Équations, tarifs et fonctions affines · Seconde professionnelle

Avant de commencer5 questions pour vérifier tes bases

1. Quel nombre rend vraie l’égalité 9 + □ = 14 ?

5−523

2. Que vaut 5 − (2 + 4) ?

−137

3. Où se trouve le point A(−2 ; 3) par rapport à l’origine ?

2 unités à droite et 3 vers le bas2 unités à gauche et 3 vers le haut3 unités à gauche et 2 vers le haut

4. A coûte 9 € pour 3 kg ; B coûte 8 € pour 2 kg. Quel achat coûte le moins par kilogramme ?

Ils coûtent autantAB

5. Quelle comparaison est correcte ?

3,09 < 3,13,09 > 3,13,09 = 3,1

Pourquoi ce chapitre ?

Les fonctions affines décrivent un forfait plus un coût proportionnel. Les équations trouvent le point d’égalité ; les inéquations déterminent quel tarif convient sur chaque plage. Ton parcours. Module du programme professionnel pour les groupements A, B, C. Les automatismes, le raisonnement et les outils numériques se travaillent tout au long du parcours.

Résoudre une équation du premier degré.
Résoudre une inéquation et respecter les bornes.
Reconnaître et déterminer une fonction affine.
Croiser deux contraintes.
Choisir un tarif avec une fonction.

L’idée avant la formule

Deux droites peuvent se croiser : un faible forfait peut être compensé par un prix par heure plus élevé. Le choix dépend de la durée réelle.

Le cours formel

Résoudre une équation du premier degré

Intuition · Construire la notion pas à pas

Une équation exprime un équilibre. Dans $$5x-7=18$$ , les deux membres doivent avoir la même valeur. Résoudre consiste à trouver toutes les valeurs de x qui réalisent cet équilibre. Essayer plusieurs nombres peut aider, mais une transformation réversible permet de conclure sans les tester tous.

Pourquoi agir sur les deux membres ? Si deux masses sont égales, leur ajouter la même masse conserve l'égalité. De même, ajouter 7 aux deux membres de $$5x-7=18$$ donne $$5x=25$$ . Ajouter 7 seulement à gauche romprait l'équilibre.

Défaire les opérations. Le nombre x a été multiplié par 5 puis diminué de 7. Pour le retrouver, on défait ces opérations en sens inverse : on ajoute 7, puis on divise par 5. La division est autorisée parce que 5 n'est pas nul.

Un résultat doit répondre au contexte. Si l'inconnue représente une durée, elle ne peut pas être négative. Si elle représente un nombre de pièces, elle doit être entière. Résoudre l'égalité n'est donc qu'une partie du problème : il faut aussi interpréter et contrôler la solution.

Exemple · Exemple commenté

Un forfait coûte 18 euros plus 4 euros par heure. Quelle durée correspond à 42 euros ?

On note h la durée en heures. Les 18 euros sont payés une seule fois ; les heures coûtent $$4h$$ euros. Le total s'écrit donc $$18+4h=42$$ .
On retire les frais fixes aux deux membres : $$18+4h-18=42-18$$ . Cela donne $$4h=24$$ .
Une heure coûte 4 euros. On divise les deux membres par 4 :
$\begin{aligned}h &= 24/4\\[.35em] &= 6.\end{aligned}$
On réinjecte cette durée dans la facture initiale :
$\begin{aligned}18+4\times6 &= 18+24\\[.35em] &= 42\end{aligned}$
euros.

La durée est positive et exprimée dans l'unité choisie au départ. Les opérations effectuées sont réversibles, donc aucune autre durée ne donne 42 euros dans ce modèle.

Pourquoi ne pas diviser 42 directement par 4 ? Le total contient les 18 euros fixes. Le quotient $$42/4=10{,}5$$ traiterait à tort toute la facture comme un coût horaire. Traduire la situation avant de calculer évite cette erreur.

Résoudre une inéquation et respecter les bornes

Intuition · Construire la notion pas à pas

Une contrainte autorise souvent plusieurs valeurs. Un budget ne demande pas que la dépense soit exactement égale à la somme disponible : elle doit lui être inférieure ou égale. Une inéquation décrit donc un ensemble de possibilités, souvent un intervalle.

