Résoudre une équation trigonométrique

Un parcours à ton rythme

Ce que tu vas savoir faire

Relier sinus et cosinus aux coordonnées du cercle.
Résoudre une équation simple sans oublier la seconde famille.
Traiter un angle composé puis filtrer les solutions dans un intervalle.

Tu peux lire la fiche en plusieurs séances. Les exemples montrent chaque étape ; les indices et les corrections restent accessibles quand tu en as besoin.

Les bases utiles avant de commencer

Repérer les coordonnées d’un point et lire les signes sur les axes.
Connaître les angles remarquables et le lien entre degrés et radians.
Résoudre une équation du premier degré.

1. Dessiner ce que l’équation demande

Sur le cercle trigonométrique, le point d’angle x a pour coordonnées $(\cos x;\sin x)$ . Le cosinus se lit horizontalement, le sinus verticalement. Résoudre $\cos x=c$ , c’est chercher les points du cercle ayant l’abscisse c. Résoudre $\sin x=c$ , c’est chercher ceux dont l’ordonnée vaut c.

Le cercle a un rayon égal à 1 : sinus et cosinus prennent leurs valeurs dans $$[-1;1]$$ . Commence donc par contrôler le second membre. L’équation $\sin x=1,2$ n’a aucune solution réelle. Ce contrôle évite de lancer une recherche impossible.

Un tour complet ajoute $2\pi$ radians sans changer le point. Les angles ne se limitent pas à un tour : en général, une équation trigonométrique admet une infinité de solutions réelles. L’intervalle demandé dans l’énoncé sert ensuite à sélectionner celles que l’on garde.

On utilise les radians dans cette fiche. Pour convertir, $180^\circ=\pi$ radians : $60^\circ=\pi/3$ , $45^\circ=\pi/4$ , $30^\circ=\pi/6$ . Ne mélange pas une valeur en degrés et un terme $2k\pi$ en radians. Si tu utilises une calculatrice, son mode doit correspondre à l’unité de l’énoncé.

Lire sinus et cosinus sur le cercle

Pour θ = π/3, prévois le signe du sinus et du cosinus. Déplace le point, puis compare deux angles séparés par un tour complet.

Cercle de rayon 1. M = (cos θ ; sin θ). H et K sont les projections sur les axes. Un tour complet correspond à 2π radians.

À π/3, cos θ = 1/2 et sin θ = √3/2. À 2π/3, le cosinus change de signe, le sinus reste égal à √3/2. À −π/3, le sinus change de signe, le cosinus reste égal à 1/2.

Lire les valeurs et les coordonnées

À π/3, cos θ = 1/2 et sin θ = √3/2. À 2π/3, le cosinus change de signe, le sinus reste égal à √3/2. À −π/3, le sinus change de signe, le cosinus reste égal à 1/2.

Explique avec le dessin pourquoi cos² θ + sin² θ = 1, puis retrouve les coordonnées pour θ + 2π.

Pour un cosinus donné strictement entre −1 et 1, observe les deux points symétriques par rapport à l’axe horizontal. Pour un sinus donné, observe la symétrie par rapport à l’axe vertical. C’est la raison des deux familles qui apparaissent dans la résolution.

2. Écrire les solutions générales

Si tu reconnais un angle $\alpha$ , utilise les équivalences suivantes :

\cos x=\cos\alpha\iff x=\alpha+2k\pi\ \text{ou}\ x=-\alpha+2k\pi,\quad k\in\mathbb Z.

\sin x=\sin\alpha\iff x=\alpha+2k\pi\ \text{ou}\ x=\pi-\alpha+2k\pi,\quad k\in\mathbb Z.

Dans chaque famille, k parcourt les entiers positifs, nuls et négatifs. Les deux familles peuvent se confondre dans les cas extrêmes ; on ne compte alors pas deux fois le même angle. Pour $\cos x=1$ , les solutions sont $2k\pi$ . Pour $\cos x=-1$ , ce sont $\pi+2k\pi$ .

