Suites, récurrences et limites · Terminale spécialité

Avant de commencer5 questions pour vérifier tes bases

1. Si u₀ = 2 et uₙ₊₁ = 3uₙ, combien vaut u₂ ?

61218

2. Dans une suite géométrique, on passe au terme suivant en…

Ajoutant toujours le même nombreMultipliant toujours par le même nombreÉlevant toujours au carré

3. Pour x réel, que vaut x² × x³ ?

x⁵x⁶2x⁵

4. On sait a < b. Quelle inégalité est alors vraie ?

−2a = −2b−2a > −2b−2a < −2b

5. Si 0 ≤ a ≤ b, quelle relation est vraie ?

a² ≤ b²a² = b²a² ≥ b²

Ton parcours : comprendre un processus qui se répète

Une suite décrit des valeurs rangées dans un ordre. La récurrence explique pourquoi une propriété se transmet à tous les rangs ; une limite décrit ce qui finit par arriver à tous les termes, même au-delà de ce qu'un écran peut afficher.

Les bases à réactiver : puissances, factorisation, inégalités et sens de multiplication par un nombre positif ; suites arithmétiques et géométriques de Première. Si une étape résiste, les exemples et les deux indices des pauses sont là pour permettre de la reprendre.

Parcours essentiel : récurrence, limites, comparaison, convergence monotone et seuils du programme en vigueur en 2026–2027. Bernoulli, les limites de $$q^n$$ , la comparaison vers $+\infty$ et la suite croissante non majorée sont démontrés. Le lien avec les limites de l'exponentielle est également expliqué. Le théorème de convergence monotone est admis, comme dans le programme.

Pour aller plus loin : suites adjacentes, récurrence forte, généralisations des croissances comparées et méthode de Héron. Tu peux d'abord parcourir le socle, puis revenir à ces prolongements. Les exercices 1 à 8, 10 à 12 réinvestissent les outils centraux ; les autres proposent un approfondissement.

Pourquoi étudier les suites et la récurrence ?

De quoi parle-t-on ?

Une suite est une liste infinie de nombres, indicée par $n\in\N$ : $u_0, u_1, u_2, \ldots$ En Première, on a découvert les suites arithmétiques et géométriques. En Terminale, on va beaucoup plus loin :

Le raisonnement par récurrence : une méthode pour démontrer une propriété à tous les rangs à partir d'un rang initial.
La convergence : vers quelle valeur tend $$u_n$$ quand $n\to+\infty$ ?
Les théorèmes de comparaison : encadrer, comparer, conclure.

Les applications

L'idée directrice

L'idée avant la formule

Le principe des dominos

Pourquoi a-t-on besoin de la récurrence ?

La convergence : vers où va la suite ?

Intuition · L'idée de limite

Considérons $u_n=1+\frac{1}{n}$ pour $n\geqslant 1$ :

$$n$$	1	10	100	1000	$$10^6$$	$\to+\infty$
$$u_n$$	2	1,1	1,01	1,001	1,000001	$\to 1$

Les termes se rapprochent de plus en plus de $$1$$ . On dit que la suite converge vers $$1$$ , et on écrit $\lim_{n\to+\infty}u_n=1$ .

Attention : la suite ne vaut jamais exactement $$1$$ . Elle s'en approche autant qu'on veut.

Le cours formel

Rappels : suites arithmétiques et géométriques

Propriété · Suite géométrique : terme, somme et signe

$u_{n+1}=q\cdot u_n$ pour tout $n\in\N$ , avec $q\in\R$ . Pour $$q=0$$ , tous les termes à partir de $$u_1$$ sont nuls ; on conserve $$u_0$$ comme valeur initiale.

Terme général : $u_n=u_0\cdot q^n$ . Somme : $\displaystyle\sum_{k=0}^n u_0 q^k=u_0\cdot\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$ si $q\neq 1$ .

Valeur de $$q$$	$$0<q<1$$	$$q=1$$	$$q>1$$
Monotonie de $$q^n$$	Décroissante	Constante	Croissante
$\lim q^n$	$$0$$	$$1$$	$+\infty$

À toi d’essayer

Additionner des termes, en comptant le terme initial

Une longueur vaut $c_n=2^{-n}$ pour $n\geqslant0$ . Calcule $$c_0+c_1+c_2$$ , puis exprime $S_n=\sum_{k=0}^n c_k$ . Peut-on dire que chaque somme vaut 2 ?

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Écris les trois premiers termes. Dans $$S_n$$ , il y a $$n+1$$ termes.

Indice 2 · Un pas de plus

La raison est $$1/2$$ . La somme géométrique donne $(1-(1/2)^{n+1})/(1-1/2)$ .

Voir l’explication

Les trois premiers termes valent $$1$$ , $$1/2$$ , $$1/4$$ : leur somme vaut $$7/4$$ .

\begin{aligned}S_n&=\frac{1-2^{-(n+1)}}{1/2}\\[.35em]&=2(1-2^{-(n+1)})\\[.35em]&=2-2^{-n}.\end{aligned}

Chaque somme finie est strictement inférieure à 2. Sa différence avec 2 vaut $2^{-n}$ , qui tend vers zéro : c'est la limite qui vaut 2. Réessaie : en remplaçant $$c_n$$ par $3^{-n}$ , retrouve $$S_2=13/9$$ et une limite égale à $$3/2$$ . L'exercice 12 reprend cette idée en géométrie.

Propriété · Suite arithmético-géométrique : méthode complète

$u_{n+1}=au_n+b$ avec $a\neq 1$ .

Étape 1 : trouver le point fixe $\ell$ en résolvant $\ell=a\ell+b$ , soit $\ell=\frac{b}{1-a}$ .

Étape 2 : poser $v_n=u_n-\ell$ . Montrer que $$(v_n)$$ est géométrique :

\begin{aligned}v_{n+1} &= u_{n+1}-\ell\\[.35em]&= (au_n+b)-(a\ell+b)\\[.35em]&= a(u_n-\ell)\\[.35em]&= a\cdot v_n .\end{aligned}

Étape 3 :

\begin{aligned}v_n &= v_0\cdot a^n\\[.35em]&= (u_0-\ell)\cdot a^n ,\end{aligned}

donc :

\boxed{u_n=\ell+(u_0-\ell)\cdot a^n}

Étape 4 : lire la formule en tenant compte du coefficient $u_0-\ell$ . S'il est nul, la suite est constante, quelle que soit la valeur de $$a$$ . Sinon : si $$|a|<1$$ , la limite est $\ell$ ; si $$a>1$$ , le signe de $u_0-\ell$ donne $+\infty$ ou $-\infty$ ; si $a\leqslant-1$ , la suite oscille sans limite. Pour $$a=1$$ , la suite est arithmétique et cette formule de point fixe ne s'applique pas.

À toi d’essayer

Une même relation peut donner des comportements différents

On prend $u_{n+1}=3u_n-4$ . Compare les suites démarrant en $$u_0=2$$ , $$u_0=3$$ et $$u_0=1$$ .

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Le point fixe vérifie $\ell=3\ell-4$ . Soustraire ce point fixe transforme la relation.

Indice 2 · Un pas de plus

Tu dois obtenir $$u_n=2+(u_0-2)3^n$$ . Le coefficient peut être nul, positif ou négatif.

Voir l’explication

Le point fixe est 2. En posant $$v_n=u_n-2$$ , on obtient

\begin{aligned}v_{n+1}&=3u_n-4-2\\[.35em]&=3(u_n-2)\\[.35em]&=3v_n.\end{aligned}

Donc $$u_n=2+(u_0-2)3^n$$ . Depuis 2, la suite reste égale à 2. Depuis 3, elle vaut $$2+3^n$$ et tend vers $+\infty$ . Depuis 1, elle vaut $$2-3^n$$ et tend vers $-\infty$ . Réessaie : avec $u_{n+1}=-u_n+4$ , compare $$u_0=2$$ et $$u_0=1$$ : constante dans le premier cas, alternance entre 1 et 3 dans le second.

Raisonnement par récurrence

Exemple · Exemple 1 : Somme : $\sum_{k=0}^n 2^k=2^{n+1}-1$

Propriété $$P(n)$$ : $\sum_{k=0}^n 2^k=2^{n+1}-1$ .

Initialisation ( $$n=0$$ ) :

\begin{aligned}\sum_{k=0}^0 2^k &= 2^0\\[.35em]&= 1\end{aligned}

et

\begin{aligned}2^{0+1}-1 &= 2-1\\[.35em]&= 1 .\end{aligned}

Donc $$P(0)$$ est vraie. ✓

Hérédité : Soit $n\geqslant 0$ fixé. Supposons $$P(n)$$ vraie : $\sum_{k=0}^n 2^k=2^{n+1}-1$ .

Calculons le côté gauche de $$P(n+1)$$ :

\begin{aligned}\sum_{k=0}^{n+1}2^k &= \underbrace{\sum_{k=0}^n 2^k}_{\text{c'est }P(n)}+2^{n+1}\\[.35em]&= \underbrace{2^{n+1}-1}_{\text{par hyp.\ réc.}}+2^{n+1}\\[.35em]&= 2\cdot 2^{n+1}-1\\[.35em]&= 2^{n+2}-1 .\end{aligned}

Or, le côté droit de $$P(n+1)$$ est $2^{(n+1)+1}-1=2^{n+2}-1$ . Égalité vérifiée : $$P(n+1)$$ est vraie. ✓

Conclusion : par le principe de récurrence, $$P(n)$$ est vraie pour tout $n\in\N$ .

Exemple · Exemple 2 : Encadrement d'une suite récurrente

Soit $$u_0=1$$ et $u_{n+1}=\sqrt{u_n+2}$ . Montrons que $0\leqslant u_n\leqslant 2$ pour tout $n\in\N$ .

$$P(n)$$ : $0\leqslant u_n\leqslant 2$ .

Initialisation : $$u_0=1$$ et $0\leqslant 1\leqslant 2$ . $$P(0)$$ vraie. ✓

Hérédité : Soit $n\geqslant 0$ , supposons $0\leqslant u_n\leqslant 2$ .

