Le cours formel Rappels : suites arithmétiques et géométriques
Propriété · Suite arithmétique de raison \(r\)
\(u_{n+1}=u_n+r\) pour tout \(n\in\N\) .
Terme général : \(u_n=u_0+nr\) . Somme : \(\sum_{k=0}^n u_k=(n+1)\times\frac{u_0+u_n}{2}\) .
Si \(r>0\) : croissante. Si \(r<0\) : décroissante. Si \(r=0\) : constante.
Limite : \(+\infty\) si \(r>0\) , \(-\infty\) si \(r<0\) , \(u_0\) si \(r=0\) .
Propriété · Suite géométrique : terme, somme et signe
\(u_{n+1}=q\cdot u_n\) pour tout \(n\in\N\) , avec \(q\in\R\) . Pour \(q=0\) , tous les termes à partir de \(u_1\) sont nuls ; on conserve \(u_0\) comme valeur initiale.
Terme général : \(u_n=u_0\cdot q^n\) . Somme : \(\displaystyle\sum_{k=0}^n u_0 q^k=u_0\cdot\frac{1-q^{n+1}}{1-q}\) si \(q\neq 1\) .
Valeur de \(q\) \(0<q<1\) \(q=1\) \(q>1\) Monotonie de \(q^n\) Décroissante Constante Croissante \(\lim q^n\) \(0\) \(1\) \(+\infty\)
Attention · Le premier terme change le sens des variations
Le tableau précédent concerne \(q^n\) , donc un premier terme égal à 1. Multiplier par \(u_0<0\) renverse les inégalités ; pour \(u_0=0\) , la suite est constante. Lorsque \(q=1\) , la somme vaut \((n+1)u_0\) : on ne divise jamais par \(1-q=0\) .
À toi d’essayer
Additionner des termes, en comptant le terme initial Une longueur vaut \(c_n=2^{-n}\) pour \(n\geqslant0\) . Calcule \(c_0+c_1+c_2\) , puis exprime \(S_n=\sum_{k=0}^n c_k\) . Peut-on dire que chaque somme vaut 2 ?
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste Écris les trois premiers termes. Dans \(S_n\) , il y a \(n+1\) termes.
Indice 2 · Un pas de plus La raison est \(1/2\) . La somme géométrique donne \((1-(1/2)^{n+1})/(1-1/2)\) .
Voir l’explication Les trois premiers termes valent \(1\) , \(1/2\) , \(1/4\) : leur somme vaut \(7/4\) .
\[\begin{aligned}S_n&=\frac{1-2^{-(n+1)}}{1/2}\\[.35em]&=2(1-2^{-(n+1)})\\[.35em]&=2-2^{-n}.\end{aligned}\]
Chaque somme finie est strictement inférieure à 2. Sa différence avec 2 vaut \(2^{-n}\) , qui tend vers zéro : c'est la limite qui vaut 2. Réessaie : en remplaçant \(c_n\) par \(3^{-n}\) , retrouve \(S_2=13/9\) et une limite égale à \(3/2\) . L'exercice 12 reprend cette idée en géométrie.
Démonstration · Rappel de Première : somme géométrique
Soit \(S=1+q+q^2+\cdots+q^n\) . Multiplions par \(q\) :
\[qS=q+q^2+\cdots+q^{n+1}.\]
Soustrayons : \(S-qS=1-q^{n+1}\) , d'où \(S(1-q)=1-q^{n+1}\) et \(S=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}\) pour \(q\neq 1\) .
Ce raisonnement est un classique du bac . La technique : multiplier par la raison et soustraire.
Propriété · Suite arithmético-géométrique : méthode complète
\(u_{n+1}=au_n+b\) avec \(a\neq 1\) .
Étape 1 : trouver le point fixe \(\ell\) en résolvant \(\ell=a\ell+b\) , soit \(\ell=\frac{b}{1-a}\) .
Étape 2 : poser \(v_n=u_n-\ell\) . Montrer que \((v_n)\) est géométrique :
\[\begin{aligned}v_{n+1} &= u_{n+1}-\ell\\[.35em]&= (au_n+b)-(a\ell+b)\\[.35em]&= a(u_n-\ell)\\[.35em]&= a\cdot v_n
.\end{aligned}\]
Étape 3 :
\[\begin{aligned}v_n &= v_0\cdot a^n\\[.35em]&= (u_0-\ell)\cdot a^n
,\end{aligned}\]
donc :
\[\boxed{u_n=\ell+(u_0-\ell)\cdot a^n}\]
Étape 4 : lire la formule en tenant compte du coefficient \(u_0-\ell\) . S'il est nul, la suite est constante, quelle que soit la valeur de \(a\) . Sinon : si \(|a|<1\) , la limite est \(\ell\) ; si \(a>1\) , le signe de \(u_0-\ell\) donne \(+\infty\) ou \(-\infty\) ; si \(a\leqslant-1\) , la suite oscille sans limite. Pour \(a=1\) , la suite est arithmétique et cette formule de point fixe ne s'applique pas.
Exemple · \(u_0=5\), \(u_{n+1}=0{,}7\,u_n+6\)
Point fixe :
\[\begin{aligned}\ell &= \frac{6}{1-0{,}7}\\[.35em]&= \frac{6}{0{,}3}\\[.35em]&= 20
.\end{aligned}\]
\[v_n=u_n-20.\]
\[\begin{aligned}v_0 &= 5-20\\[.35em]&= -15
.\end{aligned}\]
\[v_n=-15\times 0{,}7^n.\]
\(u_n=20-15\times 0{,}7^n\) . Comme \(|0{,}7|<1\) : \(\lim u_n=20\) .
Vérification : \(u_0=5\) , \(u_1=9{,}5\) , \(u_2=12{,}65\) ,
\[\begin{aligned}u_3 &= 14{,}855\ldots\\[.35em]&\to 20
.\end{aligned}\]
✓
À toi d’essayer
Une même relation peut donner des comportements différents On prend \(u_{n+1}=3u_n-4\) . Compare les suites démarrant en \(u_0=2\) , \(u_0=3\) et \(u_0=1\) .
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste Le point fixe vérifie \(\ell=3\ell-4\) . Soustraire ce point fixe transforme la relation.
Indice 2 · Un pas de plus Tu dois obtenir \(u_n=2+(u_0-2)3^n\) . Le coefficient peut être nul, positif ou négatif.
Voir l’explication Le point fixe est 2. En posant \(v_n=u_n-2\) , on obtient
\[\begin{aligned}v_{n+1}&=3u_n-4-2\\[.35em]&=3(u_n-2)\\[.35em]&=3v_n.\end{aligned}\]
Donc \(u_n=2+(u_0-2)3^n\) . Depuis 2, la suite reste égale à 2. Depuis 3, elle vaut \(2+3^n\) et tend vers \(+\infty\) . Depuis 1, elle vaut \(2-3^n\) et tend vers \(-\infty\) . Réessaie : avec \(u_{n+1}=-u_n+4\) , compare \(u_0=2\) et \(u_0=1\) : constante dans le premier cas, alternance entre 1 et 3 dans le second.
Raisonnement par récurrence
Théorème · Principe de récurrence : axiome fondamental
Soit \(P(n)\) une propriété dépendant de \(n\in\N\) . Si :
Initialisation : \(P(n_0)\) est vraie (pour un certain \(n_0\in\N\) ).
Hérédité : pour tout \(n\geqslant n_0\) , \(P(n)\Rightarrow P(n+1)\) .
Alors \(P(n)\) est vraie pour tout \(n\geqslant n_0\) .
Intuition · Pourquoi ça marche ?
Grâce à l'initialisation, \(P(n_0)\) est vraie. L'hérédité dit que \(P(n_0)\Rightarrow P(n_0+1)\) , donc \(P(n_0+1)\) est vraie. Puis \(P(n_0+1)\Rightarrow P(n_0+2)\) , donc \(P(n_0+2)\) est vraie. Et ainsi de suite, à l'infini. L'hérédité est le mécanisme de propagation ; l'initialisation est le déclencheur .
Méthode · Rédiger une récurrence en 4 étapes : modèle de rédaction
Étape 1 : Poser. « Montrons par récurrence que pour tout \(n\geqslant n_0\) , \(P(n)\) : … »
Étape 2 : Initialisation. « Pour \(n=n_0\) : [calcul du côté gauche] \(=\) [calcul du côté droit]. Donc \(P(n_0)\) est vraie. »
Étape 3 : Hérédité. « Soit \(n\geqslant n_0\) fixé. Supposons que \(P(n)\) est vraie (hypothèse de récurrence). Montrons que \(P(n+1)\) est vraie. »
(C'est ici que se fait le vrai travail : on utilise le fait que \(P(n)\) est vraie pour en déduire \(P(n+1)\) .)
« … donc \(P(n+1)\) est vraie. »
Étape 4 : Conclusion. « Par le principe de récurrence, \(P(n)\) est vraie pour tout \(n\geqslant n_0\) . »
Exemple · Exemple 1 : Somme : \(\sum_{k=0}^n 2^k=2^{n+1}-1\)
Propriété \(P(n)\) : \(\sum_{k=0}^n 2^k=2^{n+1}-1\) .
Initialisation (\(n=0\) ) :
\[\begin{aligned}\sum_{k=0}^0 2^k &= 2^0\\[.35em]&= 1\end{aligned}\]
et
\[\begin{aligned}2^{0+1}-1 &= 2-1\\[.35em]&= 1
.\end{aligned}\]
Donc \(P(0)\) est vraie. ✓
Hérédité : Soit \(n\geqslant 0\) fixé. Supposons \(P(n)\) vraie : \(\sum_{k=0}^n 2^k=2^{n+1}-1\) .
Calculons le côté gauche de \(P(n+1)\) :
\[\begin{aligned}\sum_{k=0}^{n+1}2^k &= \underbrace{\sum_{k=0}^n 2^k}_{\text{c'est }P(n)}+2^{n+1}\\[.35em]&= \underbrace{2^{n+1}-1}_{\text{par hyp.\ réc.}}+2^{n+1}\\[.35em]&= 2\cdot 2^{n+1}-1\\[.35em]&= 2^{n+2}-1
.\end{aligned}\]
Or, le côté droit de \(P(n+1)\) est \(2^{(n+1)+1}-1=2^{n+2}-1\) . Égalité vérifiée : \(P(n+1)\) est vraie. ✓
Conclusion : par le principe de récurrence, \(P(n)\) est vraie pour tout \(n\in\N\) .
Exemple · Exemple 2 : Encadrement d'une suite récurrente
Soit \(u_0=1\) et \(u_{n+1}=\sqrt{u_n+2}\) . Montrons que \(0\leqslant u_n\leqslant 2\) pour tout \(n\in\N\) .
\(P(n)\) \(0\leqslant u_n\leqslant 2\) .
Initialisation : \(u_0=1\) et \(0\leqslant 1\leqslant 2\) . \(P(0)\) vraie. ✓
Hérédité : Soit \(n\geqslant 0\) , supposons \(0\leqslant u_n\leqslant 2\) .
On a alors \(2\leqslant u_n+2\leqslant 4\) (on ajoute \(2\) partout).
En prenant la racine (fonction croissante) : \(\sqrt{2}\leqslant\sqrt{u_n+2}\leqslant\sqrt{4}\) , i.e. \(\sqrt{2}\leqslant u_{n+1}\leqslant 2\) .
