Démontrer par récurrence

Un parcours à ton rythme

Ce que tu vas savoir faire

Reconnaître quand une récurrence peut démontrer une propriété à tous les rangs.
Écrire précisément la propriété, son premier rang et le but de l’hérédité.
Rédiger une preuve complète pour une somme, une formule de suite ou un encadrement.
Repérer un raisonnement circulaire et vérifier chaque passage entre deux rangs.

Tu peux lire la fiche en plusieurs séances. Les exemples montrent chaque étape ; les indices et les corrections restent accessibles quand tu en as besoin.

Les bases utiles avant de commencer

Lire les notations de suites : le rang n est un entier, le terme uₙ est un nombre.
Développer, factoriser et calculer avec les puissances ; savoir qu’une inégalité change de sens si l’on multiplie par un nombre négatif.
Comprendre « si… alors… » : une implication explique ce que l’on peut déduire sous une hypothèse.

1. Comprendre ce que la récurrence démontre

Tu calcules les premiers termes d’une suite et une formule semble fonctionner. Comment affirmer qu’elle fonctionnera encore au rang 100, puis à tous les rangs suivants ? Une liste de vérifications, même très longue, ne couvre qu’un nombre fini de cas. La récurrence apporte un mécanisme qui permet de passer d’un rang quelconque au suivant.

On note $$P(n)$$ une affirmation qui dépend de l’entier $$n$$ . Par exemple, $$P(n)$$ peut être « $u_n=2^{n+1}-1$ » ou « $0\leqslant u_n\leqslant 2$ ». Le symbole $$P$$ donne simplement un nom à la phrase à démontrer ; ce n’est pas une nouvelle suite à calculer.

La preuve repose sur deux faits distincts : la propriété est vraie au premier rang, et chaque rang où elle est vraie entraîne le suivant. Imagine une suite de dominos : il faut lancer le premier et s’assurer que la transmission fonctionne à chaque étape. Une transmission parfaite sans départ ne fait rien tomber ; un premier domino tombé sans transmission ne suffit pas.

Départ
P(n₀)Transmission
P(n) ⇒ P(n + 1)Conclusion
tous les n ≥ n₀

Le dessin explique la logique ; dans ta rédaction, ce sont les calculs et les arguments de l’hérédité qui justifient la transmission. On ne « suppose pas le résultat vrai pour tous les rangs » : on démontre une implication valable quel que soit le rang choisi.

2. Préparer puis rédiger les quatre temps

Définir la propriété et le premier rang
Écris : « Pour tout entier $n\geqslant n_0$ , on note $$P(n)$$ la propriété : … ». Choisis une phrase complète, avec exactement les bornes, l’égalité ou la divisibilité demandées. Le premier rang vient de l’énoncé et du domaine des expressions : une formule contenant $$1/n$$ ne se vérifie pas en $$n=0$$ .
Initialiser : traiter le premier cas
Remplace réellement $$n$$ par $$n_0$$ . Calcule les deux membres d’une égalité, ou vérifie chacune des bornes d’un encadrement. Termine par « Donc $$P(n_0)$$ est vraie. » Écrire seulement « c’est évident » ne permet pas de voir ce qui a été vérifié.
Établir l’hérédité : construire le passage
Écris : « Soit $n\geqslant n_0$ un entier. Supposons $$P(n)$$ vraie. Montrons $$P(n+1)$$ . » Recopie l’hypothèse et la cible, en remplaçant toutes les occurrences de $$n$$ dans la propriété par $$n+1$$ . Pars d’une expression connue, utilise la définition de la suite ou de la somme, puis l’hypothèse de récurrence au moment précis où elle est utile.
Conclure sur le bon ensemble de rangs
Écris : « La propriété est initialisée au rang $$n_0$$ et héréditaire à partir de ce rang. Par récurrence, elle est vraie pour tout entier $n\geqslant n_0$ . » Recopie ensuite le résultat. La conclusion ne s’étend pas aux rangs qui précèdent le départ de la preuve.

Au brouillon, écris la cible avant de calculer. Pour $P(n) : u_n=2^{n+1}-1$ , la cible est $u_{n+1}=2^{n+2}-1$ . Pour $$P(n) : S_n=n(n+1)/2$$ , elle est $S_{n+1}=(n+1)(n+2)/2$ . Cette petite préparation évite de « calculer au hasard ».

