Résoudre un problème avec des coordonnées

Un parcours à ton rythme

Ce que tu vas savoir faire

Passer des points aux vecteurs sans inverser les coordonnées.
Choisir entre déterminant, norme, produit scalaire et équation de droite.
Traduire le résultat du calcul en une conclusion géométrique précise.

Tu peux lire la fiche en plusieurs séances. Les exemples montrent chaque étape ; les indices et les corrections restent accessibles quand tu en as besoin.

Les bases utiles avant de commencer

Calculer avec des nombres relatifs et résoudre une équation simple.
Lire les coordonnées d’un point dans un repère ; connaître le théorème de Pythagore.

1. Traduire la question avant de calculer

Une figure donne une intuition : deux droites semblent parallèles, un triangle semble rectangle. Pour démontrer cette observation, choisis un critère adapté. Des coordonnées ne disent pas immédiatement ce qu’il faut calculer ; c’est la question géométrique qui détermine l’outil.

Écris d’abord les données, la nature du repère et le but. Dans un repère quelconque, on peut calculer des coordonnées de vecteurs, un milieu, un déterminant et des équations de droites. Pour employer les formules usuelles de distance et de produit scalaire, le repère doit être orthonormé : axes perpendiculaires et même unité.

Du but géométrique à l’outil de calcul
Ce que l’on cherche	Ce que l’on calcule
Le vecteur de A vers B	Coordonnées de B moins celles de A
Un milieu	Moyennes des deux abscisses et des deux ordonnées
Un alignement ou un parallélisme	Colinéarité des vecteurs ; déterminant nul dans le plan
Une longueur	Norme du vecteur, en repère orthonormé
Une perpendicularité	Produit scalaire nul entre deux vecteurs directeurs non nuls
L’appartenance à une droite	Vérification de son équation ou de ses paramètres

Évite de choisir la pente par réflexe : une droite verticale possède un vecteur directeur et une équation, mais pas de coefficient directeur fini. Les vecteurs et le déterminant traitent ce cas sans division.

2. Écrire les coordonnées dans le bon ordre

Pour $$A(x_A;y_A)$$ et $$B(x_B;y_B)$$ , le déplacement de A vers B est :

\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A\,;\,y_B-y_A).

On soustrait l’arrivée moins le départ, coordonnée par coordonnée. Si tu inverses les points, tu obtiens l’opposé du vecteur. La longueur est la même, mais le sens change. Le milieu $$I$$ , lui, vérifie :

I\left(\frac{x_A+x_B}{2}\,;\,\frac{y_A+y_B}{2}\right).

Les coordonnées d’un milieu utilisent une somme et une division par deux ; celles d’un vecteur utilisent une différence. Les confondre est une erreur de sens avant d’être une erreur de calcul.

Dans le plan, pour $$u=(a;b)$$ et $$v=(c;d)$$ , on calcule $\det(u,v)=ad-bc$ . Le déterminant est nul exactement quand les vecteurs sont colinéaires. Pour conclure que deux droites sont parallèles, leurs vecteurs doivent être des vecteurs directeurs non nuls. Le vecteur nul est colinéaire à tous les vecteurs, mais ne détermine aucune direction.

Exemple 1 · démontrer un alignement

Soient $$A(1;2)$$ , $$B(5;4)$$ et $$C(3;3)$$ . Les points A et B sont distincts. Calculons deux vecteurs ayant le même départ :

\begin{aligned}\overrightarrow{AB}&=(5-1\,;\,4-2)=(4;2),\\\overrightarrow{AC}&=(3-1\,;\,3-2)=(2;1),\\\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})&=4\times1-2\times2=0.\end{aligned}

Les vecteurs sont colinéaires. Comme A et B sont distincts, C appartient à la droite (AB) : les trois points sont alignés. On remarque en outre que $\overrightarrow{AC}=\frac12\overrightarrow{AB}$ , donc C est le milieu de [AB]. Le simple alignement n’aurait pas suffi à démontrer cette position particulière.

