Calculer l’équation d’une tangente

Un parcours à ton rythme

Ce que tu vas savoir faire

Distinguer l'abscisse du contact, sa hauteur et la pente de la tangente.
Construire une tangente à partir d'un point et d'un nombre dérivé.
Calculer son équation, puis contrôler le résultat de deux façons.
Utiliser une approximation locale en sachant ce qu'elle permet de conclure.
Reconnaître une tangente horizontale et les situations où la formule ne s'applique pas.

Tu peux lire la fiche en plusieurs séances. Les exemples montrent chaque étape ; les indices et les corrections restent accessibles quand tu en as besoin.

Les bases utiles avant de commencer

Calculer l'image d'un nombre par une fonction et placer un point dans un repère.
Lire une pente comme un déplacement vertical divisé par un déplacement horizontal.
Dériver les fonctions carré, cube et inverse, ainsi qu'une somme simple.
Développer une expression en conservant les parenthèses et les signes.

Un point pour la position, une pente pour la direction

Une tangente décrit la direction d'une courbe au voisinage d'un point. Imagine un véhicule sur une route courbe : sa position et la direction qu'il suit à cet instant sont deux informations différentes. Pour une courbe de fonction, le point de contact indique la position ; le nombre dérivé indique la pente. Comprendre cette séparation évite de chercher une formule avant de savoir ce que représentent ses nombres.

On choisit une abscisse $$a$$ . Le point de la courbe est alors $$A(a;f(a))$$ . Le nombre $$a$$ n'est donc pas le point entier. Le nombre $$f(a)$$ donne sa hauteur. Lorsque la fonction est dérivable en $$a$$ , le nombre $$f'(a)$$ donne la pente de la tangente : il compare une variation verticale à une variation horizontale.

Si $$f(2)=3$$ et $f'(2)=-\frac12$ , le point de contact est $$A(2;3)$$ . Depuis ce point, avancer de deux unités horizontalement et descendre d'une unité donne un second point $$C(4;2)$$ de la tangente. La droite passant par $$A$$ et $$C$$ a bien la pente attendue. Ce second point n'a aucune obligation d'appartenir à la courbe.

Sur papier, commence par placer le point de contact, puis construis un déplacement correspondant à la pente. Une pente $$3$$ signifie par exemple « une unité vers la droite, trois vers le haut ». Une pente nulle signifie « avancer sans monter ni descendre ». L'inclinaison visuelle dépend des échelles du repère : pour vérifier une pente, utilise les graduations des deux axes.

Pourquoi le nombre dérivé intervient

La droite sécante passant par $$A(a;f(a))$$ et $$B(a+h;f(a+h))$$ , avec $h\ne0$ , a pour pente un taux de variation. Il mesure ce qui se passe entre deux abscisses différentes :

\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.

On rapproche ensuite $$B$$ de $$A$$ . Si cette pente tend vers un réel fini lorsque $$h$$ tend vers zéro, ce réel est le nombre dérivé $$f'(a)$$ . Le taux est associé à un déplacement non nul ; la dérivée est une limite. On ne remplace jamais directement $$h$$ par zéro dans un quotient dont le dénominateur est $$h$$ .

Pour $$f(x)=x^2$$ au voisinage de $$a=2$$ , le calcul révèle ce qui se stabilise :

\begin{aligned} \frac{f(2+h)-f(2)}{h} &=\frac{(2+h)^2-4}{h}\\[.4em] &=\frac{4h+h^2}{h}\\[.4em] &=4+h \qquad(h\ne0),\\[.4em] f'(2)&=\lim_{h\to0}(4+h)\\[.4em] &=4. \end{aligned}

Avec $$h=0{,}1$$ , la sécante a pour pente $$4{,}1$$ . Avec $$h=-0{,}1$$ , elle a pour pente $$3{,}9$$ . Les deux valeurs encadrent ici la pente limite $$4$$ , sans lui être égales. Une seule pente calculée entre deux points ne suffit donc pas à connaître exactement la tangente.

À observer : dans le laboratoire, garde d'abord le point de contact fixe. Rapproche le second point et compare la sécante à la tangente. Déplace ensuite le point de contact : relève séparément sa hauteur et la pente. La courbe reste la même, mais ces deux nombres peuvent changer différemment.

De la sécante à la tangente : faire varier l’écart

Sur la parabole f(x) = x², A a pour abscisse a et B pour abscisse a + h. Garde a = 1. Prévois les pentes pour h = 1, puis 0,5, puis −0,5. Rapproche ensuite B de A.