Comme \(\sqrt{2}\geqslant 0\) , on a bien \(0\leqslant u_{n+1}\leqslant 2\) . \(P(n+1)\) vraie. ✓
Conclusion : \(0\leqslant u_n\leqslant 2\) pour tout \(n\in\N\) .
Remarque : on a même montré que \(u_n\geqslant\sqrt{2}\) pour \(n\geqslant 1\) (encadrement plus précis).
Une preuve à construire
Bernoulli : une puissance minorée par une droite Pour un réel fixé \(x\geqslant-1\) et tout entier \(n\geqslant1\) , démontre \((1+x)^n\geqslant1+nx\) . À quelle étape l'hypothèse sur \(x\) sert-elle ?
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste Initialise au rang 1. Pour passer de \(n\) à \(n+1\) , multiplie par \(1+x\) .
Indice 2 · Un pas de plus On a \(1+x\geqslant0\) , donc le sens de l'inégalité est conservé. Développe \((1+nx)(1+x)\) .
Voir la preuve expliquée Fixons \(x\geqslant-1\) . Au rang 1, on a l'égalité \(1+x=1+x\) . Supposons, pour un entier \(n\geqslant1\) , que \((1+x)^n\geqslant1+nx\) . Alors
\[\begin{aligned}(1+x)^{n+1}&=(1+x)^n(1+x)\\[.35em]&\geqslant(1+nx)(1+x)\\[.35em]&=1+(n+1)x+nx^2\\[.35em]&\geqslant1+(n+1)x.\end{aligned}\]
Le premier passage utilise \(1+x\geqslant0\) , le dernier \(nx^2\geqslant0\) . La récurrence établit le résultat pour tout \(n\geqslant1\) , y compris \(x=-1\) . Réessaie : \(x=1/10\) donne \(1{,}1^n\geqslant1+n/10\) . Le minorant devient aussi grand que l'on veut.
Exemple · Exemple 4 : Récurrence pour la monotonie
Soit \(u_0=1\) , \(u_{n+1}=\sqrt{u_n+2}\) . Montrons que \((u_n)\) est croissante.
\(P(n)\) \(u_{n+1}\geqslant u_n\) .
Init (\(n=0\) ) : \(u_1=\sqrt{1+2}=\sqrt{3}\approx 1{,}73\geqslant 1=u_0\) . \(P(0)\) vraie. ✓
Hér. : Supposons \(u_{n+1}\geqslant u_n\) . Comme la fonction \(x\mapsto\sqrt{x+2}\) est croissante :
\[u_{n+2}=\sqrt{u_{n+1}+2}\geqslant\sqrt{u_n+2}=u_{n+1}.\]
Donc \(u_{n+2}\geqslant u_{n+1}\) , i.e. \(P(n+1)\) vraie. ✓
Conclusion : \((u_n)\) est croissante.
Astuce : quand on veut montrer la monotonie d'une suite \(u_{n+1}=f(u_n)\) , on utilise souvent le fait que \(f\) est croissante.
Propriété · Variantes de la récurrence
Récurrence à partir de \(n_0\neq 0\) : on initialise à \(n_0\) (par ex. \(n_0=1\) ou \(n_0=2\) ). Conclusion : \(P(n)\) pour tout \(n\geqslant n_0\) .
Récurrence forte (ou complète) : au lieu de supposer seulement \(P(n)\) , on suppose \(P(k)\) pour tout \(k\leqslant n\) , et on montre \(P(n+1)\) . Utile pour les suites d'ordre \(2\) (comme Fibonacci) ou les preuves de divisibilité.
Récurrence avec deux rangs initiaux : pour les suites \(u_{n+2}=f(u_{n+1},u_n)\) , on initialise à \(n=0\) et \(n=1\) .
À toi d’essayer
La première étape et la transmission ont des rôles différents Pour \(u_0=1\) et \(u_{n+1}=\sqrt{u_n+2}\) , justifie que chaque terme existe et appartient à \([0,2]\) . Une vérification de \(u_0,u_1,u_2\) suffirait-elle ?
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste La racine exige \(u_n+2\geqslant0\) . L'encadrement doit aussi se transmettre au terme suivant.
Indice 2 · Un pas de plus De \(0\leqslant u_n\leqslant2\) , déduis \(2\leqslant u_n+2\leqslant4\) , puis utilise la croissance de la racine.
Voir l’explication Le terme initial 1 appartient à \([0,2]\) . Supposons \(u_n\) défini dans cet intervalle. Alors \(u_n+2\in[2,4]\) : la racine existe et \(u_{n+1}\in[\sqrt2,2]\subset[0,2]\) . Cela prouve simultanément l'existence de tous les termes et leur encadrement. Trois calculs ne prouvent que trois cas ; la transmission s'applique à chaque rang. Réessaie : avec \(u_0=4\) , la même initialisation dans \([0,2]\) échoue. Cela ne signifie pas que la suite n'existe pas : trouve plutôt un intervalle stable \([2,4]\) .
Notion de limite d'une suite
Intuition · L'idée de limite, sans formule
Dire que \(\lim_{n\to+\infty}u_n=\ell\) signifie que les termes de la suite se rapprochent autant qu'on veut de \(\ell\) quand \(n\) devient grand. Plus précisément :
Peu importe la précision \(\varepsilon>0\) qu'on se fixe (même \(0{,}001\) , ou \(10^{-100}\) ), à partir d'un certain rang \(N\) , tous les termes \(u_n\) sont dans l'intervalle \(]\ell-\varepsilon\,;\,\ell+\varepsilon[\) .
C'est comme viser une cible : on peut rendre le cercle de la cible aussi petit qu'on veut, et à partir d'un certain moment, tous les tirs tombent dedans .
Définition · Limite finie : définition formelle
La suite \((u_n)\) converge vers \(\ell\in\R\) si :
\[\boxed{\forall\varepsilon>0,\quad\exists N\in\N,\quad\forall n\geqslant N,\quad |u_n-\ell|<\varepsilon}\]
On note \(\lim_{n\to+\infty}u_n=\ell\) ou \(u_n\xrightarrow[n\to+\infty]{}\ell\) .
Intuition · Décrypter la formule symbole par symbole
La formule \(\forall\varepsilon>0,\;\exists N\in\N,\;\forall n\geqslant N,\;|u_n-\ell|<\varepsilon\) se lit :
Symbole Se lit Signification concrète \(\forall\varepsilon>0\) « pour tout \(\varepsilon>0\) » On se fixe une précision, aussi petite qu'on veut \(\exists N\in\N\) « il existe un rang \(N\) » Il y a un moment à partir duquel ça marche \(\forall n\geqslant N\) « pour tout \(n\geqslant N\) » Tous les termes à partir du rang \(N\) \(|u_n-\ell|<\varepsilon\) « la distance est \(<\varepsilon\) » \(u_n\) est dans \(]\ell-\varepsilon\,;\,\ell+\varepsilon[\)
Important : \(N\) dépend de \(\varepsilon\) . Une précision plus fine peut demander un rang plus grand ; N ne doit pas être choisi avant de connaître la précision demandée.
Agrandir ↗ La bande verte = \(]\ell-\varepsilon\,;\,\ell+\varepsilon[\) avec \(\varepsilon=0{,}25\) . À partir de \(N=5\) , tous les points sont dans la bande.
Exemple · Vérifier la définition pour \(u_n=1+\frac{1}{n}\), \(\ell=1\)
Question : montrer formellement que \(\lim_{n\to+\infty}\bigl(1+\frac{1}{n}\bigr)=1\) .
Preuve : soit \(\varepsilon>0\) . On cherche \(N\) tel que pour tout \(n\geqslant N\) : \(|u_n-1|<\varepsilon\) .
\[\begin{aligned}|u_n-1| &= \bigl|1+\frac{1}{n}-1\bigr|\\[.35em]&= \frac{1}{n}
.\end{aligned}\]
On veut \(\frac{1}{n}<\varepsilon\) , soit \(n>\frac{1}{\varepsilon}\) . Il suffit de prendre \(N=\bigl\lfloor\frac{1}{\varepsilon}\bigr\rfloor+1\) .
Vérification : si \(\varepsilon=0{,}01\) , alors \(N=101\) . Pour \(n\geqslant 101\) : \(|u_n-1|=\frac{1}{n}\leqslant\frac{1}{101}<0{,}01\) . ✓
Exemple · La suite \(u_n=\frac{(-1)^n}{n}\) converge vers \(0\)
\[\begin{aligned}|u_n-0| &= \frac{|(-1)^n|}{n}\\[.35em]&= \frac{1}{n}
.\end{aligned}\]
Pour tout \(\varepsilon>0\) , en prenant \(N>\frac{1}{\varepsilon}\) : pour tout \(n\geqslant N\) , \(|u_n|=\frac{1}{n}\leqslant\frac{1}{N}<\varepsilon\) .
Même si la suite oscille (alterne \(+\) et \(-\) ), elle converge car les oscillations s'amortissent .
Entrer dans une bande et y rester
Pour uₙ = 1 + 1/n et ε = 0,2, teste n = 5. Le point est-il dans la bande ouverte ? Cherche ensuite un rang à partir duquel tous les termes y restent.
Bande bleue : 1 − ε < y < 1 + ε ; les frontières en pointillés sont exclues. La droite y = 1 indique la limite. Le point corail est le rang que tu testes.
À ε = 0,2, n = 5 donne un écart de 1/5 = 0,2 : le point est sur la frontière. Pour tout n ≥ 6, 1/n < 0,2. À ε = 0,1, il faut prendre n ≥ 11.
Lire les valeurs et les coordonnées À ε = 0,2, n = 5 donne un écart de 1/5 = 0,2 : le point est sur la frontière. Pour tout n ≥ 6, 1/n < 0,2. À ε = 0,1, il faut prendre n ≥ 11.
Le graphique ne montre que trente termes. Justifie pourquoi tous les termes suivants restent dans la bande : utilise la décroissance de 1/n.
Méthode · Trois réglages à prévoir puis à observer
Pour \(u_n=1+1/n\) et la bande ouverte autour de 1 : \(\varepsilon=0{,}5\) donne N=3 ; \(\varepsilon=0{,}2\) donne N=6 ; \(\varepsilon=0{,}1\) donne N=11. Au réglage \(\varepsilon=0{,}2\) , le point de rang 5 est sur la frontière. Sur le dessin statique précédent, \(\varepsilon=0{,}25\) donne N=5.
Avant de déplacer le réglage, prévois si le rang testé sera à l'intérieur. Puis explique pourquoi tous les \(n\geqslant N\) y restent : \(1/n\leqslant1/N<\varepsilon\) . Le dessin d'un nombre fini de points aide à observer ; cette inégalité traite tous les rangs suivants.
À toi d’essayer
Être dans la bande, puis y rester Pour \(u_n=1+1/n\) avec \(n\geqslant1\) , cherche le plus petit \(N\) tel que tous les \(n\geqslant N\) vérifient \(|u_n-1|<0{,}25\) . Pourquoi \(N=4\) ne convient-il pas ?
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste La bande est ouverte : un point sur sa frontière n'est pas à l'intérieur.
Indice 2 · Un pas de plus La distance vaut \(1/n\) . Résous \(1/n<1/4\) pour \(n>0\) .
