Choisir une méthode pour une suite et calculer une somme

Un parcours à ton rythme

Ce que tu vas savoir faire

Distinguer définition explicite et définition par récurrence.
Tester une suite arithmétique ou géométrique sans conclure sur un dessin seul.
Calculer un terme et une somme en tenant compte du premier rang.
Utiliser un changement de variable pour une récurrence affine.

Tu peux lire la fiche en plusieurs séances. Les exemples montrent chaque étape ; les indices et les corrections restent accessibles quand tu en as besoin.

Les bases utiles avant de commencer

Calculer des puissances, des fractions et des pourcentages.
Remplacer une variable par une valeur dans une expression.
Résoudre une équation du premier degré.

1. Lire le rang et la règle avant de choisir

Une suite est une liste de nombres indexés par des entiers. L’indice $$n$$ indique une place ; $$u_n$$ indique la valeur à cette place. Il faut donc distinguer « calculer le terme de rang dix » et « calculer les dix premiers termes ». Si le premier rang est zéro, les dix premiers termes vont de $$u_0$$ à $$u_9$$ .

Une définition explicite, comme $$u_n=3n+2$$ , permet de calculer directement un terme à partir de son rang. Une définition par récurrence, comme $u_{n+1}=3u_n+2$ , demande un terme initial et utilise le terme précédent. Ces deux écritures ne définissent pas la même suite. Dans la deuxième, connaître seulement la règle ne suffit pas : changer le terme initial change la liste obtenue.

Calcule les premiers termes pour comprendre la règle et détecter une erreur d’indice. Cette observation peut suggérer une méthode. Elle ne prouve pas qu’un comportement se poursuit à tous les rangs : plusieurs suites différentes peuvent commencer par les mêmes nombres.

Quel invariant chercher ?
Type de suite	Propriété à établir à chaque rang	Interprétation
Arithmétique	$u_{n+1}-u_n=r$	On ajoute toujours le même nombre.
Géométrique	$u_{n+1}=qu_n$	On multiplie toujours par le même nombre.
Ni l’une ni l’autre	Aucune constante ne vérifie ces relations à tous les rangs.	On cherche une autre structure.

Le quotient $u_{n+1}/u_n$ peut servir à trouver une raison géométrique seulement lorsque $u_n\ne0$ . La relation multiplicative reste la définition utilisable, y compris pour une suite contenant des zéros. Les deux catégories peuvent aussi se recouvrir : une suite constante non nulle est arithmétique de raison zéro et géométrique de raison un. La suite constamment nulle vérifie la relation géométrique pour toute raison.

Une liste qui ne suit aucun des deux modèles

Considérons $$w_n=n^2$$ pour $n\ge1$ . Sa différence entre termes consécutifs vaut :

\begin{aligned}w_{n+1}-w_n&=(n+1)^2-n^2\\&=n^2+2n+1-n^2\\&=2n+1.\end{aligned}

Cette différence dépend du rang : elle vaut trois entre les rangs un et deux, puis cinq entre deux et trois. La suite n’est pas arithmétique. Elle n’est pas géométrique non plus : les quotients successifs valent $$4/1=4$$ , puis $$9/4$$ , deux nombres différents. Deux contre-exemples suffisent à réfuter une raison constante ; quelques quotients égaux n’auraient pas suffi à la prouver.

2. Ajouter une raison et compter les étapes

Si la suite est arithmétique de raison $$r$$ , passer du rang $$p$$ au rang $n\ge p$ demande $$n-p$$ ajouts. La formule part du terme réellement connu :

\[u_n=u_p+(n-p)r.\]

Pour additionner tous les termes de $$u_p$$ à $$u_n$$ , bornes comprises, il y a $$N=n-p+1$$ termes. Les termes extrêmes ont la même somme que la paire suivante ; cela explique la moyenne des extrêmes dans la formule :

\sum_{k=p}^{n}u_k=(n-p+1)\frac{u_p+u_n}{2}.

Le symbole de somme demande d’additionner un terme pour chaque valeur entière de $$k$$ entre les deux bornes. Le nombre d’étapes entre les bornes et le nombre de termes ne sont pas identiques : de trois à huit, il y a cinq déplacements, mais six termes.

