Lire et résumer des données · Seconde professionnelle

Avant de commencer5 questions pour vérifier tes bases

1. Une bibliothèque compte 12 emprunts lundi, 8 mardi et 15 mercredi. Combien d’emprunts sur les trois jours ?

35153

2. Quelle comparaison est correcte ?

3,09 < 3,13,09 > 3,13,09 = 3,1

3. Entre 0 et 1, une droite est partagée en 4 intervalles égaux. Quelle est la troisième graduation après 0 ?

1,250,30,75

4. Quel nombre est le plus grand : −7, −2 ou 0 ?

0−7−2

5. Une bande est partagée en 5 parts égales ; 2 sont coloriées. Quelle fraction est coloriée ?

5/22/32/5

Pourquoi ce chapitre ?

Moyenne, médiane et dispersion répondent à des questions différentes. Les utiliser ensemble évite de résumer une série par un seul nombre trompeur. Ton parcours. Module du programme professionnel pour les groupements A, B, C. Les automatismes, le raisonnement et les outils numériques se travaillent tout au long du parcours.

Organiser une série statistique.
Passer des effectifs aux fréquences.
Calculer et interpréter une moyenne.
Médiane et quartiles.
Comparer la dispersion de deux séries.

L’idée avant la formule

La moyenne répartit un total, la médiane partage les observations ordonnées et l’étendue mesure l’écart entre les extrêmes. Une valeur atypique peut les modifier différemment.

Le cours formel

Organiser une série statistique

Intuition · Construire la notion pas à pas

Dire ce que l'on observe. La population est l'ensemble des individus étudiés ; un individu peut être une personne, une pièce fabriquée ou une journée. Le caractère est l'information relevée sur chacun. Une étude de 60 pièces portant sur leur longueur ne confond donc pas le nombre de pièces et les longueurs mesurées.

Distinguer catégorie, dénombrement et mesure. Un métier est une catégorie : le caractère est qualitatif. Un nombre d'absences se compte en entiers : il est quantitatif discret. Une masse se mesure et peut prendre des valeurs intermédiaires : elle est quantitative continue, même si l'appareil arrondit l'affichage.

Organiser sans perdre ni compter deux fois. L'effectif d'une valeur ou d'une classe compte les observations qui lui correspondent. La somme des effectifs doit retrouver le total. Pour des classes, les bornes doivent attribuer chaque observation à une seule classe ; $$[10;20[$$ contient 10 mais exclut 20.

Choisir un graphique fidèle. Des barres représentent des catégories ; des bâtons conviennent aux valeurs discrètes. Dans un histogramme, les classes occupent leur largeur réelle. Lorsque les largeurs diffèrent, c'est l'aire du rectangle, et non sa seule hauteur, qui représente l'effectif.

Définition · Comprendre la notion

Une étude statistique observe une population et un caractère. Le caractère est qualitatif s'il décrit une catégorie, quantitatif s'il est numérique. Un caractère quantitatif discret prend des valeurs séparées ; un caractère continu décrit notamment une mesure. Un tableau associe à chaque valeur ou classe son effectif. La somme des effectifs donne la taille totale $$N$$ de la population. Les classes doivent couvrir les observations sans chevauchement : dans $$[10;20[$$ , la valeur 20 est exclue et appartient à la classe suivante. Choisis une représentation cohérente : barres pour des catégories, bâtons pour des valeurs discrètes, histogramme pour des classes. Pour des classes d'amplitudes différentes, ce sont les aires des rectangles qui doivent représenter les effectifs.

Passer des effectifs aux fréquences

Intuition · Construire la notion pas à pas

Comparer une partie au tout. L'effectif indique combien d'observations appartiennent à une catégorie. La fréquence indique quelle part de la population elles représentent : $$f=n/N$$ . Deux groupes de tailles différentes ne se comparent donc pas seulement par leurs effectifs.

Passer entre trois écritures. La fraction $$9/60$$ , le nombre décimal 0,15 et le pourcentage 15 pour cent décrivent la même proportion. Une fréquence est comprise entre 0 et 1 ; son écriture en pourcentage est comprise entre 0 et 100 pour cent.