Voir l’explication La condition équivaut à \(n>4\) . Le premier entier convenable est donc 5. Au rang 4, \(u_4=1{,}25\) est exactement sur la frontière. Pour tous les \(n\geqslant5\) , \(1/n\leqslant1/5<1/4\) : le point reste dans la bande. Réessaie : avec \(\varepsilon=0{,}1\) , on obtient \(N=11\) ; avec \(\varepsilon=0{,}3\) , \(N=4\) . Resserre mentalement la bande avant de calculer le nouveau rang.
Définition · Limite infinie
Tendre vers \(+\infty\) : \(\lim_{n\to+\infty}u_n=+\infty\) signifie :
\[\forall A>0,\quad\exists N\in\N,\quad\forall n\geqslant N,\quad u_n>A\]
En clair : les termes dépassent n'importe quelle borne, aussi grande soit-elle.
Tendre vers \(-\infty\) : \(\forall A>0\) , \(\exists N\) , \(\forall n\geqslant N\) , \(u_n<-A\) .
Agrandir ↗ Pour \(A=50\) : dès \(n\geqslant 8\) , on a \(u_n=n^2\geqslant 64>50\) .
Définition · Suite divergente
Une suite est divergente si elle n'a pas de limite finie. Deux cas :
Exemple · Suite sans limite : \(u_n=(-1)^n\)
\(u_0=1\) , \(u_1=-1\) , \(u_2=1\) , \(u_3=-1\) , … La suite alterne indéfiniment entre \(-1\) et \(1\) . Elle ne se rapproche d'aucune valeur. Elle n'a pas de limite (ni finie, ni infinie).
Preuve : si \(\ell\) était limite, alors pour \(\varepsilon=0{,}5\) il existerait \(N\) tel que \(|u_n-\ell|<0{,}5\) pour \(n\geqslant N\) . Mais
\[\begin{aligned}|u_N-u_{N+1}| &= |(-1)^N-(-1)^{N+1}|\\[.35em]&= 2
,\end{aligned}\]
et par l'inégalité triangulaire : \(2\leqslant|u_N-\ell|+|\ell-u_{N+1}|<0{,}5+0{,}5=1\) . Contradiction.
Propriété · Unicité de la limite
Si une suite converge, sa limite est unique . On peut donc parler de « la limite ».
Démonstration · Unicité : idée de preuve
Supposons \(u_n\to\ell\) et \(u_n\to\ell'\) avec \(\ell\neq\ell'\) . Posons \(\varepsilon=\frac{|\ell-\ell'|}{3}>0\) .
Il existe \(N_1\) : \(|u_n-\ell|<\varepsilon\) pour \(n\geqslant N_1\) , et \(N_2\) : \(|u_n-\ell'|<\varepsilon\) pour \(n\geqslant N_2\) .
Pour \(n\geqslant\max(N_1,N_2)\) : \(|\ell-\ell'|\leqslant|u_n-\ell|+|u_n-\ell'|<2\varepsilon=\frac{2}{3}|\ell-\ell'|\) . Contradiction.
À toi d’essayer
Osciller n'empêche pas toujours de converger Compare les limites de \(a_n=(-1)^n\) , \(b_n=(-1)^n/n\) (\(n\geqslant1\) ) et \(c_n=n+(-1)^n\) . Pour la troisième, tous les termes restent-ils au-dessus d'un seuil fixé, à partir d'un certain rang ?
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste Observe la taille des oscillations et le déplacement de leur centre.
Indice 2 · Un pas de plus Utilise \(|b_n|=1/n\) et \(c_n\geqslant n-1\) . Pour \(a_n\) , compare rangs pairs et impairs.
Voir l’explication Les rangs pairs de \(a_n\) valent 1 et les impairs -1 : aucune limite. Pour \(b_n\) , la distance à zéro tend vers zéro ; la suite converge vers zéro malgré l'alternance. Pour \(c_n\) , \(c_n\geqslant n-1\) , et ce minorant dépasse tout seuil A dès que \(n>A+1\) : la limite est \(+\infty\) . Réessaie : \(n(-1)^n\) n'a pas de limite, alors que \(n+\sin n\) tend vers \(+\infty\) . Explique pourquoi « quelques termes très grands » ne suffit pas.
Une raison, plusieurs comportements de suite
On part de u₀ = 2 et l’on multiplie chaque terme par q = 0,75. Prévois u₁ et u₂. Compare ensuite q = −0,75, q = 1 et q = 1,25 : les signes, les écarts à zéro et la limite racontent-ils la même chose ?
La suite est définie par uₙ₊₁ = q × uₙ. Pour u₀ = 2 et q = 0,75, les premiers termes sont 2 ; 1,5 ; 1,125 ; 0,84375. Pour n ≥ 1, uₙ = u₀ × qⁿ. Le terme initial est fixé séparément, y compris pour q = 0.
Lire le tableau des valeurs La suite est définie par uₙ₊₁ = q × uₙ. Pour u₀ = 2 et q = 0,75, les premiers termes sont 2 ; 1,5 ; 1,125 ; 0,84375. Pour n ≥ 1, uₙ = u₀ × qⁿ. Le terme initial est fixé séparément, y compris pour q = 0.
Une image de treize termes suggère un comportement ; elle ne prouve rien sur tous les rangs suivants. Si u₀ est non nul, |q| < 1 donne une limite nulle ; q = −1 donne une alternance sans limite. Si u₀ = 0, tous les termes sont nuls, quelle que soit la raison.
Opérations sur les limites
Théorème · Limites et opérations algébriques
Si \(\lim u_n=\ell\) et \(\lim v_n=\ell'\) (limites finies), alors :
\(\lim(u_n+v_n)=\ell+\ell'\) \(\lim(\lambda\cdot u_n)=\lambda\ell\) \(\lim(u_n\cdot v_n)=\ell\cdot\ell'\) \(\lim\frac{u_n}{v_n}=\frac{\ell}{\ell'}\) si \(\ell'\neq 0\)
Intuition · Pourquoi c'est vrai ?
Si \(u_n\approx\ell\) et \(v_n\approx\ell'\) pour \(n\) grand, alors \(u_n+v_n\approx\ell+\ell'\) , \(u_n\times v_n\approx\ell\times\ell'\) , etc. Les opérations sur les approximations se « propagent » aux limites.
La preuve rigoureuse utilise la définition avec \(\varepsilon\) et l'inégalité triangulaire. Elle est rarement demandée au bac.
Exemple · Application directe
\(u_n=\frac{3}{n}+5\) et \(v_n=1-\frac{2}{n^2}\) . On a \(\lim u_n=5\) et \(\lim v_n=1\) . Donc :
\[\begin{aligned}\lim(u_n\cdot v_n) &= 5\times 1\\[.35em]&= 5
.\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\lim(u_n-v_n) &= 5-1\\[.35em]&= 4
.\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\lim\frac{u_n}{v_n} &= \frac{5}{1}\\[.35em]&= 5
.\end{aligned}\]
Attention · Formes indéterminées (FI) : les 4 pièges
On rencontre ici quatre formes indéterminées usuelles :
\[\boxed{\frac{\infty}{\infty}\qquad \infty-\infty\qquad 0\times\infty\qquad \frac{0}{0}}\]
Dans ces cas, on ne peut pas conclure directement : le résultat dépend de « qui va le plus vite ».
Exemples avec \(\frac{\infty}{\infty}\) :
\[\begin{aligned}\frac{n^2}{n} &= n\\[.35em]&\to +\infty\end{aligned}\]
(le numérateur gagne)
\[\begin{aligned}\frac{n}{n^2} &= \frac{1}{n}\\[.35em]&\to 0\end{aligned}\]
(le dénominateur gagne)
\(\frac{3n+1}{n+5}\to 3\) (match nul : même « vitesse »)
Conclusion : une FI peut donner \(+\infty\) , \(0\) , \(3\) , n'importe quoi. Il faut transformer l'expression.
Méthode · Lever une FI du type \(\frac{\infty}{\infty}\) (fractions polynomiales)
Méthode : factoriser par le terme de plus haut degré au numérateur et au dénominateur.
Règle : dans \(\frac{a_p n^p+\cdots}{b_q n^q+\cdots}\) , la limite est :
Exemple · FI : factorisation détaillée
\(u_n=\frac{3n^2+5n-1}{2n^2-n+7}\) . Forme \(\frac{\infty}{\infty}\) .
On factorise par \(n^2\) (plus haut degré) au numérateur et au dénominateur :
\[\begin{aligned}u_n &= \frac{n^2\bigl(3+\frac{5}{n}-\frac{1}{n^2}\bigr)}{n^2\bigl(2-\frac{1}{n}+\frac{7}{n^2}\bigr)}\\[.35em]&= \frac{3+\frac{5}{n}-\frac{1}{n^2}}{2-\frac{1}{n}+\frac{7}{n^2}}\xrightarrow[n\to+\infty]{}\frac{3+0-0}{2-0+0}\\[.35em]&= \frac{3}{2}
.\end{aligned}\]
Exemple · FI : \(\infty-\infty\)
\(u_n=\sqrt{n^2+n}-n\) . Forme \(\infty-\infty\) .
Astuce : multiplier et diviser par le conjugué.
\[\begin{aligned}u_n &= \frac{(\sqrt{n^2+n}-n)(\sqrt{n^2+n}+n)}{\sqrt{n^2+n}+n}\\[.35em]&= \frac{n^2+n-n^2}{\sqrt{n^2+n}+n}\\[.35em]&= \frac{n}{\sqrt{n^2+n}+n}
.\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}&= \frac{n}{n(\sqrt{1+1/n}+1)}\\[.35em]&= \frac{1}{\sqrt{1+1/n}+1}\\[.35em]&\to \frac{1}{1+1}\\[.35em]&= \frac{1}{2}
.\end{aligned}\]
À toi d’essayer
Une forme indéterminée demande une transformation Calcule la limite de \(\sqrt{n^2+n}-n\) quand \(n\to+\infty\) . Pourquoi écrire « \(\infty-\infty=0\) » ne donne-t-il pas une réponse ?
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste La quantité conjuguée permet d'utiliser \((A-B)(A+B)=A^2-B^2\) .
Indice 2 · Un pas de plus Pour \(n\geqslant1\) , multiplie numérateur et dénominateur par \(\sqrt{n^2+n}+n\) , puis divise par \(n\) .
Voir l’explication La différence de deux quantités tendant vers \(+\infty\) peut avoir différents comportements. Ici,
\[\begin{aligned}\sqrt{n^2+n}-n&=\frac{(n^2+n)-n^2}{\sqrt{n^2+n}+n}\\[.35em]&=\frac{n}{n\sqrt{1+1/n}+n}\\[.35em]&=\frac{1}{\sqrt{1+1/n}+1}\\[.35em]&\longrightarrow\frac12.\end{aligned}\]
On a utilisé \(\sqrt{n^2}=n\) car \(n\) est positif. Le dénominateur tend vers 2, donc le quotient est permis. Réessaie : remplace \(n\) sous la racine par \(3n\) : la limite vaut \(3/2\) . Puis remplace-le par 1 : la limite vaut 0.
Limites de référence et croissances comparées
Théorème · Limites de référence à connaître par cœur
\[\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}=0\qquad\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n^2}=0\qquad\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}=0\]
\[\lim_{n\to+\infty}n^k=+\infty\;(k\geqslant 1)\qquad\lim_{n\to+\infty}\sqrt{n}=+\infty\]
Théorème · Limites de \(q^n\) : résultat fondamental
Pour \(q\in\R\) :
\(q\) \(-1<q<1\) \(q=1\) \(q>1\) \(q\leqslant -1\) \(\lim q^n\) \(0\) \(1\) \(+\infty\) n'existe pas
En particulier : \(\boxed{|q|<1\Rightarrow q^n\to 0}\) . C'est le résultat le plus utilisé au bac .
