Calcul vectoriel dans l’espace

Pourquoi étudier les vecteurs dans l'espace ?

Du plan à l'espace

En Première, tu as travaillé avec des vecteurs dans le plan : des flèches vivant dans un monde à deux dimensions, repérées par deux coordonnées \((x, y)\). Tu as appris à les additionner, les multiplier par un scalaire, calculer le milieu d'un segment, et vérifier si des points sont alignés.

En Terminale, on passe à la troisième dimension. Le monde réel est en 3D : les bâtiments, les planètes, les molécules et les personnages de jeux vidéo vivent tous dans l'espace. Les vecteurs de l'espace sont l'outil fondamental pour décrire et manipuler cette géométrie tridimensionnelle.

La bonne nouvelle : presque tout ce que tu sais déjà se généralise directement. Un vecteur a maintenant 3 coordonnées au lieu de 2, et les formules sont les mêmes, avec une coordonnée supplémentaire. Les nouvelles notions spécifiques à l'espace sont essentiellement la coplanarité (est-ce que des vecteurs sont dans un même plan ?) et la décomposition dans une base de l'espace (3 vecteurs au lieu de 2).

Les applications concrètes

Ce que tu vas apprendre

Dans cette fiche, tu vas maîtriser :

• Les opérations sur les vecteurs de l'espace (addition, multiplication par un scalaire) et leurs coordonnées.

• La translation comme application géométrique des vecteurs.

• La notion de combinaison linéaire, clé de voûte de tout le chapitre.

• La colinéarité (deux vecteurs dans la même direction) et la coplanarité (trois vecteurs dans un même plan).

• Les bases de l'espace et les repères.

• Les directions de droites et de plans, et comment vérifier qu'un point appartient à une droite ou un plan.

L'idée avant la formule

Qu'est-ce qu'un vecteur, au fond ?

Passer de 2D à 3D : qu'est-ce qui change ?

La combinaison linéaire : l'idée maîtresse

Le cours formel

Rappels et généralisation : vecteurs de l'espace

Opérations sur les vecteurs

Toutes les opérations sur les vecteurs se font coordonnée par coordonnée. Rien de compliqué, il suffit de tout traiter composante par composante.

Translation

Combinaison linéaire

Colinéarité

Coplanarité et indépendance linéaire

C'est la grande nouveauté de la Terminale par rapport à la Première.

Familles libres, bases et repères

Directions de droites et de plans

La boîte à outils : Réflexes pour le bac

Exercices

Exercice 1 ★☆☆ : Coordonnées de vecteurs et opérations

Dans un repère \((O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})\), on donne \(A(2,-1,3)\), \(B(5,2,-1)\), \(C(0,4,1)\).

1. Calculer les coordonnées de \(\vect{AB}\), \(\vect{AC}\), et \(\vect{BC}\).

2. Vérifier la relation de Chasles : \(\vect{AB} + \vect{BC} = \vect{AC}\).

3. Calculer \(2\vect{AB} - 3\vect{AC}\).

4. Déterminer les coordonnées du milieu \(I\) de \([AB]\) et du milieu \(J\) de \([AC]\).

Exercice 2 ★☆☆ : Translation

Soit \(\vec{u}\coord{-1}{3}{2}\) et les points \(A(4,1,-2)\), \(B(0,5,3)\), \(C(-2,2,1)\).

1. Déterminer les images \(A'\), \(B'\), \(C'\) de \(A\), \(B\), \(C\) par la translation \(t_{\vec{u}}\).

2. Vérifier que \(\vect{A'B'} = \vect{AB}\).

3. Quel vecteur de translation transforme \(A'\) en \(A\) ?

Exercice 3 ★☆☆ : Colinéarité et alignement

1. Les vecteurs \(\vec{u}\coord{2}{-4}{6}\) et \(\vec{v}\coord{-3}{6}{-9}\) sont-ils colinéaires ?

2. Les points \(A(1,2,3)\), \(B(3,6,7)\), \(C(5,10,11)\) sont-ils alignés ?

3. Trouver \(k\) tel que \(\vec{u}\coord{k}{6}{-4}\) et \(\vec{v}\coord{3}{-9}{6}\) soient colinéaires.

Exercice 4 ★☆☆ : Coplanarité

1. Les vecteurs \(\vec{u}\coord{1}{0}{2}\), \(\vec{v}\coord{0}{1}{-1}\), \(\vec{w}\coord{2}{1}{3}\) sont-ils coplanaires ?

