Variations et courbes · Première spécialité

Avant de commencer5 questions pour vérifier tes bases

1. Quelle est la dérivée de f(x) = x² ?

x2x2

2. On donne f′(x)=3x²−12. Quel est le signe de f′(1) ?

NégatifPositifNul

3. Un polynôme du second degré réel a un discriminant strictement négatif. Combien a-t-il de racines réelles ?

UneDeuxAucune

4. Si u < 0 et v > 0, quel est le signe de uv ?

NulStrictement positifStrictement négatif

5. Pour f(x)=x²−2 sur [−1 ; 3], quelles sont les images des deux bornes ?

1 et 9−3 et 1−1 et 7

Ton parcours dans ce chapitre

Une dérivée donne une pente. Nous allons relier cette information locale à une question globale : où une fonction augmente-t-elle, et jusqu'à quelle valeur ?

À reprendre si nécessaire : calculer une dérivée simple, factoriser et lire le signe d'un produit. Par exemple $$2(x-3)$$ est négatif pour $$x<3$$ , nul en $$3$$ et positif pour $$x>3$$ ; le facteur $$2$$ ne change pas le signe.
À apprendre : distinguer hauteur et pente ; passer d'une dérivée à un tableau ; chercher un extremum sans oublier le domaine ; exploiter une symétrie ; comparer deux courbes ; résoudre une optimisation.
Pour travailler : alterne une notion et une pause. Prendre un indice est une manière de repérer l'étape à reprendre. Les solutions restent accessibles directement ; les variantes permettent de réessayer.

La méthode de Newton est un exemple d'algorithme du programme, abordé dans un cas favorable. Son étude générale de convergence n'est pas demandée en Première.

Pourquoi étudier les variations ?

Le problème fondamental

Une fois qu'on sait dériver (fiche précédente), une question naturelle se pose : à quoi ça sert ? La réponse est spectaculaire. Le signe de la dérivée $$f'$$ permet de connaître les variations de $$f$$ sans calculer des dizaines de valeurs : là où $$f'>0$$ , la fonction monte ; là où $$f'<0$$ , elle descend. On peut alors trouver les maximums et minimums, tracer précisément une courbe, résoudre des problèmes d'optimisation et même démontrer des inégalités.

Extremums. En un extremum intérieur où la fonction est dérivable, la tangente est horizontale : la dérivée s'annule. C'est le point de départ de toute recherche d'optimum.

Optimisation. « Quel est le volume maximal d'une boîte ? », « quel prix maximise le bénéfice ? » : on exprime la quantité à optimiser comme une fonction, et on cherche son extremum grâce à $$f'$$ .

Tracer et comparer. Le tableau de variations aide à construire l'allure d'une courbe. Étudier le signe de $$f-g$$ permet de savoir quelle courbe est au-dessus de l'autre.

L'idée directrice

L'idée avant la formule

La dérivée indique la pente

L'extremum : quand la pente change de signe

Le cours complet

Le théorème fondamental

Théorème · Signe de la dérivée et sens de variation

Soit $$f$$ dérivable sur un intervalle $$I$$ .

$$f$$ est croissante sur $$I$$ si et seulement si $f'(x)\geqslant0$ pour tout $$x$$ de $$I$$ .
$$f$$ est décroissante sur $$I$$ si et seulement si $f'(x)\leqslant0$ pour tout $$x$$ de $$I$$ .
$$f$$ est constante sur $$I$$ si et seulement si $$f'(x)=0$$ pour tout $$x$$ de $$I$$ .

Si $$f'>0$$ sur $$I$$ , alors $$f$$ est strictement croissante ; si $$f'<0$$ , elle est strictement décroissante. Une dérivée de signe strict sauf en un nombre fini de points où elle s'annule donne encore une variation stricte. Ainsi $$x^3$$ est strictement croissante malgré sa dérivée nulle en $$0$$ . Ces résultats sont admis en Première. Sur un segment fermé, on utilise la continuité aux bornes et la dérivabilité à l'intérieur, ce qui sera le cas des exemples étudiés ici.

À toi d’essayer

Une courbe peut monter sous l'axe

Pour $$f(x)=x^2-4$$ sur $$[0;3]$$ , calcule $$f(1)$$ et $$f'(1)$$ . La fonction est-elle positive en $$1$$ ? Est-elle croissante sur $$[0;3]$$ ? Explique pourquoi ces questions sont différentes.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Une valeur de $$f$$ donne la hauteur du point. Une valeur de $$f'$$ donne la pente de sa tangente.

Indice 2 · Un pas de plus

$$f'(x)=2x$$ . Le signe de $$f'(x)$$ sur l'intervalle permet de décrire les variations ; le signe de $$f(1)$$ permet de situer un point par rapport à l'axe.

