Le cours complet Le théorème fondamental
Théorème · Signe de la dérivée et sens de variation
Soit \(f\) dérivable sur un intervalle \(I\) .
\(f\) est croissante sur \(I\) si et seulement si \(f'(x)\geqslant0\) pour tout \(x\) de \(I\) .
\(f\) est décroissante sur \(I\) si et seulement si \(f'(x)\leqslant0\) pour tout \(x\) de \(I\) .
\(f\) est constante sur \(I\) si et seulement si \(f'(x)=0\) pour tout \(x\) de \(I\) .
Si \(f'>0\) sur \(I\) , alors \(f\) est strictement croissante ; si \(f'<0\) , elle est strictement décroissante. Une dérivée de signe strict sauf en un nombre fini de points où elle s'annule donne encore une variation stricte. Ainsi \(x^3\) est strictement croissante malgré sa dérivée nulle en \(0\) . Ces résultats sont admis en Première. Sur un segment fermé, on utilise la continuité aux bornes et la dérivabilité à l'intérieur, ce qui sera le cas des exemples étudiés ici.
Attention · « Sur un intervalle » : c'est essentiel
Le lien signe de \(f'\) / variations n'est valable que sur un intervalle . Par exemple \(f(x)=\frac1x\) a pour dérivée \(f'(x)=-\frac{1}{x^2}<0\) , mais \(f\) n'est pas décroissante « sur \(\R^*\) » (qui n'est pas un intervalle) : elle est décroissante séparément sur \(]-\infty\,;0[\) et sur \(]0\,;+\infty[\) .
À toi d’essayer
Une courbe peut monter sous l'axe Pour \(f(x)=x^2-4\) sur \([0;3]\) , calcule \(f(1)\) et \(f'(1)\) . La fonction est-elle positive en \(1\) ? Est-elle croissante sur \([0;3]\) ? Explique pourquoi ces questions sont différentes.
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste Une valeur de \(f\) donne la hauteur du point. Une valeur de \(f'\) donne la pente de sa tangente.
Indice 2 · Un pas de plus \(f'(x)=2x\) . Le signe de \(f'(x)\) sur l'intervalle permet de décrire les variations ; le signe de \(f(1)\) permet de situer un point par rapport à l'axe.
Voir l’explication \[\begin{aligned}f(1) &= 1^2-4\\[.35em]&= -3,\\[.35em]f'(1) &= 2\times1\\[.35em]&= 2.\end{aligned}\]
Le point est sous l'axe car sa hauteur est négative, mais la pente est positive. Sur \([0;3]\) , \(f'(x)=2x\geqslant0\) ; la fonction est croissante, et même strictement croissante. Elle passe de \(-4\) à \(5\) , en traversant la hauteur \(0\) en \(x=2\) . Réessaie : \(g(x)=5-x\) reste positive sur \([0;3]\) tout en étant décroissante, car \(g'=-1\) . Exercice 1 pour lire le signe d'une dérivée.
Agrandir ↗ À l'abscisse \(1\) , lis deux ordonnées différentes : \(-3\) sur la courbe de \(f\) , et \(2\) sur celle de \(f'\) . Le tracé pointillé est la courbe de la dérivée , et non une tangente à la courbe bleue.
La méthode du tableau de variations
Exemple · Étude complète
Soit \(f(x)=x^3-3x\) sur \(\R\) . 1. Dériver puis factoriser :
\[\begin{aligned}f'(x)&=3x^2-3\\[.35em]&=3(x^2-1)\\[.35em]&=3(x-1)(x+1).\end{aligned}\]
2. Lire les signes : \(3\) est positif. Pour \(x<-1\) , les deux autres facteurs sont négatifs, donc leur produit est positif. Entre \(-1\) et \(1\) , ils ont des signes contraires : le produit est négatif. Après \(1\) , les deux sont positifs. 3. Calculer les hauteurs aux changements :
\[\begin{aligned}f(-1) &= (-1)^3-3(-1)\\[.35em]&= -1+3\\[.35em]&= 2,\\[.35em]f(1) &= 1^3-3\\[.35em]&= -2.\end{aligned}\]
Agrandir ↗ 4. Interpréter : les signes de la deuxième ligne déterminent les flèches de la troisième. La valeur \(2\) est un maximum local atteint en \(-1\) , et \(-2\) un minimum local atteint en \(1\) . Ce ne sont pas des bornes globales sur \(\R\) : par exemple \(f(3)=18>2\) .
À toi d’essayer
Le zéro va dans la ligne de la dérivée Soit \(g(x)=x^2-6x+5\) sur \([0;5]\) . Calcule \(g'\) , donne son signe, puis les valeurs de \(g\) aux bornes et au point où \(g'\) s'annule. Détermine le minimum et le maximum sur cet intervalle.
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste Commence par la dérivée. Quand elle s'annule, calcule séparément la valeur de la fonction : elle n'est pas nécessairement nulle.
Indice 2 · Un pas de plus \(g'(x)=2(x-3)\) . Calcule \(g(0)\) , \(g(3)\) et \(g(5)\) ; les bornes peuvent porter un maximum même si la dérivée ne s'y annule pas.
Voir l’explication \[\begin{aligned}g'(x) &= 2x-6\\[.35em]&= 2(x-3),\\[.35em]g(0)&=5,\\[.35em]g(3) &= 9-18+5\\[.35em]&= -4,\\[.35em]g(5) &= 25-30+5\\[.35em]&= 0.\end{aligned}\]
La dérivée est négative avant \(3\) , nulle en \(3\) , positive après. La fonction décroît de \(5\) à \(-4\) , puis croît de \(-4\) à \(0\) . Sur \([0;5]\) , son minimum est \(-4\) en \(3\) et son maximum \(5\) en \(0\) . Le zéro \(g'(3)=0\) ne remplace jamais la valeur \(g(3)=-4\) dans le tableau. Réessaie : sur \([2;5]\) , les valeurs à comparer sont \(g(2)=-3\) , \(g(3)=-4\) , \(g(5)=0\) : le maximum est maintenant \(0\) en \(5\) . Exercices 3 et 4.
Extremums
Définition · Extremum local
\(f\) admet un maximum local en \(a\) si, pour \(x\) proche de \(a\) , \(f(x)\leqslant f(a)\) . (De même pour un minimum local avec \(f(x)\geqslant f(a)\) .) Un extremum est un maximum ou un minimum.
Théorème · Extremum et dérivée
Si \(f\) est dérivable en un point \(a\) intérieur à son intervalle d'étude et admet un extremum local en \(a\) , alors \(f'(a)=0\) : la tangente y est horizontale. La réciproque est fausse : \(f'(a)=0\) ne suffit pas. Pour les fonctions étudiées ici, un passage de \(f'\) du signe \(+\) au signe \(-\) permet de conclure à un maximum local ; un passage de \(-\) à \(+\) permet de conclure à un minimum local. Ce critère est suffisant ; on ne l'énonce pas comme une équivalence générale. Les extrema aux bornes et ceux où la fonction n'est pas dérivable se traitent séparément.
