Un parcours à ton rythme
Ce que tu vas savoir faire
- Préciser vers quoi tend la variable et par quelles valeurs du domaine elle approche.
- Reconnaître les formes indéterminées et choisir factorisation, conjugué ou comparaison.
- Étudier les signes près d’un dénominateur qui tend vers zéro.
- Distinguer une valeur exacte, une conjecture graphique et une preuve de limite.
Tu peux lire la fiche en plusieurs séances. Les exemples montrent chaque étape ; les indices et les corrections restent accessibles quand tu en as besoin.
Les bases utiles avant de commencer
- Factoriser et simplifier une fraction avec ses valeurs interdites.
- Manipuler une racine carrée et une identité remarquable.
- Lire un intervalle et distinguer une variable réelle d’un indice entier.
1. Écrire la question complète avant les opérations
Une limite décrit ce qui arrive aux valeurs d’une expression lorsque sa variable s’approche d’un point ou devient arbitrairement grande. Avant de calculer, écris la variable, la destination et le domaine. Dans \(\lim_{x\to2}f(x)\), on étudie des réels proches de deux ; dans \(\lim_{n\to+\infty}u_n\), on étudie des termes d’indice entier de plus en plus grand. Une suite ne possède pas de valeurs entre deux indices consécutifs.
La valeur de \(f\) au point visé et sa limite sont deux informations distinctes. Une fonction peut avoir une limite en un point où elle n’est pas définie. Pour une fonction continue au point \(a\), on peut utiliser \(\lim_{x\to a}f(x)=f(a)\). Mais une expression non définie en \(a\) ne devient pas calculable simplement parce qu’on cherche une limite.
Commence par examiner les limites des morceaux. Si les règles d’opérations s’appliquent, utilise-les. Sinon, nomme la difficulté. Les écritures « zéro sur zéro », « infini sur infini », « infini moins infini » ou « zéro fois infini » désignent des formes indéterminées, pas des résultats. Elles disent que les informations disponibles ne permettent pas encore de conclure.
À proximité de zéro, les quotients \(x/x\), \(x^2/x\) et \(x/x^2\) ont tous un numérateur et un dénominateur qui tendent vers zéro. Pourtant, pour \(x\ne0\), ils se simplifient respectivement en un, \(x\) et \(1/x\). Le premier a pour limite un ; le deuxième zéro ; le troisième n’a pas de limite bilatérale, car les deux côtés divergent avec des signes opposés. La forme seule ne détermine donc aucune réponse.
| Expression observée | Piste utile | Condition à surveiller |
|---|---|---|
| Quotient de polynômes à l’infini | Factoriser les puissances dominantes. | Le signe dépend aussi de la direction de l’infini. |
| Différence de racines | Multiplier par le conjugué. | Le facteur utilisé ne doit pas être nul. |
| Dénominateur tendant vers zéro | Étudier le signe de chaque côté. | Le numérateur peut aussi tendre vers zéro. |
| Terme oscillant mais borné | Encadrer par des expressions de limite connue. | Une division par un nombre négatif inverse les inégalités. |
2. À l’infini : faire apparaître les puissances dominantes
Dans un polynôme, le terme de plus haut degré domine lorsque la variable devient très grande en valeur absolue. On le justifie en factorisant : les autres termes deviennent des multiples de \(1/x\), \(1/x^2\), etc., qui tendent vers zéro. Cette transformation transforme une comparaison vague des tailles en règles de limites applicables.
Un quotient de deux polynômes de même degré
Calculons, lorsque \(x\to+\infty\), la limite de \(f(x)=(3x^2-5x+1)/(2x^2+7x-4)\). Le numérateur et le dénominateur tendent vers \(+\infty\) : on ne divise pas ces symboles. Pour \(x\ne0\), on divise tous les termes par \(x^2\) :
Cette égalité vaut aux points où l’expression initiale est définie ; c’est notamment le cas pour tout \(x\ge1\), car son dénominateur initial y est positif. Chaque puissance inverse tend vers zéro :
La limite du nouveau dénominateur est non nulle, ce qui autorise la règle du quotient. La même normalisation donne la limite \(3/2\) à \(-\infty\), car les puissances inverses tendent encore vers zéro et le quotient initial est défini pour les réels suffisamment négatifs. On ne copie pas cette conclusion pour n’importe quel degré : une puissance impaire change de signe entre les deux directions de l’infini.