Voir l’explication

\begin{aligned}f(1) &= 1^2-4\\[.35em]&= -3,\\[.35em]f'(1) &= 2\times1\\[.35em]&= 2.\end{aligned}

Le point est sous l'axe car sa hauteur est négative, mais la pente est positive. Sur $$[0;3]$$ , $f'(x)=2x\geqslant0$ ; la fonction est croissante, et même strictement croissante. Elle passe de $$-4$$ à $$5$$ , en traversant la hauteur $$0$$ en $$x=2$$ . Réessaie : $$g(x)=5-x$$ reste positive sur $$[0;3]$$ tout en étant décroissante, car $$g'=-1$$ . Exercice 1 pour lire le signe d'une dérivée.

À l'abscisse $$1$$ , lis deux ordonnées différentes : $$-3$$ sur la courbe de $$f$$ , et $$2$$ sur celle de $$f'$$ . Le tracé pointillé est la courbe de la dérivée, et non une tangente à la courbe bleue.

La méthode du tableau de variations

Exemple · Étude complète

Soit $$f(x)=x^3-3x$$ sur $\R$ . 1. Dériver puis factoriser :

\begin{aligned}f'(x)&=3x^2-3\\[.35em]&=3(x^2-1)\\[.35em]&=3(x-1)(x+1).\end{aligned}

2. Lire les signes : $$3$$ est positif. Pour $$x<-1$$ , les deux autres facteurs sont négatifs, donc leur produit est positif. Entre $$-1$$ et $$1$$ , ils ont des signes contraires : le produit est négatif. Après $$1$$ , les deux sont positifs. 3. Calculer les hauteurs aux changements :

\begin{aligned}f(-1) &= (-1)^3-3(-1)\\[.35em]&= -1+3\\[.35em]&= 2,\\[.35em]f(1) &= 1^3-3\\[.35em]&= -2.\end{aligned}

4. Interpréter : les signes de la deuxième ligne déterminent les flèches de la troisième. La valeur $$2$$ est un maximum local atteint en $$-1$$ , et $$-2$$ un minimum local atteint en $$1$$ . Ce ne sont pas des bornes globales sur $\R$ : par exemple $$f(3)=18>2$$ .

À toi d’essayer

Le zéro va dans la ligne de la dérivée

Soit $$g(x)=x^2-6x+5$$ sur $$[0;5]$$ . Calcule $$g'$$ , donne son signe, puis les valeurs de $$g$$ aux bornes et au point où $$g'$$ s'annule. Détermine le minimum et le maximum sur cet intervalle.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Commence par la dérivée. Quand elle s'annule, calcule séparément la valeur de la fonction : elle n'est pas nécessairement nulle.

Indice 2 · Un pas de plus

$$g'(x)=2(x-3)$$ . Calcule $$g(0)$$ , $$g(3)$$ et $$g(5)$$ ; les bornes peuvent porter un maximum même si la dérivée ne s'y annule pas.

Voir l’explication

\begin{aligned}g'(x) &= 2x-6\\[.35em]&= 2(x-3),\\[.35em]g(0)&=5,\\[.35em]g(3) &= 9-18+5\\[.35em]&= -4,\\[.35em]g(5) &= 25-30+5\\[.35em]&= 0.\end{aligned}

La dérivée est négative avant $$3$$ , nulle en $$3$$ , positive après. La fonction décroît de $$5$$ à $$-4$$ , puis croît de $$-4$$ à $$0$$ . Sur $$[0;5]$$ , son minimum est $$-4$$ en $$3$$ et son maximum $$5$$ en $$0$$ . Le zéro $$g'(3)=0$$ ne remplace jamais la valeur $$g(3)=-4$$ dans le tableau. Réessaie : sur $$[2;5]$$ , les valeurs à comparer sont $$g(2)=-3$$ , $$g(3)=-4$$ , $$g(5)=0$$ : le maximum est maintenant $$0$$ en $$5$$ . Exercices 3 et 4.

Extremums

Une preuve à construire

Pourquoi la pente s'annule à un minimum intérieur

Suppose $$f$$ dérivable en $$a$$ , point intérieur, et $f(x)\geqslant f(a)$ pour $$x$$ proche de $$a$$ . Explique pourquoi $$f'(a)=0$$ en regardant les taux de variation de part et d'autre.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Le numérateur $$f(a+h)-f(a)$$ est positif ou nul. Le dénominateur $$h$$ change de signe quand on passe de droite à gauche.

Indice 2 · Un pas de plus

Pour $$h>0$$ , le taux est positif ou nul. Pour $$h<0$$ , il est négatif ou nul. La dérivabilité impose la même limite des deux côtés.

Voir la preuve expliquée

Pour $$h$$ assez petit et non nul, le minimum donne $f(a+h)-f(a)\geqslant0$ . À droite, on divise par $$h>0$$ , donc le taux est positif ou nul : sa limite $$f'(a)$$ est positive ou nulle. À gauche, on divise par $$h<0$$ , donc le taux est négatif ou nul : la même limite $$f'(a)$$ est négative ou nulle. Ainsi

f'(a)\geqslant0\quad\text{et}\quad f'(a)\leqslant0,\qquad\text{donc}\qquad f'(a)=0.

