Comprendre ce qu'est un vecteur Translation et vecteur déplacement
Définition · Le vecteur \(\vect{AB}\)
La translation qui transforme le point \(A\) en le point \(B\) est associée au vecteur \(\vect{AB}\) . Ce vecteur possède :
la direction de la droite \((AB)\) ;
le sens de \(A\) vers \(B\) ;
la norme \(\norme{\vect{AB}}=AB\) , c'est-à-dire la longueur du déplacement.
Égalité et représentants
Définition · Égalité de deux vecteurs
Deux vecteurs sont égaux lorsqu'ils ont la même direction, le même sens et la même norme. Une même flèche déplacée parallèlement à elle-même fournit un autre représentant du même vecteur.
Théorème · Parallélogramme
Pour quatre points \(A,B,C,D\) ,
\[\boxed{\vect{AB}=\vect{DC}}\]
si et seulement si le quadrilatère \(ABCD\) est un parallélogramme, éventuellement aplati.
Démonstration · Les deux sens de la caractérisation
Si \(ABCD\) est un parallélogramme, les côtés opposés \([AB]\) et \([DC]\) sont parallèles et de même longueur ; les sens de \(A\) vers \(B\) et de \(D\) vers \(C\) correspondent. Donc \(\vect{AB}=\vect{DC}\) .
Réciproquement, si \(\vect{AB}=\vect{DC}\) , alors \((AB)\parallel(DC)\) et \(AB=DC\) . Un quadrilatère ayant deux côtés opposés parallèles et de même longueur est un parallélogramme.
Attention · L'ordre des lettres donne le sens
Dans un parallélogramme \(ABCD\) , on a \(\vect{AB}=\vect{DC}\) mais \(\vect{AB}\neq\vect{CD}\) . En effet, \(\vect{CD}=-\vect{DC}\) .
Vecteur nul, opposé et norme
Propriété · Trois objets à reconnaître
Le vecteur nul est noté \(\vec 0\) : pour tout point \(A\) , \(\vect{AA}=\vec 0\) .
L'opposé de \(\vec u\) est \(-\vec u\) : même direction et même norme, sens contraire.
La norme \(\norme{\vec u}\) est une longueur, donc un nombre réel positif ou nul.
En particulier,
\[\vect{BA}=-\vect{AB},\qquad \norme{-\vec u}=\norme{\vec u},\qquad \norme{\vec 0}=0.\]
Exemple · Ne pas confondre vecteur et norme
\(\vect{AB}\) est un vecteur ; \(AB\) et \(\norme{\vect{AB}}\) sont des nombres. On peut écrire \(\norme{\vect{AB}}=AB\) , mais jamais \(\vect{AB}=AB\) .
Additionner des vecteurs Relation de Chasles
Théorème · Relation de Chasles
Pour tous points \(A,B,C\) ,
\[\boxed{\vect{AB}+\vect{BC}=\vect{AC}.}\]
Le point d'arrivée du premier vecteur doit être le point de départ du second.
Démonstration · Pourquoi la relation de Chasles est-elle naturelle ?
La translation de vecteur \(\vect{AB}\) envoie \(A\) sur \(B\) . Puis la translation de vecteur \(\vect{BC}\) envoie \(B\) sur \(C\) . L'enchaînement réalise donc directement le déplacement de \(A\) vers \(C\) , c'est-à-dire le vecteur \(\vect{AC}\) .
Méthode · Simplifier une chaîne
Cherche deux vecteurs dont les lettres centrales se rejoignent :
\[\vect{XY}+\vect{YZ}=\vect{XZ}.\]
Si nécessaire, remplace un vecteur par son opposé avant d'appliquer Chasles.
Exemple · Une chaîne plus longue
\[\vect{AB}+\vect{BC}+\vect{CD}=\vect{AC}+\vect{CD}=\vect{AD}.\]
De même, une boucle se referme :
\[\vect{AB}+\vect{BC}+\vect{CA}=\vec 0.\]
Somme avec des représentants de même origine
Propriété · Règle du parallélogramme
Si \(\vect{AB}=\vec u\) et \(\vect{AD}=\vec v\) , on construit le parallélogramme \(ABCD\) . Sa diagonale issue de \(A\) représente la somme :
\[\boxed{\vect{AC}=\vec u+\vec v.}\]
Démonstration · Chasles retrouve la diagonale
Dans le parallélogramme, \(\vect{BC}=\vect{AD}=\vec v\) . Ainsi,
\[\vec u+\vec v=\vect{AB}+\vect{BC}=\vect{AC}.\]
Soustraire un vecteur
Définition · Différence
Soustraire \(\vec v\) , c'est ajouter son opposé :
\[\boxed{\vec u-\vec v=\vec u+(-\vec v).}\]
En particulier, pour trois points \(A,B,C\) ,
\[\vect{AB}-\vect{AC}=\vect{AB}+\vect{CA}=\vect{CB}.\]
Attention · Une simplification dangereuse
Les lettres d'un vecteur ne sont pas des nombres que l'on « simplifie ». L'égalité \(\vect{AB}+\vect{BC}=\vect{AC}\) vient de Chasles, pas d'une suppression formelle de la lettre \(B\) .
Calculer avec des coordonnées Base orthonormée et coordonnées d'un vecteur
Dans un repère orthonormé \((O;\vec i,\vec j)\) , les vecteurs \(\vec i\) et \(\vec j\) sont perpendiculaires et de norme \(1\) .
