Le cours complet La droite réelle
Définition · Ensemble des nombres réels
L'ensemble \(\R\) des nombres réels est l'ensemble de tous les nombres qui peuvent être placés sur une droite graduée. Chaque point de la droite possède une unique abscisse réelle.
Sur une droite graduée orientée vers la droite :
si le point d'abscisse \(a\) est à gauche du point d'abscisse \(b\) , alors \(a<b\) ;
si les deux points sont confondus, alors \(a=b\) ;
plus un nombre est à droite, plus il est grand.
Exemple
Sur la droite réelle,
\[-3<-\sqrt2<0<\frac12<1{,}4<\sqrt2<2.\]
En effet, \(1{,}4^2=1{,}96<2\) et \(2^2=4>2\) , donc \(1{,}4<\sqrt2<2\) .
Agrandir ↗ La distance de \(0\) à \(1\) est partagée en quatre pas égaux : chaque petit pas vaut \(1/4\) . La graduation se prolonge de la même façon à gauche de zéro.
À toi d’essayer
Lire une abscisse, puis placer un nombre Sur la droite ci-dessus, lis les abscisses de \(A\) et \(B\) sous forme de fractions puis de décimaux. Place sur un dessin le point \(C\) d'abscisse \(-3/4\) . Range les trois abscisses dans l'ordre croissant.
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste Compte les petits pas à partir de zéro. À gauche de zéro, l'abscisse est négative ; la distance parcourue reste positive.
Indice 2 · Un pas de plus \(A\) est cinq petits pas à gauche de zéro et \(B\) trois petits pas à droite. \(C\) doit être entre \(-1\) et \(0\) .
Voir l’explication Un petit pas vaut \(1/4\) . Donc \(A\) a pour abscisse \(-5/4=-1{,}25\) et \(B\) a pour abscisse \(3/4=0{,}75\) . Le point \(C\) se place trois petits pas à gauche de zéro : son abscisse vaut \(-0{,}75\) . En lisant de gauche à droite,
\[-\frac54<-\frac34<\frac34.\]
Si tu avais trouvé \(-5\) pour \(A\) , tu avais compté les pas ; il restait à tenir compte de leur valeur \(1/4\) . Réessaie : place \(-1/2\) et \(5/4\) . Ils se trouvent respectivement à deux petits pas à gauche et cinq petits pas à droite de zéro.
Les cinq ensembles de nombres
Définition · Entiers naturels et relatifs
\[\N=\{0;1;2;3;\ldots\},\qquad
\Z=\{\ldots;-2;-1;0;1;2;\ldots\}.\]
\(\N\) contient les entiers naturels et \(\Z\) tous les entiers relatifs.
Définition · Nombres décimaux
Un nombre est décimal s'il peut s'écrire sous la forme
\[\frac{a}{10^n},\]
où \(a\) est un entier relatif et \(n\) un entier naturel. L'ensemble des nombres décimaux est noté \(\D\) .
Un nombre décimal possède une écriture décimale finie. Par exemple,
\[\begin{aligned}-3{,}125 &= \frac{-3125}{1000}\\[.35em]&= \frac{-3125}{10^3}.\end{aligned}\]
Un entier est aussi décimal : \(7=\dfrac7{10^0}\) .
Définition · Nombres rationnels
Un nombre est rationnel s'il peut s'écrire sous la forme
\[\frac{p}{q},\]
où \(p\) et \(q\) sont des entiers et \(q\neq0\) . L'ensemble des nombres rationnels est noté \(\Q\) .
Exemple
\(\dfrac13\) , \(-\dfrac{17}{8}\) et \(5\) sont rationnels. En effet, \(5=\dfrac51\) .
Le nombre \(\dfrac13=0{,}333\ldots\) est rationnel, mais son écriture décimale ne s'arrête jamais : il n'est pas décimal.
Définition · Nombres irrationnels
Un nombre réel qui n'est pas rationnel est appelé irrationnel . Il ne peut pas s'écrire comme quotient de deux entiers. Les nombres \(\sqrt2\) et \(\pi\) sont irrationnels.
Propriété · La chaîne des inclusions
\[\boxed{\N\subset\Z\subset\D\subset\Q\subset\R.}\]
Chaque inclusion signifie que tout nombre du premier ensemble appartient aussi au suivant.
Attention · Appartenance ou inclusion ?
Le symbole \(\in\) relie un nombre à un ensemble : \(3\in\N\) .
Le symbole \(\subset\) relie deux ensembles : \(\N\subset\Z\) .
On n'écrit ni \(3\subset\N\) , ni \(\N\in\Z\) .
Méthode · Trouver le plus petit ensemble
Pour classer un nombre, cherche l'ensemble le plus petit auquel il appartient.
\(-4\) est d'abord un entier relatif : \(-4\in\Z\) .
\(2{,}75\) est décimal mais pas entier : \(2{,}75\in\D\) .
\(\dfrac27\) est rationnel mais pas décimal : \(\dfrac27\in\Q\) .
\(\sqrt3\) est irrationnel : \(\sqrt3\in\R\) mais \(\sqrt3\notin\Q\) .
À toi d’essayer
Classer le nombre, pas son apparence Pour \(12/4\) , \(-7/2\) , \(1/3\) et \(\sqrt9\) , donne le plus petit ensemble parmi \(\N\) , \(\Z\) , \(\D\) , \(\Q\) , \(\R\) auquel chaque nombre appartient. Explique pourquoi la présence d'une fraction ou d'une racine ne suffit pas à répondre.
