Un parcours à ton rythme
Ce que tu vas savoir faire
- Reconnaître les coefficients après avoir ramené l’équation à zéro.
- Choisir entre factorisation, carré complété et discriminant.
- Justifier les trois cas du discriminant et traiter un coefficient quadratique nul.
- Contrôler les solutions dans le domaine et dans l’équation de départ.
Tu peux lire la fiche en plusieurs séances. Les exemples montrent chaque étape ; les indices et les corrections restent accessibles quand tu en as besoin.
Les bases utiles avant de commencer
- Développer un produit et reconnaître une identité remarquable.
- Résoudre une équation du premier degré et utiliser la règle du produit nul.
- Calculer avec des fractions, des nombres négatifs et des racines carrées.
1. Définir ce que l’on cherche avant de calculer
Résoudre une équation, c’est trouver toutes les valeurs autorisées de l’inconnue pour lesquelles les deux membres sont égaux. Ici, nous cherchons des solutions réelles. Une équation peut avoir deux solutions, une seule, aucune, ou même tous les réels dans certains cas particuliers. Le nombre de lignes écrites ne décide pas de la réponse : ce sont les transformations et leurs conditions qui la justifient.
La forme de référence est \(ax^2+bx+c=0\), avec \(a\ne0\). Le coefficient \(a\) multiplie \(x^2\), le coefficient \(b\) multiplie \(x\), et \(c\) est le terme constant. Un terme absent a un coefficient nul. Dans \(-x^2+7=0\), par exemple, \(a=-1\), \(b=0\) et \(c=7\). Le signe fait partie du coefficient.
On ramène d’abord tous les termes dans le même membre en effectuant la même opération des deux côtés. On ne lit pas les coefficients avant cette réduction : dans \(2x^2=5x+3\), les nombres \(5\) et \(3\) changent de signe lorsqu’on les soustrait aux deux membres.
On obtient donc \(a=2\), \(b=-5\), \(c=-3\). Nous reprendrons cette équation après avoir compris le rôle du discriminant. Écrire ces trois nombres sur une ligne séparée évite de porter une erreur de signe jusqu’à la fin.
Et si le coefficient de \(x^2\) est nul ?
Si \(a=0\), l’équation n’est plus du second degré. On étudie \(bx+c=0\). Pour \(b\ne0\), elle a la solution \(-c/b\). Si \(b=0\), il reste \(c=0\) : cette égalité est vraie pour tout réel lorsque \(c=0\), et fausse pour tout réel lorsque \(c\ne0\). Ce sont des réponses complètes, pas des cas à faire entrer de force dans une formule contenant \(2a\).
Un paramètre peut faire disparaître le second degré
Considérons \((m-1)x^2+2x-1=0\). Pour \(m=1\), remplacer le paramètre avant de diviser donne :
La vérification est immédiate dans l’équation obtenue : \(2\times\frac12-1=0\). Il existe une solution, alors que la formule du second degré aurait un dénominateur nul. Pour les autres valeurs de \(m\), le coefficient quadratique ne s’annule pas ; nous étudierons ces cas dans le dernier exercice.
2. Regarder la forme : parfois la factorisation suffit
Le discriminant est une méthode générale. Avant de l’utiliser, regarde toutefois si l’équation fait déjà apparaître un produit, un facteur commun ou une différence de carrés. Factoriser peut rendre les solutions visibles et permet souvent une vérification indépendante.
La propriété utile est précise : un produit est nul si et seulement si au moins l’un de ses facteurs est nul. Il faut donc un zéro dans l’autre membre. L’équation \((x-1)(x+2)=6\) ne permet pas de conclure \(x=1\) ou \(x=-2\) : ces valeurs rendraient le produit nul, alors qu’on lui demande de valoir six.
Conserver la solution que ferait perdre une division
Résolvons \(3x^2=12x\). On soustrait \(12x\), puis on met le facteur commun \(3x\) en évidence :
Le produit est nul lorsque \(3x=0\) ou \(x-4=0\). L’ensemble des solutions est donc \(S=\{0;4\}\). Les deux vérifications portent sur l’équation initiale :
Diviser directement \(3x^2=12x\) par \(x\) n’est permis que si \(x\ne0\). On trouverait alors quatre, mais on aurait écarté zéro sans l’examiner. La factorisation traite les deux possibilités ensemble.