Commencer au rang trois

On connaît $$u_3=14$$ et $u_{n+1}=u_n-2$ pour $n\ge3$ . La raison est $$-2$$ . Pour atteindre le rang huit, on effectue cinq retraits :

\begin{aligned}u_8&=u_3+(8-3)(-2)\\&=14-10\\&=4.\end{aligned}

La somme demandée de $$u_3$$ à $$u_8$$ contient six termes. On utilise les deux valeurs extrêmes :

\begin{aligned}\sum_{k=3}^{8}u_k&=6\times\frac{14+4}{2}\\&=6\times9\\&=54.\end{aligned}

Le contrôle par la liste $$14,12,10,8,6,4$$ confirme le résultat. La raison négative ne change aucune formule ; elle signifie simplement que les termes diminuent à chaque étape.

À toi de jouer · à ton rythme

Exercice 1 — Distinguer dix termes et neuf déplacements

Une suite arithmétique vérifie $$u_1=7$$ et a pour raison trois. Calcule $u_{10}$ , puis $u_1+\cdots+u_{10}$ . Explique pourquoi deux nombres différents comptent les étapes et les termes.

Tu peux chercher sur papier, demander une piste ou lire directement la correction. Reprends ensuite une étape avec tes propres mots.

Indice 1 · par où commencer

Du rang un au rang dix, on ajoute la raison neuf fois.

Indice 2 · avancer d’une étape

La somme contient dix termes. Utilise dix fois la moyenne du premier et du dernier.

Voir le corrigé entièrement rédigé

La formule du terme part ici de $$u_1$$ , et non d’un $$u_0$$ qui n’a pas été donné :

\begin{aligned}u_{10}&=7+(10-1)\times3\\&=34,\\\sum_{k=1}^{10}u_k&=10\times\frac{7+34}{2}\\&=205.\end{aligned}

Il y a neuf intervalles entre dix rangs consécutifs. La somme est comprise entre dix fois sept et dix fois trente-quatre, ce qui fournit un contrôle de cohérence. Pour réessayer, additionne seulement les termes des rangs quatre à dix : il faudra recalculer le premier terme de cette nouvelle somme.

3. Multiplier une raison et traiter ses cas particuliers

Pour une suite géométrique, chaque déplacement multiplie par $$q$$ . À partir de $$u_p$$ , on obtient $u_n=u_pq^{n-p}$ pour $$n>p$$ , et le terme de départ reste $$u_p$$ . Cette présentation évite d’écrire une puissance $$0^0$$ lorsque la raison vaut zéro et que l’on revient au rang initial.

Pour $N\ge1$ termes consécutifs, si $q\ne1$ , la somme vaut :

u_p+u_{p+1}+\cdots+u_{p+N-1}=u_p\frac{1-q^N}{1-q}.

Pourquoi cette fraction ? Pour $T=1+q+\cdots+q^{N-1}$ , le produit $$qT$$ décale toutes les puissances d’un rang. Dans $$T-qT$$ , les termes intermédiaires s’annulent : il reste $$1-q^N$$ . On divise par $$1-q$$ seulement si ce nombre est non nul. Pour $$q=1$$ , les termes sont tous égaux à $$u_p$$ et la somme vaut directement $$Nu_p$$ . Pour $$q=0$$ , seul le terme initial peut être non nul et la somme vaut $$u_p$$ .

Une raison négative change les signes, pas la méthode

Soit une suite géométrique avec $$u_2=81$$ et $$q=-1/3$$ . Les trois termes suivants sont $$-27$$ , neuf, puis $$-3$$ . Le rang cinq est à trois déplacements du rang deux :

\begin{aligned}u_5&=81\left(-\frac13\right)^3\\&=-3.\end{aligned}

De deux à cinq, la somme contient quatre termes. On conserve les parenthèses autour de la raison négative :

\begin{aligned}\sum_{k=2}^{5}u_k&=81\frac{1-(-1/3)^4}{1-(-1/3)}\\&=81\frac{1-1/81}{4/3}\\&=80\times\frac34\\&=60.\end{aligned}

La vérification $$81-27+9-3=60$$ confirme le calcul. Il serait incorrect de remplacer la raison par sa valeur absolue : cela transformerait la suite et sa somme.

À toi de jouer · à ton rythme

Exercice 2 — Un facteur répété et une somme

On donne $$v_0=16$$ et $v_{n+1}=v_n/2$ . Calcule $$v_4$$ , puis la somme des cinq premiers termes. Que deviendrait cette somme avec une raison un ? Et avec une raison zéro, le terme initial restant seize ?