Tu peux utiliser une autre lettre, par exemple $$k$$ , pour le rang fixé dans l’hérédité. L’essentiel est de garder le même nom du début à la fin du passage. Le raisonnement s’applique à tout entier admissible, pas seulement à une valeur numérique choisie.

3. Une somme : isoler le terme que l’on ajoute

Exemple 1 · la somme des n premiers nombres impairs

Démontrons, pour tout entier $n\geqslant1$ , que la somme des $$n$$ premiers entiers impairs vaut $$n^2$$ . Pour éviter une écriture ambiguë au premier rang, définissons $S_n=\sum_{k=1}^{n}(2k-1)$ . On note $$P(n)$$ la propriété $$S_n=n^2$$ .

Initialisation au rang 1

La somme ne contient qu’un terme : $$S_1=1$$ . Le membre de droite vaut $$1^2=1$$ . Les deux membres sont égaux, donc $$P(1)$$ est vraie.

Hérédité : pourquoi le prochain terme est 2n + 1

Soit $n\geqslant1$ un entier. Supposons $$S_n=n^2$$ . Nous voulons montrer $S_{n+1}=(n+1)^2$ . Le dernier terme de $$S_n$$ est $$2n-1$$ . Celui que l’on ajoute pour former $S_{n+1}$ est $$2(n+1)-1=2n+1$$ .

\begin{aligned}S_{n+1}&=S_n+(2n+1) &&\text{(définition de la somme)}\\&=n^2+2n+1 &&\text{(hypothèse de récurrence)}\\&=(n+1)^2 &&\text{(identité remarquable).}\end{aligned}

On a obtenu exactement la propriété $$P(n+1)$$ . L’hérédité est démontrée.

Conclusion entièrement rédigée

La propriété est vraie au rang 1 et héréditaire à partir de ce rang. Par le principe de récurrence, pour tout entier $n\geqslant1$ , la somme des $$n$$ premiers entiers impairs est égale à $$n^2$$ .

À comprendre dans ce calcul : on ne remplace pas directement $S_{n+1}$ par le résultat attendu. On le relie d’abord à $$S_n$$ , que l’hypothèse permet de remplacer. C’est ce lien entre deux rangs qui fait avancer la preuve.

À toi de jouer · à ton rythme

Pause · retrouver une autre somme

On pose $T_n=\sum_{k=1}^{n}k$ pour $n\geqslant1$ . Démontre $$T_n=n(n+1)/2$$ . Écris les quatre temps, même si tu connais déjà la formule.

Tu peux chercher sur papier, demander une piste ou lire directement la correction. Reprends ensuite une étape avec tes propres mots.

Indice 1 · par où commencer

Au rang 1, la somme vaut 1. Pour passer au rang suivant, quel nombre ajoutes-tu à $$T_n$$ ?

Indice 2 · avancer d’une étape

Utilise $T_{n+1}=T_n+(n+1)$ , puis mets au même dénominateur. Le facteur commun est $$n+1$$ .

Voir le corrigé entièrement rédigé

Pour $n\geqslant1$ , notons $$P(n)$$ la propriété $$T_n=n(n+1)/2$$ . Au rang 1, $$T_1=1$$ et $$1(1+1)/2=1$$ ; la propriété est initialisée.

Soit $n\geqslant1$ . Supposons $$T_n=n(n+1)/2$$ . Alors :

\begin{aligned}T_{n+1}&=T_n+(n+1)\\&=\frac{n(n+1)}2+\frac{2(n+1)}2\\&=\frac{(n+1)(n+2)}2.\end{aligned}

C’est la formule demandée au rang $$n+1$$ , donc la propriété est héréditaire. Par récurrence, $$T_n=n(n+1)/2$$ pour tout entier $n\geqslant1$ .

4. Une suite : relier la définition et la formule cherchée

Exemple 2 · obtenir une formule explicite

La suite est définie par $$u_0=1$$ et $u_{n+1}=2u_n+1$ pour tout entier $n\geqslant0$ . Les premiers termes sont 1, 3, 7, 15. Démontrons que $u_n=2^{n+1}-1$ pour tout entier $n\geqslant0$ .

Définition de la propriété. Pour $n\geqslant0$ , notons $$P(n)$$ l’égalité $u_n=2^{n+1}-1$ . Attention : la relation $u_{n+1}=2u_n+1$ est une donnée de l’énoncé, disponible à chaque étape ; la formule explicite est le résultat à prouver.