Les deux côtés sont nécessaires : à une borne, l'un peut manquer. Pour un maximum, on inverse les signes du numérateur et on obtient encore une limite nulle.

À toi d’essayer

Trois situations à distinguer

Étudie les trois affirmations : « $$x^3$$ a un extremum en $$0$$ », « $$x$$ n'a pas de maximum sur $$[0;2]$$ car sa dérivée ne s'annule pas », « $$|x|$$ n'a pas de minimum en $$0$$ car elle n'y est pas dérivable ». Corrige-les à l'aide des valeurs ou des variations.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Reviens à la définition d'un maximum ou d'un minimum : compare les valeurs. Vérifie ensuite si les hypothèses du théorème sont présentes.

Indice 2 · Un pas de plus

$$(-1)^3<0<1^3$$ ; la plus grande valeur de $$x$$ sur $$[0;2]$$ est à la borne droite ; $$|x|$$ est toujours positif ou nul.

Voir l’explication

Pour $$x^3$$ , les valeurs continuent à augmenter de part et d'autre de $$0$$ ; la dérivée $$3x^2$$ s'annule en $$0$$ sans extremum. Pour $$f(x)=x$$ sur $$[0;2]$$ , le maximum est $$2$$ , atteint en la borne $$2$$ , et $$f'=1$$ . Pour $$g(x)=|x|$$ , le minimum est $$0$$ en $$0$$ , mais la courbe forme un angle : les pentes à gauche et à droite sont $$-1$$ et $$1$$ , donc il n'y a pas de dérivée en $$0$$ . Ces exemples ne contredisent pas le théorème : ils montrent pourquoi ses hypothèses et sa conclusion ne se confondent pas. Réessaie : $$-x$$ sur $$[0;2]$$ a son maximum $$0$$ en $$0$$ , tandis que $$-x^2$$ sur $\R$ a son maximum $$0$$ en un point intérieur dérivable. Exercice 13.

Optimisation

À toi d’essayer

Un mur change le modèle

On dispose de $$40$$ m de grillage pour trois côtés d'un enclos rectangulaire, le quatrième étant un mur. Note $$x$$ la profondeur perpendiculaire au mur. Trouve les dimensions qui maximisent l'aire et compare avec le rectangle entièrement clôturé.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Fais un croquis et marque uniquement les trois côtés qui utilisent du grillage. Il y a deux profondeurs, mais une seule longueur à clôturer.

Indice 2 · Un pas de plus

La contrainte est $$2x+L=40$$ , donc $$L=40-2x$$ , avec $$0<x<20$$ . L'aire vaut $$A(x)=40x-2x^2$$ .

Voir l’explication

\begin{aligned}L&=40-2x,\\[.35em]A(x) &= x(40-2x)\\[.35em]&= 40x-2x^2,\\[.35em]A'(x) &= 40-4x\\[.35em]&= 4(10-x).\end{aligned}

L'aire augmente jusqu'à $$x=10$$ puis diminue. Pour $$x=10$$ m, on obtient $$L=20$$ m et une aire de $$200$$ m $$^2$$ . Le contrôle $2\times10+20=40$ confirme le grillage utilisé. Le maximum a doublé par rapport au rectangle clôturé sur quatre côtés, car le mur remplace une partie de la clôture. Réessaie : avec $$60$$ m de grillage, les dimensions sont $$15$$ m et $$30$$ m et l'aire maximale $$450$$ m $$^2$$ ; exercice 7.

Inégalités par étude de fonction

Une preuve à construire

Transformer un minimum en inégalité

Pour $$x>0$$ , prouve $x+1/x\geqslant2$ en étudiant $$f(x)=x+1/x$$ . Précise quand l'égalité est atteinte.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Dérive, puis réunis la dérivée en une fraction dont tu peux lire le signe.

Indice 2 · Un pas de plus

$$f'(x)=(x-1)(x+1)/x^2$$ . Sur le domaine $$x>0$$ , le facteur $$x+1$$ et le dénominateur $$x^2$$ sont strictement positifs.

Voir la preuve expliquée

\begin{aligned}f'(x)&=1-\frac1{x^2}\\[.35em]&=\frac{x^2-1}{x^2}\\[.35em]&=\frac{(x-1)(x+1)}{x^2}.\end{aligned}

Sur $]0;+\infty[$ , le signe est celui de $$x-1$$ . La fonction décroît jusqu'à $$1$$ , puis croît. Son minimum est $$f(1)=2$$ , donc $x+1/x\geqslant2$ pour tout $$x>0$$ , avec égalité seulement en $$x=1$$ . Le domaine intervient dans la preuve : pour $$x=-1$$ , la somme vaut $$-2$$ , donc l'inégalité annoncée ne s'étend pas aux nombres négatifs.