À toi de jouer · à ton rythme
Exercice 1 — Une suite, la même idée de factorisation
Pour \(n\ge1\), on pose \(u_n=(2n^2+3n)/(n^2+1)\). Calcule sa limite et explique pourquoi on peut diviser par \(n^2\).
Tu peux chercher sur papier, demander une piste ou lire directement la correction. Reprends ensuite une étape avec tes propres mots.
Indice 1 · par où commencer
L’indice est un entier au moins égal à un, donc \(n^2\) est strictement positif.
Indice 2 · avancer d’une étape
Écris \(u_n=(2+3/n)/(1+1/n^2)\). Les termes \(1/n\) et \(1/n^2\) tendent vers zéro.
Voir le corrigé entièrement rédigé
Le domaine des indices garantit que le facteur utilisé n’est jamais nul. Le dénominateur initial est également strictement positif. On obtient :
La règle du quotient s’applique puisque la limite du dénominateur vaut un. Il est inutile de chercher des limites à droite ou à gauche d’un indice fini : la question porte ici sur les entiers tendant vers l’infini. Pour réessayer, remplace le numérateur par \(3n+2\) en gardant le même dénominateur.
3. Une différence de racines : utiliser le conjugué
L’identité \((A-B)(A+B)=A^2-B^2\) élimine une différence de racines. Multiplier un quotient par le conjugué au numérateur et au dénominateur revient à multiplier par un, à condition que ce conjugué ne soit pas nul. On cherche alors un facteur qui se simplifie sur le domaine, même si le point visé reste exclu.
Une limite existe alors que la fraction n’est pas définie au point
Étudions \(g(x)=(\sqrt{x+4}-2)/x\) lorsque \(x\to0\). Son domaine impose \(x\ge-4\) et \(x\ne0\). Les deux côtés de zéro sont accessibles à proximité de zéro. Le numérateur et le dénominateur tendent vers zéro. Le conjugué \(\sqrt{x+4}+2\) est strictement positif sur le domaine :
On a simplifié par \(x\) seulement en dehors de zéro. La nouvelle expression tend vers \(1/(2+2)=1/4\), donc la limite demandée vaut \(1/4\). Cela n’attribue aucune valeur à la fraction initiale en zéro ; cela décrit les valeurs qu’elle prend à proximité.
À toi de jouer · à ton rythme
Exercice 2 — Deux grands nombres dont l’écart reste petit
Pour \(n\ge1\), calcule la limite de \(v_n=\sqrt{n^2+n}-n\). Pourquoi ne peut-on pas conclure en disant simplement « infini moins infini » ?
Tu peux chercher sur papier, demander une piste ou lire directement la correction. Reprends ensuite une étape avec tes propres mots.
Indice 1 · par où commencer
Multiplie par le conjugué \(\sqrt{n^2+n}+n\), puis utilise l’identité remarquable.
Indice 2 · avancer d’une étape
On obtient \(n/(\sqrt{n^2+n}+n)\). Comme \(n>0\), la racine se factorise en \(n\sqrt{1+1/n}\).
Voir le corrigé entièrement rédigé
Les deux termes initiaux tendent vers l’infini, mais leur différence n’est pas déterminée par cette seule information. Le conjugué est positif. On transforme :
Le passage à la deuxième ligne utilise \(\sqrt{n^2}=|n|=n\), car les indices sont positifs. Cette précision évite une erreur de signe lorsqu’une transformation analogue est faite avec un réel tendant vers \(-\infty\). Pour réessayer, remplace \(n^2+n\) par \(n^2+4n\).
4. Près d’un point : séparer les côtés autorisés
Lorsque le dénominateur tend vers zéro et le numérateur vers un nombre non nul, la taille du quotient augmente sans borne. Son signe dépend du signe du petit dénominateur. Il faut donc souvent étudier séparément \(x\to a^-\), par valeurs inférieures à \(a\), et \(x\to a^+\), par valeurs supérieures.
Un même pôle, deux divergences opposées
Pour \(h(x)=(x+1)/(x-2)\), le point deux est interdit. À proximité de deux, le numérateur est positif et tend vers trois. À gauche, le dénominateur est négatif et tend vers zéro ; à droite, il est positif et tend vers zéro. Ainsi :
Il n’existe pas de limite bilatérale commune, même en autorisant une limite infinie. La droite d’équation \(x=2\) est une asymptote verticale. Les symboles \(\pm\infty\) décrivent une divergence ; ils ne sont pas des valeurs que l’on obtient en remplaçant \(x\) par deux dans la fraction.