Définition · Coordonnées
Tout vecteur \(\vec u\) s'écrit d'une unique manière
\[\vec u=x\vec i+y\vec j.\]
On dit que \(\vec u\) a pour coordonnées \((x;y)\) et l'on note
\[\vec u\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}.\]
Le nombre \(x\) mesure le déplacement horizontal et \(y\) le déplacement vertical.
Démonstration · Pourquoi l'écriture est-elle unique ?
Supposons que \(x\vec i+y\vec j=x'\vec i+y'\vec j\) . Alors
\[(x-x')\vec i+(y-y')\vec j=\vec 0.\]
Un déplacement horizontal ne peut annuler un déplacement vertical que si les deux sont nuls. Ainsi \(x-x'=0\) et \(y-y'=0\) , donc \(x=x'\) et \(y=y'\) .
Opérations coordonnées par coordonnées
Propriété · Somme et produit
Si \(\vec u(x;y)\) et \(\vec v(x';y')\) , alors
\[\boxed{\vec u+\vec v=(x+x'\,;\,y+y')}\]
et, pour tout réel \(k\) ,
\[\boxed{k\vec u=(kx\,;\,ky).}\]
Deux vecteurs sont égaux si et seulement si leurs coordonnées correspondantes sont égales.
Démonstration · Comparer les coefficients de \(\vec i\) et \(\vec j\)
On écrit
\[\begin{aligned}\vec u +\vec v &= (x\vec i+y\vec j)\\&\quad {}+(x'\vec i+y'\vec j)\\&= (x+x')\vec i +(y+y')\vec j.\end{aligned}\]
L'unicité de l'écriture dans la base donne les coordonnées annoncées. Le produit par \(k\) se démontre de la même façon.
Exemple · Résoudre une équation vectorielle
Soit \(\vec u(2;-1)\) , \(\vec v(-3;4)\) et \(\vec w\) tel que \(2\vec w-\vec u=\vec v\) . Alors
\[2\vec w=\vec u+\vec v=(-1;3),
\qquad
\boxed{\vec w\left(-\frac12;\frac32\right)}.\]
Coordonnées de \(\vect{AB}\)
Théorème · De l'origine vers l'extrémité
Si \(A(x_A;y_A)\) et \(B(x_B;y_B)\) , alors
\[\boxed{\vect{AB}=(x_B-x_A\,;\,y_B-y_A).}\]
On calcule toujours « arrivée moins départ ».
Démonstration · Démonstration avec les vecteurs position
Par Chasles,
\[\vect{OA}+\vect{AB}=\vect{OB},
\qquad\text{donc}\qquad
\vect{AB}=\vect{OB}-\vect{OA}.\]
Or \(\vect{OA}=(x_A;y_A)\) et \(\vect{OB}=(x_B;y_B)\) . La soustraction coordonnée par coordonnée donne le résultat.
Attention · Le signe est porteur de sens
\(\vect{BA}=(x_A-x_B;y_A-y_B)=-\vect{AB}\) . Inverser les points inverse les deux coordonnées.
Norme et distance dans un repère orthonormé
Théorème · Norme d'un vecteur
Dans une base orthonormée, si \(\vec u=(x;y)\) , alors
\[\boxed{\norme{\vec u}=\sqrt{x^2+y^2}.}\]
Par conséquent, pour \(A(x_A;y_A)\) et \(B(x_B;y_B)\) ,
\[\boxed{AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}.}\]
Démonstration · Pythagore derrière la formule
Le vecteur \(\vec u=x\vec i+y\vec j\) est la diagonale d'un rectangle dont les côtés perpendiculaires ont pour longueurs \(|x|\) et \(|y|\) . Le théorème de Pythagore donne
\[\norme{\vec u}^2=|x|^2+|y|^2=x^2+y^2.\]
La norme étant positive, on prend la racine carrée positive. Pour la distance \(AB\) , on applique cette formule au vecteur \(\vect{AB}=(x_B-x_A;y_B-y_A)\) .
Exemple · Une distance exacte
Si \(A(-2;1)\) et \(B(4;-3)\) , alors \(\vect{AB}=(6;-4)\) et
\[AB=\sqrt{6^2+(-4)^2}=\sqrt{52}=\boxed{2\sqrt{13}}.\]
Milieu d'un segment
Théorème · Coordonnées du milieu
Le milieu \(I\) du segment joignant \(A(x_A;y_A)\) à \(B(x_B;y_B)\) a pour coordonnées
\[\boxed{I\left(\frac{x_A+x_B}{2}\,;\,\frac{y_A+y_B}{2}\right).}\]
Vectoriellement,
\[\boxed{\vect{AI}=\vect{IB}}
\qquad\text{et}\qquad
\boxed{\vect{OI}=\frac12\bigl(\vect{OA}+\vect{OB}\bigr).}\]
Démonstration · Deux coordonnées obtenues sans deviner
Comme \(I\) est le milieu de \([AB]\) , les déplacements de \(A\) vers \(I\) et de \(I\) vers \(B\) sont égaux :
\[\vect{AI}=\vect{IB}.\]
Sur la première coordonnée,
\[x_I-x_A=x_B-x_I,\]
donc \(2x_I=x_A+x_B\) . De même, \(2y_I=y_A+y_B\) . On obtient exactement la formule annoncée.
Méthode · Reconnaître un parallélogramme avec ses diagonales
Un quadrilatère est un parallélogramme si et seulement si ses diagonales ont le même milieu. Calcule donc séparément les milieux des deux diagonales et compare leurs coordonnées.