Attention · Le contre-exemple \(x^3\)
Pour \(f(x)=x^3\) , \(f'(x)=3x^2\) s'annule en \(0\) , mais \(f'(x)\geqslant 0\) partout (le signe ne change pas) : \(f\) est croissante sur \(\R\) , il n'y a pas d'extremum en \(0\) , juste un « point d'inflexion à tangente horizontale ». Le calcul \(f'(0)=0\) doit donc être complété par l'étude des variations de part et d'autre.
Une preuve à construire
Pourquoi la pente s'annule à un minimum intérieur Suppose \(f\) dérivable en \(a\) , point intérieur, et \(f(x)\geqslant f(a)\) pour \(x\) proche de \(a\) . Explique pourquoi \(f'(a)=0\) en regardant les taux de variation de part et d'autre.
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste Le numérateur \(f(a+h)-f(a)\) est positif ou nul. Le dénominateur \(h\) change de signe quand on passe de droite à gauche.
Indice 2 · Un pas de plus Pour \(h>0\) , le taux est positif ou nul. Pour \(h<0\) , il est négatif ou nul. La dérivabilité impose la même limite des deux côtés.
Voir la preuve expliquée Pour \(h\) assez petit et non nul, le minimum donne \(f(a+h)-f(a)\geqslant0\) . À droite, on divise par \(h>0\) , donc le taux est positif ou nul : sa limite \(f'(a)\) est positive ou nulle. À gauche, on divise par \(h<0\) , donc le taux est négatif ou nul : la même limite \(f'(a)\) est négative ou nulle. Ainsi
\[f'(a)\geqslant0\quad\text{et}\quad f'(a)\leqslant0,\qquad\text{donc}\qquad f'(a)=0.\]
Les deux côtés sont nécessaires : à une borne, l'un peut manquer. Pour un maximum, on inverse les signes du numérateur et on obtient encore une limite nulle.
À toi d’essayer
Trois situations à distinguer Étudie les trois affirmations : « \(x^3\) a un extremum en \(0\) », « \(x\) n'a pas de maximum sur \([0;2]\) car sa dérivée ne s'annule pas », « \(|x|\) n'a pas de minimum en \(0\) car elle n'y est pas dérivable ». Corrige-les à l'aide des valeurs ou des variations.
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste Reviens à la définition d'un maximum ou d'un minimum : compare les valeurs. Vérifie ensuite si les hypothèses du théorème sont présentes.
Indice 2 · Un pas de plus \((-1)^3<0<1^3\) ; la plus grande valeur de \(x\) sur \([0;2]\) est à la borne droite ; \(|x|\) est toujours positif ou nul.
Voir l’explication Pour \(x^3\) , les valeurs continuent à augmenter de part et d'autre de \(0\) ; la dérivée \(3x^2\) s'annule en \(0\) sans extremum. Pour \(f(x)=x\) sur \([0;2]\) , le maximum est \(2\) , atteint en la borne \(2\) , et \(f'=1\) . Pour \(g(x)=|x|\) , le minimum est \(0\) en \(0\) , mais la courbe forme un angle : les pentes à gauche et à droite sont \(-1\) et \(1\) , donc il n'y a pas de dérivée en \(0\) . Ces exemples ne contredisent pas le théorème : ils montrent pourquoi ses hypothèses et sa conclusion ne se confondent pas. Réessaie : \(-x\) sur \([0;2]\) a son maximum \(0\) en \(0\) , tandis que \(-x^2\) sur \(\R\) a son maximum \(0\) en un point intérieur dérivable. Exercice 13.
Optimisation
Exemple · Le champ rectangulaire
On dispose de \(40\) m de clôture pour les quatre côtés d'un rectangle. En notant \(x\) une dimension et \(L\) l'autre,
\[\begin{aligned}2x+2L&=40,\\[.35em]x+L&=20,\\[.35em]L&=20-x.\end{aligned}\]
Les deux dimensions doivent être positives, donc \(0<x<20\) . L'aire est
\[\begin{aligned}A(x) &= x(20-x)\\[.35em]&= -x^2+20x,\\[.35em]A'(x) &= -2x+20\\[.35em]&= 2(10-x).\end{aligned}\]
La dérivée est positive pour \(0<x<10\) , nulle en \(10\) , puis négative. L'aire augmente puis diminue : son maximum vaut \(A(10)=100\) m\(^2\) . L'autre dimension vaut aussi \(20-10=10\) m. Vérification du modèle : \(2\times10+2\times10=40\) m de clôture.
À toi d’essayer
Un mur change le modèle On dispose de \(40\) m de grillage pour trois côtés d'un enclos rectangulaire, le quatrième étant un mur. Note \(x\) la profondeur perpendiculaire au mur. Trouve les dimensions qui maximisent l'aire et compare avec le rectangle entièrement clôturé.
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste Fais un croquis et marque uniquement les trois côtés qui utilisent du grillage. Il y a deux profondeurs, mais une seule longueur à clôturer.
Indice 2 · Un pas de plus La contrainte est \(2x+L=40\) , donc \(L=40-2x\) , avec \(0<x<20\) . L'aire vaut \(A(x)=40x-2x^2\) .
Voir l’explication \[\begin{aligned}L&=40-2x,\\[.35em]A(x) &= x(40-2x)\\[.35em]&= 40x-2x^2,\\[.35em]A'(x) &= 40-4x\\[.35em]&= 4(10-x).\end{aligned}\]
L'aire augmente jusqu'à \(x=10\) puis diminue. Pour \(x=10\) m, on obtient \(L=20\) m et une aire de \(200\) m\(^2\) . Le contrôle \(2\times10+20=40\) confirme le grillage utilisé. Le maximum a doublé par rapport au rectangle clôturé sur quatre côtés, car le mur remplace une partie de la clôture. Réessaie : avec \(60\) m de grillage, les dimensions sont \(15\) m et \(30\) m et l'aire maximale \(450\) m\(^2\) ; exercice 7.
Inégalités par étude de fonction
Méthode · Démontrer une inégalité \(f(x)\geqslant 0\)
Pour montrer que \(f(x)\geqslant 0\) sur un intervalle : on étudie les variations de \(f\) et on montre que son minimum est positif ou nul. Si le minimum de \(f\) vaut \(m\geqslant 0\) , alors \(f(x)\geqslant m\geqslant 0\) pour tout \(x\) .
Exemple · Une inégalité
Montrons que \(x^3-3x+2\geqslant 0\) pour tout \(x\geqslant 0\) . Soit \(f(x)=x^3-3x+2\) . Alors
\[\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2-3\\[.35em]&= 3(x-1)(x+1)\end{aligned}\]
sur \([0\,;+\infty[\) , \(f'\) est négative sur \([0\,;1]\) et positive ensuite : \(f\) admet un minimum en \(x=1\) , et
\[\begin{aligned}f(1) &= 1-3+2\\[.35em]&= 0.\end{aligned}\]
Donc \(f(x)\geqslant f(1)=0\) : l'inégalité est prouvée.