Si la valeur n’est pas remarquable, tu peux poser $\alpha=\arccos(c)$ pour le cosinus, ou $\alpha=\arcsin(c)$ pour le sinus, avec $c\in[-1;1]$ . La calculatrice donne une valeur principale ; elle ne fournit pas automatiquement toutes les solutions. Garde l’expression exacte avec cette notation ou l’arrondi demandé, puis applique les mêmes familles.

Exemple 1 · un cosinus sur un tour

Résolvons $\cos x=1/2$ sur $[0;2\pi[$ . On reconnaît $\cos(\pi/3)=1/2$ . Les solutions réelles sont donc $x=\pi/3+2k\pi$ ou $x=-\pi/3+2k\pi$ .

Dans la première famille, seul $$k=0$$ donne un angle dans l’intervalle : $\pi/3$ . Dans la seconde, $$k=1$$ donne $-\pi/3+2\pi=5\pi/3$ . Le choix $$k=0$$ donnerait un angle négatif, hors intervalle. Ainsi :

S=\left\{\frac\pi3;\frac{5\pi}3\right\}.

Ces deux points ont bien l’abscisse 1/2, l’un au-dessus et l’autre au-dessous de l’axe horizontal. L’intervalle contient 0, mais exclut $2\pi$ ; les crochets font partie de la consigne.

À toi de jouer · à ton rythme

Pause · changer l’intervalle

Résous $\cos x=1/2$ sur $[-\pi;\pi]$ . La valeur du cosinus n’a pas changé ; seule la sélection finale change.

Tu peux chercher sur papier, demander une piste ou lire directement la correction. Reprends ensuite une étape avec tes propres mots.

Indice 1 · par où commencer

Pars des mêmes familles $x=\pm\pi/3+2k\pi$ .

Indice 2 · avancer d’une étape

Le choix $$k=0$$ convient désormais dans les deux familles. Un tour ajouté ou soustrait sortirait de l’intervalle.

Voir le corrigé entièrement rédigé

Dans $[-\pi;\pi]$ , les solutions sont $-\pi/3$ et $\pi/3$ . Elles ont le même cosinus, par symétrie par rapport à l’axe horizontal. Les représentants $5\pi/3$ et $-\pi/3$ décrivent le même point du cercle, mais seul le second appartient ici à l’intervalle imposé.

3. Utiliser le signe pour contrôler les solutions

Exemple 2 · un sinus négatif

Résolvons $\sin x=-\sqrt3/2$ sur $[0;2\pi[$ . Le sinus est négatif : les points sont dans la moitié inférieure du cercle. Un angle connu est $\alpha=-\pi/3$ .

Les deux familles sont $x=-\pi/3+2k\pi$ et $x=\pi-(-\pi/3)+2k\pi=4\pi/3+2k\pi$ . Dans l’intervalle demandé, elles donnent respectivement $5\pi/3$ avec $$k=1$$ , et $4\pi/3$ avec $$k=0$$ . On écrit donc :

S=\left\{\frac{4\pi}3;\frac{5\pi}3\right\}.

Les deux angles sont compris entre $\pi$ et $2\pi$ , ce qui confirme le signe attendu. Une réponse $2\pi/3$ aurait un sinus positif : un dessin ou un contrôle de signe suffit à détecter cette erreur.

Il est utile de séparer trois étapes sur la copie : reconnaître une valeur, écrire les familles, puis filtrer. Tout mettre sur une seule ligne cache souvent la raison pour laquelle un entier k a été choisi.

4. Résoudre d’abord pour l’angle entier

Dans $\cos(2x)=c$ ou $\sin(3x-\pi/4)=c$ , le cercle décrit l’angle placé dans la fonction. Tu peux le nommer $$t$$ , résoudre pour t, puis revenir à x. Quand tu divises, divise aussi le terme périodique : $2x=\alpha+2k\pi$ donne $x=\alpha/2+k\pi$ .