Initialisation

On connaît $$u_0=1$$ . La formule annoncée donne $2^{0+1}-1=2-1=1$ . Donc $$P(0)$$ est vraie.

Hérédité

Soit $n\geqslant0$ un entier. Supposons $u_n=2^{n+1}-1$ . Montrons $u_{n+1}=2^{n+2}-1$ . On part de la relation de définition :

\begin{aligned}u_{n+1}&=2u_n+1\\&=2\bigl(2^{n+1}-1\bigr)+1 &&\text{(hypothèse au rang }n\text{)}\\&=2\times2^{n+1}-2+1\\&=2^{n+2}-1.\end{aligned}

La dernière expression est précisément celle attendue au rang suivant. La propriété est donc héréditaire.

Conclusion

Par récurrence, pour tout entier $n\geqslant0$ , $u_n=2^{n+1}-1$ .

Pourquoi la parenthèse compte : remplacer $$u_n$$ dans $$2u_n+1$$ donne $2(2^{n+1}-1)+1$ . Le facteur 2 multiplie aussi le terme −1. Une parenthèse oubliée détruit la preuve alors que son idée était correcte.

Une suite peut être définie par récurrence sans que l’exercice demande une démonstration par récurrence. La première expression décrit comment calculer les termes. La seconde désigne une méthode de preuve ; elle sert aussi pour des sommes ou des questions de divisibilité.

À toi de jouer · à ton rythme

Pause · prouver une divisibilité

Démontre que $$4^n-1$$ est un multiple de 3 pour tout entier $n\geqslant0$ . Dire « multiple de 3 » signifie « égal à $$3k$$ pour un entier $$k$$ ».

Tu peux chercher sur papier, demander une piste ou lire directement la correction. Reprends ensuite une étape avec tes propres mots.

Indice 1 · par où commencer

Au rang 0, tu obtiens 0, qui est bien un multiple de 3. Dans l’hérédité, écris $$4^n-1=3k$$ avec $$k$$ entier.

Indice 2 · avancer d’une étape

Transforme $4^{n+1}-1$ en $$4(4^n-1)+3$$ . Tu pourras alors utiliser ton hypothèse.

Voir le corrigé entièrement rédigé

Pour $n\geqslant0$ , notons $$P(n)$$ : « $$4^n-1$$ est un multiple de 3 ». Au rang 0, $4^0-1=0=3\times0$ , donc $$P(0)$$ est vraie.

Soit $n\geqslant0$ . Supposons $$P(n)$$ vraie. Il existe alors un entier $$k$$ tel que $$4^n-1=3k$$ . Ainsi :

\begin{aligned}4^{n+1}-1&=4(4^n-1)+3\\&=4\times3k+3\\&=3(4k+1).\end{aligned}

Comme $$4k+1$$ est entier, $4^{n+1}-1$ est un multiple de 3. La propriété est héréditaire. Par récurrence, elle est vraie pour tout entier $n\geqslant0$ .

5. Un encadrement : transporter les inégalités avec soin

Exemple 3 · conserver un intervalle

On souhaite définir $$u_0=1$$ , puis $u_{n+1}=\sqrt{2+u_n}$ . Pour calculer chaque nouveau terme réel, il faut que $2+u_n\geqslant0$ . Démontrons simultanément que les termes existent et que $1\leqslant u_n\leqslant2$ pour tout $n\geqslant0$ .

Notons $$P(n)$$ : « $$u_n$$ est défini et $1\leqslant u_n\leqslant2$ ». Au rang 0, $$u_0=1$$ existe et appartient à $$[1;2]$$ . Donc $$P(0)$$ est vraie.

Soit $n\geqslant0$ un entier. Supposons $$P(n)$$ vraie. On dispose de l’encadrement suivant :

\begin{aligned}1&\leqslant u_n\leqslant2,\\3&\leqslant2+u_n\leqslant4.\end{aligned}

Le nombre sous la racine est positif : $u_{n+1}$ est donc bien défini. La fonction racine carrée étant croissante sur $[0;+\infty[$ , on peut l’appliquer aux trois membres en conservant le sens :

\sqrt3\leqslant\sqrt{2+u_n}\leqslant2.

