une ressemblance avec une formule.

Calculer une accumulation sur un intervalle

Calculons $I=\int_1^3(2x-1)\,dx$ . La fonction est continue sur $$[1;3]$$ . Une primitive est $$F(x)=x^2-x$$ , puisque $$F'(x)=2x-1$$ . On évalue séparément :

\begin{aligned}F(3)&=3^2-3=6,\\F(1)&=1^2-1=0,\\I&=F(3)-F(1)\\&=6.\end{aligned}

Le signe est cohérent : $$2x-1$$ est positif sur l’intervalle et les bornes sont dans l’ordre croissant. Géométriquement, c’est l’aire d’un trapèze de largeur deux et de hauteurs un et cinq : $$2(1+5)/2=6$$ . Ces deux approches fournissent le même nombre.

Si $$2t-1$$ représente une vitesse en mètres par seconde et $$t$$ est exprimé en secondes, cette intégrale entre une et trois secondes représente six mètres parcourus, puisque la vitesse reste positive. L’unité se calcule comme « unité de la fonction multipliée par unité de la variable ».

À toi de jouer · à ton rythme

Exercice 1 — Soigner une borne négative

Calcule exactement $\int_{-1}^{2}(3x^2-2x+1)\,dx$ . Écris les deux évaluations avant de les soustraire.

Tu peux chercher sur papier, demander une piste ou lire directement la correction. Reprends ensuite une étape avec tes propres mots.

Indice 1 · par où commencer

Une primitive est $$F(x)=x^3-x^2+x$$ . Vérifie chaque terme par dérivation.

Indice 2 · avancer d’une étape

À la borne moins un, distingue $$(-1)^3$$ et $$(-1)^2$$ . Le résultat de $$F(-1)$$ devra ensuite être soustrait en entier.

Voir le corrigé entièrement rédigé

Le polynôme est continu sur l’intervalle, et la dérivée de $$F$$ redonne bien l’expression intégrée. On calcule :

\begin{aligned}F(2)&=8-4+2=6,\\F(-1)&=-1-1-1=-3,\\\int_{-1}^{2}(3x^2-2x+1)\,dx&=6-(-3)\\&=9.\end{aligned}

La soustraction d’une valeur négative ajoute trois. Un contrôle du signe est possible avec $$3x^2-2x+1=3(x-1/3)^2+2/3>0$$ , donc l’intégrale doit être positive. Pour réessayer, inverse l’ordre des deux bornes et explique le changement de signe sans recalculer la primitive.

3. Reconnaître une dérivée composée et ajuster le facteur

Une primitive se reconnaît parfois dans le produit d’une fonction composée et de la dérivée de son argument. Si $$u$$ est dérivable, on sait que $$(e^u)'=u'e^u$$ . Si $$u>0$$ , on sait aussi que $(\ln u)'=u'/u$ . Il faut donc retrouver le facteur intérieur $$u'$$ , avec son coefficient exact.

L’exponentielle contient son argument et sa dérivée

Pour $\int_0^1 2x e^{x^2}\,dx$ , l’argument est $$u(x)=x^2$$ et sa dérivée est $$2x$$ . Une primitive est donc $e^{x^2}$ . Elle se vérifie avant l’évaluation :

\begin{aligned}(e^{x^2})'&=2xe^{x^2},\\\int_0^1 2xe^{x^2}\,dx&=[e^{x^2}]_0^1\\&=e^1-e^0\\&=e-1.\end{aligned}

Avec $xe^{x^2}$ , il manque un facteur deux. On le compense par une moitié : une primitive devient $\tfrac12e^{x^2}$ , et l’intégrale vaut $$(e-1)/2$$ . Avec $e^{x^2}$ seul, on ne peut pas inventer le facteur $$2x$$ : cette reconnaissance ne s’applique plus.

Autre reconnaissance : sur $$[0;1]$$ , $$1+x^3>0$$ et sa dérivée vaut $$3x^2$$ . Ainsi une primitive de $$3x^2/(1+x^3)$$ est $\ln(1+x^3)$ , et l’intégrale de zéro à un vaut $\ln2-\ln1=\ln2$ . La condition de positivité justifie ici l’utilisation du logarithme.

Un paramètre nul demande sa propre ligne

Considérons $J(k)=\int_0^1 e^{kx}\,dx$ , où $$k$$ est un réel fixé. Pour $k\ne0$ , une primitive est $e^{kx}/k$ , car la dérivation multiplie par $$k$$ et compense le dénominateur. Alors :

J(k)=\frac{e^k-1}{k}\qquad(k\ne0).

Pour $$k=0$$ , la fonction intégrée vaut constamment un. On revient à cette expression initiale : $J(0)=\int_0^1 1\,dx=1$ . On ne remplace pas le paramètre par zéro dans une formule obtenue en divisant par ce paramètre. Le résultat reste positif pour tout $$k$$ , ce qui est cohérent avec une exponentielle positive sur un intervalle de longueur un.