Bleu : parabole. Corail : tangente en A. Pointillés : sécante passant par A et B. La fenêtre est fixe ; les valeurs exactes sont indiquées sous le graphique.

Pour a = 1 et h = 1, A = (1 ; 1), B = (2 ; 4) : la sécante a une pente de 3 et la tangente une pente de 2. Pour h non nul, la pente de la sécante est 2a + h ; sa limite quand h tend vers 0 vaut 2a.

À h = 0, les deux points sont confondus : le quotient de variation n’est pas défini. La tangente reste tracée parce que la limite existe. Explique pourquoi approcher 0 et remplacer h par 0 dans le quotient sont deux opérations différentes.

Retrouver l'équation au lieu de la deviner

Une droite non verticale de pente $$m$$ , passant par $$A(a;b)$$ , vérifie $$y-b=m(x-a)$$ . Le déplacement horizontal depuis $$A$$ est $$x-a$$ , et le déplacement vertical est $$y-b$$ . Pour la tangente, on remplace $$b$$ par $$f(a)$$ et $$m$$ par $$f'(a)$$ :

\boxed{y=f(a)+f'(a)(x-a).}

Cette écriture donne déjà une équation complète. Développer est utile si l'on demande la forme $$y=mx+p$$ , mais ce n'est pas une étape obligatoire pour reconnaître la droite. La forme centrée sur $$a$$ garde visibles le contact et la pente.

Vérifier le cadre : identifier $$a$$ , le domaine de $$f$$ et la dérivabilité en ce point.
Calculer la hauteur : remplacer $$x$$ par $$a$$ dans $$f(x)$$ .
Calculer la pente : dériver $$f$$ , puis remplacer $$x$$ par $$a$$ dans $$f'(x)$$ .
Assembler : écrire la formule avec les valeurs obtenues et conserver les parenthèses.
Contrôler : remplacer $$x$$ par $$a$$ dans l'équation de la droite, puis vérifier son coefficient directeur.

Ces deux derniers contrôles répondent à deux questions indépendantes : la droite passe-t-elle au bon endroit ? A-t-elle la bonne direction ? Une droite peut passer par le contact et être trop inclinée. Elle peut aussi avoir la bonne pente tout en étant décalée verticalement.

Trois tangentes, trois informations à distinguer

Exemple 1 — Une parabole avec une hauteur négative

On cherche la tangente à $$f(x)=x^2-3x+1$$ à l'abscisse $$a=2$$ . Cette fonction polynomiale est dérivable sur $\mathbb R$ . Calculons d'abord les deux informations séparément :

\begin{aligned} f(2)&=2^2-3\times2+1\\[.4em] &=4-6+1\\[.4em] &=-1,\\[.6em] f'(x)&=2x-3,\\[.4em] f'(2)&=4-3\\[.4em] &=1. \end{aligned}

Le point de contact est $$A(2;-1)$$ ; la pente est $$1$$ . La courbe est sous l'axe horizontal en ce point, tandis que sa tangente monte vers la droite. Une hauteur négative n'implique pas une pente négative.

\begin{aligned} y&=-1+1(x-2)\\[.4em] &=-1+x-2\\[.4em] &=x-3. \end{aligned}

Pour $$x=2$$ , la droite donne $$y=-1$$ : le contact est vérifié. Son coefficient directeur vaut $$1$$ : la direction est vérifiée. Pour la tracer, place $$A$$ , puis $$C(3;0)$$ . Ici $$f(3)=1$$ , donc $$C$$ n'appartient pas à la parabole. Cela n'empêche pas $$C$$ de servir à tracer la tangente.

Exemple 2 — Une pente négative avec des fractions

Pour $$g(x)=1/x$$ , on cherche la tangente en $$a=2$$ . Le domaine exclut zéro, mais $$2$$ appartient bien au domaine de dérivabilité. La dérivée de l'inverse vaut $$-1/x^2$$ :

\begin{aligned} g(2)&=\frac12,\\[.4em] g'(2)&=-\frac1{2^2}\\[.4em] &=-\frac14,\\[.6em] y&=\frac12-\frac14(x-2)\\[.4em] &=\frac12-\frac14x+\frac12\\[.4em] &=1-\frac14x. \end{aligned}

Le produit du coefficient négatif par le terme $$-2$$ donne $$+1/2$$ . C'est le passage à surveiller lors du développement. Au contact, $$1-2/4=1/2$$ , et le coefficient de $$x$$ vaut bien $$-1/4$$ . Pour construire un second point, avance de deux unités et descends de $$1/2$$ : on obtient $$C(4;0)$$ .