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste Commence par simplifier les écritures. Un même nombre peut avoir plusieurs apparences. Par exemple \(6/2\) est aussi l'entier \(3\) .
Indice 2 · Un pas de plus \(12/4=3\) , \(-7/2=-3{,}5\) et \(\sqrt9=3\) . Le développement décimal de \(1/3\) est illimité et périodique ; une preuve de son caractère non décimal vient plus loin.
Voir l’explication On obtient \(12/4=3\in\N\) et \(\sqrt9=3\in\N\) . Ces deux écritures désignent le même entier naturel. Le nombre \(-7/2=-3{,}5\) n'est pas entier, mais son écriture décimale est finie : le plus petit ensemble proposé est \(\D\) . Le nombre \(1/3\) est rationnel, car c'est un quotient d'entiers. Il n'est pas décimal : son plus petit ensemble est \(\Q\) . Il appartient aussi à \(\R\) ; « plus petit » ne veut pas dire « seul ». Réessaie : \(-\sqrt{16}=-4\) appartient à \(\Z\) , et \(15/6=2{,}5\) à \(\D\) . L'exercice 1 propose d'autres écritures trompeuses.
Intervalles bornés
Soient \(a\) et \(b\) deux réels tels que \(a<b\) .
Intervalle Inégalités vérifiées par \(x\) Extrémités \([a;b]\) \(a\leq x\leq b\) \(a\) et \(b\) incluses\(]a;b[\) \(a<x<b\) \(a\) et \(b\) exclues\([a;b[\) \(a\leq x<b\) \(a\) incluse, \(b\) exclue\(]a;b]\) \(a<x\leq b\) \(a\) exclue, \(b\) incluse
Définition · Ouvert ou fermé
Un crochet tourné vers l'intérieur signifie que l'extrémité appartient à l'intervalle.
Un crochet tourné vers l'extérieur signifie que l'extrémité n'appartient pas à l'intervalle.
Exemple
Pour \(I=[-2;5[\) :
\[-2\in I,\qquad0\in I,\qquad4{,}999\in I,\qquad5\notin I.\]
La traduction en inégalités est \(-2\leq x<5\) .
Intervalles non bornés
Intervalle Condition sur \(x\) \([a;+\infty[\) \(x\geq a\) \(]a;+\infty[\) \(x>a\) \(]-\infty;a]\) \(x\leq a\) \(]-\infty;a[\) \(x<a\) \(]-\infty;+\infty[=\R\) aucune restriction
Attention · L'infini n'est pas un nombre
\(+\infty\) et \(-\infty\) ne sont pas des nombres réels. On ne peut donc jamais les inclure dans un intervalle : le crochet est toujours ouvert du côté de l'infini.
Représenter un intervalle
Agrandir ↗
À toi d’essayer
Les bornes font partie de la question Une température \(t\) doit vérifier \(-2\leq t<5\) . Écris l'intervalle correspondant, représente-le sur une droite, puis teste \(t=-2\) , \(t=4{,}9\) et \(t=5\) .
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste Lis chaque inégalité séparément. « Au moins \(-2\) » autorise \(-2\) ; « strictement moins de \(5\) » exclut \(5\) .
Indice 2 · Un pas de plus À la borne gauche, l'égalité est autorisée : crochet fermé. À la borne droite, elle est interdite : crochet ouvert. Vérifie directement chaque nombre dans les deux inégalités.
Voir l’explication L'ensemble est \([-2;5[\) . Sur la droite, on trace le segment de \(-2\) à \(5\) , avec le point \(-2\) inclus et le point \(5\) exclu. Pour \(-2\) , on a bien \(-2\leq-2\) et \(-2<5\) : il appartient à l'intervalle. Pour \(4{,}9\) , les deux conditions sont vraies. Pour \(5\) , la condition \(5<5\) est fausse : il est exclu. Un crochet ne se choisit donc pas au souvenir de sa forme : il traduit précisément une égalité autorisée ou interdite. Réessaie : si la consigne devient \(-2<t\leq5\) , l'intervalle devient \(]-2;5]\) . Les exercices 3 à 5 font passer de la phrase au dessin.
Intersection, réunion et complémentaire
Définition · Intersection et réunion
L'intersection \(A\cap B\) contient les nombres qui appartiennent à \(A\) et à \(B\) .
La réunion \(A\cup B\) contient les nombres qui appartiennent à \(A\) ou à \(B\) , éventuellement aux deux.
Exemple
Soient \(A=[-3;2]\) et \(B=[0;5[\) .
\[A\cap B=[0;2],\qquad A\cup B=[-3;5[.\]
L'intersection est la zone commune ; la réunion rassemble les deux zones.
Définition · Ensemble vide et complémentaire
L'ensemble qui ne contient aucun élément est noté \(\emptyset\) .
Le complémentaire de \(A\) dans un ensemble de référence \(E\) contient les éléments de \(E\) qui n'appartiennent pas à \(A\) . Il se note \(E\setminus A\) .
Exemple
Dans \(E=\R\) , si \(A=[-1;3]\) , alors
\[\R\setminus A=]-\infty;-1[\ \cup\ ]3;+\infty[.\]
Les bornes \(-1\) et \(3\) sont exclues du complémentaire parce qu'elles appartiennent à \(A\) .