Comme $\sqrt3\geqslant1$ , on en déduit $1\leqslant u_{n+1}\leqslant2$ . C’est $$P(n+1)$$ . La propriété est initialisée et héréditaire ; par récurrence, tous les termes sont définis et appartiennent à $$[1;2]$$ .

Un encadrement ne prouve pas la convergence à lui seul. Une suite peut rester dans un intervalle tout en oscillant indéfiniment. Ici, on peut compléter le raisonnement : pour $u_n\in[1;2]$ , on a $u_n^2\leqslant u_n+2$ , car $(u_n-2)(u_n+1)\leqslant0$ . Les deux côtés à comparer étant positifs, cela donne $u_n\leqslant\sqrt{u_n+2}=u_{n+1}$ .

La suite est donc croissante et majorée par 2 ; elle converge vers un réel $\ell\in[1;2]$ . Par continuité de la racine, $\ell=\sqrt{2+\ell}$ , donc $(\ell-2)(\ell+1)=0$ . Comme $\ell\in[1;2]$ , on retient $\ell=2$ . Cet argument de convergence utilise le cours de Terminale ; il vient après la preuve de l’encadrement.

Le graphique suivant concerne une autre famille, les suites géométriques. Il permet de comparer « rester borné » et « converger » : prends $$u_0=2$$ , puis $$q=-1$$ . Les termes restent entre −2 et 2, mais alternent entre deux valeurs. Reviens à $$q=0,75$$ pour observer une convergence.

Une raison, plusieurs comportements de suite

On part de u₀ = 2 et l’on multiplie chaque terme par q = 0,75. Prévois u₁ et u₂. Compare ensuite q = −0,75, q = 1 et q = 1,25 : les signes, les écarts à zéro et la limite racontent-ils la même chose ?

Points : les treize termes de rang 0 à 12. Les traits verticaux aident à lire les valeurs ; ils ne relient pas les termes. L’échelle verticale s’adapte : utilise les nombres pour comparer deux réglages.

La suite est définie par uₙ₊₁ = q × uₙ. Pour u₀ = 2 et q = 0,75, les premiers termes sont 2 ; 1,5 ; 1,125 ; 0,84375. Pour n ≥ 1, uₙ = u₀ × qⁿ. Le terme initial est fixé séparément, y compris pour q = 0.

Lire le tableau des valeurs

Une image de treize termes suggère un comportement ; elle ne prouve rien sur tous les rangs suivants. Si u₀ est non nul, |q| < 1 donne une limite nulle ; q = −1 donne une alternance sans limite. Si u₀ = 0, tous les termes sont nuls, quelle que soit la raison.

6. Si la propriété commence à un autre rang

Exemple 4 · pourquoi commencer au rang 4

Nous voulons montrer $2^n\geqslant n^2$ pour tout entier $n\geqslant4$ . Au rang 3, cette inégalité est fausse : $$8<9$$ . Une preuve qui commencerait au rang 0 sans vérifier la transmission serait donc incorrecte.

Notons $$P(n)$$ la propriété $2^n\geqslant n^2$ , pour $n\geqslant4$ . Au rang 4, $$2^4=16=4^2$$ ; la propriété est vraie.

Soit $n\geqslant4$ . Supposons $2^n\geqslant n^2$ . En multipliant par 2, nombre positif, nous obtenons $2^{n+1}\geqslant2n^2$ . Pour atteindre la cible $$(n+1)^2$$ , comparons :

\begin{aligned}2n^2-(n+1)^2&=n^2-2n-1\\&=(n-1)^2-2\\&\geqslant 9-2\\&=7>0,\qquad\text{car }n\geqslant4.\end{aligned}

Par conséquent, $2^{n+1}\geqslant2n^2\geqslant(n+1)^2$ . L’hérédité est démontrée. Par récurrence, $2^n\geqslant n^2$ pour tout entier $n\geqslant4$ .

Le point délicat : l’hypothèse donne une première minoration, $$2n^2$$ . Il reste à prouver qu’elle est au moins aussi grande que la cible. On ne peut pas remplacer une borne par une autre sans les comparer.