Une preuve à construire
Les limites de toutes les suites géométriques \(q^n\) À l'aide de Bernoulli, prouve que \(q^n\to+\infty\) pour \(q>1\) , puis que \(q^n\to0\) pour \(|q|<1\) . Explique aussi les cas \(q=1\) et \(q\leqslant-1\) .
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste Pour \(q>1\) , écris \(q=1+a\) avec \(a>0\) . Pour \(0<q<1\) , applique le premier cas à \(1/q\) .
Indice 2 · Un pas de plus Si q est négatif, la valeur absolue vaut \(|q|^n\) , tandis que le signe alterne. Sépare les rangs pairs et impairs lorsque \(q\leqslant-1\) .
Voir la preuve expliquée Pour \(q=1+a>1\) , Bernoulli donne \(q^n\geqslant1+na\) . Ce minorant tend vers \(+\infty\) , donc \(q^n\) aussi par comparaison. Pour \(0<q<1\) , \(1/q>1\) ; ainsi \((1/q)^n\to+\infty\) et son inverse \(q^n\) tend vers zéro. Pour \(-1<q<0\) , \(-|q|^n\leqslant q^n\leqslant|q|^n\) et les deux bornes tendent vers zéro. Pour \(q=0\) , les termes sont nuls dès le rang 1. Pour \(q=1\) , tous les termes valent 1. Pour \(q=-1\) , les deux valeurs alternent. Pour \(q<-1\) , les termes pairs tendent vers \(+\infty\) et les impairs vers \(-\infty\) : il n'y a ni limite finie, ni limite infinie unique. Réessaie : compare \((-0{,}9)^n\) et \((-1{,}1)^n\) ; le signe alterne dans les deux cas, mais les amplitudes évoluent en sens opposés.
Exemple · Utiliser \(q^n\to 0\)
\(u_n=3+5\times 0{,}8^n\) . Comme \(|0{,}8|<1\) : \(0{,}8^n\to 0\) , donc
\[\begin{aligned}\lim u_n &= 3+5\times 0\\[.35em]&= 3
.\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}v_n &= \frac{2^n-1}{2^n+3}\\[.35em]&= \frac{1-1/2^n}{1+3/2^n}
.\end{aligned}\]
Comme
\[\begin{aligned}\frac{1}{2^n} &= \bigl(\frac{1}{2}\bigr)^n\\[.35em]&\to 0\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\lim v_n &= \frac{1-0}{1+0}\\[.35em]&= 1
.\end{aligned}\]
À toi d’essayer
Repérer la raison avant de choisir une limite Détermine les limites de \(2+5(-0{,}8)^n\) , \(2+5(-1)^n\) et \(2+5(1{,}2)^n\) .
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste La valeur absolue de la raison distingue une amplitude qui diminue, reste fixe ou augmente.
Indice 2 · Un pas de plus Les raisons sont respectivement dans \(]-1,1[\) , égale à -1, et supérieure à 1.
Voir l’explication La première suite tend vers 2 puisque \((-0{,}8)^n\to0\) . La deuxième alterne entre 7 et -3 : elle n'a pas de limite. La troisième tend vers \(+\infty\) puisque \(1{,}2^n\to+\infty\) et le coefficient 5 est positif. Réessaie : remplace 5 par -5 dans la troisième suite : la limite devient \(-\infty\) . Avec le coefficient 0, la suite serait constante égale à 2.
Prolongement : les résultats ci-dessous généralisent les comparaisons entre puissances et exponentielle. Les puissances réelles de logarithmes et la factorielle vont au-delà du socle ; ils seront utiles dans des exercices d'approfondissement. La preuve centrale de \(x^n/\e^x\to0\) sera étudiée avec les limites de fonctions.
Théorème · Croissances comparées (au voisinage de \(+\infty\))
Pour tous \(\alpha>0\) , \(\beta>0\) et \(q>1\) :
\[\begin{aligned}&\boxed{\lim_{n\to+\infty}\frac{(\ln n)^\beta}{n^\alpha}=0}\\&\boxed{\lim_{n\to+\infty}\frac{n^\alpha}{q^n}=0}\\&\boxed{\lim_{n\to+\infty}\frac{q^n}{n!}=0}\end{aligned}\]
Intuition · Hiérarchie des vitesses de croissance
\[\underbrace{\ln n}_{\text{très lent}}\ll\underbrace{n^\alpha}_{\text{polynomial}}\ll\underbrace{q^n}_{\text{exponentiel}}\ll\underbrace{n!}_{\text{factoriel}}\]
Ce schéma résume les limites précédentes pour \(\alpha>0\) et \(q>1\) lorsque \(n\to+\infty\) . Le symbole \(\ll\) signifie ici que le quotient du terme de gauche par celui de droite tend vers zéro ; il ne remplace pas une inégalité valable à tous les rangs.
En pratique : dans un quotient \(\frac{\text{lent}}{\text{rapide}}\) , la limite est \(0\) .
Dans un quotient \(\frac{\text{rapide}}{\text{lent}}\) , la limite est \(+\infty\) .
Exemple · Appliquer les croissances comparées
a) \(u_n=\frac{n^{100}}{1{,}001^n}\) . Forme \(\frac{\infty}{\infty}\) , mais \(q=1{,}001>1\) bat \(n^{100}\) :
\(\lim u_n=0\) . La formule s'applique avec \(\alpha=100\) et \(q=1{,}001>1\) . Elle décrit le comportement à long terme, même si les premiers termes ne le suggèrent pas.
b) \(v_n=\frac{(\ln n)^5}{\sqrt{n}}\) . C'est \(\frac{(\ln n)^\beta}{n^\alpha}\) avec \(\beta=5\) et \(\alpha=\frac{1}{2}\) :
\(\lim v_n=0\) . Les hypothèses \(\alpha=1/2>0\) et \(\beta=5>0\) permettent d'appliquer la première comparaison.
c) \(w_n=n^3\cdot 0{,}99^n\) . On réécrit :
\[\begin{aligned}w_n &= \frac{n^3}{(1/0{,}99)^n}\\[.35em]&= \frac{n^3}{(1{,}0101\ldots)^n}
.\end{aligned}\]
C'est \(\frac{n^\alpha}{q^n}\) avec \(q>1\) . Donc \(\lim w_n=0\) .
Une preuve à construire
Passer des puissances entières aux limites de l'exponentielle En utilisant \(\e^n\to+\infty\) et la croissance de la fonction exponentielle, démontre \(\e^x\to+\infty\) quand \(x\to+\infty\) , puis \(\e^x\to0\) quand \(x\to-\infty\) .
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste Pour un seuil A, choisis un entier N tel que \(\e^N>A\) . Compare \(\e^x\) et \(\e^N\) pour \(x\geqslant N\) .
Indice 2 · Un pas de plus Pour la seconde limite, pose \(t=-x\) ; utilise \(\e^x=1/\e^t\) .
Voir la preuve expliquée Comme \(\e>1\) , la preuve précédente garantit que la suite \(\e^n\) tend vers \(+\infty\) . Pour tout A positif, il existe N entier tel que \(\e^N>A\) . Pour tout réel \(x\geqslant N\) , la croissance de l'exponentielle donne \(\e^x\geqslant\e^N>A\) . C'est exactement la limite \(+\infty\) pour la fonction, et pas seulement pour ses valeurs entières. Quand \(x\to-\infty\) ,
\[\begin{aligned}t &= -x\\[.35em]&\to +\infty
.\end{aligned}\]
Ainsi \(\e^t\to+\infty\) et
\[\begin{aligned}\e^x &= 1/\e^t\\[.35em]&\to 0
,\end{aligned}\]
par valeurs positives. Réessaie : \(\e^{-2n}\) tend vers zéro ; \(\e^{2n}\) tend vers \(+\infty\) .
Théorèmes de comparaison
Théorème · Théorème des gendarmes (ou d'encadrement)
Si, à partir d'un certain rang \(n_0\) , \(a_n\leqslant u_n\leqslant b_n\) et si
\[\begin{aligned}\lim a_n &= \lim b_n\\[.35em]&= \ell
,\end{aligned}\]
alors :
\[\boxed{\lim_{n\to+\infty}u_n=\ell}\]
Intuition · Pourquoi « gendarmes » ?
Les suites \((a_n)\) et \((b_n)\) sont deux « gendarmes » qui encadrent \(u_n\) . Si les deux gendarmes vont au même endroit \(\ell\) , le prisonnier \(u_n\) est forcé d'y aller aussi, car il est coincé entre eux.
Agrandir ↗ \(-\frac{1}{n}\leqslant\frac{\sin(n)}{n}\leqslant\frac{1}{n}\) et \(\pm\frac{1}{n}\to 0\) : par les gendarmes, \(\frac{\sin(n)}{n}\to 0\) .
Démonstration · Théorème des gendarmes : preuve pour approfondir
Soit \(\varepsilon>0\) . Comme \(\lim a_n=\ell\) , il existe \(N_1\) tel que pour tout \(n\geqslant N_1\) : \(|a_n-\ell|<\varepsilon\) , donc \(a_n>\ell-\varepsilon\) .
Comme \(\lim b_n=\ell\) , il existe \(N_2\) tel que pour tout \(n\geqslant N_2\) : \(|b_n-\ell|<\varepsilon\) , donc \(b_n<\ell+\varepsilon\) .
L'encadrement \(a_n\leqslant u_n\leqslant b_n\) est valable à partir du rang \(n_0\) .
Pour \(n\geqslant N=\max(n_0,N_1,N_2)\) : \(\ell-\varepsilon<a_n\leqslant u_n\leqslant b_n<\ell+\varepsilon\) .
Donc \(|u_n-\ell|<\varepsilon\) . Par définition, \(\lim u_n=\ell\) . \(\square\)
Exemple · Gendarmes : \(u_n=\frac{\cos(n^2)+3}{n}\)
\(-1\leqslant\cos(n^2)\leqslant 1\) , donc \(\frac{-1+3}{n}\leqslant u_n\leqslant\frac{1+3}{n}\) , i.e. \(\frac{2}{n}\leqslant u_n\leqslant\frac{4}{n}\) .
\[\begin{aligned}\lim\frac{2}{n} &= \lim\frac{4}{n}\\[.35em]&= 0
.\end{aligned}\]
Par les gendarmes : \(\lim u_n=0\) .
Théorème · Théorème de comparaison (divergence)
Si, à partir d'un certain rang, \(u_n\geqslant v_n\) et si \(\lim v_n=+\infty\) , alors \(\lim u_n=+\infty\) .
(De même : si \(u_n\leqslant v_n\) et \(\lim v_n=-\infty\) , alors \(\lim u_n=-\infty\) .)
Exemple · Comparaison pour la divergence
\(u_n=n+\sin(n)\) . On a \(u_n\geqslant n-1\) (car \(\sin(n)\geqslant -1\) ), et \(\lim(n-1)=+\infty\) .
Par comparaison : \(\lim u_n=+\infty\) .