2. Les points \(A(1,0,0)\), \(B(0,1,0)\), \(C(0,0,1)\), \(D(1,1,1)\) sont-ils coplanaires ?

Exercice 5 ★★☆ : Représentation paramétrique de droites

1. Écrire la représentation paramétrique de la droite \(d\) passant par \(A(1,-2,5)\) et de vecteur directeur \(\vec{u}\coord{3}{1}{-2}\).

2. Le point \(M(7, 0, 1)\) appartient-il à \(d\) ?

3. Le point \(N(4,-1,4)\) appartient-il à \(d\) ?

4. Écrire la représentation paramétrique de la droite \((BC)\) avec \(B(2,3,-1)\) et \(C(5,0,2)\).

Exercice 6 ★★☆ : Représentation paramétrique de plans

1. Écrire la représentation paramétrique du plan \(\mathcal{P}\) passant par \(A(2,0,1)\), dirigé par \(\vec{u}\coord{1}{1}{0}\) et \(\vec{v}\coord{0}{2}{-1}\).

2. Le point \(M(3,4,-1)\) appartient-il à \(\mathcal{P}\) ?

3. Le point \(N(1,-1,2)\) appartient-il à \(\mathcal{P}\) ?

Exercice 7 ★★☆ : Parallélisme

On donne les droites : \(d_1\) : passant par \(A(1,0,2)\), vecteur directeur \(\vec{u}_1\coord{2}{-1}{3}\). \(d_2\) : passant par \(B(3,1,-1)\), vecteur directeur \(\vec{u}_2\coord{-4}{2}{-6}\). \(d_3\) : passant par \(C(0,1,1)\), vecteur directeur \(\vec{u}_3\coord{1}{1}{-1}\).

1. \(d_1\) et \(d_2\) sont-elles parallèles ?

2. \(d_1\) et \(d_3\) sont-elles parallèles ?

3. \(d_1\) et \(d_2\) sont-elles confondues ?

Exercice 8 ★★☆ : Décomposition dans une base

On considère \(\vec{e}_1\coord{1}{1}{0}\), \(\vec{e}_2\coord{0}{1}{1}\), \(\vec{e}_3\coord{1}{0}{1}\).

1. Vérifier que \((\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3)\) est une base de l'espace (i.e. que \(\det(\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3)\neq 0\)).

2. Décomposer \(\vec{w}\coord{2}{3}{1}\) dans la base \((\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3)\) : trouver \(\alpha,\beta,\gamma\) tels que \(\vec{w}=\alpha\vec{e}_1+\beta\vec{e}_2+\gamma\vec{e}_3\).

Exercice 9 ★★☆ : Intersection de droites

On donne \(d_1:\begin{cases}x=1+t\\y=2-t\\z=3+2t\end{cases}\) et \(d_2:\begin{cases}x=3-s\\y=s\\z=7-2s\end{cases}\).

1. Les droites \(d_1\) et \(d_2\) sont-elles parallèles ?

2. Déterminer leur point d'intersection (s'il existe).

Exercice 10 ★★☆ : Application : parallélogramme dans l'espace

Soient \(A(1,2,3)\), \(B(4,1,5)\), \(C(6,3,4)\).

1. Déterminer \(D\) tel que \(ABCD\) soit un parallélogramme (dans cet ordre).

2. Calculer les coordonnées du centre du parallélogramme.

3. Les points \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) sont-ils coplanaires ? Justifier.

Exercice 11 ★★★ : Points alignés et paramètre

Soient \(A(1,2,3)\), \(B(3,a,7)\), \(C(5,10,11)\) où \(a\) est un réel.

1. Pour quelle valeur de \(a\) les points \(A\), \(B\), \(C\) sont-ils alignés ?

2. Pour cette valeur de \(a\), écrire la représentation paramétrique de la droite \((AC)\).

3. Le point \(D(9,18,19)\) est-il sur cette droite ?

Exercice 12 ★★★ : Intersection droite/plan

On considère le plan \(\mathcal{P}:\begin{cases}x=1+s+2t\\y=2s-t\\z=2+s+3t\end{cases}\) et la droite \(d:\begin{cases}x=-1+3u\\y=1-u\\z=4+u\end{cases}\).