Déterminant et colinéarité Calculer un déterminant
Définition · Déterminant de deux vecteurs
Dans une base orthonormée, pour \(\vec u=(x;y)\) et \(\vec v=(x';y')\) , on définit
\[\boxed{\det(\vec u,\vec v)=xy'-yx'.}\]
Une présentation pratique est
\[\det\!\begin{pmatrix}x&x'\\y&y'\end{pmatrix}=xy'-yx'.\]
Attention · La diagonale descendante est soustraite
Dans \(xy'-yx'\) , le premier produit associe \(x\) à \(y'\) . Le second associe \(y\) à \(x'\) et il est soustrait. Écris les deux produits avant de calculer pour éviter une inversion.
Exemple · Calcul direct
Pour \(\vec u=(3;-2)\) et \(\vec v=(5;4)\) ,
\[\det(\vec u,\vec v)=3\times4-(-2)\times5=12+10=\boxed{22}.\]
Ces vecteurs ne sont donc pas colinéaires.
Critère de colinéarité
Théorème · Déterminant nul
Deux vecteurs \(\vec u\) et \(\vec v\) sont colinéaires si et seulement si
\[\boxed{\det(\vec u,\vec v)=0.}\]
Lorsque les coordonnées ne créent pas de division par zéro, cela équivaut à leur proportionnalité.
Démonstration · Démonstration des deux sens
Supposons d'abord \(\vec v=k\vec u\) . Si \(\vec u=(x;y)\) , alors \(\vec v=(kx;ky)\) , donc
\[\det(\vec u,\vec v)=x(ky)-y(kx)=kxy-kxy=0.\]
Réciproquement, supposons \(\det(\vec u,\vec v)=0\) et \(\vec u\neq\vec 0\) . Écrivons \(\vec u=(x;y)\) et \(\vec v=(x';y')\) .
Si \(x\neq0\) , posons \(k=x'/x\) . L'égalité \(xy'-yx'=0\) donne \(y'=yx'/x=ky\) , donc \(\vec v=k\vec u\) .
Si \(x=0\) , alors \(y\neq0\) . L'égalité \(-yx'=0\) impose \(x'=0\) . En posant \(k=y'/y\) , on obtient encore \(\vec v=k\vec u\) .
Le cas \(\vec u=\vec 0\) est immédiat puisque le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur.
Attention · Les quotients ne sont pas toujours disponibles
Comparer \(x'/x\) et \(y'/y\) échoue si \(x=0\) ou \(y=0\) . Le déterminant fonctionne dans tous les cas et évite cette difficulté.
Démontrer en géométrie avec des vecteurs Alignement de trois points
Propriété · Critère d'alignement
Les points \(A,B,C\) sont alignés si et seulement si les vecteurs \(\vect{AB}\) et \(\vect{AC}\) sont colinéaires, donc
\[\boxed{\det(\vect{AB},\vect{AC})=0.}\]
Démonstration · Pourquoi cela caractérise une même droite
Si \(A,B,C\) sont alignés, les vecteurs \(\vect{AB}\) et \(\vect{AC}\) ont la direction de la même droite : ils sont colinéaires. Réciproquement, si \(\vect{AC}=k\vect{AB}\) , partir de \(A\) puis suivre \(\vect{AC}\) revient à rester sur la droite dirigée par \(\vect{AB}\) . Le point \(C\) appartient donc à \((AB)\) .
Exemple · Tester un alignement
Soit \(A(1;2)\) , \(B(4;5)\) et \(C(7;8)\) . Alors
\[\vect{AB}=(3;3),\qquad \vect{AC}=(6;6),\]
et
\[\det(\vect{AB},\vect{AC})=3\times6-3\times6=0.\]
Les points sont alignés.
Parallélisme de deux droites
Propriété · Vecteurs directeurs colinéaires
Les droites \((AB)\) et \((CD)\) sont parallèles si et seulement si \(\vect{AB}\) et \(\vect{CD}\) sont colinéaires :
\[\boxed{\det(\vect{AB},\vect{CD})=0.}\]
Construire un point défini par une relation
Exemple · Trouver les coordonnées d'un point
On cherche \(M\) tel que \(\vect{AM}=2\vect{BC}\) avec \(A(1;-2)\) , \(B(-1;3)\) et \(C(2;5)\) . On a \(\vect{BC}=(3;2)\) , donc \(\vect{AM}=(6;4)\) . Ainsi
\[x_M-1=6,\qquad y_M-(-2)=4,\]
d'où \(\boxed{M(7;2)}\) .
Méthode · De la relation vectorielle au point
Calcule d'abord le vecteur situé à droite. Puis utilise
\[\vect{AM}=(x_M-x_A;y_M-y_A)\]
et identifie séparément les deux coordonnées.
Combiner deux vecteurs non colinéaires Décomposer un vecteur
Théorème · Deux directions suffisent
Si \(\vec u\) et \(\vec v\) ne sont pas colinéaires, tout vecteur \(\vec w\) peut s'écrire d'une unique manière
\[\boxed{\vec w=a\vec u+b\vec v}\]
avec deux réels \(a\) et \(b\) .
Démonstration · Existence et unicité par un système
Écrivons \(\vec u=(x;y)\) , \(\vec v=(x';y')\) et \(\vec w=(X;Y)\) . On cherche \(a,b\) tels que
\[\begin{cases}
ax+bx'=X,\\
ay+by'=Y.
\end{cases}\]
Comme \(\vec u\) et \(\vec v\) ne sont pas colinéaires, \(\Delta=xy'-yx'\neq0\) . Les nombres
\[a=\frac{Xy'-Yx'}{\Delta},
\qquad
b=\frac{xY-yX}{\Delta}\]
vérifient le système : en les remplaçant dans \(ax+bx'\) , le numérateur se réduit à \(X\Delta\) ; de même, \(ay+by'=Y\) . L'écriture existe.