Une preuve à construire
Un minorant qui dépasse tout seuil entraîne la suite Suppose \(u_n\geqslant v_n\) pour tous les \(n\geqslant n_0\) , et \(v_n\to+\infty\) . Démontre avec la définition que \(u_n\to+\infty\) .
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste Fixe d'abord un seuil A positif. Le rang à choisir doit respecter deux contraintes.
Indice 2 · Un pas de plus Prends le maximum de \(n_0\) et du rang à partir duquel \(v_n>A\) .
Voir la preuve expliquée Soit \(A>0\) . La limite de \(v_n\) fournit \(N_1\) tel que \(v_n>A\) pour tout \(n\geqslant N_1\) . Pour \(n\geqslant N=\max(n_0,N_1)\) , les deux conditions sont valides : \(u_n\geqslant v_n>A\) . On a donc la définition de \(u_n\to+\infty\) . Réessaie : si \(u_n\leqslant v_n\) et \(v_n\to+\infty\) , on ne peut rien conclure. Le choix \(u_n=0\) , \(v_n=n\) le montre.
À toi d’essayer
Choisir le côté de l'encadrement utile Calcule les limites de \(a_n=(2+\cos n)/n\) et \(b_n=n^2+\sin n\) , pour \(n\geqslant1\) . Une simple majoration suffit-elle pour chacune ?
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste Utilise \(-1\leqslant\cos n\leqslant1\) et \(-1\leqslant\sin n\leqslant1\) .
Indice 2 · Un pas de plus Pour une limite finie, encadre entre deux suites de même limite ; pour \(+\infty\) , cherche un minorant qui y tend.
Voir l’explication On a \(1/n\leqslant a_n\leqslant3/n\) : les deux bornes tendent vers zéro, donc \(a_n\to0\) . Pour \(b_n\) , \(b_n\geqslant n^2-1\to+\infty\) : ce seul minorant suffit. Une majoration par une suite qui devient très grande ne forcerait pas \(b_n\) à grandir. Réessaie : pour \(n^2(2+\sin n)\) , la minoration par \(n^2\) établit encore une limite égale à \(+\infty\) .
Lire les quantificateurs et les implications sur les suites
La logique se travaille dans les raisonnements du chapitre. Les mots « pour tout » et « il existe » suffisent ; les symboles de quantification ne sont pas à mémoriser pour comprendre les situations suivantes.
Méthode · Un même majorant pour tous les termes
Dire que \((u_n)\) est majorée signifie : il existe un réel M tel que, pour tout entier n, \(u_n\leqslant M\) . On choisit M une seule fois ; il ne dépend pas du rang.
Pour nier cet énoncé, on échange « il existe » et « pour tout », puis on nie l'inégalité : pour tout réel M, il existe un entier n tel que \(u_n>M\) . Le rang qui dépasse le seuil peut dépendre de M. Cela ne dit pas que tous les termes suivants le dépassent : la croissance permettra d'obtenir cette conclusion supplémentaire.
À ne pas confondre avec « pour tout n, il existe M tel que \(u_n\leqslant M\) » : cette phrase est vraie pour toute suite réelle, en prenant M égal à \(u_n\) , et ne fournit aucun majorant commun.
À toi d’essayer
Choisir l'ordre des deux choix Pour \(u_n=n\) , compare les phrases « chaque terme possède un majorant » et « la suite possède un majorant ». Puis nie « pour tout entier \(n\) , \(v_n\leqslant5\) ». Faut-il que tous les termes de \((v_n)\) dépassent 5 pour réfuter cette dernière phrase ?
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste Dans la première phrase, le majorant peut changer avec \(n\) . Dans la deuxième, il doit fonctionner pour tous les rangs.
Indice 2 · Un pas de plus Pour dépasser un réel \(M\) avec un entier naturel, on peut choisir un entier \(n\) plus grand que \(M\) . Pour réfuter une affirmation universelle, une seule valeur contraire suffit.
Voir l’explication Chaque terme \(n\) a un majorant, par exemple \(n\) lui-même. Mais aucun réel \(M\) ne majore tous les entiers : il existe toujours un entier naturel \(n\) avec \(n>M\) . La suite n'est donc pas majorée. La négation de « pour tout \(n\) , \(v_n\leqslant5\) » est « il existe \(n\) tel que \(v_n>5\) ». Un seul terme dépassant 5 suffit ; les autres peuvent rester en dessous. À réessayer : formule la négation de « il existe un réel \(m\) tel que, pour tout \(n\) , \(w_n\geqslant m\) ». On obtient : pour tout réel \(m\) , il existe \(n\) tel que \(w_n<m\) .
Méthode · Une implication, sa réciproque et sa contraposée
Le théorème qui suit dit : si une suite est croissante et majorée, alors elle converge . L'hypothèse complète suffit pour conclure. La réciproque renverse les deux parties : « si elle converge, alors elle est croissante et majorée ». C'est une autre affirmation, à vérifier séparément.
La contraposée renverse les deux parties en les niant : si elle ne converge pas, alors elle n'est pas croissante ou elle n'est pas majorée . Cette phrase a la même valeur logique que le théorème. Pour nier « A et B », on écrit « non A ou non B » : il suffit que l'une des deux conditions manque.
Dire « ne converge pas » ne signifie pas forcément « tend vers l'infini ». La suite \((-1)^n\) est un exemple de suite non convergente qui reste bornée.
À toi d’essayer
Ne pas changer le théorème en renversant la phrase Peut-on conclure qu'une suite convergente est croissante ? Teste \(u_n=(-1)^n/(n+1)\) . Puis utilise la contraposée pour répondre : une suite croissante qui ne converge pas peut-elle être majorée ?
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste La valeur absolue des termes du premier exemple vaut \(1/(n+1)\) . Compare aussi les termes de rangs 0, 1 et 2.
Indice 2 · Un pas de plus Le théorème des gendarmes donne la convergence du premier exemple. Dans la seconde question, l'hypothèse « croissante » est déjà satisfaite.
Voir l’explication On a \(-1/(n+1)\leqslant u_n\leqslant1/(n+1)\) et les deux bornes tendent vers zéro : \(u_n\to0\) . Pourtant \(u_0=1\) , \(u_1=-1/2\) et \(u_2=1/3\) , donc la suite n'est pas croissante. La réciproque est fausse. Pour la seconde question, la contraposée impose « non croissante ou non majorée » ; le premier cas est exclu, donc la suite n'est pas majorée. Le prochain résultat précisera alors sa divergence vers \(+\infty\) . À réessayer : formule la contraposée de « si une fonction est dérivable en a, alors elle est continue en a » : si elle n'est pas continue en a, elle n'est pas dérivable en a. Cela ne donne pas la réciproque.
Théorème de convergence monotone
Intuition · Pourquoi c'est vrai (idée géométrique)
Une suite croissante majorée ne peut pas avancer indéfiniment d'une quantité fixe sans dépasser son majorant. Le théorème garantit une limite. Attention : un majorant quelconque n'est pas nécessairement cette limite. Dans le dessin, 2 est à la fois un majorant et la limite ; 3 serait aussi un majorant, mais pas la limite.
Agrandir ↗ Attention · Ce théorème ne donne pas la valeur de la limite !
Il garantit seulement l'existence . Pour trouver sa valeur, on utilise une autre méthode, typiquement le passage à la limite dans la relation de récurrence : si \(u_{n+1}=f(u_n)\) et \(f\) continue, alors \(\ell=f(\ell)\) .
Une preuve à construire
Croissante et non majorée : pourquoi la limite est-elle \(+\infty\) ? Une suite est croissante et non majorée. Démontre qu'elle tend vers \(+\infty\) . Pourquoi « non majorée » seul ne suffit-il pas ?
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste Non majorée signifie : pour chaque seuil A, un terme le dépasse. Croissante signifie : tous les suivants sont au moins aussi grands.
Indice 2 · Un pas de plus Choisis un rang N tel que \(u_N>A\) , puis considère tous les \(n\geqslant N\) .
Voir la preuve expliquée Soit A positif. Puisque la suite n'est pas majorée, il existe N tel que \(u_N>A\) . Puisque la suite est croissante, pour tous les \(n\geqslant N\) , \(u_n\geqslant u_N>A\) . C'est la définition de la limite \(+\infty\) . Sans monotonie, la suite \(u_n=n\) aux rangs pairs et \(u_n=0\) aux rangs impairs n'est pas majorée mais ne tend pas vers \(+\infty\) : elle revient à zéro aussi loin que l'on va. Réessaie : adapte la preuve à une suite décroissante et non minorée.
À toi d’essayer
Une borne prouve une existence, pas la valeur de la limite La suite \(u_n=2-2^{-n}\) est croissante et majorée par 3. Peut-on en déduire que sa limite vaut 3 ? Détermine sa limite et donne un autre majorant.
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste Sépare ce que garantit le théorème de ce que permet de calculer la formule explicite.
Indice 2 · Un pas de plus Le terme \(2^{-n}\) tend vers zéro et reste strictement positif.
Voir l’explication Le théorème donne l'existence d'une limite. La formule donne
\[\begin{aligned}u_n &\to 2-0\\[.35em]&= 2
.\end{aligned}\]
Tous les termes sont inférieurs à 2 : 2 est aussi un majorant, comme 3 ou 100. Une borne choisie pour prouver la convergence n'est donc pas automatiquement la limite. Réessaie : pour \(v_n=5+2^{-n}\) , justifie « décroissante et minorée », puis calcule sa limite.
Méthode · Démarche complète pour étudier \(u_{n+1}=f(u_n)\) : les 5 étapes
C'est la méthode la plus demandée au bac pour les suites récurrentes :
Conjecturer. Calculer \(u_0, u_1, u_2, u_3\) au brouillon. Deviner le comportement.
Borner par récurrence. Montrer \(a\leqslant u_n\leqslant b\) pour tout \(n\) (souvent : montrer \(u_n\leqslant\ell\) ou \(u_n\geqslant\ell\) où \(\ell\) est le point fixe).
Monotonie par récurrence. Étudier le signe de \(u_{n+1}-u_n=f(u_n)-u_n\) .
Convergence. Conclure : croissante + majorée \(\Rightarrow\) converge (ou décroissante + minorée).
Limite. Vérifier que la limite appartient au domaine et que f y est continue ; alors passer à la limite : \(\ell=f(\ell)\) . Résoudre et garder seulement les valeurs compatibles avec les bornes.
Exemple · Étude complète rédigée : \(u_0=1\), \(u_{n+1}=\sqrt{u_n+2}\)
Étape 1 : Conjecture : \(u_0=1\) ,
\[\begin{aligned}u_1 &= \sqrt{3}\\[.35em]&\approx 1{,}73
,\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}u_2 &= \sqrt{3{,}73}\\[.35em]&\approx 1{,}93
,\end{aligned}\]
\(u_3\approx 1{,}98\) . Semble croissante, convergeant vers \(2\) .
Étape 2 : Encadrement : montrons \(0\leqslant u_n\leqslant 2\) par récurrence.
\(P(n)\) : \(0\leqslant u_n\leqslant 2\) .
Init : \(0\leqslant u_0=1\leqslant 2\) . ✓
Hér. : si \(0\leqslant u_n\leqslant 2\) , alors \(2\leqslant u_n+2\leqslant 4\) , donc \(\sqrt{2}\leqslant u_{n+1}\leqslant\sqrt{4}=2\) . Comme \(\sqrt{2}>0\) : \(0\leqslant u_{n+1}\leqslant 2\) . ✓
Étape 3 : Monotonie : \(u_{n+1}-u_n=\sqrt{u_n+2}-u_n\) .