1. Déterminer le point d'intersection de \(d\) et \(\mathcal{P}\) (s'il existe).

2. Le vecteur directeur de \(d\) est-il coplanaire avec les vecteurs directeurs de \(\mathcal{P}\) ?

Problème : Barycentres et coordonnées ★★★

Soit \((O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})\) un repère de l'espace.

Partie A : Barycentre de deux points

Soient \(A\) et \(B\) deux points, et \(\alpha, \beta\) deux réels tels que \(\alpha+\beta\neq 0\).

1. Montrer qu'il existe un unique point \(G\) tel que \(\alpha\,\vect{GA}+\beta\,\vect{GB}=\vec{0}\).

2. En déduire que \(\vect{OG}=\dfrac{\alpha\,\vect{OA}+\beta\,\vect{OB}}{\alpha+\beta}\).

3. Vérifier que pour \(\alpha=\beta=1\), on retrouve le milieu de \([AB]\).

4. Application : \(A(1,3,2)\), \(B(5,-1,6)\), \(\alpha=3\), \(\beta=1\). Calculer les coordonnées de \(G\).

5. Montrer que \(G\) appartient à la droite \((AB)\). Où se situe-t-il sur cette droite ?

Partie B : Barycentre de trois points et coplanarité

Soient \(A\), \(B\), \(C\) trois points non alignés, et \(\alpha,\beta,\gamma\) trois réels tels que \(\alpha+\beta+\gamma\neq 0\).

1. Par analogie, montrer qu'il existe un unique point \(G\) tel que \(\alpha\,\vect{GA}+\beta\,\vect{GB}+\gamma\,\vect{GC}=\vec{0}\), et exprimer \(\vect{OG}\).

2. Montrer que \(G\) appartient au plan \((ABC)\).

3. Application : \(A(1,0,0)\), \(B(0,1,0)\), \(C(0,0,1)\), \(\alpha=\beta=\gamma=1\). Calculer \(G\) (c'est le centre de gravité du triangle \(ABC\)).

4. Démontrer que le centre de gravité d'un triangle est situé au tiers de chaque médiane à partir du sommet.

Partie C : Barycentre de quatre points et tétraèdre

Soient \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) quatre points non coplanaires.

1. Définir le barycentre \(G\) de \((A,\alpha)\), \((B,\beta)\), \((C,\gamma)\), \((D,\delta)\) avec \(\alpha+\beta+\gamma+\delta\neq 0\).

2. Pour \(\alpha=\beta=\gamma=\delta=1\), montrer que \(G=\left(\frac{x_A+x_B+x_C+x_D}{4},\ldots\right)\) est le centre de gravité du tétraèdre \(ABCD\).

3. Application numérique avec \(A(1,0,0)\), \(B(0,1,0)\), \(C(0,0,1)\), \(D(0,0,0)\).

4. (Bonus) Montrer que les quatre médianes du tétraèdre (segments joignant chaque sommet au centre de gravité de la face opposée) sont concourantes en \(G\), et que \(G\) divise chaque médiane dans le rapport \(3:1\).

Corrigés détaillés

Corrigé : Exercice 1

1. On calcule chaque vecteur en faisant arrivée \(-\) départ :

   \(\vect{AB} = \coord{5-2}{2-(-1)}{-1-3} = \coord{3}{3}{-4}\) \(\vect{AC} = \coord{0-2}{4-(-1)}{1-3} = \coord{-2}{5}{-2}\) \(\vect{BC} = \coord{0-5}{4-2}{1-(-1)} = \coord{-5}{2}{2}\)

2. On vérifie \(\vect{AB}+\vect{BC}\) :

   \[\begin{aligned}\vect{AB} +\vect{BC} &= \coord{3}{3}{-4} +\coord{-5}{2}{2}\\&= \coord{3-5}{3+2}{-4+2} = \coord{-2}{5}{-2} = \vect{AC} \quad✓\end{aligned}\]

   La relation de Chasles est bien vérifiée.