Une preuve à construire
Transformer un minimum en inégalité Pour \(x>0\) , prouve \(x+1/x\geqslant2\) en étudiant \(f(x)=x+1/x\) . Précise quand l'égalité est atteinte.
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste Dérive, puis réunis la dérivée en une fraction dont tu peux lire le signe.
Indice 2 · Un pas de plus \(f'(x)=(x-1)(x+1)/x^2\) . Sur le domaine \(x>0\) , le facteur \(x+1\) et le dénominateur \(x^2\) sont strictement positifs.
Voir la preuve expliquée \[\begin{aligned}f'(x)&=1-\frac1{x^2}\\[.35em]&=\frac{x^2-1}{x^2}\\[.35em]&=\frac{(x-1)(x+1)}{x^2}.\end{aligned}\]
Sur \(]0;+\infty[\) , le signe est celui de \(x-1\) . La fonction décroît jusqu'à \(1\) , puis croît. Son minimum est \(f(1)=2\) , donc \(x+1/x\geqslant2\) pour tout \(x>0\) , avec égalité seulement en \(x=1\) . Le domaine intervient dans la preuve : pour \(x=-1\) , la somme vaut \(-2\) , donc l'inégalité annoncée ne s'étend pas aux nombres négatifs.
Position relative de deux courbes
Méthode · Comparer deux courbes
Pour comparer les courbes de \(f\) et \(g\) : on étudie le signe de la différence \(d(x)=f(x)-g(x)\) .
\(d(x)>0\) : la courbe de \(f\) est au-dessus de celle de \(g\) ;
\(d(x)<0\) : la courbe de \(f\) est en dessous ;
\(d(x)=0\) : les courbes ont un point commun . Elles peuvent se croiser ou se toucher sans changer d'ordre.
Exemple · Position relative
Comparons \(f(x)=x^2\) et \(g(x)=2x-1\) . On étudie \(d(x)=x^2-(2x-1)=x^2-2x+1=(x-1)^2\geqslant 0\) . Donc la courbe de \(f\) est toujours au-dessus de la droite, et elles se touchent en \(x=1\) (la droite est tangente à la parabole).
À toi d’essayer
Se rencontrer n'est pas toujours se croiser Compare les courbes de \(f(x)=x^2\) et \(g(x)=2x-1\) , puis celles de \(p(x)=x^2\) et \(q(x)=x\) . Trouve les intersections et explique si l'ordre des deux courbes change à ces points.
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste Pour comparer deux hauteurs au même \(x\) , étudie leur différence. Une différence nulle donne une intersection ; son signe de chaque côté indique si les courbes se croisent.
Indice 2 · Un pas de plus Dans le premier cas, \(f-g=(x-1)^2\) . Dans le second, \(p-q=x(x-1)\) . Les zéros ne suffisent pas : regarde aussi les signes.
Voir l’explication Dans le premier cas, \((x-1)^2\geqslant0\) pour tout \(x\) . Les courbes se touchent en \((1;1)\) sans changer d'ordre : la parabole reste au-dessus ou confondue avec la droite au point de contact. Dans le second cas, \(x(x-1)\) est positif pour \(x<0\) ou \(x>1\) , négatif pour \(0<x<1\) et nul en \(0\) et \(1\) . Les intersections sont \((0;0)\) et \((1;1)\) , et les courbes se croisent à chacune : l'ordre s'inverse. Réessaie : \(x^2\) et \(x^2+1\) ne se rencontrent jamais ; leur différence vaut constamment \(-1\) . Exercice 9 pour une différence cubique.
Application au trinôme du second degré
Propriété · Retrouver les variations d'un trinôme
Pour \(f(x)=ax^2+bx+c\) , on a \(f'(x)=2ax+b\) , qui s'annule en \(x=-\dfrac{b}{2a}\) (l'abscisse du sommet ). Le signe de \(f'\) redonne exactement les variations vues à la fiche 2 : si \(a>0\) , \(f\) décroît puis croît (minimum au sommet) ; si \(a<0\) , \(f\) croît puis décroît (maximum au sommet). La dérivation confirme et généralise l'étude du second degré.
Lecture graphique de la dérivée
Exemple · Lire \(f'\) sur la courbe de \(f\)
La courbe ci-dessous monte jusqu'à un sommet en \(x=1\) , redescend jusqu'à un creux en \(x=3\) , puis remonte.
Agrandir ↗ On en déduit immédiatement : \(f'>0\) sur \(]0\,;1[\) , \(f'(1)=0\) , \(f'<0\) sur \(]1\,;3[\) , \(f'(3)=0\) , \(f'>0\) sur \(]3\,;4[\) . Le sommet en \(x=1\) est un maximum , le creux en \(x=3\) un minimum .
Fonctions paires et impaires : exploiter une symétrie
Définition · Deux symétries à distinguer
On commence par vérifier que le domaine est symétrique par rapport à \(0\) : avec chaque \(x\) , il contient aussi \(-x\) .
\(f\) est paire si \(f(-x)=f(x)\) pour tout \(x\) du domaine. La courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
\(f\) est impaire si \(f(-x)=-f(x)\) pour tout \(x\) du domaine. La courbe est symétrique par rapport à l'origine.
Le mot « paire » ne décrit pas les valeurs de la fonction : \(x^2+1\) est paire et prend par exemple la valeur \(1\) . Une fonction peut être ni paire ni impaire ; la fonction nulle est les deux.
Exemple · Remplacer chaque occurrence de la variable
Pour \(f(x)=x^2-1\) sur \(\R\) ,
\[f(-x)=(-x)^2-1=x^2-1=f(x) :\quad f\text{ est paire}.\]
Pour \(g(x)=x^3-x\) sur \(\R\) ,
\[\begin{aligned}g(-x)&=(-x)^3-(-x)\\[.35em]&=-x^3+x\\[.35em]&= -(x^3-x)\\[.35em]&= -g(x).\end{aligned}\]
La fonction \(g\) est impaire. Si son graphe contient \((2;6)\) , il contient aussi \((-2;-6)\) . Pour une fonction paire, un point \((2;6)\) aurait pour symétrique \((-2;6)\) .
Une preuve à construire
Passer de l'égalité à la figure Justifie les deux symétries à partir des coordonnées d'un point \(M(x;f(x))\) . Pourquoi doit-on vérifier le domaine avant l'égalité ?
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste Le symétrique de \((x;y)\) par rapport à l'axe des ordonnées est \((-x;y)\) . Par rapport à l'origine, il est \((-x;-y)\) .
Indice 2 · Un pas de plus Pour qu'un point d'abscisse \(-x\) appartienne à la courbe, son ordonnée doit être \(f(-x)\) ; cette valeur doit d'abord exister.