7. Relire une preuve et reconnaître les variantes

« J’ai vérifié les dix premiers rangs. »: Cela soutient une conjecture, mais ne démontre pas les suivants. Il manque le passage pour un entier quelconque. À l’inverse, un seul contre-exemple suffit à réfuter une affirmation « pour tout n ».
« Je suppose P(n + 1), puis je retrouve P(n). »: Tu prouves éventuellement l’implication dans l’autre sens. Pour l’hérédité attendue, pars de l’hypothèse au rang $$n$$ et atteins le rang $$n+1$$ . Une recherche à rebours peut aider au brouillon ; la preuve finale doit justifier le sens utile.
« C’est vrai au rang n + 1 parce que la formule est la même. »: La formule au rang $$n+1$$ est précisément le but. Il faut la déduire de la définition et de l’hypothèse, sans la prendre comme point de départ acquis. Indique la ligne où tu utilises l’hypothèse.
« Je passe aux carrés, aux inverses ou aux racines. »: Vérifie le domaine et le sens de variation de l’opération. Sur les nombres positifs, le carré conserve l’ordre ; la fonction inverse le renverse sur $]0;+\infty[$ . Sans contrôle des signes, ces transformations ne sont pas automatiques.

Pour aller plus loin · récurrence double et récurrence forte

Si le calcul du terme suivant dépend de deux termes précédents, une hypothèse au seul rang $$n$$ peut être insuffisante. Pour une relation comme $u_{n+2}=u_{n+1}+u_n$ , une récurrence double démarre en prouvant deux cas, puis établit que les propriétés aux rangs $$n$$ et $$n+1$$ entraînent celle au rang $$n+2$$ .

Exemple : pour $$F_0=0$$ , $$F_1=1$$ , $F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$ , montrons $F_n\leqslant2^n$ pour $n\geqslant0$ . Les deux départs donnent $0\leqslant1$ et $1\leqslant2$ . Si $F_n\leqslant2^n$ et $F_{n+1}\leqslant2^{n+1}$ , alors :

\begin{aligned}F_{n+2}&=F_{n+1}+F_n\\&\leqslant2^{n+1}+2^n\\&=3\times2^n\\&\leqslant4\times2^n=2^{n+2}.\end{aligned}

Avec ces deux initialisations et cette transmission, la propriété vaut à tous les rangs. On peut aussi présenter une récurrence simple sur une propriété regroupant deux rangs consécutifs.

Dans une récurrence forte, pour prouver $$P(n+1)$$ , on suppose les propriétés vraies à tous les rangs de $$n_0$$ à $$n$$ . On peut ainsi utiliser un rang antérieur qui n’est pas forcément le précédent. Ce n’est pas supposer la conclusion pour tous les entiers : l’hypothèse s’arrête à $$n$$ , et la preuve doit encore atteindre le suivant. Ces variantes sont des compléments ; choisis la plus simple qui répond à la dépendance du problème.

8. S’entraîner puis vérifier sa rédaction

À toi de jouer · à ton rythme

Exercice · une inégalité à tous les rangs

Démontre que $2^n\geqslant n+1$ pour tout entier $n\geqslant0$ . Après la première minoration, explique pourquoi $2n+2\geqslant n+2$ .

Tu peux chercher sur papier, demander une piste ou lire directement la correction. Reprends ensuite une étape avec tes propres mots.

Indice 1 · par où commencer

Au rang 0, les deux membres valent 1. La cible au rang suivant est $2^{n+1}\geqslant n+2$ .

Indice 2 · avancer d’une étape

Multiplie ton hypothèse par 2. Pour comparer la nouvelle borne à $$n+2$$ , calcule leur différence.

Voir le corrigé entièrement rédigé

Pour $n\geqslant0$ , notons $P(n) : 2^n\geqslant n+1$ . Au rang 0, $$2^0=1=0+1$$ , donc $$P(0)$$ est vraie.

Soit $n\geqslant0$ . Supposons $2^n\geqslant n+1$ . Comme 2 est positif, $2^{n+1}\geqslant2(n+1)=2n+2$ . Or $(2n+2)-(n+2)=n\geqslant0$ . Donc $2^{n+1}\geqslant n+2$ , ce qui prouve $$P(n+1)$$ .

La propriété est initialisée et héréditaire. Par récurrence, $2^n\geqslant n+1$ pour tout entier $n\geqslant0$ .