3. \(2\vect{AB}-3\vect{AC} = 2\coord{3}{3}{-4}-3\coord{-2}{5}{-2} = \coord{6}{6}{-8}-\coord{-6}{15}{-6} = \coord{6+6}{6-15}{-8+6} = \coord{12}{-9}{-2}\)

4. Milieu \(I\) de \([AB]\) : \(I\left(\frac{2+5}{2},\frac{-1+2}{2},\frac{3+(-1)}{2}\right) = I\left(\frac{7}{2},\frac{1}{2},1\right)\)

   Milieu \(J\) de \([AC]\) : \(J\left(\frac{2+0}{2},\frac{-1+4}{2},\frac{3+1}{2}\right) = J\left(1,\frac{3}{2},2\right)\)

Corrigé : Exercice 2

1. La translation \(t_{\vec{u}}\) ajoute les coordonnées de \(\vec{u}\) à chaque point :

   \(A'=(4-1,\,1+3,\,-2+2)=\boldsymbol{(3,4,0)}\) \(B'=(0-1,\,5+3,\,3+2)=\boldsymbol{(-1,8,5)}\) \(C'=(-2-1,\,2+3,\,1+2)=\boldsymbol{(-3,5,3)}\)

2. \(\vect{A'B'}=\coord{-1-3}{8-4}{5-0}=\coord{-4}{4}{5}\) et \(\vect{AB}=\coord{0-4}{5-1}{3-(-2)}=\coord{-4}{4}{5}\).

   On a bien \(\vect{A'B'}=\vect{AB}\) ✓. La translation conserve les vecteurs.

3. Pour transformer \(A'\) en \(A\), il faut la translation de vecteur \(\vect{A'A} = -\vec{u} = \coord{1}{-3}{-2}\).

Corrigé : Exercice 3

1. On cherche \(\lambda\) tel que \(\vec{v}=\lambda\vec{u}\). Première coordonnée : \(-3=\lambda\times 2 \Rightarrow \lambda=-\frac{3}{2}\). Vérifions : \(\lambda\times(-4)=-\frac{3}{2}\times(-4)=6\) ✓ et \(\lambda\times 6=-\frac{3}{2}\times 6=-9\) ✓. Les trois coordonnées donnent le même \(\lambda\), donc \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires.

2. \(\vect{AB}=\coord{2}{4}{4}\) et \(\vect{AC}=\coord{4}{8}{8}\). On vérifie : \(\vect{AC}=2\vect{AB}\) (chaque coordonnée est le double). Donc \(\vect{AB}\) et \(\vect{AC}\) sont colinéaires, ce qui signifie que \(A\), \(B\), \(C\) sont alignés.

3. Pour que \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) soient colinéaires, il faut \(\vec{u}=\lambda\vec{v}\) pour un certain \(\lambda\). De la deuxième coordonnée : \(6=\lambda\times(-9)\Rightarrow\lambda=-\frac{2}{3}\). Troisième : \(-4=\lambda\times 6=-\frac{2}{3}\times 6=-4\) ✓. Première : \(k=\lambda\times 3=-\frac{2}{3}\times 3 = \boldsymbol{-2}\).

Corrigé : Exercice 4

1. On calcule le déterminant \(\det(\vec{u},\vec{v},\vec{w})\) :

   \[\begin{aligned}\det &= 1\times(1\times 3-(-1)\times 1)-0\times(0\times 3-(-1)\times 2)+2\times(0\times 1-1\times 2)\\ &= 1\times(3+1)-0+2\times(0-2) = 4-4 = 0\end{aligned}\]

   Le déterminant est nul, donc \(\vec{u}\), \(\vec{v}\), \(\vec{w}\) sont coplanaires.

   Vérification : \(\vec{w}=2\vec{u}+1\cdot\vec{v}=\coord{2}{0}{4}+\coord{0}{1}{-1}=\coord{2}{1}{3}\) ✓.

2. On calcule \(\vect{AB}=\coord{-1}{1}{0}\), \(\vect{AC}=\coord{-1}{0}{1}\), \(\vect{AD}=\coord{0}{1}{1}\).

   \[\begin{aligned}\det &= (-1)(0\times 1-1\times 1)-(-1)(1\times 1-0\times 1)+0\\ &= (-1)(-1)-(-1)(1)+0 = 1+1 = 2 \neq 0\end{aligned}\]

   Le déterminant est non nul, donc \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) ne sont pas coplanaires. Ils forment un tétraèdre.