Pourquoi le signe change avec un nombre négatif. On sait que $$2<5$$ . En multipliant par -1, on obtient -2 et -5 ; or $$-2>-5$$ . Sur la droite graduée, l'opposé renverse l'ordre. C'est la raison de l'inversion du signe lorsqu'on multiplie ou divise les deux membres par un nombre négatif.

Lire la frontière. Le signe $x\le5$ accepte 5 ; le signe $$x<5$$ le refuse. Dans une situation de tolérance ou de budget, cette différence peut changer la décision finale. La borne doit être testée dans l'énoncé initial.

Ajouter les contraintes de la situation. Une résolution réelle peut donner $n\le12{,}57$ . Si n compte des boîtes, on ne peut pas acheter 12,57 boîtes : on cherche le plus grand entier autorisé, donc 12. Un arrondi usuel à l'entier le plus proche pourrait dépasser le budget et ne convient pas.

Exemple · Exemple commenté

Un abonnement coûte 16 euros et chaque séance 12 euros. Combien de séances permet un budget de 100 euros ?

On note n le nombre de séances. C'est un entier positif ou nul. Le coût total est $$16+12n$$ .
Le budget impose $16+12n\le100$ . On soustrait 16 aux deux membres : $12n\le84$ .
On divise par 12, qui est positif ; le sens est conservé : $n\le7$ .
En tenant compte du nombre entier de séances, les possibilités sont $$0,1,2,3,4,5,6,7$$ .

Contrôler la frontière et le dépassement. Sept séances coûtent $16+12\times7=100$ euros : l'égalité est autorisée, donc sept convient. Huit séances coûtent $$16+96=112$$ euros : le budget est dépassé. On a bien trouvé le maximum, pas seulement une possibilité.

Si le budget devait être strictement inférieur à 100 euros, le signe serait strict. Sept séances seraient alors exclues et le maximum serait six. La traduction de la phrase détermine la réponse.

Reconnaître et déterminer une fonction affine

Intuition · Construire la notion pas à pas

Reconnaître une variation régulière. Un forfait de location peut coûter 7 euros fixes puis 4 euros par heure. Chaque heure supplémentaire ajoute toujours le même montant. Cette constance des écarts caractérise une fonction affine, écrite $$f(x)=ax+b$$ .

Donner un sens aux coefficients. Le terme b est la valeur de départ, car remplacer x par zéro annule le produit ax. Le coefficient a mesure la variation de la sortie pour une unité d'entrée. Dans un tarif, son unité peut être euro par heure ; dans un réservoir, litre par minute.

Retrouver la pente à partir de deux observations. Entre les entrées $$x_1$$ et $$x_2$$ , la sortie change de $$f(x_2)-f(x_1)$$ . Cette variation s'étale sur $$x_2-x_1$$ unités d'entrée. Leur quotient donne le changement pour une unité, donc a. Il faut deux abscisses distinctes pour ne pas diviser par zéro.

Relier formule et courbe. Une pente positive fait monter la droite quand on va vers la droite ; une pente négative la fait descendre. Si b est nul, la droite passe par l'origine et la fonction modélise une proportionnalité. Un coût fixe non nul rompt cette proportionnalité, même si la courbe reste une droite.

Exemple · Exemple commenté

Déterminer la fonction affine passant par $$(2;9)$$ et $$(5;18)$$ .

On cherche une écriture $$f(x)=ax+b$$ . L'écart des abscisses est $$5-2=3$$ ; l'écart des ordonnées est $$18-9=9$$ .
La variation de sortie par unité d'entrée est donc
$\begin{aligned}a &= 9/3\\[.35em] &= 3.\end{aligned}$
Le premier point appartient à la droite : $9=3\times2+b$ . On calcule $3\times2=6$ , puis on soustrait 6 : $$b=3$$ .
La fonction est donc $$f(x)=3x+3$$ .

Contrôle avec l'autre point.

\begin{aligned}f(5) &= 3\times5+3\\[.35em] &= 15+3\\[.35em] &= 18.\end{aligned}

Les deux observations sont retrouvées. Cette vérification indépendante est utile, car calculer b avec le même point que celui utilisé pour le vérifier pourrait masquer une erreur sur la pente.

