Une équation qui sélectionne exactement les bons points
Une droite dessinée contient une infinité de points. Une équation permet de les reconnaître tous sans dépendre de la précision du tracé. Pour la droite \(d\) d'équation \(2x-y+1=0\), le point \(M(1;3)\) appartient à \(d\) car \(2\times1-3+1=0\), tandis que \(O(0;0)\) n'y appartient pas car \(1\neq0\).
Trois langages pour le même objet
Le dessin montre la position de la droite et ses intersections avec les axes.
La direction indique comment se déplacer tout en restant sur la droite.
L'équation permet de calculer, de tester un point et de trouver une intersection.
Comprendre une équation cartésienne
Définition et condition indispensable
Tester l'appartenance d'un point
Droites horizontales et verticales
Relier une droite à un vecteur directeur
Définition
D'une équation à une direction
D'un point et d'une direction vers une équation
Comprendre l'équation réduite et la pente
Passer de \(ax+by+c=0\) à \(y=mx+p\)
Lire la pente comme un déplacement
Signe de la pente
Déterminer une équation à partir de données
Avec un point et une pente
Avec deux points
Lire et tracer une droite
À partir d'une équation réduite
À partir d'une équation cartésienne
Comparer deux droites
Parallèles, confondues ou sécantes
Le cas des équations réduites
Trouver un point d'intersection
Résoudre un système de deux équations
Démontrer un alignement
Trois méthodes légitimes
Choisir une stratégie
Pour aller plus loin - guidé et facultatif
Cette partie dépasse le socle strict. Elle est ouverte à toute personne curieuse : chaque outil supplémentaire est construit à partir des équations, des vecteurs et des distances déjà étudiés.
Décrire un demi-plan par une inégalité
Un lieu géométrique qui devient une parabole
Distance d'un point à une droite
Formules d'intersection sans substitution
Boîte à outils et erreurs à éviter
Exercices
Pour chaque exercice, rédige les étapes et nomme les propriétés utilisées. Les étoiles indiquent une progression ; elles ne ferment la porte à personne.
Exercice 1 ★☆☆ : Appartenance à une droite
On considère la droite \(d:2x-3y+4=0\).
Détermine si \(A(1;2)\), \(B(-2;0)\) et \(C(0;1)\) appartiennent à \(d\).
Trouve l'ordonnée du point de \(d\) d'abscisse \(4\).
Trouve l'abscisse du point de \(d\) d'ordonnée \(-2\).
Exercice 2 ★☆☆ : Lire des vecteurs directeurs
Donne un vecteur directeur de chacune des droites suivantes :
Le vecteur \((4;-6)\) dirige-t-il \(d_1\) ? Justifie.
Exercice 3 ★☆☆ : Changer de forme
Écris \(d_1:4x-2y+6=0\) sous forme réduite.
Écris \(d_2:y=-\dfrac34x+2\) sous forme cartésienne à coefficients entiers.
Explique pourquoi \(d_3:x=-5\) n'a pas d'équation réduite.
Exercice 4 ★☆☆ : Un point et une pente
Détermine les équations réduite et cartésienne de la droite de pente \(3/2\) passant par \(A(-2;3)\). Vérifie ton résultat avec les coordonnées de \(A\).
Exercice 5 ★★☆ : Un point et une direction
On donne \(A(1;-2)\) et \(\vec u=(4;3)\).
Détermine une équation cartésienne de la droite \(d\) passant par \(A\) et dirigée par \(\vec u\).
Teste l'appartenance de \(B(5;1)\) et de \(C(-3;-5)\) à \(d\).
Donne deux autres vecteurs directeurs de \(d\).
Exercice 6 ★★☆ : Une droite par deux points
Soient \(A(-3;1)\) et \(B(2;6)\).
Calcule \(\vect{AB}\).
Détermine une équation cartésienne de \((AB)\) par le déterminant.
Compare chacune des droites \(d_1,d_2,d_3\) à \(d\).
Exercice 10 ★★☆ : Deux intersections
Trouve l'intersection de \(d_1:y=2x-1\) et \(d_2:y=-x+5\).
Trouve l'intersection de \(d_3:2x+y=7\) et \(d_4:x-y=2\).
Vérifie chaque point dans les deux équations correspondantes.