La tangente permet aussi d'estimer $$g(2{,}04)$$ : elle donne $$1-2{,}04/4=0{,}49$$ . La valeur exacte est $$25/51$$ , soit environ $$0{,}490196$$ . L'estimation est proche, mais elle reste une approximation. Le simple mot « tangente » ne fournit pas à lui seul une borne numérique de l'erreur.

Exemple 3 — Une tangente horizontale que la courbe traverse

Pour $$h(x)=x^3$$ , la tangente à l'abscisse zéro est particulièrement simple :

\begin{aligned} h(0)&=0,\\[.4em] h'(x)&=3x^2,\\[.4em] h'(0)&=0,\\[.4em] y&=0+0(x-0)\\[.4em] &=0. \end{aligned}

La droite est l'axe horizontal. Pourtant, la fonction continue à croître en traversant zéro : les valeurs sont négatives à gauche, positives à droite. Une tangente horizontale ne garantit donc pas un maximum ou un minimum. Une tangente peut aussi traverser la courbe ; elle n'est pas définie comme une droite qui « touche sans jamais couper ».

Compare avec $$x^2$$ en zéro : sa tangente est également $$y=0$$ , mais le carré reste au-dessus et possède un minimum. Même point, même pente, comportements différents autour du point. Pour décider s'il existe un extremum, il faut examiner la fonction de part et d'autre.

Quand il faut suspendre la formule

La formule utilise un nombre dérivé réel. Avant de chercher l'équation, il faut donc vérifier que ce nombre existe. Pour $$f(x)=|x|$$ en zéro, le taux vaut $$1$$ si $h\gt 0$ et $$-1$$ si $h\lt 0$ . Les deux limites latérales sont différentes : il n'existe pas de pente unique, donc pas de tangente unique au sens usuel en ce point anguleux.

Pour $f(x)=\sqrt{x}$ en zéro, le domaine ne contient que des valeurs positives ou nulles. Le taux à droite est différent :

\begin{aligned} \frac{\sqrt{h}-\sqrt{0}}{h} &=\frac{\sqrt h}{h}\\[.4em] &=\frac1{\sqrt h}\qquad(h>0). \end{aligned}

Ce quotient devient arbitrairement grand quand $$h$$ se rapproche de zéro par valeurs positives. Il ne tend pas vers un réel fini : la fonction n'est pas dérivable en zéro avec une dérivée réelle. Géométriquement, la courbe admet une demi-tangente verticale à cette extrémité, portée par la droite $$x=0$$ . Une droite verticale ne s'écrit pas $$y=mx+p$$ avec un nombre réel $$m$$ . On n'écrit pas « pente égale à l'infini » dans la formule de tangente.

Enfin, le mot « locale » compte. La droite tangente approche la courbe près du contact ; elle n'a pas vocation à remplacer toute la fonction. Pour le carré en $$a=2$$ , l'écart exact entre la courbe et la tangente vaut $$(x-2)^2$$ . Un déplacement petit produit ici un écart petit ; loin du contact, l'écart peut devenir grand.

Essayer, prendre un indice, puis recommencer

Pour chaque exercice, commence par écrire deux lignes séparées : « hauteur » et « pente ». Tu peux ouvrir un indice dès qu'un passage bloque. Après la correction, referme-la et reprends le calcul ; la variante proposée permet de vérifier le geste sur de nouvelles données.

À toi de jouer · à ton rythme

1 — Construire depuis deux informations

On sait que $$f(1)=3$$ et $$f'(1)=-2$$ . Donne le point de contact, l'équation de la tangente et les coordonnées d'un second point permettant de la tracer. Explique pourquoi tu n'as pas besoin de connaître toute la formule de $$f$$ .

Tu peux chercher sur papier, demander une piste ou lire directement la correction. Reprends ensuite une étape avec tes propres mots.

Indice 1 · par où commencer

Le contact a pour abscisse $$1$$ et pour ordonnée $$3$$ . La pente vaut $$-2$$ , ce qui indique un déplacement vertical de $$-2$$ pour un déplacement horizontal de $$1$$ .

Indice 2 · avancer d’une étape

Écris $$y=3-2(x-1)$$ . Pour développer, multiplie les deux termes de la parenthèse par $$-2$$ .