4. L’intégrale est signée ; l’aire géométrique est positive

Pour des bornes $$a<b$$ , une fonction positive donne une intégrale positive ; une fonction négative donne une intégrale négative. Quand elle change de signe, des contributions peuvent se compenser. L’aire géométrique située entre la courbe et l’axe horizontal vaut $\int_a^b|f(x)|\,dx$ . Pour la calculer, repère les zéros puis découpe l’intervalle en morceaux où le signe est constant.

Prenons $$f(x)=x^2-1$$ sur $$[0;2]$$ . Elle est négative entre zéro et un, positive entre un et deux. Avec $$F(x)=x^3/3-x$$ , on obtient :

\begin{aligned}\int_0^1 f(x)\,dx&=-\frac23,\\\int_1^2 f(x)\,dx&=\frac43,\\\int_0^2 f(x)\,dx&=-\frac23+\frac43=\frac23,\\\mathcal A&=\frac23+\frac43=2.\end{aligned}

L’aire du morceau négatif est l’opposé de son intégrale, d’où le signe positif dans la dernière ligne. Avant de manipuler, prévois ce que changer la constante $$c$$ dans $$x^2-c$$ va modifier. Garde d’abord $$c=1$$ , puis compare les situations $$c=0$$ et $$c=4$$ .

Distinguer une intégrale et une aire

Pour f(x) = x² − 1 sur [0 ; 2], prévois où les rectangles apportent une contribution positive ou négative. Augmente leur nombre, puis compare leur somme à l’intégrale.

Chaque rectangle a une largeur 2/n et la hauteur de la courbe au milieu de son intervalle. Bleu : contribution positive ; corail sous l’axe : contribution négative. La fenêtre reste fixe.

Pour x² − 1, l’aire sous l’axe est 2/3 et celle au-dessus est 4/3. L’intégrale vaut 4/3 − 2/3 = 2/3 ; l’aire géométrique vaut 4/3 + 2/3 = 2. Les rectangles donnent une approximation, pas ces valeurs exactes.

Lire les valeurs et les coordonnées

Avec c = 4, toute la courbe est sous l’axe, sauf à son extrémité droite. Explique pourquoi l’intégrale est négative alors que l’aire reste positive. Pour calculer l’aire, à quel endroit dois-tu couper l’intervalle quand 0 < c < 4 ?

Pour $$c=0$$ , la fonction est positive et intégrale et aire valent toutes deux $$8/3$$ . Pour $$c=4$$ , la fonction est négative ou nulle sur $$[0;2]$$ : l’intégrale vaut $$-16/3$$ , l’aire $$16/3$$ . Les rectangles sont des approximations ; augmenter leur nombre permet d’observer le rapprochement avec les valeurs exactes, calculées séparément par une primitive. Un dessin fini ne constitue pas à lui seul une preuve de convergence.

À toi de jouer · à ton rythme

Exercice 2 — Deux triangles, deux nombres différents

Pour $$f(x)=x-1$$ sur $$[0;3]$$ , calcule l’intégrale signée puis l’aire géométrique entre la droite et l’axe horizontal. Vérifie avec les deux triangles.

Tu peux chercher sur papier, demander une piste ou lire directement la correction. Reprends ensuite une étape avec tes propres mots.

Indice 1 · par où commencer

La fonction s’annule en un. Elle est négative sur $$[0;1]$$ et positive sur $$[1;3]$$ .

Indice 2 · avancer d’une étape

Une primitive est $$F(x)=x^2/2-x$$ . Pour l’aire, change le signe de l’intégrale sur le premier morceau seulement.

Voir le corrigé entièrement rédigé

On trouve $$F(0)=0$$ , $$F(1)=-1/2$$ et $$F(3)=3/2$$ . Par différence :

\begin{aligned}\int_0^1f(x)\,dx&=-\frac12,\\\int_1^3f(x)\,dx&=\frac32-\left(-\frac12\right)=2,\\\int_0^3f(x)\,dx&=-\frac12+2=\frac32,\\\mathcal A&=\frac12+2=\frac52.\end{aligned}

Le triangle sous l’axe a une base un et une hauteur un, donc une aire $$1/2$$ . Celui au-dessus a une base deux et une hauteur deux, donc une aire deux. Ces aires s’additionnent pour l’aire géométrique et se soustraient pour l’intégrale signée. Pour réessayer, prends l’intervalle $$[0;2]$$ : prévois d’abord si les contributions vont se compenser.

5. Un produit : choisir une intégration par parties

Un produit ne s’intègre pas en multipliant des primitives. Par exemple, $x\times x=x^2$ a pour primitive $$x^3/3$$ , tandis que le produit des primitives $$(x^2/2)^2$$ n’a pas la bonne dérivée. Quand une reconnaissance de composée ne fonctionne pas, on peut parfois transformer le produit grâce à la règle de dérivation $$(uv)'=u'v+uv'$$ .

Pour deux fonctions $$u$$ et $$v$$ de classe $$C^1$$ sur $$[a;b]$$ , c’est-à-dire dérivables avec des dérivées continues, cette règle conduit à :

\int_a^b u(x)v'(x)\,dx=[u(x)v(x)]_a^b-\int_a^b u'(x)v(x)\,dx.