Voir la preuve expliquée Si \(f(-x)=f(x)\) , la courbe contient \((-x;f(x))\) , symétrique de \(M\) par rapport à l'axe des ordonnées. Si \(f(-x)=-f(x)\) , elle contient \((-x;-f(x))\) , symétrique de \(M\) par rapport à l'origine. Ces raisonnements concernent tous les points grâce à la symétrie du domaine. La fonction \(x\mapsto x^2\) restreinte à \([0;+\infty[\) n'est donc pas paire sur ce domaine : \(-2\) n'y appartient pas alors que \(2\) y appartient.
À toi d’essayer
Une symétrie doit fonctionner partout Classe \(f(x)=x^4+2\) , \(g(x)=x^3+2x\) et \(h(x)=x^2+x\) , définies sur \(\R\) , en fonctions paires, impaires, ou ni l'une ni l'autre. Pour \(h\) , cherche un contre-exemple numérique.
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste Calcule l'expression en \(-x\) , puis compare avec l'expression en \(x\) et avec son opposée. Une égalité pour quelques valeurs ne prouve pas une parité.
Indice 2 · Un pas de plus \((-x)^4=x^4\) , \((-x)^3=-x^3\) . Pour \(h\) , compare \(h(1)\) et \(h(-1)\) .
Voir l’explication \[\begin{aligned}f(-x) &= x^4+2\\[.35em]&= f(x),\\[.35em]g(-x) &= -x^3-2x\\[.35em]&= -g(x),\\[.35em]h(-x)&=x^2-x.\end{aligned}\]
Ainsi \(f\) est paire et \(g\) est impaire. Comme \(h(1)=2\) et \(h(-1)=0\) , on n'a ni \(h(-1)=h(1)\) ni \(h(-1)=-h(1)\) : \(h\) n'est ni paire ni impaire. Un seul contre-exemple suffit à réfuter une égalité censée être vraie pour tout \(x\) . Réessaie : \(x^2-4\) est paire sur \(\R\) , tandis que \(x^3\) est impaire. Trace leurs points symétriques à partir d'un point choisi du côté positif.
Synthèse : étude complète d'une fonction
Exemple · Étude complète d'une fonction de degré \(4\)
Soit \(f(x)=x^4-2x^2\) sur \(\R\) . Parité :
\[\begin{aligned}f(-x) &= (-x)^4-2(-x)^2\\[.35em]&= x^4-2x^2\\[.35em]&= f(x),\end{aligned}\]
donc \(f\) est paire (courbe symétrique par rapport à l'axe des ordonnées).
Dérivée :
\[\begin{aligned}f'(x) &= 4x^3-4x\\[.35em]&= 4x(x^2-1)\\[.35em]&= 4x(x-1)(x+1),\end{aligned}\]
qui s'annule en \(-1\) , \(0\) et \(1\) . Valeurs : \(f(0)=0\) ,
\[\begin{aligned}f(-1) &= f(1)\\[.35em]&= 1-2\\[.35em]&= -1.\end{aligned}\]
Agrandir ↗ \(f\) admet deux minimums (valeur \(-1\) en \(x=-1\) et \(x=1\) ) et un maximum local (valeur \(0\) en \(x=0\) ) : c'est la célèbre courbe « en W ».
Agrandir ↗ Un algorithme du programme : comprendre la méthode de Newton Intuition · Remplacer la courbe par une droite
On cherche une solution \(\alpha\) de \(f(x)=0\) . Depuis une valeur \(x_n\) , on remplace localement la courbe par sa tangente. L'intersection de cette tangente avec l'axe des abscisses fournit une nouvelle valeur \(x_{n+1}\) , souvent beaucoup plus proche de \(\alpha\) .
Une preuve à construire
La prochaine valeur vient d'une tangente À partir d'un nombre \(x_n\) tel que \(f'(x_n)\neq0\) , trouve l'abscisse \(x_{n+1}\) où la tangente à la courbe en \(x_n\) rencontre l'axe des abscisses.
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste Rappelle l'équation d'une tangente. Sur l'axe des abscisses, l'ordonnée est nulle.
Indice 2 · Un pas de plus Substitue \(y=0\) et \(x=x_{n+1}\) dans \(y=f(x_n)+f'(x_n)(x-x_n)\) , puis isole \(x_{n+1}\) .
Voir la preuve expliquée \[\begin{aligned}0&=f(x_n)+f'(x_n)(x_{n+1}-x_n),\\[.35em]f'(x_n)(x_{n+1}-x_n)&=-f(x_n),\\[.35em]x_{n+1}-x_n&=-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)},\\[.35em]x_{n+1}&=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.\end{aligned}\]
La division est possible grâce à \(f'(x_n)\neq0\) . Cette formule décrit une construction géométrique ; elle ne garantit pas à elle seule que les valeurs obtenues approchent une solution. Dans les cas favorables étudiés ici, on examine les valeurs et l'erreur résiduelle \(f(x_n)\) .
Exemple · Approcher \(\sqrt2\) sans touche racine
Pour \(f(x)=x^2-2\) , on a \(f'(x)=2x\) , donc
\[\begin{aligned}x_{n+1} &= x_n-\frac{x_n^2-2}{2x_n}\\[.35em]&= \frac12\left(x_n+\frac2{x_n}\right).\end{aligned}\]
En partant de \(x_0=2\) :
\[x_1=1{,}5,\qquad x_2\approx1{,}4167,\qquad x_3\approx1{,}414216.\]
Trois étapes donnent déjà plusieurs décimales exactes de \(\sqrt2\) .
Agrandir ↗ Lis la construction : depuis le point \((2;2)\) de la parabole, on suit la tangente jusqu'à l'axe. On obtient \(1{,}5\) , qui n'est pas encore la racine : \(1{,}5^2-2=0{,}25\) . La prochaine étape repart du point de la courbe d'abscisse \(1{,}5\) .
À toi d’essayer
Calculer une étape et contrôler ce qu'elle signifie Pour \(f(x)=x^2-2\) et \(x_0=2\) , calcule \(x_1\) , puis \(x_2\) . Compare \(f(x_1)\) et \(f(x_2)\) à zéro. Pourquoi ne peut-on pas commencer avec \(x_0=0\) ?
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste Utilise \(f'(x)=2x\) . À chaque étape, c'est la nouvelle valeur qui remplace \(x_n\) .
Indice 2 · Un pas de plus \[\begin{aligned}x_1 &= 2-(4-2)/4\\[.35em]&= 3/2.\end{aligned}\]
Ensuite, \(x_2=3/2-((3/2)^2-2)/(2\times3/2)\) .