Corrigé : Exercice 5

1. \(d:\begin{cases}x=1+3t\\y=-2+t\\z=5-2t\end{cases},\ t\in\R\)

2. \(M(7,0,1)\in d\) ? On cherche \(t\) : \(7=1+3t\Rightarrow t=2\). Vérification : \(y=-2+2=0\) ✓, \(z=5-4=1\) ✓. Donc \(M\in d\).

3. \(N(4,-1,4)\in d\) ? On cherche \(t\) : \(4=1+3t\Rightarrow t=1\). Vérification : \(y=-2+1=-1\) ✓, \(z=5-2=3\neq 4\) ✗. Le système est incompatible, donc \(N\notin d\).

4. Vecteur directeur : \(\vect{BC}=\coord{3}{-3}{3}\). On peut simplifier par 3 : \(\vec{u}=\coord{1}{-1}{1}\).

   \((BC):\begin{cases}x=2+t\\y=3-t\\z=-1+t\end{cases},\ t\in\R\)

Corrigé : Exercice 6

1. \(\mathcal{P}:\begin{cases}x=2+s\\y=s+2t\\z=1-t\end{cases},\ (s,t)\in\R^2\)

2. \(M(3,4,-1)\in\mathcal{P}\) ? On résout : \(x: 3=2+s\Rightarrow s=1\). \(z: -1=1-t\Rightarrow t=2\). Vérifions \(y: s+2t=1+4=5\neq 4\). Incompatible, donc \(M\notin\mathcal{P}\).

3. \(N(1,-1,2)\in\mathcal{P}\) ? \(x: 1=2+s\Rightarrow s=-1\). \(z: 2=1-t\Rightarrow t=-1\). Vérifions \(y: s+2t=-1-2=-3\neq -1\). Incompatible, donc \(N\notin\mathcal{P}\).

Corrigé : Exercice 7

1. \(\vec{u}_2=\coord{-4}{2}{-6}=-2\coord{2}{-1}{3}=-2\vec{u}_1\). Donc \(\vec{u}_1\) et \(\vec{u}_2\) sont colinéaires : \(d_1\parallel d_2\).

2. \(\vec{u}_3=\coord{1}{1}{-1}\). On teste : \(\frac{1}{2}\neq\frac{1}{-1}\). Les rapports ne sont pas égaux, donc \(d_1\) et \(d_3\) ne sont pas parallèles.

3. Deux droites parallèles sont confondues si et seulement si un point de l'une appartient à l'autre. \(B(3,1,-1)\in d_1\) ? On cherche \(t\) : \(3=1+2t\Rightarrow t=1\). Alors \(y=0+(-1)\times 1=-1\neq 1\). Donc \(B\notin d_1\) et \(d_1\neq d_2\) : elles sont parallèles et distinctes.

Corrigé : Exercice 8

1. \(\det(\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3)=1(1\times 1-(-1)\times 0)-0(1\times 1-(-1)\times 1)+1(1\times(-1)-1\times 1)\)

   \(=1\times 1-0+1\times(-2)=1-2=-2\neq 0\). Donc c'est bien une base.

2. On résout \(\alpha\vec{e}_1+\beta\vec{e}_2+\gamma\vec{e}_3=\vec{w}\) :

   \[\alpha\coord{1}{1}{0}+\beta\coord{0}{1}{1}+\gamma\coord{1}{0}{1}=\coord{2}{3}{1}\]

   Système : \(\begin{cases}\alpha+\gamma=2\\\alpha+\beta=3\\\beta+\gamma=1\end{cases}\)

   De (1) : \(\gamma=2-\alpha\). Dans (3) : \(\beta=1-\gamma=1-(2-\alpha)=\alpha-1\). Dans (2) : \(\alpha+(\alpha-1)=3\Rightarrow 2\alpha=4\Rightarrow\alpha=2\).

   Donc \(\beta=1\) et \(\gamma=0\). Vérification : \(2\vec{e}_1+\vec{e}_2=\coord{2}{2}{0}+\coord{0}{1}{1}=\coord{2}{3}{1}=\vec{w}\) ✓.