Comprendre un cumul. « Au plus 10 » signifie « inférieur ou égal à 10 ». On additionne les effectifs de toutes les valeurs qui satisfont cette condition, puis on divise par l'effectif total. Pour « strictement moins de 10 », on exclurait la catégorie 10.

Contrôler les totaux. Les fréquences exactes de toutes les catégories d'une série complète totalisent 1. Les pourcentages arrondis peuvent totaliser légèrement moins ou plus de 100 pour cent ; on garde les fractions ou les décimales non arrondies pour les calculs intermédiaires.

Calculer et interpréter une moyenne

Intuition · Construire la notion pas à pas

Partager équitablement un total. La moyenne est la valeur que chaque observation aurait si l'on redistribuait le total en parts égales. Elle se calcule donc en divisant la somme par le nombre d'observations.

Tenir compte des répétitions. Si une valeur 5 est observée trois fois, elle contribue $5+5+5=3\times5$ au total. Le tableau d'effectifs condense cette addition ; il ne donne pas le même poids à chaque ligne, mais à chaque observation.

Fusionner des groupes. Une moyenne de 12 pour 20 élèves représente un total de $20\times12=240$ . Pour réunir plusieurs groupes, on reconstitue leurs totaux, on les additionne, puis on divise par l'effectif global. La moyenne des moyennes n'est correcte sans pondération que si les groupes ont le même poids.

Interpréter sans surinterpréter. La moyenne garde l'unité du caractère et se situe entre le minimum et le maximum. Elle peut ne correspondre à aucune valeur observée et elle peut être déplacée par une valeur extrême. Pour des données regroupées en classes, utiliser les centres fournit seulement une approximation.

Médiane et quartiles

Intuition · Construire la notion pas à pas

Chercher une position centrale. Contrairement à la moyenne, la médiane s'appuie sur l'ordre des valeurs. On commence donc par trier la série sans supprimer les répétitions. La position dans cette liste est appelée rang, en commençant ici à 1.

Distinguer effectif impair et pair. Pour N impair, le rang central est $$(N+1)/2$$ . Pour N pair, deux rangs sont centraux : $$N/2$$ et $$N/2+1$$ . La convention de ce cours prend la moyenne des deux valeurs centrales, ce qui peut donner une valeur absente de la série.

Lire les quartiles comme des seuils. Avec la convention scolaire employée, $$Q_1$$ est la première valeur pour laquelle au moins un quart des observations sont inférieures ou égales. Son rang est l'entier supérieur de $$N/4$$ . Pour $$Q_3$$ , on utilise l'entier supérieur de $$3N/4$$ .

Ne pas confondre rang et valeur. Si le rang de $$Q_1$$ est 3, il faut lire la troisième valeur ; on ne conclut pas que $$Q_1=3$$ . Les logiciels peuvent utiliser d'autres conventions avec interpolation : on annonce celle utilisée pour comparer les résultats.

Comparer la dispersion de deux séries

Intuition · Construire la notion pas à pas

Le centre ne décrit pas tout. Deux machines peuvent produire en moyenne la longueur attendue, mais l'une avec des mesures très proches et l'autre avec de forts écarts. Pour apprécier la régularité, on complète moyenne ou médiane par un indicateur de dispersion.

Lire trois indicateurs différents. L'étendue vaut maximum moins minimum et dépend des extrêmes. L'écart interquartile vaut $$Q_3-Q_1$$ et décrit la largeur entre les deux quartiles. L'écart-type utilise toutes les distances à la moyenne.

Pourquoi élever au carré. Les écarts signés à la moyenne se compensent : leur somme vaut zéro. Les carrés empêchent cette compensation. Leur moyenne est la variance ; sa racine carrée est l'écart-type. La racine redonne l'unité des observations, contrairement à la variance qui porte l'unité au carré.

Choisir le bon réglage. Ici, on décrit toute la série observée : la variance est divisée par N. Certains outils affichent aussi une estimation corrigée avec $$N-1$$ ; ce n'est pas le même calcul. Une faible dispersion ne garantit pas à elle seule que chaque observation respecte une tolérance.