Voir l’explication \[\begin{aligned}x_1 &= 2-\frac24\\[.35em]&= \frac32,\\[.35em]x_2&=\frac32-\frac{1/4}{3}\\[.35em]&= \frac32-\frac1{12}\\[.35em]&= \frac{17}{12},\\[.35em]f(x_1)&=\frac14,\\[.35em]f(x_2) &= \frac{289}{144}-2\\[.35em]&= \frac1{144}.\end{aligned}\]
Le résidu se rapproche de zéro : le second point est plus près de l'axe. Ce contrôle est cohérent avec une meilleure approximation de \(\sqrt2\) dans ce cas. Au départ \(0\) , \(f'(0)=0\) : la tangente est horizontale et la formule exige une division par zéro. Réessaie : avec \(f(x)=x^2-3\) et \(x_0=2\) , le premier pas donne \(x_1=7/4\) et le résidu \(1/16\) .
Méthode · Algorithme : méthode de Newton
La méthode de Newton approche une solution de \(f(x)=0\) en suivant les tangentes. Dans des cas favorables, elle converge très vite.
def f(x):
return x**2 - 2 # on cherche une racine : ici racine(2)
def fprime(x):
return 2*x
def newton(x0, n):
x = x0
for k in range(n):
x = x - f(x) / fprime(x) # on suit la tangente
return x
print(newton(2, 5)) # approche tres precise de racine(2)Attention · Newton n'est pas une baguette magique
La méthode exige \(f'(x_n)\neq0\) . Un mauvais point de départ peut envoyer les valeurs loin de la solution, provoquer une division par zéro ou faire osciller la suite. En Première, on l'utilise seulement dans des cas favorables et on vérifie toujours le résultat en calculant \(f(x_n)\) .
Exercices Agrandir ↗ Exercice 1 ★☆☆ : Du signe de \(f'\) aux variations
On donne le signe de la dérivée d'une fonction \(f\) définie sur \(\R\) : \(f'(x)>0\) sur \(]-\infty\,;-2[\) , \(f'(-2)=0\) , \(f'(x)<0\) sur \(]-2\,;3[\) , \(f'(3)=0\) , \(f'(x)>0\) sur \(]3\,;+\infty[\) .
Dresser le tableau de variations de \(f\) .
Préciser la nature (max ou min) des extremums en \(-2\) et en \(3\) .
Exercice 2 ★☆☆ : Dériver et donner le signe
Pour chaque fonction, calculer \(f'(x)\) et étudier son signe.
\(f(x)=x^2-6x+5\) \(g(x)=-x^2+4x\) \(h(x)=x^3-3x^2\) \(k(x)=\dfrac13x^3-x\) Exercice 3 ★☆☆ : Tableau de variations d'un trinôme
Soit \(f(x)=x^2-6x+5\) . Dresser le tableau de variations de \(f\) sur \(\R\) et préciser son minimum.
Exercice 4 ★☆☆ : Tableau d'une fonction cube
Soit \(f(x)=x^3-3x+1\) . Calculer \(f'(x)\) , l'étudier, puis dresser le tableau de variations de \(f\) sur \(\R\) .
Exercice 5 ★★☆ : Extremums
Soit \(f(x)=2x^3-3x^2-12x+5\) .
Calculer et factoriser \(f'(x)\) .
Déterminer les extremums locaux de \(f\) (abscisses, valeurs, nature).
Exercice 6 ★★☆ : Aire maximale
Un rectangle a un périmètre de \(24\) cm. On note \(x\) sa largeur.
Exprimer l'aire \(A(x)\) en fonction de \(x\) (et préciser l'intervalle).
Étudier \(A\) et déterminer l'aire maximale.
Exercice 7 ★★☆ : Enclos contre un mur
On dispose de \(60\) m de grillage pour clôturer un enclos rectangulaire contre un mur (le mur sert d'un des côtés, on ne grillage donc que trois côtés). On note \(x\) la largeur (les deux côtés perpendiculaires au mur).
Exprimer la longueur, puis l'aire \(A(x)\) .
Déterminer les dimensions qui maximisent l'aire, et cette aire maximale.
Exercice 8 ★★☆ : La fonction \(x+\frac1x\)
Soit \(f(x)=x+\dfrac1x\) sur \(]0\,;+\infty[\) .
Calculer \(f'(x)\) et l'écrire sous la forme \(\dfrac{x^2-1}{x^2}\) .
Étudier les variations de \(f\) et en déduire son minimum.
En déduire que \(x+\dfrac1x\geqslant 2\) pour tout \(x>0\) .
Exercice 9 ★★☆ : Position relative
Comparer les courbes de \(f(x)=x^3\) et \(g(x)=x\) : étudier le signe de \(f(x)-g(x)\) et préciser, selon \(x\) , laquelle est au-dessus.
Exercice 10 ★★☆ : Inégalité
Montrer, par une étude de fonction, que pour tout réel \(x\) : \(x^2\geqslant 2x-1\) .
Exercice 11 ★★☆ : Tangentes horizontales
Soit \(f(x)=x^3-3x^2\) .
Déterminer les points où la tangente à la courbe est horizontale.
Préciser la nature de chacun (max ou min).
Exercice 12 ★★★ : Rectangle inscrit sous une parabole
On inscrit un rectangle sous la parabole \(y=9-x^2\) : sa base est sur l'axe des abscisses et ses deux sommets supérieurs sont sur la parabole, aux abscisses \(-x\) et \(x\) (avec \(0<x<3\) ).
Montrer que l'aire du rectangle est
\[\begin{aligned}A(x) &= 2x(9-x^2)\\[.35em]&= 18x-2x^3.\end{aligned}\]
Déterminer la valeur de \(x\) qui maximise \(A\) , et l'aire maximale (valeur exacte).
Exercice 13 ★★★ : \(f'\) s'annule sans extremum
Soit \(f(x)=x^3-3x^2+3x\) .
Calculer \(f'(x)\) et montrer que \(f'(x)=3(x-1)^2\) .
En déduire que \(f\) est croissante sur \(\R\) , bien que \(f'(1)=0\) . Y a-t-il un extremum en \(1\) ?
Exercice 14 ★★★ : Étude complète
Soit \(f(x)=x^3-3x^2+2\) .
Calculer et factoriser \(f'(x)\) .
Dresser le tableau de variations de \(f\) sur \(\R\) (avec les valeurs des extremums).
Donner l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse \(0\) .
Tracer l'allure de la courbe (extremums, ordonnée à l'origine).
Exercice 15 ★★★ : Une inégalité classique
Montrer, par une étude de fonction, que pour tout \(x\geqslant 0\) : \(\sqrt{x}\leqslant\dfrac{x+1}{2}\) .
Exercice 16 ★★★ : Étude avec un facteur sans racine
Soit \(f(x)=x^4-4x\) .
Calculer \(f'(x)\) et montrer que \(f'(x)=4(x-1)(x^2+x+1)\) .
Justifier que \(x^2+x+1>0\) pour tout \(x\) , puis en déduire le signe de \(f'(x)\) .
Dresser le tableau de variations de \(f\) et donner son minimum.
Exercice 17 ★★★ : Boîte de coût minimal
On fabrique une boîte sans couvercle , à base carrée de côté \(x\) (en mètres) et de hauteur \(h\) , de volume \(4\) m\(^3\) .