Une identité remarquable joue le même rôle. Comme \(u^2-v^2=(u-v)(u+v)\), l’équation \(4x^2-9=0\) devient \((2x-3)(2x+3)=0\). Elle a les solutions \(3/2\) et \(-3/2\). Pour un polynôme unitaire \(x^2+bx+c\), chercher \((x+r)(x+s)\) revient à chercher deux nombres vérifiant \(r+s=b\) et \(rs=c\). Si ces nombres n’apparaissent pas, tu peux changer de méthode ; une factorisation ne doit pas être devinée indéfiniment.
À toi de jouer · à ton rythme
Exercice 1 — Faire apparaître un produit nul
Résous \(x^2=5x\) dans \(\mathbb R\). Explique pourquoi la réponse « cinq » seule est incomplète.
Tu peux chercher sur papier, demander une piste ou lire directement la correction. Reprends ensuite une étape avec tes propres mots.
Indice 1 · par où commencer
Soustrais \(5x\) des deux côtés, puis cherche le facteur présent dans les deux termes.
Indice 2 · avancer d’une étape
On obtient \(x(x-5)=0\). Chaque facteur fournit une possibilité distincte.
Voir le corrigé entièrement rédigé
Les transformations donnent :
Le premier facteur s’annule en zéro ; le second en cinq. Ainsi \(S=\{0;5\}\). Pour zéro, les deux membres valent zéro ; pour cinq, ils valent vingt-cinq. La réponse limitée à cinq proviendrait souvent d’une division par \(x\), qui exclut le cas zéro. Pour réessayer, remplace cinq par moins trois et refais les deux vérifications.
3. Comprendre le discriminant en complétant un carré
Pourquoi le nombre \(\Delta=b^2-4ac\) décide-t-il du nombre de solutions ? L’idée est de transformer l’équation en un carré égal à un nombre. Dans les réels, un carré est toujours positif ou nul. S’il doit valoir un nombre positif, deux valeurs opposées conviennent ; s’il doit valoir zéro, une seule convient ; s’il doit valoir un nombre négatif, aucune ne convient.
Commençons par un exemple. On veut écrire \(x^2-4x\) à l’aide d’un carré. Or \((x-2)^2=x^2-4x+4\). Le carré contient quatre de trop : il faut donc les retirer. Pour \(2x^2-8x+3\), cela donne, sans modifier la valeur de l’expression :
L’équation \(2x^2-8x+3=0\) équivaut donc à \((x-2)^2=5/2\). On prend les deux possibilités \(x-2=\sqrt{5/2}\) ou \(x-2=-\sqrt{5/2}\). Les solutions exactes sont \(2+\sqrt{5/2}\) et \(2-\sqrt{5/2}\). Oublier le signe moins reviendrait à oublier que deux nombres opposés ont le même carré.
Le même raisonnement avec les coefficients
Pour \(a\ne0\), on met \(a\) en facteur, puis on complète le carré intérieur. La moitié du coefficient \(b/a\) est \(b/(2a)\) :
En posant \(\Delta=b^2-4ac\), l’équation se réécrit :
Le dénominateur \(4a^2\) est strictement positif. Le membre de droite a donc exactement le signe de \(\Delta\), même lorsque \(a\) est négatif. Voilà la raison des trois cas. Pour obtenir les formules usuelles, on peut aussi multiplier par \(4a^2\) :
Si \(\Delta>0\), on résout séparément \(2ax+b=\sqrt\Delta\) et \(2ax+b=-\sqrt\Delta\). Le dénominateur \(2a\) porte sur tout le numérateur :
Ces deux notations ne garantissent pas que \(x_1<x_2\) : si \(a<0\), la division inverse l’ordre. Pour résoudre une équation, leur ordre importe peu ; pour les placer dans un tableau ou un intervalle, il faut les comparer.
4. Appliquer les trois cas et vérifier le résultat
Deux racines : un calcul complet avec des signes
Reprenons \(2x^2-5x-3=0\). Nous avons \(a=2\), \(b=-5\), \(c=-3\). On calcule le discriminant avant d’introduire une racine carrée :
Le carré de moins cinq vaut vingt-cinq. Le produit \(4ac\) est négatif ; le soustraire revient ici à ajouter vingt-quatre. Comme \(49>0\), deux racines réelles existent et \(\sqrt{49}=7\).