On a alors $2\leqslant u_n+2\leqslant 4$ (on ajoute $$2$$ partout).

En prenant la racine (fonction croissante) : $\sqrt{2}\leqslant\sqrt{u_n+2}\leqslant\sqrt{4}$ , i.e. $\sqrt{2}\leqslant u_{n+1}\leqslant 2$ .

Comme $\sqrt{2}\geqslant 0$ , on a bien $0\leqslant u_{n+1}\leqslant 2$ . $$P(n+1)$$ vraie. ✓

Conclusion : $0\leqslant u_n\leqslant 2$ pour tout $n\in\N$ .

Remarque : on a même montré que $u_n\geqslant\sqrt{2}$ pour $n\geqslant 1$ (encadrement plus précis).

Une preuve à construire

Bernoulli : une puissance minorée par une droite

Pour un réel fixé $x\geqslant-1$ et tout entier $n\geqslant1$ , démontre $(1+x)^n\geqslant1+nx$ . À quelle étape l'hypothèse sur $$x$$ sert-elle ?

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Initialise au rang 1. Pour passer de $$n$$ à $$n+1$$ , multiplie par $$1+x$$ .

Indice 2 · Un pas de plus

On a $1+x\geqslant0$ , donc le sens de l'inégalité est conservé. Développe $$(1+nx)(1+x)$$ .

Voir la preuve expliquée

Fixons $x\geqslant-1$ . Au rang 1, on a l'égalité $$1+x=1+x$$ . Supposons, pour un entier $n\geqslant1$ , que $(1+x)^n\geqslant1+nx$ . Alors

\begin{aligned}(1+x)^{n+1}&=(1+x)^n(1+x)\\[.35em]&\geqslant(1+nx)(1+x)\\[.35em]&=1+(n+1)x+nx^2\\[.35em]&\geqslant1+(n+1)x.\end{aligned}

Le premier passage utilise $1+x\geqslant0$ , le dernier $nx^2\geqslant0$ . La récurrence établit le résultat pour tout $n\geqslant1$ , y compris $$x=-1$$ . Réessaie : $$x=1/10$$ donne $1{,}1^n\geqslant1+n/10$ . Le minorant devient aussi grand que l'on veut.

À toi d’essayer

La première étape et la transmission ont des rôles différents

Pour $$u_0=1$$ et $u_{n+1}=\sqrt{u_n+2}$ , justifie que chaque terme existe et appartient à $$[0,2]$$ . Une vérification de $$u_0,u_1,u_2$$ suffirait-elle ?

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

La racine exige $u_n+2\geqslant0$ . L'encadrement doit aussi se transmettre au terme suivant.

Indice 2 · Un pas de plus

De $0\leqslant u_n\leqslant2$ , déduis $2\leqslant u_n+2\leqslant4$ , puis utilise la croissance de la racine.

Voir l’explication

Le terme initial 1 appartient à $$[0,2]$$ . Supposons $$u_n$$ défini dans cet intervalle. Alors $u_n+2\in[2,4]$ : la racine existe et $u_{n+1}\in[\sqrt2,2]\subset[0,2]$ . Cela prouve simultanément l'existence de tous les termes et leur encadrement. Trois calculs ne prouvent que trois cas ; la transmission s'applique à chaque rang. Réessaie : avec $$u_0=4$$ , la même initialisation dans $$[0,2]$$ échoue. Cela ne signifie pas que la suite n'existe pas : trouve plutôt un intervalle stable $$[2,4]$$ .

Notion de limite d'une suite

Intuition · Décrypter la formule symbole par symbole

La formule $\forall\varepsilon>0,\;\exists N\in\N,\;\forall n\geqslant N,\;|u_n-\ell|<\varepsilon$ se lit :

Symbole	Se lit	Signification concrète
$\forall\varepsilon>0$	« pour tout $\varepsilon>0$ »	On se fixe une précision, aussi petite qu'on veut
$\exists N\in\N$	« il existe un rang $$N$$ »	Il y a un moment à partir duquel ça marche
$\forall n\geqslant N$	« pour tout $n\geqslant N$ »	Tous les termes à partir du rang $$N$$
$\|u_n-\ell\|<\varepsilon$	« la distance est $<\varepsilon$ »	$$u_n$$ est dans $]\ell-\varepsilon\,;\,\ell+\varepsilon[$

Important : $$N$$ dépend de $\varepsilon$ . Une précision plus fine peut demander un rang plus grand ; N ne doit pas être choisi avant de connaître la précision demandée.

La bande verte = $]\ell-\varepsilon\,;\,\ell+\varepsilon[$ avec $\varepsilon=0{,}25$ . À partir de $$N=5$$ , tous les points sont dans la bande.

Entrer dans une bande et y rester

Pour uₙ = 1 + 1/n et ε = 0,2, teste n = 5. Le point est-il dans la bande ouverte ? Cherche ensuite un rang à partir duquel tous les termes y restent.

Bande bleue : 1 − ε < y < 1 + ε ; les frontières en pointillés sont exclues. La droite y = 1 indique la limite. Le point corail est le rang que tu testes.

À ε = 0,2, n = 5 donne un écart de 1/5 = 0,2 : le point est sur la frontière. Pour tout n ≥ 6, 1/n < 0,2. À ε = 0,1, il faut prendre n ≥ 11.

Lire les valeurs et les coordonnées

À ε = 0,2, n = 5 donne un écart de 1/5 = 0,2 : le point est sur la frontière. Pour tout n ≥ 6, 1/n < 0,2. À ε = 0,1, il faut prendre n ≥ 11.

Le graphique ne montre que trente termes. Justifie pourquoi tous les termes suivants restent dans la bande : utilise la décroissance de 1/n.

À toi d’essayer

Être dans la bande, puis y rester

Pour $$u_n=1+1/n$$ avec $n\geqslant1$ , cherche le plus petit $$N$$ tel que tous les $n\geqslant N$ vérifient $|u_n-1|<0{,}25$ . Pourquoi $$N=4$$ ne convient-il pas ?

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

La bande est ouverte : un point sur sa frontière n'est pas à l'intérieur.

Indice 2 · Un pas de plus

La distance vaut $$1/n$$ . Résous $$1/n<1/4$$ pour $$n>0$$ .

Voir l’explication

La condition équivaut à $$n>4$$ . Le premier entier convenable est donc 5. Au rang 4, $u_4=1{,}25$ est exactement sur la frontière. Pour tous les $n\geqslant5$ , $1/n\leqslant1/5<1/4$ : le point reste dans la bande. Réessaie : avec $\varepsilon=0{,}1$ , on obtient $$N=11$$ ; avec $\varepsilon=0{,}3$ , $$N=4$$ . Resserre mentalement la bande avant de calculer le nouveau rang.

Pour $$A=50$$ : dès $n\geqslant 8$ , on a $u_n=n^2\geqslant 64>50$ .

À toi d’essayer

Osciller n'empêche pas toujours de converger

Compare les limites de $$a_n=(-1)^n$$ , $$b_n=(-1)^n/n$$ ( $n\geqslant1$ ) et $$c_n=n+(-1)^n$$ . Pour la troisième, tous les termes restent-ils au-dessus d'un seuil fixé, à partir d'un certain rang ?

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Observe la taille des oscillations et le déplacement de leur centre.

Indice 2 · Un pas de plus

Utilise $$|b_n|=1/n$$ et $c_n\geqslant n-1$ . Pour $$a_n$$ , compare rangs pairs et impairs.

Voir l’explication

Les rangs pairs de $$a_n$$ valent 1 et les impairs -1 : aucune limite. Pour $$b_n$$ , la distance à zéro tend vers zéro ; la suite converge vers zéro malgré l'alternance. Pour $$c_n$$ , $c_n\geqslant n-1$ , et ce minorant dépasse tout seuil A dès que $$n>A+1$$ : la limite est $+\infty$ . Réessaie : $$n(-1)^n$$ n'a pas de limite, alors que $n+\sin n$ tend vers $+\infty$ . Explique pourquoi « quelques termes très grands » ne suffit pas.

Une raison, plusieurs comportements de suite

On part de u₀ = 2 et l’on multiplie chaque terme par q = 0,75. Prévois u₁ et u₂. Compare ensuite q = −0,75, q = 1 et q = 1,25 : les signes, les écarts à zéro et la limite racontent-ils la même chose ?

Points : les treize termes de rang 0 à 12. Les traits verticaux aident à lire les valeurs ; ils ne relient pas les termes. L’échelle verticale s’adapte : utilise les nombres pour comparer deux réglages.

La suite est définie par uₙ₊₁ = q × uₙ. Pour u₀ = 2 et q = 0,75, les premiers termes sont 2 ; 1,5 ; 1,125 ; 0,84375. Pour n ≥ 1, uₙ = u₀ × qⁿ. Le terme initial est fixé séparément, y compris pour q = 0.

Lire le tableau des valeurs

La suite est définie par uₙ₊₁ = q × uₙ. Pour u₀ = 2 et q = 0,75, les premiers termes sont 2 ; 1,5 ; 1,125 ; 0,84375. Pour n ≥ 1, uₙ = u₀ × qⁿ. Le terme initial est fixé séparément, y compris pour q = 0.

Une image de treize termes suggère un comportement ; elle ne prouve rien sur tous les rangs suivants. Si u₀ est non nul, |q| < 1 donne une limite nulle ; q = −1 donne une alternance sans limite. Si u₀ = 0, tous les termes sont nuls, quelle que soit la raison.