Boîte à outils

Exercices progressifs

Les exercices 1 à 5 consolident les bases ; 6 à 10 demandent plusieurs étapes ; 11 à 15 t’invitent à choisir, justifier et contrôler. Cherche avant de consulter les indices.

Exercice 1 : Reconnaître le caractère ★☆☆

On relève le métier, la masse et le nombre d’absences de chaque salarié. Classe ces trois caractères.

Exercice 2 : Une fréquence ★☆☆

Un défaut concerne 9 pièces sur 60. Donne sa fréquence et son pourcentage.

Exercice 3 : Moyenne simple ★☆☆

Calcule la moyenne de 6, 8, 10 et 16.

Exercice 4 : La valeur centrale ★☆☆

Détermine la médiane de 9, 3, 7, 11, 5.

Exercice 5 : Une étendue ★☆☆

Les mesures sont 12, 15, 9, 17 et 14 mm. Calcule l’étendue.

Exercice 6 : Compléter un total ★★☆

Les effectifs de quatre catégories sont 12, 18, 9 et $$n$$ . L’effectif total vaut 50. Trouve $$n$$ .

Exercice 7 : Une proportion cumulée ★★☆

Les notes 8, 10, 12 et 14 ont pour effectifs 3, 5, 8 et 4. Quelle proportion a une note au plus égale à 10 ?

Exercice 8 : Une moyenne pondérée ★★☆

Une durée de 5 min est observée 3 fois et une durée de 8 min, 2 fois. Calcule la moyenne.

Exercice 9 : Un effectif pair ★★☆

Donne la médiane de 2, 4, 6, 10, 12, 18.

Exercice 10 : Un écart-type calculable à la main ★★☆

Pour 2, 4 et 6, calcule la moyenne, la variance de population et l’écart-type.

Exercice 11 : Un histogramme trompeur ★★★

Deux classes $$[0;10[$$ et $$[10;30[$$ ont chacune 20 observations. Si l’aire représente l’effectif, leurs rectangles peuvent-ils avoir la même hauteur ?

Exercice 12 : Comparer deux ateliers ★★★

L’atelier A a 12 défauts sur 200 pièces, B en a 15 sur 500. Lequel a la plus faible fréquence de défauts ?

Exercice 13 : Fusionner des groupes ★★★

Une classe de 20 élèves a une moyenne de 12 ; une classe de 30 a une moyenne de 14. Quelle est la moyenne des 50 élèves ?

Exercice 14 : Des quartiles avec arrondis de rangs ★★★

Pour la série ordonnée 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 12, 16, calcule $$Q_1$$ et $$Q_3$$ avec la convention du cours.

Exercice 15 : Une production régulière ★★★

Deux machines visent 50 mm. A a une moyenne de 50 mm et un écart-type de 0,2 mm ; B a une moyenne de 50 mm et un écart-type de 1,1 mm. Que peut-on conclure et que manque-t-il pour décider la conformité ?

Problème : Pour aller plus loin

Analyser des durées de préparation

Huit préparations ont duré 4, 5, 5, 6, 6, 7, 7 et 16 minutes.

Construis le tableau des effectifs et des fréquences.
Calcule la moyenne et la médiane.
Calcule l’étendue.
Si la durée 16 était remplacée par 8, recalcule les trois indicateurs.
Rédige un bilan sur la préparation typique et la variabilité, sans supprimer une valeur sans justification.

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Démonstration · Solution expliquée

Comprendre la question. On classe la nature de l’information recueillie, pas celle des personnes observées.

Construire la réponse.

Le métier désigne une catégorie, par exemple mécanicien ou comptable. Il ne représente pas une quantité mesurée : c’est un caractère qualitatif.
La masse est une mesure qui peut prendre des valeurs intermédiaires, par exemple 68,2 kg : c’est un caractère quantitatif continu.
Le nombre d’absences compte des événements entiers : 0, 1, 2, etc. C’est un caractère quantitatif discret.

Vérifier. Coder les métiers par des numéros ne les transforme pas en quantités. Inversement, arrondir une masse au kilogramme ne change pas la nature mesurée du caractère.

