Un parcours à ton rythme
Ce que tu vas savoir faire
- Découper le domaine en intervalles avant d'étudier une dérivée.
- Passer d'une dérivée factorisée à un signe, puis à des variations justifiées.
- Compléter le tableau avec les valeurs, les bornes et les éventuelles limites.
- Distinguer un point stationnaire, un extremum local et un extremum global.
- Utiliser le tableau pour comparer, encadrer ou optimiser, puis vérifier la conclusion.
Tu peux lire la fiche en plusieurs séances. Les exemples montrent chaque étape ; les indices et les corrections restent accessibles quand tu en as besoin.
Les bases utiles avant de commencer
- Identifier les valeurs interdites d'une fraction et lire un intervalle.
- Dériver un polynôme et une fonction inverse simple.
- Factoriser une expression et déterminer le signe d'un produit ou d'un quotient.
- Calculer une image sans confondre la fonction avec sa dérivée.
Raconter comment la hauteur change
Un tableau de variations résume comment les valeurs d'une fonction évoluent quand on parcourt les abscisses de gauche à droite. Une flèche montante signifie que les hauteurs augmentent ; elle ne signifie pas que ces hauteurs sont positives. Une fonction peut monter tout en restant sous l'axe horizontal, comme \(f(x)=x-10\) sur \([0;2]\) : elle passe de \(-10\) à \(-8\).
La dérivée fournit une information sur cette évolution. Pour une fonction dérivable sur un intervalle, une dérivée positive ou nulle entraîne que la fonction y est croissante, au sens large ; une dérivée négative ou nulle entraîne qu'elle y est décroissante. Une dérivée strictement positive sur tout un intervalle assure une croissance stricte ; une dérivée strictement négative assure une décroissance stricte.
Le mot intervalle est une hypothèse utile. On ne doit pas relier automatiquement deux parties séparées du domaine par une seule flèche. Il faut également distinguer le signe de \(f'(x)\), qui renseigne sur le mouvement des hauteurs, du signe de \(f(x)\), qui indique leur position par rapport à zéro.
Si \(f'\) est identiquement nulle sur un intervalle, \(f\) y est constante. Si \(f'\) s'annule seulement en un point, cette seule information ne permet pas de conclure que la fonction devient constante, ni qu'elle change de sens. Nous allons regarder le signe de part et d'autre avant de choisir les flèches.
Repérer d'abord où l'étude a un sens
Avant de dériver, écris le domaine demandé par l'énoncé. Une formule peut être définie sur \(\mathbb R\), alors que la question ne porte que sur \([-2;5]\). Inversement, une fraction ou une racine peut imposer une restriction. La fonction \(1/(x-1)\) n'est pas définie en \(1\) ; la fonction \(\sqrt{x}\) n'est définie que pour \(x\geqslant0\).
Ensuite, précise où la dérivée existe. La racine est continue en zéro, mais sa dérivée réelle \(1/(2\sqrt{x})\) n'est définie que pour \(x\gt 0\). On peut malgré cela étudier la croissance sur \([0;+\infty[\), en utilisant la dérivée sur l'intérieur et la continuité au bord. Le zéro appartient au domaine de la fonction : il faut donc inscrire \(f(0)=0\), pas une valeur interdite.
- Inscris les bornes de l'intervalle étudié et les éventuelles valeurs exclues.
- Calcule la dérivée seulement là où les règles de dérivation s'appliquent.
- Repère ses zéros et les points où elle n'existe pas alors que la fonction existe.
- Étudie chaque intervalle ainsi obtenu, puis traite les points et les bornes séparément.
Une borne exclue n'a pas de valeur \(f(a)\) à calculer. En Terminale, on complète souvent le tableau par une limite. La limite et l'image sont deux informations différentes : s'approcher d'une hauteur ne signifie pas que la fonction atteint cette hauteur. En Première, les variations et les valeurs aux bornes incluses permettent déjà de résoudre de nombreuses questions sans ajouter une étude de limites formelle.
Exemple complet : du calcul à une conclusion sur les extrema
Une fonction cubique sur un intervalle fermé
Étudions \(f(x)=x^3-3x^2-9x+5\) sur \([-2;5]\). Le polynôme est dérivable sur tout \(\mathbb R\), donc en particulier sur l'intervalle demandé. On dérive terme par terme, puis on factorise pour lire le signe :
Le facteur \(3\) est positif. Le facteur \(x+1\) s'annule en \(-1\), et le facteur \(x-3\) en \(3\). Ces deux abscisses sont à l'intérieur de l'intervalle étudié. Pour \(x\lt -1\), les deux facteurs sont négatifs : leur produit est positif. Entre \(-1\) et \(3\), leurs signes sont opposés. Après \(3\), ils sont tous deux positifs.
| Intervalle | Signes de \(x+1\), \(x-3\) | Signe de \(f'\) |
|---|---|---|
| \(]-2;-1[\) | \(-\), \(-\) | \(+\) |
| \(]-1;3[\) | \(+\), \(-\) | \(-\) |
| \(]3;5[\) | \(+\), \(+\) | \(+\) |
Aux abscisses \(-1\) et \(3\), la dérivée vaut zéro. Nous n'avons pas encore calculé les hauteurs : il faut maintenant utiliser la formule de \(f\), et non celle de \(f'\).