Si deux couples \((a,b)\) et \((a',b')\) convenaient, leur différence donnerait \((a-a')\vec u+(b-b')\vec v=\vec 0\) . Si l'un des coefficients était non nul, un vecteur serait multiple de l'autre, ce qui contredirait leur non-colinéarité. Donc \(a=a'\) et \(b=b'\) : l'écriture est unique.
Exemple · Résolution sans apprendre les formules
Avec \(\vec u=(1;2)\) , \(\vec v=(3;-1)\) et \(\vec w=(11;1)\) , cherchons \(a,b\) tels que \(\vec w=a\vec u+b\vec v\) :
\[\begin{cases}
a+3b=11,\\
2a-b=1.
\end{cases}\]
La seconde équation donne \(b=2a-1\) . En remplaçant dans la première, \(7a=14\) , donc \(a=2\) et \(b=3\) . Ainsi \(\boxed{\vec w=2\vec u+3\vec v}\) .
Pour aller plus loin - guidé et facultatif Cette partie dépasse le socle strict. Elle est ouverte à toute personne curieuse : chaque outil supplémentaire est construit à partir des vecteurs déjà étudiés.
Barycentre de deux points
Définition · Point d'équilibre
Soient deux points \(A,B\) affectés de deux réels \(\alpha,\beta\) tels que \(\alpha+\beta\neq0\) . Leur barycentre est l'unique point \(G\) vérifiant
\[\boxed{\alpha\vect{GA}+\beta\vect{GB}=\vec 0.}\]
Démonstration · Formule du vecteur position
Par Chasles, \(\vect{GA}=\vect{GO}+\vect{OA}=-\vect{OG}+\vect{OA}\) , et de même pour \(B\) . Ainsi,
\[\alpha(\vect{OA}-\vect{OG})+\beta(\vect{OB}-\vect{OG})=\vec 0.\]
Donc
\[(\alpha+\beta)\vect{OG}=\alpha\vect{OA}+\beta\vect{OB},\]
et finalement
\[\boxed{\vect{OG}=\frac{\alpha\vect{OA}+\beta\vect{OB}}{\alpha+\beta}.}\]
En coordonnées, on effectue exactement la même moyenne pondérée sur les abscisses et les ordonnées.
Exemple · Le milieu est un barycentre
Avec \(\alpha=\beta=1\) ,
\[\vect{OG}=\frac{\vect{OA}+\vect{OB}}2.\]
On retrouve le milieu de \([AB]\) .
Centre de gravité d'un triangle
Théorème · Isobarycentre de trois points
Pour un triangle \(ABC\) , le point \(G\) défini par
\[\boxed{\vect{GA}+\vect{GB}+\vect{GC}=\vec 0}\]
a pour vecteur position
\[\boxed{\vect{OG}=\frac{\vect{OA}+\vect{OB}+\vect{OC}}3.}\]
Il est le point de concours des trois médianes et se situe aux deux tiers de chaque médiane à partir du sommet.
Démonstration · Pourquoi \(G\) appartient-il à chaque médiane ?
Soit \(I\) le milieu de \([BC]\) . Alors
\[\vect{OI}=\frac{\vect{OB}+\vect{OC}}2.\]
La formule de \(G\) donne
\[\vect{AG}=\vect{OG}-\vect{OA}
=\frac{\vect{OB}+\vect{OC}-2\vect{OA}}3.\]
Or
\[\vect{AI}=\vect{OI}-\vect{OA}
=\frac{\vect{OB}+\vect{OC}-2\vect{OA}}2.\]
Donc \(\vect{AG}=\dfrac23\vect{AI}\) : les points \(A,G,I\) sont alignés et \(G\) est situé aux deux tiers de la médiane. Le même calcul depuis \(B\) et \(C\) prouve que les trois médianes passent par \(G\) .
Théorème de Varignon
Théorème · Les milieux d'un quadrilatère
Dans tout quadrilatère \(ABCD\) , les milieux respectifs \(I,J,K,L\) de \([AB],[BC],[CD],[DA]\) forment un parallélogramme.
Démonstration · Une preuve de deux lignes vectorielles
Avec la formule du milieu,
\[\vect{IJ}=\frac12\vect{AC}
\qquad\text{et}\qquad
\vect{LK}=\frac12\vect{AC}.\]
Ainsi \(\vect{IJ}=\vect{LK}\) . Le quadrilatère \(IJKL\) possède deux côtés opposés représentés par des vecteurs égaux : c'est un parallélogramme.
Aire d'un triangle par un déterminant
Théorème · Formule d'aire
Dans un repère orthonormé,
\[\boxed{\mathcal A(ABC)=\frac12\left|\det(\vect{AB},\vect{AC})\right|.}\]
Le déterminant nul correspond exactement à une aire nulle, donc à trois points alignés.
Démonstration · Une preuve par aires orientées de trapèzes
Une translation ne change pas les aires : plaçons \(A\) à l'origine et écrivons \(B(x;y)\) , \(C(x';y')\) . Lorsque \(0\leq x\leq x'\) , l'aire comprise entre les segments \([AB]\) , \([BC]\) et l'axe des abscisses, comptée avec un signe, est la somme de deux trapèzes :
\[\frac{xy}{2}+\frac{(x'-x)(y+y')}{2}.\]
On retire le trapèze sous \([AC]\) , d'aire \(x'y'/2\) . Après simplification, il reste
\[\frac{x'y-xy'}2=-\frac12\det(\vect{AB},\vect{AC}).\]
Le signe dépend de l'ordre dans lequel on tourne de \(\vect{AB}\) vers \(\vect{AC}\) ; l'aire ordinaire est positive, d'où la valeur absolue. Les autres positions des points donnent la même formule en comptant les aires orientées.