Opérations sur les limites

Théorème · Limites et opérations algébriques

Si $\lim u_n=\ell$ et $\lim v_n=\ell'$ (limites finies), alors :

$\lim(u_n+v_n)=\ell+\ell'$	$\lim(\lambda\cdot u_n)=\lambda\ell$
$\lim(u_n\cdot v_n)=\ell\cdot\ell'$	$\lim\frac{u_n}{v_n}=\frac{\ell}{\ell'}$ si $\ell'\neq 0$

Théorème · Limites avec l'infini

$\ell+(+\infty)=+\infty$	$(+\infty)+(+\infty)=+\infty$
$\ell\times(+\infty)=+\infty$ si $\ell>0$	$\ell\times(+\infty)=-\infty$ si $\ell<0$
$\frac{\ell}{+\infty}=0$	$\frac{+\infty}{\ell}=+\infty$ si $\ell>0$

À toi d’essayer

Une forme indéterminée demande une transformation

Calcule la limite de $\sqrt{n^2+n}-n$ quand $n\to+\infty$ . Pourquoi écrire « $\infty-\infty=0$ » ne donne-t-il pas une réponse ?

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

La quantité conjuguée permet d'utiliser $$(A-B)(A+B)=A^2-B^2$$ .

Indice 2 · Un pas de plus

Pour $n\geqslant1$ , multiplie numérateur et dénominateur par $\sqrt{n^2+n}+n$ , puis divise par $$n$$ .

Voir l’explication

La différence de deux quantités tendant vers $+\infty$ peut avoir différents comportements. Ici,

\begin{aligned}\sqrt{n^2+n}-n&=\frac{(n^2+n)-n^2}{\sqrt{n^2+n}+n}\\[.35em]&=\frac{n}{n\sqrt{1+1/n}+n}\\[.35em]&=\frac{1}{\sqrt{1+1/n}+1}\\[.35em]&\longrightarrow\frac12.\end{aligned}

On a utilisé $\sqrt{n^2}=n$ car $$n$$ est positif. Le dénominateur tend vers 2, donc le quotient est permis. Réessaie : remplace $$n$$ sous la racine par $$3n$$ : la limite vaut $$3/2$$ . Puis remplace-le par 1 : la limite vaut 0.

Limites de référence et croissances comparées

Théorème · Limites de $q^n$ : résultat fondamental

Pour $q\in\R$ :

$$q$$	$$-1<q<1$$	$$q=1$$	$$q>1$$	$q\leqslant -1$
$\lim q^n$	$$0$$	$$1$$	$+\infty$	n'existe pas

En particulier : $\boxed{|q|<1\Rightarrow q^n\to 0}$ . C'est le résultat le plus utilisé au bac.

Une preuve à construire

Les limites de toutes les suites géométriques $$q^n$$

À l'aide de Bernoulli, prouve que $q^n\to+\infty$ pour $$q>1$$ , puis que $q^n\to0$ pour $$|q|<1$$ . Explique aussi les cas $$q=1$$ et $q\leqslant-1$ .

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Pour $$q>1$$ , écris $$q=1+a$$ avec $$a>0$$ . Pour $$0<q<1$$ , applique le premier cas à $$1/q$$ .

Indice 2 · Un pas de plus

Si q est négatif, la valeur absolue vaut $$|q|^n$$ , tandis que le signe alterne. Sépare les rangs pairs et impairs lorsque $q\leqslant-1$ .

Voir la preuve expliquée

Pour $$q=1+a>1$$ , Bernoulli donne $q^n\geqslant1+na$ . Ce minorant tend vers $+\infty$ , donc $$q^n$$ aussi par comparaison. Pour $$0<q<1$$ , $$1/q>1$$ ; ainsi $(1/q)^n\to+\infty$ et son inverse $$q^n$$ tend vers zéro. Pour $$-1<q<0$$ , $-|q|^n\leqslant q^n\leqslant|q|^n$ et les deux bornes tendent vers zéro. Pour $$q=0$$ , les termes sont nuls dès le rang 1. Pour $$q=1$$ , tous les termes valent 1. Pour $$q=-1$$ , les deux valeurs alternent. Pour $$q<-1$$ , les termes pairs tendent vers $+\infty$ et les impairs vers $-\infty$ : il n'y a ni limite finie, ni limite infinie unique. Réessaie : compare $(-0{,}9)^n$ et $(-1{,}1)^n$ ; le signe alterne dans les deux cas, mais les amplitudes évoluent en sens opposés.

À toi d’essayer

Repérer la raison avant de choisir une limite

Détermine les limites de $2+5(-0{,}8)^n$ , $$2+5(-1)^n$$ et $2+5(1{,}2)^n$ .

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

La valeur absolue de la raison distingue une amplitude qui diminue, reste fixe ou augmente.

Indice 2 · Un pas de plus

Les raisons sont respectivement dans $$]-1,1[$$ , égale à -1, et supérieure à 1.

Voir l’explication

La première suite tend vers 2 puisque $(-0{,}8)^n\to0$ . La deuxième alterne entre 7 et -3 : elle n'a pas de limite. La troisième tend vers $+\infty$ puisque $1{,}2^n\to+\infty$ et le coefficient 5 est positif. Réessaie : remplace 5 par -5 dans la troisième suite : la limite devient $-\infty$ . Avec le coefficient 0, la suite serait constante égale à 2.

Prolongement : les résultats ci-dessous généralisent les comparaisons entre puissances et exponentielle. Les puissances réelles de logarithmes et la factorielle vont au-delà du socle ; ils seront utiles dans des exercices d'approfondissement. La preuve centrale de $x^n/\e^x\to0$ sera étudiée avec les limites de fonctions.

Une preuve à construire

Passer des puissances entières aux limites de l'exponentielle

En utilisant $\e^n\to+\infty$ et la croissance de la fonction exponentielle, démontre $\e^x\to+\infty$ quand $x\to+\infty$ , puis $\e^x\to0$ quand $x\to-\infty$ .

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Pour un seuil A, choisis un entier N tel que $\e^N>A$ . Compare $\e^x$ et $\e^N$ pour $x\geqslant N$ .

Indice 2 · Un pas de plus

Pour la seconde limite, pose $$t=-x$$ ; utilise $\e^x=1/\e^t$ .

Voir la preuve expliquée

Comme $\e>1$ , la preuve précédente garantit que la suite $\e^n$ tend vers $+\infty$ . Pour tout A positif, il existe N entier tel que $\e^N>A$ . Pour tout réel $x\geqslant N$ , la croissance de l'exponentielle donne $\e^x\geqslant\e^N>A$ . C'est exactement la limite $+\infty$ pour la fonction, et pas seulement pour ses valeurs entières. Quand $x\to-\infty$ ,

\begin{aligned}t &= -x\\[.35em]&\to +\infty .\end{aligned}

Ainsi $\e^t\to+\infty$ et

\begin{aligned}\e^x &= 1/\e^t\\[.35em]&\to 0 ,\end{aligned}

par valeurs positives. Réessaie : $\e^{-2n}$ tend vers zéro ; $\e^{2n}$ tend vers $+\infty$ .

Théorèmes de comparaison

$-\frac{1}{n}\leqslant\frac{\sin(n)}{n}\leqslant\frac{1}{n}$ et $\pm\frac{1}{n}\to 0$ : par les gendarmes, $\frac{\sin(n)}{n}\to 0$ .

Une preuve à construire

Un minorant qui dépasse tout seuil entraîne la suite

Suppose $u_n\geqslant v_n$ pour tous les $n\geqslant n_0$ , et $v_n\to+\infty$ . Démontre avec la définition que $u_n\to+\infty$ .

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Fixe d'abord un seuil A positif. Le rang à choisir doit respecter deux contraintes.

Indice 2 · Un pas de plus

Prends le maximum de $$n_0$$ et du rang à partir duquel $$v_n>A$$ .

Voir la preuve expliquée

Soit $$A>0$$ . La limite de $$v_n$$ fournit $$N_1$$ tel que $$v_n>A$$ pour tout $n\geqslant N_1$ . Pour $n\geqslant N=\max(n_0,N_1)$ , les deux conditions sont valides : $u_n\geqslant v_n>A$ . On a donc la définition de $u_n\to+\infty$ . Réessaie : si $u_n\leqslant v_n$ et $v_n\to+\infty$ , on ne peut rien conclure. Le choix $$u_n=0$$ , $$v_n=n$$ le montre.

À toi d’essayer

Choisir le côté de l'encadrement utile

Calcule les limites de $a_n=(2+\cos n)/n$ et $b_n=n^2+\sin n$ , pour $n\geqslant1$ . Une simple majoration suffit-elle pour chacune ?

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Utilise $-1\leqslant\cos n\leqslant1$ et $-1\leqslant\sin n\leqslant1$ .

Indice 2 · Un pas de plus

Pour une limite finie, encadre entre deux suites de même limite ; pour $+\infty$ , cherche un minorant qui y tend.

Voir l’explication

On a $1/n\leqslant a_n\leqslant3/n$ : les deux bornes tendent vers zéro, donc $a_n\to0$ . Pour $$b_n$$ , $b_n\geqslant n^2-1\to+\infty$ : ce seul minorant suffit. Une majoration par une suite qui devient très grande ne forcerait pas $$b_n$$ à grandir. Réessaie : pour $n^2(2+\sin n)$ , la minoration par $$n^2$$ établit encore une limite égale à $+\infty$ .

Lire les quantificateurs et les implications sur les suites

La logique se travaille dans les raisonnements du chapitre. Les mots « pour tout » et « il existe » suffisent ; les symboles de quantification ne sont pas à mémoriser pour comprendre les situations suivantes.

À toi d’essayer

Choisir l'ordre des deux choix

Pour $$u_n=n$$ , compare les phrases « chaque terme possède un majorant » et « la suite possède un majorant ». Puis nie « pour tout entier $$n$$ , $v_n\leqslant5$ ». Faut-il que tous les termes de $$(v_n)$$ dépassent 5 pour réfuter cette dernière phrase ?

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Dans la première phrase, le majorant peut changer avec $$n$$ . Dans la deuxième, il doit fonctionner pour tous les rangs.

Indice 2 · Un pas de plus

Pour dépasser un réel $$M$$ avec un entier naturel, on peut choisir un entier $$n$$ plus grand que $$M$$ . Pour réfuter une affirmation universelle, une seule valeur contraire suffit.