Pour \(x\in[0,2]\) , on peut multiplier par la quantité conjuguée, dont le dénominateur est strictement positif :
\[\begin{aligned}\sqrt{x+2}-x&=\frac{x+2-x^2}{\sqrt{x+2}+x}\\[.35em]&=\frac{(2-x)(x+1)}{\sqrt{x+2}+x}\\[.35em]&\geqslant0.\end{aligned}\]
Le numérateur est positif ou nul sur \([0,2]\) . Ainsi \(u_{n+1}-u_n\geqslant0\) : la suite est croissante. Il n'est pas nécessaire de prouver ici une croissance stricte.
Étape 4 : Convergence : \((u_n)\) est croissante et majorée par \(2\) . Par le théorème de convergence monotone, elle converge .
Étape 5 : Limite : soit \(\ell=\lim u_n\) . La fonction \(f(x)=\sqrt{x+2}\) est continue.
Par passage à la limite : \(\ell=\sqrt{\ell+2}\) , donc \(\ell^2=\ell+2\) , soit \(\ell^2-\ell-2=0\) .
\[\begin{aligned}\Delta &= 1+8\\[.35em]&= 9
,\end{aligned}\]
\(\ell=\frac{1\pm 3}{2}\) , soit \(\ell=2\) ou \(\ell=-1\) .
Comme \(u_n\geqslant 0\) pour tout \(n\) : \(\ell\geqslant 0\) , donc \(\boxed{\ell=2}\) .
À toi d’essayer
Établir la convergence avant de résoudre l'équation On pose \(u_0=0\) , \(u_{n+1}=(u_n+6)/3\) . Montre que la suite converge vers 3 en justifiant successivement une borne, la monotonie et le passage à la limite.
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste L'intervalle \([0,3]\) est stable par \(f(x)=(x+6)/3\) .
Indice 2 · Un pas de plus Calcule \(u_{n+1}-u_n=2(3-u_n)/3\) , puis utilise la continuité de \(f\) .
Voir l’explication Initialement \(u_0=0\in[0,3]\) . Si \(0\leqslant u_n\leqslant3\) , alors \(2\leqslant u_{n+1}\leqslant3\) : la récurrence conserve l'intervalle.
\[\begin{aligned}u_{n+1}-u_n&=\frac{u_n+6}{3}-u_n\\[.35em]&=\frac{2(3-u_n)}3\\[.35em]&\geqslant0.\end{aligned}\]
La suite est croissante et majorée par 3 : elle converge vers un réel \(\ell\in[0,3]\) . La fonction affine \(f\) est continue en ce réel, donc \(\ell=(\ell+6)/3\) , soit \(3\ell=\ell+6\) , d'où \(\ell=3\) . Réessaie : avec \(u_0=6\) , la suite reste dans \([3,6]\) , décroît et a la même limite. L'exercice 6 suit cette seconde situation.
Suites adjacentes (complément)
Définition · Suites adjacentes
Deux suites \((a_n)\) et \((b_n)\) sont adjacentes si :
\((a_n)\) est croissante.
\((b_n)\) est décroissante.
\[\lim(b_n-a_n)=0.\]
Théorème · Théorème des suites adjacentes
Si \((a_n)\) et \((b_n)\) sont adjacentes, alors elles convergent vers la même limite \(\ell\) , et pour tout \(n\) : \(a_n\leqslant\ell\leqslant b_n\) .
Démonstration · Idée de la preuve
La différence \(b_n-a_n\) est décroissante et tend vers zéro : elle ne peut être négative à un rang, car elle resterait ensuite au-dessous de cette valeur négative. Ainsi \(a_n\leqslant b_n\) pour tout n. \((a_n)\) croissante et majorée par \(b_0\) (car \(a_n\leqslant b_n\leqslant b_0\) ) : elle converge vers \(\ell_a\) .
\((b_n)\) décroissante et minorée par \(a_0\) : elle converge vers \(\ell_b\) .
Or \(\lim(b_n-a_n)=0\) implique \(\ell_b-\ell_a=0\) , donc
\[\begin{aligned}\ell_a &= \ell_b\\[.35em]&= \ell
.\end{aligned}\]
\(\square\)
Exemple · Approfondissement admis ici : encadrement de \(\e\)
\(a_n=\bigl(1+\frac{1}{n}\bigr)^n\) (croissante) et \(b_n=\bigl(1+\frac{1}{n}\bigr)^{n+1}\) (décroissante) sont adjacentes.
Elles convergent toutes deux vers \(\e\approx 2{,}71828\ldots\) , et \(a_n\leqslant\e\leqslant b_n\) pour tout \(n\) .
Suites et fonctions continues
Théorème · Passage à la limite dans une relation de récurrence
Si \(u_{n+1}=f(u_n)\) et si :
\((u_n)\) converge vers \(\ell\) ,
\(f\) est continue en \(\ell\) ,
alors \(\ell=f(\ell)\) (la limite est un point fixe de \(f\) ).
Démonstration · Pourquoi la continuité intervient
Comme \(u_n\to\ell\) et \(f\) continue en \(\ell\) : \(f(u_n)\to f(\ell)\) .
Or
\[\begin{aligned}f(u_n) &= u_{n+1}\\[.35em]&\to \ell\end{aligned}\]
(car \((u_{n+1})\) est une sous-suite de \((u_n)\) qui converge vers \(\ell\) ).
Par unicité de la limite : \(f(\ell)=\ell\) . \(\square\)
Attention · Piège classique : la réciproque est fausse !
\(\ell=f(\ell)\) ne signifie pas que la suite converge vers \(\ell\) . Contre-exemple :
\(f(x)=-x+4\) a pour point fixe \(\ell=2\) (car \(f(2)=2\) ). Mais avec \(u_0=0\) :
\(u_0=0\) , \(u_1=4\) , \(u_2=0\) , \(u_3=4\) , … La suite oscille et ne converge pas !
L'équation \(\ell=f(\ell)\) donne des limites possibles, à condition que \(f\) soit continue au point considéré. Elle ne prouve pas la convergence. On peut établir celle-ci, par exemple, avec la monotonie et une borne, puis identifier la limite.
Méthode · Lire une construction en escalier
Depuis l'abscisse \(u_n\) , on monte verticalement jusqu'à la courbe \(y=f(x)\) : la hauteur lue est \(u_{n+1}\) . Puis on rejoint horizontalement la diagonale \(y=x\) , où cette hauteur devient la nouvelle abscisse. On peut recommencer.
Dans l'exemple dessiné, la convergence et la croissance ont été démontrées avant la figure. Une construction numérique suggère un comportement, mais ne garantit ni que tous les termes sont définis, ni qu'ils convergent. Une alternance de part et d'autre du point fixe peut se resserrer ou s'éloigner.
Représentation en escalier : \(u_{n+1}=\sqrt{u_n+2}\) , \(u_0=0{,}5\)
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À toi d’essayer
Un point fixe n'attire pas nécessairement les termes Pour \(f(x)=4-x\) et \(u_0=0\) , calcule quatre termes puis résous \(f(\ell)=\ell\) . Pourquoi l'équation seule ne prouve-t-elle pas la convergence ?
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste La suite peut revenir exactement sur un terme déjà obtenu.
Indice 2 · Un pas de plus Le point fixe vaut 2, mais les termes valent alternativement 0 et 4.
Voir l’explication On obtient \(u_1=4\) , \(u_2=0\) , \(u_3=4\) , \(u_4=0\) . L'équation \(\ell=4-\ell\) donne 2 comme seule limite possible si la suite converge. Or les termes restent à distance 2 de cette valeur : ils ne convergent pas. La condition est nécessaire, pas suffisante. Réessaie : avec \(u_0=2\) , la suite est constante ; avec \(f(x)=x/2+1\) et \(u_0=0\) , la distance à 2 est divisée par 2 à chaque étape.
Algorithme : calcul de termes et recherche de seuil
import math
def termes(u0, f, n):
"""Retourne [u_0, u_1, ..., u_n]."""
U = [u0]
u = u0
for k in range(n):
u = f(u)
U.append(u)
return U
# Exemple : u_{n+1} = sqrt(u_n + 2), u_0 = 1
U = termes(1, lambda u: math.sqrt(u + 2), 20)
print(f"u_20 = {U[-1]:.10f}") # environ 2.0000000000def seuil_convergence(u0, f, ell, eps):
"""Plus petit n tel que |u_n - ell| < eps."""
if eps <= 0:
raise ValueError("eps doit etre strictement positif")
u, n = u0, 0
while abs(u - ell) >= eps:
u = f(u)
n += 1
return n
# u_{n+1} = sqrt(u_n + 2), u_0 = 1, ell = 2
n = seuil_convergence(1, lambda u: math.sqrt(u+2), 2, 1e-6)
print(n) # 11Attention · Ce que garantit la boucle
Cet algorithme suppose que les itérations sont définies et que la convergence vers \(\ell\) est déjà établie ; pour \(\varepsilon>0\) , cela justifie l'arrêt en calcul exact. Il trouve le premier terme dans la bande, pas automatiquement un rang à partir duquel tous y restent. Pour la suite croissante minorée par 1 et majorée par 2 de l'exemple, la distance à 2 décroît : une fois entrée, elle reste dans la bande. Des arrondis peuvent affecter une précision très proche de celle de la machine.
À toi d’essayer
Le rang et le terme ne désignent pas la même chose Pour \(u_0=1\) , \(u_{n+1}=\sqrt{u_n+2}\) , on cherche le premier \(n\) tel que \(|u_n-2|<10^{-6}\) . La boucle doit-elle continuer pour une distance égale à \(10^{-6}\) ? Comment vérifier le rang renvoyé ?
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste La condition demandée est stricte. Une égalité doit donc encore faire entrer dans la boucle.
Indice 2 · Un pas de plus Vérifie la distance au rang trouvé et au rang précédent. Le compteur commence à zéro.
Voir l’explication La boucle continue tant que la distance est supérieure ou égale à \(10^{-6}\) . En calcul numérique, \(2-u_{10}\approx1{,}046\times10^{-6}\) et \(2-u_{11}\approx2{,}615\times10^{-7}\) . Le premier rang est donc 11. Comme la distance décroît, tous les rangs suivants conviennent aussi. Réessaie : pour \(u_n=2-2^{-n}\) , une précision stricte \(10^{-3}\) donne \(n=10\) puisque \(2^{-9}>10^{-3}\) et \(2^{-10}<10^{-3}\) .
Corrigés détaillés Corrigé de l’exercice 1
\(P(n)\) : \(\sum_{k=0}^n k=\frac{n(n+1)}{2}\) .
Initialisation (\(n=0\) ) : \(\sum_{k=0}^0 k=0\) et \(\frac{0\times 1}{2}=0\) . \(P(0)\) vraie.
Hérédité : Supposons \(P(n)\) : \(\sum_{k=0}^n k=\frac{n(n+1)}{2}\) .
\[\begin{aligned}\sum_{k=0}^{n+1}k &= \underbrace{\sum_{k=0}^n k}_{=\frac{n(n+1)}{2}}+(n+1)\\[.35em]&= \frac{n(n+1)}{2}+(n+1)\\[.35em]&= (n+1)\Bigl(\frac{n}{2}+1\Bigr)\\[.35em]&= \frac{(n+1)(n+2)}{2}
.\end{aligned}\]
C'est \(P(n+1)\) . Conclusion : \(P(n)\) vraie pour tout \(n\in\N\) .