À toi d’essayer
Distinguer une condition commune et un choix Soient \(I=[-2;3]\) et \(J=]1;5]\) . Détermine \(I\cap J\) et \(I\cup J\) . Le nombre \(1\) est-il dans l'intersection ? Dans la réunion ?
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste L'intersection signifie « dans \(I\) et dans \(J\) ». La réunion signifie « dans \(I\) ou dans \(J\) , éventuellement dans les deux ».
Indice 2 · Un pas de plus La partie commune commence juste après \(1\) et va jusqu'à \(3\) inclus. Pour la réunion, les deux intervalles se chevauchent : il n'y a aucun trou entre \(-2\) et \(5\) .
Voir l’explication On obtient \(I\cap J=]1;3]\) : être dans les deux impose \(x>1\) et \(x\leq3\) . Le nombre \(1\) est exclu, car il n'appartient pas à \(J\) . On obtient \(I\cup J=[-2;5]\) : tout point entre ces bornes appartient à au moins un des intervalles. Le nombre \(1\) est inclus, car il appartient à \(I\) ; il n'a pas besoin d'appartenir aux deux. Réessaie : avec \(I=[0;1]\) et \(J=[2;3]\) , l'intersection est vide et la réunion reste \([0;1]\cup[2;3]\) . Elle n'est pas \([0;3]\) , qui ajouterait notamment \(1{,}5\) . L'exercice 6 fait travailler ces deux cas.
Valeur absolue et distance
Définition · Valeur absolue
La valeur absolue \(|x|\) d'un réel \(x\) est la distance entre le point d'abscisse \(x\) et l'origine \(0\) . Ainsi,
\[|x|=\begin{cases}
x&\text{si }x\geq0,\\
-x&\text{si }x<0.
\end{cases}\]
Exemple
\[|7|=7,\qquad|-7|=7,\qquad|0|=0,\qquad|3-8|=|-5|=5.\]
Dans le cas \(x=-7\) , on a bien
\[\begin{aligned}|x| &= -x\\[.35em] &= -(-7)\\[.35em] &= 7.\end{aligned}\]
Attention
Une distance est toujours positive ou nulle. La valeur absolue n'est donc jamais négative : \(|x|\geq0\) .
Définition · Distance entre deux réels
La distance entre deux réels \(a\) et \(b\) est
\[\begin{aligned}d(a,b) &= |a-b|\\[.35em]&= |b-a|.\end{aligned}\]
Exemple
La distance entre \(-3\) et \(5\) vaut
\[\begin{aligned}|-3-5| &= |-8|\\[.35em]&= 8.\end{aligned}\]
On retrouve les huit unités parcourues sur la droite entre \(-3\) et \(5\) .
Intervalle de centre donné
Théorème · Traduction distance – intervalle
Pour \(r\geq0\) ,
\[\boxed{|x-a|\leq r\quad\ssi\quad x\in[a-r;a+r].}\]
L'intervalle a pour centre \(a\) et pour rayon \(r\) .
Une preuve à construire
Pourquoi le centre donne-t-il les deux bornes ? Pour un réel \(a\) et un rayon \(r\geq0\) , explique pourquoi \(|x-a|\leq r\) décrit exactement l'intervalle \([a-r;a+r]\) . Que reste-t-il si \(r=0\) ?
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste La distance de \(x\) à \(a\) ne dépend pas du côté où se trouve \(x\) . Sépare les points à gauche et à droite du centre.
Indice 2 · Un pas de plus À droite de \(a\) , la distance vaut \(x-a\) ; à gauche elle vaut \(a-x\) . Transforme dans chaque cas la condition « distance au plus \(r\) ».
Voir la preuve expliquée Si \(x\geq a\) , alors \(|x-a|=x-a\) . La condition \(x-a\leq r\) donne \(x\leq a+r\) : on garde les points de \([a;a+r]\) . Si \(x\leq a\) , alors \(|x-a|=a-x\) . La condition \(a-x\leq r\) donne \(x\geq a-r\) : on garde les points de \([a-r;a]\) . Ces deux morceaux réunis forment \([a-r;a+r]\) . Inversement, tout point de cet intervalle appartient à l'un des morceaux et sa distance à \(a\) est au plus \(r\) . Les deux sens sont donc vérifiés. Si \(r=0\) , les deux bornes valent \(a\) : il reste le seul point \(x=a\) , soit \([a;a]=\{a\}\) . Réutilise l'idée : si la distance doit être strictement inférieure à \(r>0\) , les deux bornes sont exclues et l'intervalle devient \(]a-r;a+r[\) .
Exemple
\[\begin{aligned}|x-4| &\leq3\\\ssi\quad x &\in[4-3;4+3]=[1;7].\end{aligned}\]
De même,
\[\begin{aligned}|x+2| &\leq5\\\ssi\quad |x-(-2)| &\leq5\\\ssi\quad x &\in[-7;3].\end{aligned}\]
Méthode · Retrouver centre et rayon
Pour un intervalle \([u;v]\) :
\[\text{centre }a=\frac{u+v}{2},\qquad
\text{rayon }r=\frac{v-u}{2}.\]
Ainsi \([u;v]=[a-r;a+r]\) et il peut s'écrire \(|x-a|\leq r\) .