Position relative de deux courbes

À toi d’essayer

Se rencontrer n'est pas toujours se croiser

Compare les courbes de $$f(x)=x^2$$ et $$g(x)=2x-1$$ , puis celles de $$p(x)=x^2$$ et $$q(x)=x$$ . Trouve les intersections et explique si l'ordre des deux courbes change à ces points.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Pour comparer deux hauteurs au même $$x$$ , étudie leur différence. Une différence nulle donne une intersection ; son signe de chaque côté indique si les courbes se croisent.

Indice 2 · Un pas de plus

Dans le premier cas, $$f-g=(x-1)^2$$ . Dans le second, $$p-q=x(x-1)$$ . Les zéros ne suffisent pas : regarde aussi les signes.

Voir l’explication

Dans le premier cas, $(x-1)^2\geqslant0$ pour tout $$x$$ . Les courbes se touchent en $$(1;1)$$ sans changer d'ordre : la parabole reste au-dessus ou confondue avec la droite au point de contact. Dans le second cas, $$x(x-1)$$ est positif pour $$x<0$$ ou $$x>1$$ , négatif pour $$0<x<1$$ et nul en $$0$$ et $$1$$ . Les intersections sont $$(0;0)$$ et $$(1;1)$$ , et les courbes se croisent à chacune : l'ordre s'inverse. Réessaie : $$x^2$$ et $$x^2+1$$ ne se rencontrent jamais ; leur différence vaut constamment $$-1$$ . Exercice 9 pour une différence cubique.

Application au trinôme du second degré

Lecture graphique de la dérivée

Fonctions paires et impaires : exploiter une symétrie

Une preuve à construire

Passer de l'égalité à la figure

Justifie les deux symétries à partir des coordonnées d'un point $$M(x;f(x))$$ . Pourquoi doit-on vérifier le domaine avant l'égalité ?

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Le symétrique de $$(x;y)$$ par rapport à l'axe des ordonnées est $$(-x;y)$$ . Par rapport à l'origine, il est $$(-x;-y)$$ .

Indice 2 · Un pas de plus

Pour qu'un point d'abscisse $$-x$$ appartienne à la courbe, son ordonnée doit être $$f(-x)$$ ; cette valeur doit d'abord exister.

Voir la preuve expliquée

Si $$f(-x)=f(x)$$ , la courbe contient $$(-x;f(x))$$ , symétrique de $$M$$ par rapport à l'axe des ordonnées. Si $$f(-x)=-f(x)$$ , elle contient $$(-x;-f(x))$$ , symétrique de $$M$$ par rapport à l'origine. Ces raisonnements concernent tous les points grâce à la symétrie du domaine. La fonction $x\mapsto x^2$ restreinte à $[0;+\infty[$ n'est donc pas paire sur ce domaine : $$-2$$ n'y appartient pas alors que $$2$$ y appartient.

À toi d’essayer

Une symétrie doit fonctionner partout

Classe $$f(x)=x^4+2$$ , $$g(x)=x^3+2x$$ et $$h(x)=x^2+x$$ , définies sur $\R$ , en fonctions paires, impaires, ou ni l'une ni l'autre. Pour $$h$$ , cherche un contre-exemple numérique.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Calcule l'expression en $$-x$$ , puis compare avec l'expression en $$x$$ et avec son opposée. Une égalité pour quelques valeurs ne prouve pas une parité.

Indice 2 · Un pas de plus

$$(-x)^4=x^4$$ , $$(-x)^3=-x^3$$ . Pour $$h$$ , compare $$h(1)$$ et $$h(-1)$$ .

Voir l’explication

\begin{aligned}f(-x) &= x^4+2\\[.35em]&= f(x),\\[.35em]g(-x) &= -x^3-2x\\[.35em]&= -g(x),\\[.35em]h(-x)&=x^2-x.\end{aligned}

Ainsi $$f$$ est paire et $$g$$ est impaire. Comme $$h(1)=2$$ et $$h(-1)=0$$ , on n'a ni $$h(-1)=h(1)$$ ni $$h(-1)=-h(1)$$ : $$h$$ n'est ni paire ni impaire. Un seul contre-exemple suffit à réfuter une égalité censée être vraie pour tout $$x$$ . Réessaie : $$x^2-4$$ est paire sur $\R$ , tandis que $$x^3$$ est impaire. Trace leurs points symétriques à partir d'un point choisi du côté positif.

Synthèse : étude complète d'une fonction

Un algorithme du programme : comprendre la méthode de Newton

Une preuve à construire

La prochaine valeur vient d'une tangente

À partir d'un nombre $$x_n$$ tel que $f'(x_n)\neq0$ , trouve l'abscisse $x_{n+1}$ où la tangente à la courbe en $$x_n$$ rencontre l'axe des abscisses.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Rappelle l'équation d'une tangente. Sur l'axe des abscisses, l'ordonnée est nulle.