Le choix doit rendre la nouvelle intégrale plus simple. Un polynôme de faible degré se simplifie en le dérivant ; une exponentielle se primitive sans changer de nature. On écrit les quatre rôles $$u$$ , $$u'$$ , $$v'$$ , $$v$$ avant la substitution afin de contrôler signes et coefficients.

Diminuer le degré du facteur polynomial

Calculons $K=\int_0^1 xe^x\,dx$ . On choisit $$u(x)=x$$ , $$u'(x)=1$$ , $$v'(x)=e^x$$ et $$v(x)=e^x$$ . Ces fonctions sont de classe $$C^1$$ sur l’intervalle. La nouvelle intégrale ne contient plus le facteur $$x$$ :

\begin{aligned}K&=[xe^x]_0^1-\int_0^1e^x\,dx\\&=e-(e-1)\\&=1.\end{aligned}

Pour vérifier avec une primitive unique, on peut dériver $$(x-1)e^x$$ : la règle du produit donne $$e^x+(x-1)e^x=xe^x$$ . Son évaluation entre zéro et un vaut également $$0-(-1)=1$$ . Le signe positif du résultat est cohérent avec l’intégrande positif sur l’intervalle.

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Exercice 3 — Une exponentielle décroissante et deux signes moins

Calcule exactement $L=\int_0^1 xe^{-x}\,dx$ par intégration par parties. Vérifie le résultat en dérivant une primitive.

Tu peux chercher sur papier, demander une piste ou lire directement la correction. Reprends ensuite une étape avec tes propres mots.

Indice 1 · par où commencer

Garde $$u(x)=x$$ . Une primitive de $e^{-x}$ est $-e^{-x}$ , car l’argument $$-x$$ a pour dérivée moins un.

Indice 2 · avancer d’une étape

La formule donne $L=[-xe^{-x}]_0^1+\int_0^1e^{-x}\,dx$ . Le signe moins de la formule et celui de la primitive se compensent dans le second terme.

Voir le corrigé entièrement rédigé

Les hypothèses de régularité sont satisfaites. En prenant $v(x)=-e^{-x}$ , on obtient :

\begin{aligned}L&=[-xe^{-x}]_0^1+\int_0^1e^{-x}\,dx\\&=-\frac1e+[-e^{-x}]_0^1\\&=-\frac1e+1-\frac1e\\&=1-\frac2e.\end{aligned}

La primitive $H(x)=-(x+1)e^{-x}$ fournit un contrôle :

\begin{aligned}H'(x)&=-e^{-x}+(x+1)e^{-x}\\&=xe^{-x}.\end{aligned}

Son évaluation redonne $$-2/e-(-1)=1-2/e$$ , un nombre positif, environ $$0{,}2642$$ . L’approximation sert à contrôler l’ordre de grandeur ; la valeur exacte reste $$1-2/e$$ . Pour réessayer, remplace $e^{-x}$ par $e^{-2x}$ , en ajustant d’abord sa primitive.

6. Vérifier les bornes, le sens et les unités

Inverser les bornes change le signe : $\int_b^a f=-\int_a^b f$ . Des bornes identiques donnent zéro. Ces règles concernent l’intégrale orientée ; une aire géométrique reste positive. Si une vitesse algébrique change de signe, son intégrale donne un déplacement, tandis que l’intégrale de sa valeur absolue donne la distance parcourue. Un nombre nul peut donc correspondre à un retour au point de départ après un trajet non nul.

Un encadrement fournit aussi un contrôle : si $m\le f(x)\le M$ sur $$[a;b]$$ avec $$a<b$$ , alors $m(b-a)\le\int_a^b f\le M(b-a)$ . La valeur moyenne de $$f$$ sur cet intervalle est $\frac1{b-a}\int_a^b f$ ; sa multiplication par la longueur de l’intervalle redonne l’intégrale. L’unité d’une valeur moyenne est donc celle de la fonction, alors que l’unité de l’intégrale contient aussi celle de la variable.

Variante sans corrigé : calcule $\int_0^2(x-1)\,dx$ , puis l’aire correspondante et la valeur moyenne. Explique comment une aire strictement positive peut coexister avec une valeur moyenne nulle. Ensuite, calcule $\int_0^1x e^{2x}\,dx$ en annonçant le choix de l’intégration par parties et en vérifiant la primitive obtenue.

Si le résultat surprend, reprends la première étape concernée : domaine pour une singularité, dérivation de la primitive pour un coefficient, évaluations séparées pour les bornes, ou tableau de signes pour l’aire. Une nouvelle tentative sur un exemple voisin permet de vérifier la méthode sans seulement relire la solution.

Fonction à intégrer	Une primitive	Conditions
$\(x^n\)$ , entier $n\ge0$	$x^{n+1}/(n+1)$	Sur $\mathbb R$
$\(e^x\)$	$\(e^x\)$	Sur $\mathbb R$
$\(1/x\)$	$\ln\|x\|$	Sur un intervalle ne contenant pas zéro
$\cos x$	$\sin x$	Angles en radians
$\sin x$	$-\cos x$	Angles en radians