3. Contrôler les longueurs et les angles

Dans un repère orthonormé, la distance et le produit scalaire s’écrivent :

AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2},\qquad u\cdot v=ac+bd.

La distance est positive ou nulle. Pour comparer deux longueurs, on peut comparer leurs carrés : cela évite souvent des racines inutiles. Le produit scalaire peut être négatif ; ce n’est pas une longueur. Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux exactement lorsque leur produit scalaire est nul.

Exemple 2 · prouver qu’un triangle est rectangle

Dans un repère orthonormé, $$A(0;0)$$ , $$B(4;0)$$ , $$C(0;3)$$ . Les vecteurs issus de A sont $\overrightarrow{AB}=(4;0)$ et $\overrightarrow{AC}=(0;3)$ . Leur produit scalaire vaut $4\times0+0\times3=0$ . Ils sont non nuls et orthogonaux : ABC est rectangle en A.

Pour vérifier avec les longueurs :

\begin{aligned}AB^2&=4^2=16,\\AC^2&=3^2=9,\\BC^2&=(0-4)^2+(3-0)^2=25.\end{aligned}

On retrouve $$AB^2+AC^2=BC^2$$ . Par la réciproque de Pythagore, le triangle est rectangle au sommet opposé à [BC], donc en A. Il faut nommer le sommet ; « rectangle » seul ne termine pas complètement l’interprétation.

Voir une projection et un produit scalaire

Les deux vecteurs ont une longueur 3. Prévois le signe de leur produit scalaire pour des angles de 60°, 90° et 120°, puis vérifie.

U = (3 ; 0), V = (3 cos θ ; 3 sin θ). H est le projeté orthogonal de V sur la droite (OU). Le dessin se place dans le plan des deux vecteurs.

À 60°, OH vaut algébriquement 1,5 et le produit scalaire vaut 4,5. À 90°, ces deux valeurs sont nulles. À 120°, elles valent −1,5 et −4,5.

Lire les valeurs et les coordonnées

À 60°, OH vaut algébriquement 1,5 et le produit scalaire vaut 4,5. À 90°, ces deux valeurs sont nulles. À 120°, elles valent −1,5 et −4,5.

Le projeté peut être du côté opposé à U. Explique pourquoi la projection signée, contrairement à une distance, peut être négative.

Dans la manipulation, les coordonnées changent avec l’angle. Le produit scalaire distingue angle aigu, droit et obtus. La projection signée peut devenir négative alors que les deux longueurs restent positives.

4. Décrire une droite et vérifier un point

Dans le plan, $$ax+by+c=0$$ définit une droite si $(a;b)\neq(0;0)$ . Un vecteur directeur est $$(-b;a)$$ . En repère orthonormé, $$(a;b)$$ est un vecteur normal. Pour vérifier qu’un point appartient à cette droite, remplace x et y par ses coordonnées et vérifie que le membre de gauche vaut zéro.

Par exemple, la droite passant par $$A(1;2)$$ , de vecteur directeur $$(4;2)$$ , a pour équation $$x-2y+3=0$$ : le vecteur $$(2;1)$$ en donne la même direction, et A vérifie $$1-4+3=0$$ . L’équation réduite $$y=x/2+3/2$$ est ici possible, car la droite n’est pas verticale.

Dans l’espace, on peut écrire un point de droite comme $M=P+t\,u$ , avec un seul réel $$t$$ commun aux trois coordonnées et un vecteur $u\neq0$ . Trouver trois paramètres différents, un par coordonnée, ne démontre aucune appartenance.

Exemple 3 · vérifier une appartenance dans l’espace

La droite passe par $$P(1;-1;2)$$ et a pour vecteur directeur $$u=(2;1;-1)$$ . Une représentation paramétrique est :

\begin{cases}x=1+2t,\\y=-1+t,\\z=2-t,\end{cases}\qquad t\in\mathbb R.