Indice 2 · Un pas de plus

Substitue $$y=0$$ et $x=x_{n+1}$ dans $$y=f(x_n)+f'(x_n)(x-x_n)$$ , puis isole $x_{n+1}$ .

Voir la preuve expliquée

\begin{aligned}0&=f(x_n)+f'(x_n)(x_{n+1}-x_n),\\[.35em]f'(x_n)(x_{n+1}-x_n)&=-f(x_n),\\[.35em]x_{n+1}-x_n&=-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)},\\[.35em]x_{n+1}&=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.\end{aligned}

La division est possible grâce à $f'(x_n)\neq0$ . Cette formule décrit une construction géométrique ; elle ne garantit pas à elle seule que les valeurs obtenues approchent une solution. Dans les cas favorables étudiés ici, on examine les valeurs et l'erreur résiduelle $$f(x_n)$$ .

Schéma : Un algorithme du programme : comprendre la méthode de Newton

Lis la construction : depuis le point $$(2;2)$$ de la parabole, on suit la tangente jusqu'à l'axe. On obtient $$1{,}5$$ , qui n'est pas encore la racine : $1{,}5^2-2=0{,}25$ . La prochaine étape repart du point de la courbe d'abscisse $$1{,}5$$ .

À toi d’essayer

Calculer une étape et contrôler ce qu'elle signifie

Pour $$f(x)=x^2-2$$ et $$x_0=2$$ , calcule $$x_1$$ , puis $$x_2$$ . Compare $$f(x_1)$$ et $$f(x_2)$$ à zéro. Pourquoi ne peut-on pas commencer avec $$x_0=0$$ ?

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Utilise $$f'(x)=2x$$ . À chaque étape, c'est la nouvelle valeur qui remplace $$x_n$$ .

Indice 2 · Un pas de plus

\begin{aligned}x_1 &= 2-(4-2)/4\\[.35em]&= 3/2.\end{aligned}

Ensuite, $x_2=3/2-((3/2)^2-2)/(2\times3/2)$ .

Voir l’explication

\begin{aligned}x_1 &= 2-\frac24\\[.35em]&= \frac32,\\[.35em]x_2&=\frac32-\frac{1/4}{3}\\[.35em]&= \frac32-\frac1{12}\\[.35em]&= \frac{17}{12},\\[.35em]f(x_1)&=\frac14,\\[.35em]f(x_2) &= \frac{289}{144}-2\\[.35em]&= \frac1{144}.\end{aligned}

Le résidu se rapproche de zéro : le second point est plus près de l'axe. Ce contrôle est cohérent avec une meilleure approximation de $\sqrt2$ dans ce cas. Au départ $$0$$ , $$f'(0)=0$$ : la tangente est horizontale et la formule exige une division par zéro. Réessaie : avec $$f(x)=x^2-3$$ et $$x_0=2$$ , le premier pas donne $$x_1=7/4$$ et le résidu $$1/16$$ .

Méthode · Algorithme : méthode de Newton

La méthode de Newton approche une solution de $$f(x)=0$$ en suivant les tangentes. Dans des cas favorables, elle converge très vite.

def f(x):
    return x**2 - 2          # on cherche une racine : ici racine(2)

def fprime(x):
    return 2*x

def newton(x0, n):
    x = x0
    for k in range(n):
        x = x - f(x) / fprime(x)   # on suit la tangente
    return x

print(newton(2, 5))          # approche tres precise de racine(2)

Boîte à outils : réflexes pour le bac

Méthode · Mots-clés à repérer

Tu lis dans l'énoncé…	Tu penses à…
« étudier les variations »	dériver, signe de $$f'$$ , tableau
« maximum / minimum / optimal »	variations, points critiques et bornes
« volume / aire / coût maximal »	problème d'optimisation
« montrer que $f(x)\geqslant 0$ »	étudier le minimum de $$f$$
« position relative / au-dessus »	signe de $$f(x)-g(x)$$
« tangente horizontale »	$$f'(a)=0$$

Exercices

Exercice 1 ★☆☆ : Du signe de $$f'$$ aux variations

On donne le signe de la dérivée d'une fonction $$f$$ définie sur $\R$ : $$f'(x)>0$$ sur $]-\infty\,;-2[$ , $$f'(-2)=0$$ , $$f'(x)<0$$ sur $]-2\,;3[$ , $$f'(3)=0$$ , $$f'(x)>0$$ sur $]3\,;+\infty[$ .

Dresser le tableau de variations de $$f$$ .
Préciser la nature (max ou min) des extremums en $$-2$$ et en $$3$$ .

Exercice 2 ★☆☆ : Dériver et donner le signe

Pour chaque fonction, calculer $$f'(x)$$ et étudier son signe.

$$f(x)=x^2-6x+5$$
$$g(x)=-x^2+4x$$
$$h(x)=x^3-3x^2$$
$k(x)=\dfrac13x^3-x$

Exercice 3 ★☆☆ : Tableau de variations d'un trinôme

Soit $$f(x)=x^2-6x+5$$ . Dresser le tableau de variations de $$f$$ sur $\R$ et préciser son minimum.