Exemple · Une aire exacte, sans mesurer sur le dessin
Avec \(A(1;1)\) , \(B(5;2)\) et \(C(3;6)\) , on a \(\vect{AB}=(4;1)\) et \(\vect{AC}=(2;5)\) . Ainsi,
\[\det(\vect{AB},\vect{AC})=4\times5-1\times2=18,
\qquad
\boxed{\mathcal A(ABC)=9}.\]
Le dessin aide à comprendre la figure ; le déterminant fournit, lui, la valeur exacte.
Exercices Pour chaque exercice, rédige les étapes et nomme les propriétés. Les étoiles indiquent une progression ; elles ne ferment la porte à personne.
Exercice 1 ★☆☆ : Vocabulaire et logique
Indique si chaque affirmation est vraie ou fausse, puis corrige les affirmations fausses.
Deux vecteurs de même norme sont égaux.
Pour tous points \(A\) et \(B\) , \(\vect{AB}=-\vect{BA}\) .
Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur.
Si \(\det(\vec u,\vec v)\neq0\) , alors \(\vec u\) et \(\vec v\) sont colinéaires.
Exercice 2 ★☆☆ : Représenter des vecteurs
Sur un quadrillage, on donne \(\vec u=(3;1)\) et \(\vec v=(-1;2)\) .
Représente \(\vec u\) à partir d'un point \(A\) de ton choix.
Représente \(\vec v\) avec la même origine \(A\) .
Construis \(\vec u+\vec v\) par la règle du parallélogramme.
Représente ensuite \(-\vec u\) et \(2\vec v\) .
Exercice 3 ★☆☆ : Relation de Chasles
Simplifie au maximum :
\(\vect{AB}+\vect{BC}\) ;
\(\vect{MN}+\vect{NP}+\vect{PQ}\) ;
\(\vect{AB}+\vect{CA}\) ;
\(\vect{AB}+\vect{BC}+\vect{CD}+\vect{DA}\) .
Exercice 4 ★☆☆ : Parallélogramme et somme
Les points \(A,B,D\) ne sont pas alignés. On construit \(C\) tel que \(\vect{AB}=\vect{DC}\) .
Justifie que \(ABCD\) est un parallélogramme.
Exprime \(\vect{AC}\) en fonction de \(\vect{AB}\) et \(\vect{AD}\) .
Simplifie \(\vect{AC}-\vect{AB}\) .
Construis un point \(E\) tel que \(\vect{AE}=\vect{AB}+\vect{AC}\) .
Exercice 5 ★★☆ : Multiples et colinéarité
On donne \(\vec u=(2;-3)\) , \(\vec v=(-6;9)\) et \(\vec w=(4;5)\) .
Trouve le réel \(k\) tel que \(\vec v=k\vec u\) .
Compare les sens de \(\vec u\) et \(\vec v\) .
Exprime \(\norme{\vec v}\) en fonction de \(\norme{\vec u}\) .
Montre que \(\vec w\) n'est pas colinéaire à \(\vec u\) .
Exercice 6 ★★☆ : Calcul coordonné
Soit \(\vec u=(3;-2)\) et \(\vec v=(-1;5)\) .
Calcule \(\vec u+\vec v\) et \(\vec u-\vec v\) .
Calcule \(2\vec u-3\vec v\) .
Détermine \(\vec x\) tel que \(2\vec x+\vec u=\vec v\) .
Vérifie ton résultat en le remplaçant dans l'équation initiale.
Exercice 7 ★★☆ : Des points aux vecteurs
Dans un repère orthonormé, on donne \(A(-2;3)\) , \(B(4;-1)\) et \(C(1;2)\) .
Calcule \(\vect{AB}\) , \(\vect{BC}\) et \(\vect{AC}\) .
Vérifie la relation de Chasles en coordonnées.
Détermine les coordonnées de \(D\) tel que \(\vect{AD}=2\vect{BC}\) .
Calcule \(\vect{BD}\) .
Exercice 8 ★★☆ : Norme, distance et milieu
On donne \(A(-3;1)\) , \(B(5;7)\) et \(C(1;4)\) .
Calcule la distance \(AB\) .
Calcule \(AC\) et \(BC\) .
Montre de deux façons différentes que \(C\) est le milieu de \([AB]\) .
Que vaut \(\vect{CA}+\vect{CB}\) ?
Exercice 9 ★★☆ : Compléter un parallélogramme
On donne \(A(-4;2)\) , \(B(2;6)\) et \(C(5;1)\) . On cherche \(D\) pour que \(ABCD\) soit un parallélogramme dans cet ordre.
Calcule le milieu \(I\) de \([AC]\) .
En utilisant le fait que \(I\) doit aussi être le milieu de \([BD]\) , détermine \(D\) .
Vérifie que \(\vect{AB}=\vect{DC}\) .
Calcule les longueurs des deux diagonales.
Exercice 10 ★★☆ : Déterminants
On donne \(\vec u=(4;6)\) , \(\vec v=(-2;-3)\) et \(\vec w=(1;2)\) .
Calcule \(\det(\vec u,\vec v)\) et interprète le résultat.
Trouve \(k\) tel que \(\vec v=k\vec u\) .
Calcule \(\det(\vec u,\vec w)\) .
Les vecteurs \(\vec u\) et \(\vec w\) sont-ils colinéaires ?
Exercice 11 ★★☆ : Alignement de points
On donne \(A(1;-2)\) , \(B(4;1)\) , \(C(7;4)\) et \(D(0;3)\) .