Le point $$Q(5;1;0)$$ appartient-il à la droite ? La première coordonnée impose $$5=1+2t$$ , donc $$t=2$$ . Avec ce même paramètre, les deux autres donnent $$-1+2=1$$ et $$2-2=0$$ , qui sont bien les coordonnées de Q. Les trois égalités sont vérifiées, donc Q appartient à la droite. Le point $$(5;1;1)$$ , lui, échouerait à la troisième égalité.

5. Choisir seul le bon critère

À toi de jouer · à ton rythme

Exercice 1 · déplacement et milieu

Pour $$A(-2;1)$$ et $$B(4;5)$$ , calcule $\overrightarrow{AB}$ , le milieu I de [AB] et la distance AB dans un repère orthonormé.

Tu peux chercher sur papier, demander une piste ou lire directement la correction. Reprends ensuite une étape avec tes propres mots.

Indice 1 · par où commencer

Sépare trois calculs : différence, moyenne, puis racine d’une somme de carrés.

Indice 2 · avancer d’une étape

Les coordonnées du vecteur sont $$(6;4)$$ . Pour la distance, calcule $$6^2+4^2$$ .

Voir le corrigé entièrement rédigé

On a $\overrightarrow{AB}=(4-(-2);5-1)=(6;4)$ . Le milieu est $$I((-2+4)/2;(1+5)/2)=I(1;3)$$ . Enfin, $AB=\sqrt{36+16}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$ . La racine donne la distance exacte ; le couple $$(6;4)$$ décrit un déplacement, pas une distance.

À toi de jouer · à ton rythme

Exercice 2 · aligner un troisième point

Détermine le réel k pour que $$A(1;1)$$ , $$B(3;5)$$ , $$C(k;7)$$ soient alignés.

Tu peux chercher sur papier, demander une piste ou lire directement la correction. Reprends ensuite une étape avec tes propres mots.

Indice 1 · par où commencer

A et B sont distincts. Écris $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ , puis impose un déterminant nul.

Indice 2 · avancer d’une étape

Tu obtiens $2\times6-4(k-1)=0$ .

Voir le corrigé entièrement rédigé

Les vecteurs sont $\overrightarrow{AB}=(2;4)$ , $\overrightarrow{AC}=(k-1;6)$ . Leur déterminant vaut $$12-4(k-1)=16-4k$$ . Il est nul si et seulement si $$k=4$$ . Pour cette valeur, $\overrightarrow{AC}=(3;6)=1,5\overrightarrow{AB}$ , ce qui contrôle le résultat. L’ensemble des valeurs cherchées est donc $\{4\}$ .

À toi de jouer · à ton rythme

Bilan · une droite verticale et une intersection

Une droite d passe par $$A(2;-1)$$ et $$B(2;4)$$ . Donne son équation, puis son point d’intersection avec $$e : y=3x-2$$ . Explique pourquoi calculer une pente pour d ne convient pas.

Tu peux chercher sur papier, demander une piste ou lire directement la correction. Reprends ensuite une étape avec tes propres mots.

Indice 1 · par où commencer

Les deux abscisses sont égales. Tous les points de d ont donc quelle abscisse ?

Indice 2 · avancer d’une étape

Remplace x par 2 dans l’équation de e. La formule d’une pente aurait un dénominateur nul.

Voir le corrigé entièrement rédigé

Les points A et B sont distincts et ont l’abscisse 2. La droite d a pour équation $$x=2$$ . Un point commun avec e doit donc vérifier $y=3\times2-2=4$ : l’intersection est $$B(2;4)$$ . La pente calculée par $$(4-(-1))/(2-2)$$ n’est pas définie. Cela n’empêche ni de décrire la droite verticale ni de trouver son intersection. Le vecteur directeur $$(0;5)$$ , lui, est parfaitement défini.

Pour relire ta solution, contrôle le sens des vecteurs, les conditions sur le repère, le caractère non nul des directions et la phrase de conclusion. Les calculs répondent à une question sur des points, des droites ou des distances : reviens toujours à ces objets à la fin.