Exercice 4 ★☆☆ : Tableau d'une fonction cube

Soit $$f(x)=x^3-3x+1$$ . Calculer $$f'(x)$$ , l'étudier, puis dresser le tableau de variations de $$f$$ sur $\R$ .

Exercice 5 ★★☆ : Extremums

Soit $$f(x)=2x^3-3x^2-12x+5$$ .

Calculer et factoriser $$f'(x)$$ .
Déterminer les extremums locaux de $$f$$ (abscisses, valeurs, nature).

Exercice 6 ★★☆ : Aire maximale

Un rectangle a un périmètre de $$24$$ cm. On note $$x$$ sa largeur.

Exprimer l'aire $$A(x)$$ en fonction de $$x$$ (et préciser l'intervalle).
Étudier $$A$$ et déterminer l'aire maximale.

Exercice 7 ★★☆ : Enclos contre un mur

On dispose de $$60$$ m de grillage pour clôturer un enclos rectangulaire contre un mur (le mur sert d'un des côtés, on ne grillage donc que trois côtés). On note $$x$$ la largeur (les deux côtés perpendiculaires au mur).

Exprimer la longueur, puis l'aire $$A(x)$$ .
Déterminer les dimensions qui maximisent l'aire, et cette aire maximale.

Exercice 8 ★★☆ : La fonction $x+\frac1x$

Soit $f(x)=x+\dfrac1x$ sur $]0\,;+\infty[$ .

Calculer $$f'(x)$$ et l'écrire sous la forme $\dfrac{x^2-1}{x^2}$ .
Étudier les variations de $$f$$ et en déduire son minimum.
En déduire que $x+\dfrac1x\geqslant 2$ pour tout $$x>0$$ .

Exercice 9 ★★☆ : Position relative

Comparer les courbes de $$f(x)=x^3$$ et $$g(x)=x$$ : étudier le signe de $$f(x)-g(x)$$ et préciser, selon $$x$$ , laquelle est au-dessus.

Exercice 10 ★★☆ : Inégalité

Montrer, par une étude de fonction, que pour tout réel $$x$$ : $x^2\geqslant 2x-1$ .

Exercice 11 ★★☆ : Tangentes horizontales

Soit $$f(x)=x^3-3x^2$$ .

Déterminer les points où la tangente à la courbe est horizontale.
Préciser la nature de chacun (max ou min).

Exercice 12 ★★★ : Rectangle inscrit sous une parabole

On inscrit un rectangle sous la parabole $$y=9-x^2$$ : sa base est sur l'axe des abscisses et ses deux sommets supérieurs sont sur la parabole, aux abscisses $$-x$$ et $$x$$ (avec $$0<x<3$$ ).

Montrer que l'aire du rectangle est
$\begin{aligned}A(x) &= 2x(9-x^2)\\[.35em]&= 18x-2x^3.\end{aligned}$
Déterminer la valeur de $$x$$ qui maximise $$A$$ , et l'aire maximale (valeur exacte).

Exercice 13 ★★★ : $$f'$$ s'annule sans extremum

Soit $$f(x)=x^3-3x^2+3x$$ .

Calculer $$f'(x)$$ et montrer que $$f'(x)=3(x-1)^2$$ .
En déduire que $$f$$ est croissante sur $\R$ , bien que $$f'(1)=0$$ . Y a-t-il un extremum en $$1$$ ?

Exercice 14 ★★★ : Étude complète

Soit $$f(x)=x^3-3x^2+2$$ .

Calculer et factoriser $$f'(x)$$ .
Dresser le tableau de variations de $$f$$ sur $\R$ (avec les valeurs des extremums).
Donner l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse $$0$$ .
Tracer l'allure de la courbe (extremums, ordonnée à l'origine).

Exercice 15 ★★★ : Une inégalité classique

Montrer, par une étude de fonction, que pour tout $x\geqslant 0$ : $\sqrt{x}\leqslant\dfrac{x+1}{2}$ .

Exercice 16 ★★★ : Étude avec un facteur sans racine

Soit $$f(x)=x^4-4x$$ .

Calculer $$f'(x)$$ et montrer que $$f'(x)=4(x-1)(x^2+x+1)$$ .
Justifier que $$x^2+x+1>0$$ pour tout $$x$$ , puis en déduire le signe de $$f'(x)$$ .
Dresser le tableau de variations de $$f$$ et donner son minimum.

Exercice 17 ★★★ : Boîte de coût minimal

On fabrique une boîte sans couvercle, à base carrée de côté $$x$$ (en mètres) et de hauteur $$h$$ , de volume $$4$$ m $$^3$$ .