Tu peux chercher sur papier, demander une piste ou lire directement la correction. Reprends ensuite une étape avec tes propres mots.

Indice 1 · par où commencer

La division par deux est une multiplication par $$q=1/2$$ . Les cinq premiers termes vont du rang zéro au rang quatre.

Indice 2 · avancer d’une étape

Pour la somme, utilise l’exposant cinq dans $$1-q^5$$ . Les raisons un et zéro peuvent se traiter directement par la liste.

Voir le corrigé entièrement rédigé

Il y a quatre multiplications pour le dernier terme, et cinq termes dans la somme :

\begin{aligned}v_4&=16\left(\frac12\right)^4\\&=1,\\\sum_{k=0}^{4}v_k&=16\frac{1-(1/2)^5}{1-1/2}\\&=16\times\frac{31}{32}\times2\\&=31.\end{aligned}

On retrouve $$16+8+4+2+1=31$$ . Avec la raison un, les cinq termes valent seize : la somme vaut quatre-vingts. Avec la raison zéro, la liste commence par seize puis quatre zéros : la somme vaut seize. Pour réessayer, garde le premier terme et prends la raison $$-1/2$$ .

4. Lire un graphique de suite avec les valeurs

Une suite se représente par des points de coordonnées $$(n,u_n)$$ , aux rangs entiers. Les positions entre deux rangs n’appartiennent pas à la définition. Dans la manipulation, garde $$u_0=2$$ , prévois les trois premiers termes, puis compare les raisons $$0{,}75$$ , $$-0{,}75$$ , un et $$1{,}25$$ .

Une raison, plusieurs comportements de suite

On part de u₀ = 2 et l’on multiplie chaque terme par q = 0,75. Prévois u₁ et u₂. Compare ensuite q = −0,75, q = 1 et q = 1,25 : les signes, les écarts à zéro et la limite racontent-ils la même chose ?

Points : les treize termes de rang 0 à 12. Les traits verticaux aident à lire les valeurs ; ils ne relient pas les termes. L’échelle verticale s’adapte : utilise les nombres pour comparer deux réglages.

La suite est définie par uₙ₊₁ = q × uₙ. Pour u₀ = 2 et q = 0,75, les premiers termes sont 2 ; 1,5 ; 1,125 ; 0,84375. Pour n ≥ 1, uₙ = u₀ × qⁿ. Le terme initial est fixé séparément, y compris pour q = 0.

Lire le tableau des valeurs

Une image de treize termes suggère un comportement ; elle ne prouve rien sur tous les rangs suivants. Si u₀ est non nul, |q| < 1 donne une limite nulle ; q = −1 donne une alternance sans limite. Si u₀ = 0, tous les termes sont nuls, quelle que soit la raison.

Pour la raison $$0{,}75$$ , les valeurs sont deux, $$1{,}5$$ , $$1{,}125$$ , puis $$0{,}84375$$ . Avec la raison opposée, les valeurs absolues restent identiques mais les signes alternent. Cela distingue « se rapprocher de zéro » et « diminuer à chaque rang ». La suite de raison négative n’est pas monotone lorsque le premier terme est non nul.

Compare les nombres affichés, car l’échelle verticale du dessin s’adapte. Treize points peuvent suggérer une limite ; ils ne prouvent pas le comportement de tous les termes futurs. Mets enfin le premier terme à zéro : la liste devient constamment nulle, même pour une raison de valeur absolue supérieure à un. Les conclusions sur le comportement doivent toujours tenir compte du terme initial.

5. Une récurrence affine : mesurer l’écart à l’équilibre

Une règle $u_{n+1}=au_n+b$ comporte une multiplication puis un ajout. Elle ne définit pas en général une suite arithmétique ou géométrique. Si $a\ne1$ , cherchons une valeur qui resterait inchangée par cette règle : $$L=aL+b$$ , donc $$L=b/(1-a)$$ . Cette valeur est appelée point fixe. On étudie l’écart $$v_n=u_n-L$$ :

\begin{aligned}v_{n+1}&=u_{n+1}-L\\&=au_n+b-L\\&=au_n-aL\\&=a(u_n-L)\\&=av_n.\end{aligned}

Le passage $$b-L=-aL$$ vient précisément de l’équation du point fixe. La suite des écarts est géométrique de raison $$a$$ . On calcule alors ses termes, puis on ajoute $$L$$ pour retrouver la suite initiale. Si $$a=1$$ , on ne divise pas par zéro : la règle devient directement arithmétique, de raison $$b$$ . Si $$a=0$$ , tous les termes après le premier valent $$b$$ , ce qui se lit directement dans la récurrence.