Voir l’explication

Chaque terme $$n$$ a un majorant, par exemple $$n$$ lui-même. Mais aucun réel $$M$$ ne majore tous les entiers : il existe toujours un entier naturel $$n$$ avec $$n>M$$ . La suite n'est donc pas majorée. La négation de « pour tout $$n$$ , $v_n\leqslant5$ » est « il existe $$n$$ tel que $$v_n>5$$ ». Un seul terme dépassant 5 suffit ; les autres peuvent rester en dessous. À réessayer : formule la négation de « il existe un réel $$m$$ tel que, pour tout $$n$$ , $w_n\geqslant m$ ». On obtient : pour tout réel $$m$$ , il existe $$n$$ tel que $$w_n<m$$ .

Méthode · Une implication, sa réciproque et sa contraposée

Le théorème qui suit dit : si une suite est croissante et majorée, alors elle converge. L'hypothèse complète suffit pour conclure. La réciproque renverse les deux parties : « si elle converge, alors elle est croissante et majorée ». C'est une autre affirmation, à vérifier séparément.

La contraposée renverse les deux parties en les niant : si elle ne converge pas, alors elle n'est pas croissante ou elle n'est pas majorée. Cette phrase a la même valeur logique que le théorème. Pour nier « A et B », on écrit « non A ou non B » : il suffit que l'une des deux conditions manque.

Dire « ne converge pas » ne signifie pas forcément « tend vers l'infini ». La suite $$(-1)^n$$ est un exemple de suite non convergente qui reste bornée.

À toi d’essayer

Ne pas changer le théorème en renversant la phrase

Peut-on conclure qu'une suite convergente est croissante ? Teste $$u_n=(-1)^n/(n+1)$$ . Puis utilise la contraposée pour répondre : une suite croissante qui ne converge pas peut-elle être majorée ?

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

La valeur absolue des termes du premier exemple vaut $$1/(n+1)$$ . Compare aussi les termes de rangs 0, 1 et 2.

Indice 2 · Un pas de plus

Le théorème des gendarmes donne la convergence du premier exemple. Dans la seconde question, l'hypothèse « croissante » est déjà satisfaite.

Voir l’explication

On a $-1/(n+1)\leqslant u_n\leqslant1/(n+1)$ et les deux bornes tendent vers zéro : $u_n\to0$ . Pourtant $$u_0=1$$ , $$u_1=-1/2$$ et $$u_2=1/3$$ , donc la suite n'est pas croissante. La réciproque est fausse. Pour la seconde question, la contraposée impose « non croissante ou non majorée » ; le premier cas est exclu, donc la suite n'est pas majorée. Le prochain résultat précisera alors sa divergence vers $+\infty$ . À réessayer : formule la contraposée de « si une fonction est dérivable en a, alors elle est continue en a » : si elle n'est pas continue en a, elle n'est pas dérivable en a. Cela ne donne pas la réciproque.

Théorème de convergence monotone

Une preuve à construire

Croissante et non majorée : pourquoi la limite est-elle $+\infty$ ?

Une suite est croissante et non majorée. Démontre qu'elle tend vers $+\infty$ . Pourquoi « non majorée » seul ne suffit-il pas ?

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Non majorée signifie : pour chaque seuil A, un terme le dépasse. Croissante signifie : tous les suivants sont au moins aussi grands.

Indice 2 · Un pas de plus

Choisis un rang N tel que $$u_N>A$$ , puis considère tous les $n\geqslant N$ .

Voir la preuve expliquée

Soit A positif. Puisque la suite n'est pas majorée, il existe N tel que $$u_N>A$$ . Puisque la suite est croissante, pour tous les $n\geqslant N$ , $u_n\geqslant u_N>A$ . C'est la définition de la limite $+\infty$ . Sans monotonie, la suite $$u_n=n$$ aux rangs pairs et $$u_n=0$$ aux rangs impairs n'est pas majorée mais ne tend pas vers $+\infty$ : elle revient à zéro aussi loin que l'on va. Réessaie : adapte la preuve à une suite décroissante et non minorée.

À toi d’essayer

Une borne prouve une existence, pas la valeur de la limite

La suite $u_n=2-2^{-n}$ est croissante et majorée par 3. Peut-on en déduire que sa limite vaut 3 ? Détermine sa limite et donne un autre majorant.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Sépare ce que garantit le théorème de ce que permet de calculer la formule explicite.

Indice 2 · Un pas de plus

Le terme $2^{-n}$ tend vers zéro et reste strictement positif.

Voir l’explication

Le théorème donne l'existence d'une limite. La formule donne

\begin{aligned}u_n &\to 2-0\\[.35em]&= 2 .\end{aligned}

Tous les termes sont inférieurs à 2 : 2 est aussi un majorant, comme 3 ou 100. Une borne choisie pour prouver la convergence n'est donc pas automatiquement la limite. Réessaie : pour $v_n=5+2^{-n}$ , justifie « décroissante et minorée », puis calcule sa limite.

Exemple · Étude complète rédigée : $u_0=1$, $u_{n+1}=\sqrt{u_n+2}$

Étape 1 : Conjecture : $$u_0=1$$ ,

\begin{aligned}u_1 &= \sqrt{3}\\[.35em]&\approx 1{,}73 ,\end{aligned}

\begin{aligned}u_2 &= \sqrt{3{,}73}\\[.35em]&\approx 1{,}93 ,\end{aligned}

$u_3\approx 1{,}98$ . Semble croissante, convergeant vers $$2$$ .

Étape 2 : Encadrement : montrons $0\leqslant u_n\leqslant 2$ par récurrence.

$$P(n)$$ : $0\leqslant u_n\leqslant 2$ .

Init : $0\leqslant u_0=1\leqslant 2$ . ✓

Hér. : si $0\leqslant u_n\leqslant 2$ , alors $2\leqslant u_n+2\leqslant 4$ , donc $\sqrt{2}\leqslant u_{n+1}\leqslant\sqrt{4}=2$ . Comme $\sqrt{2}>0$ : $0\leqslant u_{n+1}\leqslant 2$ . ✓

Étape 3 : Monotonie : $u_{n+1}-u_n=\sqrt{u_n+2}-u_n$ .

Pour $x\in[0,2]$ , on peut multiplier par la quantité conjuguée, dont le dénominateur est strictement positif :

\begin{aligned}\sqrt{x+2}-x&=\frac{x+2-x^2}{\sqrt{x+2}+x}\\[.35em]&=\frac{(2-x)(x+1)}{\sqrt{x+2}+x}\\[.35em]&\geqslant0.\end{aligned}

Le numérateur est positif ou nul sur $$[0,2]$$ . Ainsi $u_{n+1}-u_n\geqslant0$ : la suite est croissante. Il n'est pas nécessaire de prouver ici une croissance stricte.

Étape 4 : Convergence : $$(u_n)$$ est croissante et majorée par $$2$$ . Par le théorème de convergence monotone, elle converge.

Étape 5 : Limite : soit $\ell=\lim u_n$ . La fonction $f(x)=\sqrt{x+2}$ est continue.

Par passage à la limite : $\ell=\sqrt{\ell+2}$ , donc $\ell^2=\ell+2$ , soit $\ell^2-\ell-2=0$ .

\begin{aligned}\Delta &= 1+8\\[.35em]&= 9 ,\end{aligned}

$\ell=\frac{1\pm 3}{2}$ , soit $\ell=2$ ou $\ell=-1$ .

Comme $u_n\geqslant 0$ pour tout $$n$$ : $\ell\geqslant 0$ , donc $\boxed{\ell=2}$ .

À toi d’essayer

Établir la convergence avant de résoudre l'équation

On pose $$u_0=0$$ , $u_{n+1}=(u_n+6)/3$ . Montre que la suite converge vers 3 en justifiant successivement une borne, la monotonie et le passage à la limite.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

L'intervalle $$[0,3]$$ est stable par $$f(x)=(x+6)/3$$ .

Indice 2 · Un pas de plus

Calcule $u_{n+1}-u_n=2(3-u_n)/3$ , puis utilise la continuité de $$f$$ .

Voir l’explication

Initialement $u_0=0\in[0,3]$ . Si $0\leqslant u_n\leqslant3$ , alors $2\leqslant u_{n+1}\leqslant3$ : la récurrence conserve l'intervalle.

\begin{aligned}u_{n+1}-u_n&=\frac{u_n+6}{3}-u_n\\[.35em]&=\frac{2(3-u_n)}3\\[.35em]&\geqslant0.\end{aligned}

La suite est croissante et majorée par 3 : elle converge vers un réel $\ell\in[0,3]$ . La fonction affine $$f$$ est continue en ce réel, donc $\ell=(\ell+6)/3$ , soit $3\ell=\ell+6$ , d'où $\ell=3$ . Réessaie : avec $$u_0=6$$ , la suite reste dans $$[3,6]$$ , décroît et a la même limite. L'exercice 6 suit cette seconde situation.

Suites adjacentes (complément)

Suites et fonctions continues

Représentation en escalier : $u_{n+1}=\sqrt{u_n+2}$ , $u_0=0{,}5$

À toi d’essayer

Un point fixe n'attire pas nécessairement les termes

Pour $$f(x)=4-x$$ et $$u_0=0$$ , calcule quatre termes puis résous $f(\ell)=\ell$ . Pourquoi l'équation seule ne prouve-t-elle pas la convergence ?

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

La suite peut revenir exactement sur un terme déjà obtenu.

Indice 2 · Un pas de plus

Le point fixe vaut 2, mais les termes valent alternativement 0 et 4.

Voir l’explication

On obtient $$u_1=4$$ , $$u_2=0$$ , $$u_3=4$$ , $$u_4=0$$ . L'équation $\ell=4-\ell$ donne 2 comme seule limite possible si la suite converge. Or les termes restent à distance 2 de cette valeur : ils ne convergent pas. La condition est nécessaire, pas suffisante. Réessaie : avec $$u_0=2$$ , la suite est constante ; avec $$f(x)=x/2+1$$ et $$u_0=0$$ , la distance à 2 est divisée par 2 à chaque étape.