Justifier que \(h=\dfrac{4}{x^2}\) , puis que l'aire de tôle utilisée est \(A(x)=x^2+\dfrac{16}{x}\) (pour \(x>0\) ).
Étudier \(A\) et déterminer les dimensions qui minimisent l'aire, ainsi que cette aire minimale.
Exercice 18 ★★☆ : Lecture graphique
La courbe d'une fonction \(f\) définie sur \(\R\) monte sur \(]-\infty\,;1[\) , redescend sur \(]1\,;4[\) , puis remonte sur \(]4\,;+\infty[\) .
Donner le signe de \(f'(x)\) sur chacun des intervalles.
En quels points la tangente à la courbe est-elle horizontale ? Préciser la nature des extremums.
Exercice 19 ★★☆ : Périmètre minimal
Un rectangle a une aire de \(36\) m\(^2\) . On note \(x\) sa largeur (en m).
Exprimer la longueur, puis le périmètre \(P(x)=2x+\dfrac{72}{x}\) (pour \(x>0\) ).
Étudier \(P\) et déterminer les dimensions qui minimisent le périmètre.
Exercice 20 ★★★ : Courbe et tangente
Soit \(f(x)=x^3\) et la droite \(\mathcal{D}:\ y=3x-2\) .
Vérifier que \(\mathcal{D}\) est tangente à la courbe de \(f\) au point d'abscisse \(1\) .
Étudier le signe de \(f(x)-(3x-2)\) en factorisant \(x^3-3x+2\) .
En déduire la position de la courbe par rapport à \(\mathcal{D}\) .
Corrigés détaillés Intuition · Comment lire un corrigé
Chaque corrigé rappelle la méthode et détaille tous les calculs. Cherche d'abord seul, puis compare.
Corrigé 1
Démonstration
1. On reporte le signe de \(f'\) et on en déduit les flèches :
Agrandir ↗ 2. En \(-2\) , \(f'\) passe de \(+\) à \(-\) : c'est un maximum local. En \(3\) , \(f'\) passe de \(-\) à \(+\) : c'est un minimum local.
Corrigé 2
Démonstration
a) \(f'(x)=2x-6\) : positif pour \(x>3\) , négatif pour \(x<3\) .
b) \(g'(x)=-2x+4\) : positif pour \(x<2\) , négatif pour \(x>2\) .
c)
\[\begin{aligned}h'(x) &= 3x^2-6x\\[.35em]&= 3x(x-2)\end{aligned}\]
positif sur \(]-\infty\,;0[\) et \(]2\,;+\infty[\) , négatif sur \(]0\,;2[\) .
d)
\[\begin{aligned}k'(x) &= x^2-1\\[.35em]&= (x-1)(x+1)\end{aligned}\]
positif à l'extérieur de \([-1\,;1]\) , négatif entre \(-1\) et \(1\) .
Corrigé 3
Démonstration
\(f'(x)=2x-6\) , qui s'annule en \(x=3\) (\(f'<0\) avant, \(f'>0\) après). On calcule
\[\begin{aligned}f(3) &= 9-18+5\\[.35em]&= -4.\end{aligned}\]
Agrandir ↗ \(f\) admet un minimum égal à \(-4\) en \(x=3\) .
Corrigé 4
Démonstration
\[\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2-3\\[.35em]&= 3(x-1)(x+1)\end{aligned}\]
positif à l'extérieur de \([-1\,;1]\) , négatif entre.
\[\begin{aligned}f(-1) &= -1+3+1\\[.35em]&= 3\end{aligned}\]
(max),
\[\begin{aligned}f(1) &= 1-3+1\\[.35em]&= -1\end{aligned}\]
(min).
Agrandir ↗ Corrigé 5
Démonstration
1.
\[\begin{aligned}f'(x) &= 6x^2-6x-12\\[.35em]&= 6(x^2-x-2)\\[.35em]&= 6(x-2)(x+1).\end{aligned}\]
2. \(f'\) est positive à l'extérieur de \([-1\,;2]\) , négative entre. Donc \(f\) admet un maximum local en \(x=-1\) et un minimum local en \(x=2\) .
\[\begin{aligned}f(-1) &= 2(-1)^3-3(-1)^2-12(-1)+5\\[.35em]&= -2-3+12+5\\[.35em]&= 12,\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}f(2) &= 2\times 8-3\times 4-12\times 2+5\\[.35em]&= 16-12-24+5\\[.35em]&= -15.\end{aligned}\]
Maximum local \(12\) en \(x=-1\) , minimum local \(-15\) en \(x=2\) .
Corrigé 6
Démonstration
1. Périmètre \(24\) donc largeur \(+\) longueur \(=12\) : longueur \(=12-x\) . Aire :
\[\begin{aligned}A(x) &= x(12-x)\\[.35em]&= 12x-x^2,\end{aligned}\]
pour \(0<x<12\) .
2. \(A'(x)=12-2x\) , qui s'annule en \(x=6\) (\(A'>0\) avant, \(A'<0\) après) : maximum en \(x=6\) .
\[\begin{aligned}A(6) &= 6\times 6\\[.35em]&= 36.\end{aligned}\]
L'aire maximale est \(36\) cm\(^2\) (un carré de côté \(6\) ).
Corrigé 7
Démonstration
1. On grillage deux largeurs \(x\) et une longueur \(L\) : \(2x+L=60\) , donc \(L=60-2x\) . Aire :
\[\begin{aligned}A(x) &= x(60-2x)\\[.35em]&= 60x-2x^2,\end{aligned}\]
pour \(0<x<30\) .
2. \(A'(x)=60-4x\) , qui s'annule en \(x=15\) (\(A'>0\) avant, \(A'<0\) après) : maximum . Alors
\[\begin{aligned}L &= 60-30\\[.35em]&= 30\end{aligned}\]
et
\[\begin{aligned}A(15) &= 15\times 30\\[.35em]&= 450.\end{aligned}\]
Aire maximale \(450\) m\(^2\) pour une largeur de \(15\) m et une longueur de \(30\) m.
Corrigé 8
Démonstration
1.
\[\begin{aligned}f'(x) &= 1-\dfrac{1}{x^2}\\[.35em]&= \dfrac{x^2-1}{x^2}.\end{aligned}\]
2. Sur \(]0\,;+\infty[\) , \(x^2>0\) donc le signe de \(f'\) est celui de \(x^2-1=(x-1)(x+1)\) . Comme \(x>0\) , \(x+1>0\) : le signe est celui de \(x-1\) . Donc \(f'<0\) sur \(]0\,;1[\) et \(f'>0\) sur \(]1\,;+\infty[\) : \(f\) admet un minimum en \(x=1\) ,
\[\begin{aligned}f(1) &= 1+1\\[.35em]&= 2.\end{aligned}\]
3. Le minimum de \(f\) sur \(]0\,;+\infty[\) vaut \(2\) , donc \(f(x)\geqslant 2\) pour tout \(x>0\) , c'est-à-dire \(x+\dfrac1x\geqslant 2\) .