Interprétation. Quand x augmente de 1, l'image augmente de 3. L'image de zéro vaut 3, et non 9 : 9 est l'image de 2. La fonction est strictement croissante parce que sa pente est positive.

Croiser deux contraintes

Intuition · Construire la notion pas à pas

Deux informations sur les mêmes inconnues. Une commande peut préciser à la fois un nombre total d'objets et un prix total. Chacune de ces informations donne une équation, mais une réponse correcte doit vérifier les deux avec les mêmes valeurs.

Réduire à une seule inconnue. Si $$x+y=10$$ , on peut exprimer $$y=10-x$$ . Remplacer y par cette expression dans une autre équation utilise toute la première contrainte ; il ne s'agit pas de choisir arbitrairement une valeur. Cette méthode s'appelle la substitution.

Faire disparaître une inconnue par différence. Si les deux équations comportent exactement le même terme y, les soustraire annule ce terme. On obtient alors une équation en x seulement. Il faut soustraire tous les termes et les deux membres, en conservant les signes.

Comprendre les solutions graphiquement. Une solution commune correspond à un point appartenant aux deux droites. Deux droites distinctes peuvent se couper en un point ou être parallèles. Deux écritures peuvent aussi désigner la même droite et donc donner une infinité de solutions communes. Le contrôle final doit toujours porter sur les deux contraintes initiales.

Exemple · Exemple commenté

Résoudre $$x+y=10$$ et $$2x+y=14$$ . La seconde équation contient un x de plus que la première, mais le même y. On soustrait donc la première à la seconde :

\[(2x+y)-(x+y)=14-10.\]

En distribuant le signe moins, le membre gauche devient $$2x+y-x-y=x$$ . Le membre droit vaut 4, donc $$x=4$$ .

On revient alors à la première équation : $$4+y=10$$ . Soustraire 4 donne $$y=6$$ . La réponse est un couple ordonné $$(x;y)=(4;6)$$ : il faut indiquer quelle valeur correspond à quelle inconnue.

Vérification complète. Dans la première équation, $$4+6=10$$ . Dans la seconde,

\begin{aligned}2\times4+6 &= 8+6\\[.35em] &= 14.\end{aligned}

Les deux égalités sont vraies.

La même réponse par substitution. La première équation donne $$y=10-x$$ . En remplaçant dans la seconde, $$2x+10-x=14$$ , donc $$x+10=14$$ puis $$x=4$$ . On retrouve y égal à 6. Les deux méthodes exploitent la même compatibilité des contraintes.

Choisir un tarif avec une fonction

Intuition · Construire la notion pas à pas

Séparer ce que l'on paie une fois et ce qui se répète. Un abonnement de 12 euros plus 4 euros par séance ne coûte pas 16 euros quel que soit l'usage. Pour n séances, les 4 euros sont payés n fois : le coût est $$12+4n$$ . Le terme constant représente la partie fixe et le coefficient de n le prix de chaque séance.

Comparer pour un même usage. Pour choisir entre deux offres, on calcule leurs coûts pour la même quantité n. Résoudre $$A(n)=B(n)$$ donne le point d'égalité ; résoudre $$A(n)<B(n)$$ indique quand A est strictement moins chère. Le sens de l'inégalité vient de la question, pas de la position des lettres.

Lire les conditions du contrat. Un forfait peut inclure une quantité puis facturer seulement le dépassement. Si 150 km sont inclus, à 200 km on facture 50 km supplémentaires, pas 200. La formule change à la limite du forfait et doit donner le même prix de part et d'autre de cette limite.

Revenir à des quantités possibles. Un nombre de séances est entier ; une distance peut être décimale. Un seuil à $$6{,}67$$ séances conduit donc à examiner 6 et 7 séances, tandis qu'un seuil kilométrique peut conserver ses décimales.

Boîte à outils

Exercices progressifs

Les exercices 1 à 5 consolident les bases ; 6 à 10 demandent plusieurs étapes ; 11 à 15 t’invitent à choisir, justifier et contrôler. Cherche avant de consulter les indices.