Exercice 11 ★★☆ : Alignement de points
On donne \(A(-2;-1)\), \(B(1;5)\), \(C(3;9)\) et \(D(4;10)\).
Détermine une équation de \((AB)\).
Montre que \(A,B,C\) sont alignés.
Le point \(D\) appartient-il à \((AB)\) ?
Retrouve les deux conclusions avec des déterminants.
Exercice 12 ★★☆ : Une droite dépendant d'un paramètre
Pour \(k\in\R\), on considère
\[d_k:(k-1)x+2y-3=0\]
et la droite \(d:x+2y+1=0\).
Pour quelle valeur de \(k\) les droites \(d_k\) et \(d\) sont-elles parallèles ?
Sont-elles alors confondues ?
Pour \(k\neq1\), détermine l'intersection de \(d_k\) avec l'axe des abscisses.
Que se passe-t-il pour \(k=1\) ?
Exercice 13 ★★★ : Un demi-plan
On considère l'inégalité
\[2x-y+1\geqslant0.\]
Écris-la sous la forme \(y\leqslant mx+p\).
Trace sa droite frontière.
Détermine si \(A(0;0)\), \(B(0;2)\) et \(C(-1;-1)\) appartiennent à la région.
Représente la région et indique si la frontière est incluse.
Exercice 14 ★★★ : Distance à une droite
On donne \(d:3x+4y-12=0\) et \(O(0;0)\).
Calcule directement \(\operatorname{dist}(O,d)\) avec la formule de l'approfondissement.
Détermine l'équation de la droite passant par \(O\) et perpendiculaire à \(d\). Tu peux utiliser que, pour deux droites non verticales perpendiculaires, le produit des pentes vaut \(-1\).
Trouve son intersection \(H\) avec \(d\).
Calcule \(OH\) et vérifie la première réponse.
Exercice 15 ★★★ : Construire une parabole par équidistance
Soit \(F(0;2)\). On cherche les points \(M(x;y)\) équidistants de \(F\) et de l'axe des abscisses.
Traduis l'équidistance par une égalité de distances.
Démontre que le lieu possède l'équation \(y=\dfrac{x^2}{4}+1\).
Trouve les points du lieu d'abscisses \(-2\), \(0\) et \(2\).
Vérifie directement l'équidistance pour le point d'abscisse \(0\).
Problème : Le couloir de sécurité ★★★
Partie A - La première piste
On donne \(A(-4;-1)\) et \(B(4;3)\). La droite \(d_1\) est la droite \((AB)\).
Calcule \(\vect{AB}\) et donne un vecteur directeur aussi simple que possible de \(d_1\).
Établis une équation cartésienne de \(d_1\) à l'aide du déterminant.
Vérifie l'équation avec \(A\) et \(B\).
Écris l'équation réduite de \(d_1\) et lis sa pente.
Partie B - Une piste sécante
La droite \(d_2\) passe par \(C(-1;5)\) et possède pour vecteur directeur \(\vec v=(3;-2)\).
Détermine une équation cartésienne puis une équation réduite de \(d_2\).
Justifie que \(d_1\) et \(d_2\) sont sécantes sans calculer leur intersection.
Calcule leur point d'intersection \(P\).
Vérifie que \(P\) appartient bien aux deux droites.
Partie C - Fermer une zone triangulaire
La droite \(d_3\) passe par \(D(6;-2)\) et est parallèle à \(d_1\).
Détermine une équation cartésienne de \(d_3\).
Calcule le point \(Q=d_2\cap d_3\).
Détermine l'équation de la droite \((AQ)\) et explique pourquoi sa forme est particulièrement simple.
Calcule l'aire exacte du triangle \(APQ\) à l'aide d'un déterminant.
Partie D - Décrire le couloir par des inégalités
Le couloir de sécurité est la bande fermée comprise entre \(d_1\) et \(d_3\).
Montre qu'un point \(M(x;y)\) appartient au couloir si et seulement si
Une droite relie la géométrie, l'algèbre et les fonctions.
Tu peux toujours revenir à trois questions : quel point connais-tu, quelle direction suis-tu, quelle équation vérifies-tu ?
Maîtrise du chapitre
Validation contrôlée
Réponds aux QCM, sélectionne les bonnes propositions ou remets les étapes dans l'ordre. Le site vérifie chaque réponse avant d'ouvrir la balise suivante.