Agrandir ↗ Les segments représentent les points à distance au plus \(r\) du centre. Les bornes sont incluses ; le trait vertical noir repère le centre. Compare d'abord les deux premières lignes, puis les deux dernières : on ne change qu'un paramètre à la fois.
À toi d’essayer
Prévoir ce qui change sur la droite Pour \(a=2\) et \(r=3\) , trouve les bornes de \(|x-a|\leq r\) et décide si \(x=0\) convient. Réduis ensuite le rayon à \(1\) en gardant le même centre. Enfin, garde \(r=1\) et déplace le centre en \(a=-1\) . Prédis chaque réponse avant de regarder les segments ou de manipuler.
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste Calcule séparément \(a-r\) et \(a+r\) . Pour tester \(x=0\) , calcule sa distance au centre, \(|0-a|\) .
Indice 2 · Un pas de plus Dans la première situation, la distance de \(0\) à \(2\) vaut \(2\) , et le rayon vaut \(3\) . Quand le rayon change, le centre reste \(2\) .
Voir l’explication Premier état : les bornes sont \(2-3=-1\) et \(2+3=5\) . La distance \(|0-2|=2\) est inférieure ou égale à \(3\) , donc \(0\) convient. Deuxième état : les bornes sont \(2-1=1\) et \(2+1=3\) . La distance de \(0\) au centre vaut toujours \(2\) , mais le rayon vaut maintenant \(1\) : \(0\) ne convient plus. Troisième état : les bornes sont \(-1-1=-2\) et \(-1+1=0\) . La distance \(|0-(-1)|=1\) est égale au rayon : \(0\) convient et se trouve à la borne droite. Changer le rayon élargit ou rétrécit autour du même centre. Changer le centre déplace tout l'intervalle. Réessaie : pour le centre \(-3\) et le rayon \(2\) , l'intervalle est \([-5;-1]\) . Le point \(-1\) convient, mais \(0\) non. L'exercice 10 utilise centre et rayon dans une tolérance de mesure.
Une distance, un intervalle
Prévois les deux bornes pour a = 2 et r = 3. Déplace ensuite le point x : quand sa distance au centre dépasse-t-elle r ?
Segment épais : intervalle fermé. A : centre. X : point à tester. Les bornes appartiennent à l’intervalle.
Pour a = 2 et r = 3 : |x − 2| ≤ 3 équivaut à −1 ≤ x ≤ 5. Le point 0 convient, le point 6 ne convient pas. Pour r = 0, seul le centre convient.
Lire les valeurs et les coordonnées Pour a = 2 et r = 3 : |x − 2| ≤ 3 équivaut à −1 ≤ x ≤ 5. Le point 0 convient, le point 6 ne convient pas. Pour r = 0, seul le centre convient.
Garde le centre fixe, puis augmente le rayon. Explique ce qui arrive à chacune des deux bornes.
Encadrement décimal et amplitude
Définition · Encadrement et amplitude
Encadrer un réel \(x\) , c'est trouver deux nombres \(a\) et \(b\) tels que
\[a\leq x\leq b.\]
L'amplitude de l'encadrement est \(b-a\) .
Exemple
Comme \(1{,}41^2=1{,}9881<2\) et \(1{,}42^2=2{,}0164>2\) ,
\[1{,}41<\sqrt2<1{,}42.\]
Cet encadrement a pour amplitude
\[\begin{aligned}1{,}42-1{,}41 &= 0{,}01\\[.35em] &= 10^{-2}.\end{aligned}\]
Méthode · Encadrement à \(10^{-n}\) près
Pour encadrer un réel à \(10^{-n}\) près, on cherche deux nombres décimaux consécutifs ayant \(n\) chiffres après la virgule et entre lesquels se trouve le nombre.
Par exemple, un encadrement de \(\sqrt2\) à \(10^{-3}\) près est
\[1{,}414<\sqrt2<1{,}415.\]
À toi d’essayer
Prouver la précision d'une racine On donne \(1{,}73^2=2{,}9929\) et \(1{,}74^2=3{,}0276\) . Encadre \(\sqrt3\) à \(10^{-2}\) près et donne l'amplitude obtenue. Pourquoi cette information ne permet-elle pas, à elle seule, de choisir son arrondi au centième ?
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste Sur les nombres positifs, le carré respecte l'ordre. Compare les deux carrés à \(3\) . L'amplitude est la borne de droite moins celle de gauche.
Indice 2 · Un pas de plus Tu sais que \(1{,}73<\sqrt3<1{,}74\) . Le nombre qui départage les deux arrondis est le milieu \(1{,}735\) . Il faut savoir de quel côté se trouve \(\sqrt3\) .
Voir l’explication Puisque \(2{,}9929<3<3{,}0276\) et que les bornes sont positives,
\[1{,}73<\sqrt3<1{,}74.\]
L'amplitude vaut \(1{,}74-1{,}73=0{,}01\) . L'encadrement certifie cette précision, mais il contient des nombres qui s'arrondissent à \(1{,}73\) et d'autres à \(1{,}74\) . Pour trancher, on calcule \(1{,}735^2=3{,}010225>3\) . Donc \(\sqrt3<1{,}735\) , et l'arrondi au centième est \(1{,}73\) . Réessaie : \(2{,}23^2=4{,}9729\) et \(2{,}24^2=5{,}0176\) donnent \(2{,}23<\sqrt5<2{,}24\) . L'amplitude reste \(0{,}01\) . L'exercice 11 fait construire d'autres encadrements.