Algorithme : calcul de termes et recherche de seuil

import math

def termes(u0, f, n):
    """Retourne [u_0, u_1, ..., u_n]."""
    U = [u0]
    u = u0
    for k in range(n):
        u = f(u)
        U.append(u)
    return U

# Exemple : u_{n+1} = sqrt(u_n + 2), u_0 = 1
U = termes(1, lambda u: math.sqrt(u + 2), 20)
print(f"u_20 = {U[-1]:.10f}")   # environ 2.0000000000

def seuil_convergence(u0, f, ell, eps):
    """Plus petit n tel que |u_n - ell| < eps."""
    if eps <= 0:
        raise ValueError("eps doit etre strictement positif")
    u, n = u0, 0
    while abs(u - ell) >= eps:
        u = f(u)
        n += 1
    return n

# u_{n+1} = sqrt(u_n + 2), u_0 = 1, ell = 2
n = seuil_convergence(1, lambda u: math.sqrt(u+2), 2, 1e-6)
print(n)   # 11

À toi d’essayer

Le rang et le terme ne désignent pas la même chose

Pour $$u_0=1$$ , $u_{n+1}=\sqrt{u_n+2}$ , on cherche le premier $$n$$ tel que $|u_n-2|<10^{-6}$ . La boucle doit-elle continuer pour une distance égale à $10^{-6}$ ? Comment vérifier le rang renvoyé ?

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

La condition demandée est stricte. Une égalité doit donc encore faire entrer dans la boucle.

Indice 2 · Un pas de plus

Vérifie la distance au rang trouvé et au rang précédent. Le compteur commence à zéro.

Voir l’explication

La boucle continue tant que la distance est supérieure ou égale à $10^{-6}$ . En calcul numérique, $2-u_{10}\approx1{,}046\times10^{-6}$ et $2-u_{11}\approx2{,}615\times10^{-7}$ . Le premier rang est donc 11. Comme la distance décroît, tous les rangs suivants conviennent aussi. Réessaie : pour $u_n=2-2^{-n}$ , une précision stricte $10^{-3}$ donne $$n=10$$ puisque $2^{-9}>10^{-3}$ et $2^{-10}<10^{-3}$ .

Boîte à outils

Méthode · Les 10 réflexes suites & récurrence

Récurrence = 4 étapes. Poser $$P(n)$$ , initialisation, hérédité, conclusion. Pas une de moins.
Pour l'hérédité : partir du côté $$P(n+1)$$ et y faire apparaître $$P(n)$$ , ou partir de $$P(n)$$ et en déduire $$P(n+1)$$ .
Suite $u_{n+1}=f(u_n)$ : chercher le point fixe $\ell=f(\ell)$ , puis montrer monotonie + borne, puis conclure.
Monotonie : étudier le signe de $u_{n+1}-u_n$ , ou comparer $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ à $$1$$ (si $$u_n>0$$ ).
$|q|<1\Rightarrow q^n\to 0$ . C'est LE résultat à utiliser pour la convergence géométrique.
Forme indéterminée : factoriser par le terme dominant, ou utiliser les croissances comparées.
Gendarmes : encadrer $$u_n$$ entre deux suites de même limite.
Convergence monotone : croissante + majorée $\Rightarrow$ converge. Décroissante + minorée $\Rightarrow$ converge.
Arithmético-géométrique $u_{n+1}=au_n+b$ : poser $v_n=u_n-\ell$ avec $\ell=\frac{b}{1-a}$ .
Vérifier au brouillon en calculant $$u_0, u_1, u_2, u_3$$ avant de rédiger.

Méthode · Mots-clés à repérer dans les énoncés

Tu lis dans l'énoncé…	Tu penses à…
« montrer que pour tout $$n$$ »	récurrence
« étudier la convergence »	monotonie + borne, ou gendarmes
« déterminer la limite »	opérations, factorisation, croissances comparées
« montrer que $$(u_n)$$ est croissante »	signe de $u_{n+1}-u_n$ (souvent par récurrence)
« en déduire que $$(u_n)$$ converge »	théorème de convergence monotone
« on pose $v_n=u_n-\ell$ »	suite auxiliaire géométrique
« encadrer »	viser les gendarmes
« montrer que $u_n\leqslant M$ »	récurrence
« expliciter $$u_n$$ »	trouver le terme général (arithm., géom., ou auxiliaire)

Propriété · Récapitulatif des formules essentielles

Résultat	Formule
Somme arithmétique	$\sum_{k=0}^n k=\frac{n(n+1)}{2}$
Somme géométrique	$\sum_{k=0}^n q^k=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$ ( $q\neq 1$ )
Suite arithm.-géom.	$u_n=\ell+(u_0-\ell)a^n$ avec $\ell=\frac{b}{1-a}$
Limite de $$q^n$$	$\|q\|<1\Rightarrow 0$ , $q=1\Rightarrow 1$ , $q>1\Rightarrow+\infty$
Croissances comparées	$\ln n\ll n^\alpha\ll q^n\ll n!$
Gendarmes	$a_n\leqslant u_n\leqslant b_n$ , $\lim a_n=\lim b_n=\ell\Rightarrow\lim u_n=\ell$
Convergence monotone	croissante + majorée $\Rightarrow$ converge
Point fixe	si $u_n\to\ell$ et $$f$$ continue, alors $\ell=f(\ell)$

Exercices

Exercice 1 ★☆☆ : Récurrence directe

Montrer par récurrence que pour tout $n\in\N$ : $\displaystyle\sum_{k=0}^n k=\frac{n(n+1)}{2}$ .

Exercice 2 ★☆☆ : Récurrence : inégalité

Montrer par récurrence que pour tout $n\geqslant 1$ : $2^n\geqslant n+1$ .

Exercice 3 ★☆☆ : Suite arithmético-géométrique

Soit $$u_0=5$$ et $u_{n+1}=\frac{1}{2}u_n+3$ .

Déterminer le point fixe $\ell$ .
Poser $v_n=u_n-\ell$ . Montrer que $$(v_n)$$ est géométrique et en déduire $$u_n$$ .
Déterminer $\lim u_n$ .

Exercice 4 ★☆☆ : Limites directes

Calculer les limites suivantes :

$u_n=\frac{3n^2-n+1}{5n^2+2}$
$v_n=\frac{n^3-1}{n^2+n}$
$w_n=\frac{(-1)^n}{n}$
$t_n=\frac{2^n}{n^{10}}$

Exercice 5 ★★☆ : Récurrence : divisibilité

Montrer par récurrence que pour tout $n\in\N$ , $3^{2n+1}+2^{n+2}$ est divisible par $$7$$ .

Exercice 6 ★★☆ : Étude complète d'une suite récurrente

Soit $$u_0=4$$ et $u_{n+1}=\frac{1}{2}u_n+1$ .

Conjecturer le comportement de la suite (calculer $$u_1, u_2, u_3, u_4$$ ).
Montrer par récurrence que $u_n\geqslant 2$ pour tout $n\in\N$ .
Montrer que $$(u_n)$$ est décroissante.
En déduire que $$(u_n)$$ converge et calculer sa limite.

Exercice 7 ★★☆ : Théorème des gendarmes

Soit $u_n=\frac{n+(-1)^n}{n^2+1}$ .

Encadrer $$u_n$$ entre deux suites simples.
En déduire $\lim u_n$ .

Exercice 8 ★★☆ : Suite auxiliaire

Soit $$u_0=1$$ et $u_{n+1}=3u_n-4$ .

Calculer $$u_1, u_2, u_3$$ .
Poser $$v_n=u_n-2$$ . Montrer que $$(v_n)$$ est géométrique.
Exprimer $$u_n$$ en fonction de $$n$$ .
Étudier la limite de $$(u_n)$$ .

Exercice 9 ★★☆ : Somme de carrés par récurrence simple

Montrer par récurrence que pour tout $n\in\N$ :

\sum_{k=1}^n k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}

Exercice 10 ★★☆ : Suite et fonction

Soit $f(x)=\sqrt{2x+3}$ et la suite $$u_0=0$$ , $u_{n+1}=f(u_n)$ .

Montrer par récurrence que $0\leqslant u_n\leqslant 3$ pour tout $$n$$ .
Montrer que $$(u_n)$$ est croissante.
En déduire que $$(u_n)$$ converge et calculer sa limite.

Exercice 11 ★★☆ : Recherche de seuil

La suite $$(u_n)$$ est définie par $$u_0=1$$ et $u_{n+1}=u_n+\frac{1}{u_n}$ .

Montrer que $$(u_n)$$ est strictement croissante.
Montrer que $u_n\geqslant\sqrt{2n+1}$ pour tout $n\geqslant 0$ (par récurrence).
En déduire que $\lim u_n=+\infty$ .
Écrire un programme Python qui détermine le plus petit $$n$$ tel que $$u_n>100$$ .

Exercice 12 ★★☆ : Suites et géométrie

Un triangle équilatéral de côté $$1$$ a ses milieux reliés pour former un triangle intérieur. On répète le procédé.

Montrer que les côtés $$c_n$$ des triangles successifs vérifient $c_{n+1}=\frac{1}{2}c_n$ .
Exprimer le périmètre $$P_n$$ et l'aire $$A_n$$ du $$n$$ -ième triangle.
Calculer $\sum_{k=0}^n P_k$ et $\sum_{k=0}^n A_k$ . Étudier leurs limites.

Exercice 13 ★★★ : Inégalité arithmético-géométrique

Montrer par récurrence que pour tout $n\geqslant 1$ et tous réels $a_1,\ldots,a_n>0$ tels que $a_1\cdot a_2\cdots a_n=1$ : $a_1+a_2+\cdots+a_n\geqslant n$ .

Indication : utiliser une récurrence simple. Pour l'hérédité, supposer (quitte à réordonner) que $a_1\leqslant 1\leqslant a_2$ , poser $b=a_1\cdot a_2$ et appliquer l'hypothèse de récurrence à $b, a_3,\ldots,a_{n+1}$ pour passer de n à $$n+1$$ .

Exercice 14 ★★★ : Convergence et rapidité

Soit $$u_0=3$$ et $u_{n+1}=\frac{1}{2}\bigl(u_n+\frac{2}{u_n}\bigr)$ (méthode de Héron pour $\sqrt{2}$ ).