Exercice 1 : Une égalité simple ★☆☆

Résous $$5x-7=18$$ .

Exercice 2 : Une borne incluse ★☆☆

Résous $3x+4\le19$ .

Exercice 3 : Reconnaître les coefficients ★☆☆

Pour $$f(x)=-4x+7$$ , donne la pente, l’ordonnée à l’origine et le sens de variation.

Exercice 4 : Contrôler une proposition ★☆☆

Le couple $$(2;5)$$ résout-il $$x+y=7$$ et $$3x+y=11$$ ?

Exercice 5 : Coût fixe ou variable ★☆☆

Une offre facture 15 euros puis 3 euros par utilisation. Écris son coût pour $$n$$ utilisations et calcule-le pour 8.

Exercice 6 : Deux expressions ★★☆

Résous $$3(x+4)=5x-2$$ .

Exercice 7 : Attention au signe ★★☆

Résous $$7-2x>15$$ .

Exercice 8 : Construire un modèle ★★☆

Une fonction affine vérifie $$f(1)=5$$ et $$f(4)=11$$ . Détermine-la.

Exercice 9 : Deux tarifs se croisent ★★☆

Résous $$y=3x+12$$ et $$y=5x+2$$ .

Exercice 10 : Comparer deux offres ★★☆

$$A(n)=12+4n$$ et $$B(n)=6n$$ . À partir de combien d’utilisations entières A est-elle strictement moins chère ?

Exercice 11 : Préparer un devis ★★★

Un devis comporte 35 euros de déplacement et 28 euros par heure. Le total est 161 euros. Quelle durée est facturée ?

Exercice 12 : Une commande sous contrainte ★★★

La livraison coûte 12 euros et chaque boîte 7 euros. Avec 100 euros, combien de boîtes peut-on acheter au maximum ?

Exercice 13 : Une pente en situation ★★★

Un réservoir contient 180 L et perd 12 L par minute, à débit constant. Modélise le volume et précise la durée de validité du modèle.

Exercice 14 : Un panier de produits ★★★

On achète 12 objets, certains à 3 euros, les autres à 5 euros, pour 46 euros. Combien y en a-t-il de chaque sorte ?

Exercice 15 : Un plafond annoncé ★★★

Une location A coûte 30 euros plus 0,20 euro/km. B coûte 50 euros et inclut 150 km, puis 0,30 euro par km supplémentaire. Compare les deux pour 100 km et 200 km.

Problème : Pour aller plus loin

Choisir un tarif de location

A facture 20 euros de forfait puis 8 euros par heure. B facture 50 euros puis 5 euros par heure. La durée x est comprise entre 0 et 20 heures.

Écris les deux fonctions et calcule leurs prix pour 6 heures.
Résous l’égalité des tarifs.
Détermine le tarif le moins cher selon la durée.
Avec 100 euros, quelle durée maximale chaque tarif permet-il ?
Retrouve prix horaire et forfait d’un troisième tarif qui facture 42 euros pour 3 heures et 66 euros pour 7 heures.

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Corrigé 2

Corrigé 3

Corrigé 4

Corrigé 5

Corrigé 6

Corrigé 7

Corrigé 8

Corrigé 9

Corrigé 10

Corrigé 11

Démonstration · Solution expliquée

Comprendre la question. On note h la durée facturée en heures. Le déplacement coûte 35 euros une seule fois, tandis que chaque heure ajoute 28 euros.

Construire la réponse.

Le montant lié au travail est $$28h$$ . Le total donne l’équation $$35+28h=161$$ .
On soustrait 35 :
$\begin{aligned}28h &= 161-35\\[.35em] &= 126.\end{aligned}$
Il reste donc 126 euros pour le travail horaire.
On divise par 28 :
$\begin{aligned}h &= 126/28\\[.35em] &= 4{,}5\end{aligned}$
heures.
La partie décimale vaut 0,5 heure, soit $0{,}5\times60=30$ minutes. La durée est donc 4 heures et 30 minutes.

Vérifier. Le travail coûte $28\times4{,}5=126$ euros, puis $$126+35=161$$ euros avec le déplacement. La durée est positive. Lire 4,5 heures comme 4 h 5 min serait une erreur de conversion.