Corrigé de l’exercice 2
\(P(n)\) : \(2^n\geqslant n+1\) pour \(n\geqslant 1\) .
Init (\(n=1\) ) : \(2^1=2\geqslant 2=1+1\) . \(P(1)\) vraie.
Hér. : Supposons \(2^n\geqslant n+1\) . Alors \(2^{n+1}=2\cdot 2^n\geqslant 2(n+1)=2n+2\) .
Or \(2n+2\geqslant n+2\) car \(n\geqslant 1\Rightarrow n\geqslant 0\) . Donc \(2^{n+1}\geqslant (n+1)+1\) . \(P(n+1)\) vraie.
Corrigé de l’exercice 3
a) Point fixe : \(\ell=\frac{1}{2}\ell+3\Rightarrow\frac{1}{2}\ell=3\Rightarrow\ell=6\) .
b)
\[v_n=u_n-6.\]
\[\begin{aligned}v_{n+1} &= u_{n+1}-6\\[.35em]&= \frac{1}{2}u_n+3-6\\[.35em]&= \frac{1}{2}u_n-3\\[.35em]&= \frac{1}{2}(u_n-6)\\[.35em]&= \frac{1}{2}v_n
.\end{aligned}\]
\((v_n)\) géométrique de raison \(\frac{1}{2}\) et premier terme
\[\begin{aligned}v_0 &= u_0-6\\[.35em]&= 5-6\\[.35em]&= -1
.\end{aligned}\]
\(v_n=-1\cdot\bigl(\frac{1}{2}\bigr)^n\) , donc \(u_n=6-\bigl(\frac{1}{2}\bigr)^n\) .
c) \(\bigl(\frac{1}{2}\bigr)^n\to 0\) , donc \(\lim u_n=6\) .
Corrigé de l’exercice 4
a)
\[\begin{aligned}u_n &= \frac{n^2(3-1/n+1/n^2)}{n^2(5+2/n^2)}\\[.35em]&\to \frac{3}{5}
.\end{aligned}\]
b)
\[\begin{aligned}v_n &= \frac{n^3(1-1/n^3)}{n^2(1+1/n)}\\[.35em]&= \frac{n(1-1/n^3)}{1+1/n}\\[.35em]&\to +\infty
.\end{aligned}\]
c)
\[\begin{aligned}|w_n| &= \frac{1}{n}\\[.35em]&\to 0
.\end{aligned}\]
Comme \(-\frac{1}{n}\leqslant w_n\leqslant\frac{1}{n}\) , par les gendarmes : \(\lim w_n=0\) .
d) Croissances comparées : \(q=2>1\) et \(\alpha=10\) . \(\frac{n^{10}}{2^n}\to 0\) , donc
\[\begin{aligned}\frac{2^n}{n^{10}} &= \frac{1}{n^{10}/2^n}\\[.35em]&\to +\infty
.\end{aligned}\]
Corrigé de l’exercice 5
\(P(n)\) : \(7\mid 3^{2n+1}+2^{n+2}\) .
Init (\(n=0\) ) :
\[\begin{aligned}3^1+2^2 &= 3+4\\[.35em]&= 7\\[.35em]&= 7\times 1
.\end{aligned}\]
\(P(0)\) vraie.
Hér. : Supposons \(7\mid 3^{2n+1}+2^{n+2}\) .
\[\begin{aligned}3^{2(n+1)+1}+2^{(n+1)+2} &= 3^{2n+3}+2^{n+3}\\[.35em]&= 9\cdot 3^{2n+1}+2\cdot 2^{n+2}
.\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}&= 9\cdot 3^{2n+1}+2\cdot 2^{n+2}\\[.35em]&= 2(3^{2n+1}+2^{n+2})+7\cdot 3^{2n+1}
.\end{aligned}\]
Le premier terme est divisible par \(7\) (hypothèse \(\times 2\) ), le second aussi (\(7\times\ldots\) ). Donc la somme est divisible par \(7\) . \(P(n+1)\) vraie.
Corrigé de l’exercice 6
a) \(u_0=4\) ,
\[\begin{aligned}u_1 &= \frac{4}{2}+1\\[.35em]&= 3
,\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}u_2 &= \frac{3}{2}+1\\[.35em]&= 2{,}5
,\end{aligned}\]
\(u_3=2{,}25\) , \(u_4=2{,}125\) . Semble décroitre vers \(2\) .
b) \(P(n)\) : \(u_n\geqslant 2\) .
Init : \(u_0=4\geqslant 2\) . Hér. : si \(u_n\geqslant 2\) , alors \(u_{n+1}=\frac{u_n}{2}+1\geqslant\frac{2}{2}+1=2\) . \(P(n+1)\) vraie.
c)
\[\begin{aligned}u_{n+1}-u_n &= \frac{u_n}{2}+1-u_n\\[.35em]&= 1-\frac{u_n}{2}
.\end{aligned}\]
Or \(u_n\geqslant 2\) donc \(\frac{u_n}{2}\geqslant 1\) , d'où \(u_{n+1}-u_n\leqslant 0\) . Suite décroissante.
d) \((u_n)\) décroissante et minorée par \(2\) : elle converge. Limite \(\ell\) : \(\ell=\frac{\ell}{2}+1\Rightarrow\frac{\ell}{2}=1\Rightarrow\ell=2\) .
Corrigé de l’exercice 7
a) \(-1\leqslant(-1)^n\leqslant 1\) , donc \(\frac{n-1}{n^2+1}\leqslant u_n\leqslant\frac{n+1}{n^2+1}\) .
b)
\[\begin{aligned}\frac{n-1}{n^2+1} &= \frac{n(1-1/n)}{n^2(1+1/n^2)}\\[.35em]&= \frac{1-1/n}{n(1+1/n^2)}\\[.35em]&\to 0
.\end{aligned}\]
De même \(\frac{n+1}{n^2+1}\to 0\) . Par les gendarmes : \(\lim u_n=0\) .
Corrigé de l’exercice 8
a) \(u_0=1\) ,
\[\begin{aligned}u_1 &= 3\times 1-4\\[.35em]&= -1
,\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}u_2 &= 3\times(-1)-4\\[.35em]&= -7
,\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}u_3 &= 3\times(-7)-4\\[.35em]&= -25
.\end{aligned}\]
b)
\[v_n=u_n-2.\]
\[\begin{aligned}v_{n+1} &= u_{n+1}-2\\[.35em]&= 3u_n-4-2\\[.35em]&= 3u_n-6\\[.35em]&= 3(u_n-2)\\[.35em]&= 3v_n
.\end{aligned}\]
\((v_n)\) géométrique de raison \(3\) ,
\[\begin{aligned}v_0 &= u_0-2\\[.35em]&= -1
.\end{aligned}\]
c) \(v_n=-3^n\) , donc \(u_n=2-3^n\) .
d) \(3^n\to+\infty\) , donc
\[\begin{aligned}u_n &= 2-3^n\\[.35em]&\to -\infty
.\end{aligned}\]
Corrigé de l’exercice 9
\(P(n)\) : \(\sum_{k=1}^n k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\) pour \(n\geqslant 1\) .
Au rang zéro, la somme vide et la formule valent toutes deux zéro. Init (\(n=1\) ) : \(1^2=1\) et \(\frac{1\times 2\times 3}{6}=1\) . \(P(1)\) vraie.
Hér. : Supposons \(P(n)\) . Alors :
\[\begin{aligned}\sum_{k=1}^{n+1}k^2
&=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)^2\\[.35em]&=\frac{n(n+1)(2n+1)+6(n+1)^2}{6}\\[.35em]&=\frac{(n+1)[n(2n+1)+6(n+1)]}{6}\\[.35em]&=\frac{(n+1)(2n^2+7n+6)}{6}\\[.35em]&=\frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}.\end{aligned}\]
C'est \(P(n+1)\) car \((n+1)(n+2)(2(n+1)+1)=(n+1)(n+2)(2n+3)\) .
Corrigé de l’exercice 10
a) \(P(n)\) : \(0\leqslant u_n\leqslant 3\) .
Init : \(u_0=0\in[0,3]\) . Hér. : si \(0\leqslant u_n\leqslant 3\) , alors \(3\leqslant 2u_n+3\leqslant 9\) , donc \(\sqrt{3}\leqslant u_{n+1}=\sqrt{2u_n+3}\leqslant 3\) . En particulier \(0\leqslant u_{n+1}\leqslant 3\) .
b) Sur \([0,3]\) , on rationalise en divisant par une quantité positive :
\[\begin{aligned}u_{n+1}-u_n&=\frac{2u_n+3-u_n^2}{\sqrt{2u_n+3}+u_n}\\[.35em]&=\frac{(3-u_n)(u_n+1)}{\sqrt{2u_n+3}+u_n}\\[.35em]&\geqslant0.\end{aligned}\]
L'encadrement démontré suffit pour conclure que la suite est croissante.
c) Croissante et majorée par 3, la suite converge vers \(\ell\in[0,3]\) . La fonction \(x\mapsto\sqrt{2x+3}\) est continue sur cet intervalle, donc le passage à la limite donne \(\ell=\sqrt{2\ell+3}\) , \(\ell^2=2\ell+3\) , \(\ell^2-2\ell-3=0\) , \(\ell=3\) (car \(\ell\geqslant 0\) ).
Corrigé de l’exercice 11
a) \(u_{n+1}-u_n=\frac{1}{u_n}>0\) car \(u_n>0\) (par récurrence immédiate depuis \(u_0=1>0\) ). Suite strictement croissante.
b) \(P(n)\) : \(u_n\geqslant\sqrt{2n+1}\) .
Init (\(n=0\) ) : \(u_0=1\geqslant\sqrt{1}=1\) . \(P(0)\) vraie.
Hér. : supposons \(u_n\geqslant\sqrt{2n+1}\) .
\[\begin{aligned}u_{n+1}^2 &= \bigl(u_n+\frac{1}{u_n}\bigr)^2\\&= u_n^2 +2 +\frac{1}{u_n^2}\\&\geqslant u_n^2 +2\\&\geqslant (2n+1) +2\\&= 2(n+1) +1.\end{aligned}\]
Comme \(u_{n+1}>0\) : \(u_{n+1}\geqslant\sqrt{2(n+1)+1}\) . \(P(n+1)\) vraie.
c) \(u_n\geqslant\sqrt{2n+1}\to+\infty\) . Par comparaison : \(\lim u_n=+\infty\) .
d)
u = 1
n = 0
while u <= 100:
u = u + 1/u
n += 1
print(n) # 4998Corrigé de l’exercice 12
a) Le triangle formé par les milieux a des côtés de longueur \(\frac{c_n}{2}\) (propriété des milieux). Donc \(c_{n+1}=\frac{1}{2}c_n\) .
b)
\[c_n=\bigl(\frac{1}{2}\bigr)^n.\]
\[\begin{aligned}P_n &= 3c_n\\[.35em]&= 3\cdot 2^{-n}
.\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}A_n &= \frac{\sqrt{3}}{4}c_n^2\\[.35em]&= \frac{\sqrt{3}}{4}\cdot 4^{-n}
.\end{aligned}\]
c)
\[\begin{aligned}\sum_{k=0}^n P_k &= 3\sum_{k=0}^n 2^{-k}\\[.35em]&= 3\cdot\frac{1-2^{-(n+1)}}{1-1/2}\\[.35em]&= 6(1-2^{-(n+1)})\\[.35em]&\to 6
.\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\sum_{k=0}^n A_k &= \frac{\sqrt{3}}{4}\sum_{k=0}^n 4^{-k}\\[.35em]&= \frac{\sqrt{3}}{4}\cdot\frac{1-4^{-(n+1)}}{3/4}\\[.35em]&= \frac{\sqrt{3}}{3}(1-4^{-(n+1)})\\[.35em]&\to \frac{\sqrt{3}}{3}
.\end{aligned}\]
Corrigé de l’exercice 13
\(P(n)\) : pour \(a_1\cdots a_n=1\) , on a \(a_1+\cdots+a_n\geqslant n\) .