On vérifie dans le polynôme, avec une ligne pour chaque candidat :
Le développement de \((2x+1)(x-3)\) redonne également \(2x^2-5x-3\). C’est un second contrôle. La conclusion est \(S=\{-\frac12;3\}\), et non seulement la liste des valeurs obtenues à la calculatrice.
Une racine double : deux formules, une seule valeur
Pour \(x^2-6x+9=0\), on trouve :
La factorisation est \((x-3)^2=0\). Les deux facteurs sont identiques : on dit que trois est une racine double, mais l’ensemble des solutions contient un seul nombre, \(S=\{3\}\). La vérification donne \(9-18+9=0\).
Aucune racine réelle : comprendre l’impossibilité
En remplaçant neuf par dix, on obtient \(x^2-6x+10=0\). Le discriminant vaut \(36-40=-4\). Il est négatif : aucune solution réelle n’existe. La forme complétée explique ce résultat sans calculatrice :
Cette expression reste strictement positive pour tout réel \(x\). Elle ne peut donc jamais valoir zéro : \(S=\varnothing\). Cela ne signifie pas que la fonction n’existe pas ; elle est définie partout, mais ne s’annule nulle part dans les réels.
5. Relier les calculs à la parabole
Une racine de \(f(x)=ax^2+bx+c\) est une abscisse où \(f(x)=0\). Sur le graphique, elle correspond donc à une intersection avec l’axe horizontal. La forme \(f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta\) place le sommet en \((\alpha;\beta)\). Pour \(a>0\), \(\beta\) est la valeur minimale ; pour \(a<0\), c’est la valeur maximale.
Prévois, puis manipule : garde \(a=1\) et \(\alpha=2\). Compare successivement \(\beta=-1\), \(\beta=0\) et \(\beta=1\). Avant chaque changement, annonce combien d’intersections tu attends avec l’axe. Vérifie ensuite par une équation de carré.
Relier une parabole à sa formule
Pour f(x) = a(x − α)² + β, prévois ce qui change lorsque tu modifies seulement β. Essaie ensuite α, puis a.
Pour f(x) = (x − 2)² − 1, le sommet est S(2 ; −1), les racines sont 1 et 3. Changer −1 en +1 relève chaque point de 2 unités : il n’y a plus de racine réelle.
Lire les valeurs et les coordonnées
Pour f(x) = (x − 2)² − 1, le sommet est S(2 ; −1), les racines sont 1 et 3. Changer −1 en +1 relève chaque point de 2 unités : il n’y a plus de racine réelle.
Trouve successivement une courbe avec deux racines, une racine et aucune racine réelle. Justifie à partir du signe de −β/a.
| Fonction | Équation équivalente | Solutions exactes |
|---|---|---|
| \((x-2)^2-1\) | \((x-2)^2=1\) | \(1\) et \(3\) |
| \((x-2)^2\) | \((x-2)^2=0\) | \(2\), racine double |
| \((x-2)^2+1\) | \((x-2)^2=-1\) | Aucune solution réelle |
Avec \(a=-1\), le sommet devient un maximum : ce qui se passait au-dessus et au-dessous s’inverse. Avec \(a=0\), cette manipulation de la forme canonique représente seulement la constante \(\beta\). Elle n’affiche pas les équations linéaires \(bx+c=0\), car le terme en \(x\) de cette famille disparaît lui aussi.
Le graphique aide à prévoir et à contrôler. Il ne transforme pas une lecture arrondie en valeur exacte. Si une racine vaut \(2+\sqrt{5/2}\), un affichage décimal reste une approximation. Une racine peut également être hors de la fenêtre dessinée. L’algèbre permet d’affirmer qu’on a trouvé toutes les solutions, y compris celles que l’écran ne montre pas.
6. Revenir à l’équation initiale : domaine et contexte
Une équation peut conduire à un polynôme du second degré sans que tous les réels soient autorisés au départ. Un dénominateur ne peut pas s’annuler ; un contexte géométrique peut imposer une longueur positive. Note ces restrictions avant de transformer l’équation, puis filtre les candidats à la fin.
Une racine du numérateur n’est pas toujours une solution
Résolvons \(\frac{x^2-5x+6}{x-2}=0\). Le domaine est \(D=\mathbb R\setminus\{2\}\). Pour \(x\in D\), le dénominateur est non nul : la fraction vaut zéro exactement lorsque son numérateur vaut zéro.