Calcule \(\vect{AB}\) et \(\vect{AC}\) .
Montre que \(A,B,C\) sont alignés.
Calcule \(\det(\vect{AB},\vect{AD})\) .
Le point \(D\) appartient-il à la droite \((AB)\) ?
Exercice 12 ★★☆ : Parallélisme et parallélogramme
On donne \(A(-2;1)\) , \(B(4;3)\) , \(C(1;-4)\) et \(D(7;-2)\) .
Calcule \(\vect{AB}\) et \(\vect{CD}\) .
Montre que \((AB)\parallel(CD)\) .
Explique pourquoi le quadrilatère \(ABDC\) est un parallélogramme.
Vérifie ce résultat en comparant les milieux de ses diagonales.
Exercice 13 ★★★ : Décomposition dans deux directions
Soit \(\vec u=(2;1)\) , \(\vec v=(-1;2)\) et \(\vec w=(8;-1)\) .
Montre que \(\vec u\) et \(\vec v\) ne sont pas colinéaires.
Cherche \(a,b\) tels que \(\vec w=a\vec u+b\vec v\) .
Vérifie directement l'égalité obtenue.
Explique pourquoi aucun autre couple \((a,b)\) ne peut convenir.
Exercice 14 ★★★ : Centre de gravité guidé
Dans le triangle \(ABC\) , on donne \(A(-3;0)\) , \(B(6;0)\) et \(C(0;6)\) . Le point \(I\) est le milieu de \([BC]\) .
Calcule les coordonnées de \(I\) .
Calcule le point \(G\) dont les coordonnées sont les moyennes de celles de \(A,B,C\) .
Montre que \(\vect{AG}=\dfrac23\vect{AI}\) .
Vérifie que \(\vect{GA}+\vect{GB}+\vect{GC}=\vec0\) .
Exercice 15 ★★★ : Varignon et aire
On donne le quadrilatère \(ABCD\) avec
\[A(-4;0),\qquad B(2;4),\qquad C(6;-2),\qquad D(-2;-6).\]
Les points \(I,J,K,L\) sont les milieux respectifs de \([AB],[BC],[CD],[DA]\) .
Calcule \(I,J,K,L\) .
Calcule \(\vect{IJ}\) et \(\vect{LK}\) , puis conclus.
Calcule \(\vect{IL}\) et vérifie que \(IJKL\) est un parallélogramme.
À l'aide d'un déterminant, calcule l'aire de \(IJKL\) .
Problème : Le drone de la réserve ★★★ Intuition · Le défi
Une réserve naturelle triangulaire est modélisée dans un repère orthonormé par les sommets \(A(-4;-1)\) , \(B(5;2)\) et \(C(2;8)\) . Un drone doit mesurer le terrain, localiser plusieurs relais et déterminer exactement son point d'entrée dans un corridor de sécurité. Toutes les étapes réutilisent les outils de la fiche.
Partie A - Cartographier la réserve
Calcule les coordonnées de \(\vect{AB}\) , \(\vect{AC}\) et \(\vect{BC}\) .
Calcule les trois longueurs \(AB\) , \(AC\) et \(BC\) sous forme exacte.
Calcule \(\det(\vect{AB},\vect{AC})\) et justifie que la réserve n'est pas aplatie.
En utilisant la formule d'aire de l'approfondissement, calcule l'aire exacte du triangle \(ABC\) .
Partie B - Trois balises au milieu des côtés
On note \(I,J,K\) les milieux respectifs de \([BC]\) , \([CA]\) et \([AB]\) .
Calcule les coordonnées de \(I,J,K\) .
Calcule \(\vect{JK}\) et montre que \(\vect{JK}=-\dfrac12\vect{BC}\) .
Établis de même des relations entre \(\vect{KI}\) et \(\vect{AC}\) , puis entre \(\vect{IJ}\) et \(\vect{BA}\) .
Déduis-en le périmètre du triangle \(IJK\) en fonction de celui de \(ABC\) .
Partie C - Le centre opérationnel
Le centre opérationnel est le point \(G\) dont les coordonnées sont les moyennes de celles de \(A,B,C\) .
Calcule les coordonnées de \(G\) .
Montre que \(\vect{AG}=\dfrac23\vect{AI}\) .
Montre de même que \(G\) appartient aux deux autres médianes. Que vient-on de démontrer ?
Vérifie directement que \(\vect{GA}+\vect{GB}+\vect{GC}=\vec0\) .
Partie D - Un relais pondéré
Un relais \(P\) doit vérifier
\[\vect{PA}+2\vect{PB}+3\vect{PC}=\vec0.\]
En introduisant un origine \(O\) , montre que
\[6\vect{OP}=\vect{OA}+2\vect{OB}+3\vect{OC}.\]
Calcule les coordonnées exactes de \(P\) .
Calcule \(\vect{GP}\) et la distance \(GP\) .
Explique, grâce aux coefficients positifs \(1/6\) , \(2/6\) et \(3/6\) , pourquoi \(P\) est situé à l'intérieur du triangle.
Partie E - Entrer dans le corridor de sécurité
La trajectoire du drone est décrite par les points \(M_t\) tels que
\[\vect{GM_t}=t\vec u,
\qquad
\vec u=(1;1),
\qquad t\in\R.\]
Le corridor est le segment \([BC]\) .
Exprime les coordonnées de \(M_t\) en fonction de \(t\) .
Calcule \(\det(\vect{BM_t},\vect{BC})\) en fonction de \(t\) .