La fonction est continue aux points de raccord, puisqu'il s'agit d'un polynôme. On peut donc exprimer les variations sur les intervalles fermés correspondants :
| Abscisses | Variation de \(f\) | Hauteurs |
|---|---|---|
| De \(-2\) à \(-1\) | Strictement croissante | \(3\nearrow10\) |
| De \(-1\) à \(3\) | Strictement décroissante | \(10\searrow-22\) |
| De \(3\) à \(5\) | Strictement croissante | \(-22\nearrow10\) |
À l'intérieur de l'intervalle, le changement de signe \(+\) vers \(-\) donne un maximum local en \(-1\), et le changement \(-\) vers \(+\) un minimum local en \(3\). Pour une conclusion globale sur \([-2;5]\), on compare aussi les bornes. Le minimum global est \(-22\), atteint uniquement en \(3\). Le maximum global est \(10\), atteint en \(-1\) et en \(5\). Un maximum n'est donc pas nécessairement atteint en une seule abscisse.
Le contrôle final consiste à relire les hauteurs dans le sens des flèches : \(3\lt 10\), puis \(10\gt -22\), puis \(-22\lt 10\). Ces comparaisons sont cohérentes avec les signes calculés. Le tableau permet également de conclure que toutes les valeurs de \(f\) sur cet intervalle sont comprises entre \(-22\) et \(10\).
Un trou dans le domaine interdit de raccorder les flèches
Deux intervalles décroissants ne font pas toujours un seul domaine décroissant
Considérons \(g(x)=1/(x-1)\). Son domaine est \(]-\infty;1[\cup]1;+\infty[\). La fonction n'a aucune valeur en \(1\). Sur chacun de ces deux intervalles :
Le dénominateur est strictement positif pour \(x\ne1\), donc \(g'(x)\lt 0\). On conclut que \(g\) est strictement décroissante sur \(]-\infty;1[\) et strictement décroissante sur \(]1;+\infty[\). On conserve ces deux intervalles dans la conclusion.
Pourquoi ne pas écrire simplement « décroissante sur son domaine » ? Prenons deux abscisses situées de part et d'autre du trou : \(0\lt 2\), mais \(g(0)=-1\lt 1=g(2)\). L'ordre des images n'est pas celui d'une fonction décroissante. Le théorème sur le signe de la dérivée s'applique sur un intervalle ; le domaine entier n'en est pas un.
Complément de Terminale : les limites précisent la forme des deux branches. Lorsque \(x\) se rapproche de \(1\) par la gauche, le dénominateur est négatif et proche de zéro ; les images tendent vers \(-\infty\). Par la droite, elles tendent vers \(+\infty\). Aux deux infinis, elles se rapprochent de zéro, par valeurs négatives à gauche et positives à droite.
| Intervalle | Variation | Limites dans le sens de lecture |
|---|---|---|
| \(]-\infty;1[\) | Strictement décroissante | \(0\searrow-\infty\) |
| \(]1;+\infty[\) | Strictement décroissante | \(+\infty\searrow0\) |
Les zéros inscrits dans cette dernière colonne représentent des limites : \(g\) ne prend jamais la valeur zéro. L'abscisse \(1\) n'est pas un extremum, puisque la fonction n'y est pas définie. On ne remplace pas un trou du domaine par une image inventée ni par un zéro de dérivée.
Un zéro de dérivée est une étape à examiner
La fonction cube ralentit en zéro sans changer de sens
Pour \(h(x)=x^3\), on a \(h'(x)=3x^2\). La dérivée est positive pour \(x\ne0\) et nulle en zéro. Son signe est donc \(+\), puis \(0\), puis \(+\). Il n'y a pas de changement de signe.
La fonction est strictement croissante sur chacun des intervalles \(]-\infty;0]\) et \([0;+\infty[\). Pour deux abscisses de part et d'autre de zéro, les images vérifient \(x_1^3\lt 0\lt x_2^3\). Ces informations permettent de conclure à la croissance stricte sur tout \(\mathbb R\), malgré l'annulation ponctuelle de la dérivée.