Un volume renouvelé chaque jour

Dans un modèle de réservoir sans débordement, il reste chaque jour quatre-vingts pour cent du volume précédent, puis on ajoute trente litres. Avec $$u_0=100$$ litres, la règle est $u_{n+1}=0{,}8u_n+30$ . Le volume fixe vérifie :

\begin{aligned}L&=0{,}8L+30\\0{,}2L&=30\\L&=150.\end{aligned}

L’écart initial vaut $$v_0=100-150=-50$$ . La relation précédente donne une suite géométrique de raison $$0{,}8$$ , donc :

\begin{aligned}v_n&=-50(0{,}8)^n,\\u_n&=150-50(0{,}8)^n\qquad(n\ge0).\end{aligned}

Au rang zéro, on retrouve cent. Au rang un, on trouve cent dix, comme avec la règle initiale. La relation établie pour tous les rangs justifie la formule, tandis que ces deux substitutions contrôlent les calculs. Le signe négatif de l’écart montre que les volumes restent sous cent cinquante ; il ne signifie pas un volume négatif.

À toi de jouer · à ton rythme

Exercice 3 — Retrouver les termes puis leur somme

Soit $$u_0=4$$ et $u_{n+1}=\frac12u_n+3$ . Trouve le point fixe, une formule pour $$u_n$$ , puis $$u_0+u_1+u_2+u_3$$ .

Tu peux chercher sur papier, demander une piste ou lire directement la correction. Reprends ensuite une étape avec tes propres mots.

Indice 1 · par où commencer

Résous $$L=L/2+3$$ , puis définis $$v_n=u_n-L$$ . La raison des écarts sera $$1/2$$ .

Indice 2 · avancer d’une étape

On obtient $$L=6$$ et $$v_0=-2$$ . La somme demandée est quatre fois six, moins deux fois la somme de quatre puissances de $$1/2$$ .

Voir le corrigé entièrement rédigé

Le point fixe vaut six. On soustrait six à la récurrence :

\begin{aligned}u_{n+1}-6&=\tfrac12u_n-3\\&=\tfrac12(u_n-6).\end{aligned}

Les écarts forment une suite géométrique partant de moins deux. On obtient donc, pour $n\ge0$ , $$u_n=6-2(1/2)^n$$ . En séparant la partie constante et la partie géométrique :

\begin{aligned}\sum_{k=0}^{3}u_k&=4\times6-2\frac{1-(1/2)^4}{1-1/2}\\&=24-2\times\frac{15}{8}\\&=\frac{81}{4}\\&=20{,}25.\end{aligned}

Les valeurs quatre, cinq, $$5{,}5$$ et $$5{,}75$$ confirment la somme. Pour réessayer, remplace le terme initial par huit ; explique pourquoi le point fixe et la raison des écarts restent inchangés.

6. Contrôler le choix de méthode

Avant de lancer une formule, relève le premier rang, le terme connu, la relation et ce qui est demandé : un terme, une somme ou un comportement. Pour une somme, écris ses deux premières valeurs et sa dernière afin de compter correctement les termes. Vérifie ensuite un petit rang calculable directement. Une formule qui échoue à ce contrôle doit être reprise ; une formule qui réussit un seul contrôle doit encore être justifiée à tous les rangs concernés.

Variante sans corrigé : on donne $$z_2=5$$ et $z_{n+1}=2z_n-3$ pour $n\ge2$ . Cherche le point fixe, exprime l’écart à ce point, puis calcule $$z_5$$ et la somme de $$z_2$$ à $$z_5$$ . Explique pourquoi l’exposant du terme et le nombre de termes de la somme diffèrent d’une unité.

Si la difficulté vient des indices, écris quelques rangs dans un tableau. Si elle vient de la classification, compare les différences et la relation multiplicative. Reprendre une seule de ces étapes avec un nouvel exemple est une manière concrète de vérifier ta compréhension.