Détermine la valeur de \(t\) pour laquelle \(M_t\) appartient à la droite \((BC)\) .
Calcule alors les coordonnées du point d'entrée \(M\) et montre que \(\vect{BM}=\dfrac59\vect{BC}\) .
Justifie que \(M\) appartient bien au segment \([BC]\) , puis calcule la distance exacte parcourue \(GM\) .
Corrigés détaillés Corrigé 1
Démonstration · Distinguer direction, sens et norme
Faux. Deux vecteurs de même norme peuvent avoir des directions ou des sens différents. Pour être égaux, ils doivent avoir même direction, même sens et même norme.
Vrai. Inverser le point de départ et le point d'arrivée conserve la direction et la norme, mais inverse le sens :
\[\vect{AB}=-\vect{BA}.\]
Vrai. Par convention, \(\vec0\) est colinéaire à tout vecteur puisque \(\vec0=0\vec u\) .
Faux. C'est exactement l'inverse : si le déterminant est non nul, les vecteurs ne sont pas colinéaires.
Corrigé 2
Démonstration · Lire les déplacements sur un quadrillage
À partir de \(A\) , le vecteur \(\vec u=(3;1)\) fait avancer de trois carreaux vers la droite et d'un carreau vers le haut. Le vecteur \(\vec v=(-1;2)\) fait avancer d'un carreau vers la gauche et de deux vers le haut.
Coordonnée par coordonnée,
\[\boxed{\vec u+\vec v=(2;3)}.\]
La diagonale du parallélogramme construit sur \(\vec u\) et \(\vec v\) doit donc aboutir deux carreaux à droite et trois en haut de \(A\) . Enfin,
\[\boxed{-\vec u=(-3;-1)},
\qquad
\boxed{2\vec v=(-2;4)}.\]
Ces coordonnées permettent de contrôler le dessin.
Corrigé 3
Corrigé 4
Corrigé 5
Démonstration · Coefficient, sens et déterminant
On remarque
\[(-6;9)=-3(2;-3).\]
Ainsi,
\[\boxed{\vec v=-3\vec u}.\]
Le coefficient est négatif : les deux vecteurs ont des sens contraires. Sa valeur absolue vaut \(3\) , donc
\[\boxed{\norme{\vec v}=3\norme{\vec u}}.\]
Enfin,
\[\det(\vec u,\vec w)=2\times5-(-3)\times4=10+12=22\neq0.\]
Donc \(\boxed{\vec w\text{ n'est pas colinéaire à }\vec u}\) .
Corrigé 6
Corrigé 7
Démonstration · Arrivée moins départ
On obtient
\[\vect{AB}=(4-(-2);-1-3)=\boxed{(6;-4)},\]
\[\vect{BC}=(1-4;2-(-1))=\boxed{(-3;3)},\]
et
\[\vect{AC}=(1-(-2);2-3)=\boxed{(3;-1)}.\]
La vérification de Chasles est immédiate :
\[(6;-4)+(-3;3)=(3;-1)=\vect{AC}.\]
Puis
\[\vect{AD}=2\vect{BC}=(-6;6).\]
Comme \(D=A+\vect{AD}\) ,
\[\boxed{D(-8;9)}.\]
Enfin,
\[\boxed{\vect{BD}=(-8-4;9-(-1))=(-12;10)}.\]
Corrigé 8
Démonstration · Trois regards sur le même milieu
\[\vect{AB}=(8;6),
\qquad
AB=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{100}=\boxed{10}.\]
De plus,
\[\vect{AC}=(4;3),\qquad \vect{CB}=(4;3),\]
donc
\[AC=BC=\sqrt{4^2+3^2}=\boxed{5}.\]
Première méthode : la moyenne des coordonnées de \(A\) et \(B\) vaut
\[\left(\frac{-3+5}{2};\frac{1+7}{2}\right)=(1;4)=C.\]
Deuxième méthode : \(\vect{AC}=\vect{CB}\) , ce qui est la caractérisation vectorielle du milieu. Ainsi \(C\) est bien le milieu de \([AB]\) .
Enfin, \(\vect{CA}=(-4;-3)\) et \(\vect{CB}=(4;3)\) , donc
\[\boxed{\vect{CA}+\vect{CB}=\vec0}.\]
Corrigé 9
Démonstration · Utiliser le milieu commun des diagonales
Le milieu de \([AC]\) est
\[I\left(\frac{-4+5}{2};\frac{2+1}{2}\right)
=\boxed{I\left(\frac12;\frac32\right)}.\]
Pour que \(I\) soit aussi le milieu de \([BD]\) , il faut
\[\frac{2+x_D}{2}=\frac12,
\qquad
\frac{6+y_D}{2}=\frac32.\]
Ainsi,
\[\boxed{D(-1;-3)}.\]
La vérification vectorielle donne
\[\vect{AB}=(6;4),
\qquad
\vect{DC}=(6;4).\]
Enfin,
\[AC=\sqrt{9^2+(-1)^2}=\boxed{\sqrt{82}},\]
et
\[BD=\sqrt{(-3)^2+(-9)^2}=\sqrt{90}=\boxed{3\sqrt{10}}.\]
Corrigé 10
Démonstration · Un déterminant nul, puis un non nul
\[\det(\vec u,\vec v)=4\times(-3)-6\times(-2)=-12+12=0.\]
Les vecteurs sont colinéaires et, plus précisément,
\[\boxed{\vec v=-\frac12\vec u}.\]
Pour \(\vec w\) ,
\[\det(\vec u,\vec w)=4\times2-6\times1=8-6=\boxed{2}.\]
Ce déterminant n'est pas nul : \(\boxed{\vec u\text{ et }\vec w\text{ ne sont pas colinéaires}}\) .