À toi de jouer · à ton rythme

Bilan · une formule à démontrer, puis à interpréter

On définit $$v_0=1$$ et $v_{n+1}=(v_n+3)/2$ pour $n\geqslant0$ . Démontre par récurrence que $$v_n=3-2/2^n$$ . Déduis-en que $1\leqslant v_n<3$ . Si tu as étudié les limites, détermine celle de la suite.

Tu peux chercher sur papier, demander une piste ou lire directement la correction. Reprends ensuite une étape avec tes propres mots.

Indice 1 · par où commencer

Définis la propriété pour $n\geqslant0$ . Vérifie le premier terme en utilisant $$2^0=1$$ . Dans l’hérédité, la cible est $v_{n+1}=3-2/2^{n+1}$ .

Indice 2 · avancer d’une étape

Remplace $$v_n$$ dans la relation, avec des parenthèses. Diviser $$2/2^n$$ par 2 donne $2/2^{n+1}$ . Pour l’encadrement, utilise $0<2/2^n\leqslant2$ .

Voir le corrigé entièrement rédigé

Pour tout entier $n\geqslant0$ , notons $$P(n)$$ la propriété $$v_n=3-2/2^n$$ .

Initialisation

On a $$v_0=1$$ , et $$3-2/2^0=3-2=1$$ . Donc $$P(0)$$ est vraie.

Hérédité

Soit $n\geqslant0$ un entier. Supposons $$v_n=3-2/2^n$$ . Alors :

\begin{aligned}v_{n+1}&=\frac{v_n+3}{2}\\&=\frac{\left(3-\frac{2}{2^n}\right)+3}{2}\\&=\frac{6-\frac{2}{2^n}}2\\&=3-\frac{2}{2\times2^n}\\&=3-\frac{2}{2^{n+1}}.\end{aligned}

C’est $$P(n+1)$$ , donc la propriété est héréditaire.

Conclusion et interprétation

Par récurrence, $$v_n=3-2/2^n$$ pour tout entier $n\geqslant0$ . Comme $2^n\geqslant1$ , on a $0<2/2^n\leqslant2$ . En soustrayant ces quantités à 3, on obtient $1\leqslant v_n<3$ . La borne supérieure est stricte, car le terme soustrait reste positif à tout rang fini.

Enfin, $$2/2^n$$ tend vers 0, donc $$v_n$$ tend vers 3. La suite peut ainsi se rapprocher de 3 sans jamais l’atteindre. Tu n’avais pas besoin de redémontrer par récurrence l’encadrement : la formule désormais prouvée le donne directement.

La relecture en cinq questions

Ai-je nommé une propriété précise et annoncé le bon premier rang ?
Ai-je réellement vérifié ce premier rang ?
Mon entier est-il quelconque, avec une hypothèse limitée au rang autorisé ?
Chaque transformation est-elle justifiée, jusqu’à la cible exacte au rang suivant ?
Ma conclusion mentionne-t-elle tous les rangs couverts par la preuve ?

Si une étape résiste, repère si le blocage vient de la logique (ce que tu sais et ce que tu veux montrer) ou du calcul (développer, factoriser, comparer deux expressions). Ce sont deux compétences que tu peux travailler séparément. Refaire un seul passage avec ses justifications est déjà une manière utile de progresser.

Ce que tu vas savoir faire

1. Comprendre ce que la récurrence démontre

2. Préparer puis rédiger les quatre temps

Définir la propriété et le premier rang

Initialiser : traiter le premier cas

Établir l’hérédité : construire le passage

Conclure sur le bon ensemble de rangs

3. Une somme : isoler le terme que l’on ajoute

Exemple 1 · la somme des n premiers nombres impairs

Initialisation au rang 1

Hérédité : pourquoi le prochain terme est 2n + 1

Conclusion entièrement rédigée

Pause · retrouver une autre somme

4. Une suite : relier la définition et la formule cherchée

Exemple 2 · obtenir une formule explicite

Initialisation

Hérédité

Conclusion

Pause · prouver une divisibilité

5. Un encadrement : transporter les inégalités avec soin

Exemple 3 · conserver un intervalle

6. Si la propriété commence à un autre rang

Exemple 4 · pourquoi commencer au rang 4

7. Relire une preuve et reconnaître les variantes

8. S’entraîner puis vérifier sa rédaction

Exercice · une inégalité à tous les rangs

Bilan · une formule à démontrer, puis à interpréter

Initialisation

Hérédité

Conclusion et interprétation

La relecture en cinq questions