Corrigé 9
Démonstration
\[\begin{aligned}f(x)-g(x) &= x^3-x\\[.35em]&= x(x^2-1)\\[.35em]&= x(x-1)(x+1).\end{aligned}\]
Tableau de signes (racines \(-1\) , \(0\) , \(1\) ) :
\(x\) \(-\infty\) \(-1\) \(0\) \(1\) \(+\infty\) \(x^3-x\) \(-\) \(0\) \(+\) \(0\) \(-\) \(0\) \(+\)
Donc la courbe de \(f\) est au-dessus de celle de \(g\) sur \(]-1\,;0[\) et \(]1\,;+\infty[\) , et en dessous sur \(]-\infty\,;-1[\) et \(]0\,;1[\) . Elles se croisent en \(x=-1\) , \(0\) et \(1\) .
Corrigé 10
Démonstration
Posons
\[\begin{aligned}f(x) &= x^2-(2x-1)\\[.35em]&= x^2-2x+1.\end{aligned}\]
Alors \(f'(x)=2x-2\) , qui s'annule en \(x=1\) (\(f'<0\) avant, \(f'>0\) après) : minimum en \(x=1\) , et
\[\begin{aligned}f(1) &= 1-2+1\\[.35em]&= 0.\end{aligned}\]
Donc \(f(x)\geqslant 0\) pour tout \(x\) , c'est-à-dire \(x^2\geqslant 2x-1\) . (On reconnaît d'ailleurs \(f(x)=(x-1)^2\geqslant 0\) .)
Corrigé 11
Démonstration
1.
\[\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2-6x\\[.35em]&= 3x(x-2),\end{aligned}\]
qui s'annule en \(x=0\) et \(x=2\) . Points : \(f(0)=0\) et
\[\begin{aligned}f(2) &= 8-12\\[.35em]&= -4,\end{aligned}\]
soit \((0\,;0)\) et \((2\,;-4)\) .
2. \(f'\) est positive sur \(]-\infty\,;0[\) , négative sur \(]0\,;2[\) , positive sur \(]2\,;+\infty[\) . En \(x=0\) (\(+\to-\) ) : maximum local. En \(x=2\) (\(-\to+\) ) : minimum local.
Corrigé 12
Démonstration
1. Le rectangle a pour largeur \(2x\) (de \(-x\) à \(x\) ) et pour hauteur \(9-x^2\) (l'ordonnée du point de la parabole). Donc
\[\begin{aligned}A(x) &= 2x(9-x^2)\\[.35em]&= 18x-2x^3.\end{aligned}\]
2.
\[\begin{aligned}A'(x) &= 18-6x^2\\[.35em]&= 6(3-x^2),\end{aligned}\]
qui s'annule (sur \(]0\,;3[\) ) en \(x=\sqrt{3}\) (\(A'>0\) avant, \(A'<0\) après) : maximum . L'aire maximale vaut
\[\begin{aligned}A(\sqrt3) &= 18\sqrt3-2(\sqrt3)^3\\[.35em]&= 18\sqrt3-2\times 3\sqrt3\\[.35em]&= 18\sqrt3-6\sqrt3\\[.35em]&= 12\sqrt3\\[.35em]&\approx 20{,}8.\end{aligned}\]
Corrigé 13
Démonstration
1.
\[\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2-6x+3\\[.35em]&= 3(x^2-2x+1)\\[.35em]&= 3(x-1)^2.\end{aligned}\]
2. Un carré est toujours \(\geqslant 0\) , donc \(f'(x)\geqslant 0\) pour tout \(x\) , et \(f'(x)=0\) seulement en \(x=1\) . La dérivée ne change donc pas de signe : \(f\) est croissante sur \(\R\) . Même si \(f'(1)=0\) , il n'y a pas d'extremum en \(1\) (la courbe y présente une tangente horizontale puis repart à la hausse : point d'inflexion).
Corrigé 14
Démonstration
1.
\[\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2-6x\\[.35em]&= 3x(x-2).\end{aligned}\]
2. \(f'>0\) sur \(]-\infty\,;0[\) , \(f'<0\) sur \(]0\,;2[\) , \(f'>0\) sur \(]2\,;+\infty[\) . \(f(0)=2\) (max local),
\[\begin{aligned}f(2) &= 8-12+2\\[.35em]&= -2\end{aligned}\]
(min local).
Agrandir ↗ 3. \(f(0)=2\) et \(f'(0)=0\) : tangente horizontale \(y=2\) .
4. Allure : maximum local \((0\,;2)\) , minimum local \((2\,;-2)\) , ordonnée à l'origine \(2\) .
Agrandir ↗ Corrigé 15
Démonstration
Posons \(f(x)=\dfrac{x+1}{2}-\sqrt{x}\) sur \([0\,;+\infty[\) . Alors
\[f'(x)=\frac12-\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{x}-1}{2\sqrt{x}}\qquad(x>0).\]
Le dénominateur est positif, donc le signe de \(f'\) est celui de \(\sqrt{x}-1\) : \(f'<0\) sur \(]0\,;1[\) , \(f'>0\) sur \(]1\,;+\infty[\) . \(f\) admet donc un minimum en \(x=1\) :
\[\begin{aligned}f(1) &= \dfrac{2}{2}-1\\[.35em]&= 0.\end{aligned}\]
Au point \(0\) , on vérifie séparément \(f(0)=1/2\geqslant0\) . Ainsi \(f(x)\geqslant 0\) pour tout \(x\geqslant 0\) , c'est-à-dire \(\sqrt{x}\leqslant\dfrac{x+1}{2}\) .
Corrigé 16
Démonstration
1.
\[\begin{aligned}f'(x) &= 4x^3-4\\[.35em]&= 4(x^3-1).\end{aligned}\]
Comme \(x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)\) , on a \(f'(x)=4(x-1)(x^2+x+1)\) .
2. Le trinôme \(x^2+x+1\) a pour discriminant \(\Delta=1-4=-3<0\) et son coefficient dominant est positif : il est donc strictement positif pour tout \(x\) . Le signe de \(f'\) est alors celui de \(4(x-1)\) , c'est-à-dire le signe de \(x-1\) : \(f'<0\) sur \(]-\infty\,;1[\) , \(f'>0\) sur \(]1\,;+\infty[\) .