Init (\(n=1\) ) : \(a_1=1\) et \(a_1\geqslant 1\) . L'initialisation est vérifiée.
Hérédité : supposons \(P(n)\) vraie pour un entier \(n\geqslant1\) . Soient \(a_1,\ldots,a_{n+1}>0\) avec produit \(1\) .
Si tous les \(a_i=1\) : \(\sum a_i=n+1\geqslant n+1\) . Sinon, il existe \(a_i<1\) et \(a_j>1\) . Quitte à réordonner, \(a_1\leqslant 1\leqslant a_2\) .
Posons \(b=a_1 a_2\) . Les \(n\) nombres \(b, a_3,\ldots,a_{n+1}\) ont pour produit \(1\) . Par \(P(n)\) : \(b+a_3+\cdots+a_{n+1}\geqslant n\) .
Il reste à montrer que \(a_1+a_2\geqslant 1+b=1+a_1 a_2\) .
\(a_1+a_2-1-a_1 a_2=(1-a_1)(a_2-1)\geqslant 0\) car \(a_1\leqslant 1\) et \(a_2\geqslant 1\) .
Donc \(a_1+a_2+a_3+\cdots+a_{n+1}\geqslant 1+b+a_3+\cdots+a_{n+1}\geqslant 1+n=n+1\) .
Corrigé de l’exercice 14
a) La positivité se transmet depuis \(u_0=3\) : tous les termes sont définis et positifs. \(u_{n+1}=\frac{1}{2}(u_n+\frac{2}{u_n})\) . Par l'inégalité arithmético-géométrique pour deux nombres positifs : \(\frac{u_n+2/u_n}{2}\geqslant\sqrt{u_n\cdot\frac{2}{u_n}}=\sqrt{2}\) . Donc \(u_{n+1}\geqslant\sqrt{2}\) pour \(n\geqslant 0\) , et donc pour tout \(n\geqslant 1\) .
b)
\[\begin{aligned}u_{n+1}-u_n &= \frac{1}{2}\bigl(\frac{2}{u_n}-u_n\bigr)\\[.35em]&= \frac{2-u_n^2}{2u_n}
.\end{aligned}\]
Pour \(n\geqslant 1\) : \(u_n\geqslant\sqrt{2}\) donc \(u_n^2\geqslant 2\) , d'où \(u_{n+1}-u_n\leqslant 0\) .
c) Décroissante (pour \(n\geqslant 1\) ) et minorée par \(\sqrt{2}\) : converge.
\(\ell=\frac{1}{2}(\ell+\frac{2}{\ell})\Rightarrow 2\ell=\ell+\frac{2}{\ell}\Rightarrow\ell=\frac{2}{\ell}\Rightarrow\ell^2=2\) . Comme \(\ell>0\) : \(\ell=\sqrt{2}\) .
d)
\[\begin{aligned}e_{n+1} &= u_{n+1}-\sqrt{2}\\[.35em]&= \frac{1}{2}(u_n+\frac{2}{u_n})-\sqrt{2}\\[.35em]&= \frac{u_n^2+2-2\sqrt{2}\,u_n}{2u_n}\\[.35em]&= \frac{(u_n-\sqrt{2})^2}{2u_n}\\[.35em]&= \frac{e_n^2}{2u_n}
.\end{aligned}\]
Comme \(u_n\geqslant\sqrt{2}\) : \(e_{n+1}\leqslant\frac{e_n^2}{2\sqrt{2}}\) .
Interprétation : convergence quadratique . Si \(e_n\approx 10^{-k}\) , alors
\[\begin{aligned}e_{n+1} &\approx \frac{10^{-2k}}{2\sqrt{2}}\\[.35em]&\approx 10^{-2k}
.\end{aligned}\]
En calcul exact et une fois l'erreur petite, le nombre de chiffres de précision augmente approximativement d'un facteur deux par itération. Ce n'est pas une égalité exacte à chaque rang, et la précision machine finit par limiter le calcul.
Corrigé du problème : La suite de Babylone
Partie A : Premières propriétés
1. Par récurrence. \(u_0>0\) . Si \(u_n>0\) : \(u_{n+1}=\frac{1}{2}(u_n+\frac{a}{u_n})\) . Chaque terme est somme de termes positifs (car \(a>0\) ), donc \(u_{n+1}>0\) .
2. \((u_n-\sqrt{a})^2\geqslant 0\Rightarrow u_n^2-2\sqrt{a}\,u_n+a\geqslant 0\Rightarrow u_n^2+a\geqslant 2\sqrt{a}\,u_n\) .
Division par \(u_n>0\) : \(u_n+\frac{a}{u_n}\geqslant 2\sqrt{a}\) , d'où \(u_{n+1}=\frac{1}{2}(u_n+\frac{a}{u_n})\geqslant\sqrt{a}\) pour tout \(n\geqslant 0\) , et donc \(u_n\geqslant\sqrt{a}\) pour \(n\geqslant 1\) .
3. Pour \(n\geqslant 1\) :
\[\begin{aligned}u_{n+1}-u_n &= \frac{1}{2}\bigl(\frac{a}{u_n}-u_n\bigr)\\[.35em]&= \frac{a-u_n^2}{2u_n}
.\end{aligned}\]
Or \(u_n\geqslant\sqrt{a}\Rightarrow u_n^2\geqslant a\Rightarrow a-u_n^2\leqslant 0\) . Donc \(u_{n+1}-u_n\leqslant 0\) . Suite décroissante à partir du rang \(1\) .
4. \((u_n)_{n\geqslant 1}\) décroissante et minorée par \(\sqrt{a}\) : elle converge vers \(\ell\geqslant\sqrt{a}\) .
\(\ell=\frac{1}{2}(\ell+\frac{a}{\ell})\Rightarrow 2\ell=\ell+\frac{a}{\ell}\Rightarrow\ell=\frac{a}{\ell}\Rightarrow\ell^2=a\) . Comme \(\ell>0\) : \(\boxed{\ell=\sqrt{a}}\) .
Partie B : Vitesse de convergence
5.
\[\begin{aligned}e_{n+1} &= u_{n+1}-\sqrt{a}\\[.35em]&= \frac{u_n^2+a}{2u_n}-\sqrt{a}\\[.35em]&= \frac{u_n^2+a-2\sqrt{a}\,u_n}{2u_n}\\[.35em]&= \frac{(u_n-\sqrt{a})^2}{2u_n}\\[.35em]&= \frac{e_n^2}{2u_n}
.\end{aligned}\]
6. Pour \(n\geqslant 1\) : \(u_n\geqslant\sqrt{a}\) , donc \(\frac{1}{2u_n}\leqslant\frac{1}{2\sqrt{a}}=K\) . D'où \(e_{n+1}\leqslant K\cdot e_n^2\) .
7. \(P(n)\) : \(e_n\leqslant\frac{1}{K}(Ke_1)^{2^{n-1}}\) pour \(n\geqslant 1\) .
Init (\(n=1\) ) :
\[\begin{aligned}\frac{1}{K}(Ke_1)^{2^0} &= \frac{1}{K}\cdot Ke_1\\[.35em]&= e_1
.\end{aligned}\]
Vrai.
Hér. : \(e_{n+1}\leqslant Ke_n^2\leqslant K\bigl(\frac{1}{K}(Ke_1)^{2^{n-1}}\bigr)^2=K\cdot\frac{1}{K^2}(Ke_1)^{2^n}=\frac{1}{K}(Ke_1)^{2^n}\) . \(P(n+1)\) vraie.
8. Si \(Ke_1<1\) (ce qui est le cas dès que \(u_1\) est assez proche de \(\sqrt{a}\) ), alors \((Ke_1)^{2^{n-1}}\to 0\) extrêmement vite . L'exposant \(2^{n-1}\) double à chaque étape, donc le nombre de décimales correctes augmente approximativement d’un facteur deux : c'est la convergence quadratique .
Partie C : Application numérique
9.
\[a=2,\]
\[u_0=1.\]
\[\begin{aligned}u_1 &= \frac{1}{2}(1+2)\\[.35em]&= 1{,}5
.\end{aligned}\]
(\(\sqrt{2}\approx 1{,}4142\ldots\) , \(0\) décimale.)
\[\begin{aligned}u_2 &= \frac{1}{2}(1{,}5+\frac{2}{1{,}5})\\[.35em]&= \frac{1}{2}\times\frac{17}{6}\\[.35em]&\approx 1{,}41\underline{667}
.\end{aligned}\]
(\(2\) décimales.)
\(u_3\approx 1{,}41421\underline{569}\) . (\(5\) décimales.)
\(u_4\approx 1{,}41421356237\underline{469}\) . (\(11\) décimales.)
On voit la convergence quadratique :
\[\begin{aligned}0 &\to 2\\[.35em]&\to 5\\[.35em]&\to 11\end{aligned}\]
décimales. On compte ici les décimales initiales communes, et non un nombre de décimales correctement arrondies.
10. Un petit résidu \(|u^2-a|\) n'est pas directement une erreur sur \(u\) :
\[|u-\sqrt a|=\frac{|u^2-a|}{u+\sqrt a}.\]
Pour \(u\geqslant\sqrt a>0\) , on dispose de l'encadrement \(a/u\leqslant\sqrt a\leqslant u\) . La largeur \(u-a/u\) donne donc un contrôle de l'erreur sans connaître \(\sqrt a\) à l'avance.
def heron(a, eps, max_iter=1000):
if a <= 0 or eps <= 0:
raise ValueError("a et eps doivent etre positifs")
u = max(1.0, a) # garantit u >= sqrt(a)
for n in range(max_iter):
if u - a/u <= eps:
return u, n
suivant = 0.5 * (u + a/u)
if suivant == u:
raise ArithmeticError("Precision machine atteinte")
u = suivant
raise ArithmeticError("Nombre maximal d'iterations atteint")
print(heron(2, 1e-12))Le choix initial est au-dessus de \(\sqrt a\) : si \(a\leqslant1\) , on utilise 1 ; sinon \(a\geqslant\sqrt a\) . En calcul exact, la convergence prouvée assure que la largeur finit par devenir inférieure à toute précision positive. En nombres flottants, ce code détecte une stagnation ; il ne constitue pas un certificat d'arithmétique exacte près de la précision machine.
11. En calcul exact, Héron depuis \(u_0=1\) donne une erreur de l'ordre de \(10^{-24}\) au rang 5 pour \(\sqrt2\) . Une dichotomie depuis \([1,2]\) demande 50 divisions pour une largeur \(<10^{-15}\) . On compare des itérations, pas des durées universelles. Les flottants usuels ne conservent pas 24 décimales fiables.