Voir le corrigé entièrement rédigé

\begin{aligned}y&=3-2(x-1)\\[.4em]&=3-2x+2\\[.4em]&=-2x+5.\end{aligned}

Le contact est $$A(1;3)$$ . Un déplacement $$(1;-2)$$ donne $$C(2;1)$$ . La droite passe par $$A$$ , puisque $$-2+5=3$$ , et sa pente vaut $$-2$$ . La tangente est déterminée par ces deux informations locales ; la formule complète de la courbe n'est pas nécessaire. Variante : reprends avec $$f(-1)=4$$ et $$f'(-1)=3$$ , puis vérifie le contact dans ton équation.

À toi de jouer · à ton rythme

2 — Calculer et vérifier une équation

Soit $$f(x)=2x^2+x-1$$ . Détermine la tangente à l'abscisse $$-1$$ . Une proposition est $$y=-3x-1$$ : explique précisément pourquoi elle convient ou non.

Tu peux chercher sur papier, demander une piste ou lire directement la correction. Reprends ensuite une étape avec tes propres mots.

Indice 1 · par où commencer

Calcule $$f(-1)$$ avant de dériver. Le carré de $$-1$$ vaut $$1$$ , alors que le terme $$x$$ vaut $$-1$$ .

Indice 2 · avancer d’une étape

On obtient $$f(-1)=0$$ et $$f'(x)=4x+1$$ , donc $$f'(-1)=-3$$ . Dans la formule, $$x-a=x-(-1)=x+1$$ .

Voir le corrigé entièrement rédigé

\begin{aligned}f(-1)&=2-1-1\\[.4em]&=0,\\[.4em]f'(-1)&=-4+1\\[.4em]&=-3,\\[.4em]y&=0-3(x+1)\\[.4em]&=-3x-3.\end{aligned}

La tangente passe par $$(-1;0)$$ et sa pente est $$-3$$ . La proposition $$y=-3x-1$$ a la bonne pente, mais donne $$2$$ au lieu de $$0$$ au contact : elle est décalée. Variante : cherche la tangente à la même courbe en $$a=0$$ , puis contrôle les deux informations.

À toi de jouer · à ton rythme

3 — Décider si une tangente est horizontale

Pour $$f(x)=x^3-3x$$ , cherche toutes les abscisses où la tangente est horizontale, puis donne les équations de ces tangentes. La seule résolution de $$f(x)=0$$ aurait-elle répondu à la question ?

Tu peux chercher sur papier, demander une piste ou lire directement la correction. Reprends ensuite une étape avec tes propres mots.

Indice 1 · par où commencer

Horizontal signifie « pente nulle ». Il faut donc résoudre $$f'(a)=0$$ , puis calculer les hauteurs $$f(a)$$ .

Indice 2 · avancer d’une étape

La dérivée est $$3x^2-3=3(x-1)(x+1)$$ . Les abscisses candidates sont $$-1$$ et $$1$$ .

Voir le corrigé entièrement rédigé

\begin{aligned}f'(a)=0&\Longleftrightarrow 3(a-1)(a+1)=0\\[.4em]&\Longleftrightarrow a=-1\ \text{ou}\ a=1,\\[.6em]f(-1)&=-1+3\\[.4em]&=2,\\[.4em]f(1)&=1-3\\[.4em]&=-2.\end{aligned}

Les tangentes sont $$y=2$$ au point $$(-1;2)$$ et $$y=-2$$ au point $$(1;-2)$$ . Résoudre $$f(x)=0$$ chercherait les contacts avec l'axe horizontal, sans imposer une pente nulle. Pour cette fonction, le signe de la dérivée change aux deux points ; on peut donc y reconnaître des extrema locaux. Cette conclusion demande cette information supplémentaire, comme le montre le contre-exemple $$x^3$$ . Variante : remplace $$f$$ par $$f+5$$ : prédis ce qui change pour les abscisses et les hauteurs des tangentes horizontales.

Un contrôle court avant de poursuivre

Sans relire les exemples, prends $$f(x)=x^2$$ au point d'abscisse $$3$$ . Écris le point de contact, la pente, une équation de tangente et un second point pour la tracer. Vérifie ensuite que la droite passe au contact et possède le coefficient directeur attendu. Si une étape bloque, reviens au passage correspondant : calcul d'image, dérivation, développement ou lecture de pente. Ce repérage permet de travailler précisément ce qui manque.

Tu peux poursuivre avec les exercices de la fiche de dérivation. Pour interpréter une tangente horizontale dans une étude complète, retrouve la méthode du tableau de variations. Garde surtout cette phrase à reconstruire avec tes propres mots : le contact fixe où passe la droite, et la dérivée fixe sa direction.