Conclure. La durée facturée est de 4 h 30 min.

Corrigé 12

Corrigé 13

Démonstration · Solution expliquée

Comprendre la question. Le volume initial est 180 litres et chaque minute enlève 12 litres. On note t la durée écoulée en minutes.

Construire la réponse.

Après t minutes, la perte totale au débit constant est $$12t$$ litres. Le volume restant est donc $$V(t)=180-12t$$ .
La durée doit être positive ou nulle : $t\ge0$ . Le réservoir ne peut pas contenir un volume négatif : $180-12t\ge0$ .
On résout : $-12t\ge-180$ . Diviser par -12 inverse l’inégalité, donc $t\le15$ .
Les deux contraintes donnent le domaine $$[0;15]$$ . La pente -12 s’exprime en litres par minute.

Vérifier. $$V(0)=180$$ L et

\begin{aligned}V(15) &= 180-180\\[.35em] &= 0\end{aligned}

L. À 16 minutes, la formule donnerait -12 L, ce qui confirme qu’il faut arrêter le modèle de vidange à 15 minutes.

Conclure. Le modèle est $$V(t)=180-12t$$ pour $0\le t\le15$ .

Corrigé 14

Démonstration · Solution expliquée

Comprendre la question. On note x le nombre d’objets à 3 euros et y le nombre d’objets à 5 euros. Les deux nombres doivent être entiers et positifs ou nuls.

Construire la réponse.

Le nombre total d’objets donne $$x+y=12$$ . Le prix total donne $$3x+5y=46$$ .
La première équation donne $$x=12-y$$ . On remplace dans la seconde : $$3(12-y)+5y=46$$ .
On développe : $$36-3y+5y=46$$ , donc $$36+2y=46$$ . Soustraire 36 donne $$2y=10$$ , puis $$y=5$$ .
On revient au nombre total :
$\begin{aligned}x &= 12-5\\[.35em] &= 7.\end{aligned}$

Vérifier. On compte bien $$7+5=12$$ objets. Leur coût est

\begin{aligned}7\times3+5\times5 &= 21+25\\[.35em] &= 46\end{aligned}

euros. Les deux effectifs sont entiers et non négatifs.

Conclure. Il y a 7 objets à 3 euros et 5 objets à 5 euros.

Corrigé 15

Démonstration · Solution expliquée

Comprendre la question. Il faut tenir compte des 150 kilomètres déjà inclus dans B avant de facturer un dépassement.

Construire la réponse.

Pour A, le prix est $$30+0{,}20d$$ euros. À 100 km : $$30+20=50$$ . À 200 km : $$30+40=70$$ .
Pour B, 100 km restent dans le forfait : on paie 50 euros.
À 200 km, le dépassement est $$200-150=50$$ km. Il coûte $0{,}30\times50=15$ euros ; B coûte donc $$50+15=65$$ euros.
On compare séparément chaque usage : à 100 km, égalité ; à 200 km, B économise $$70-65=5$$ euros.

Vérifier. À 150 km, la formule du dépassement donne $$50+0{,}30(150-150)=50$$ , ce qui coïncide avec le prix du forfait. Facturer $0{,}30\times200$ aurait compté à nouveau les kilomètres inclus.

Conclure. À 100 km les deux offres coûtent 50 euros. À 200 km, B coûte 65 euros contre 70 euros pour A.

Corrigé du problème

Comprendre la question. Un tarif affine additionne un forfait fixe et une part proportionnelle à la durée.

Construire la réponse.
1. Pour A, $$A(x)=20+8x$$ ; pour B, $$B(x)=50+5x$$ , sur [0;20].
2. À six heures,
  $\begin{aligned}A(6) &= 20+48\\[.35em] &= 68\end{aligned}$
  euros et
  $\begin{aligned}B(6) &= 50+30\\[.35em] &= 80\end{aligned}$
  euros.
Vérifier. À durée nulle, les formules redonnent les forfaits 20 et 50. À six heures, le forfait moins élevé de A compense son prix horaire plus fort.

Conclure. A coûte 68 euros et B 80 euros pour six heures.
Comprendre la question. L’égalité des tarifs correspond au point d’intersection des deux droites.