Corrigé : Exercice 9

1. Vect. dir. de \(d_1\) : \(\vec{u}_1\coord{1}{-1}{2}\). Vect. dir. de \(d_2\) : \(\vec{u}_2\coord{-1}{1}{-2}=-\vec{u}_1\). Ils sont colinéaires, donc \(d_1\parallel d_2\).

   Mais attention, parallèles ne signifie pas forcément distinctes ! Vérifions si un point de \(d_2\) est sur \(d_1\). Pour \(s=0\), \(d_2\) passe par \((3,0,7)\). On cherche \(t\) sur \(d_1\) : \(3=1+t\Rightarrow t=2\). Vérifions : \(y=2-2=0\) ✓, \(z=3+4=7\) ✓. Donc \((3,0,7)\in d_1\) et \(d_1\) et \(d_2\) sont confondues.

2. Comme \(d_1=d_2\), tout point de l'une est aussi sur l'autre. Tous les points d'intersection forment la droite elle-même.

Corrigé : Exercice 10

1. \(ABCD\) est un parallélogramme si et seulement si \(\vect{AB} = \vect{DC}\)[cite: 1592].

   Calculons les coordonnées de \(\vect{AB}\) avec \(A(1,2,3)\) et \(B(4,1,5)\)[cite: 1454]: \(\vect{AB} = \coord{4-1}{1-2}{5-3} = \coord{3}{-1}{2}\)[cite: 1593].

   Soit \(D(x,y,z)\). On a \(\vect{DC} = \coord{6-x}{3-y}{4-z}\)[cite: 1595]. L'égalité \(\vect{AB} = \vect{DC}\) nous donne le système : \(\begin{cases} 6-x = 3 \\ 3-y = -1 \\ 4-z = 2 \end{cases} \implies \begin{cases} x = 3 \\ y = 4 \\ z = 2 \end{cases}\) On trouve donc \(\mathbf{D(3, 4, 2)}\)[cite: 1595, 1621].

2. Le centre \(I\) du parallélogramme est le milieu de la diagonale \([AC]\)[cite: 1601]. Avec \(A(1,2,3)\) et \(C(6,3,4)\)[cite: 1454]: \(I = \left(\frac{1+6}{2}, \frac{2+3}{2}, \frac{3+4}{2}\right) = \mathbf{\left(\frac{7}{2}, \frac{5}{2}, \frac{7}{2}\right)}\)[cite: 1601].

   Remarque : On obtient le même résultat avec le milieu de \([BD]\).[cite: 1602].

3. Par définition, les sommets d'un parallélogramme sont toujours coplanaires puisqu'ils appartiennent au plan dirigé par les vecteurs \(\vect{AB}\) et \(\vect{AD}\)[cite: 1603].

   Vérifions-le en montrant que \(\vect{AD}\) est une combinaison linéaire de \(\vect{AB}\) et \(\vect{AC}\): \(\vect{AD} = \coord{3-1}{4-2}{2-3} = \coord{2}{2}{-1}\)[cite: 1621]. \(\vect{AC} = \coord{6-1}{3-2}{4-3} = \coord{5}{1}{1}\)[cite: 1610].

   On cherche \(\alpha\) et \(\beta\) tels que \(\vect{AD} = \alpha\vect{AB} + \beta\vect{AC}\)[cite: 1622]: \(\begin{cases} 3\alpha + 5\beta = 2 \\ -\alpha + \beta = 2 \\ 2\alpha + \beta = -1 \end{cases}\) L'équation (2) donne \(\alpha = \beta - 2\)[cite: 1624]. En substituant dans (3) : \(2(\beta-2) + \beta = -1 \implies 3\beta = 3 \implies \beta = 1\). On en déduit \(\alpha = 1 - 2 = -1\). Vérification dans (1) : \(3(-1) + 5(1) = 2\). Le système est cohérent[cite: 1625].

   Puisque \(\vect{AD} = -\vect{AB} + \vect{AC}\), les vecteurs sont coplanaires. Les quatre points \(A, B, C\) et \(D\) sont donc bien coplanaires.

Corrigé : Exercice 11

1. \(\vect{AB}=\coord{2}{a-2}{4}\) et \(\vect{AC}=\coord{4}{8}{8}=2\coord{2}{4}{4}\).