Justifier que $h=\dfrac{4}{x^2}$ , puis que l'aire de tôle utilisée est $A(x)=x^2+\dfrac{16}{x}$ (pour $$x>0$$ ).
Étudier $$A$$ et déterminer les dimensions qui minimisent l'aire, ainsi que cette aire minimale.

Exercice 18 ★★☆ : Lecture graphique

La courbe d'une fonction $$f$$ définie sur $\R$ monte sur $]-\infty\,;1[$ , redescend sur $]1\,;4[$ , puis remonte sur $]4\,;+\infty[$ .

Donner le signe de $$f'(x)$$ sur chacun des intervalles.
En quels points la tangente à la courbe est-elle horizontale ? Préciser la nature des extremums.

Exercice 19 ★★☆ : Périmètre minimal

Un rectangle a une aire de $$36$$ m $$^2$$ . On note $$x$$ sa largeur (en m).

Exprimer la longueur, puis le périmètre $P(x)=2x+\dfrac{72}{x}$ (pour $$x>0$$ ).
Étudier $$P$$ et déterminer les dimensions qui minimisent le périmètre.

Exercice 20 ★★★ : Courbe et tangente

Soit $$f(x)=x^3$$ et la droite $\mathcal{D}:\ y=3x-2$ .

Vérifier que $\mathcal{D}$ est tangente à la courbe de $$f$$ au point d'abscisse $$1$$ .
Étudier le signe de $$f(x)-(3x-2)$$ en factorisant $$x^3-3x+2$$ .
En déduire la position de la courbe par rapport à $\mathcal{D}$ .

Problème : Étude complète d'une cubique ★★★

Partie A : variations et extremums

Calculer $$f'(x)$$ et montrer que $$f'(x)=3(x-1)(x-3)$$ .
Étudier le signe de $$f'(x)$$ sur $[0\,;4]$ .
Calculer $$f(0)$$ , $$f(1)$$ , $$f(3)$$ et $$f(4)$$ , puis dresser le tableau de variations de $$f$$ sur $[0\,;4]$ . Préciser le maximum et le minimum.

Partie B : une inégalité

Déduire du tableau que $f(x)\geqslant 0$ pour tout $x\in[0\,;4]$ .
Pour quelles valeurs de $$x$$ a-t-on $$f(x)=0$$ ?

Partie C : position par rapport à une droite

On considère la droite $\mathcal{D}:\ y=x$ . Étudier le signe de $$f(x)-x$$ en factorisant $$x^3-6x^2+8x$$ .
En déduire, sur $[0\,;4]$ , les positions relatives de la courbe de $$f$$ et de la droite $\mathcal{D}$ , et leurs points d'intersection.

Partie D : tangente et tracé

Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $$f$$ au point d'abscisse $$2$$ .
À l'aide de tout ce qui précède, tracer l'allure de la courbe de $$f$$ sur $[0\,;4]$ (extremums, intersections avec $\mathcal{D}$ ).

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Corrigé 2

Corrigé 3

Corrigé 4

Corrigé 5

Corrigé 6

Corrigé 7

Corrigé 8

Corrigé 9

Démonstration

\begin{aligned}f(x)-g(x) &= x^3-x\\[.35em]&= x(x^2-1)\\[.35em]&= x(x-1)(x+1).\end{aligned}

Tableau de signes (racines $$-1$$ , $$0$$ , $$1$$ ) :

$$x$$	$-\infty$	$$-1$$		$$0$$		$$1$$	$+\infty$
$$x^3-x$$	$$-$$	$$0$$	$$+$$	$$0$$	$$-$$	$$0$$	$$+$$

Donc la courbe de $$f$$ est au-dessus de celle de $$g$$ sur $]-1\,;0[$ et $]1\,;+\infty[$ , et en dessous sur $]-\infty\,;-1[$ et $]0\,;1[$ . Elles se croisent en $$x=-1$$ , $$0$$ et $$1$$ .

Corrigé 10

Corrigé 11

Corrigé 12

Corrigé 13

Corrigé 14

Corrigé 15

Corrigé 16

Corrigé 17

Démonstration

1. Le volume est (base) $\times$ (hauteur)

\begin{aligned}&= x^2 h\\[.35em]&= 4,\end{aligned}

donc $h=\dfrac{4}{x^2}$ . L'aire comprend le fond ( $$x^2$$ ) et les quatre côtés ( $$4xh$$ ) :

\begin{aligned}A &= x^2+4xh\\[.35em]&= x^2+4x\times\dfrac{4}{x^2}\\[.35em]&= x^2+\dfrac{16}{x}.\end{aligned}

2.

\begin{aligned}A'(x) &= 2x-\dfrac{16}{x^2}\\[.35em]&= \dfrac{2x^3-16}{x^2}\\[.35em]&= \dfrac{2(x^3-8)}{x^2}.\end{aligned}

Sur $]0\,;+\infty[$ , $$x^2>0$$ donc le signe de $$A'$$ est celui de $$x^3-8$$ , qui s'annule en $$x=2$$ : $$A'<0$$ sur $]0\,;2[$ , $$A'>0$$ sur $]2\,;+\infty[$ . Minimum en $$x=2$$ :

\begin{aligned}A(2) &= 4+8\\[.35em]&= 12.\end{aligned}

Dimensions optimales : côté $$x=2$$ m et hauteur $$h=1$$ m, pour une aire minimale de $$12$$ m $$^2$$ .