Troncature, arrondi et chiffres significatifs
Définition · Troncature et arrondi
La troncature coupe l'écriture décimale après un rang donné.
L'arrondi choisit le nombre décimal le plus proche au rang demandé. On regarde le premier chiffre supprimé :
s'il est inférieur à \(5\) , on garde le dernier chiffre conservé ;
s'il est supérieur ou égal à \(5\) , on augmente ce chiffre d'une unité.
Pour \(\pi\approx3{,}14159265\) :
\[\begin{aligned}&\text{troncature au millième : }3{,}141,\\&\text{arrondi au millième : }3{,}142.\end{aligned}\]
Définition · Chiffres significatifs
Les chiffres significatifs commencent au premier chiffre non nul. Ils indiquent la précision pertinente d'une mesure.
Exemple
\(0{,}004\,57\) possède trois chiffres significatifs : \(4\) , \(5\) et \(7\) .
La distance \(12\,748\) m arrondie à trois chiffres significatifs vaut \(12\,700\) m, soit \(12{,}7\) km.
Attention · La précision doit avoir du sens
Une mesure au centimètre près ne doit pas être annoncée avec dix décimales. Les chiffres significatifs doivent refléter la précision des données et le contexte.
À toi d’essayer
Choisir les chiffres qui renseignent Un rectangle mesure environ \(12{,}3\) cm sur \(7{,}4\) cm. Le produit vaut \(91{,}02\) cm\(^2\) . On souhaite annoncer l'aire avec deux chiffres significatifs. Quelle valeur écris-tu ? Explique la différence entre un calcul exact sur les données et la précision de la mesure réelle.
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste Les deux premiers chiffres significatifs de \(91{,}02\) sont \(9\) et \(1\) . Observe le chiffre suivant pour arrondir.
Indice 2 · Un pas de plus Le chiffre suivant est \(0\) : l'arrondi à deux chiffres significatifs est un nombre entier de centimètres carrés. Les longueurs mesurées étaient elles-mêmes approximatives.
Voir l’explication À deux chiffres significatifs, on écrit environ \(91\) cm\(^2\) . Les chiffres \(9\) et \(1\) sont conservés ; le chiffre suivant, \(0\) , ne fait pas augmenter le \(1\) . Le calcul \(12{,}3\times7{,}4=91{,}02\) est exact pour les nombres écrits. Cela ne signifie pas que l'aire réelle est connue au centième de cm\(^2\) , car les longueurs réelles sont seulement approchées. Ici, le nombre de chiffres significatifs est fixé par la consigne ; dans une expérience, il faut le choisir à partir de la précision des mesures. Réessaie : \(0{,}00457\) arrondi à deux chiffres significatifs vaut \(0{,}0046\) . Les zéros avant le \(4\) situent la virgule ; les deux chiffres significatifs sont \(4\) et \(6\) . L'exercice 12 propose d'autres décisions d'arrondi.
Pourquoi \(\dfrac13\) n'est-il pas décimal ?
Théorème · Démonstration exigible
Le nombre rationnel \(\dfrac13\) n'est pas un nombre décimal.
Une preuve à construire
Pourquoi l'écran ne donne-t-il pas un tiers exactement ? Prouve que \(1/3\) n'est pas décimal, même si une calculatrice affiche un nombre fini de \(3\) . Tu peux utiliser le fait qu'une puissance de \(10\) n'est pas divisible par \(3\) .
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste Suppose provisoirement que \(1/3\) possède une écriture décimale finie. Par définition, tu pourrais écrire \(1/3=a/10^n\) , avec \(a\) entier et \(n\) entier naturel.
Indice 2 · Un pas de plus Multiplie l'égalité \(1/3=a/10^n\) par le nombre non nul \(3\times10^n\) . Tu obtiens une égalité qui ferait de \(10^n\) un multiple de \(3\) .
Voir la preuve expliquée On raisonne par contradiction. Si \(1/3\) était décimal, il existerait des entiers \(a\) et \(n\geq0\) tels que
\[\frac13=\frac{a}{10^n}.\]
Les dénominateurs sont non nuls ; en multipliant les deux membres par \(3\times10^n\) , on obtiendrait \(10^n=3a\) . Ce serait donc un multiple de \(3\) . Or la somme des chiffres de \(10^n\) vaut \(1\) , y compris pour \(n=0\) : ce nombre n'est pas divisible par \(3\) . Les deux conclusions sont incompatibles. L'hypothèse « \(1/3\) est décimal » est donc fausse. L'affichage \(0{,}333333\) est une approximation : multiplié par \(3\) , il donne \(0{,}999999\) , et pas \(1\) . En revanche \(1/3\) reste rationnel, puisqu'il est un quotient d'entiers. Réutilise l'idée : si \(2/3=a/10^n\) , alors \(2\times10^n=3a\) . La somme des chiffres du membre de gauche vaut \(2\) : la même contradiction prouve que \(2/3\) n'est pas décimal.
Dire « tous » ou « il existe »
Une lettre permet de formuler une phrase, mais il faut aussi préciser les nombres auxquels on s'adresse.
Définition · Deux façons de parler d'un ensemble
« Pour tout réel \(x\) , \(x^2\geq0\) » affirme quelque chose de chaque réel, sans exception. C'est une formulation universelle.