   Pour que \(A\), \(B\), \(C\) soient alignés, il faut \(\vect{AB}\parallel\vect{AC}\). Comme \(\vect{AC}=2\coord{2}{4}{4}\), on doit avoir \(\vect{AB}=\lambda\vect{AC}\). Première coordonnée : \(2=4\lambda\Rightarrow\lambda=\frac{1}{2}\). Troisième : \(4=8\times\frac{1}{2}=4\) ✓. Deuxième : \(a-2=8\times\frac{1}{2}=4\Rightarrow \boldsymbol{a=6}\).

2. Vecteur directeur : \(\vect{AC}=\coord{4}{8}{8}\), qu'on simplifie par 4 : \(\vec{u}=\coord{1}{2}{2}\).

   \((AC):\begin{cases}x=1+t\\y=2+2t\\z=3+2t\end{cases},\ t\in\R\)

3. \(D(9,18,19)\in(AC)\) ? On cherche \(t\) : \(9=1+t\Rightarrow t=8\). Vérifions : \(y=2+16=18\) ✓, \(z=3+16=19\) ✓. Donc \(\boldsymbol{D\in(AC)}\).

Corrigé : Exercice 12

1. On cherche \((s,t,u)\) tels que les coordonnées coïncident :

   \[\begin{cases}1+s+2t=-1+3u\\2s-t=1-u\\s+3t=4+u-2\end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases}s+2t-3u=-2\\2s-t+u=1\\s+3t-u=2\end{cases}\]

   De (1) : \(s=-2-2t+3u\). Dans (2) :

   \[\begin{aligned} 2(-2-2t+3u)&=1+t-u\\ -4-4t+6u&=1+t-u\\ -5t+7u&=5. \end{aligned}\]

   Dans (3) : \((-2-2t+3u)+3t-u=2\Rightarrow t+2u=4\Rightarrow t=4-2u\).

   Substitution dans \(-5t+7u=5\) : \(-5(4-2u)+7u=5\Rightarrow -20+10u+7u=5\Rightarrow 17u=25\Rightarrow u=\frac{25}{17}\).

   Alors \(t=4-\frac{50}{17}=\frac{18}{17}\), \(s=-2-\frac{36}{17}+\frac{75}{17}=\frac{-34-36+75}{17}=\frac{5}{17}\).

   Point d'intersection : \(M=\left(-1+\frac{75}{17},\,1-\frac{25}{17},\,4+\frac{25}{17}\right)=\boldsymbol{\left(\frac{58}{17},\,-\frac{8}{17},\,\frac{93}{17}\right)}\).

2. Vect. dir. de \(d\) : \(\vec{u}_d\coord{3}{-1}{1}\). Vect. dir. de \(\mathcal{P}\) : \(\vec{u}_1\coord{1}{2}{1}\), \(\vec{u}_2\coord{2}{-1}{3}\).

   \(\det(\vec{u}_1,\vec{u}_2,\vec{u}_d)=1(-1\times 1-3\times(-1))-2(2\times 1-3\times 3)+3(2\times(-1)-(-1)\times 3)\)

   Recalculons proprement : \(\det = 1((-1)(1)-(3)(-1))-2((2)(1)-(3)(3))+3((2)(-1)-(-1)(3))\)

   \(= 1(-1+3)-2(2-9)+3(-2+3) = 2-2(-7)+3(1)=2+14+3=19\neq 0\).

   Comme le déterminant est non nul, \(\vec{u}_d\) n'est pas coplanaire avec \(\vec{u}_1\) et \(\vec{u}_2\). Cela confirme que \(d\) n'est pas parallèle au plan \(\mathcal{P}\) et le coupe en exactement un point.

Corrigé : Problème (Barycentres)

Partie A

1. On cherche \(G\) tel que \(\alpha\vect{GA}+\beta\vect{GB}=\vec{0}\). En utilisant un point \(O\) quelconque et la relation de Chasles : \(\alpha(\vect{OA}-\vect{OG})+\beta(\vect{OB}-\vect{OG})=\vec{0}\), soit \(\alpha\vect{OA}+\beta\vect{OB}-(\alpha+\beta)\vect{OG}=\vec{0}\).