Conclure. Métier : qualitatif ; masse : quantitatif continu ; nombre d’absences : quantitatif discret.

Corrigé 2

Corrigé 3

Corrigé 4

Corrigé 5

Corrigé 6

Corrigé 7

Corrigé 8

Corrigé 9

Corrigé 10

Corrigé 11

Démonstration · Solution expliquée

Comprendre la question. Les classes ont le même effectif mais des largeurs différentes ; l’aire doit rester la même.

Construire la réponse.

La largeur de $$[0;10[$$ est $$10-0=10$$ , celle de $$[10;30[$$ est $$30-10=20$$ .
En choisissant l’aire égale à l’effectif, la première hauteur vaut $$20/10=2$$ .
La seconde hauteur vaut $$20/20=1$$ , soit la moitié de la première.
À hauteur égale, la seconde aire serait deux fois plus grande à cause de sa largeur double ; cela représenterait à tort un effectif double.

Vérifier. Les aires obtenues sont $10\times2=20$ et $20\times1=20$ . Une autre échelle verticale commune changerait les hauteurs mais conserverait leur rapport de 2 à 1.

Conclure. Les hauteurs ne peuvent pas être égales : la classe deux fois plus large doit avoir une hauteur deux fois plus petite.

Corrigé 12

Corrigé 13

Corrigé 14

Démonstration · Solution expliquée

Comprendre la question. On calcule d’abord des positions entières, puis on lit les valeurs de la série ordonnée.

Construire la réponse.

Il y a 9 valeurs. Pour $$Q_1$$ ,
$\begin{aligned}N/4 &= 9/4\\[.35em] &= 2{,}25\end{aligned}$
le premier rang entier au moins égal est 3.
La troisième valeur est 4, donc $$Q_1=4$$ .
Pour $$Q_3$$ ,
$\begin{aligned}3N/4 &= 27/4\\[.35em] &= 6{,}75\end{aligned}$
le rang retenu est 7.
La septième valeur est 10, donc $$Q_3=10$$ . L’écart interquartile vaut $$10-4=6$$ .

Vérifier. Au rang 2, seulement $$2/9$$ des valeurs sont couvertes, moins d’un quart ; au rang 3, $$3/9$$ le sont. De même, $$6/9$$ est inférieur à trois quarts, tandis que $$7/9$$ les atteint ou les dépasse.

Conclure. Avec la convention annoncée, $$Q_1=4$$ , $$Q_3=10$$ et l’écart interquartile est 6.

Corrigé 15

Démonstration · Solution expliquée

Comprendre la question. On compare le centrage et la régularité, puis on distingue ces constats d’une garantie de conformité.

Construire la réponse.

Les deux moyennes valent la cible de 50 mm : les deux productions sont centrées sur cette cible en moyenne.
L’écart-type de A vaut 0,2 mm contre 1,1 mm pour B. Comme $$0{,}2<1{,}1$$ , A est plus regroupée autour de sa moyenne.
Pour décider la conformité, il faut connaître l’intervalle de tolérance accepté et comparer les mesures individuelles à ses bornes.

Vérifier. Une petite proportion de valeurs éloignées peut exister même avec une moyenne correcte et un écart-type faible. Ces deux indicateurs ne donnent pas les valeurs minimale et maximale.

Conclure. A est plus régulière selon l’écart-type ; on ne peut pas garantir que toutes ses pièces sont conformes avec les seules informations données.

Corrigé du problème

Comprendre la question. On regroupe les durées identiques et on divise chaque effectif par le total de huit.

Construire la réponse.
1. Les valeurs 4, 5, 6, 7 et 16 ont pour effectifs respectifs 1, 2, 2, 2 et 1.
2. Leurs fréquences sont $$1/8$$ , $$2/8$$ , $$2/8$$ , $$2/8$$ et $$1/8$$ , soit $12{,}5\,\%$ , $25\,\%$ , $25\,\%$ , $25\,\%$ et $12{,}5\,\%$ .
Vérifier. Les effectifs totalisent $$1+2+2+2+1=8$$ et les fréquences totalisent 1, soit $100\,\%$ .