« Il existe un réel \(x\) tel que \(x^2=4\) » affirme qu'au moins un réel convient. C'est une formulation existentielle. On peut la prouver en donnant un témoin : \(x=2\) convient. Elle ne dit pas qu'il est unique : \(x=-2\) convient aussi.
Exemple · Les mêmes mots de calcul, deux affirmations différentes
La phrase « pour tout réel \(x\) , \(x^2=4\) » est fausse : avec \(x=0\) , le carré vaut \(0\) , pas \(4\) . La phrase « il existe un réel \(x\) tel que \(x^2=4\) » est vraie, comme on vient de le vérifier.
Un exemple suffit à prouver une existence. Il ne prouve pas une affirmation universelle : pour celle-ci, on cherche un raisonnement valable pour n'importe quel élément de l'ensemble annoncé. Un seul contre-exemple, en revanche, suffit à la réfuter.
À toi d’essayer
Choisir une phrase assez précise Avec la propriété \(|x|=3\) , écris une phrase vraie commençant par « il existe un réel », puis une phrase commençant par « pour tout réel ». La seconde est-elle vraie ? Justifie. Enfin, écris une affirmation universelle vraie sur le signe de \(|x|\) .
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste Pour une existence, cherche un nombre qui convient et vérifie-le. Pour contredire « tous », cherche un seul nombre qui ne convient pas.
Indice 2 · Un pas de plus Teste \(x=3\) , puis \(x=0\) . La distance à zéro peut-elle être négative ?
Voir l’explication « Il existe un réel \(x\) tel que \(|x|=3\) » est vraie : \(x=3\) est un témoin, car \(|3|=3\) . Le nombre \(-3\) serait un autre témoin. « Pour tout réel \(x\) , \(|x|=3\) » est fausse : \(|0|=0\neq3\) . La phrase universelle vraie attendue est « pour tout réel \(x\) , \(|x|\geq0\) », car une distance est positive ou nulle. À réessayer : remplace \(|x|=3\) par \(x^2=9\) . Trouve deux témoins de l'existence et un contre-exemple à l'affirmation universelle ; explique pourquoi tester ces trois nombres ne prouve pas toutes les propriétés possibles du carré.
La contraposée : une autre façon de dire la même implication
Définition · Implication, réciproque et contraposée
L'implication « si \(P\) , alors \(Q\) » exclut la situation où \(P\) est vraie et \(Q\) est fausse.
Sa contraposée est « si \(Q\) est fausse, alors \(P\) est fausse ». Elle exclut exactement la même situation : les deux implications sont équivalentes.
Sa réciproque est « si \(Q\) , alors \(P\) ». Elle peut avoir une autre valeur de vérité : on ne la confond pas avec la contraposée.
Exemple · Une contraposée que l'on peut vérifier
Pour un entier \(n\) , on sait que « si \(n\) est multiple de \(6\) , alors \(n\) est pair ».
Sa contraposée est : « si \(n\) n'est pas pair, alors \(n\) n'est pas multiple de \(6\) ». Elle est vraie : un multiple de \(6\) aurait la forme \(2(3k)\) et serait pair, ce qui contredirait l'hypothèse.
La réciproque « si \(n\) est pair, alors \(n\) est multiple de \(6\) » est fausse : \(n=8\) est pair sans être multiple de \(6\) .
À toi d’essayer
Retourner l'implication en niant les deux propriétés On a démontré en arithmétique : « si un entier \(n\) est impair, alors \(n^2\) est impair ». Formule sa contraposée, puis sa réciproque. La contraposée permet-elle de conclure que \(n\) est pair lorsque \(n^2\) est pair ? Explique pourquoi elle servira à étudier \(\sqrt2\) .
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste La contraposée commence par la négation de la conclusion, et se termine par la négation de l'hypothèse.
Indice 2 · Un pas de plus Dans l'ensemble des entiers, ne pas être impair signifie être pair. Ne permute pas les deux phrases sans les nier.
Voir l’explication La contraposée est « si \(n^2\) n'est pas impair, alors \(n\) n'est pas impair », donc « si \(n^2\) est pair, alors \(n\) est pair ». Elle est vraie parce qu'elle est équivalente à l'implication démontrée. La réciproque est « si \(n^2\) est impair, alors \(n\) est impair ». Elle est également vraie ici, mais cela demande une justification distincte : si \(n=2k\) était pair, alors
\[\begin{aligned}n^2 &= 4k^2\\[.35em] &= 2(2k^2)\end{aligned}\]
serait pair, ce qui contredirait l'hypothèse. Dans la preuve suivante, une égalité de la forme \(p^2=2q^2\) montre que \(p^2\) est pair. La contraposée autorise alors à conclure que \(p\) est pair ; on ne se contente pas de quelques essais. À réessayer : pour « si \(n\) est multiple de \(10\) , alors \(n\) est multiple de \(5\) », écris la contraposée et la réciproque. La première est vraie ; \(n=5\) réfute la seconde.
Pourquoi \(\sqrt2\) est-il irrationnel ?
Théorème · Démonstration exigible
Le nombre \(\sqrt2\) est irrationnel.
Une preuve à construire
Pourquoi aucune fraction ne peut-elle donner la diagonale ? La diagonale d'un carré de côté \(1\) mesure \(\sqrt2\) , par le théorème de Pythagore. Prouve qu'on ne peut pas l'écrire comme quotient de deux entiers. Tu peux utiliser la propriété « le carré d'un entier impair est impair » de la fiche 01.