Montrer que $u_n\geqslant\sqrt{2}$ pour tout $n\geqslant 1$ .
Montrer que $$(u_n)$$ est décroissante à partir du rang $$1$$ .
En déduire la convergence et calculer la limite.
Poser $e_n=u_n-\sqrt{2}$ . Montrer que $e_{n+1}\leqslant\frac{e_n^2}{2\sqrt{2}}$ . Interpréter.

Problème : La suite de Babylone et les approximations de $\sqrt{a}$ ★★★

Soit $$a>0$$ fixé et la suite $$(u_n)$$ définie par $$u_0>0$$ quelconque et :

u_{n+1}=\frac{1}{2}\Bigl(u_n+\frac{a}{u_n}\Bigr)

Partie A : Premières propriétés

Montrer que $$u_n>0$$ pour tout $n\in\N$ .
Montrer que pour tout $n\geqslant 1$ : $u_n\geqslant\sqrt{a}$ .

Indication : développer $(u_n-\sqrt{a})^2\geqslant 0$ et en déduire $u_n+\frac{a}{u_n}\geqslant 2\sqrt{a}$ .
En déduire que $$(u_n)$$ est décroissante à partir du rang $$1$$ .
Conclure que $$(u_n)$$ converge et déterminer sa limite.

Partie B : Vitesse de convergence

On pose $e_n=u_n-\sqrt{a}$ (erreur à l'étape $$n$$ ). Montrer que :
$e_{n+1}=\frac{e_n^2}{2u_n}$
En déduire que $e_{n+1}\leqslant\frac{e_n^2}{2\sqrt{a}}$ pour $n\geqslant 1$ .
Poser $K=\frac{1}{2\sqrt{a}}$ . Montrer par récurrence que $e_n\leqslant\frac{1}{K}(Ke_1)^{2^{n-1}}$ pour $n\geqslant 1$ .
Que signifie ce résultat en termes de décimales correctes ?

Partie C : Application numérique et algorithmique

Calculer $$u_0, u_1, u_2, u_3, u_4$$ pour $$a=2$$ et $$u_0=1$$ . Compter les décimales correctes de $\sqrt{2}$ .
Écrire un programme Python qui calcule $\sqrt{a}$ par cette méthode avec une précision $\varepsilon>0$ .
Comparer la vitesse de convergence avec la dichotomie pour le calcul de $\sqrt{2}$ à $10^{-15}$ près.

Corrigés détaillés

Corrigé de l’exercice 1

$$P(n)$$ : $\sum_{k=0}^n k=\frac{n(n+1)}{2}$ .

Initialisation ( $$n=0$$ ) : $\sum_{k=0}^0 k=0$ et $\frac{0\times 1}{2}=0$ . $$P(0)$$ vraie.

Hérédité : Supposons $$P(n)$$ : $\sum_{k=0}^n k=\frac{n(n+1)}{2}$ .

\begin{aligned}\sum_{k=0}^{n+1}k &= \underbrace{\sum_{k=0}^n k}_{=\frac{n(n+1)}{2}}+(n+1)\\[.35em]&= \frac{n(n+1)}{2}+(n+1)\\[.35em]&= (n+1)\Bigl(\frac{n}{2}+1\Bigr)\\[.35em]&= \frac{(n+1)(n+2)}{2} .\end{aligned}

C'est $$P(n+1)$$ . Conclusion : $$P(n)$$ vraie pour tout $n\in\N$ .

Corrigé de l’exercice 2

$$P(n)$$ : $2^n\geqslant n+1$ pour $n\geqslant 1$ .

Init ( $$n=1$$ ) : $2^1=2\geqslant 2=1+1$ . $$P(1)$$ vraie.

Hér. : Supposons $2^n\geqslant n+1$ . Alors $2^{n+1}=2\cdot 2^n\geqslant 2(n+1)=2n+2$ .

Or $2n+2\geqslant n+2$ car $n\geqslant 1\Rightarrow n\geqslant 0$ . Donc $2^{n+1}\geqslant (n+1)+1$ . $$P(n+1)$$ vraie.

Corrigé de l’exercice 3

a) Point fixe : $\ell=\frac{1}{2}\ell+3\Rightarrow\frac{1}{2}\ell=3\Rightarrow\ell=6$ .

b)

\[v_n=u_n-6.\]

\begin{aligned}v_{n+1} &= u_{n+1}-6\\[.35em]&= \frac{1}{2}u_n+3-6\\[.35em]&= \frac{1}{2}u_n-3\\[.35em]&= \frac{1}{2}(u_n-6)\\[.35em]&= \frac{1}{2}v_n .\end{aligned}

$$(v_n)$$ géométrique de raison $\frac{1}{2}$ et premier terme

\begin{aligned}v_0 &= u_0-6\\[.35em]&= 5-6\\[.35em]&= -1 .\end{aligned}

$v_n=-1\cdot\bigl(\frac{1}{2}\bigr)^n$ , donc $u_n=6-\bigl(\frac{1}{2}\bigr)^n$ .

c) $\bigl(\frac{1}{2}\bigr)^n\to 0$ , donc $\lim u_n=6$ .

Corrigé de l’exercice 4

a)

\begin{aligned}u_n &= \frac{n^2(3-1/n+1/n^2)}{n^2(5+2/n^2)}\\[.35em]&\to \frac{3}{5} .\end{aligned}

b)

\begin{aligned}v_n &= \frac{n^3(1-1/n^3)}{n^2(1+1/n)}\\[.35em]&= \frac{n(1-1/n^3)}{1+1/n}\\[.35em]&\to +\infty .\end{aligned}

c)

\begin{aligned}|w_n| &= \frac{1}{n}\\[.35em]&\to 0 .\end{aligned}

Comme $-\frac{1}{n}\leqslant w_n\leqslant\frac{1}{n}$ , par les gendarmes : $\lim w_n=0$ .

d) Croissances comparées : $$q=2>1$$ et $\alpha=10$ . $\frac{n^{10}}{2^n}\to 0$ , donc

\begin{aligned}\frac{2^n}{n^{10}} &= \frac{1}{n^{10}/2^n}\\[.35em]&\to +\infty .\end{aligned}

Corrigé de l’exercice 5

$$P(n)$$ : $7\mid 3^{2n+1}+2^{n+2}$ .

Init ( $$n=0$$ ) :

\begin{aligned}3^1+2^2 &= 3+4\\[.35em]&= 7\\[.35em]&= 7\times 1 .\end{aligned}

$$P(0)$$ vraie.

Hér. : Supposons $7\mid 3^{2n+1}+2^{n+2}$ .

\begin{aligned}3^{2(n+1)+1}+2^{(n+1)+2} &= 3^{2n+3}+2^{n+3}\\[.35em]&= 9\cdot 3^{2n+1}+2\cdot 2^{n+2} .\end{aligned}

\begin{aligned}&= 9\cdot 3^{2n+1}+2\cdot 2^{n+2}\\[.35em]&= 2(3^{2n+1}+2^{n+2})+7\cdot 3^{2n+1} .\end{aligned}

Le premier terme est divisible par $$7$$ (hypothèse $\times 2$ ), le second aussi ( $7\times\ldots$ ). Donc la somme est divisible par $$7$$ . $$P(n+1)$$ vraie.

Corrigé de l’exercice 6

a) $$u_0=4$$ ,

\begin{aligned}u_1 &= \frac{4}{2}+1\\[.35em]&= 3 ,\end{aligned}

\begin{aligned}u_2 &= \frac{3}{2}+1\\[.35em]&= 2{,}5 ,\end{aligned}

$u_3=2{,}25$ , $u_4=2{,}125$ . Semble décroitre vers $$2$$ .

b) $$P(n)$$ : $u_n\geqslant 2$ .

Init : $u_0=4\geqslant 2$ . Hér. : si $u_n\geqslant 2$ , alors $u_{n+1}=\frac{u_n}{2}+1\geqslant\frac{2}{2}+1=2$ . $$P(n+1)$$ vraie.

c)

\begin{aligned}u_{n+1}-u_n &= \frac{u_n}{2}+1-u_n\\[.35em]&= 1-\frac{u_n}{2} .\end{aligned}

Or $u_n\geqslant 2$ donc $\frac{u_n}{2}\geqslant 1$ , d'où $u_{n+1}-u_n\leqslant 0$ . Suite décroissante.

d) $$(u_n)$$ décroissante et minorée par $$2$$ : elle converge. Limite $\ell$ : $\ell=\frac{\ell}{2}+1\Rightarrow\frac{\ell}{2}=1\Rightarrow\ell=2$ .

Corrigé de l’exercice 7

a) $-1\leqslant(-1)^n\leqslant 1$ , donc $\frac{n-1}{n^2+1}\leqslant u_n\leqslant\frac{n+1}{n^2+1}$ .

b)

\begin{aligned}\frac{n-1}{n^2+1} &= \frac{n(1-1/n)}{n^2(1+1/n^2)}\\[.35em]&= \frac{1-1/n}{n(1+1/n^2)}\\[.35em]&\to 0 .\end{aligned}

De même $\frac{n+1}{n^2+1}\to 0$ . Par les gendarmes : $\lim u_n=0$ .

Corrigé de l’exercice 8

a) $$u_0=1$$ ,

\begin{aligned}u_1 &= 3\times 1-4\\[.35em]&= -1 ,\end{aligned}

\begin{aligned}u_2 &= 3\times(-1)-4\\[.35em]&= -7 ,\end{aligned}

\begin{aligned}u_3 &= 3\times(-7)-4\\[.35em]&= -25 .\end{aligned}

b)

\[v_n=u_n-2.\]

\begin{aligned}v_{n+1} &= u_{n+1}-2\\[.35em]&= 3u_n-4-2\\[.35em]&= 3u_n-6\\[.35em]&= 3(u_n-2)\\[.35em]&= 3v_n .\end{aligned}

$$(v_n)$$ géométrique de raison $$3$$ ,

\begin{aligned}v_0 &= u_0-2\\[.35em]&= -1 .\end{aligned}

c) $$v_n=-3^n$$ , donc $$u_n=2-3^n$$ .

d) $3^n\to+\infty$ , donc

\begin{aligned}u_n &= 2-3^n\\[.35em]&\to -\infty .\end{aligned}

Corrigé de l’exercice 9

$$P(n)$$ : $\sum_{k=1}^n k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ pour $n\geqslant 1$ .