Construire la réponse.
1. On résout $$20+8x=50+5x$$ .
2. En retirant $$5x$$ et 20 des deux côtés, $$3x=30$$ , donc $$x=10$$ .
3. Le prix commun vaut $20+8\times10=100$ euros.
Vérifier. La formule B donne aussi $50+5\times10=100$ . La durée 10 appartient au domaine.

Conclure. Les tarifs sont égaux pour dix heures, au prix de 100 euros.
Comprendre la question. Le signe de la différence indique quel tarif est inférieur.

Construire la réponse.
1. $\begin{aligned}A(x)-B(x) &= 20+8x-50-5x\\[.35em] &= 3x-30\\[.35em] &= 3(x-10).\end{aligned}$
2. Pour $0\le x<10$ , la différence est négative : A est moins cher.
3. Pour $10<x\le20$ , elle est positive : B est moins cher. En 10, elle vaut zéro.
Vérifier. La comparaison en six heures confirme le premier cas ; pour vingt heures, A vaut 180 et B 150, ce qui confirme le second.

Conclure. Choisir A avant dix heures, B après dix heures ; les deux se valent à dix heures.
Comprendre la question. Une durée permise par le budget doit donner un prix inférieur ou égal à 100.

Construire la réponse.
1. Pour A, $20+8x\le100$ donne $8x\le80$ , donc $x\le10$ .
2. Pour B, $50+5x\le100$ donne $5x\le50$ , donc $x\le10$ .
3. On conserve aussi la contrainte de durée positive ou nulle du modèle.
Vérifier. Les deux tarifs atteignent exactement le budget à dix heures, et leurs prix augmentent avec la durée.

Conclure. Le budget de 100 euros permet au maximum dix heures avec chacun des tarifs.
Comprendre la question. Les deux factures permettent de déterminer un prix horaire et un forfait inconnus.

Construire la réponse.
1. On écrit $$C(x)=ax+b$$ , puis $$3a+b=42$$ et $$7a+b=66$$ .
2. En soustrayant la première équation de la seconde, $$4a=24$$ , donc $$a=6$$ .
3. On remplace dans la première : $$18+b=42$$ , donc $$b=24$$ .
Vérifier. $6\times3+24=42$ et $6\times7+24=66$ : les deux factures sont retrouvées.

Conclure. Le troisième tarif est de 6 euros par heure avec un forfait de 24 euros.

Variante autonome et bilan

Compare A(x) = 15 + 4x et B(x) = 35 + 2x pour x $\ge$ 0.

À toi d’essayer

Vérifie ta démarche

Résous la variante, puis explique pourquoi ta méthode s’applique.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Repère les données utiles et l’inconnue. Reviens à la méthode correspondante dans la boîte à outils.

Indice 2 · Un pas de plus

Contrôle les unités, les bornes et la plausibilité du résultat avant de lire la correction.

Voir l’explication

Comprendre la question. On compare les tarifs en étudiant leur différence sur les durées positives.

Construire la réponse.

$\begin{aligned}A(x)-B(x) &= 15+4x-35-2x\\[.35em] &= 2x-20\\[.35em] &= 2(x-10).\end{aligned}$
L’égalité se produit en dix heures. Le prix commun est 55 euros.
Avant dix heures, la différence est négative et A est moins cher ; après, elle est positive et B est moins cher.

Vérifier.

\begin{aligned}A(10) &= 15+40\\[.35em] &= 55\end{aligned}

\begin{aligned}\text{et }B(10) &= 35+20\\[.35em] &= 55.\end{aligned}

Conclure. A est préférable pour moins de dix heures, B pour plus de dix heures ; à dix heures, les deux coûtent 55 euros.

Je peux expliquer : résoudre une équation du premier degré.
Je peux expliquer : résoudre une inéquation et respecter les bornes.
Je peux expliquer : reconnaître et déterminer une fonction affine.
Je peux expliquer : croiser deux contraintes.
Je peux expliquer : choisir un tarif avec une fonction.

Fiche-mémoire

Résoudre une équation du premier degré.