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste Suppose qu'une telle fraction existe et choisis-la irréductible : \(\sqrt2=p/q\) , avec \(q\neq0\) . Cela signifie que \(p\) et \(q\) n'ont aucun diviseur positif commun autre que \(1\) .
Indice 2 · Un pas de plus L'égalité au carré donne \(p^2=2q^2\) . Donc \(p^2\) est pair. Pourquoi \(p\) ne peut-il pas être impair ? Remplace alors \(p\) par \(2k\) et cherche la parité de \(q\) .
Voir la preuve expliquée Supposons \(\sqrt2=p/q\) avec \(p,q\) entiers, \(q\neq0\) , et la fraction irréductible. On obtient
\[\begin{aligned}2&=\frac{p^2}{q^2},\\[.35em]p^2&=2q^2.\end{aligned}\]
Le carré \(p^2\) est pair. Si \(p\) était impair, son carré serait impair : c'est impossible. Donc \(p\) est pair et s'écrit \(2k\) , avec \(k\) entier. En remplaçant,
\[\begin{aligned}(2k)^2&=2q^2,\\[.35em]4k^2&=2q^2,\\[.35em]q^2&=2k^2.\end{aligned}\]
Ainsi \(q^2\) est pair, donc \(q\) aussi, par le même raisonnement. Les deux entiers \(p\) et \(q\) seraient divisibles par \(2\) . Cela contredit le choix d'une fraction irréductible : notre hypothèse de départ est fausse. Le nombre \(\sqrt2\) est irrationnel. Le point à retenir : on n'a pas simplement constaté que les décimales continuent ; on a exclu toutes les fractions possibles. Réessaie : \(3\sqrt2\) est-il rationnel ? S'il l'était, le diviser par l'entier non nul \(3\) rendrait \(\sqrt2\) rationnel, ce qui est impossible.
Encadrer \(\sqrt2\) par balayage
Méthode · Algorithme du programme
Le programme suivant cherche deux décimaux consécutifs à \(10^{-n}\) près dont les carrés encadrent \(2\) .
def encadrement_racine_2(n):
puissance = 10**n
k = 0
while (k + 1)**2 <= 2 * puissance**2:
k = k + 1
return k / puissance, (k + 1) / puissancePour \(n=3\) , la fonction renvoie \((1{,}414;1{,}415)\) .
Intuition · Pourquoi l'algorithme fonctionne
Les nombres testés sont \(0\) , \(0{,}001\) , \(0{,}002\) , etc. L'algorithme avance tant que le carré du nombre suivant ne dépasse pas \(2\) . Lorsqu'il s'arrête, \(k/10^n\) est juste en dessous de \(\sqrt2\) et \((k+1)/10^n\) juste au-dessus.
La comparaison est effectuée avec des entiers, ce qui évite une partie des erreurs liées aux nombres flottants.
Approfondissement : développements décimaux illimités
Un nombre rationnel a une écriture décimale qui est soit finie, soit illimitée et périodique à partir d'un certain rang :
\[\frac13=0{,}\overline{3},\qquad
\frac27=0{,}\overline{285714},\qquad
\frac16=0{,}1\overline{6}.\]
Les nombres irrationnels ont une écriture décimale illimitée non périodique. Aucune suite finie de chiffres ne permet de les écrire exactement.
Attention
Cette observation aide à comprendre les ensembles, mais il ne suffit pas d'observer quelques chiffres sur une calculatrice pour prouver qu'un nombre est irrationnel. Une preuve porte sur l'écriture complète, pas sur les chiffres affichés.
Exercices Exercice 1 ★☆☆ : Le plus petit ensemble
Pour chaque nombre, indique le plus petit ensemble parmi \(\N\) , \(\Z\) , \(\D\) , \(\Q\) et \(\R\) auquel il appartient.
\[\textbf{a) }0\quad
\textbf{b) }-7\quad
\textbf{c) }3{,}25\quad
\textbf{d) }\frac74\quad
\textbf{e) }\frac13\]
\[\textbf{f) }\sqrt{49}\quad
\textbf{g) }\sqrt5\quad
\textbf{h) }\pi\quad
\textbf{i) }-\sqrt9\quad
\textbf{j) }\frac{10}{5}.\]
Exercice 2 ★☆☆ : Appartenance ou inclusion ?
Complète avec \(\in\) , \(\notin\) , \(\subset\) ou \(\not\subset\) .
\[\textbf{a) }-3\ \ldots\ \Z\qquad
\textbf{b) }\N\ \ldots\ \Q\qquad
\textbf{c) }\frac27\ \ldots\ \D\]
\[\textbf{d) }\D\ \ldots\ \R\qquad
\textbf{e) }\pi\ \ldots\ \Q\qquad
\textbf{f) }\Z\ \ldots\ \N.\]
Exercice 3 ★☆☆ : Des inégalités aux intervalles
Traduis chaque condition par un intervalle.
\[\textbf{a) }-2\leq x\leq5\qquad
\textbf{b) }3<x<9\qquad
\textbf{c) }x\geq-4\]
\[\textbf{d) }x<7\qquad
\textbf{e) }-1<x\leq6\qquad
\textbf{f) }x\leq0.\]
Exercice 4 ★☆☆ : Appartenir à un intervalle
On pose \(I=[-3;2[\) et \(J=]-1;4]\) . Indique si chacune des affirmations suivantes est vraie ou fausse.
\[\textbf{a) }-3\in I\qquad
\textbf{b) }2\in I\qquad
\textbf{c) }-1\in J\qquad
\textbf{d) }4\in J\]
\[\textbf{e) }0\in I\cap J\qquad
\textbf{f) }3\in I\cup J.\]
Exercice 5 ★☆☆ : Représenter sur une droite
Représente sur trois droites graduées différentes les intervalles
\[A=[-4;1],\qquad B=]2;6[,\qquad C=]-\infty;3].\]
Précise pour chaque borne si elle est incluse ou exclue.