Le calcul fournit les candidats deux et trois. Deux est interdit dans l’expression initiale ; trois convient et donne \((9-15+6)/(3-2)=0\). Ainsi \(S=\{3\}\). Simplifier la fraction en \(x-3\) est possible sur \(D\), mais ne réintroduit jamais la valeur interdite deux.
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Exercice 2 — Une racine double interdite
Résous \(\frac{x^2-1}{x-1}=2\) dans son domaine de définition. Une équation polynomiale peut-elle fournir une racine, et l’équation initiale n’avoir aucune solution ?
Tu peux chercher sur papier, demander une piste ou lire directement la correction. Reprends ensuite une étape avec tes propres mots.
Indice 1 · par où commencer
Commence par \(x\ne1\). Sur ce domaine seulement, tu peux multiplier les deux membres par \(x-1\).
Indice 2 · avancer d’une étape
L’équation devient \(x^2-2x+1=0\), soit \((x-1)^2=0\). Compare le candidat au domaine.
Voir le corrigé entièrement rédigé
Le domaine est \(\mathbb R\setminus\{1\}\). Pour une valeur de ce domaine, les étapes sont équivalentes :
Le seul candidat est un, qui n’appartient pas au domaine. L’ensemble des solutions est donc vide. On peut aussi simplifier la fraction en \(x+1\), toujours avec \(x\ne1\), et retrouver le même candidat exclu. Il n’y a aucune contradiction : l’équation polynomiale est étudiée sous la restriction initiale. Pour réessayer, remplace le membre de droite deux par trois.
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Exercice 3 — Choisir la méthode selon un paramètre
Pour chaque réel \(m\), détermine le nombre de solutions réelles de \((m-1)x^2+2x-1=0\), puis donne les solutions. Traite séparément \(m=1\), \(m=0\), \(m<0\) et \(m>0\) avec \(m\ne1\).
Tu peux chercher sur papier, demander une piste ou lire directement la correction. Reprends ensuite une étape avec tes propres mots.
Indice 1 · par où commencer
Le coefficient du second degré est \(m-1\). Lorsqu’il est nul, utilise l’équation linéaire. Dans les autres cas, calcule le discriminant sans développer les formules des racines trop tôt.
Indice 2 · avancer d’une étape
Pour \(m\ne1\), \(\Delta=2^2-4(m-1)(-1)=4m\). Son signe est celui de \(m\).
Voir le corrigé entièrement rédigé
Si \(m=1\), il reste \(2x-1=0\), donc \(S=\{1/2\}\). Pour \(m\ne1\), on peut utiliser le discriminant :
Si \(m<0\), il est négatif et il n’existe aucune solution réelle. Si \(m=0\), l’équation est \(-x^2+2x-1=-(x-1)^2=0\) : une seule solution, un, qui est double. Enfin, si \(m>0\) et \(m\ne1\), il existe deux solutions distinctes :
Ces expressions ne doivent pas être évaluées en \(m=1\) : leur dénominateur s’y annule. Pour vérifier un cas, prends \(m=4\). On obtient les racines \(-1\) et \(1/3\) de \(3x^2+2x-1\), et la factorisation \((3x-1)(x+1)\) confirme les deux. Pour réessayer sans le modèle, étudie \((m-2)x^2+x=0\) par factorisation et traite le paramètre qui annule le coefficient quadratique.
Après comparaison, où en es-tu ?
Une réponse à interpréter
Si un rectangle a un périmètre de vingt unités et une aire de vingt-quatre unités carrées, une longueur \(x\) laisse l’autre égale à \(10-x\). Le domaine géométrique est \(0<x<10\). L’aire impose \(x(10-x)=24\), donc \(x^2-10x+24=0\). Les racines quatre et six sont toutes les deux autorisées : elles décrivent le même rectangle, avec les rôles de longueur et largeur échangés. Donner seulement des nombres sans revenir au contexte ferait manquer cette information.
Pour vérifier ton autonomie : choisis une équation de chaque forme — un produit, un carré, une équation avec discriminant et une fraction. Explique à voix haute pourquoi tu choisis ta méthode, puis pourquoi aucune solution n’a été perdue ou ajoutée. Si une étape bloque, reviens à l’exemple correspondant et change une valeur avant de réessayer.