Définis l’inconnue, son unité et ses contraintes. Traduis les données en une égalité.
Développe les parenthèses si nécessaire et regroupe les termes de même nature.
Ajoute ou soustrais la même expression des deux côtés pour isoler le terme inconnu.
Divise par son coefficient non nul. Écris les calculs intermédiaires et conserve une valeur exacte si possible.
Remplace la valeur obtenue dans les deux membres de l’équation initiale, puis interprète-la.

Résoudre une inéquation et respecter les bornes.

Écris la grandeur cherchée et ses contraintes, puis traduis exactement « au plus », « moins de », « au moins » ou « plus de ».
Isole l’inconnue par les mêmes opérations sur les deux membres.
Avant chaque multiplication ou division, identifie le signe du facteur. Un facteur négatif inverse l’inégalité.
Écris l’intervalle avec les bonnes bornes, puis limite-le aux valeurs possibles dans le contexte.
Teste la frontière et une valeur de chaque côté ; pour un maximum entier, vérifie aussi l’entier suivant.

Reconnaître et déterminer une fonction affine.

Identifie le modèle affine $$ax+b$$ et le domaine pertinent.
À partir de deux points, calcule la différence des ordonnées divisée par celle des abscisses, dans le même ordre.
Remplace ensuite x et son image par les coordonnées d’un point pour retrouver b.
Contrôle avec le second point. Interprète la pente, sa dimension et la valeur à l’origine.
Limite le modèle lorsque le contexte impose un stock positif, une durée ou une capacité.

Croiser deux contraintes.

Nomme les deux inconnues et écris une équation par information indépendante.
Choisis la substitution lorsqu’une inconnue est déjà isolée ou facile à isoler.
Choisis l’élimination lorsqu’une addition ou une soustraction peut annuler une inconnue ; multiplie si nécessaire tous les termes d’une équation.
Résous l’équation obtenue, puis retrouve la seconde inconnue dans une équation initiale.
Vérifie le couple dans les deux équations et contrôle les contraintes d’entiers, de signe ou d’unité.

Choisir un tarif avec une fonction.

Définis la quantité et son domaine : entière ou réelle, positive, éventuellement plafonnée.
Traduis chaque partie du prix et vérifie si une formule change après un forfait.
Écris une égalité pour un seuil ou une inégalité pour un choix strict.
Résous, puis adapte le résultat au domaine et compare les coûts de chaque côté du seuil.

Maîtrise du chapitre

Validation contrôlée

Réponds aux QCM, sélectionne les bonnes propositions ou remets les étapes dans l'ordre. Le site vérifie chaque réponse avant d'ouvrir la balise suivante.

Avant le cours, vérifie tes bases

Pourquoi ce chapitre ?

L’idée avant la formule

Le cours formel

Résoudre une équation du premier degré

Résoudre une inéquation et respecter les bornes

Reconnaître et déterminer une fonction affine

Croiser deux contraintes

Choisir un tarif avec une fonction

Boîte à outils

Exercices progressifs

Exercice 1 : Une égalité simple ★☆☆

Exercice 2 : Une borne incluse ★☆☆

Exercice 3 : Reconnaître les coefficients ★☆☆

Exercice 4 : Contrôler une proposition ★☆☆

Exercice 5 : Coût fixe ou variable ★☆☆

Exercice 6 : Deux expressions ★★☆

Exercice 7 : Attention au signe ★★☆

Exercice 8 : Construire un modèle ★★☆

Exercice 9 : Deux tarifs se croisent ★★☆

Exercice 10 : Comparer deux offres ★★☆

Exercice 11 : Préparer un devis ★★★

Exercice 12 : Une commande sous contrainte ★★★

Exercice 13 : Une pente en situation ★★★

Exercice 14 : Un panier de produits ★★★

Exercice 15 : Un plafond annoncé ★★★

Problème : Pour aller plus loin

Choisir un tarif de location

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Corrigé 2

Corrigé 3

Corrigé 4

Corrigé 5

Corrigé 6

Corrigé 7

Corrigé 8

Corrigé 9

Corrigé 10

Corrigé 11

Corrigé 12

Corrigé 13

Corrigé 14

Corrigé 15

Corrigé du problème

Variante autonome et bilan

Fiche-mémoire

Maîtrise du chapitre

Pour relier les notions