En zéro, les valeurs immédiatement à gauche sont plus petites, celles à droite plus grandes. Le point n'est ni un maximum ni un minimum local. La tangente est horizontale, mais la courbe la traverse. Le calcul \(h'(0)=0\) indique un point stationnaire, pas une réponse automatique à une question d'optimisation.
Un extremum local concerne les valeurs dans un voisinage du point. Un extremum global concerne toutes les valeurs du domaine étudié. À l'intérieur d'un intervalle, si la fonction est dérivable et admet un extremum local, sa dérivée y est nulle. La réciproque est fausse, comme vient de le montrer le cube.
Les bornes demandent un autre regard. Sur \([0;2]\), la fonction \(x\mapsto x\) a un minimum global en \(0\) et un maximum global en \(2\), alors que sa dérivée vaut toujours \(1\). Une recherche d'extrema globaux ne peut donc pas se limiter à résoudre \(f'(x)=0\). Sur \(]0;2[\), la même fonction n'atteint ni minimum ni maximum : les deux bornes sont exclues.
Manipulation : pour une parabole \(a(x-\alpha)^2+\beta\), garde \(\alpha\) et \(\beta\) fixes, puis change le signe de \(a\). Prédis l'ordre des flèches avant de regarder la courbe. Essaie enfin \(a=0\). Sur papier, avec \(\alpha=2\) et \(\beta=-1\), le cas \(a=1\) descend puis monte avec un minimum \(-1\) ; le cas \(a=-1\) monte puis descend avec un maximum \(-1\) ; le cas \(a=0\) est constant.
Relier une parabole à sa formule
Pour f(x) = a(x − α)² + β, prévois ce qui change lorsque tu modifies seulement β. Essaie ensuite α, puis a.
Pour f(x) = (x − 2)² − 1, le sommet est S(2 ; −1), les racines sont 1 et 3. Changer −1 en +1 relève chaque point de 2 unités : il n’y a plus de racine réelle.
Lire les valeurs et les coordonnées
Pour f(x) = (x − 2)² − 1, le sommet est S(2 ; −1), les racines sont 1 et 3. Changer −1 en +1 relève chaque point de 2 unités : il n’y a plus de racine réelle.
Trouve successivement une courbe avec deux racines, une racine et aucune racine réelle. Justifie à partir du signe de −β/a.
Faire du tableau un outil de décision
Dans un problème d'optimisation, le tableau vient après le choix de la grandeur à optimiser et de son domaine. Une longueur doit souvent rester positive ; une durée peut être bornée ; un nombre de personnes est entier. Un extremum trouvé hors du domaine ne répond pas au problème. Si la variable ne prend que des valeurs entières, un optimum calculé sur les réels peut nécessiter de comparer les entiers voisins autorisés.
Pour comparer deux images sans les calculer, il faut placer leurs abscisses dans un même intervalle de monotonie. Dans l'exemple cubique, \(0\lt 2\) et la fonction décroît sur \([-1;3]\), donc \(f(0)\gt f(2)\). En revanche, les abscisses \(-2\) et \(4\) se trouvent dans des morceaux différents : leur ordre ne suffit pas, à lui seul, à comparer les images.
Avant de rendre une étude, contrôle quatre points : les valeurs interdites apparaissent-elles ? Le signe étudié est-il celui de la dérivée ? Les hauteurs ont-elles été calculées dans la fonction initiale ? Les minima et maxima annoncés sont-ils réellement atteints sur le domaine demandé ? Si une flèche contredit les hauteurs de ses extrémités, reviens au signe ou au calcul d'image : cette incohérence indique où chercher.
Trois études pour rendre les étapes autonomes
Tu peux commencer chaque exercice avec une feuille séparée en trois zones : domaine, dérivée et signes, puis variations et conclusion. Prends un indice si tu n'identifies pas l'étape suivante. Les corrections expliquent aussi pourquoi une conclusion trop rapide peut échouer.
À toi de jouer · à ton rythme
1 — Un minimum et des bornes à comparer
Étudie \(f(x)=x^2-4x+1\) sur \([0;5]\). Donne les intervalles de variation, le minimum global et le maximum global, avec leurs abscisses. Explique pourquoi le maximum n'est pas forcément au point où la dérivée s'annule.
Tu peux chercher sur papier, demander une piste ou lire directement la correction. Reprends ensuite une étape avec tes propres mots.
Indice 1 · par où commencer
La dérivée vaut \(2x-4\). Son signe change au point \(2\), situé dans l'intervalle étudié.
Indice 2 · avancer d’une étape
Calcule \(f(0)\), \(f(2)\) et \(f(5)\). Les valeurs aux deux bornes sont nécessaires pour le maximum global.