Conclure. Le tableau comporte cinq durées distinctes mais huit observations.
Comprendre la question. La moyenne utilise toutes les valeurs ; la médiane utilise les positions centrales de la série triée.

Construire la réponse.
1. La somme est $$4+5+5+6+6+7+7+16=56$$ minutes.
2. La moyenne vaut $$56/8=7$$ minutes.
3. Avec huit observations ordonnées, les positions centrales sont les rangs 4 et 5. Elles valent toutes deux 6.
4. La médiane est donc $$(6+6)/2=6$$ minutes.
Vérifier. La durée 16 relève la moyenne, mais ne modifie pas les deux positions centrales ici.

Conclure. La moyenne est 7 minutes et la médiane 6 minutes.
Comprendre la question. L’étendue mesure l’écart entre les deux observations extrêmes.

Construire la réponse.
1. La plus petite durée est 4 minutes et la plus grande 16 minutes.
2. On soustrait $$16-4=12$$ minutes.
Vérifier. Les valeurs intermédiaires ne participent pas au calcul de l’étendue.

Conclure. L’étendue est de 12 minutes.
Comprendre la question. On remplace une seule valeur, puis on vérifie à nouveau somme, centre et extrêmes.

Construire la réponse.
1. La nouvelle somme est $$56-16+8=48$$ minutes ; la moyenne devient $$48/8=6$$ minutes.
2. La série ordonnée est maintenant 4, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8. Les rangs 4 et 5 valent toujours 6 : la médiane reste 6.
3. L’étendue devient $$8-4=4$$ minutes.
Vérifier. La modification réduit fortement la moyenne et l’étendue, mais ne change pas la médiane dans cette série.

Conclure. Avec 8 à la place de 16, moyenne et médiane valent 6 minutes ; l’étendue vaut 4 minutes.
Comprendre la question. Un bilan doit décrire à la fois le centre des durées et leur dispersion.

Construire la réponse.
1. Sept préparations sur huit se situent entre 4 et 7 minutes ; une préparation de 16 minutes se distingue.
2. La médiane de 6 minutes décrit bien le centre de cette petite série, tandis que la moyenne de 7 minutes tient compte du temps total réellement passé.
3. Il faut rechercher si les 16 minutes correspondent à une difficulté réelle ou à une erreur de saisie. On ne remplace ni ne supprime cette valeur sans justification.
Vérifier. Les deux séries comparées montrent que les indicateurs réagissent différemment à une valeur éloignée.

Conclure. Les préparations durent généralement autour de 6 minutes, avec un cas long à expliquer ; il faut conserver cette information dans le bilan.

Variante autonome et bilan

Pour 2, 3, 3, 4, 8, calcule moyenne, médiane, étendue et fréquence des valeurs au plus égales à 3.

À toi d’essayer

Vérifie ta démarche

Résous la variante, puis explique pourquoi ta méthode s’applique.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Repère les données utiles et l’inconnue. Reviens à la méthode correspondante dans la boîte à outils.

Indice 2 · Un pas de plus

Contrôle les unités, les bornes et la plausibilité du résultat avant de lire la correction.

Voir l’explication

Comprendre la question. La série est déjà ordonnée et contient cinq observations.

Construire la réponse.

La somme vaut $$2+3+3+4+8=20$$ , donc la moyenne est $$20/5=4$$ .
Le rang central est 3 : la médiane est 3.
L’étendue vaut $$8-2=6$$ .
Les valeurs au plus égales à 3 sont 2, 3 et 3 : la fréquence est
$\begin{aligned}3/5 &= 0{,}6\\[.35em] &= 60\,\%.\end{aligned}$

Vérifier. « Au plus 3 » inclut les deux valeurs égales à 3. Les compter une seule fois confondrait valeur distincte et observation.

Conclure. La moyenne est 4, la médiane 3, l’étendue 6 et la fréquence demandée 60 %.

Je peux expliquer : organiser une série statistique.
Je peux expliquer : passer des effectifs aux fréquences.
Je peux expliquer : calculer et interpréter une moyenne.
Je peux expliquer : médiane et quartiles.
Je peux expliquer : comparer la dispersion de deux séries.