Au rang zéro, la somme vide et la formule valent toutes deux zéro. Init ( $$n=1$$ ) : $$1^2=1$$ et $\frac{1\times 2\times 3}{6}=1$ . $$P(1)$$ vraie.

Hér. : Supposons $$P(n)$$ . Alors :

\begin{aligned}\sum_{k=1}^{n+1}k^2 &=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)^2\\[.35em]&=\frac{n(n+1)(2n+1)+6(n+1)^2}{6}\\[.35em]&=\frac{(n+1)[n(2n+1)+6(n+1)]}{6}\\[.35em]&=\frac{(n+1)(2n^2+7n+6)}{6}\\[.35em]&=\frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}.\end{aligned}

C'est $$P(n+1)$$ car $$(n+1)(n+2)(2(n+1)+1)=(n+1)(n+2)(2n+3)$$ .

Corrigé de l’exercice 10

a) $$P(n)$$ : $0\leqslant u_n\leqslant 3$ .

Init : $u_0=0\in[0,3]$ . Hér. : si $0\leqslant u_n\leqslant 3$ , alors $3\leqslant 2u_n+3\leqslant 9$ , donc $\sqrt{3}\leqslant u_{n+1}=\sqrt{2u_n+3}\leqslant 3$ . En particulier $0\leqslant u_{n+1}\leqslant 3$ .

b) Sur $$[0,3]$$ , on rationalise en divisant par une quantité positive :

\begin{aligned}u_{n+1}-u_n&=\frac{2u_n+3-u_n^2}{\sqrt{2u_n+3}+u_n}\\[.35em]&=\frac{(3-u_n)(u_n+1)}{\sqrt{2u_n+3}+u_n}\\[.35em]&\geqslant0.\end{aligned}

L'encadrement démontré suffit pour conclure que la suite est croissante.

c) Croissante et majorée par 3, la suite converge vers $\ell\in[0,3]$ . La fonction $x\mapsto\sqrt{2x+3}$ est continue sur cet intervalle, donc le passage à la limite donne $\ell=\sqrt{2\ell+3}$ , $\ell^2=2\ell+3$ , $\ell^2-2\ell-3=0$ , $\ell=3$ (car $\ell\geqslant 0$ ).

Corrigé de l’exercice 11

a) $u_{n+1}-u_n=\frac{1}{u_n}>0$ car $$u_n>0$$ (par récurrence immédiate depuis $$u_0=1>0$$ ). Suite strictement croissante.

b) $$P(n)$$ : $u_n\geqslant\sqrt{2n+1}$ .

Init ( $$n=0$$ ) : $u_0=1\geqslant\sqrt{1}=1$ . $$P(0)$$ vraie.

Hér. : supposons $u_n\geqslant\sqrt{2n+1}$ .

\begin{aligned}u_{n+1}^2 &= \bigl(u_n+\frac{1}{u_n}\bigr)^2\\&= u_n^2 +2 +\frac{1}{u_n^2}\\&\geqslant u_n^2 +2\\&\geqslant (2n+1) +2\\&= 2(n+1) +1.\end{aligned}

Comme $u_{n+1}>0$ : $u_{n+1}\geqslant\sqrt{2(n+1)+1}$ . $$P(n+1)$$ vraie.

c) $u_n\geqslant\sqrt{2n+1}\to+\infty$ . Par comparaison : $\lim u_n=+\infty$ .

d)

u = 1
n = 0
while u <= 100:
    u = u + 1/u
    n += 1
print(n)   # 4998

Corrigé de l’exercice 12

a) Le triangle formé par les milieux a des côtés de longueur $\frac{c_n}{2}$ (propriété des milieux). Donc $c_{n+1}=\frac{1}{2}c_n$ .

b)

c_n=\bigl(\frac{1}{2}\bigr)^n.

\begin{aligned}P_n &= 3c_n\\[.35em]&= 3\cdot 2^{-n} .\end{aligned}

\begin{aligned}A_n &= \frac{\sqrt{3}}{4}c_n^2\\[.35em]&= \frac{\sqrt{3}}{4}\cdot 4^{-n} .\end{aligned}

c)

\begin{aligned}\sum_{k=0}^n P_k &= 3\sum_{k=0}^n 2^{-k}\\[.35em]&= 3\cdot\frac{1-2^{-(n+1)}}{1-1/2}\\[.35em]&= 6(1-2^{-(n+1)})\\[.35em]&\to 6 .\end{aligned}

\begin{aligned}\sum_{k=0}^n A_k &= \frac{\sqrt{3}}{4}\sum_{k=0}^n 4^{-k}\\[.35em]&= \frac{\sqrt{3}}{4}\cdot\frac{1-4^{-(n+1)}}{3/4}\\[.35em]&= \frac{\sqrt{3}}{3}(1-4^{-(n+1)})\\[.35em]&\to \frac{\sqrt{3}}{3} .\end{aligned}

Corrigé de l’exercice 13

$$P(n)$$ : pour $a_1\cdots a_n=1$ , on a $a_1+\cdots+a_n\geqslant n$ .

Init ( $$n=1$$ ) : $$a_1=1$$ et $a_1\geqslant 1$ . L'initialisation est vérifiée.

Hérédité : supposons $$P(n)$$ vraie pour un entier $n\geqslant1$ . Soient $a_1,\ldots,a_{n+1}>0$ avec produit $$1$$ .

Si tous les $$a_i=1$$ : $\sum a_i=n+1\geqslant n+1$ . Sinon, il existe $$a_i<1$$ et $$a_j>1$$ . Quitte à réordonner, $a_1\leqslant 1\leqslant a_2$ .

Posons $$b=a_1 a_2$$ . Les $$n$$ nombres $b, a_3,\ldots,a_{n+1}$ ont pour produit $$1$$ . Par $$P(n)$$ : $b+a_3+\cdots+a_{n+1}\geqslant n$ .

Il reste à montrer que $a_1+a_2\geqslant 1+b=1+a_1 a_2$ .

$a_1+a_2-1-a_1 a_2=(1-a_1)(a_2-1)\geqslant 0$ car $a_1\leqslant 1$ et $a_2\geqslant 1$ .

Donc $a_1+a_2+a_3+\cdots+a_{n+1}\geqslant 1+b+a_3+\cdots+a_{n+1}\geqslant 1+n=n+1$ .

Corrigé de l’exercice 14

a) La positivité se transmet depuis $$u_0=3$$ : tous les termes sont définis et positifs. $u_{n+1}=\frac{1}{2}(u_n+\frac{2}{u_n})$ . Par l'inégalité arithmético-géométrique pour deux nombres positifs : $\frac{u_n+2/u_n}{2}\geqslant\sqrt{u_n\cdot\frac{2}{u_n}}=\sqrt{2}$ . Donc $u_{n+1}\geqslant\sqrt{2}$ pour $n\geqslant 0$ , et donc pour tout $n\geqslant 1$ .

b)

\begin{aligned}u_{n+1}-u_n &= \frac{1}{2}\bigl(\frac{2}{u_n}-u_n\bigr)\\[.35em]&= \frac{2-u_n^2}{2u_n} .\end{aligned}

Pour $n\geqslant 1$ : $u_n\geqslant\sqrt{2}$ donc $u_n^2\geqslant 2$ , d'où $u_{n+1}-u_n\leqslant 0$ .

c) Décroissante (pour $n\geqslant 1$ ) et minorée par $\sqrt{2}$ : converge.

$\ell=\frac{1}{2}(\ell+\frac{2}{\ell})\Rightarrow 2\ell=\ell+\frac{2}{\ell}\Rightarrow\ell=\frac{2}{\ell}\Rightarrow\ell^2=2$ . Comme $\ell>0$ : $\ell=\sqrt{2}$ .

d)

\begin{aligned}e_{n+1} &= u_{n+1}-\sqrt{2}\\[.35em]&= \frac{1}{2}(u_n+\frac{2}{u_n})-\sqrt{2}\\[.35em]&= \frac{u_n^2+2-2\sqrt{2}\,u_n}{2u_n}\\[.35em]&= \frac{(u_n-\sqrt{2})^2}{2u_n}\\[.35em]&= \frac{e_n^2}{2u_n} .\end{aligned}

Comme $u_n\geqslant\sqrt{2}$ : $e_{n+1}\leqslant\frac{e_n^2}{2\sqrt{2}}$ .

Interprétation : convergence quadratique. Si $e_n\approx 10^{-k}$ , alors

\begin{aligned}e_{n+1} &\approx \frac{10^{-2k}}{2\sqrt{2}}\\[.35em]&\approx 10^{-2k} .\end{aligned}

En calcul exact et une fois l'erreur petite, le nombre de chiffres de précision augmente approximativement d'un facteur deux par itération. Ce n'est pas une égalité exacte à chaque rang, et la précision machine finit par limiter le calcul.

Corrigé du problème : La suite de Babylone

Partie A : Premières propriétés

1. Par récurrence. $$u_0>0$$ . Si $$u_n>0$$ : $u_{n+1}=\frac{1}{2}(u_n+\frac{a}{u_n})$ . Chaque terme est somme de termes positifs (car $$a>0$$ ), donc $u_{n+1}>0$ .

2. $(u_n-\sqrt{a})^2\geqslant 0\Rightarrow u_n^2-2\sqrt{a}\,u_n+a\geqslant 0\Rightarrow u_n^2+a\geqslant 2\sqrt{a}\,u_n$ .

Division par $$u_n>0$$ : $u_n+\frac{a}{u_n}\geqslant 2\sqrt{a}$ , d'où $u_{n+1}=\frac{1}{2}(u_n+\frac{a}{u_n})\geqslant\sqrt{a}$ pour tout $n\geqslant 0$ , et donc $u_n\geqslant\sqrt{a}$ pour $n\geqslant 1$ .