Exemple 3 · une fréquence doublée

Résolvons $\cos(2x)=1/2$ sur $[0;2\pi[$ . Les familles pour l’angle $$2x$$ sont $2x=\pi/3+2k\pi$ et $2x=-\pi/3+2k\pi$ . En divisant par 2 :

x=\frac\pi6+k\pi\quad\text{ou}\quad x=-\frac\pi6+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z.

Dans la première famille, $$k=0$$ et $$k=1$$ donnent $\pi/6$ et $7\pi/6$ . Dans la seconde, $$k=1$$ et $$k=2$$ donnent $5\pi/6$ et $11\pi/6$ . Les autres entiers sortent de l’intervalle. Ainsi :

S=\left\{\frac\pi6;\frac{5\pi}6;\frac{7\pi}6;\frac{11\pi}6\right\}.

Il y a quatre solutions, car lorsque x parcourt un tour, l’angle 2x en parcourt deux. Limiter trop tôt 2x à $[0;2\pi[$ aurait fait perdre deux solutions. La sélection doit toujours porter sur la variable de l’énoncé.

5. S’entraîner et vérifier les bornes

À toi de jouer · à ton rythme

Exercice 2 · une valeur positive

Résous $\sin x=1/2$ sur $[-\pi;\pi]$ .

Tu peux chercher sur papier, demander une piste ou lire directement la correction. Reprends ensuite une étape avec tes propres mots.

Indice 1 · par où commencer

Tu connais $\sin(\pi/6)=1/2$ . La seconde famille utilise $\pi-\pi/6$ .

Indice 2 · avancer d’une étape

Les angles $\pi/6$ et $5\pi/6$ sont déjà dans l’intervalle. Leur ajouter ou soustraire un tour les en fait sortir.

Voir le corrigé entièrement rédigé

Les familles générales sont $x=\pi/6+2k\pi$ et $x=5\pi/6+2k\pi$ , avec $k\in\mathbb Z$ . Seul $$k=0$$ convient dans chacune sur $[-\pi;\pi]$ . L’ensemble des solutions est donc $\{\pi/6;5\pi/6\}$ . Les deux angles se trouvent dans la moitié supérieure du cercle, ce qui correspond à un sinus positif.

À toi de jouer · à ton rythme

Bilan · un angle décalé et des bornes incluses

Résous $\sin(2x-\pi/3)=0$ sur $[0;\pi]$ . Explique pourquoi on peut utiliser une seule famille.

Tu peux chercher sur papier, demander une piste ou lire directement la correction. Reprends ensuite une étape avec tes propres mots.

Indice 1 · par où commencer

Le sinus d’un angle est nul exactement quand cet angle est un multiple entier de $\pi$ .

Indice 2 · avancer d’une étape

Écris $2x-\pi/3=k\pi$ , puis $x=\pi/6+k\pi/2$ . Cherche les entiers k autorisés par l’intervalle.

Voir le corrigé entièrement rédigé

Le sinus s’annule aux points du cercle situés sur l’axe horizontal, soit pour les angles $k\pi$ . L’équation équivaut donc à $x=\pi/6+k\pi/2$ . La condition $0\leqslant x\leqslant\pi$ donne $-1/3\leqslant k\leqslant5/3$ . Les entiers possibles sont 0 et 1. On obtient $S=\{\pi/6;2\pi/3\}$ . En remplaçant, les angles intérieurs sont 0 et $\pi$ , dont les sinus valent bien zéro. Une seule famille suffit ici parce qu’elle regroupe les deux extrémités du diamètre horizontal.

Avant de conclure, vérifie l’unité, le signe, les deux familles éventuelles, la division du terme périodique et l’appartenance de chaque solution à l’intervalle. Enfin, supprime les doublons : un ensemble ne répète pas ses éléments.