À toi de jouer · à ton rythme
Exercice 3 — Un seul côté appartient au domaine
On donne \(r(x)=\sqrt{x-1}/(x-1)\). Détermine son domaine, puis sa limite lorsque \(x\) s’approche de un dans ce domaine. Peut-on demander une limite à gauche à partir de cette fonction réelle ?
Tu peux chercher sur papier, demander une piste ou lire directement la correction. Reprends ensuite une étape avec tes propres mots.
Indice 1 · par où commencer
La racine impose \(x\ge1\) et le dénominateur impose \(x\ne1\). Réunis ces deux conditions.
Indice 2 · avancer d’une étape
Pour \(x>1\), pose \(t=\sqrt{x-1}>0\). Alors \(x-1=t^2\) et le quotient vaut \(1/t\).
Voir le corrigé entièrement rédigé
Le domaine est \(]1;+\infty[\). Les seules valeurs proches de un qui y appartiennent sont à droite. Pour ces valeurs :
La forme initiale zéro sur zéro a donc été levée par simplification. On ne parle pas d’une limite à gauche pour cette fonction réelle : son domaine ne contient aucun point inférieur à un qui puisse s’approcher de un. Pour réessayer, remplace le dénominateur par \(\sqrt{x-1}+1\) et compare le domaine et la limite.
Après comparaison, où en es-tu ?
5. Encadrer et comprendre « à partir d’un certain rang »
Une expression qui oscille peut parfois être contrôlée sans connaître ses valeurs exactes. Pour \(x>0\), on sait que \(-1\le\sin x\le1\). On ajoute deux puis on divise par le nombre positif \(x\) :
Les deux bornes tendent vers zéro lorsque \(x\to+\infty\). Le théorème des gendarmes donne donc une limite nulle au terme central, même si \(\sin x\) n’a pas de limite. Ce raisonnement s’applique aussi aux indices entiers positifs en remplaçant \(x\) par \(n\). On ne conclut pas qu’une suite est divergente simplement parce qu’un de ses morceaux oscille.
Pour voir ce qu’exige une limite finie, étudie \(u_n=1+1/n\), \(n\ge1\). Avant de manipuler, cherche le premier rang à partir duquel tous les termes sont à une distance strictement inférieure à \(0{,}2\) de un.
Entrer dans une bande et y rester
Pour uₙ = 1 + 1/n et ε = 0,2, teste n = 5. Le point est-il dans la bande ouverte ? Cherche ensuite un rang à partir duquel tous les termes y restent.
À ε = 0,2, n = 5 donne un écart de 1/5 = 0,2 : le point est sur la frontière. Pour tout n ≥ 6, 1/n < 0,2. À ε = 0,1, il faut prendre n ≥ 11.
Lire les valeurs et les coordonnées
À ε = 0,2, n = 5 donne un écart de 1/5 = 0,2 : le point est sur la frontière. Pour tout n ≥ 6, 1/n < 0,2. À ε = 0,1, il faut prendre n ≥ 11.
Le graphique ne montre que trente termes. Justifie pourquoi tous les termes suivants restent dans la bande : utilise la décroissance de 1/n.
La distance à un vaut exactement \(1/n\). Pour une précision \(\varepsilon>0\), on souhaite \(1/n<\varepsilon\), donc \(n>1/\varepsilon\). Le rang entier \(N=\lfloor1/\varepsilon\rfloor+1\) convient : pour chaque \(n\ge N\), la distance est au plus \(1/N\), qui est strictement inférieure à \(\varepsilon\). Le symbole plancher désigne le plus grand entier inférieur ou égal au nombre donné.
| Précision | Rang sur la frontière | Premier rang strictement à l’intérieur |
|---|---|---|
| \(0{,}5\) | Deux | Trois |
| \(0{,}2\) | Cinq | Six |
| \(0{,}1\) | Dix | Onze |
Le dessin montre un nombre fini de points. La preuve utilise l’inégalité pour tous les rangs suivants. Un point entré dans la bande ne suffirait pas à lui seul : une autre suite pourrait en ressortir plus tard. Cette distinction est la raison du « à partir d’un certain rang » dans la définition.
Variante sans corrigé : calcule la limite de \((x^2-9)/(x-3)\) en trois, puis les deux limites latérales de \(1/(x-3)\). Explique pourquoi un dénominateur tendant vers zéro conduit à des conclusions différentes dans ces deux exemples. Termine en précisant ce qui est défini au point, et ce qui possède seulement une limite.