Corrigé 18

Corrigé 19

Corrigé 20

Corrigé du problème : Étude d'une cubique

Démonstration · Partie C : position par rapport à $\mathcal{D}$

6.

\begin{aligned}f(x)-x &= x^3-6x^2+9x-x\\[.35em]&= x^3-6x^2+8x\\[.35em]&= x(x^2-6x+8)\\[.35em]&= x(x-2)(x-4).\end{aligned}

Sur $[0\,;4]$ , tableau de signes (racines $$0$$ , $$2$$ , $$4$$ ) :

$$x$$	$$0$$		$$2$$		$$4$$
$$x(x-2)(x-4)$$	$$0$$	$$+$$	$$0$$	$$-$$	$$0$$

7. Donc, sur $[0\,;4]$ : la courbe de $$f$$ est au-dessus de $\mathcal{D}$ sur $]0\,;2[$ , en dessous sur $]2\,;4[$ ; elles se croisent en $$x=0$$ , $$x=2$$ et $$x=4$$ .

Fiche-mémoire

Maîtrise du chapitre

Validation contrôlée

Réponds aux QCM, sélectionne les bonnes propositions ou remets les étapes dans l'ordre. Le site vérifie chaque réponse avant d'ouvrir la balise suivante.

Tu lis dans l'énoncé…	Tu penses à…
« étudier les variations »	dériver, signe de $\(f'\)$ , tableau
« maximum / minimum / optimal »	variations, points critiques et bornes
« volume / aire / coût maximal »	problème d'optimisation
« montrer que $f(x)\geqslant 0$ »	étudier le minimum de $\(f\)$
« position relative / au-dessus »	signe de $\(f(x)-g(x)\)$
« tangente horizontale »	$\(f'(a)=0\)$

Avant le cours, vérifie tes bases

Apprendre étape par étape

Ton parcours dans ce chapitre

Pourquoi étudier les variations ?

Le problème fondamental

L'idée directrice

L'idée avant la formule

La dérivée indique la pente

L'extremum : quand la pente change de signe

Le cours complet

Le théorème fondamental

La méthode du tableau de variations

Extremums

Optimisation

Inégalités par étude de fonction

Position relative de deux courbes

Application au trinôme du second degré

Lecture graphique de la dérivée

Fonctions paires et impaires : exploiter une symétrie

Synthèse : étude complète d'une fonction

Un algorithme du programme : comprendre la méthode de Newton

Boîte à outils : réflexes pour le bac

Exercices

Exercice 1 ★☆☆ : Du signe de \(f'\) aux variations

Exercice 2 ★☆☆ : Dériver et donner le signe

Exercice 3 ★☆☆ : Tableau de variations d'un trinôme

Exercice 4 ★☆☆ : Tableau d'une fonction cube

Exercice 5 ★★☆ : Extremums

Exercice 6 ★★☆ : Aire maximale

Exercice 7 ★★☆ : Enclos contre un mur

Exercice 8 ★★☆ : La fonction \(x+\frac1x\)

Exercice 9 ★★☆ : Position relative

Exercice 10 ★★☆ : Inégalité

Exercice 11 ★★☆ : Tangentes horizontales

Exercice 12 ★★★ : Rectangle inscrit sous une parabole

Exercice 13 ★★★ : \(f'\) s'annule sans extremum

Exercice 14 ★★★ : Étude complète

Exercice 15 ★★★ : Une inégalité classique

Exercice 16 ★★★ : Étude avec un facteur sans racine

Exercice 17 ★★★ : Boîte de coût minimal

Exercice 18 ★★☆ : Lecture graphique

Exercice 19 ★★☆ : Périmètre minimal

Exercice 20 ★★★ : Courbe et tangente

Problème : Étude complète d'une cubique ★★★

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Corrigé 2

Corrigé 3

Corrigé 4

Corrigé 5

Corrigé 6

Corrigé 7

Corrigé 8

Corrigé 9

Corrigé 10

Corrigé 11

Corrigé 12

Corrigé 13

Corrigé 14

Corrigé 15

Corrigé 16

Corrigé 17

Corrigé 18

Corrigé 19

Corrigé 20

Corrigé du problème : Étude d'une cubique

Fiche-mémoire

Maîtrise du chapitre

Parcours validé

Pour relier les notions

Exercice 1 ★☆☆ : Du signe de $\(f'\)$ aux variations

Exercice 8 ★★☆ : La fonction $x+\frac1x$

Exercice 13 ★★★ : $\(f'\)$ s'annule sans extremum