Voir le corrigé entièrement rédigé
La dérivée est négative avant \(2\), puis positive après. La fonction décroît strictement de \(1\) à \(-3\) sur \([0;2]\), puis croît strictement de \(-3\) à \(6\) sur \([2;5]\). Son minimum global est \(-3\), atteint en \(2\), et son maximum global est \(6\), atteint en \(5\). La dérivée s'annule au minimum, tandis que le maximum est à une borne. Variante : remplace l'intervalle par \([0;4]\). Recalcule seulement ce qui a changé et détermine toutes les abscisses du maximum.
À toi de jouer · à ton rythme
2 — Garder une valeur interdite dans la conclusion
Étudie les variations de \(g(x)=2+1/x\) sur son domaine. Un élève propose « la dérivée est négative, donc la fonction décroît sur tout son domaine ». Vérifie cette conclusion en comparant \(g(-1)\) et \(g(1)\). En Terminale, complète par les quatre limites aux bords des deux intervalles.
Tu peux chercher sur papier, demander une piste ou lire directement la correction. Reprends ensuite une étape avec tes propres mots.
Indice 1 · par où commencer
Le domaine exclut zéro. Il est composé de deux intervalles distincts ; le terme constant \(2\) ne contribue pas à la dérivée.
Indice 2 · avancer d’une étape
On obtient \(g'(x)=-1/x^2\lt 0\) pour \(x\ne0\). Les images de \(-1\) et de \(1\) valent respectivement \(1\) et \(3\).
Voir le corrigé entièrement rédigé
Le domaine est \(]-\infty;0[\cup]0;+\infty[\). Le signe strictement négatif de la dérivée établit une décroissance stricte sur chacun de ces intervalles. Pourtant, \(-1\lt 1\) et \(g(-1)=1\lt 3=g(1)\) : la décroissance ne s'étend pas au domaine entier. La fonction n'a ni maximum ni minimum global, car ses valeurs sont arbitrairement grandes près de zéro à droite, et arbitrairement petites près de zéro à gauche.
La valeur \(2\) n'est jamais atteinte, car \(1/x\ne0\). Variante : étudie \(2-1/x\), en expliquant ce que le changement de signe modifie dans les deux flèches.
À toi de jouer · à ton rythme
3 — Une tangente horizontale sans extremum
Étudie \(h(x)=(x-1)^3+2\) sur \([-1;3]\). Le point d'abscisse \(1\) est-il un extremum ? Détermine les extrema globaux sur l'intervalle. Indique séparément le signe de \(h'(0)\) et celui de \(h(0)\), puis fais la même comparaison en \(x=-1\).
Tu peux chercher sur papier, demander une piste ou lire directement la correction. Reprends ensuite une étape avec tes propres mots.
Indice 1 · par où commencer
La dérivée est \(3(x-1)^2\). Un carré est positif ou nul, et le seul zéro de cette dérivée est \(1\).
Indice 2 · avancer d’une étape
Les images des abscisses \(-1\), \(1\), \(3\) valent \(-6\), \(2\), \(10\). Le signe de la dérivée ne change pas en \(1\).
Voir le corrigé entièrement rédigé
La fonction est strictement croissante avant et après \(1\). À gauche de \(1\), \((x-1)^3\lt 0\), donc \(h(x)\lt 2\) ; à droite, \(h(x)\gt 2\). Elle est donc strictement croissante sur tout \([-1;3]\), et \(1\) n'est pas un extremum. Le minimum global est \(-6\) en \(-1\), le maximum global \(10\) en \(3\).
La pente est positive aux deux abscisses, mais les hauteurs n'ont pas le même signe. C'est pourquoi la ligne des signes de la dérivée ne remplace pas un tableau de signes de la fonction. Variante : remplace \(+2\) par \(-4\). Prédis les variations et les extrema, puis vérifie les nouvelles hauteurs.
Après comparaison, où en es-tu ?
Vérifier une capacité, puis la réutiliser
Referme une correction et explique oralement le passage entre chaque ligne de ton étude : pourquoi ce domaine, pourquoi ces points de coupure, pourquoi ce signe, pourquoi cette flèche ? Si tu peux seulement recopier les flèches sans expliquer leur origine, reprends le tableau de signes avec une valeur test dans chaque intervalle. Ces essais numériques aident à contrôler le raisonnement ; ils ne remplacent pas l'étude de signe sur tout l'intervalle.
Pour prolonger, choisis un problème d'optimisation dans la fiche sur les variations. Si le lien entre dérivée et pente demande un rappel, reprends la méthode de la tangente. Le tableau devient utile quand tu peux en tirer une conclusion précise, avec son domaine et ses conditions, au-delà du seul dessin des flèches.