3. \(f\) décroît puis croît : minimum en \(x=1\) ,
\[\begin{aligned}f(1) &= 1-4\\[.35em]&= -3.\end{aligned}\]
Agrandir ↗ Corrigé 17
Démonstration
1. Le volume est (base) \(\times\) (hauteur)
\[\begin{aligned}&= x^2 h\\[.35em]&= 4,\end{aligned}\]
donc \(h=\dfrac{4}{x^2}\) . L'aire comprend le fond (\(x^2\) ) et les quatre côtés (\(4xh\) ) :
\[\begin{aligned}A &= x^2+4xh\\[.35em]&= x^2+4x\times\dfrac{4}{x^2}\\[.35em]&= x^2+\dfrac{16}{x}.\end{aligned}\]
2.
\[\begin{aligned}A'(x) &= 2x-\dfrac{16}{x^2}\\[.35em]&= \dfrac{2x^3-16}{x^2}\\[.35em]&= \dfrac{2(x^3-8)}{x^2}.\end{aligned}\]
Sur \(]0\,;+\infty[\) , \(x^2>0\) donc le signe de \(A'\) est celui de \(x^3-8\) , qui s'annule en \(x=2\) : \(A'<0\) sur \(]0\,;2[\) , \(A'>0\) sur \(]2\,;+\infty[\) . Minimum en \(x=2\) :
\[\begin{aligned}A(2) &= 4+8\\[.35em]&= 12.\end{aligned}\]
Dimensions optimales : côté \(x=2\) m et hauteur \(h=1\) m, pour une aire minimale de \(12\) m\(^2\) .
Corrigé 18
Démonstration
1. La courbe monte sur \(]-\infty\,;1[\) donc \(f'>0\) ; elle descend sur \(]1\,;4[\) donc \(f'<0\) ; elle remonte sur \(]4\,;+\infty[\) donc \(f'>0\) .
2. La tangente est horizontale là où \(f'=0\) , soit en \(x=1\) et \(x=4\) . En \(x=1\) (\(+\to-\) ) : maximum . En \(x=4\) (\(-\to+\) ) : minimum .
Corrigé 19
Démonstration
1. L'aire vaut largeur \(\times\) longueur \(=36\) , donc la longueur est \(\dfrac{36}{x}\) . Le périmètre est
\[\begin{aligned}P(x) &= 2\left(x+\dfrac{36}{x}\right)\\[.35em]&= 2x+\dfrac{72}{x},\end{aligned}\]
pour \(x>0\) .
2.
\[\begin{aligned}P'(x) &= 2-\dfrac{72}{x^2}\\[.35em]&= \dfrac{2(x^2-36)}{x^2}.\end{aligned}\]
Sur \(]0\,;+\infty[\) , le signe est celui de \(x^2-36=(x-6)(x+6)\) , soit (puisque \(x>0\) ) celui de \(x-6\) : \(P'<0\) sur \(]0\,;6[\) , \(P'>0\) sur \(]6\,;+\infty[\) . Minimum en \(x=6\) :
\[\begin{aligned}P(6) &= 12+12\\[.35em]&= 24.\end{aligned}\]
Le périmètre est minimal pour un carré de côté \(6\) m (\(P=24\) m).
Corrigé 20
Démonstration
1. \(f(1)=1\) et \(f'(x)=3x^2\) donc \(f'(1)=3\) . La tangente en \(x=1\) est
\[\begin{aligned}y &= 1+3(x-1)\\[.35em]&= 3x-2\\[.35em]&= \mathcal{D}\end{aligned}\]
\(\mathcal{D}\) est donc tangente à la courbe en \(x=1\) .
2. \(f(x)-(3x-2)=x^3-3x+2\) . Comme \(1\) est racine :
\[\begin{aligned}x^3-3x+2 &= (x-1)(x^2+x-2)\\[.35em]&= (x-1)^2(x+2).\end{aligned}\]
3. \((x-1)^2\geqslant 0\) , donc le signe est celui de \(x+2\) : la courbe est au-dessus de \(\mathcal{D}\) sur \(]-2\,;+\infty[\) (avec contact en \(x=1\) ) et en dessous sur \(]-\infty\,;-2[\) .
Corrigé du problème : Étude d'une cubique
Démonstration · Partie A : variations
1.
\[\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2-12x+9\\[.35em]&= 3(x^2-4x+3)\\[.35em]&= 3(x-1)(x-3).\end{aligned}\]
2. Sur \([0\,;4]\) , le trinôme \((x-1)(x-3)\) est positif à l'extérieur de \([1\,;3]\) et négatif entre. Donc \(f'>0\) sur \([0\,;1[\) , \(f'<0\) sur \(]1\,;3[\) , \(f'>0\) sur \(]3\,;4]\) .
3.
\[f(0)=0,\]
\[\begin{aligned}f(1) &= 1-6+9\\[.35em]&= 4,\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}f(3) &= 27-54+27\\[.35em]&= 0,\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}f(4) &= 64-96+36\\[.35em]&= 4.\end{aligned}\]
Agrandir ↗ Sur \([0\,;4]\) , le maximum de \(f\) vaut \(4\) (atteint en \(x=1\) et \(x=4\) ) et le minimum vaut \(0\) (atteint en \(x=0\) et \(x=3\) ).
Démonstration · Partie B : inégalité
4. D'après le tableau, \(f\) varie entre \(0\) et \(4\) sur \([0\,;4]\) ; en particulier \(f(x)\geqslant 0\) pour tout \(x\in[0\,;4]\) .
5.
\[\begin{aligned}f(x) &= x^3-6x^2+9x\\[.35em]&= x(x^2-6x+9)\\[.35em]&= x(x-3)^2.\end{aligned}\]
Donc \(f(x)=0\) si et seulement si \(x=0\) ou \(x=3\) .
Démonstration · Partie C : position par rapport à \(\mathcal{D}\)
6.
\[\begin{aligned}f(x)-x &= x^3-6x^2+9x-x\\[.35em]&= x^3-6x^2+8x\\[.35em]&= x(x^2-6x+8)\\[.35em]&= x(x-2)(x-4).\end{aligned}\]
Sur \([0\,;4]\) , tableau de signes (racines \(0\) , \(2\) , \(4\) ) :
\(x\) \(0\) \(2\) \(4\) \(x(x-2)(x-4)\) \(0\) \(+\) \(0\) \(-\) \(0\)
7. Donc, sur \([0\,;4]\) : la courbe de \(f\) est au-dessus de \(\mathcal{D}\) sur \(]0\,;2[\) , en dessous sur \(]2\,;4[\) ; elles se croisent en \(x=0\) , \(x=2\) et \(x=4\) .
Démonstration · Partie D : tangente et tracé
8.
\[\begin{aligned}f(2) &= 8-24+18\\[.35em]&= 2\end{aligned}\]
et
\[\begin{aligned}f'(2) &= 3(2-1)(2-3)\\[.35em]&= 3\times 1\times(-1)\\[.35em]&= -3.\end{aligned}\]
Tangente :
\[\begin{aligned}y &= f(2)+f'(2)(x-2)\\[.35em]&= 2-3(x-2)\\[.35em]&= -3x+8.\end{aligned}\]
9. Allure de la courbe sur \([0\,;4]\) (maximum \((1\,;4)\) , minimum \((3\,;0)\) , intersections avec \(y=x\) en \(0\) , \(2\) , \(4\) ) :
Agrandir ↗ 