Exercice 6 ★★☆ : Intersection et réunion
Pour chaque paire d'intervalles, détermine \(A\cap B\) et \(A\cup B\) .
\[A=[-2;5]\]
\[\text{et }B=[1;8[.\]
\[A=]-\infty;3]\]
\[\text{et }B=]0;+\infty[.\]
\[A=[-5;-1]\]
\[\text{et }B=[2;6].\]
\[A=]-3;4[\]
\[\text{et }B=[-3;4].\]
Exercice 7 ★★☆ : Complémentaires
Dans l'ensemble de référence \(\R\) , détermine le complémentaire de chacun des ensembles suivants.
\[\textbf{a) }[-2;5]\qquad
\textbf{b) }]1;+\infty[\qquad
\textbf{c) }]-\infty;4[\qquad
\textbf{d) }\R.\]
Exercice 8 ★★☆ : Valeurs absolues et distances
Calcule \(|-8|\) , \(|5|\) , \(|3-11|\) et \(|-4-7|\) .
Calcule la distance entre \(-6\) et \(2\) , puis entre \(-3{,}5\) et \(1{,}2\) .
Trouve les deux nombres situés à une distance \(5\) de \(2\) .
Trouve le nombre situé à égale distance de \(-4\) et \(10\) .
Exercice 9 ★★☆ : Distance et intervalle
Traduis chaque inéquation par un intervalle.
\[\textbf{a) }|x-3|\leq2\qquad
\textbf{b) }|x+4|\leq1\qquad
\textbf{c) }|x|\leq7.\]
Puis traduis chaque intervalle par une inéquation avec une valeur absolue.
\[\textbf{d) }[-2;6]\qquad
\textbf{e) }[-5;1]\qquad
\textbf{f) }[0;10].\]
Exercice 10 ★★☆ : Centre, rayon et modélisation
Une pièce fabriquée est acceptée si sa longueur \(L\) , en millimètres, diffère de \(25\) de moins de \(0{,}3\) mm, valeur limite acceptée.
Traduis la condition par \(|L-a|\leq r\) .
Donne l'intervalle des longueurs acceptées.
Les pièces de longueurs \(24{,}69\) , \(24{,}70\) , \(25{,}18\) et \(25{,}31\) sont-elles acceptées ?
Exercice 11 ★★☆ : Encadrer une racine carrée
Sans utiliser la touche décimale de la calculatrice :
calcule \(2{,}2^2\) et \(2{,}3^2\) , puis encadre \(\sqrt5\) à \(10^{-1}\) près ;
calcule \(2{,}23^2\) et \(2{,}24^2\) , puis encadre \(\sqrt5\) à \(10^{-2}\) près ;
donne l'amplitude de chaque encadrement.
Exercice 12 ★★☆ : Arrondis raisonnables
Donne la troncature et l'arrondi de \(12{,}9876\) au centième.
Arrondis \(0{,}004\,786\) à trois chiffres significatifs.
Une distance est mesurée au mètre près : \(12\,347\) m. Donne une écriture en kilomètres avec un nombre de chiffres significatifs cohérent.
Explique pourquoi annoncer \(12{,}347000000\) km serait trompeur.
Exercice 13 ★★★ : Comprendre le balayage
On reprend la fonction encadrement_racine_2 du cours.
Pour \(n=1\) , quelle est la valeur de puissance ?
Justifie que la boucle s'arrête avec \(k=14\) .
Quel encadrement est renvoyé ? Quelle est son amplitude ?
Sans exécuter le programme, prévois le résultat pour \(n=2\) .
Exercice 14 ★★★ : Le test des facteurs \(2\) et \(5\)
Pour chaque fraction, commence par la rendre irréductible, puis détermine si elle représente un nombre décimal. Justifie sans effectuer la division.
\[\begin{aligned}&\textbf{a) }\frac{13}{125}\\&\textbf{b) }\frac7{30}\\&\textbf{c) }\frac{21}{84}\\&\textbf{d) }\frac{18}{45}\\&\textbf{e) }\frac{11}{48}.\end{aligned}\]
Exercice 15 ★★★ : Prouver que \(\sqrt3\) est irrationnel
Montre que le carré d'un entier de la forme \(3k+1\) ou \(3k+2\) n'est pas multiple de \(3\) .
Déduis que si \(n^2\) est multiple de \(3\) , alors \(n\) est multiple de \(3\) .
Suppose que \(\sqrt3=\dfrac pq\) avec \(\dfrac pq\) irréductible. En t'inspirant de la preuve pour \(\sqrt2\) , montre que \(p\) et \(q\) seraient tous les deux multiples de \(3\) .
Conclus.