Comme \(\alpha+\beta\neq 0\), on peut isoler : \(\vect{OG}=\frac{\alpha\vect{OA}+\beta\vect{OB}}{\alpha+\beta}\). Cette expression détermine un unique point \(G\). \(\square\)

2. C'est exactement ce qu'on vient de montrer : \(\vect{OG}=\frac{\alpha\vect{OA}+\beta\vect{OB}}{\alpha+\beta}\).

3. \(\alpha=\beta=1\) : \(\vect{OG}=\frac{\vect{OA}+\vect{OB}}{2}\). En coordonnées : \(G=\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2},\frac{z_A+z_B}{2}\right)\), c'est bien le milieu de \([AB]\). ✓

4. \(\alpha=3\), \(\beta=1\) : \(G=\frac{3A+1\cdot B}{4}=\left(\frac{3+5}{4},\frac{9-1}{4},\frac{6+6}{4}\right)=\boldsymbol{(2,2,3)}\).

5. \(\vect{AG}=\coord{1}{-1}{1}\) et \(\vect{AB}=\coord{4}{-4}{4}=4\coord{1}{-1}{1}=4\vect{AG}\). Donc \(\vect{AG}=\frac{1}{4}\vect{AB}\) : \(G\) est sur \((AB)\), situé au quart de \([AB]\) à partir de \(A\).

Partie B

6. Même raisonnement : \(\alpha\vect{GA}+\beta\vect{GB}+\gamma\vect{GC}=\vec{0}\) donne, via Chasles :

7. \(\vect{AG}=\vect{OG}-\vect{OA}=\frac{\alpha\vect{OA}+\beta\vect{OB}+\gamma\vect{OC}}{\alpha+\beta+\gamma}-\vect{OA}=\frac{\beta\vect{AB}+\gamma\vect{AC}}{\alpha+\beta+\gamma}\), qui est une combinaison linéaire de \(\vect{AB}\) et \(\vect{AC}\). Donc \(G\) est dans le plan \((ABC)\). \(\square\)

8. \(G=\frac{A+B+C}{3}=\left(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3}\right)\).

9. La médiane issue de \(A\) rejoint le milieu \(M\) de \([BC]\). \(M=\left(0,\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)\). \(\vect{AG}=\coord{-\frac{2}{3}}{\frac{1}{3}}{\frac{1}{3}}\) et \(\vect{AM}=\coord{-1}{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}\). On vérifie : \(\vect{AG}=\frac{2}{3}\vect{AM}\). Donc \(G\) est situé au tiers de la médiane \([AM]\) à partir de \(A\), c'est-à-dire au \(\frac{2}{3}\) en partant de \(A\). Par symétrie du raisonnement, c'est vrai pour les trois médianes. \(\square\)

Partie C

10. \(G\) est l'unique point vérifiant \(\alpha\vect{GA}+\beta\vect{GB}+\gamma\vect{GC}+\delta\vect{GD}=\vec{0}\), soit \(\vect{OG}=\frac{\alpha\vect{OA}+\beta\vect{OB}+\gamma\vect{OC}+\delta\vect{OD}}{\alpha+\beta+\gamma+\delta}\).

11. Pour \(\alpha=\beta=\gamma=\delta=1\) : \(G=\frac{A+B+C+D}{4}\).

12. \(G=\frac{1}{4}\left(\coord{1}{0}{0}+\coord{0}{1}{0}+\coord{0}{0}{1}+\coord{0}{0}{0}\right)=\boldsymbol{\left(\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{4}\right)}\).

13. Soit \(G'_{BCD}\) le centre de gravité de la face \(BCD\) : \(G'_{BCD}=\frac{B+C+D}{3}=(0,\frac{1}{3},\frac{1}{3})\). La médiane issue de \(A\) est \([AG'_{BCD}]\). On vérifie : \(\vect{AG}=\frac{3}{4}\vect{AG'_{BCD}}\), donc \(G\) divise \([AG'_{BCD}]\) dans le rapport \(3:1\) (3 parts de \(A\) vers \(G'_{BCD}\), 1 part de \(G'_{BCD}\)). Par symétrie du raisonnement, c'est vrai pour les 4 médianes : elles sont concourantes en \(G\). \(\square\)