Corrigé 11
Démonstration · Alignement par le déterminant
\[\vect{AB}=(3;3),
\qquad
\vect{AC}=(6;6).\]
Donc
\[\det(\vect{AB},\vect{AC})=3\times6-3\times6=0.\]
Les points \(A,B,C\) sont alignés.
En revanche,
\[\vect{AD}=(-1;5)\]
et
\[\det(\vect{AB},\vect{AD})=3\times5-3\times(-1)=18\neq0.\]
Ainsi \(\boxed{D\notin(AB)}\) .
Corrigé 12
Démonstration · Deux preuves du parallélogramme
\[\vect{AB}=(6;2),
\qquad
\vect{CD}=(6;2).\]
Les vecteurs sont égaux, donc les droites \((AB)\) et \((CD)\) sont parallèles. Dans le quadrilatère \(ABDC\) , les côtés opposés \([AB]\) et \([CD]\) sont représentés dans le même sens par des vecteurs égaux : \(ABDC\) est un parallélogramme.
Vérifions avec les diagonales. Le milieu de \([AD]\) est
\[\left(\frac{-2+7}{2};\frac{1+(-2)}2\right)=\left(\frac52;-\frac12\right).\]
Le milieu de \([BC]\) est
\[\left(\frac{4+1}{2};\frac{3+(-4)}2\right)=\left(\frac52;-\frac12\right).\]
Les diagonales ont bien le même milieu.
Corrigé 13
Démonstration · Une décomposition unique
\[\det(\vec u,\vec v)=2\times2-1\times(-1)=5\neq0.\]
Les deux vecteurs ne sont pas colinéaires. L'égalité \(\vec w=a\vec u+b\vec v\) donne
\[\begin{cases}
2a-b=8,\\
a+2b=-1.
\end{cases}\]
La première équation donne \(b=2a-8\) . En remplaçant,
\[a+2(2a-8)=-1,
\qquad 5a=15,
\qquad a=3.\]
Donc \(b=-2\) et
\[\boxed{\vec w=3\vec u-2\vec v}.\]
Vérification : \(3(2;1)-2(-1;2)=(6;3)+(2;-4)=(8;-1)\) . L'unicité vient de la non-colinéarité de \(\vec u\) et \(\vec v\) .
Corrigé 14
Démonstration · Construire le centre de gravité
Le milieu de \([BC]\) est
\[\boxed{I(3;3)}.\]
La moyenne des coordonnées de \(A,B,C\) donne
\[G\left(\frac{-3+6+0}{3};\frac{0+0+6}{3}\right)=\boxed{G(1;2)}.\]
Or
\[\vect{AG}=(4;2),
\qquad
\vect{AI}=(6;3),\]
donc
\[\boxed{\vect{AG}=\frac23\vect{AI}}.\]
Enfin,
\[\vect{GA}=(-4;-2),\quad
\vect{GB}=(5;-2),\quad
\vect{GC}=(-1;4),\]
et leur somme vaut \((0;0)=\vec0\) .
Corrigé 15
Démonstration · Varignon puis aire du parallélogramme
La formule du milieu donne
\[\begin{aligned}
&I(-1;2),\quad J(4;1),\\
&K(2;-4),\quad L(-3;-3),\\
&\vect{IJ}=(5;-1)=\vect{LK},\\
&\vect{IL}=(-2;-5)=\vect{JK}.
\end{aligned}\]
Les deux paires de côtés opposés sont donc représentées par des vecteurs égaux : \(IJKL\) est un parallélogramme.
L'aire du parallélogramme construit sur \(\vect{IJ}\) et \(\vect{IL}\) est la valeur absolue de leur déterminant :
\[\begin{aligned}
\det(\vect{IJ},\vect{IL})
&=5\times(-5)-(-1)\times(-2)\\
&=-27,\\
\mathcal A(IJKL)
&=\left|\det(\vect{IJ},\vect{IL})\right|\\
&=\boxed{27\text{ unités d'aire}}.
\end{aligned}\]
Fiche-mémoire Théorème · Chasles
\[\vect{AB}+\vect{BC}=\vect{AC}.\]
Dans un parallélogramme,
\[\vect{AC}=\vect{AB}+\vect{AD}.\]
Définition · Coordonnées
Si \(A(x_A;y_A)\) et \(B(x_B;y_B)\) ,
\[\vect{AB}=(x_B-x_A;y_B-y_A).\]
Somme et produit se calculent coordonnée par coordonnée.
Propriété · Norme et distance
Pour \(\vec u=(x;y)\) ,
\[\norme{\vec u}=\sqrt{x^2+y^2}.\]
Donc
\[AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}.\]
Théorème · Déterminant
Pour \(\vec u=(x;y)\) et \(\vec v=(x';y')\) ,
\[\det(\vec u,\vec v)=xy'-yx'.\]
Les vecteurs sont colinéaires si et seulement si ce déterminant est nul.
Propriété · Milieu
Le milieu de \([AB]\) est
\[I\left(\frac{x_A+x_B}{2};\frac{y_A+y_B}{2}\right).\]
Un quadrilatère est un parallélogramme si ses diagonales ont le même milieu.
Attention · Réflexes
Arrivée moins départ. Respecte l'ordre des lettres. Pour un alignement ou un parallélisme, calcule un déterminant. Ne confonds pas un vecteur avec sa norme.
Un vecteur relie la figure, le calcul et le mouvement.
Tu peux toujours revenir à trois questions : où pars-tu, où arrives-tu, quel outil traduit le déplacement ?