Fiche-mémoire

Organiser une série statistique.

Identifie la population, les individus et le caractère étudié.
Classe le caractère en qualitatif, quantitatif discret ou quantitatif continu.
Range les données dans des catégories ou classes sans chevauchement.
Vérifie que les effectifs sont positifs ou nuls et que leur somme retrouve le total.
Choisis un graphique adapté et indique clairement les unités et les échelles.

Passer des effectifs aux fréquences.

Identifie le total N de la population pertinente.
Compte ou additionne les observations qui satisfont exactement la condition.
Divise l’effectif obtenu par N, puis multiplie par 100 pour un pourcentage.
Compare des fréquences lorsque les populations n’ont pas la même taille.
Contrôle les bornes, les compléments et la somme des fréquences avant arrondi.

Calculer et interpréter une moyenne.

Calcule le total des valeurs, en multipliant chaque valeur par son effectif.
Calcule séparément le nombre total d’observations.
Divise les deux totaux ; pour fusionner des groupes, reconstitue d’abord leurs sommes.
Conserve l’unité et arrondis seulement le résultat final.
Contrôle que la moyenne est entre les extrêmes et qu’elle reconstitue le total avant arrondi.

Médiane et quartiles.

Trie les N valeurs dans l’ordre croissant en gardant les répétitions.
Pour la médiane, distingue N pair et impair puis repère les positions centrales.
Pour les quartiles, calcule $$N/4$$ et $$3N/4$$ , puis prends les entiers supérieurs.
Lis les valeurs aux rangs trouvés ; ne donne pas les rangs comme résultat.
Contrôle le partage des observations et précise la convention employée.

Comparer la dispersion de deux séries.

Calcule ou relève le centre de chaque série avant de comparer sa dispersion.
Pour l’étendue, soustrais le minimum au maximum ; pour l’écart interquartile, calcule $$Q_3-Q_1$$ .
Pour l’écart-type de population, calcule les écarts à la moyenne, leurs carrés, leur moyenne puis sa racine.
Vérifie le diviseur N dans l’outil et conserve l’unité des données.
Sépare régularité statistique et conformité à des limites précises.

Maîtrise du chapitre

Validation contrôlée

Réponds aux QCM, sélectionne les bonnes propositions ou remets les étapes dans l'ordre. Le site vérifie chaque réponse avant d'ouvrir la balise suivante.

Avant le cours, vérifie tes bases

Pourquoi ce chapitre ?

L’idée avant la formule

Le cours formel

Organiser une série statistique

Passer des effectifs aux fréquences

Calculer et interpréter une moyenne

Médiane et quartiles

Comparer la dispersion de deux séries

Boîte à outils

Exercices progressifs

Exercice 1 : Reconnaître le caractère ★☆☆

Exercice 2 : Une fréquence ★☆☆

Exercice 3 : Moyenne simple ★☆☆

Exercice 4 : La valeur centrale ★☆☆

Exercice 5 : Une étendue ★☆☆

Exercice 6 : Compléter un total ★★☆

Exercice 7 : Une proportion cumulée ★★☆

Exercice 8 : Une moyenne pondérée ★★☆

Exercice 9 : Un effectif pair ★★☆

Exercice 10 : Un écart-type calculable à la main ★★☆

Exercice 11 : Un histogramme trompeur ★★★

Exercice 12 : Comparer deux ateliers ★★★

Exercice 13 : Fusionner des groupes ★★★

Exercice 14 : Des quartiles avec arrondis de rangs ★★★

Exercice 15 : Une production régulière ★★★

Problème : Pour aller plus loin

Analyser des durées de préparation

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Corrigé 2

Corrigé 3

Corrigé 4

Corrigé 5

Corrigé 6

Corrigé 7

Corrigé 8

Corrigé 9

Corrigé 10

Corrigé 11

Corrigé 12

Corrigé 13

Corrigé 14

Corrigé 15

Corrigé du problème

Variante autonome et bilan

Fiche-mémoire

Maîtrise du chapitre

Pour relier les notions