3. Pour $n\geqslant 1$ :

\begin{aligned}u_{n+1}-u_n &= \frac{1}{2}\bigl(\frac{a}{u_n}-u_n\bigr)\\[.35em]&= \frac{a-u_n^2}{2u_n} .\end{aligned}

Or $u_n\geqslant\sqrt{a}\Rightarrow u_n^2\geqslant a\Rightarrow a-u_n^2\leqslant 0$ . Donc $u_{n+1}-u_n\leqslant 0$ . Suite décroissante à partir du rang $$1$$ .

4. $(u_n)_{n\geqslant 1}$ décroissante et minorée par $\sqrt{a}$ : elle converge vers $\ell\geqslant\sqrt{a}$ .

$\ell=\frac{1}{2}(\ell+\frac{a}{\ell})\Rightarrow 2\ell=\ell+\frac{a}{\ell}\Rightarrow\ell=\frac{a}{\ell}\Rightarrow\ell^2=a$ . Comme $\ell>0$ : $\boxed{\ell=\sqrt{a}}$ .

Partie B : Vitesse de convergence

5.

\begin{aligned}e_{n+1} &= u_{n+1}-\sqrt{a}\\[.35em]&= \frac{u_n^2+a}{2u_n}-\sqrt{a}\\[.35em]&= \frac{u_n^2+a-2\sqrt{a}\,u_n}{2u_n}\\[.35em]&= \frac{(u_n-\sqrt{a})^2}{2u_n}\\[.35em]&= \frac{e_n^2}{2u_n} .\end{aligned}

6. Pour $n\geqslant 1$ : $u_n\geqslant\sqrt{a}$ , donc $\frac{1}{2u_n}\leqslant\frac{1}{2\sqrt{a}}=K$ . D'où $e_{n+1}\leqslant K\cdot e_n^2$ .

7. $$P(n)$$ : $e_n\leqslant\frac{1}{K}(Ke_1)^{2^{n-1}}$ pour $n\geqslant 1$ .

Init ( $$n=1$$ ) :

\begin{aligned}\frac{1}{K}(Ke_1)^{2^0} &= \frac{1}{K}\cdot Ke_1\\[.35em]&= e_1 .\end{aligned}

Vrai.

Hér. : $e_{n+1}\leqslant Ke_n^2\leqslant K\bigl(\frac{1}{K}(Ke_1)^{2^{n-1}}\bigr)^2=K\cdot\frac{1}{K^2}(Ke_1)^{2^n}=\frac{1}{K}(Ke_1)^{2^n}$ . $$P(n+1)$$ vraie.

8. Si $$Ke_1<1$$ (ce qui est le cas dès que $$u_1$$ est assez proche de $\sqrt{a}$ ), alors $(Ke_1)^{2^{n-1}}\to 0$ extrêmement vite. L'exposant $2^{n-1}$ double à chaque étape, donc le nombre de décimales correctes augmente approximativement d’un facteur deux : c'est la convergence quadratique.

Partie C : Application numérique

9.

\[a=2,\]

\[u_0=1.\]

\begin{aligned}u_1 &= \frac{1}{2}(1+2)\\[.35em]&= 1{,}5 .\end{aligned}

( $\sqrt{2}\approx 1{,}4142\ldots$ , $$0$$ décimale.)

\begin{aligned}u_2 &= \frac{1}{2}(1{,}5+\frac{2}{1{,}5})\\[.35em]&= \frac{1}{2}\times\frac{17}{6}\\[.35em]&\approx 1{,}41\underline{667} .\end{aligned}

( $$2$$ décimales.)

$u_3\approx 1{,}41421\underline{569}$ . ( $$5$$ décimales.)

$u_4\approx 1{,}41421356237\underline{469}$ . ( $$11$$ décimales.)

On voit la convergence quadratique :

\begin{aligned}0 &\to 2\\[.35em]&\to 5\\[.35em]&\to 11\end{aligned}

décimales. On compte ici les décimales initiales communes, et non un nombre de décimales correctement arrondies.

10. Un petit résidu $$|u^2-a|$$ n'est pas directement une erreur sur $$u$$ :

|u-\sqrt a|=\frac{|u^2-a|}{u+\sqrt a}.

Pour $u\geqslant\sqrt a>0$ , on dispose de l'encadrement $a/u\leqslant\sqrt a\leqslant u$ . La largeur $$u-a/u$$ donne donc un contrôle de l'erreur sans connaître $\sqrt a$ à l'avance.

def heron(a, eps, max_iter=1000):
    if a <= 0 or eps <= 0:
        raise ValueError("a et eps doivent etre positifs")
    u = max(1.0, a)  # garantit u >= sqrt(a)
    for n in range(max_iter):
        if u - a/u <= eps:
            return u, n
        suivant = 0.5 * (u + a/u)
        if suivant == u:
            raise ArithmeticError("Precision machine atteinte")
        u = suivant
    raise ArithmeticError("Nombre maximal d'iterations atteint")

print(heron(2, 1e-12))

Le choix initial est au-dessus de $\sqrt a$ : si $a\leqslant1$ , on utilise 1 ; sinon $a\geqslant\sqrt a$ . En calcul exact, la convergence prouvée assure que la largeur finit par devenir inférieure à toute précision positive. En nombres flottants, ce code détecte une stagnation ; il ne constitue pas un certificat d'arithmétique exacte près de la précision machine.

11. En calcul exact, Héron depuis $$u_0=1$$ donne une erreur de l'ordre de $10^{-24}$ au rang 5 pour $\sqrt2$ . Une dichotomie depuis $$[1,2]$$ demande 50 divisions pour une largeur $<10^{-15}$ . On compare des itérations, pas des durées universelles. Les flottants usuels ne conservent pas 24 décimales fiables.

Bilan à essayer sans corrigé

On pose $$w_0=7$$ et $w_{n+1}=(w_n+4)/3$ . Montre que $w_n\geqslant2$ , puis que la suite est décroissante. Établis sa convergence et calcule sa limite. Trouve ensuite une expression explicite de $$w_n-2$$ et le premier rang tel que $|w_n-2|<10^{-3}$ .

Explique avec tes mots pourquoi résoudre l'équation de point fixe n'aurait pas suffi. Si une partie bloque, reprends la pause correspondant à cette étape, puis essaie à nouveau avec $$w_0=5$$ .

Maîtrise du chapitre

Validation contrôlée

Réponds aux QCM, sélectionne les bonnes propositions ou remets les étapes dans l'ordre. Le site vérifie chaque réponse avant d'ouvrir la balise suivante.

Valeur de $\(q\)$	$\(0<q<1\)$	$\(q=1\)$	$\(q>1\)$
Monotonie de $\(q^n\)$	Décroissante	Constante	Croissante
$\lim q^n$	$\(0\)$	$\(1\)$	$+\infty$

Tu lis dans l'énoncé…	Tu penses à…
« montrer que pour tout $\(n\)$ »	récurrence
« étudier la convergence »	monotonie + borne, ou gendarmes
« déterminer la limite »	opérations, factorisation, croissances comparées
« montrer que $\((u_n)\)$ est croissante »	signe de $u_{n+1}-u_n$ (souvent par récurrence)
« en déduire que $\((u_n)\)$ converge »	théorème de convergence monotone
« on pose $v_n=u_n-\ell$ »	suite auxiliaire géométrique
« encadrer »	viser les gendarmes
« montrer que $u_n\leqslant M$ »	récurrence
« expliciter $\(u_n\)$ »	trouver le terme général (arithm., géom., ou auxiliaire)

Avant le cours, vérifie tes bases

Apprendre étape par étape

Ton parcours : comprendre un processus qui se répète

Pourquoi étudier les suites et la récurrence ?

De quoi parle-t-on ?

Les applications

L'idée directrice

L'idée avant la formule

Le principe des dominos

Pourquoi a-t-on besoin de la récurrence ?

La convergence : vers où va la suite ?

Le cours formel

Rappels : suites arithmétiques et géométriques

Raisonnement par récurrence

Notion de limite d'une suite

Opérations sur les limites

Limites de référence et croissances comparées

Théorèmes de comparaison

Lire les quantificateurs et les implications sur les suites

Théorème de convergence monotone

Suites adjacentes (complément)

Suites et fonctions continues

Algorithme : calcul de termes et recherche de seuil

Boîte à outils

Exercices

Exercice 1 ★☆☆ : Récurrence directe

Exercice 2 ★☆☆ : Récurrence : inégalité

Exercice 3 ★☆☆ : Suite arithmético-géométrique

Exercice 4 ★☆☆ : Limites directes

Exercice 5 ★★☆ : Récurrence : divisibilité

Exercice 6 ★★☆ : Étude complète d'une suite récurrente

Exercice 7 ★★☆ : Théorème des gendarmes

Exercice 8 ★★☆ : Suite auxiliaire

Exercice 9 ★★☆ : Somme de carrés par récurrence simple

Exercice 10 ★★☆ : Suite et fonction

Exercice 11 ★★☆ : Recherche de seuil

Exercice 12 ★★☆ : Suites et géométrie

Exercice 13 ★★★ : Inégalité arithmético-géométrique

Exercice 14 ★★★ : Convergence et rapidité

Problème : La suite de Babylone et les approximations de \(\sqrt{a}\) ★★★

Corrigés détaillés

Corrigé de l’exercice 1

Corrigé de l’exercice 2

Corrigé de l’exercice 3

Corrigé de l’exercice 4

Corrigé de l’exercice 5

Corrigé de l’exercice 6

Corrigé de l’exercice 7

Corrigé de l’exercice 8

Corrigé de l’exercice 9

Corrigé de l’exercice 10

Corrigé de l’exercice 11

Corrigé de l’exercice 12

Corrigé de l’exercice 13

Corrigé de l’exercice 14

Corrigé du problème : La suite de Babylone

Bilan à essayer sans corrigé

Maîtrise du chapitre

Parcours validé

Pour relier les notions